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数学物理学报, 2023, 43(1): 27-34

调和Hardy空间上的Toeplitz算子的酉等价性

丁宣浩,1,2, 黄雨浩,1, 李永宁,1,2,*

1重庆工商大学数学与统计学院 重庆 400067

2经济社会应用统计重庆市重点实验室 重庆 400067

The Unitary Equivalence of the Toeplitz Operators on the Harmonic Hardy Space

Ding Xuanhao,1,2, Huang Yuhao,1, Li Yongning,1,2,*

1School of Mathematics and Statistics, Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067

2Chongqing Key Laboratory of Social Economy and Applied Statistics, Chongqing 400067

通讯作者: *李永宁, E-mail: yongningli@ctbu.edu.cn

收稿日期: 2021-12-22   修回日期: 2022-08-17  

基金资助: 国家自然科学基金(11871122)
国家自然科学基金(12101092)
重庆市自然科学基金(cstc2020jcyj-msxmX0318)
重庆工商大学基金(2056008)
重庆工商大学校级科研项目(yjscxx2022-112-73)

Received: 2021-12-22   Revised: 2022-08-17  

Fund supported: The NSFC(11871122)
The NSFC(12101092)
Natural Science Foundation of Chongqing(cstc2020jcyj-msxmX0318)
Chongqing Technology and Business University(2056008)
Scientific research project in Chongqing Technology and Business University-level(yjscxx2022-112-73)

作者简介 About authors

丁宣浩,E-mail:dingxuanhao@ctbu.edu.cn

黄雨浩,E-mail:huangyuhaoctbu@163.com

摘要

H2是单位圆盘D={ξC:|ξ|<1}上的经典Hardy空间. 设uv是内函数且至少其中一个是非常值的, 调和Hardy空间H2u,v定义为H2u,v=uH2¯v(H2)=uH2¯vzH2. 对任意的xH2u,v, 定义H2u,v上的调和Toeplitz算子 ˆTφx=Qu,v(φx), 其中, Qu,v:L2H2u,v为正交投影. 该文刻画了调和Toeplitz算子和对偶截断Toeplitz算子的酉等价性, 并给出了两个调和Toeplitz算子可交换的充要条件, 调和Toeplitz代数的性质以及ˆTz的换位子的刻画. 最后, 该文还得到了有限多个连续符号的调和 Toeplitz算子乘积的本质谱.

关键词: 调和Hardy空间; 调和Toeplitz算子; 酉等价; 对偶截断Toeplitz算子; 本质谱

Abstract

Let H2 be the Hardy space on the unit disk D={ξC:|ξ|<1}. Suppose u and v are inner functions and at least one of them is nonconstant, the harmonic Hardy space H2u,v is defined by H2u,v=uH2¯v(H2)=uH2¯vzH2. For any xH2u,v, define the Toeplitz operator on the H2u,v by ˆTφx=Qu,v(φx), where Qu,v is the orthogonal projection from L2H2u,v. In this paper, the unitary equivalence of the harmonic Toeplitz operator and the dual truncated Toeplitz operator is obtained, moreover, the sufficient and necessary conditions for when two Toeplitz operators commute is given, and the properties of the harmonic Toeplitz algebra and the commutant of ˆTz are described. Finally, the essential spectrum for the product of finitely many harmonic Toeplitz operators with continuous symbols is obtained in this paper.

Keywords: Harmonic Hardy space; Harmonic Toeplitz operator; Unitary equivalence; Dual truncated Toeplitz operator; Essential spectrum

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本文引用格式

丁宣浩, 黄雨浩, 李永宁. 调和Hardy空间上的Toeplitz算子的酉等价性[J]. 数学物理学报, 2023, 43(1): 27-34

Ding Xuanhao, Huang Yuhao, Li Yongning. The Unitary Equivalence of the Toeplitz Operators on the Harmonic Hardy Space[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(1): 27-34

1 引言

D={ξC:|ξ|<1}是复平面C上的单位圆盘, D={ξC:|ξ|=1} 是单位圆周. 记H2是经典的Hardy空间, (H2)=¯zH2是其正交补空间. 记L2=L2(D) 是单位圆周 D上的Lebesgue平方可积函数构成的空间, L是单位圆周 D上的本性有界的可测函数全体构成的空间, H为单位开圆盘D上的有界解析函数全体构成的空间[1]. 如果uH|u(eit)|=1D上几乎处处成立, 则称u 是内函数.

P:L2H2 为正交投影, 则对于 φL, 符号为φ的Toeplitz算子Tφ定义为

Tφf=P(φf),fH2.

Hankel算子Hφ定义为

Hφg=(IP)(φg),gH2.

对偶Toeplitz算子Sφ定义为

Sφh=(IP)(φh),(H2).

容易得到

Hφh=P(¯φh),h(H2).

MφL2上的乘法算子, 且Mφx=φx.Mφ在空间分解L2=H2(H2) 下可表示为如下2×2算子矩阵形式

Mφ=[TφH¯φHφSφ].

由于MφMψ=Mφψ, 则有

Tφψ=TφTψ+H¯φHψ;Hφψ=HφTψ+SφHψ;Sφψ=SφSψ+HφH¯ψ.

ψH, 则Hψ=0, 故有

Hφψ=HφTψ.

Toeplitz算子理论发展至今, 已形成一个庞大的知识体系[2-4], 在物理学, 概率论, 通信理论及控制论等领域中均有重要的应用, 吸引着相关领域的学者们的关注和兴趣. 更多关于Toeplitz算子的相关问题研究可参考文献[5-9].

u是一个非常值内函数, 称K2u=H2uH2为模空间. 显然地, H2=K2uuH2,L2=K2u(K2u)=K2u(uH2¯zH2). 2007 年, Sarason在文献[10] 中引入了模空间K2u上的Toeplitz算子, 即截断Toeplitz算子, 引起了众多学者的关注和研究[11-14].

Pu:L2K2u为正交投影, 则对于φL2, 符号为φ的截断Toeplitz算子Aφ定义为

Aφh=Pu(φh),hK2uL.

截断Hankel算子Bφ定义为

Bφh=(IPu)(φh),hK2uL.

2018年, Sang等[15]引入了(K2u) 上的Toeplitz算子, 即对偶截断 Toeplitz算子, 给出了两个对偶截断Toeplitz算子的乘积为一个有限秩算子的充要条件. 对偶截断Toeplitz算子Dφ定义为

Dφx=(IPu)(φx),x(K2u)L.

容易得到

Bφx=Pu(¯φx),x(K2u)L.

与经典的Hardy空间类似, L2上的乘法算子Mφ 在空间分解L2=K2u(K2u)下可表示为如下2×2算子矩阵形式

Mφ=[AφB¯φBφDφ].

由于MφMψ=Mφψ, 则有

Aφψ=AφAψ+B¯φBψ;Bφψ=BφAψ+DφBψ;Dφψ=DφDψ+BφB¯ψ.

在2020年, Qin等[16]引入了调和函数Hardy空间及其上的Toeplitz 算子. 设uv是内函数且至少有一个是非常值的, 定义调和Hardy空间H2u,v

H2u,v=uH2¯v(H2)=uH2¯vzH2.

特别地, (H2u,1)=K2u, 于是有 K2uH2H21,vL2.MuM¯uL2上由u¯u诱导的乘法算子, 则Qu,v:=MuPM¯u+M¯vPMvL2H2u,v上的正交投影. 对于 φL2, 调和Hardy空间H2u,v上符号为φ的调和Toeplitz算子ˆTφ定义为

ˆTφh=Qu,v(φh),hH2u,v.

调和Hankel算子ˆHφ定义为

ˆHφh=(IQu,v)(φh),hH2u,v. 对偶调和Toeplitz算子ˆSφ定义为 ˆSφx=(IQu,v)(φx),x(H2u,v).

容易得到

ˆHφx=Qu,v(¯φx),x(H2u,v).

乘法算子Mφ在空间分解L2=H2u,v(H2u,v)下可表示为如下2×2算子矩阵形式

Mφ=[ˆTφˆH¯φˆHφˆSφ].

因为MφMψ=Mφψ, 则有

ˆTφψ=ˆTφˆTψ+ˆH¯φˆHψ;ˆHφψ=ˆSφˆHψ+ˆHφˆTψ;ˆSφψ=ˆSφˆSψ+ˆHφˆH¯ψ.

本文的内容安排如下: 第二节主要给出了调和Hardy空间上的Toeplitz算子与对偶截断Toeplitz算子的酉等价性, 根据该结论并结合对偶截断Toeplitz算子的相关性质; 本文的第三节给出了两个调和Toeplitz算子的可交换性的充要刻画, 调和Toeplitz代数的性质, 以及调和Toeplitz 算子ˆTz的换位子的刻画; 在本文的第四节中, 我们研究并得到了一些特殊符号的有限多个调和Toeplitz算子乘积的谱与紧性的刻画.

2 调和Toeplitz算子的酉等价性

算子的酉等价性在研究算子结构中起着至关重要的作用. 一直以来众多的学者想要在Hilbert空间上研究有界线性算子的酉等价性, 但想要找到两个算子在什么条件下是酉等价是相当困难的. 1985年, 孙顺华[17]证明了Cowen问题之一的答案是否定的; Cima 等[18]证明了所有秩一算子, 2×2矩阵和正规算子与截断Toeplitz算子是酉等价的.

本节主要证明了H2u,v上的调和Toeplitz算子与(K2uv)上的对偶截断Toeplitz算子是酉等价的.

uv是内函数且至少其中之一是非常值的, 则

(K2uv)=uvH2+(H2)=uvH2+¯zH2=H2uv,1.

对任意的hH2u,v, 则h可唯一分解为: h=ux+ˉv¯zy, 其中, x,yH2. 由于对偶Toeplitz算子的性质已有很多相关结果, 而调和Toeplitz算子是最近由Qin 等[16]引入的, 其性质还有待研究, 故下面我们所给出的H2u,v上的调和Toeplitz算子与(K2uv)上的对偶截断Toeplitz算子是酉等价的结论是十分有意义的.

定理2.1fL, u,v是内函数且至少其中一个是非常值的, 令θ=uv, 则H2u,v上的调和 Toeplitz算子ˆTf(K2θ)上的对偶截断Toeplitz算子Df是酉等价的.

定义算子A:H2u,v(K2uv)

A(ux+ˉv¯zy)=uvx+¯zy,x,yH2.

容易验证A满足

A(h1+h2)=A(h1)+A(h2),A(αh)=αA(h);Ah=h.

因此{\cal A}是有界线性算子. 对于任意的g=uvx+\overline{zy}\in (K_{uv}^{2})^{\bot}, 这里x, y \in H^2, 则有h=ux+\bar{v}\overline{zy} \in H_{u,v}^2满足{\cal A}h=g, 故{\cal A}是酉算子且{\cal A}^{*}(uvx+\overline{zy})=ux+\overline{vzy}.

对于\forall x, y\in L^{2}, 有

\begin{eqnarray*} \widehat{T}_{f}{\cal A}^{*}(uvx+\overline{zy})&=&\widehat{T}_{f}(ux+\bar{v}\overline{zy})\\ &=&Q_{u,v}f(ux+\bar{v}\bar{z}\bar{y})\\ &=&(uP\bar{u}+\bar{v}P_{-}v)f(ux+\bar{v}\bar{z}\bar{y})\\ &=&uPfx+uPf\overline{uvzy}+\bar{v}P_{-}uvfx+\bar{v}P_{-}f\overline{zy}\\ &=&u(Pfx+Pf\overline{uvzy})+\bar{v}P_{-}(uvfx+f\overline{zy}). \\ D_{f}(uvx+\overline{zy})&=&Qf(uvx+\overline{zy})\\ &=&(uvP\overline{uv}+P_{-})f(uvx+\overline{zy})\\ &=&uvPfx+uvP\overline{uv}f\overline{zy}+P_{-}fuvx+P_{-}f\overline{zy}\\ &=&uv(Pfx+Pf\overline{uvzy})+P_{-}(fuvx+f\overline{zy}). \end{eqnarray*}

于是

\begin{eqnarray*} {\cal A}^{*}D_{f}(uvx+\overline{zy})&=&{\cal A}^{*}\{uv(Pfx+Pf\overline{uvzy})+P_{-}(fuvx+f\overline{zy})\}\\ &=&u(Pfx+Pf\overline{uvzy})+\bar{v}P_{-}(fuvx+f\overline{zy})\\ &=&\widehat{T}_{f}{\cal A}^{*}(uvx+\overline{zy}), \end{eqnarray*}

所以\widehat{T}_{f}{\cal A}^{*}={\cal A}^{*}D_{f},\widehat{T}_{f}={\cal A}^{*}D_{f}{\cal A},\widehat{T}_{f}D_{f}是酉等价的.证毕.

由上述结论,则显然有以下推论.

推论2.1f \in L^{\infty}, u, v是内函数且至少其中一个是非常值的,

H^2_{u,v}上的调和 Toeplitz 算子\widehat{T}_{f}H^2_{v,u}上的调和Toeplitz算子\widehat{\mathsf{T}}_{f}是酉等价的.

由于(K_{uv}^2)^{\bot}=(K_{vu}^2)^{\bot}, 根据定理2.1可知H^2_{u,v}上的调和Toeplitz算子\widehat{T}_{f}H^2_{v,u}上的调和Toeplitz算子\widehat{\mathsf{T}}_{f}均与(K_{uv}^2)^{\bot}上的对偶截断Toeplitz算子D_{f}是酉等价的, 从而\widehat{T}_{f}\widehat{\mathsf{T}}_{f}是酉等价的. 证毕.

特别地, 当内函数v=1时, 结合定理2.1和上述推论则有如下推论.

推论2.2f \in L^{\infty}, u是非常值的内函数, 则H_{1,u}^2(=H^2 \oplus \overline{uzH^2})上的调和 Toeplitz算子\widehat{\mathsf{T}}_{f}(K_u^2)^{\bot}(=uH^2 \oplus \overline{zH^2})上的对偶截断Toeplitz算子D_{f}是酉等价的.

3 若干推论

根据上一节的主要结果以及Sang, Qin和本文的第一作者、第三作者所给出的关于对偶截断Toeplitz算子的一些已有结果[15-16,19-20], 本节我们得到了调和Hardy空间上的调和Toeplitz算子在交换性, 调和Toeplitz代数, 换位子等方面的一些结论. 本节证明全部省略.

根据Sang等[19]关于两个对偶截断Toeplitz算子可交换的充要刻画, 则可得

定理3.1f, g \in L^{\infty}, u, v是内函数且至少其中一个是非常值的, 则\widehat{T}_{f}\widehat{T}_{g}=\widehat{T}_{g}\widehat{T}_{f}当且仅当下述条件之一成立

(1) 存在\lambda\in {\Bbb C}, 使得f, g, \bar{f}(uv-\lambda)\bar{g}(uv-\lambda)均在H^2中;

(2) 存在\lambda\in {\Bbb C}, 使得\bar{f}, \bar{g}, f(uv-\lambda)g(uv-\lambda)均在H^2中;

(3) 存在a, b, c \in {\Bbb C}|a|+|b| \neq 0, 使得af+bg=c.

u, v是内函数且至少其中一个是非常值的, 记B(H_{u,v}^2)H_{u,v}^2上的所有有界线性算子的全体. 设\mathfrak{X}L^{\infty}的闭自伴子代数, 记

{\cal T}_{\mathfrak{X}}=clos\bigg\{\sum_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{j=n}\widehat{T}_{\varphi_{ij}}: \varphi_{ij} \in \mathfrak{X}\bigg\}

B(H_{u,v}^2)的包含\{\widehat{T}_{\varphi}: \varphi \in \mathfrak{X}\}且在范数意义下封闭的最小子代数, 从而{\cal T}_{\mathfrak{X}}是由\{\widehat{T}_{\varphi}: \varphi \in \mathfrak{X}\}所生成的C^{*}-代数.

{\cal T}_{\mathfrak{X}}中由所有的半换位子

[\widehat{T}_{\varphi},\widehat{T}_{\psi}):= \widehat{T}_{\varphi}\widehat{T}_{\psi}-\widehat{T}_{\varphi\psi}, \varphi, \psi \in \mathfrak{X}

所生成的{\cal T}_{\mathfrak{X}}的一个闭理想称为半换位子理想, 并记为\mathfrak{S}{\cal T}_{\mathfrak{X}}.

{\cal T}_{\mathfrak{X}}中由所有的换位子

[\widehat{T}_{\varphi},\widehat{T}_{\psi}]:= \widehat{T}_{\varphi}\widehat{T}_{\psi}-\widehat{T}_{\psi}\widehat{T}_{\varphi}, \varphi, \psi \in \mathfrak{X}

所生成的{\cal T}_{\mathfrak{X}}的一个闭理想称为换位子理想, 并记为\mathfrak{C}{\cal T}_{\mathfrak{X}}.

根据Sang等[9]所给出的对偶截断Toeplitz C^{*} -代数的刻画以及调和Toeplitz算子和对偶截断Toeplitz算子的酉等价性, 我们得到了如下关于调和Toeplitz代数{\cal T}_{L^{\infty}}{\cal T}_{C({\Bbb T})}的结构定理.

定理3.2 序列

0 \rightarrow \mathfrak{S}{\cal T}_{L^{\infty}} \rightarrow {\cal T}_{L^{\infty}} \rightarrow L^{\infty} \rightarrow 0

是一个短正合列, 即, 商代数{\cal T}_{L^{\infty}}/\mathfrak{S}{\cal T}_{L^{\infty}}L^{\infty}*-等距同构的.

定理3.3 序列

0 \rightarrow {\cal K} \rightarrow {\cal T}_{C({\Bbb T})} \rightarrow C({\Bbb T}) \rightarrow 0

是一个短正合列, 其中{\cal K}H_{u,v}^2上的所有紧算子全体.

记Hilbert空间H上所有与算子T可交换的算子的集合为\{T\}^{'}, 即

\{T\}^{'}=\{S \in B(H): TS=ST\},

其中B(H)为Hilbert空间H上的所有有界线性算子全体.

下面根据Sang等[20]给出的关于对偶截断Toeplitz 算子D_z的换位子的刻画, 我们可以得到H_{u,v}^2 上的调和移位Toeplitz算子\widehat{T}_z 的换位子的刻画如下, 其中{\cal A}为定理2.1的证明中所定义的酉算子.

定理3.4u, v是内函数且至少其中一个是非常值的. 令\theta=uv.

(1) 若\theta(0)=0, 则

\{\widehat{T}_z\}^{'}=\left\{ {\cal A}^{*}\left[\begin{array}{ccccc} t_{\varphi} & &0 \\ b_{\bar{\theta}f} && S_{\psi} \end{array}\right]{\cal A}: \varphi, \psi \in H^{\infty}, \, f \in L^{\infty} \right\},

这里上述矩阵是在分解H_{u,v}^2=uH^2\oplus \bar{v}\overline{zH^2}下给出的, 其中, 对任意的x \in \theta H^2, t_{\varphi}x=M_{\theta}PM_{\bar{\theta}}(\varphi x)称为定义在\theta H^2上的小Toeplitz算子, b_{f\bar{\theta}}x=P_{-}(f\bar{\theta}x) 称为定义在\theta H^2上的小Hankel算子;

(2)若\theta(0)\neq 0, 则

\{\widehat{T}_z\}^{'}=\left\{ {\cal A}^{*}\left[\begin{array}{ccccc} t_{\varphi} && \bar{\theta}(0)b_{\overline{\theta\varphi}}^{*}\\ \frac{1}{\bar{\theta}(0)}b_{\bar{\theta}\varphi} && S_{\varphi} \end{array}\right]{\cal A}: \varphi \in L^{\infty} \right\}.

而且, 进一步地, 可以得到如下结论.

定理3.5u, v为非常值的内函数, 对H_{u,v}^2上的调和Toeplitz算子则有

\{\widehat{T}_{z^n}: n \in {\Bbb N}\}^{'}=\left\{ cI: \, c \in {\Bbb C} \right\},

更一般地, 则有

\{\widehat{T}_{f}: f \in H^{\infty}\}^{'}=\left\{ cI: \, c \in {\Bbb C} \right\}.

4 调和Toeplitz算子的谱

本节我们主要给出了连续符号的调和Toeplitz算子与乘法算子的关系以及一些特殊符号的有限个调和Toeplitz算子的乘积\widehat{T}_{\varphi_{1}}\widehat{T}_{\varphi_{2}}\dots\widehat{T}_{\varphi_{n}} 的本质谱刻画.

定义L^{2}=H^{2}\oplus\overline{zH^{2}}\rightarrow [K_{u}^{2}]^{\bot}=uH^{2}\oplus\overline{zH^{2}}上的算子

U_{u}=\left[\begin{array}{cccccc} M_{u}& & 0 \\ 0 & &I_{\overline{zH^{2}}} \\ \end{array}\right].

其中, M_{u}H^{2}上的乘法算子, I_{\overline{zH^{2}}}\overline{zH^{2}}上的恒等算子. 易知, U_{u}是一个酉算子. 下述的2\times2矩阵表示表明了对偶截断Toeplitz算子与Toeplitz算子, Hankel 算子以及截断 Toeplitz算子有着密不可分的联系.

引理4.1[19]\varphi\in L^{\infty}, 则在空间分解L^{2}=H^{2}\oplus\overline{zH^{2}}

\widetilde{D}_{\varphi}=U_{u}^{\ast}D_{\varphi}U_{u}=\left[\begin{array}{cccccc} T_{\varphi}& & H_{u\bar{\varphi}}^{\ast} \\ H_{u\varphi}& & S_{\varphi} \\ \end{array}\right].

\varphi\in H^{2}, 则有

\widetilde{D}_{\varphi}=U_{u}^{\ast}D_{\varphi}U_{u}=\left[\begin{array}{cccccc} T_{\varphi}& & H_{u\bar{\varphi}}^{\ast} \\ 0 && S_{\varphi} \\ \end{array}\right].

推论4.1u, v为内函数且至少其中一个是非常值的, \varphi\partial{\Bbb D}上的连续函数, 则H_{u, v}^2上的调和Toeplitz 算子\widehat{T}_{\varphi}模掉紧算子后与M_{\varphi}是酉等价的.

\theta=uv, 显然\theta为内函数. 因为\varphi\partial{\Bbb D}上连续, 由文献[3] 可知H_{\varphi}H_{\overline{\varphi}}^{*} 是紧的, 则有H_{\theta\varphi}(=H_{\varphi}T_{\theta})H_{\theta\bar{\varphi}}^{\ast} (=T_{\bar{\theta}}H_{\bar{\varphi}}^{\ast}) 也是紧的. 由于

M_{\varphi}=\left[\begin{array}{cccccc} T_\varphi& & H_{\overline{\varphi}}^{*} \\ H_\varphi && S_\varphi \\ \end{array}\right],

则对于(K_{\theta}^{2})^{\bot}上的对偶截断Toeplitz算子D_{\varphi}, 结合引理4.1可得

U_{\theta}^{\ast}D_{\varphi}U_{\theta}-M_{\varphi}=\left[\begin{array}{cccccc} 0 && H_{\theta\bar{\varphi}-\bar{\varphi}}^{\ast} \\ H_{\theta\varphi-\varphi}& & 0 \\ \end{array}\right]

是一个紧算子, 故D_{\varphi}模掉紧算子后与M_{\varphi}是酉等价的, 即U_{\theta}^{*}D_{\varphi}U_{\theta}=M_{\varphi}{\rm mod} ({\cal K}), 这里{\cal K}表示L^2上的紧算子全体. 由定理2.1知D_{\varphi}={\cal A}\widehat{T}_{\varphi}{\cal A}^{*}, 因此

({\cal A}^{*}U_{\theta})^{*}\widehat{T}_{\varphi}({\cal A}^{*}U_{\theta})=M_{\varphi}{\rm mod} ({\cal K}),

显然{\cal A}^{*}U_{\theta}是酉算子, 故\widehat{T}_{\varphi}模掉紧算子后与M_{\varphi}是酉等价的.证毕.

下述推论可直接由定理3.3得到. 为了文章的完整性, 这里我们给出其另一种证明.

推论4.2u, v为内函数且至少其中一个是非常值的, \varphi_{i} (i=1, 2,\cdots, n)\partial{\Bbb D}上的连续函数, 对于H_{u, v}^2上的调和 Toeplitz算子\widehat{T}_{\varphi_{i}} (i=1, 2,\cdots, n), 则有

\sigma_{e}(\widehat{T}_{\varphi_{1}}\widehat{T}_{\varphi_{2}}\cdots \widehat{T}_{\varphi_{n}})={\rm R}(\varphi_{1}\varphi_{2}\cdots \varphi_{n}).

其中, \sigma_{e}(T)表示算子T的本质谱, {\rm R}(\varphi)表示\varphi的本质值域.

\theta=uvU={\cal A}^{*}U_{\theta}, 记\widetilde{T}_{\varphi}=U^{*}\widehat{T}_{\varphi}U. 由推论4.1知: 若\varphi\partial{\Bbb D}上连续, 则 \widetilde{T}_{\varphi}=M_{\varphi}+K, 这里KL^2上的紧算子. 故可设\widetilde{T}_{\varphi_{i}}=M_{\varphi_{i}}+K_{i}, 其中K_{i} (i=1, 2,\cdots, n)是紧算子, 则

\begin{eqnarray*} \widetilde{T}_{\varphi_{1}}\widetilde{T}_{\varphi_{2}}\cdots \widetilde{T}_{\varphi_{n}} =(M_{\varphi_{1}}+K_{1})(M_{\varphi_{2}}+K_{2})\cdots (M_{\varphi_{n}}+K_{n}) =M_{\varphi_{1}\varphi_{2}\cdots \varphi_{n}}+\widetilde{K}, \end{eqnarray*} 这里\widetilde{K}是紧算子, 所以 \sigma_{e}(\widetilde{T}_{\varphi_{1}}\widetilde{T}_{\varphi_{2}}\cdots \widetilde{T}_{\varphi_{n}}) =\sigma_{e}( M_{\varphi_{1}\varphi_{2}\cdots \varphi_{n}}) ={\rm R}(\varphi_{1}\varphi_{2}\cdots \varphi_{n}).

\begin{eqnarray*} \widetilde{T}_{\varphi_{1}}\widetilde{T}_{\varphi_{2}}\cdots \widetilde{T}_{\varphi_{n}} = (U^{*}\widehat{T}_{\varphi_{1}}U)(U^{*}\widehat{T}_{\varphi_{2}}U)\cdots (U^{*}\widehat{T}_{\varphi_{n}}U) =U^{*}(\widehat{T}_{\varphi_{1}}\widehat{T}_{\varphi_{2}}\cdots \widehat{T}_{\varphi_{n}})U. \end{eqnarray*} 于是 \sigma_{e}(\widehat{T}_{\varphi_{1}}\widehat{T}_{\varphi_{2}}\cdots \widehat{T}_{\varphi_{n}})={\rm R}(\varphi_{1}\varphi_{2}\cdots \varphi_{n}). 证毕.

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