设${\Bbb D}=\{\xi\in{\Bbb C}:|\xi|<1\}$是复平面${\Bbb C}$上的单位圆盘, $\partial{\Bbb D}=\{\xi\in{\Bbb C}:|\xi|=1\}$ 是单位圆周. 记$H^{2}$是经典的Hardy空间, $(H^{2})^{\perp}=\overline{zH^{2}}$是其正交补空间. 记$L^{2}=L^{2}(\partial{\Bbb D})$ 是单位圆周 $\partial{\Bbb D}$上的Lebesgue平方可积函数构成的空间, $L^{\infty}$是单位圆周 $\partial{\Bbb D}$上的本性有界的可测函数全体构成的空间, $H^{\infty}$为单位开圆盘${\Bbb D}$上的有界解析函数全体构成的空间^[1]. 如果$u \in H^{\infty}$且$|u({\rm e}^{{\rm i}t})|=1$在$\partial{\Bbb D}$上几乎处处成立, 则称$u$ 是内函数.

记$P:L^{2}\rightarrow H^{2}$ 为正交投影, 则对于 $\varphi\in L^{\infty}$, 符号为$\varphi$的Toeplitz算子$T_{\varphi}$定义为

Hankel算子$H_{\varphi}$定义为

对偶Toeplitz算子$S_{\varphi}$定义为

容易得到

记$M_{\varphi}$为$L^{2}$上的乘法算子, 且$M_{\varphi} x=\varphi x.$ 则$M_{\varphi}$在空间分解$L^{2}=H^{2}\oplus (H^{2})^{\bot}$ 下可表示为如下$2\times 2$算子矩阵形式

由于$M_{\varphi}M_{\psi}=M_{\varphi\psi},$ 则有

若$\psi\in H^{\infty}$, 则$H_{\psi}=0$, 故有

Toeplitz算子理论发展至今, 已形成一个庞大的知识体系^[2⇓-4], 在物理学, 概率论, 通信理论及控制论等领域中均有重要的应用, 吸引着相关领域的学者们的关注和兴趣. 更多关于Toeplitz算子的相关问题研究可参考文献[5⇓⇓⇓-9].

设$u$是一个非常值内函数, 称$K_{u}^{2}=H^{2}\ominus uH^{2}$为模空间. 显然地, $H^{2}=K_{u}^{2}\oplus uH^{2}, L^{2}=K_{u}^{2}\oplus (K_{u}^{2})^{\bot}=K_{u}^{2}\oplus(uH^{2}\oplus\overline{zH^{2}}).$ 2007 年, Sarason在文献[10] 中引入了模空间$K_{u}^{2}$上的Toeplitz算子, 即截断Toeplitz算子, 引起了众多学者的关注和研究^{[11⇓⇓-14]}.

记$P_{u}:L^{2}\rightarrow K_{u}^{2}$为正交投影, 则对于$\varphi\in L^{2}$, 符号为$\varphi$的截断Toeplitz算子$A_{\varphi}$定义为

截断Hankel算子$B_{\varphi}$定义为

2018年, Sang等^[15]引入了$(K_{u}^{2})^{\bot}$ 上的Toeplitz算子, 即对偶截断 Toeplitz算子, 给出了两个对偶截断Toeplitz算子的乘积为一个有限秩算子的充要条件. 对偶截断Toeplitz算子$D_{\varphi}$定义为

容易得到

与经典的Hardy空间类似, $L^{2}$上的乘法算子$M_{\varphi}$ 在空间分解$L^{2}=K_{u}^{2}\oplus (K_{u}^{2})^{\bot}$下可表示为如下$2\times 2$算子矩阵形式

由于$M_{\varphi}M_{\psi}=M_{\varphi\psi},$ 则有

在2020年, Qin等^[16]引入了调和函数Hardy空间及其上的Toeplitz 算子. 设$u$和$v$是内函数且至少有一个是非常值的, 定义调和Hardy空间$H_{u,v}^{2}$ 为

特别地, $(H_{u,1}^{2})^{\bot}=K_{u}^{2},$ 于是有 $ K_{u}^{2}\subseteq H^{2}\subseteq H_{1,v}^{2}\subseteq L^{2}. $ 记$M_{u}$和$M_{\overline{u}}$为$L^{2}$上由$u$和$\overline{u}$诱导的乘法算子, 则$Q_{u,v}:=M_{u}PM_{\overline{u}}+M_{\overline{v}}P_{-}M_{v}$ 是$L^{2}\rightarrow H_{u,v}^{2}$上的正交投影. 对于 $\varphi\in L^{2}$, 调和Hardy空间$H_{u,v}^{2}$上符号为$\varphi$的调和Toeplitz算子$\widehat{T}_{\varphi}$定义为

调和Hankel算子$\widehat{H}_{\varphi}$定义为

$ \widehat{H}_{\varphi}h=(I-Q_{u,v})(\varphi h), \forall h\in H_{u,v}^{2}. $ 对偶调和Toeplitz算子$\widehat{S}_{\varphi}$定义为 $ \widehat{S}_{\varphi}x=(I-Q_{u,v})(\varphi x),\forall x\in (H_{u,v}^{2})^{\bot}. $

容易得到

乘法算子$M_{\varphi}$在空间分解$L^{2}=H_{u,v}^{2}\oplus (H_{u,v}^{2})^{\bot}$下可表示为如下$2\times 2$算子矩阵形式

因为$M_{\varphi}M_{\psi}=M_{\varphi\psi}$, 则有

本文的内容安排如下: 第二节主要给出了调和Hardy空间上的Toeplitz算子与对偶截断Toeplitz算子的酉等价性, 根据该结论并结合对偶截断Toeplitz算子的相关性质; 本文的第三节给出了两个调和Toeplitz算子的可交换性的充要刻画, 调和Toeplitz代数的性质, 以及调和Toeplitz 算子$\widehat{T}_{z}$的换位子的刻画; 在本文的第四节中, 我们研究并得到了一些特殊符号的有限多个调和Toeplitz算子乘积的谱与紧性的刻画.

算子的酉等价性在研究算子结构中起着至关重要的作用. 一直以来众多的学者想要在Hilbert空间上研究有界线性算子的酉等价性, 但想要找到两个算子在什么条件下是酉等价是相当困难的. 1985年, 孙顺华^[17]证明了Cowen问题之一的答案是否定的; Cima 等^[18]证明了所有秩一算子, $2\times2$矩阵和正规算子与截断Toeplitz算子是酉等价的.

本节主要证明了$H_{u,v}^2$上的调和Toeplitz算子与$(K_{uv}^{2})^{\bot}$上的对偶截断Toeplitz算子是酉等价的.

设$u$和$v$是内函数且至少其中之一是非常值的, 则

对任意的$h\in H_{u,v}^{2}$, 则$h$可唯一分解为: $h=ux+\bar{v}\overline{zy}$, 其中, $x, y\in H^{2}$. 由于对偶Toeplitz算子的性质已有很多相关结果, 而调和Toeplitz算子是最近由Qin 等^[16]引入的, 其性质还有待研究, 故下面我们所给出的$H_{u,v}^2$上的调和Toeplitz算子与$(K_{uv}^{2})^{\bot}$上的对偶截断Toeplitz算子是酉等价的结论是十分有意义的.

定理2.1 设$f \in L^{\infty}$, $u, v$是内函数且至少其中一个是非常值的, 令$\theta=uv$, 则$H_{u,v}^{2}$上的调和 Toeplitz算子$\widehat{T}_{f}$与$(K_{\theta}^{2})^{\bot}$上的对偶截断Toeplitz算子$D_{f}$是酉等价的.

证 定义算子${\cal A}:H_{u,v}^{2}\rightarrow(K_{uv}^{2})^{\bot}$ 为

容易验证${\cal A}$满足

因此${\cal A}$是有界线性算子. 对于任意的$g=uvx+\overline{zy}\in (K_{uv}^{2})^{\bot}$, 这里$x, y \in H^2$, 则有$h=ux+\bar{v}\overline{zy} \in H_{u,v}^2$满足${\cal A}h=g$, 故${\cal A}$是酉算子且${\cal A}^{*}(uvx+\overline{zy})=ux+\overline{vzy}.$

对于$\forall x, y\in L^{2}$, 有

于是

所以$\widehat{T}_{f}{\cal A}^{*}={\cal A}^{*}D_{f},$ 故$\widehat{T}_{f}={\cal A}^{*}D_{f}{\cal A},$ 即$\widehat{T}_{f}$与$D_{f}$是酉等价的.证毕.

由上述结论，则显然有以下推论.

推论2.1 设$f \in L^{\infty}$, $u, v$是内函数且至少其中一个是非常值的,

则$H^2_{u,v}$上的调和 Toeplitz 算子$\widehat{T}_{f}$和$H^2_{v,u}$上的调和Toeplitz算子$\widehat{\mathsf{T}}_{f}$是酉等价的.

证 由于$(K_{uv}^2)^{\bot}=(K_{vu}^2)^{\bot}$, 根据定理2.1可知$H^2_{u,v}$上的调和Toeplitz算子$\widehat{T}_{f}$和$H^2_{v,u}$上的调和Toeplitz算子$\widehat{\mathsf{T}}_{f}$均与$(K_{uv}^2)^{\bot}$上的对偶截断Toeplitz算子$D_{f}$是酉等价的, 从而$\widehat{T}_{f}$和$\widehat{\mathsf{T}}_{f}$是酉等价的. 证毕.

特别地, 当内函数$v=1$时, 结合定理2.1和上述推论则有如下推论.

推论2.2 设$f \in L^{\infty}$, $u$是非常值的内函数, 则$H_{1,u}^2(=H^2 \oplus \overline{uzH^2})$上的调和 Toeplitz算子$\widehat{\mathsf{T}}_{f}$与$(K_u^2)^{\bot}(=uH^2 \oplus \overline{zH^2})$上的对偶截断Toeplitz算子$D_{f}$是酉等价的.

根据上一节的主要结果以及Sang, Qin和本文的第一作者、第三作者所给出的关于对偶截断Toeplitz算子的一些已有结果^{[15-16,19-20]}, 本节我们得到了调和Hardy空间上的调和Toeplitz算子在交换性, 调和Toeplitz代数, 换位子等方面的一些结论. 本节证明全部省略.

根据Sang等^[19]关于两个对偶截断Toeplitz算子可交换的充要刻画, 则可得

定理3.1 设$f, g \in L^{\infty}$, $u, v$是内函数且至少其中一个是非常值的, 则$\widehat{T}_{f}\widehat{T}_{g}=\widehat{T}_{g}\widehat{T}_{f}$当且仅当下述条件之一成立

(1) 存在$\lambda\in {\Bbb C}$, 使得$f, g, \bar{f}(uv-\lambda)$及$\bar{g}(uv-\lambda)$均在$H^2$中;

(2) 存在$\lambda\in {\Bbb C}$, 使得$\bar{f}, \bar{g}, f(uv-\lambda)$及$g(uv-\lambda)$均在$H^2$中;

(3) 存在$a, b, c \in {\Bbb C}$且$|a|+|b| \neq 0$, 使得$af+bg=c$.

设$u, v$是内函数且至少其中一个是非常值的, 记$B(H_{u,v}^2)$为$H_{u,v}^2$上的所有有界线性算子的全体. 设$\mathfrak{X}$为$L^{\infty}$的闭自伴子代数, 记

为$B(H_{u,v}^2)$的包含$\{\widehat{T}_{\varphi}: \varphi \in \mathfrak{X}\}$且在范数意义下封闭的最小子代数, 从而${\cal T}_{\mathfrak{X}}$是由$\{\widehat{T}_{\varphi}: \varphi \in \mathfrak{X}\}$所生成的$C^{*}$-代数.

将${\cal T}_{\mathfrak{X}}$中由所有的半换位子

所生成的${\cal T}_{\mathfrak{X}}$的一个闭理想称为半换位子理想, 并记为$\mathfrak{S}{\cal T}_{\mathfrak{X}}$.

将${\cal T}_{\mathfrak{X}}$中由所有的换位子

所生成的${\cal T}_{\mathfrak{X}}$的一个闭理想称为换位子理想, 并记为$\mathfrak{C}{\cal T}_{\mathfrak{X}}$.

根据Sang等^[9]所给出的对偶截断Toeplitz $C^{*}$ -代数的刻画以及调和Toeplitz算子和对偶截断Toeplitz算子的酉等价性, 我们得到了如下关于调和Toeplitz代数${\cal T}_{L^{\infty}}$和${\cal T}_{C({\Bbb T})}$的结构定理.

定理3.2 序列

是一个短正合列, 即, 商代数${\cal T}_{L^{\infty}}/\mathfrak{S}{\cal T}_{L^{\infty}}$与$L^{\infty}$是$*$-等距同构的.

定理3.3 序列

是一个短正合列, 其中${\cal K}$为$H_{u,v}^2$上的所有紧算子全体.

记Hilbert空间$H$上所有与算子$T$可交换的算子的集合为$\{T\}^{'}$, 即

其中$B(H)$为Hilbert空间$H$上的所有有界线性算子全体.

下面根据Sang等^[20]给出的关于对偶截断Toeplitz 算子$D_z$的换位子的刻画, 我们可以得到$H_{u,v}^2$ 上的调和移位Toeplitz算子$\widehat{T}_z$ 的换位子的刻画如下, 其中${\cal A}$为定理2.1的证明中所定义的酉算子.

定理3.4 设$u, v$是内函数且至少其中一个是非常值的. 令$\theta=uv$.

(1) 若$\theta(0)=0$, 则

这里上述矩阵是在分解$H_{u,v}^2=uH^2\oplus \bar{v}\overline{zH^2}$下给出的, 其中, 对任意的$x \in \theta H^2$, $t_{\varphi}x=M_{\theta}PM_{\bar{\theta}}(\varphi x)$称为定义在$\theta H^2$上的小Toeplitz算子, $b_{f\bar{\theta}}x=P_{-}(f\bar{\theta}x)$ 称为定义在$\theta H^2$上的小Hankel算子;

(2)若$\theta(0)\neq 0$, 则

而且, 进一步地, 可以得到如下结论.

定理3.5 设$u, v$为非常值的内函数, 对$H_{u,v}^2$上的调和Toeplitz算子则有

更一般地, 则有

本节我们主要给出了连续符号的调和Toeplitz算子与乘法算子的关系以及一些特殊符号的有限个调和Toeplitz算子的乘积$\widehat{T}_{\varphi_{1}}\widehat{T}_{\varphi_{2}}\dots\widehat{T}_{\varphi_{n}}$ 的本质谱刻画.

定义$L^{2}=H^{2}\oplus\overline{zH^{2}}\rightarrow [K_{u}^{2}]^{\bot}=uH^{2}\oplus\overline{zH^{2}}$上的算子

其中, $M_{u}$是$H^{2}$上的乘法算子, $I_{\overline{zH^{2}}}$是$\overline{zH^{2}}$上的恒等算子. 易知, $U_{u}$是一个酉算子. 下述的$2\times2$矩阵表示表明了对偶截断Toeplitz算子与Toeplitz算子, Hankel 算子以及截断 Toeplitz算子有着密不可分的联系.

引理4.1^[19] 若$\varphi\in L^{\infty}$, 则在空间分解$L^{2}=H^{2}\oplus\overline{zH^{2}}$有

若$\varphi\in H^{2}$, 则有

推论4.1 设$u, v$为内函数且至少其中一个是非常值的, $\varphi$为$\partial{\Bbb D}$上的连续函数, 则$H_{u, v}^2$上的调和Toeplitz 算子$\widehat{T}_{\varphi}$模掉紧算子后与$M_{\varphi}$是酉等价的.

证 令$\theta=uv$, 显然$\theta$为内函数. 因为$\varphi$在$\partial{\Bbb D}$上连续, 由文献[3] 可知$H_{\varphi}$和$H_{\overline{\varphi}}^{*}$ 是紧的, 则有$H_{\theta\varphi}(=H_{\varphi}T_{\theta})$ 和$H_{\theta\bar{\varphi}}^{\ast} (=T_{\bar{\theta}}H_{\bar{\varphi}}^{\ast})$ 也是紧的. 由于

则对于$(K_{\theta}^{2})^{\bot}$上的对偶截断Toeplitz算子$D_{\varphi}$, 结合引理4.1可得

是一个紧算子, 故$D_{\varphi}$模掉紧算子后与$M_{\varphi}$是酉等价的, 即$U_{\theta}^{*}D_{\varphi}U_{\theta}=M_{\varphi}{\rm mod} ({\cal K})$, 这里${\cal K}$表示$L^2$上的紧算子全体. 由定理2.1知$D_{\varphi}={\cal A}\widehat{T}_{\varphi}{\cal A}^{*}$, 因此

显然${\cal A}^{*}U_{\theta}$是酉算子, 故$\widehat{T}_{\varphi}$模掉紧算子后与$M_{\varphi}$是酉等价的.证毕.

下述推论可直接由定理3.3得到. 为了文章的完整性, 这里我们给出其另一种证明.

推论4.2 设$u, v$为内函数且至少其中一个是非常值的, $\varphi_{i} (i=1, 2,\cdots, n)$是$\partial{\Bbb D}$上的连续函数, 对于$H_{u, v}^2$上的调和 Toeplitz算子$\widehat{T}_{\varphi_{i}} (i=1, 2,\cdots, n)$, 则有

其中, $\sigma_{e}(T)$表示算子$T$的本质谱, ${\rm R}(\varphi)$表示$\varphi$的本质值域.

证 令$\theta=uv$和$U={\cal A}^{*}U_{\theta}$, 记$\widetilde{T}_{\varphi}=U^{*}\widehat{T}_{\varphi}U$. 由推论4.1知: 若$\varphi$在$\partial{\Bbb D}$上连续, 则 $\widetilde{T}_{\varphi}=M_{\varphi}+K,$ 这里$K$为$L^2$上的紧算子. 故可设$\widetilde{T}_{\varphi_{i}}=M_{\varphi_{i}}+K_{i}$, 其中$K_{i} (i=1, 2,\cdots, n)$是紧算子, 则

$\begin{eqnarray*} \widetilde{T}_{\varphi_{1}}\widetilde{T}_{\varphi_{2}}\cdots \widetilde{T}_{\varphi_{n}} =(M_{\varphi_{1}}+K_{1})(M_{\varphi_{2}}+K_{2})\cdots (M_{\varphi_{n}}+K_{n}) =M_{\varphi_{1}\varphi_{2}\cdots \varphi_{n}}+\widetilde{K}, \end{eqnarray*}$ 这里$\widetilde{K}$是紧算子, 所以 $ \sigma_{e}(\widetilde{T}_{\varphi_{1}}\widetilde{T}_{\varphi_{2}}\cdots \widetilde{T}_{\varphi_{n}}) =\sigma_{e}( M_{\varphi_{1}\varphi_{2}\cdots \varphi_{n}}) ={\rm R}(\varphi_{1}\varphi_{2}\cdots \varphi_{n}). $ 而

$\begin{eqnarray*} \widetilde{T}_{\varphi_{1}}\widetilde{T}_{\varphi_{2}}\cdots \widetilde{T}_{\varphi_{n}} = (U^{*}\widehat{T}_{\varphi_{1}}U)(U^{*}\widehat{T}_{\varphi_{2}}U)\cdots (U^{*}\widehat{T}_{\varphi_{n}}U) =U^{*}(\widehat{T}_{\varphi_{1}}\widehat{T}_{\varphi_{2}}\cdots \widehat{T}_{\varphi_{n}})U. \end{eqnarray*}$ 于是 $\sigma_{e}(\widehat{T}_{\varphi_{1}}\widehat{T}_{\varphi_{2}}\cdots \widehat{T}_{\varphi_{n}})={\rm R}(\varphi_{1}\varphi_{2}\cdots \varphi_{n}).$ 证毕.