肿瘤通常由不同性态的细胞构成, 例如处于繁衍态的细胞、已死亡但尚未消解的细胞和处于休眠态的细胞. 二十世纪七十年代, Greenspan^[14-15] 首次提出了以反应扩散方程自由边界问题表述的肿瘤生长模型. 此后, 数学工作者不断发展并建立了多种描述肿瘤生长的偏微分方程模型, 得到了丰富的数值结果, 还建立了包括存在性、唯一性、稳定性定理等在内的许多严格数学分析结果, 参见文献[1⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-9,11⇓-13,16⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-29]以及其中的参考文献.

本文考虑如下具血管生成和周期营养供给的球对称含死核肿瘤生长自由边界问题

这里 $\sigma(r,t)$ 表示肿瘤内的营养物浓度, $r=|x|$, $x\in\Bbb R^3$, $R(t)$ 为肿瘤半径, $H(s)$ 为 Heaviside 函数, 即当 $s\leq0$ 时 $H(s)=0$, 当 $s>0$ 时 $H(s)=1$, 函数 $f(\sigma)H(\sigma-\sigma_D)$ 和

分别表示营养物消耗速率和肿瘤细胞生存速率, $\beta$, $\sigma_D$ 和 $\nu$ 为正常数, 其中 $\beta$ 依赖于血管分布密度, $\sigma_D$ 为肿瘤细胞繁衍所需的营养物浓度阈值, $\nu$ 表示坏死细胞的消解速率, $\phi(t)$ 是以 $\omega>0$ 为周期的正连续函数, 它反映了肿瘤周围的营养物浓度是周期变化的, $R_0>0$ 为给定的初始肿瘤半径.

我们首先回顾一些相关工作. 若(1.3)式为 Dirichlet 边界条件

且

则问题(1.1)-(1.5)由 Cui^[7] 提出, 对给定的 $R(t)$, 利用方程(1.1),(1.2),(1.7)的显式解, Cui^[7] 建立了该问题稳态解的存在性、唯一性和全局渐近稳定性, 并给出了肿瘤生长过程中无死核期和有死核期之间的相互转换. 而若(1.3)式为 Robin 边界条件

且函数 $f$, $g$ 仍由(1.8)式给出, Xu-Su^[26]得到了与文献[7]相平行的结果. 最近, Wu-Wang^[24] 和 Song-Hu-Wang^[22] 分别将他们的结果推广到了 $f$ 和 $g$ 均是一般非线性函数的情形上. 由于非线性问题不再具有显式解, 所以需要对未知函数之间的关系进行更深入的探究.

实际上, 包括人在内的多种动物有自己的饮食规律, 他们血液中的营养物浓度会随时间周期变化^[10]. 因此, 建立在外部营养物浓度为周期函数假设下的肿瘤模型更合理. 2013 年, Bai-Xu^[1] 考虑了问题(1.1)-(1.5)带有周期边界条件

且 $f$, $g$ 为线性函数的无死核情形, 即对任意 $t>0$ 和 $0<r<R(t)$, 有 $\sigma(r,t)>\sigma_D$. 针对零稳态的全局稳定性, 他们建立了下列必要条件

和充分条件

而当

时, 他们证明了问题存在唯一的稳定的正周期解. 2021 年, He 和Xing^[17] 对上述结果做了本质的补充和改进, 证明了当 $\frac1{\omega}\int^\omega_0\phi(t){\rm d}t-\tilde\sigma=0$ 时, 零稳态仍是全局稳定的, 唯一的稳定的正周期解存在当且仅当 $\frac1{\omega}\int^\omega_0\phi(t){\rm d}t-\tilde\sigma>0$. Wu-Xu^[25] 则对具周期边界条件(1.10), $f$ 和 $g$ 是一般非线性函数的问题(1.1)-(1.5)讨论了适定性和解的渐近性态. 对于其他相关的研究, 读者可参见文献[2-3,6,9,11,16,19,21,27].

受到以上工作的启发, 本文将考虑问题(1.1)-(1.5), 探究适定性、解的渐近性态, 以及血管生成、外部营养周期供给对含死核肿瘤生长动力学行为的影响. 本文假设

(A1) $f\in C^1[0,+\infty)$ 严格单调增加, 且 $f(0)=0$;

(A2) $g \in C^1[0,+\infty)$ 严格单调增加, 且存在 $\tilde\sigma>\sigma_D$ 使得 $g(\tilde\sigma)=0$;

(A3) $g(\sigma_D)+\nu\geq0$.

这里关系式 $g(\sigma_D)+\nu \geq 0$ 表明当 $\sigma=\sigma_D$ 时, 活细胞体积的减小速率不会大于坏死细胞的消解速率^[7].

称$(\sigma(r,t),R(t))$ 为问题(1.1)-(1.5)的解, 若 $R(t)\in C^1(0, +\infty)$, 且满足方程(1.4),(1.5); 另外, 当肿瘤无死核时, $\sigma(r,t)\in C^2((0,R(t))\times(0,+\infty))$, 且逐点满足方程(1.1); 而当肿瘤含有死核时, $\sigma(r,t)\in C^1((0,R(t))\times(0,+\infty))$, 在死核区域和繁衍区域分别是 $C^2$ 函数, 且分别逐点满足方程(1.1); 最后, 方程(1.2)和(1.3)逐点成立. 记

它表示当肿瘤内的营养物浓度等于其周围的营养物浓度时, 繁衍速率在一个周期内的平均值. 下面, 我们给出本文的主要结果.

定理1.1 假设条件 (A1)-(A3) 成立, 则对任意初值 $R_0>0$, 问题(1.1)-(1.5)存在唯一的解 $(\sigma(r,t),R(t,R_0))$$(0\le r\le R(t,R_0), t\ge0)$, 并且下列结论成立

(i) 若 $\bar{S}\le0$, 则对于任意初值 $R_0>0$, 有 $\lim\limits_{t\to+\infty}R(t,R_0)=0$;

(ii) 若对某个初值 $R_0>0$, 有 $\lim\limits_{t\to+\infty}R(t,R_0)=0$, 则 $\bar{S}\le0$;

(iii) 若 $\bar{S}>0$, 则问题(1.1)-(1.4)存在唯一的正 $\omega$ - 周期解 $(\sigma_{\rm per}(r,t),R_{\rm per}(t))$$(0\le r\le R_{\rm per}(t))$, 且对任意初值$R_0>0$, 有

定理1.1 对问题(1.1)-(1.5)的解的渐近性态给出了完整分类. 不难看出, 我们的结果和文献[17,25]中的结果是一致的. 问题(1.1)-(1.5)除了包含一般的非线性营养物消耗速率函数和肿瘤细胞繁衍速率函数、Robin 边界条件和周期营养供给函数, 还可能有死核的存在, 以致其可能会含有两条不同类型的自由边界. 所有这些使得研究更加困难、更具挑战性. 本文证明的想法源于文献[17,25,29], 并且本质地依赖于我们之前在文献[22]中关于特殊情形 $\phi(t)\equiv\bar\sigma$ 所做的分析.

本文余下部分安排如下. 在第 2 节中, 我们介绍并建立一些辅助引理. 在第 3 节中, 我们证明定理 1.1. 最后一节给出本文主要结论的生物学解释.

在本节中, 我们做一些准备工作. 对任意给定的 $\bar\sigma>0$ 和 $R>0$, 考虑问题

则由文献[22]立刻可以得到如下结果.

引理2.1 设 (A1) 成立, 则问题(2.1)存在唯一的解 $\sigma(r,\bar\sigma,R)$, 并且下列断言成立

(a) 当 $0<\bar\sigma\le\sigma_D$ 时, 对任意 $R>0$, 有

(b) 当 $\bar\sigma>\sigma_D$ 时, 参数 $R$ 存在一阈值 $R_c$, 其依赖于 $\bar\sigma$, 且 $R_c'(\bar\sigma)>0$,

确切地说,

(b1) 如果 $0<R\leq R_c(\bar\sigma)$, 那么 $\sigma(0,\bar\sigma,R)\ge\sigma_D$, 对 $0<r\le R$, 有 $\sigma_r(r,\bar\sigma,R)>0$, 且 $\sigma(r,\bar\sigma,R)$ 满足

(b2) 如果 $R>R_c(\bar\sigma)$, 那么

其中 $(V(r,\bar\sigma,R),\rho(\bar\sigma,R))$ 满足

且对 $\rho(\bar\sigma,R)<r\le R$, $\frac{\partial V}{\partial r}(r,\bar\sigma,R)>0$, 对 $R>R_c(\bar\sigma)$, $\frac{\partial}{\partial R}\left(\rho(\bar\sigma,R)/R\right)>0$,

注2.1 对固定的 $\hat{R}>0$, 有

事实上, 由(2.3)和(2.6)式知

于是

利用它即可得(2.8)式.

对任意 $\bar\sigma>0$ 和 $R>0$, 定义

其中 $\sigma(r,\bar\sigma,R)$ 是问题(2.1)的解, 则利用引理 2.1、注 2.1 和假设 (A2), 可以推出

且 $G$ 在 $(0,+\infty)\times(0,+\infty)$ 中连续. 进一步, 我们有下面的结果.

引理2.2 在假定 (A1)-(A3) 下, 下列结论成立

(i) 当 $\bar\sigma>\sigma_D$, $R>0$ 时, $G(\bar\sigma,R)$ 关于 $\bar\sigma$ 严格单调增加, 关于 $R$ 严格单调减少;

(ii) 对任意固定的 $\bar\sigma>\sigma_D$, 有

证 (i) 为了简洁起见, 这里我们只证明函数 $G$ 关于 $\bar\sigma$ 的严格单调增加性, 对 $G$ 关于 $R$ 的严格单调减少性, 读者可参见文献[22]. 对给定的 $R_*>0$, 如果存在 $\bar\sigma_*>\sigma_D$ 使得 $R_c(\bar\sigma_*)=R_*$, 那么记 $\bar\sigma_*=R_c^{-1}(R_*)$, 否则记 $\bar\sigma_*=+\infty$. 我们断言当 $\sigma_D<\bar\sigma<\bar\sigma_*$ 或者 $\bar\sigma>\bar\sigma_*$ 时, 有 $\partial_{\bar\sigma}G(\bar\sigma,R_*)>0$. 事实上, 当 $\sigma_D<\bar\sigma<\bar\sigma_*$ 时, 根据(2.10)和(2.6)式可以得到

和

对问题(2.13)应用强极值原理, 有

再结合假设 (A2) 和 (A3), 就有

然而当 $\bar\sigma>\bar\sigma_*$ 时, 因为这时 $R_*<R_c(\bar\sigma)$, 故由(2.10)和(2.4)式知

再次利用强极值原理和假设 (A2), 我们得到当 $\bar\sigma>\bar\sigma_*$ 时, 有 $\partial_{\bar\sigma}G(\bar\sigma,R_*)>0$. 由此以及(2.14)式, 函数 $G$ 的连续性和 $R_*$ 的任意性即得函数 $G(\bar\sigma,R)$ 在点集 $\{(\bar\sigma,R):\bar\sigma>\sigma_D, R>0\}$ 中关于 $\bar\sigma$ 是严格单调增加的.

(ii) 对任意 $\bar\sigma>\sigma_D$ 和充分小的 $R$, 有

如果令

那么(2.15)式可被改写为

因为对任意 $0\le s\le1$, 有 $\lim\limits_{R\to0^+}U(s,\bar\sigma,R)=\bar\sigma$ (见文献 [22,(2.18)式]), 故根据 Lebesgue 控制收敛定理, 立即可得到(2.11)式中的第一个等式. 另一方面, 对 $\bar\sigma>\sigma_D$ 和足够大的 $R$, 由(2.10)式有

利用引理 2.1 中的结论 (b2), 在(2.16)式中令 $R\to+\infty$, 可知(2.11)式中的第二个等式成立. 证毕.

注2.2 在假定 (A2) 和 (A3) 下, 由(1.6)式定义的函数 $S(\bar\sigma)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是不减的, 而且根据函数 $G$ 的定义和引理 2.2, 对任意 $\bar\sigma>0$ 和 $R>0$, 有

在本节中, 我们证明定理 1.1. 为方便, 我们将定理 1.1 分为三个命题. 首先对任意 $R_0>0$, 建立问题(1.1)-(1.5)时变解的存在性和唯一性.

命题3.1 设 (A1)-(A3) 成立, 则对任意 $R_0>0$, 问题(1.1)-(1.5)存在唯一的解 $(\sigma(r,t)$, $R(t,R_0))$$(0\le r\le R(t,R_0)$, $t\ge0)$.

证 在任意时刻 $t>0$ 和对任意给定的 $R(t)>0$, 由引理 2.1 可得方程(1.1)-(1.3)唯一解 $\sigma(r,\phi(t),R(t))$ 的存在性和正则性. 将 $\sigma(r,\phi(t),R(t))$ 代入(1.4)式, 我们得到下列初值问题

其中函数 $G$ 的表示式为(2.9)式. 应用引理 2.2, $G$ 和 $\phi(t)$ 的连续性, 以及常微分方程经典理论, 可知问题(3.1)存在唯一的整体 $C^1$ - 解 $R(t,R_0)$, 且

证毕.

在讨论问题(3.1)零稳态的稳定性之前, 我们引入记号

命题3.2 设 (A1)-(A3) 成立, $R(t,R_0)$ 为问题(3.1)的唯一解, 则下列结论成立

(i) 如果 $\bar{S}\le0$, 那么对任意给定的初值 $R_0>0$, 有 $\lim\limits_{t\to+\infty}R(t,R_0)=0$;

(ii) 如果对某初值 $R_0>0$, 有 $\lim\limits_{t\to+\infty}R(t,R_0)=0$, 那么 $\bar{S}\le0$.

证 为了方便, 我们将结论 (i) 的证明分三步.

第一步 我们证明对任意 $a\ge0$ 和 $t\ge a$, 有

事实上, 对任意给定的 $t_2\ge t_1\ge0$, 由(3.1),(3.2)和(2.17)式, 有

于是

设 $a\le t\le a+\omega$, 则由(3.5)式知

下面, 我们证明

因为存在唯一的非负整数 $k$ 使得 $k\omega\le a<(k+1)\omega$, 故对 $a\le t\le a+\omega$, 有 $k\omega\le a\le t<(k+1)\omega$ 或者 $k\omega\le a<(k+1)\omega\le t\le a+\omega<(k+2)\omega$. 如果 $k\omega\le a\le t<(k+1)\omega$, 那么

而如果 $k\omega\le a<(k+1)\omega\le t\le a+\omega<(k+2)\omega$, 那么

因此, 不论在哪种情况下(3.8)式都成立. 结合(3.7)和(3.8)式, 我们得到

最后, 由(3.6)和(3.9)式即可得(3.4)式.

第二步 我们断言

用反证法. 假设(3.10)式不成立, 则由(3.6)式, 对某 $\alpha>0$ 有

于是, 存在 $M>0$ 使得当 $t\ge M$ 时,

因此, 对任意固定的 $t_*>M$ 和任意的正整数 $n$, 应用引理 2.2 可知

下面证明

注意到

如果 $\{0\le\tau\le\omega: \phi(\tau)>\sigma_D\}=\emptyset$, 那么由(2.10)式, 有

而如果 $\{0\le\tau\le\omega: \phi(\tau)>\sigma_D\}\neq\emptyset$, 那么利用引理 2.2 和 $\phi(t)$ 的连续性, 可得

于是得到了所需的结果(3.8)式. 在(3.12)式中令 $n\to+\infty$, 应用(3.8)式, 则有

这与(3.11)式矛盾. 因此,(3.10)式成立.

第三步 我们证明

对任意给定的 $\varepsilon>0$, 由(3.10)式知, 存在 $t_\varepsilon>0$ 使得

它和(3.4)式表明当 $t\ge t_\varepsilon$ 时, 有

从而(3.14)式成立, 即结论 (i) 得证.

现在我们转到结论 (ii) 的证明. 用反证法. 若 $\bar{S}>0$, 则由(2.11)式和 Lebesgue 控制收敛定理, 我们得到

因此, 存在 $\delta>0$ 使得 $\int^{\omega}_0 G(\phi(t),\delta){\rm d}t>0$. 因为 $\lim\limits_{t\to\infty}R(t,R_0)=0$, 故对上述 $\delta>0$, 存在 $T>0$ 使得当 $t\ge T$ 时, 有

于是, 应用引理 2.2 中的结论 (i) 便可知对任意 $t\ge T$, 有

这与 $\lim\limits_{t\to\infty}R(t,R_0)=0$ 矛盾. 从而必有 $\bar{S}\le0$. 证毕.

注3.1 在得到命题 3.2 中结论 (i) 的过程中, 困难的部分是当 $\bar{S}=0$ 时零稳态的全局稳定性的证明. 事实上, 若 $\bar{S}<0$, 则由(3.5)式可知对任意固定的 $t_0\ge0$, 有

于是

进一步, 我们可以建立 $\lim\limits_{t\to\infty}R(t,R_0)=0$. 然而, 若 $\bar{S}=0$, 则(3.15)式变为

这时利用它不再能得到想要的结果. 为此, 我们采用了文献[17]中的方法. 具体来讲, 我们首先利用序列 $\{R(t+n\omega,R_0)\}$ 关于 $n$ 不增的性质 (见(3.6)式) 和在一个周期 $[a,a+\omega]$ 内, $R(t,R_0)$ 能够被 $CR(a,R_0)$ 控制的事实 (见(3.9)式) 推出(3.4)式, 然后结合(3.10)式, 便可得到结论.

最后, 我们讨论问题(3.1)的正周期解的存在性、唯一性和稳定性.

命题3.3 设 (A1)-(A3) 成立, 且 $\bar{S}>0$, 则问题(3.1)存在唯一的正 $\omega$ -周期解 $R_{\rm per}(t)$, 而且对任意初值 $R_0>0$, 有

证 我们首先建立正 $\omega$ - 周期解的存在性. 记 $\phi^*=\max\limits_{0\le t\le\omega}\phi(t)$, 则由 $\bar{S}>0$ 知 $\phi^*>\tilde\sigma>\sigma_D$, $g(\phi^*)>0$. 因此, 应用引理 2.2 可得, 存在唯一的 $R^+>0$ 使得 $G(\phi^*,R^+)=0$, 并且对任意 $R_0>0$ 和 $t\ge0$, 有

对给定的 $R_0$, 令 $R_n=R(n\omega,R_0)$, $n=1,2,\cdots$. 由问题(3.1)解的唯一性, 可知 $R_n=R(\omega,R_{n-1})$ 且 $\{R_n\}_{n\ge0}$ 为一单调序列. 事实上, 若 $R_0=R_1$, 则注意到 $R_1=R(\omega,R_0)$, $R_2=R(\omega,R_1)$, 故 $R_1=R_2$. 依次类推, 可以得到 $R_0=R_1=R_2=\cdots=R_n=R_{n+1}=\cdots$. 而若 $R_0<R_1$, 则由 $R_1=R(\omega,R_0)$ 和 $R_2=R(\omega,R_1)$ 知 $R_1\le R_2$. 从而在这种情况下有 $R_0<R_1\le R_2\le \cdots\le R_n\le R_{n+1}\le \cdots$. 同理, 若 $R_0>R_1$, 则有 $R_0>R_1\ge R_2\ge\cdots\ge R_n\ge R_{n+1}\ge\cdots$. 结合(3.17)式, 应用单调有界收敛准则知当 $n\to\infty$ 时, $\{R_n\}$ 收敛于某非负常数 $R^\#$. 下面, 我们证明

为此, 我们只需要考虑情形 $R_0>R_1> R_2>\cdots>R_n>R_{n+1}>\cdots$. 这时, 类似于(3.4)式, 对任意 $n\ge0$ 和 $t\ge n\omega$, 有

如果 $\lim\limits_{n\to\infty}R_n=R^\#=0$, 那么 $\lim\limits_{t\to+\infty}R(t,R_0)=0$. 结合命题 3.2 中的结论 (ii) 知 $\bar{S}\le0$, 这与假设 $\bar{S}>0$ 矛盾. 因此,(3.18)式成立. 接下来, 我们证明以 $R^\#$ 为初值的解 $R(t,R^\#)$ 恰好是一个 $\omega$ - 周期函数. 由于

所以

或者等价地,

于是

再结合问题(3.1)解的唯一性, 便可得对任意 $t\ge0$, 有 $R(t+\omega,R^\#)=R(t,R^\#)$. 从而证得正 $\omega$ - 周期解的存在性.

其次, 假设 $R_{\rm per}(t)$ 是问题(3.1)的一个正 $\omega$ - 周期解, 证明对任意 $R_0>0$,(3.16)式成立. 不失一般性, 我们假设对任意 $t\ge0$, 有 $R(t,R_0)<R_{\rm per}(t)$. 如果写

那么在区间 $[0,+\infty)$ 中 $\beta(t)<0$, 且由(3.1)式知

利用引理 2.2, 可得 $\frac{{\rm d}\beta}{{\rm d}t}\ge0$. 进一步, 我们证明

用反证法, 假设 $\beta_{\infty}<0$. 由 $\beta(t)\le\beta_\infty$ 和(3.20)式, 有

另一方面, 由 $\bar{S}>0$ 知存在一闭子区间 $[a,b]\subset[\omega]$ 使得在 $[a,b]$ 上 $\phi(t)>\sigma_D$. 于是, 应用引理 2.2, 可得

结合(3.22)和(3.23)式, 便有

这与

矛盾. 从而(3.21)式成立. 由它和(3.19)式即可得到(3.16)式.

最后, 我们证明问题(3.1)正 $\omega$ -周期解的唯一性. 设 $R^1_{\rm per}(t)$ 和 $R^2_{\rm per}(t)$ 为问题(3.1)的两个正 $\omega$ -周期解, 则由(3.16)式知对任意固定的 $t\ge0$, 有

这表明 $R^1_{\rm per}(t)=R^2_{\rm per}(t)$. 证毕.

本文针对具血管生成和周期营养供给的含死核球对称肿瘤生长自由边界问题, 研究了适定性和解的渐近性态, 证明了若 $\frac1{\omega}\int^{\omega}_0S(\phi(t)){\rm d}t\le0$, 则所有肿瘤将最终消失, 反之亦然; 若 $\frac1{\omega}\int^{\omega}_0S(\phi(t)){\rm d}t>0$, 则问题存在唯一的稳定的正周期解.

众所周知, 外部的营养供给对肿瘤生长起着至关重要的作用. 本文结果表明, 如果 $\frac1{\omega}\int^{\omega}_0S(\phi(t)){\rm d}t\le0$, 那么类似于恒定营养供给的情形 (参见文献[22]), 肿瘤将最终消失, 而如果 $\frac1{\omega}\int^{\omega}_0S(\phi(t)){\rm d}t>0$, 那么由于营养周期供给的原因, 肿瘤会被诱导出一种周期性生长态, 且肿瘤生长将最终与周期变化的外部营养供给同步. 换句话说, 肿瘤的生长模式有可能通过调节外部营养供给方式来控制. 这些结果可能为更好、更深入地理解肿瘤的生长机制和医学治疗提供理论参考.

本文证明了当 $\frac1{\omega}\int^{\omega}_0S(\phi(t)){\rm d}t>0$ 时, 唯一的正周期态在球对称扰动下是全局渐近稳定的. 然而, 在实际中, 肿瘤一般是不会严格按照球状生长的. 因此, 人们很自然地想要探究当扰动是非球对称时, 正周期态是否还是稳定的? 对于由(1.8)式给出的线性函数 $f$, $g$, 文献[17⇓-19,28]分析了相应的无死核肿瘤模型的正周期态在非球对称扰动下的渐近稳定性, 发现存在一阈值 $\mu_*$ 使得当 $\mu<\mu_*$ 时, 唯一的正周期态是渐近稳定的, 当 $\mu>\mu_*$ 时, 它是不稳定的. 2006 年, Friedman^[12] 把含死核的球对称稳态在非球对称扰动下是否渐近稳定作为一个公开问题提出 (见文献[问题 1]). 但一直到 2019 年, 才由 Cui^[8] 针对 $f$, $g$ 是线性函数, $\sigma$ 满足 Dirichlet 边界条件(1.7)的模型成功地解决了此挑战性问题. 借助 Nash-Moser 隐函数定理和 Banach 流形上的抛物型微分方程的抽象理论, 他找到了刻画球对称稳态解在非球对称扰动下渐近稳定性的参数的阈值. 2021 年, Wu^[23] 将该结果推广到了 $f$ 和 $g$ 是一般非线性函数的情形上. 针对本文所研究的模型, 关于正周期态在非球对称扰动下的渐近稳定性问题, 我们猜测有类似于文献[8,23]的结果成立. 但是, 对于 Robin 边界条件和周期营养供给问题的处理, 不能直接应用 Dirichlet 问题的处理办法. 因此, 我们将在后续工作中对其进行探讨.