积分微分发展方程可以很好地描述科学领域中的自然现象, 其刻画的问题也更加符合自然规律, 所以引起学者的广泛关注. 1982 年, Grimmer 等^[1⇓-3] 中建立了 Banach 空间中积分微分方程

的预解算子理论, 并利用预解算子理论研究了积分微分方程 mild 解的存在性.

2011 年, Dos 等^[4] 研究了中立型积分微分方程预解算子的存在性及定性性质, 并运用该预解算子理论得到了具有无穷时滞的中立型积分微分方程

mild 解, 严格解和古典解的存在性结果. 文献[4]中所建立的中立型积分微分方程的预解算子理论为后续的研究提供了理论保障. 2020 年, Zhu 等^[5] 利用中立型积分微分方程的预解算子理论, 研究了半线性偏泛函中立型积分微分方程解的存在性与正则性. 到目前为止, 许多关于中立型积分微分方程的工作都是基于该预解算子理论进行研究的^[6⇓⇓-9].

随机微分方程能够更好地描述现实生活中的随机现象, 更具有现实意义. 1988 年, Prato 等^[10] 得到了 Hilbert 空间中随机发展方程解的正则性结果. 2010 年, Prevot^[11]研究了泊松噪声驱动的随机偏微分方程

mild 解的存在唯一性和正则性. 而文献[12⇓⇓⇓⇓⇓-18]研究了随机微分方程解的存在性与稳定性.

受上述文献的启发, 本文在 Hilbert 空间 $X$ 中研究如下中立型随机积分微分方程

解的存在性与正则性. 其中 $x(\cdot)$ 是取值在 $X$ 上的状态函数. $J=[T]$, $T>0$ 为常数. 算子 $A:D(A)\subset X\rightarrow X$ 是 $X$ 上的闭线性算子. $B(t)$ 是定义在 $D(A)$ 上的闭线性算子族, $N(t)$ 是 $X$ 上的有界线性算子族. 函数 $f$, $G$ 在后面给定. 时滞函数 $r(\cdot)$ 是连续的, 且满足 $0\leq r(t)\leq t$. $W(t)$ 是一个 $Q$ -Wiener 过程.

令 $X$ 和 $K$ 是两个实可分 Hilbert 空间, 其内积分别为 $(\cdot,\cdot)$ 和 $(\cdot,\cdot)_{K}$, 范数分别为 $\|\cdot\|$ 和 $\|\cdot\|_{K}$. ${\cal L}(X,K)$ 是从 $X$ 到 $K$ 的所有有界线性算子构成的空间. 特别地, 当 $X=K$ 时, 简记为 ${\cal L}(X)$.

设$A: D(A)\subset X\rightarrow X$在 $X$ 上是解析半群 $(T(t))_{t\geq0}$ 的无穷小生成元. $Y$ 表示 Banach 空间 $(D(A),\|\cdot\|_{1})$, 具有图象范数 $\|x\|_{1}=\|Ax\|+\|x\|$. 若 $\rho(A)\supset\{\lambda\in{\Bbb C}:{\rm Re}\lambda\geq0\}$, 则可以定义分数幂算子 $(-A)^{\alpha}(0<\alpha\leq1)$, 且 $(-A)^{\alpha}$ 在其定义域 $D((-A)^{\alpha})$ 上是闭线性算子. 记

其中 $\|x\|_{\alpha}=\|(-A)^{\alpha}x\|$, 则 $X_{\alpha}$ 是一个 Hilbert 空间. 若 $R(\lambda,A)$ 是紧的, 则当 $0<\beta<\alpha\leq1$ 时, $X_{\alpha}\hookrightarrow X_{\beta}$ 是紧嵌入. 令 $C_{\alpha}=C(J,X_{\alpha})$ 是从 $J$ 到 $X_{\alpha}$ 的所有连续函数构成的空间, 其范数为

定义 $MC_{\alpha}(p)(p>2)$ 是由所有 ${\cal F}_{t}$ -可测的, $C_{\alpha}$ -值函数 $\psi:\Omega\rightarrow C_{\alpha}$ 构成的空间, 且范数为

首先介绍与方程(1.1)相对应的中立型线性积分微分方程

的预解算子理论.

定义2.1^[4] 如果单参数有界线性算子族 $(R(t))_{t\geq0}$ 满足以下条件

(1) 函数 $R(\cdot):[0,+\infty)\rightarrow{\cal L}(X)$ 是强连续的, 指数有界的且 $R(0)=I$.

(2) 对 $x\in Y$, $R(t)x\in C^{1}(J,X)\cap C(J,Y)$, 且对任意的 $t\geq0$, 有

则称其为方程(2.1)的预解算子.

本文总假设以下条件是成立的.

$(p_{1})$ 存在常数 $M_{0}>0$, $\theta\in(\frac{\pi}{2},\pi)$, 使得 $\rho(A)\supseteq\Lambda_{\theta}=\{\lambda\in{\Bbb C}:|{\rm arg}(\lambda)|<\theta\}\cup\{0\}$ 且 $\|R(\lambda,A)\|\leq M_{0}|\lambda|^{-1}$, $\lambda\in\Lambda_{\theta}$. 因此, 算子 $A$ 生成 $X$ 上的解析半群 $(T(t))_{t\geq0}$.

$(p_{2})$ 函数 $N:[0,+\infty)\rightarrow{\cal L}(X)$ 是强连续的, 且对 $x\in X$ 及 ${\rm Re}(\lambda)>0$, $\widehat{N}(\lambda)x$ 绝对收敛. 存在 $\alpha>0$ 和 $\widehat{N}(\lambda)$ 到 $\Lambda_{\theta}$ 的一个解析延拓(仍记为 $\widehat{N}(\lambda)$), 使得对任意的 $\lambda\in\Lambda_{\theta}$, 有 $\|\widehat{N}(\lambda)\|\leq N_{0}|\lambda|^{-\alpha}$. 因此, 对每个 $\lambda\in\Lambda_{\theta}$ 及 $x\in D(A)$, 有 $\|\widehat{N}(\lambda)x\|\leq N_{1}|\lambda|^{-1}\|x\|_{1}$, 其中 $N_{0}$ 和 $N_{1}$ 是常数, 而符号 $\widehat{\varsigma}(\lambda)$ 表示 $\varsigma(t)$ 的 Laplace 变换.

$(p_{3})$ 对所有 $t\geq0$, $B(t):D(B(t))\subseteq X\rightarrow X$ 是闭线性算子, $D(A)\subseteq D(B(t))$, 且对每个 $x\in D(A)$, $B(\cdot)x$ 在 $(0,+\infty)$ 上是强可测的. 存在 $b(\cdot)\in L^{1}_{\rm loc}({\Bbb R}^{+})$, 使得当 ${\rm Re}(\lambda)>0$ 时, $\widehat{b}(\lambda)$ 存在, 且对所有 $t>0$ 及 $x\in D(A)$, 有 $\|B(t)x\|\leq b(t)\|x\|_{1}$. 另外, 算子值函数 $\widehat{B}:\Lambda_{\frac{\pi}{2}}\rightarrow{\cal L}(Y,X)$ 有到 $\Lambda_{\theta}$ 的一个解析延拓(仍记为 $\widehat{B}$), 使得对所有的 $x\in D(A)$, 有 $\|\widehat{B}(\lambda)x\|\leq\|\widehat{B}(\lambda)\|\|x\|_{1}$, 且当 $|\lambda|\rightarrow+\infty$ 时, $\|\widehat{B}(\lambda)\|\rightarrow0$.

$(p_{4})$ 存在一个子空间 $D\subseteq D(A)$ 在 $Y$ 中稠密, 并且存在正常数 $C_{i}$, $i=1,2$, 使得 $A(D)\subseteq D(A)$, $\widehat{B}(\lambda)(D)\subseteq D(A)$, $\widehat{N}(\lambda)(D)\subseteq D(A)$, 且对每个 $x\in D$ 及 $\lambda\in\Lambda_{\theta}$, 有 $\|A\widehat{B}(\lambda)x\|\leq C_{1}\|x\|$, $\|\widehat{N}(\lambda)x\|_{1}\leq C_{2}|\lambda|^{-\alpha}\|x\|_{1}$.

$(p_{5})$ 对 $0<\alpha<1, \lambda\in\Lambda_{\theta}$, 算子 $\widehat{N}(\lambda):X_{\alpha}\rightarrow X_{\alpha}$, 且当 $|\lambda|\rightarrow+\infty$ 时, $\|\widehat{N}(\lambda)\|_{\alpha}$ 对于 $\lambda\in\Lambda_{\theta}$ 一致地收敛于 0.

故由文献[4]可知, 在这些条件下, 方程(2.1)存在预解算子 $R(t)$, 定义为

其中 $G^{*}(\lambda)=(\lambda I+\lambda\widehat{N}(\lambda)-A-\widehat{B}(\lambda))^{-1}\in{\cal L}(X)$.

引理2.1^[4] 预解算子 $R(t)$ 满足下列性质

(i) 预解算子 $R(t)$ 是解析的, 存在 $M$, $M_{\alpha}>0$, 使得

(ii) 若存在某个 $\lambda_{0}\in\rho(A)$, 使得 $R(\lambda_{0},A)$ 是紧算子, 则对所有 $t>0$, $R(t)$ 也是紧的.

(iii) 对 $0\leq\alpha<1$, 线性算子族 $(-A)^{\alpha}R(t)(t>0)$ 在 ${\cal L}(X)$ 中按一致算子拓扑连续.

(iv) 若对 $x\in D(A)$, $(\widehat{N}(\lambda)-\widehat{B}(\lambda))(-A)^{-\alpha}x=(-A)^{-\alpha}(\widehat{N}(\lambda)-\widehat{B}(\lambda))x$, 则对所有的 $\alpha\in(0,1)$ 及 $x\in D((-A)^{\alpha})$, 有 $(-A)^{\alpha}R(t)x=R(t)(-A)^{\alpha}x.$

接下来, 介绍随机过程的相关定义及引理.

设 $(\Omega,{\cal F},\{{\cal F}_{t}\}_{t\geq0},P)$ 是完备的概率空间, 其中流 $\{{\cal F}_{t}\}_{t\geq0}$ 为 ${\cal F}$ 的一列右连续单调递增的子 $\sigma$ -代数族且 ${\cal F}_{0}$ 包含所有 $P$ -零集. 设 $W(t)$ 是一个具有有限迹核协方差算子 $Q>0$ 的 $K$ -值 Wiener 过程, $\beta_{n}(t)\ (n=1,2,\cdot\cdot\cdot)$ 是定义在 $(\Omega,{\cal F},\{{\cal F}_{t}\}_{t\geq0},P)$ 上相互独立的一维实值标准布朗运动序列. 定义集合

其中 $\lambda_{n}\geq0\ (n=1,2,\cdot\cdot\cdot)$ 是非负实数, $\{e_{n}\}\ (n=1,2,\cdot\cdot\cdot)$ 是 $K$ 中的标准正交基. 设 $Q\in{\cal L}(K)$ 是由 $Qe_{n}=\lambda_{n}e_{n}$ 定义的算子且有有限迹 ${\rm tr} Q=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\lambda_{n}<+\infty, $ 那么上述 $K$ -值随机过程 $W(t)$ 称为 $Q$-Wiener 过程.

定义2.2^[12] 设 $\sigma\in{\cal L}(K,X)$, 定义

如果 $\|\sigma\|_{{\cal L}^{0}_{2}}<+\infty$, 那么 $\sigma$ 称为 $Q$-Hilbert-Schmidt 算子. 而 ${\cal L}^{0}_{2}(K,X)$ 表示所有 $Q$-Hilbert-Schmidt 算子 $\sigma:K\rightarrow X$ 构成的空间.

引理2.2^[15] 若对所有的 $t\geq0$, 有 $\|R(t)\|\leq M$. 以及对任意的 $t\geq0$, 存在某个 $p>2$, $\varphi:[0,+\infty)\rightarrow{\cal L}^{0}_{2}$ 是可测的, ${\cal F}_{t}$ -适定的随机过程, 且满足

则存在常数 $k_{p}>0$, 使得对任意的自然数 $n$,有

下面给出方程(1.1)mild 解及古典解的定义.

定义2.3 如果定义在概率空间 $(\Omega,{\cal F},\{{\cal F}_{t}\}_{t\geq0},P)$ 上的随机过程 $x(t)$ 满足

(1) 对任意的 $t\in J$, $x(t)$ 是可测的, ${\cal F}_{t}$ -适定的, 且 $ \int^{T}_{0}\|x(s)\|^{p}{\rm d}s<+\infty. $

(2) $x(t)$ 在 $J$ 上满足如下积分方程

那么过程 $x(t):J\rightarrow X$ 称为方程(1.1)的 mild 解.

定义2.4 若 $x(t)\in C^{1}((0,T],X)\cap C([T],X_{\alpha})$, 且对任意的 $t\in J$, $x(t)$ 满足方程(1.1). 则过程 $x(t):J\rightarrow X_{\alpha}$ 称为方程(1.1)的古典解.

本节将使用不动点定理得到 Hilbert 空间 $X$ 及 $X_{\alpha}$ 上方程(1.1)mild 解的存在性结果. 首先考虑空间 $X$ 上方程(1.1)mild 解的存在性, 为此给出以下条件

(H$_{0})$ 对任意的 $t>0$, $R(t)$ 是紧算子.

(H$_{1})$ 函数 $f:J\times X\rightarrow X$ 满足以下条件

(1) 对每个 $t\in J$, 函数 $f(t,\cdot):X\rightarrow X$ 是连续的; 对每个 $x\in X$, 函数 $f(\cdot,x):J\rightarrow X$ 是强可测的;

(2) 对任意的 $t\in J$, $\rho>0$, 存在正常数 $\gamma_{0}$ 及正函数 $f_{\rho}(t)\in L^{1}(J,{\Bbb R}^{+})$, 使得

(H$_2)$ 函数 $G:J\times X\rightarrow{\cal L}^{0}_{2}$ 是可测的, ${\cal F}_{t}$ -适定的, 且满足以下条件

(1) 对每个 $t\in J$, 函数 $G(t,\cdot):X\rightarrow {\cal L}^{0}_{2}$ 是连续的; 对每个 $x\in X$, 函数 $G(\cdot,x):J\rightarrow {\cal L}^{0}_{2}$ 是强可测的;

(2) 对任意的 $t\in J$, $\rho>0$, 存在正常数 $\gamma_{1}$ 及正函数 $\eta_{\rho}(t)\in L^{1}(J,{\Bbb R}^{+})$, 使得

定理3.1 令 $x_{0}\in X$, 如果条件 (H$_0)$, (H$_1)$ 和 (H$_2)$ 成立, 且满足

那么方程(1.1)至少有一个 mild 解 $x\in C(J,X)$.

证 定义算子 $Q:B_{k}\rightarrow B_{k}$,

其中 $B_{k}=\{x\in MC(p): E\|x\|_{C}^{p}\leq k, k>0\}$. 下面分三步证明算子 $Q$ 在 $B_{k}$ 上有不动点.

第一步, 证明 $Q(B_{k})\subseteq B_{k}$. 如若不然, 则对每个 $k>0$, 存在一个函数 $x_{k}(\cdot)\in B_{k}$, 使得 $ E\|Qx_{k}(t)\|_{C}^{p}>k$. 根据(2.5)式, 条件 (H$_1)$, (H$_2)$ 及引理 2.1 得

上式两端同时除以 $k$, 且当 $k\rightarrow+\infty$ 时取极限, 则有 $3^{p-1}M^{p}(T^{p-1}\gamma_{0}+k_{p}\gamma_{1})>1$. 这与(3.1)式矛盾, 故 $Q(B_{k})\subseteq B_{k}$.

第二步, 证明算子 $Q$ 在 $B_{k}$ 中连续. 设序列 $\{x_{m}\}_{_{m=1}}^{+\infty}\subseteq B_{k}$, 且在 $B_{k}$ 中有 $x_{m}\rightarrow x$. 由条件 (H$_1)$, (H$_2)$ 可知, 当 $m\rightarrow+\infty$ 时,

则根据 Lebesgue 控制收敛定理得

即算子 $Q$ 在 $B_{k}$ 中连续.

第三步, 证明算子 $Q$ 是紧的. 首先证明 $\{Qx(t), x\in B_{k}\}\subseteq MC(p)$ 是等度连续的. 令 $0<t_{1}<t_{2}<T$, $\varepsilon>0$, 根据 H$\ddot{\rm o}$lder 不等式得

注意到 $\|f(s,x(r(s)))\|^{p}\leq f_{k}(s)$, $\|G(s,x(r(s)))\|^{p}_{{\cal L}^{0}_{2}}\leq\eta_{k}(s)$, 且由引理 2.1 的(iii)可得, 对任意的 $x\in B_{k}$, 当 $t_{2}-t_{1}\rightarrow0$ 时, 有 $ E\|Qx(t_{2})-Qx(t_{1})\|^{p}_{C}\rightarrow0$. 同理, 可以证明 $\{Qx(t), x\in B_{k}\}$ 在 $t=0$ 处也是等度连续的.

其次, 对固定的 $t\in J$, 验证 $V(t)=\{Qx(t), x\in B_{k}\}$ 在 $X$ 中是相对紧的. 若 $t=0$, 则 $V(0)=x_{0}$, 显然 $V(0)$ 在 $X$ 中是相对紧的. 对于 $t\in(0,T]$,

由 $R(t)$ 的紧性, 可以推断出 $V(t)$ 在 $X$ 中是相对紧的.

因此, 根据Arzelá-Ascoli定理, 算子 $Q$ 是 $B_{k}$ 上的全连续算子. 故由 Schauder 不动点定理, 算子 $Q$ 在 $B_{k}$ 上存在一个不动点. 即方程(1.1)在 $J$ 上至少有一个 mild 解. 证毕.

接下来, 在 Hilbert 空间 $X_{\alpha}$ 上研究方程(1.1)mild 解的存在性, 为此假设

(H$_3)$ 函数 $f:J\times X_{\alpha}\rightarrow X$ 满足以下条件

(1) 对每个 $t\in J$, 函数 $f(t,\cdot):X_{\alpha}\rightarrow X$ 是连续的; 对每个 $x\in X_{\alpha}$, 函数 $f(\cdot,x):J\rightarrow X$ 是强可测的;

(2) 对任意的 $t\in J$, $\rho>0$, 存在正常数 $\gamma_{2}$ 及正函数 $f_{1}(\rho)\in L^{1}({\Bbb R}^{+})$, 使得

(H$_4)$ 函数 $G:J\times X_{\alpha}\rightarrow{\cal L}^{0}_{2}$ 是可测的, ${\cal F}_{t}$ -适定的, 且满足以下条件

(1) 对每个 $t\in J$, 函数 $G(t,\cdot):X_{\alpha}\rightarrow {\cal L}^{0}_{2}$ 是连续的; 对每个 $x\in X_{\alpha}$, 函数 $G(\cdot,x):J\rightarrow {\cal L}^{0}_{2}$ 是强可测的;

(2) 对任意的 $t\in J$, $\rho>0$, 存在正常数 $\gamma_{3}$ 及正函数 $\eta_{1}(\rho)\in L^{1}({\Bbb R}^{+})$, 使得

定理3.2 令 $x_{0}\in X_{\alpha}$, 如果条件 (H$_0)$, (H$_3)$ 和 (H$_4)$ 成立, 且满足

那么方程(1.1)至少有一个 mild 解 $x\in C(J,X_{\alpha})$.

证 该证明过程类似于定理 3.1, 这里省略.

本节主要在 Hilbert 空间 $X$ 中讨论方程(1.1)解的正则性. 将证明由(2.6)式定义的 mild 解 $x(t)$ 在某些条件下也是方程(1.1)的古典解. 为此给出下列假设

(V$_1)$ 函数 $f\in C^{1}(J\times X_{\alpha},X)$, 且 $f(\cdot,\cdot)$ 和偏导数 $D_{1}f(\cdot,\cdot)$, $D_{2}f(\cdot,\cdot)$ 都关于第二变量 Lipschitz 连续, 即存在常数 $L_{1}, l_{i}>0$, 使得对任意的 $t\in J$, $x_{1},x_{2}\in X_{\alpha}$, 有

(V$_2)$ 函数 $G\in C^{1}(J\times X_{\alpha},{\cal L}^{0}_{2})$, 且 $G(\cdot,\cdot)$ 和偏导数 $D_{1}G(\cdot,\cdot)$, $D_{2}G(\cdot,\cdot)$ 都关于第二变量 Lipschitz 连续, 即存在常数 $L_{2}, l^{*}_{i}>0$, 使得对任意的 $t\in J$, $x_{1},x_{2}\in X_{\alpha}$, 有

定理4.1 令 $x_{0}\in X_{\alpha}$, 假设条件 (V$_1)$, (V$_2)$ 成立, 时滞函数 $r(\cdot)\in C^{1}([T])$, 满足 $r(0)=0$, 且 $|r'(t)|\leq1$, $t\in J$. 如果 $x(t)$ 是方程(1.1)的 mild 解, 那么 $x(t)$ 也是方程(1.1)的古典解.

证 设 $x(t)$ 是由(2.6)式定义的方程(1.1)的 mild 解, 则由 Banach 压缩映射原理, 存在唯一一个函数 $y\in MC_{\alpha}(p)$ 是下列积分方程在 $J$ 上的解,

令 $z(t)=x_{0}+\int^{t}_{0}y(s){\rm d}s, t\in J, $下面证明在 $J$ 上 $x(t)=z(t)$. 事实上, 根据(4.1)式, 可以得到

易见

则

类似地, 有

另一方面, 在(2.3)式中取 $x=x_{0}$, 并积分得

由于 $x(0)=z(0)$, 再结合(4.2)-(4.5)式, 有

根据(2.5)式, 条件 (V$_1)$, (V$_2)$ 及 H$\ddot{\rm o}$lder 不等式可以得到

其中 $M_{1}=\displaystyle\sup_{0\leq s\leq T}\|y(s)\|$. 则存在某个 $t_{0}>0$, 使得

则对于 $s\in[t_{0}]$, 有 $x(s)=z(s)$.

类似于上面的讨论, 进一步运用反证法可以证明, 对任意的 $t\in J$, $x(t)=z(t)$, 且 $x(t)$ 在 $J$ 上是连续可微的.

最后证明 $x(t)$ 是方程(1.1)的古典解, 为了方便起见, 设 $p(t)=R(t)x_{0},$

则有 $p'(t)=R'(t)x_{0},$

下面只需要证明 $x(t)$ 满足方程(1.1).

根据(2.2)式可以得到

由于(4.6)式, 则

再通过(2.2)式, 得到

类似地, 可以得到

结合(4.7)-(4.10)式, 即得

因此, $x(t)$ 是方程(1.1)的古典解. 即证.