数学物理学报, 2023, 43(1): 143-158 doi:

非局部 KP -型方程的广义双线性导数

赵倩,1,*, 闫璐,2

1宁波大学科学技术学院 浙江宁波 315211

2西京学院计算机学院 西安 710123

Nonlocal KP-type Equations with Generalized Bilinear Derivative

Zhao Qian,1,*, Yan Lu,2

1College of Science & Technology Ningbo University, Zhejiang Ningbo 315211

2School of Computer Science, Xijing University, Xi'an 710123

通讯作者: *赵倩, E-mail: zhaoqian1@nbu.edu.cn

收稿日期: 2022-01-6   修回日期: 2022-07-22  

基金资助: 国家自然科学基金.  11971251
陕西省教育厅科研计划项目.  18JK0987

Received: 2022-01-6   Revised: 2022-07-22  

Fund supported: The NSFC.  11971251
Scientific Research Program Funded by Shaanxi Provincial Education Department.  18JK0987

作者简介 About authors

闫璐,E-mail:20190144@xijing.edu.cn , E-mail：20190144@xijing.edu.cn

摘要

将 Hirota 双线性方法进行推广, 得到广义的双线性变换方法, 并应用于研究具有非局部项的非线性色散方程. 该文利用本方法研究了包括 KPII, BKP 和 (3+1) -维 gKP 的 KP -型方程, 导出了它们的非局部形式, 作为结论, 借助性质构造了 KP -型方程的孤立波解和近似解.

关键词： 双线性变换方法 ; 广义双线性导数 ; 近似解 ; KP 方程 ; BKP 方程

Abstract

A generalized bilinear transformation method, as an extension of bilinear transformation method due to Hirota, is applied to study the nonlinear dispersive equations with nonlocal terms. With this method, the KP-type equations including the KP-II, BKP and (3+1)-dimensional generalized KP equations are studied and their nonlocal forms are derived. As the conclusions, the solitary wave solutions and approximate solutions of those KP-type equations are constructed by developing the bilinear transformation method.

Keywords： Bilinear transform method ; Generalized bilinear derivative ; Approximate solution ; KP equation ; BKP equation

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本文引用格式

赵倩, 闫璐. 非局部 KP -型方程的广义双线性导数. 数学物理学报[J], 2023, 43(1): 143-158 doi:

Zhao Qian, Yan Lu. Nonlocal KP-type Equations with Generalized Bilinear Derivative. Acta Mathematica Scientia[J], 2023, 43(1): 143-158 doi:

1 引言

Hirota 双线性方法是孤子理论中的重要组成部分[1-2], 为非线性可积方程的求解和分类提供了一个强有力的工具[1,3]. 其基本思想是通过引入相关变量变换, 例如用对数变换、有理变换、双对数变换等将非线性方程转化为双线性导数方程, 借助于 D -算子的性质, 通过摄动方法找到双线性方程的精确解, 再通过变量变换可以得到非线性方程的单孤子解、双孤子解、三孤子解, 用归纳法就可以得出方程的 N-孤立子解形式. 此方法不仅可以构造许多非线性方程的孤子解, 还可以通过 Wronskian 行列式, Casoratian 行列式或者 Pfaffian 行列式较系统地得到大量非线性可积系统的周期波解, 有理解等. 此外, Hirota 双线性方程也可以用来构造方程的 Bäcklund 变换[1,3]. 许多著名的非线性可积方程, 如: KdV 方程[2]、KP 方程[4]、sine-Gordon 方程[5]、Boussinesq 方程[6] 等都可以转换成以下 Hirota 双线性形式

$\begin{equation}\label{e1.1} F(D_t, D_x, D_y) f\cdot f =0, \end{equation} $

其中 $F$ 是关于 $D_t$, $D_x$, $D_y$ 的偶次多项式, $D_t$, $D_x$, $D_y$ 是 Hirota 双线性算子, 定义如下

$\begin{equation}\label{e1.1.0} D_x^n f\cdot g=(\partial_x-\partial_{x'})^n f(x)g(x')|_{x=x'}. \end{equation} $

Hirota[1]已经证明了当 $F(0,0,0)=0$ 时, 方程(1.1)至少存在二孤子解. 此外, 关于方程(1.1)存在 $N$ -孤子解的充分条件也被提出. 如果一个方程可以写成存在多孤子解的 Hirota 双线性形式, 我们通常称该方程是 Hirota 可积的.

Hietarinta[7⇓⇓-10]根据方程(1.1)孤子解的存在性对方程(1.1)进行了分类, 并发现了一些具有三孤子解的新微分方程. 然而, 方程(1.1)只包含了一类有限的非线性演化方程, 因此有必要去推广方程(1.1)去寻找更多的新的可积方程. 许多学者对双线性方法进行研究和推广, 提出了两种不同的方法生成新的双线性方程. 一方面是扩展等式(1.1)的形式, 其中 D -算子由(1.2)式定义. 如胡星标[11] 研究了其广义形式

$\begin{equation}\label{e1.2} \sum_{k=1}^l H_k (D_t, D_x, D_y)[F_k (D_t, D_x, D_y) f\cdot f]\cdot [G_k (D_t, D_x, D_y) f\cdot f]=0, \end{equation} $

这里 $F_k$, $G_k$ 和 $H_k$ 是具有常系数的多项式. 对于 $F_k$, $G_k$, $H_k$ 在某些条件下, 可证明方程(1.3)至少具有单孤子解.

作为方程(1.3)的一个特例, 研究了一个新的可积方程

$\begin{matrix}\label{e1.3} && D_x \big[(D_x^3 D_t+\alpha_1 D_t^2+\beta_1 D_x D_t+\delta_1 D_t D_y+\delta_2D_x^2) f\cdot f \big]\cdot f^2 \\ & &+D_t \big[(\alpha_2 D_x D_t^3+\alpha_2 \delta_2 D_t^2)f\cdot f \big]\cdot f^2 =0, \end{matrix} $

这里 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\delta_1$ 和 $\delta_2$ 为任意常数, 方程(1.4)是 Novikov-Veselov 方程和 Ito 方程的一个推广, 还得到了方程(1.4)的一个 Bäcklund 变换[11]. 另外, 胡星标[12]提出了方程(1.1)的另一种广义形式

$\begin{equation}\label{e1.4} \sum_{k=1}^l H_k (D_t, D_x)\left[F_k (\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x}) \tau\right]\cdot \left[G_k (\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x}) \tau\right]=0, \end{equation}$

这里只考虑了 $(1+1) $维的情况,$\!\!F_k$, $G_k$, $H_k$ 是具有常系数的多项式. 若令 $H_k (0,0)=0$, $k=1,2,\cdots,l,$ 可验证方程(1.5)具有以下单孤子解 $ \tau=1+{\rm e}^\eta,\ \eta=\Omega t +px+\eta^0, $ 其中$\Omega$, $p$, $\eta^0$ 是常数, 且满足

$\sum_{k=1}^l[F_k(\Omega,p)G_k(0,0)H_k(\Omega,p)+F_k(0,0)G_k(\Omega,p)H_k(-\Omega,-p)]=0. $

另一方面, 将 Hirota导数 D -算子推广到更一般的形式. Hirota[13]引入新的双线性微分算子

$\begin{equation}\label{GD -operator} D_{\alpha\cdot\beta,x}^n f(x)\cdot g(x)=\left(\alpha\frac{\partial}{\partial x}-\beta\frac{\partial}{\partial x'}\right)^nf(x)g(x')|_{x'=x}, \end{equation}$

作用于任意可微函数 $f$ 和 $g$, 这里 $\alpha$ 和 $\beta$ 是任意常数. 在特殊情况下, 该广义算子可以约化为 $D_x^n$ 算子. 并讨论了广义算子的基本性质, 证明了利用算子(1.6)可将大量非线性方程转化为双线性方程. 这使得求解演化方程的形式可为 $u=f^\alpha / g^\beta$, 而不能通过之前的方法处理, 也已经证明旧的方法可以转换到新方法进行运算. 文献[13]中给出一些例子, 并推广了 Bäcklund 变换的双线性形式来连接两个不同的孤子方程的解.

马文秀[14]引入了另一个广义双线性微分算子并探讨了线性迭加原理适用于相应的双线性微分方程时的条件. 对于给定的 $ M,p \in {\Bbb N} $, 双线性微分算子定义为

$\begin{equation}\label{e1.5} \prod_{i=1}^M D_{p,x_i}^{n_i} f \cdot g=\prod_{i=1}^M (\frac{\partial}{\partial_{x_i}}+\alpha \frac{\partial}{\partial_{x'_i}})^{n_i} f(x)g(x')|_{x'=x}, \end{equation}$

其中 $x=(x_1,\cdots,x_M)$, $x'=(x'_1,\cdots,x'_M)$, $n_1,\cdots,n_M$ 是任意非负整数, 且对整数 $m$, $\alpha$ 的定义有

$\begin{equation} \alpha^m=(-1)^{r(m)}, \quad\quad m\equiv r(m) {\rm mod}\, p, \end{equation}$

其中 $0\leq r(m)<p $. 所得理论为构造一类具有解的线性子空间的双线性微分方程奠定了基础. 其所考虑的解是指数行波解的线性组合, 所涉及的指数行波解可能满足也可能不满足相应的色散关系. 所得结果表明存在与 Hirota 双线性方程不同, 但具有相同的一些特征的双线性微分方程.

本文的主要目的是将 Hirota的 D -算子进一步推广到更一般的形式去研究 KP 方程. 利用广义双线性算子, 使双线性方程具有包含任意常数的新的表示形式. 在非常特殊的情况下, 新的算子就约化成了 Hirota 的 D -算子. 在本文中, 我们将主要讨论不同的具有双线性表示的 KP -型方程. 如果我们将新的双线性算子应用于 KP -型方程, 将得到包含非局部项形式的 KP 方程. 作为结论, 基于 Hirota 双线性变换算法, 可求得 KP -型方程的孤立波解和近似解.

本文结构如下. 在第 2 部分我们将引入广义双线性算子的概念, 研究新算子具有的性质. 第 3 部分研究与 KPII 方程, BKP 方程, (3+1) -维 gKP 方程相对应的新的广义双线性方程, 得到它们的孤立波解和近似解. 第 4 部分是对本文工作的总结.

2 广义双线性导数

在本节中, 我们将引入广义双线性导数的概念, 并研究它们的部分性质. 首先在这里回顾 Hirota 双线性算子的概念. 设 $f(t,x,\cdots )$ 和 $g(t,x,\cdots )$ 是关于 $t$, $x,\cdots $ 的光滑函数, 对任意的非负整数 $n$, $m_i, i=1,2,\cdots $, Hirota[2] 对微分算子 $D_t$, $D_ x\cdots $ 有如下定义

定义 2.1 设 $S: {\Bbb C}^n\rightarrow{\Bbb C}$ 是一个可微函数空间. 引进 Hirota 微分算子 $D: S\times S \rightarrow S$ 定义为

$\begin{equation}\begin{array}{rl} D_x^n f\cdot f=&(\partial_x-\partial_{x'})^n f(x)f(x')|_{x'=x},\\ {}[D_t^{m_1} D_x^{m_2}\cdots ] f\cdot g=&[(\partial_t- \partial_{t'})^{m_1} (\partial_x- \partial_{x'})^{m_2}\cdots ]\\ & f(t,x,\cdots )g(t',x',\cdots )|_{t'=t,x'=x,\cdots } \end{array}\end{equation}$

其中 $n$, $m_i$, $i=1,2,\cdots $ 是正整数, $t$, $x$, $\cdots $ 是自变量. D -算子也被称为 Hirota 导数.

现在我们将 Hirota 的 D -算子推广到更一般的形式, 这将通过将 Hirota 的 D -算子替换成更一般的算子得到. 本文中有以下定义.

定义 2.2[15] 设 $S: {\Bbb C}^n\rightarrow{\Bbb C}$ 是一个可微函数空间. 假设函数 $f(t,x,\cdots)$ 和 $g(t,x,\cdots)$ 是自变量 $t$, $x$, $\cdots $ 的可微函数. 对任意的非负整数 $n$ 和 $m_i$, $i=1,2, \cdots $, 我们定义广义双线性算子 $D_{\vec{\tau},t}$: $S\times S\rightarrow S$ 和 $D_{\vec{\xi},x}$: $S\times S \rightarrow S$ 为

$\begin{matrix}\label{e2.1} D_{\vec{\xi},x}^n f\cdot f&=&\prod_{i=1}^n(\partial_x+\xi_i \partial_{x'})f(x) f(x')|_{x'=x}, \\ {}[D_{\vec{\tau},t}^{m_1} D_{\vec{\xi},x}^{m_2}\cdots ] f\cdot g&=&\prod_{(i,j,\cdots )=(1,1,\cdots )}^{(m_1,m_2,\cdots )}[(\partial_t+\tau_i \partial_{t'}) (\partial_x+\xi_j \partial_{x'})\cdots ]\\ && f(t,x,\cdots )g(t',x',\cdots )|_{t'=t,x'=x,\cdots } \end{matrix}$

其中 $\vec{\xi}=(\xi_1,\xi_2,\cdots )$, $\vec{\tau}=(\tau_1,\tau_2,\cdots )$, $\tau_i$, $\xi_j$, $\cdots $ 是非零常数, $n$, $m_i$, $i=1,2,\cdots $ 是正整数, $t$, $x$, $\cdots $ 是自变量.

注 2.1 由定义 2.2 易知, Hirota 的 D -算子 $D_x$ 是当取 $\xi_i=-1$, $i=1,2,\cdots$ 时广义双线性算子 $D_{\vec{\xi},x}$ 的特例.

当 $m_1=m_2=1$, 时有

$\begin{eqnarray*} D_{\tau,t} D_{\xi,x} f\cdot g=f_{xt}g+\xi f_tg_x+\tau f_xg_t+\xi\tau fg_{xt}. \end{eqnarray*}$

当$m_1=0, m_2=4$, 时有

$\begin{eqnarray*} D_{\vec{\xi},x}^4 f\cdot f &=&\prod_{i=1}^4(\partial_x+\xi_i \partial_{x'})f(x)f(x')|_{x'=x}\\ &=&(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4)ff_{xxxx}+(\xi_1+\xi_2+\xi_3 +\xi_4 +\xi_1\xi_2\xi_3 +\xi_1\xi_2\xi_4+\xi_1\xi_3\xi_4\\ &&+\xi_2\xi_3\xi_4)f_xf_{xxx}+(\xi_1\xi_2+\xi_1\xi_3+\xi_1\xi_4+\xi_2\xi_3+\xi_2\xi_4+\xi_3\xi_4) f_{xx}^2. \end{eqnarray*}$

众所周知, Hirota 的 D -算子具有许多重要的很好的性质[1,2], 这些性质可以有助于研究双线性可积方程. 我们将探讨广义双线性算子(2.2)所具有的部分性质, 一些性质需要 $\tau$ 和 $\xi$ 满足特定的条件, 而一些性质对任意情况下的 $\tau$ 和 $\xi$ 都满足.

性质 2.1 下面的公式可以通过广义双线性算子(2.2)的定义直接验证

$ \begin{eqnarray*}\label{pro-1} 1) \; &&D_{\vec{\tau},t}^m D_{\vec{\xi},x}^n f\cdot 1 =\partial_t ^m \partial_x ^n f; \\ 2) \; &&D_{\vec{\tau},t}^m D_{\vec{\xi},x}^n 1\cdot f =\prod_{i=1}^m \tau_i \prod_{j=1}^n \xi_j \partial_t ^m \partial_x ^n f;\\ 3) \;&& D_{\vec{\tau},t}^m D_{\vec{\xi},x}^n {\rm e}^{\theta_1}\cdot {\rm e}^{\theta_2}=\prod_{(i,j)=(1,1)}^{(m,n)} (\omega_1+\tau_i \omega_2) (k_1+\xi_j k_2) {\rm e}^{\theta_1+\theta_2},\\ &&\theta_l=\omega_l t+k_l x+\theta_l^{(0)},\;\; l=1,2;\\ 4) \;&& D_{\xi,x}fg\cdot h =f_x gh+f D_{\xi,x}g \cdot h;\\ 5) \;&& D_{\xi_1,x}D_{\xi_2,x}fg\cdot h =f_{xx} gh+2 f_x D_{\frac{\xi_1+\xi_2}{2},x}g \cdot h+ f D_{\xi_1,x}D_{\xi_2,x}g \cdot h;\\ 6) \;& &D_{\xi,x}D_{\xi,x}fg\cdot hr=(D_{\xi,x}D_{\xi,x}f \cdot h)gr+2 (D_{\xi,x}f \cdot h) D_{\xi,x}g \cdot r + fh( D_{\xi,x}D_{\xi,x}g \cdot r);\\ 7) \;&& (D_{\xi,x}f \cdot g) hr+fg(D_{\xi,x}h \cdot r) = (D_{\xi,x}f \cdot r)hg+ fr(D_{\xi,x}h \cdot g);\\ 8) \;& &D_{\vec{\tau},t}^m D_{\vec{\xi},x}^n {\rm e}^{\theta}f \cdot {\rm e}^{\eta}g=\prod_{(i,j)=(1,1)}^{(m,n)}{\rm e}^{\theta+\eta}(D_{\tau_i,t}+\omega+\tau_i \sigma)(D_{\xi_j,x}+k+\xi_j\delta )f \cdot g, \\ && \theta=\omega t+k x+\theta^{(0)},\;\; \eta=\sigma t+\delta x+\eta^{(0)}. \end{eqnarray*}$

性质 2.2$D_{\xi,x} f\cdot g=0 $ 的充分必要条件是 $ f=\sigma g^{-\xi}$, 其中 $\xi$ 和 $\sigma$ 是任意常数.

性质 2.3 还可以按照指数恒等式定义双线性算子 $D_{\xi,x} $ 如下

$\begin{equation}\label{pro-2} {\rm e}^{\delta D_{\xi,z}}f(z)\cdot g(z)=f(z+\delta)g(z+\xi \delta), \end{equation}$

这里 $\xi$ 是任意常数, $\delta$ 是一个参数.

证 由定义 2.2, 可以得到

$\begin{eqnarray*} {\rm e}^{\delta D_{\xi,z}}f(z)\cdot g(z)&=&\sum_{j=0}^\infty \frac{1}{j!} \delta^j D_{\xi,z}^jf(z)\cdot g(z) =\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!} \delta^j(\partial_z+\xi \partial_y)^j f(z)g(y)|_{y=z}. \end{eqnarray*}$

为了计算 $(\partial_z+\xi \partial_y)f(z)g(y)|_{y=z}$, 设 $ z=\tilde{z}+b \tilde{y}, \ y=\tilde{z} +d \tilde{y}. $ 因此 $ \tilde{z}=\frac{by-dz}{b-d}, \ \tilde{y}=\frac{z-y}{b-d}. $ 可以得到

$\begin{eqnarray*} \partial_z+\xi \partial_y&=&\frac{1}{b-d}\frac{\partial}{\partial \tilde{y}} -\frac{d}{b-d}\frac{\partial}{\partial \tilde{z} }+\xi(-\frac{1}{b-d}\frac{\partial}{\partial \tilde{y}}+ \frac{b}{b-d}\frac{\partial}{\partial \tilde{z}}) =\frac{1}{b}\frac{\partial}{\partial \tilde{y}}, \end{eqnarray*}$

其中取 $d=\xi b$. 因此可得

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!} \delta^j (\partial_z+\xi \partial_y)^j f(z)g(y)|_{y=z} &=&\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!} \delta^j (\frac{1}{b} \frac{\partial}{\partial \tilde{y}})^j f(\tilde{z}+b \tilde{y})g(\tilde{z} +\xi b \tilde{y})|_{\tilde{y}=0}\\ &=&\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!} \delta^j (\frac{\partial}{\partial \tilde{y}})^j f(\tilde{z}+\tilde{y})g(\tilde{z} +\xi\tilde{y})|_{\tilde{y}=0}\\ &=&{\rm e}^{\delta \partial_{\tilde{y}}} f(\tilde{z} +\tilde{y})g(\tilde{z}+\xi \tilde{y})|_{\tilde{y}=0}\\ &=&f(z+\delta)g(z+\xi \delta). \end{eqnarray*}$

由此, 证明了公式(2.3)成立.

性质 2.4 利用公式(2.3)可证明以下公式成立.

$ {\rm e}^{\delta D_{\xi,x}} fg\cdot hr=({\rm e}^{\delta D_{\xi,x}}f\cdot h)({\rm e}^{\delta D_{\xi,x}}g\cdot r) =({\rm e}^{\delta D_{\xi,x}}f\cdot r)({\rm e}^{\delta D_{\xi,x}}g\cdot h); $
$ {\rm e}^{\delta \xi\partial_x} \frac{f}{g}=\frac{{\rm e}^{\delta D_{\xi,x}}g\cdot f}{\cosh (\delta D_{\xi,x})g\cdot g+\sinh (\delta D_{\xi,x})g\cdot g}. $

性质 2.5 由公式(2.3)还可得以下交换公式.

$\begin{matrix}\label{pro-3} &&{\rm e}^{\alpha D_{\xi_1,x}} \left[{\rm e}^{\beta D_{\xi_2,x}}f\cdot g]\cdot [{\rm e}^{\gamma D_{\xi_3,x}}h\cdot r \right] \\ &=&{\rm e}^{\frac{(\xi_1 -\xi_2)\alpha -\xi_2 \beta +\xi_3 \gamma}{1-\xi_2}D_{\xi_1,x}}[{\rm e}^{\frac{(1-\xi_1)\alpha+\beta-\xi_3 \gamma}{1-\xi_2} D_{\xi_2,x}}f\cdot r] [{\rm e}^{\frac{(1-\xi_1)\xi_1 \alpha +\xi_1\xi_2 \beta +(1-\xi_2-\xi_1\xi_3)\gamma}{1-\xi_2} D_{\xi_3,x}}h\cdot g], \end{matrix}$

其中 $\xi_1$, $\xi_2$ 和 $\xi_3$ 满足条件 $\xi_1-\xi_2-\xi_1\xi_3+1=0$.

证 由公式(2.3), 公式(2.4)左端等价于

$\begin{eqnarray*} \label{e2.3} &&{\rm e}^{\alpha D_{\xi_1,x}} f(x+\beta)g(x+\xi_2 \beta)\cdot h(x+\gamma)r(x+\xi_3 \gamma)\\ &=&f(x+\alpha +\beta)g(x+\alpha +\xi_2 \beta)h(x+\xi_1 \alpha+ \gamma)r(x+\xi_1 \alpha+ \xi_3 \gamma). \end{eqnarray*}$

由(2.3)式和乘法交换律,(2.4)式右端计算可得

$\begin{eqnarray*} &&{\rm e}^{c_1 D_{\xi_1,x}}[{\rm e}^{c_2 D_{\xi_2,x}}f\cdot r]\cdot [{\rm e}^{c_3 D_{\xi_3,x}}h\cdot g]\\ &=&{\rm e}^{c_1 D_{\xi_1,x}} f(x+c_2)r(x+\xi_2 c_2)\cdot h(x+c_3)g(x+\xi_3 c_3)\\ &= &f(x+c_1+c_2)r(x+c_1+\xi_2 c_2)h(x+\xi_1c_1+c_3)g(x+\xi_1 c_1+\xi_3 c_3)\\ & =&f(x+c_1+c_2)g(x+\xi_1 c_1+\xi_3 c_3)h(x+\xi_1c_1+c_3)r(x+c_1+\xi_2 c_2). \end{eqnarray*}$

这里

$ c_1=\frac{(\xi_1 -\xi_2)\alpha -\xi_2 \beta +\xi_3 \gamma}{1-\xi_2}, c_2=\frac{(1-\xi_1)\alpha+\beta-\xi_3 \gamma}{1-\xi_2}, $$ c_3=\frac{(1-\xi_1)\xi_1 \alpha +\xi_1\xi_2 \beta +(1-\xi_2-\xi_1\xi_3)\gamma}{1-\xi_2}. $

由此, 交换公式(2.4)成立.

注 2.2 对一般向量 $\vec{\tau}$ 和 $\vec{\xi}$, 交换函数 $f$ 和 $g$ 的双线性导数的顺序

$ D_{\vec{\tau},t}^m D_{\vec{\xi},x}^n f\cdot g=D_{\vec{\tau},t}^m D_{\vec{\xi},x}^n g\cdot f $

当且仅当 $\vec{\tau}=-(1,1,\cdots, 1)$, $\vec{\xi}=-(1,1,\cdots, 1)$ 时成立.

3 KP-型方程的解

3.1 KP 方程

Kadomtsev-Petviashivili (KP) 方程

$\begin{equation}\label{e3.1.0} u_t+u_{xxx}+6 u u_x+\sigma^2 \partial_x ^{-1} u_{yy}=0, \end{equation}$

其中 $\sigma^2=\pm 1$, 是著名的理想流体一般表面波的数学模型, 是数学家和物理学家都十分感兴趣的非线性方程之一. 它是由前苏联物理学家 Kadomtsev 和 Petviashvili 在研究弱色散介质中的非线性波动理论时发现的, 为了讨论在与原方向垂直水平扰动下波的稳定性而引入的[16]. 后来人们也将它作为内部波[17], 具有表面张力较小的波[18], 非线性光学中[19], 以及其它情形下的物理模型. KP 方程被广泛认为是 Korteweg-de Vries (KdV) 方程在两个空间维度上的自然延伸, 是一个具有两个空间维度的可积方程的原型[20]. 当 $\sigma^2=-1$ 和 $\sigma^2=1$ 时分别称为 KPI 方程和 KPII 方程. 大量研究结果已经表明, KP 方程具有丰富的数学结构[21⇓-23], 利用摄动展开的 Hirota 双线性变换方法可得到该方程各种各样的孤子[1,4]. 更有趣的是, KP 方程正则孤子解结构与 Grassmannian 正则性的联系也可被构建[24].

3.1.1 非局部 KP 方程

KP -II 方程($\sigma^2=1$)

$\begin{equation}\label{e3.1} u_t+u_{xxx}+6 u u_x+ \partial_x ^{-1} u_{yy}=0. \end{equation}$

方程(3.2)可写成 Hirota 双线性导数方程[4]

$\begin{equation}\label{e3.1.1} (D_t D_x +D_x^4+D_y^2 ) f\cdot f =0. \end{equation}$

值得注意的是, KP 方程的双线性形式(3.3)可等价的改写为

$\begin{equation} \left(\frac{2}{1+\xi \tau}D_{\tau,t} D_{\xi,x} +\frac{2}{1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4}D_{\vec{\xi},x}^4+\frac{2}{1+\eta_1 \eta_2} D_{\vec{\eta},y}^2\right) f\cdot f =0, \end{equation}$

由广义双线性算子的定义 2.2 可得, 向量 $\vec{\xi}=(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)$ 和向量 $\vec{\eta}=(\eta_1,\eta_2)$ 需满足

$\begin{matrix}\label{e3.3.0} &&(1+\xi)(1+\tau)=0, (1+\eta_1)(1+\eta_2)=0, \\ &&\xi_1\xi_2+\xi_1\xi_3+\xi_1\xi_4+\xi_2\xi_3+\xi_2\xi_4+\xi_3\xi_4=3(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4),\\ &&\xi_1+\xi_2+\xi_3 +\xi_4 +\xi_1\xi_2\xi_3 +\xi_1\xi_2\xi_4+\xi_1\xi_3\xi_4+\xi_2\xi_3\xi_4=-4(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4). \end{matrix}$

本小节中, 我们将考虑研究广义双线性方程

$\begin{equation}\label{e3.2} (D_{\tau,t} D_{\xi,x} +A D_{\vec{\xi},x}^4+B D_{\vec{\eta},y}^2) f\cdot f =0, \end{equation}$

其中 $A$ 和 $B$ 是任意非零常数. 由此得到 $f$ 的方程

$\begin{matrix}\label{e3.3} &&(1+\xi \tau)f_{tx} f+(\xi+\tau)f_t f_x + A \big[(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4)f f_{xxxx}+(\xi_1+\xi_2+\xi_3 +\xi_4 +\xi_1\xi_2\xi_3 \\ &&+\xi_1\xi_2\xi_4+\xi_1\xi_3\xi_4+\xi_2\xi_3\xi_4)f_xf_{xxx}+(\xi_1\xi_2+\xi_1\xi_3+\xi_1\xi_4+\xi_2\xi_3+\xi_2\xi_4+\xi_3\xi_4)f_{xx}^2\big] \\ &&+B\big[(1+\eta_1 \eta_2)f f_{yy}+(\eta_1+\eta_2)f_y ^2\big]=0, \end{matrix}$

进一步化简可得

$\begin{equation}\label{e3.4} f_{tx}f+a_1 f_t f_x+a_2 ff_{xxxx}+a_3f_x f_{xxx}+a_4f_{xx}^2+a_5ff_{yy}+a_6f_y^2=0, \end{equation}$

其中常数 $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_6$ 对应于

$ a_1=\frac{\xi+\tau}{1+\xi \tau}, \quad\quad a_2=\frac{A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4)}{1+\xi \tau}, $

$ a_3=\frac{A(\xi_1+\xi_2+\xi_3 +\xi_4 +\xi_1\xi_2\xi_3+\xi_1\xi_2\xi_4+\xi_1\xi_3\xi_4+\xi_2\xi_3\xi_4)}{1+\xi \tau}, $$ a_4=\frac{A(\xi_1\xi_2+\xi_1\xi_3+\xi_1\xi_4+\xi_2\xi_3+\xi_2\xi_4+\xi_3\xi_4)}{1+\xi \tau}, $

$ a_5=\frac{B(1+\eta_1 \eta_2)}{1+\xi \tau}, \quad\quad a_6=\frac{B(\eta_1+\eta_2)}{1+\xi \tau}. $

这里引入变量变换

$u=2 \left(\ln f(t,x,y)\right)_{xx}. $

利用该变换, 我们可计算得

$\begin{matrix}\label{e3.5.1} &&f_{xx}=\frac{1}{2}u f+\frac{f_x ^2 }{f},\qquad f_{xxx}=\frac{1}{2}u_x f+\frac{3}{2}u f_x +\frac{f_x^3}{f^2}, \\ &&f_{xxxx}=\frac{1}{2}u_{xx}f+2u_xf_x+\frac{3}{4}u^2f+3\frac{u f_x^2}{f}+\frac{f_x^4}{f^3},\\ &&f_y=\frac{1}{2}f \partial_x^{-2}u_y,\quad\quad f_{yy}=\frac{1}{4}f(\partial_x^{-2}u_y)^2+\frac{1}{2}f\partial_x^{-2}u_{yy}. \end{matrix}$

将(3.9)式代入(3.8)式, 得到

$\begin{matrix}\label{e3.5.2} &&u_t+a_2u_{xxx}+(3a_2+a_4))uu_x+a_5\partial_x^{-1}u_{yy} +(a_5+a_6)\partial_x^{-1}u_y \partial_x^{-2}u_y \\ &&+\left((4a_2+a_3)u_x\frac{f_x}f+(6a_2+3a_3+2a_4)u\frac{f_x^2}{f^2}+2(a_2+a_3+a_4)\frac{f_x^4}{f^4}\right)_x=0. \end{matrix}$

并且

$\begin{matrix}\label{e3.5.3} &&(\frac{u_xf_x}{f})_x=\frac{u_{xx}f_xf+u_xf_{xx}f-u_xf_x^2}{f^2}=\frac{1}{2}u_{xx}\partial_x^{-1}u+\frac{1}{2}uu_x, \\ &&(\frac{uf_x^2}{f^2})_x=\frac{u_xf_x^2}{f^2}+\frac{2uf_{xx}f_x}{f^2}-\frac{2uf_x^3}{f^3}=\frac{1}{4}u_x(\partial_x^{-1}u)^2+\frac{1}{2}u^2\partial^{-1}u, \\ &&(\frac{f_x^4}{f^4})_x=\frac{4f_x^3f_{xx}}{f^4}-\frac{4f_x^5}{f^5}=2u(\ln f)_x^3 =\frac{1}{4}u(\partial_x^{-1}u)^3. \end{matrix}$

将(3.11)式代入(3.10)式, 可计算发现广义双线性 KP 方程(3.6)即等价于非局部 KP 方程

$\begin{matrix}\label{N-KP} &&u_t+a_2u_{xxx}+\frac{10a_2+a_3+2a_4}{2}uu_x+\frac{4a_2+a_3}{2}u_{xx}\partial_x^{-1}u+a_5\partial_x^{-1}u_{yy} \\ &&+\frac{6a_2+3a_3+2a_4}{2}\left(u_x(\partial_x^{-1}u)^2+u^2\partial_x^{-1}u\right)+\frac{a_2+a_3+a_4}{2}u(\partial_x^{-1}u)^3 \\ &&+(a_5+a_6)\partial_x^{-1}u_y \partial_x^{-2}u_y=0. \end{matrix}$

3.1.2 非局部 KP 方程的解

本小节中, 我们将构造非局部 KP 方程的解. 类似于标准双线性变换方法, 将 $f(t,x,y)$ 按参数 $\varepsilon$ 展开成级数

$\begin{equation}\label{e3.6.0} f(t,x,y)=1+f^{(1)}\varepsilon+f^{(2)}\varepsilon^2+\cdots+f^{(j)}\varepsilon^j+\cdots. \end{equation}$

将展开式(3.13)代入(3.6)式, 并比较 $\varepsilon$ 的同次幂系数, 可得 $f^{(n)}$ 的递归关系

$\begin{matrix} \label{e3.6} &&(1+\tau\xi)f_{tx}^{(1)}+A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4)f_{xxxx}^{(1)}+B(1+\eta_1 \eta_2)f_{yy}^{(1)}=0, \end{matrix}$
$\begin{matrix} \\ \label{e3.7} &&(1+\tau\xi)f_{tx}^{(2)}+A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4)f_{xxxx}^{(2)}+B(1+\eta_1 \eta_2)f_{yy}^{(2)} \\ &=&-(D_{\tau,t} D_{\xi,x}+A D_{\vec{\xi},x}^4+B D_{\vec{\eta},y}^2)f^{(1)}\cdot f^{(1)}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} \\ \label{e3.8} &&(1+\tau\xi)f_{tx}^{(3)}+A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4)f_{xxxx}^{(3)}+B(1+\eta_1 \eta_2)f_{yy}^{(3)} \\ &=&-(D_{\tau,t} D_{\xi,x}+A D_{\vec{\xi},x}^4+B D_{\vec{\eta},y}^2)\left[f^{(1)}\cdot f^{(2)}+f^{(2)}\cdot f^{(1)}\right],\\ &&\vdots \end{matrix}$

从(3.14)可知 $f^{(1)}$ 有线性指数函数形式的解

$\begin{equation} \begin{array}{ll} f^{(1)}={\rm e}^{\theta_1},\quad \theta_1=k_1(\omega_1 t+x +p_1 y)+\theta_1^{(0)},\\ \omega_1=-\frac{A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4)}{1+\xi \tau}k_1^2 -\frac{B(1+\eta_1 \eta_2)}{1+\xi \tau} p_1^2. \end{array} \end{equation}$

将此 $f^{(1)}$ 代入(3.15), 有

$\begin{equation} (1+\tau\xi)f_{tx}^{(2)}+A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4)f_{xxxx}^{(2)}+B(1+\eta_1 \eta_2)f_{yy}^{(2)}=0, \end{equation}$

其中 $a_2$, $a_3$, $\cdots $, $a_6$ 满足

$\begin{equation} a_2+a_3+a_4=0, \quad a_6=-a_5. \end{equation}$

若取 $f^{(2)}=0$, 由(3.16)式可得 $f^{(3)}=0$. 继续推理可得 $f^{(4)}=f^{(5)}=\cdots=0$. 则级数被截断而取有限形式. 当 $\varepsilon=1$ 时非局部 KP 方程有孤立波解

$\begin{equation}\label{e3.8.0} u=2\left[\ln (1+{\rm e}^{\theta_1})\right]_{xx}=\frac{k_1^2}{2} \mathrm{sech}^2\frac{\theta_1}{2}. \end{equation}$

类似于上述求孤立波解, 由于(3.14)式是线性微分方程, 它也应有迭加形式的解

$\begin{equation} \begin{array}{ll}\label{e3.8.1} f^{(1)}={\rm e}^{\theta_1}+{\rm e}^{\theta_2},\quad \theta_j=k_j(\omega_j t+x +p_j y)+\theta_j^{(0)},\\ \omega_j=-\frac{A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4)}{1+\xi \tau}k_j^2 -\frac{B(1+\eta_1 \eta_2)}{1+\xi \tau} p_j^2, j=1,2, \end{array} \end{equation}$

将(3.21)式代入(3.15)式, 有

$\begin{matrix}\label{e3.8.3} f^{(2)}={\rm e}^{\theta_1+\theta_2+A_{12}},\qquad {\rm e}^{A_{12}}=\frac{a_4(k_1-k_2)^2-a_5(p_1- p_2)^2}{3a_2(k_1+k_2)^2-a_5(p_1- p_2)^2}. \end{matrix}$

进而将(3.22)式代入(3.16)式得

$(1+\tau\xi)f_{tx}^{(3)}+A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4)f_{xxxx}^{(3)}+B(1+\eta_1 \eta_2)f_{yy}^{(3)}=0, $

当且仅当 $a_4=3a_2$ 时成立.

若取 $\varepsilon=1$ 时非局部 KPII 方程可有二孤子解

$\begin{eqnarray*} && u=2\left[\ln (1+{\rm e}^{\theta_1}+{\rm e}^{\theta_2}+{\rm e}^{\theta_1+\theta_2+A_{12}})\right]_{xx}, \\ &&{\rm e}^{A_{12}}=\frac{3A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4)(k_1-k_2)^2-B(1+\eta_1 \eta_2)(p_1- p_2)^2}{3A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4)(k_1+k_2)^2-B(1+\eta_1 \eta_2)(p_1- p_2)^2}. \end{eqnarray*}$

但需注意的是, 此时方程(3.8)即为双线性方程

$\begin{equation}\label{e3.8.4} (D_t D_x+a_2 D_x^4+a_5D_y^2)f \cdot f =0. \end{equation}$

很明显, 方程(3.23)等价于 KP -II 方程(3.3). 因此, 我们考虑 $a_4\neq3a_2$ 条件下, 解 $f(t,x,y)$ 可以近似地表示为

$\begin{equation}\label{e3} f(t,x,y)=1+f^{(1)}\varepsilon+f^{(2)}\varepsilon^2+o(\varepsilon^3) \quad (\varepsilon\ll1), \end{equation}$

可得到非局部 KPII 方程(3.12)的近似解

$\begin{equation} \begin{array}{ll}\label{e3.8.5} u=2\left[\ln (1+({\rm e}^{\theta_1}+{\rm e}^{\theta_2})\varepsilon+{\rm e}^{\theta_1+\theta_2+A_{12}}\varepsilon^2+o(\varepsilon^3))\right]_{xx},\\ {\rm e}^{A_{12}}=\frac{a_4(k_1-k_2)^2-a_5(p_1- p_2)^2}{3a_2(k_1+k_2)^2-a_5(p_1- p_2)^2}. \end{array} \end{equation}$

进一步, 若设

$\begin{equation} \begin{array}{ll} f^{(1)}={\rm e}^{\theta_1}+{\rm e}^{\theta_2}+{\rm e}^{\theta_3},\quad \theta_j=k_j(\omega_j t+x +p_j y)+\theta_j^{(0)},\\ \omega_j=-\frac{A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4)}{1+\xi \tau}k_j^2 -\frac{B(1+\eta_1 \eta_2)}{1+\xi \tau} p_j^2\quad(j=1,2,3), \end{array} \end{equation}$

我们得到近似解

$\begin{eqnarray*} &&u=2\big[\ln(1+({\rm e}^{\theta_1}+{\rm e}^{\theta_2}+{\rm e}^{\theta_3})\varepsilon+({\rm e}^{\theta_1+\theta_2+A_{12}}+{\rm e}^{\theta_1+\theta_3+A_{13}}+{\rm e}^{\theta_2+\theta_3+A_{23}})\varepsilon^2 +0(\varepsilon^3))\big]_{xx}, \\ && {\rm e}^{A_{jl}}=\frac{a_4(k_j-k_l)^2-a_5(p_j- p_l)^2}{3a_2(k_j+k_l)^2-a_5(p_j- p_l)^2} \quad(j<l,j,l=1,2,3). \end{eqnarray*}$

特别地, 如果令

$\begin{equation} \begin{array}{ll} A=1, \quad\quad \xi_1=\xi_3=\eta_1=\eta_2=-1, \\ B=1,\quad\quad \xi_2=\xi_4=1, \end{array} \end{equation}$

则解(3.20)和解(3.25), 即分别为 KP -II 方程(3.2)的单孤子解和二孤子解.

3.2 BKP 方程

BKP 族由 Date 等人在文献[25-26] 中引入, 可表示为以下双线性形式

$\begin{equation} \begin{array}{ll}\label{e3.8.2} \left[(D_3-D_1^3)D_{-1}+3D_1^2\right]\tau \cdot\tau =0,\\ \left[D_1^6-5D_1^3D_3-5D_3^2+9D_1D_5\right]\tau \cdot\tau =0,\\ \vdots \end{array} \end{equation}$

其中 $D$ 表示 Hirota 微分算子[27]. BKP 族是 KP 方程族的典型子方程族, 它是通过对 Lax 算子$^1$($^1$这里 $\partial=\partial_x$, 上角标星号代表共轭运算: $(AB)^*=B^* A^*, \partial^*=-\partial, f^*=f$, 其中 $f$ 是任意函数.) $L^*=-\partial L\partial^{-1}$ 附加特定条件来定义的. KP 方程与 A-型群相联系, BKP 方程族与 B -型群相联系. 则 BKP 方程是因为属于 B-型 KP 方程而得名. BKP 方程族有两种类型的 tau 函数: 一种来自 KP 方程族(可由 $\tau_{KP}$ 来表示), 它消去了偶数流变量; 另一种是根据流方程直接通过奇变量求得(由 $\tau$ 来表示)[28].

Hirota[27]得到了 BKP 方程的一个 Bäcklund 变换和方(3.28)的孤子解, 并利用 Pfaff 式表示 BKP 方程的孤子解, 证明了双线性 BKP 方程等价于 Pfaff 式恒等式[29-30]. 得到 BKP 方程的有理解, 并证明了在复平面的某些区域, 其 Lump 解仅是非奇异的[31]. 研究了基于 tau 函数的双线性 BKP 方程族的对称约化, 并发现了一些新的可积系统[32]. 从约化角度推导出 BKP 方程族的 Pfaffian 式解[33]. 在这一节中, 我们将广义双线性算子应用于 BKP 方程族的第一个等式, 得到具有非局部项的 BKP 方程.

(2+1) -维 BKP 方程具有以下 Hirota 双线性形式[27]

$\begin{equation}\label{e4.1} (D_tD_y-D_x^3D_y+3D_x^2)f\cdot f=0, \end{equation}$

这里我们令 $x_1=x$, $x_{-1}=y$, $x_3=t$, $\tau=f$. 做相关变量变换 $ u=2\left(\ln f(t,x,y)\right)_x, $ 方程(3.29)可化为非线性偏微分方程

$\begin{equation}\label{e4.1.1} u_{ty}-u_{xxxy}-3(u_x u_y)_x+3u_{xx}=0. \end{equation}$
3.2.1 非局部 BKP 方程

由广义双线性算子的定义, BKP 方程的双线性形式(3.29)可重写为

$\begin{equation} \left(\frac{2}{1+\tau \eta}D_{\tau,t}D_{\eta,y}-\frac{2}{1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1}D_{\vec{\xi},x}^3D_{\eta_1,y}+\frac{3}{1+\xi_4 \xi_5} D_{\xi_4,x}D_{\xi_5,x}\right) f\cdot f =0, \end{equation}$

其中 $\vec{\xi}=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$, 并满足

$\begin{eqnarray*} \label{e4.2.0} &&(1+\tau)(1+\eta)=0,\;\; (1+\xi_4)(1+\xi_5)=0,\;\; (1+\xi_1 \xi_2 \xi_3)(1+\eta_1)=0, \\ && \xi_1\xi_2+\xi_1\xi_3+\xi_1\eta_1+\xi_2\xi_3+\xi_2\eta_1+\xi_3\eta_1=3(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1),\\ && \xi_1+\xi_2+\xi_3 +\xi_1\xi_2\eta_1+\xi_1\xi_3\eta_1+\xi_2\xi_3\eta_1=-3(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1). \end{eqnarray*}$

根据上述运算, 我们研究方程

$\begin{equation}\label{e4.2} (D_{\tau,t}D_{\eta,y}+A D_{\vec{\xi},x}^3D_{\eta_1,y}+B D_{\xi_4,x}D_{\xi_5,x}) f\cdot f =0, \end{equation}$

这里 $A$ 和 $B$ 均为任意非零常数. 展开方程(3.32)得

$\begin{matrix}\label{e4.2.2} f_{ty}f+b_1 f_t f_y+b_2 ff_{xxxy}+b_3f_x f_{xxy}+b_4f_{xx}f_{xy} +b_5f_{xxx}f_y+b_6ff_{xx}+b_7f_x^2=0, \end{matrix}$

其中 $b_1$, $b_2$, $\cdots$, $b_7$ 满足

$b_1=\frac{\tau+\eta}{1+\tau \eta}, \quad\quad b_2=\frac{A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1)}{1+\tau \eta}, $
$b_3=\frac{A(\xi_1+\xi_2+\xi_3 +\xi_1\xi_2\eta_1+\xi_1\xi_3\eta_1+\xi_2\xi_3\eta_1)}{1+\tau \eta}, $
$ b_4=\frac{A(\xi_1\xi_2+\xi_1\xi_3+\xi_1\eta_1+\xi_2\xi_3+\xi_2\eta_1+\xi_3\eta_1)}{1+\tau \eta}, $
$ b_5=\frac{A(\eta_1+\xi_1 \xi_2 \xi_3)}{1+\tau \eta},\quad b_6=\frac{B(1+\xi_4 \xi_5)}{1+\tau \eta}, b_7=\frac{B(\xi_4+\xi_5)}{1+\tau \eta}. $

引入变换

$u=2 \left(\ln f(t,x,y)\right)_x, $

方程(3.33)即化为非局部 BKP 方程

$\begin{matrix}\label{N-BKP} &&u_{ty}+b_2u_{xxxy}+\frac{3(b_2+b_3)}{2}(uu_{xy})_x+\frac{3(b_2+b_4)}{2}(u_xu_y)_x \\ &&+\frac{3(b_2+2b_3+b_4)}{4}(u^2u_y)_x+b_6u_{xx}+(b_6+b_7)uu_x+\frac{b_2+b_5}{2}(u_{xx}\partial_x^{-1}u_y)_x \\ &&+\frac{3(b_2+b_3+b_4+b_5)}{4}(uu_x\partial_x^{-1}u_y)_x+\frac{b_2+3b_3+3b_4+b_5}{8}(u^3\partial_x^{-1}u_y)_x=0. \end{matrix}$
3.2.2 非局部 BKP 方程的解

将 $f(t,x,y)$ 按小参数 $\varepsilon$ 的幂级数展开

$\begin{equation}\label{e4.3.1} f(t,x,y)=1+f^{(1)}\varepsilon+f^{(2)}\varepsilon^2+\cdots+f^{(j)}\varepsilon^j+\cdots. \end{equation}$

将(3.35)式代入(3.32)式, 比较参数 $\varepsilon$ 相同次幂的系数, 得到关于 $f^{(n)}$ 的递推关系式

$\begin{matrix} \label{e4.3} &&(1+\tau\eta)f_{ty}^{(1)}+A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1)f_{xxxy}^{(1)}+B(1+\xi_4 \xi_5)f_{xx}^{(1)}=0, \end{matrix}$
$\begin{matrix} \label{e4.4} &&(1+\tau\eta)f_{ty}^{(2)}+A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1)f_{xxxy}^{(2)}+B(1+\xi_4 \xi_5)f_{xx}^{(2)} \\ &=&-(D_{\tau,t}D_{\eta,y}+A D_{\vec{\xi},x}^3D_{\eta_1,y}+B D_{\xi_4,x}D_{\xi_5,x})f^{(1)}\cdot f^{(1)}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} \label{e4.5} &&(1+\tau\eta)f_{ty}^{(3)}+A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1)f_{xxxy}^{(3)}+B(1+\xi_4 \xi_5)f_{xx}^{(3)} \\ &=&-(D_{\tau,t}D_{\eta,y}+A D_{\vec{\xi},x}^3D_{\eta_1,y}+B D_{\xi_4,x}D_{\xi_5,x})\big[f^{(1)}\cdot f^{(2)} +f^{(2)}\cdot f^{(1)}\big],\\ &&\vdots \end{matrix}$

由(3.36)式, 可得

$\begin{equation} \begin{array}{ll} f^{(1)}={\rm e}^{\theta_1},\quad \theta_1=p_1(\omega_1 t+k_1x +y)+\theta_1^{(0)},\\ \omega_1=-\frac{A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1)}{1+\tau \eta}k_1^3p_1^2 -\frac{B(1+\xi_4 \xi_5)}{1+\tau \eta}k_1^2. \end{array} \end{equation}$

接下来结果分别代入(3.37)式和(3.38)式, 在满足条件 $b_2+b_3+b_4+b_5=0$ 和 $b_7=-b_6$ 时, 我们可取 $f^{(2)}=f^{(3)}=f^{(4)}=\cdots=0$. 此时级数(3.35)被截断. 当取 $\varepsilon=1$ 时可求得非局部 BKP 方程的孤立波解

$\begin{equation}\label{e4.6} u=2\left[\ln (1+{\rm e}^{\theta_1})\right]_x. \end{equation}$

接下来考虑解 $f$ 有以下有限形式

$\begin{equation} f(t,x,y)=1+f^{(1)}\varepsilon+f^{(2)}\varepsilon^2+o(\varepsilon^3) \quad (\varepsilon\ll1), \end{equation}$

如果取

$\begin{equation} \begin{array}{ll}\label{e4.5.1} f^{(1)}={\rm e}^{\theta_1}+{\rm e}^{\theta_2},\quad \theta_j=p_j(\omega_j t+k_jx +y)+\theta_j^{(0)},\\ \omega_j=-\frac{A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1)}{1+\tau \eta}k_j^3p_j^2 -\frac{B(1+\xi_4 \xi_5)}{1+\tau \eta}k_j^2 \quad(j=1,2). \end{array} \end{equation}$

将其代入(3.37)式, 有

$\begin{equation} \begin{array}{ll} f^{(2)}={\rm e}^{\theta_1+\theta_2+A_{12}},\\ {\rm e}^{A_{12}}=\frac{-k_1k_2p_1p_2 \left[b_3(k_1p_1^2+k_2p_2^2)+b_4p_1p_2(k_1+k_2)\right]-b_6p_1p_2(k_1-k_2)^2} {3b_2k_1k_2p_1p_2(k_1p_1+k_2p_2)(p_1+p_2) -b_6p_1p_2(k_1-k_2)^2}. \end{array} \end{equation}$

从而不难推知, 非局部 BKP 方程的近似解可写为

$\begin{equation} \begin{array}{ll}\label{e4.7} u=2\left[\ln (1+({\rm e}^{\theta_1}+{\rm e}^{\theta_2})\varepsilon+({\rm e}^{\theta_1+\theta_2+A_{12}})\varepsilon^2+o(\varepsilon^3))\right]_x,\\ {\rm e}^{A_{12}}=\frac{-k_1k_2p_1p_2 \left[b_3(k_1p_1^2+k_2p_2^2)+b_4p_1p_2(k_1+k_2)\right]-b_6p_1p_2(k_1-k_2)^2} {3b_2k_1k_2p_1p_2(k_1p_1+k_2p_2)(p_1+p_2) -b_6p_1p_2(k_1-k_2)^2}. \end{array} \end{equation}$

类似地, 若取

$\begin{equation} \begin{array}{ll} f^{(1)}={\rm e}^{\theta_1}+{\rm e}^{\theta_2}+{\rm e}^{\theta_3},\quad \theta_j=p_j(\omega_j t+k_jx +y)+\theta_j^{(0)},\\ \omega_j=-\frac{A(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1)}{1+\tau \eta}k_j^3p_j^2 -\frac{B(1+\xi_4 \xi_5)}{1+\tau \eta}k_j^2 \quad(j=1,2,3), \end{array} \end{equation}$

应有近似解

$ u=2\big[\ln (1+({\rm e}^{\theta_1}+{\rm e}^{\theta_2}+{\rm e}^{\theta_3})\varepsilon+({\rm e}^{\theta_1+\theta_2+A_{12}}+{\rm e}^{\theta_1+\theta_3+A_{13}}+{\rm e}^{\theta_2+\theta_3+A_{23}})\varepsilon^2 +o(\varepsilon^3))\big]_x, $
$ {\rm e}^{A_{jl}}=\frac{-k_jk_lp_jp_l \left[b_3(k_jp_j^2+k_lp_l^2)+b_4p_jp_l(k_j+k_l)\right]-b_6p_jp_l(k_j-k_l)^2} {3b_2k_jk_lp_jp_l(k_jp_j+k_lp_l)(p_j+p_l) -b_6p_jp_l(k_j-k_l)^2}, \ (j<l,j,l=1,2,3). $

当取

$\begin{equation}\begin{array}{ll} A=-1, \quad\quad \xi_1=\xi_3=\xi_4=\xi_5=-1, \\ B=\frac{3}{2}, \quad\quad \xi_2=\eta_1=1. \end{array}\end{equation}$

时, 解(3.40)和(3.44)分别对应于 BKP 方程(3.29)的单孤子解和二孤子解.

3.3 (3+1) -维的广义 KP 方程

(3+1) -维的广义 KP 方程[34]

$\begin{equation}\label{e5.1} u_{xxxy}+3(u_x u_y)_x+u_{tx}+u_{ty}-u_{zz}=0, \end{equation}$

该方程可以写成 Hirota 双线性形式但它不属于广义 KP 方程和 Boussinesq 方程[35]

$\begin{eqnarray*} (u_{x_1x_1x_1}-6uu_{x_1})_{x_1}+\sum_{i,j=1}^M a_{ij}u_{x_i x_j}=0, \quad a_{ij}=constant, \quad M\in{\Bbb N}. \end{eqnarray*}$

注意到, 当取 $y=x$ 时方程(3.47)即约化为标准 KP 方程, 因此该方程可看作一个广义 KP 方程, 在研究指数波的线性叠加原理过程中被首次提出[34]. 近些年来, 许多学者开始关注到 (3+1) -维广义 KP 方程各种精确解、可积性和相关性质的研究. 文献[36] 中通过 Hirota 直接方法得到方程(3.47)的多孤子解和奇异解. 研究得到广义 KP 方程双线性方程族的 Wronski 型的 Pfaffian 式解和 Gramm 型的 Pfaffian 式解[37]. 并且, 该方程的 Wronskian 决定解,周期解, 有理解和一个双线性 Bäcklund 变换也已被详细地介绍说明[38⇓-40].

3.3.1 非局部 (3+1) -维的广义 KP 方程

类似于 KPII 方程和 BKP 方程的计算, 通过变换

$\begin{equation}\label{e5.2} u=2\left(\ln f(t,x,y,z)\right)_x, \end{equation}$

方程(3.47)可以写成 Hirota 双线性导数方程

$\begin{equation}\label{e5.3} (D_tD_x+D_tD_y+D_x^3D_y-D_z^2)f\cdot f=0. \end{equation}$

利用广义双线性算子的定义, 方程(3.49)自然地改写为

$\begin{matrix} &&\big(\frac{2}{1+\tau \xi}D_{\tau,t}D_{\xi,x}+\frac{2}{1+\tau_1 \eta}D_{\tau_1,t}D_{\eta,y}+\frac{2}{1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1}D_{\vec{\xi},x}^3D_{\eta_1,y} \\ &&-\frac{2}{1+\gamma_1 \gamma_2} D_{\gamma_1,z}D_{\gamma_2,z}\big) f\cdot f =0, \end{matrix}$

其中向量 $\vec{\xi}=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$ 和其它常数需满足

$\begin{eqnarray*}\label{e5.3.0} &(1+\tau)(1+\xi)=0,\quad\quad (1+\tau_1)(1+\eta)=0,\\ &(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3)(1+\eta_1)=0,\quad\quad (1+\gamma_1)(1+\gamma_2)=0, \\ &\xi_1\xi_2+\xi_1\xi_3+\xi_1\eta_1+\xi_2\xi_3+\xi_2\eta_1+\xi_3\eta_1=3(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1),\\ &\xi_1+\xi_2+\xi_3 +\xi_1\xi_2\eta_1+\xi_1\xi_3\eta_1+\xi_2\xi_3\eta_1=-3(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1). \end{eqnarray*}$

在本小节，我们考虑方程

$\begin{equation}\label{e5.4} \left(D_{\tau,t}D_{\xi,x}+A D_{\tau_1,t}D_{\eta,y}+B D_{\vec{\xi},x}^3D_{\eta_1,y}+C D_{\gamma_1,z}D_{\gamma_2,z}\right) f\cdot f =0, \end{equation}$

其中 $A$, $B$, $C$ 是任意非零常数. 对上述方程进行整理得

$\begin{matrix}\label{e5.6} &&f_{tx}f+c_1f_tf_x+c_2f_{ty}f+c_3 f_t f_y+c_4 ff_{xxxy}+c_5f_x f_{xxy}+c_6f_{xx}f_{xy} \\ &&+c_7f_{xxx}f_y+c_8ff_{zz}+c_9f_z^2=0, \end{matrix}$

这里 $c_1$, $c_2$, $\cdots$, $c_9$ 表示为

$\begin{matrix} && c_1=\frac{\tau+\xi}{1+\tau \xi}, \quad\quad c_2=\frac{A(1+\tau_1\eta)}{1+\tau \xi}, \\ && c_3=\frac{A(\tau_1+\eta)}{1+\tau_1 \xi}, \quad\quad c_4=\frac{B(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1)}{1+\tau \xi}, \\ &&c_5=\frac{B(\xi_1+\xi_2+\xi_3 +\xi_1\xi_2\eta_1+\xi_1\xi_3\eta_1+\xi_2\xi_3\eta_1)}{1+\tau \xi},\\ && c_6=\frac{B(\xi_1\xi_2+\xi_1\xi_3+\xi_1\eta_1+\xi_2\xi_3+\xi_2\eta_1+\xi_3\eta_1)}{1+\tau \xi}, \\ && c_7=\frac{B(\eta_1+\xi_1 \xi_2 \xi_3)}{1+\tau \xi},\quad c_8=\frac{C(1+\gamma_1 \gamma_2)}{1+\tau \xi}, c_9=\frac{C(\gamma_1+\gamma_2)}{1+\tau \xi}. \end{matrix}$

通过变量变换(3.48)式, 即可得到非局部 gKP 方程

$\begin{matrix}\label{egkp} &&u_{tx}+c_2u_{ty}+c_4u_{xxxy}+\frac{3(c_4+c_5)}{2}(uu_{xy})_x+\frac{3(c_4+c_6)}{2}(u_xu_y)_x \\ &&+\frac{3(c_4+2c_5+c_6)}{4}(u^2u_y)_x+c_8u_{zz}+\frac{c_4+c_7}{2}(u_{xx}\partial_x^{-1}u_y)_x \\ &&+\frac{3(c_4+c_5+c_6+c_7)}{4}(uu_x\partial_x^{-1}u_y)_x+\frac{c_4+3c_5+3c_6+c_7}{8}(u^3\partial_x^{-1}u_y)_x \\ &&+(c_8+c_9)u_z \partial_x^{-1}u_z+\frac{c_2+c_3}{2}\left[u_t\partial_x^{-1}u_y+u_y\partial_x^{-1}u_t\right]=0. \end{matrix}$
3.3.2 非局部 (3+1) -维的广义 KP 方程的解

如第一节和第二节中 KPII 方程和 BKP 方程类似的步骤计算, 我们可得非局部 gKP 方程的解.

非局部 gKP 方程的孤立波解为

$\begin{equation}\begin{array}{ll}\label{e5.7} u=2[\ln (1+{\rm e}^{\theta_1})]_x,\quad\quad \theta_1=\omega_1 t+k_1x +ak_1y+m_1 z+\theta_1^{(0)},\\ \omega_1=-\frac{B(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1)ak_1^4+C(1+\gamma_1 \gamma_2)m_1^2}{(1+\tau\xi)k_1+A(1+\tau_1\eta)ak_1}, \quad a\neq-\frac{1+\tau\xi}{A(1+\tau_1\eta)}, \end{array}\end{equation}$

其中需满足条件 $c_4+c_5+c_6+c_7=0$, $c_9=-c_8$.

若取

$\begin{equation}\begin{array}{ll}\label{e5.9} f^{(1)}={\rm e}^{\theta_1}+{\rm e}^{\theta_2},\quad \theta_j=\omega_j t+k_jx +ak_jy+m_j z+\theta_j^{(0)},\\ \omega_j=-\frac{B(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1)ak_j^4+C(1+\gamma_1 \gamma_2)m_j^2}{(1+\tau\xi)k_j+A(1+\tau_1\eta)ak_j} \quad(j=1,2). \end{array}\end{equation}$

非局部 gKP 方程有近似解

$\begin{equation}\begin{array}{ll} u=2\left[\ln (1+({\rm e}^{\theta_1}+{\rm e}^{\theta_2})\varepsilon+({\rm e}^{\theta_1+\theta_2+A_{12}})\varepsilon^2+o(\varepsilon^3))\right]_x, \\ \theta_j=\omega_j t+k_jx +ak_jy+m_j z+\theta_j^{(0)},\\ \omega_j=-\frac{B(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1)ak_j^4+C(1+\gamma_1 \gamma_2)m_j^2}{(1+\tau\xi)k_j+A(1+\tau_1\eta)ak_j}, \quad(j=1,2)\\ {\rm e}^{A_{12}}=\frac{aBc_6k_1^2k_2^2(k_1-k_2)^2-c_8(k_1m_2-k_2m_1)^2}{3ac_4k_1^2k_2^2(k_1+k_2)^2-c_8(k_1m_2-k_2m_1)^2}, \quad a\neq-\frac{1+\tau\xi}{A(1+\tau_1\eta)}. \end{array}\end{equation}$

若我们取

$\begin{eqnarray*} &&f^{(1)}={\rm e}^{\theta_1}+{\rm e}^{\theta_2}+{\rm e}^{\theta_3},\quad \theta_j=\omega_j t+k_jx +ak_jy+m_j z+\theta_j^{(0)},\\ &&\omega_j=-\frac{B(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1)ak_j^4+C(1+\gamma_1 \gamma_2)m_j^2}{(1+\tau\xi)k_j+A(1+\tau_1\eta)ak_j} \quad(j=1,2,3). \end{eqnarray*}$

类似的计算可说明非局部 gKP 方程有近似解

$\begin{matrix} && u=2\big[\ln(1+({\rm e}^{\theta_1}+{\rm e}^{\theta_2}+{\rm e}^{\theta_3})\varepsilon+({\rm e}^{\theta_1+\theta_2+A_{12}}+{\rm e}^{\theta_1+\theta_3+A_{13}}+{\rm e}^{\theta_2+\theta_3+A_{23}})\varepsilon^2 +o(\varepsilon^3))\big]_x, \\ && \theta_j=\omega_j t+k_jx +ak_jy+m_j z+\theta_j^{(0)}, \\ && \omega_j=-\frac{B(1+\xi_1 \xi_2 \xi_3 \eta_1)ak_j^4+C(1+\gamma_1 \gamma_2)m_j^2}{(1+\tau\xi)k_j+A(1+\tau_1\eta)ak_j},\\ && {\rm e}^{A_{jl}}=\frac{aBc_6k_j^2k_l^2(k_j-k_l)^2-c_8(k_jm_l-k_lm_j)^2} {3ac_4k_j^2k_l^2(k_j+k_l)^2-c_8(k_jm_l-k_lm_j)^2}, \\ &&a\neq-\frac{1+\tau\xi}{A(1+\tau_1\eta)}, \quad (j<l,j,l=1,2,3), \end{matrix}$

这里选择常数特例

$\begin{equation}\begin{array}{ll} A=1, \quad\quad B=1, \quad\quad \xi_2=\eta_1=1, \\ C=-1, \quad\quad \xi_1=\xi_3=\gamma_1=\gamma_2=-1. \end{array}\end{equation}$

则解(3.55)即为标准方程 gKP(3.47)的单孤子解.

4 总结

作为 Hirota 双线性变换方法的推广, 本文引入广义双线性变换方法[15], 并对 KP -型方程进行了研究. 详细讨论了广义双线性算子的各种性质, 得到了与 KPII 方程、BKP 方程、(3+1) -维 gKP 方程相对应的新的广义双线性方程, 利用广义双线性算子的定义得到了含有一些非局部项的新方程. 即使它们都是不可积的, 我们利用双线性变换方法也可得到它们的孤立波解和近似解. 后续我们将进一步研究广义双线性算子的性质, 预期得到非局部 KP -型方程的其它新的精确解.

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