本文研究1-维$ p $-Laplacian方程

(1.1) $ \begin{equation} ({\left|x'\right|}^{p-2} x')'+f(t, x)=0 \end{equation} $

的小振幅次调和解的存在性和重性. 其中$ p>1, f(t, x)\in C({{\Bbb R}} \times{{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} ) $, 且关于时间$ t $是$ 2\pi $周期的, $ f(t, x) $在原点附近满足$ p $-次线性条件, 即

$ (f_0) $$ \lim\limits_{|x|\rightarrow0}\frac{f(t, x)}{|x|^{p-2}x}=0 $, 对$ \forall t\in{{\Bbb R}} $一致成立.

此类模型源于非牛顿流体力学和多孔媒介中气体湍流问题. 对于1-维$ p $-Laplacian方程的研究, 已有很多基础且重要的研究结果, 见文献[1–8] 及其引文.

Del Pino M A和Manásevich R在文献[4] 中, 利用比较定理和叠合度理论证明了半线性条件下方程(1.1) 周期解的存在性, 并用Poincaré-Birkhoff扭转定理得到了参数变化下多个周期解的存在性. Manásevich R与Zanolin F在文献[9] 中讨论了拟线性Direchlet边值问题, 应用时间映射, Leray-Schauder度和极大值原理, 得到了解的存在性和多解性结果. Zhang M^[10]用作用-角变换和权特征值法给出了方程

$ (|x'|^{p-2}x')'+g(x)x'+f(t, x)=0 $

的周期解的存在性条件. 文献[11]中利用单位分解定理和Poincaré 不动点定理得到了一类在原点附近满足超线性条件的一维$ p $-Laplacian方程的无穷多调和解的存在性. 文献[12] 证明了带有小参数奇异$ p $-Laplacian方程的正解的存在性.

Jacobowitz H在文献[13] 中用后继映射讨论了原点附近次线性的二阶方程, 即$ p=2 $的情况. 但$ p\neq2 $时, 方程(1.1)的后继映射并不是保面积的. 因此我们无法对后继映射应用Poincaré-Birkhoff扭转定理.

相福香在她的硕士论文[14] 中, 在$ p $-次线性条件$ (f_0) $及下述条件

$ (f'_s) $  当$ |x|\neq 0, \ \forall t\in{{\Bbb R}} $时,   $ {\rm sgn}(x)f(t, x)>0 $;

$ (f'_\alpha) $  存在$ c_0>0, \alpha>0 $, 使得当$ |x|\geq c_0, \forall t\in{{\Bbb R}} $时,   $ |f(t, x)|\leq \alpha|x|^{p-1} $成立.

下得到了方程(1.1) 的小振幅次调和解的存在性和重性. 其中无穷远处的控制条件$ (f'_\alpha) $的作用是保证方程(1.1) 的解是全局存在的, 从而相应的Poincaré 映射有定义.

本文的研究是在文献[14] 的基础上, 去掉无穷远处的控制条件$ (f'_\alpha) $, 且符号条件减弱成

$ (f_s) $  存在常数$ d>0 $, 当$ 0<|x|\leq d, \ \forall t\in{{\Bbb R}} $时, $ {\rm sgn}(x)f(t, x)>0 $.

本文的工作有两方面的创新, 一是与Jacobowitz H文献[13]的工作相比较, 模型包含了经典的二阶方程作为特例; 二是与文献[14] 相比较, 文中的条件更弱. 本文的困难有两方面: 一是方程化成平面系统以后, 右端项并不满足局部Lipschitz条件, 因此解的存在唯一性及解对初值的连续依赖性都要证明; 二是本文去掉了无穷远处的控制条件, 文献[14] 中用来保证解的全局存在性. 本文采用几何化的处理方式: 对无穷远处作挖补, 改造成线性系统, 使改造后的系统满足解的全局存在性, 从而Poincaré映射是有定义的. 证明方法基于经典的Poincaré-Birkhoff扭转定理.

方程(1.1) 改写成Hamiltonian系统

$\begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} x'=|y|^{q-2}y, \\ y'=-f(t, x). \end{array} \right. \;\;\;\;\;\;\;(*)\end{align} $

其中, $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $.

本文的结果如下.

定理1.1   在条件$ (f_0) $, $ (f_s) $下, 1-维$ p $-Laplacian方程(1.1) 存在无穷多$ m $阶次调和解$ x_k(t) $, 且

$ \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } \mathop {\inf }\limits_{t \in [0, 2m\pi ]} \left\{ {\left| {{x_k}(t)} \right| + \left| {{y_k}(t)} \right|} \right\} = 0. $

由于$ (\ast) $的右端函数$ f(t, x) $仅是连续的, 需要作光滑逼近. 设$ \varepsilon_0 $为一充分小正数, 取$ \varepsilon\in(0, \varepsilon_0] $. 取光滑函数$ f_\varepsilon(t, x) $, 满足

(2.1) $ \begin{equation} |f(t, x)-f_\varepsilon(t, x)|<\varepsilon, \quad |x|\leq d. \end{equation} $

由$ f_\varepsilon(t, x) $的取法可知, $ f_\varepsilon(t, x) $满足下列性质

$ (f_0)_\varepsilon $    $ \lim\limits_{|x|\rightarrow0}\frac{f_\varepsilon(t, x)}{|x|^{p-2}x}=0 $, 对$ \forall t\in{{\Bbb R}} $一致成立;

$ (f_s)_\varepsilon $   存在常数$ d>0 $, 当$ 0<|x|\leq d, \ \forall t\in{{\Bbb R}} $时, $ {\rm sgn}(x)f_\varepsilon(t, x)>0 $.

考虑方程($ \ast $) 的逼近系统

$ \left\{ \begin{array}{ll} x'=|y|^{q-2}y, \\ y'=-f_\varepsilon(t, x). \end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{(\ast)_\varepsilon} $

尽管如此, 当$ p\neq2 $时, $ (\ast)_\varepsilon $的右端项在$ y=0(p>2) $不是Lipschitz连续的, 因此初值问题的解的唯一性以及解对初值的连续依赖性都需要证明.

系统$ (\ast)_\varepsilon $满足初值条件$ (x(t_0), y(t_0))=(x_0, y_0) $的解$ (x_\varepsilon(t;t_0, x_0, y_0), y_\varepsilon(t;t_0, x_0, y_0)) $, 简记成$ (x_\varepsilon(t), y_\varepsilon(t)) $. 在本节中, 仍用记号$ (x(t), y(t)) $表达$ (\ast)_\varepsilon $的解.

引理2.1   方程$ (\ast)_\varepsilon $的满足初值条件的解是存在唯一的, 且解对初值是连续依赖的.

证  解的初值问题的存在性由右端函数的连续性及Peano定理可得, 唯一性分三种情形讨论.

情形1  满足初值条件$ (x(t_0), y(t_0))=(0, 0) $的解是唯一的且是零解.

定义Liapunov函数

$ F(x, y)=\frac{1}{q}|y|^q+\frac{1}{p}|x|^p. $

则有

(2.2) $ \begin{equation} (x, y)= (0, 0) \Longleftrightarrow F_(x, y)= 0. \end{equation} $

考虑从$ (0, 0)_\varepsilon $点附近出发的解, 对函数$ F(t)=F(x(t), y(t)) $关于变量$ t $求全导数, 利用原点附近的$ p $-次线性条件$ (f_0) $, 得

$ \begin{eqnarray*} \left|F'(x(t), y(t))\right| & = & \left||y|^{q-2}yy'+|x|^{p-2}xx' \right| \\ & = &\left||y|^{q-2}y(|x|^{p-2}x-f_\varepsilon(t, x))\right| \\ & \leq& 2|y|^{q-1}|x|^{p-1} \\ & \leq &2(\frac{1}{p}|y|^{q}+\frac{1}{q}|x|^{p}). \end{eqnarray*} $

最后一个不等式, 由Young不等式得到. 于是

(2.3) $ \begin{equation} \left|F'(t)\right| \leq 2F(t). \end{equation} $

由Gronwall不等式可得

$ F(t_0){\rm e}^{-2(t-t_0)} \leq F(t)\leq F(t_0){\rm e}^{2(t-t_0)}. $

所以, 从$ (0, 0) $点附近出发的解在任何有限时间内都不到达原点.

情形2   $ y_0\neq 0 $时, 函数$ |y|^{q-2}y $在$ y=y_0 $时是Lipschitz连续的, 从而系统$ (\ast)_\varepsilon $满足初值条件$ (x_0, y_0) $的解$ (x(t), y(t)) $是唯一的.

情形3  如果$ y_0= 0 $, 可以分两种情况, $ p>2 $和$ 1<p\leq2 $, 或者, 等价地, $ 1<q<2 $和$ q\geq2 $. 如果$ q\geq2 $, 函数$ |y|^{q-2}y $是Lipschitz连续的, 由微分方程的一般理论可得解的存在唯一性. 如果$ 1<q<2 $, 函数$ |y|^{q-2}y $在$ y=0 $处仅Hölder连续, 不是Lipschitz连续的, 因此满足初值条件$ (x_0, 0) $的解的唯一性需要特别证明.

不妨令$ t_0=0 $, $ t_0\neq0 $时的证明只须考虑充分靠近$ t_0 $的$ t $, 估计式中作$ t $的平移即可. 考虑初值问题

$ \left\{ \begin{array}{ll} x'=|y|^{q-2}y, \quad y'=-f_\varepsilon(t, x); \\ x(0)=a\neq0, \quad y(0)=0. \end{array} \right. $

将上述问题转化成等价的积分方程

$ x(t)=a-\int_0^t \psi_q \left(\int_0^\tau f_\varepsilon(s, x(s)){\rm d}s \right){\rm d}\tau. $

其中$ \psi_q(\tau)=|\tau|^{q-2}\tau. $令$ b= f_\varepsilon(0, x(0))=f_\varepsilon(0, a) $, 由符号条件$ (f_s)_\varepsilon $可知

$ |b|=|f_\varepsilon(0, a)|>0. $

所以在$ t=0 $附近, $ \int_0^tf_\varepsilon(s, x(s)){\rm d}s\sim bt. $

设$ x_1(t), x_2(t) $是方程的两个解, 由中值定理可得

$ \begin{eqnarray*} x_2(t)- x_1(t)&=& \int_0^t \psi_q \left(\int_0^\tau f_\varepsilon(s, x_1(s)){\rm d}s \right){\rm d}\tau - \int_0^t \psi_q \left(\int_0^\tau f_\varepsilon(s, x_2(s)){\rm d}s \right){\rm d}\tau \\ &= &\int_0^t \psi'_q (\xi(\tau)) \left(\int_0^\tau f_\varepsilon(s, x_1(s)){\rm d}s- \int_0^\tau f_\varepsilon(s, x_2(s)){\rm d}s\right){\rm d}\tau \\ &= &\int_0^t {\rm d}s \int_s^t \psi'_q (\xi(\tau)) \left(f_\varepsilon(s, x_1(s)){\rm d}s- f_\varepsilon(s, x_2(s))\right){\rm d}\tau \\ &=&\int_0^t \left( \int_s^t \psi'_q (\xi(\tau)){\rm d}\tau\right) \left(f_\varepsilon(s, x_1(s))- f_\varepsilon(s, x_2(s))\right){\rm d}s. \end{eqnarray*} $

其中, $ \xi(\tau) $是介于两个积分$ \int_0^\tau f_\varepsilon(s, x_1(s)){\rm d}s $与$ \int_0^\tau f_\varepsilon(s, x_2(s)){\rm d}s $之间的数值, 因此$ \xi(\tau)\sim b\tau $, 自然就有$ \xi(\tau)>\frac{1}{2} |b|\tau $和$ |\psi'_q (\xi(\tau))|\leq c\tau^{q-2} $, 其中$ c $为一常数. 再由$ x\neq 0 $时, $ f(t, x) $关于变量$ x $满足局部Lipschitz条件, 可得

$ \begin{eqnarray*} |x_2(t)- x_1(t)| & \leq &c \left|\int_0^t \left( \int_s^t \tau^{q-2} {\rm d}\tau \right) \left(f_\varepsilon(s, x_1(s))- f_\varepsilon(s, x_2(s))\right){\rm d}s \right| \\ & \leq &c\int_0^t \left( \int_s^t \tau^{q-2} {\rm d}\tau \right) |x_1(s)- x_2(s)|{\rm d}s \\ & \leq &c\int_0^t |x_1(s)- x_2(s)|{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

再次利用Gronwall不等式, 得出$ x_2(t)\equiv x_1(t) $. 从而方程$ (\ast)_\varepsilon $满足初值条件$ (x_0, y_0) $的解$ (x(t), y(t)) $是存在唯一的. 而解的唯一性又蕴含解对初值的连续依赖性^[15]. 证毕.

由于非零解不过原点, 可用极坐标变换$ x=r\cos\theta, y=r\sin\theta $把方程$ (\ast)_\varepsilon $化为

(2.4) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} r'={\cal R}(t, r, \theta), \\ \theta'=\Theta(t, r, \theta). \end{array} \right. \end{equation} $

下面分析系统(2.4) 轨线的性质.

引理2.2   (小振幅解的盘旋性质)    任给小常数$ r_0>0 $, 存在小常数$ r'_1, \ r''_1>0, $满足$ r'_1<r_0< r''_1 $和$ r_0\rightarrow 0 \Longleftrightarrow r'_1, \ r''_1\rightarrow 0, $使从$ (r_0, \theta_0) $出发的解$ (r(t), \theta(t)) $有如下性质: 存在$ L=L(r_0, \theta_0) $, 使在$ t\in[t_0, t_0+L] $时, 解一直停留在环域$ {\cal A}(r'_1, r''_1) $的内部, 且$ \theta(t_0+L)-\theta_0=-2\pi. $其中$ {\cal A}(r'_1, r''_1)=\{(r, \theta): r'_1< r < r''_1\} $.

证   记区域$ {\cal D}=\{(x, y)\in {{\Bbb R}} ^2:\sqrt{x^2+y^2}=r\leq d \} $. 现在, 把$ {\cal D} $分割成如下的四个子区域

$ {\cal D}_1=\{(x, y)\in {{\Bbb R}} ^2: x\geq0, \ y\geq 0 \};{\quad} {\cal D}_2=\{(x, y)\in {{\Bbb R}} ^2: x\geq 0, \ y \leq0 \}; $

$ {\cal D}_3=\{(x, y)\in {{\Bbb R}} ^2: x\leq 0 , \ y\leq 0 \}; {\quad} {\cal D}_4=\{(x, y)\in {{\Bbb R}} ^2:x\leq 0, \ y\geq0 \}. $

不妨设解自正$ y $-轴上$ z_0=(x_0, y_0)=(0, y_0)\in{\cal D}_1 $, 其极坐标形式$ z_0=(r_0, \theta_0) $的某点出发, 轨线记做$ \gamma_{z_0}: z(t)=(r(t), \theta(t)) $.

下证$ y_0\leq a $时, 轨线必在$ L_1 $时间段内按下面的顺序

$ {\cal D}_1\rightarrow {\cal D}_2\rightarrow {\cal D}_3\rightarrow {\cal D}_4. $

绕原点顺时针转一圈, 且$ r(t) $的长度可以控制住. 我们将按不同的$ i\ (1\leq i\leq 4) $, 估计$ r(t) $的范围.

首先, 设$ z(t)\in {\cal D}_1. $

令

$ g_+(x)=\max\limits_{t\in[0, 2\pi]}\{|f_\varepsilon(t, x)|\}, \quad G_+(x)=\int_0^x g_+(s){\rm d}s\rightarrow 0 \Leftrightarrow x \rightarrow 0. $

为了更精确地描述轨线在$ {\cal D}_1 $中的运动, 我们记$ \Gamma_1\doteq \Gamma_1(y_0) $

$ \Gamma_1: \frac{|y|^q}{q}+G_+(x)=\frac{|y_0|^q}{q}, \quad (x(t), y(t))\in {\cal D}_1. $

然后, 考虑辅助函数

$ H_+(t)= \frac{|y(t)|^q}{q}+G_+(x(t)), $

对$ t $求微商, 有

(2.5) $ \begin{equation} \frac{{\rm d} H_+(t)}{{\rm d}t}\Big|_{(x(t), y(t))}=|y|^{q-1}y(g_+(x)-f_\varepsilon(t, x))\geq 0, \qquad (x(t), y(t))\in {\cal D}_1. \end{equation} $

这就意味着$ \gamma_{z_0} $在$ {\cal D}_1 $内位于$ \Gamma_1 $的外侧. 半径$ r(t)\geq \min\limits_{((x(t), y(t))\in\Gamma_1} \{\sqrt{x^2+y^2}\}\doteq \eta_1(r_0) $, 且有$ \eta_1(r_0)\rightarrow 0\Leftrightarrow r_0\rightarrow 0. $

另一方面, 在区域$ {\cal D}_1 $中, 令

$ g_-(x)=\min\limits_{t\in[0, 2\pi]}\{f(t, x)\}, \quad G_-(x)=\int_0^x g_-(s){\rm d}s\rightarrow 0 \Leftrightarrow x \rightarrow 0. $

记$ \Gamma'_1\doteq \Gamma'_1(y_0) $

$ \Gamma'_1: \frac{|y|^q}{q}+G_-(x)=\frac{|y_0|^q}{q}, \quad (x(t), y(t))\in {\cal D}_1. $

然后, 考虑辅助函数

$ H_-(t)= \frac{|y(t)|^q}{q}+G_-(x(t)), $

对$ t $求微商,

(2.6) $ \begin{equation} \frac{{\rm d} H_-(t)}{{\rm d}t}\Big|_{(x(t), y(t))}=|y|^{q-1}y(g_-(x)-f_\varepsilon(t, x))\leq 0, \qquad (x(t), y(t))\in {\cal D}_1. \end{equation} $

这就意味着$ \gamma_{z_0} $在$ {\cal D}_1 $内位于$ \Gamma'_1 $的内侧. 半径$ r(t)\leq \max\limits_{((x(t), y(t))\in\Gamma'_1} \{\sqrt{x^2+y^2}\}\doteq \eta'_1(r_0) $, 且有$ \eta'_1(r_0)\rightarrow 0 \Leftrightarrow r_0\rightarrow 0. $由此, 就得到了在此区域内轨线的半径可被控制

$ \eta_1(r_0)\leq r(t)\leq \eta'_1(r_0), \qquad (x(t), y(t))\in {\cal D}_1. $

且设$ \gamma_{z_0} $在$ t_1 $时刻与正$ x $-轴第一次相交于点$ (x_1, 0) $. 注意到$ x_1=r_1 $. 这样, 轨线就穿过正$ x $-轴进入$ {\cal D}_2 $.

其次, $ z(t)\in {\cal D}_2. $记$ \Gamma_2\doteq \Gamma_2(r_1) $

$ \Gamma_2: \frac{|y|^q}{q}+G_+(x)=G_+(r_1), \quad (x(t), y(t))\in {\cal D}_2. $

然后, 考虑辅助函数

$ H_+(t)= \frac{|y(t)|^q}{q}+G_+(x(t)), $

关于$ t $求导, 得到

(2.7) $ \begin{equation} \frac{{\rm d}H_+(t)}{{\rm d}t}\Big|_{(x(t), y(t))}=|y|^{q-1}y(g_+(x)-f_\varepsilon(t, x))\leq 0, \qquad (x(t), y(t))\in {\cal D}_2. \end{equation} $

这就意味着$ \gamma_{z_0} $在$ {\cal D}_2 $内位于$ \Gamma_2 $的内侧. 半径$ r(t)\leq \max\limits_{((x(t), y(t))\in\Gamma_2} \{\sqrt{x^2+y^2}\}\doteq \eta_2(r_1) $, 且有$ \eta_2(r_1)\rightarrow0 \Leftrightarrow r_1\rightarrow 0. $

另一方面, 在区域$ {\cal D}_2 $中, 记$ \Gamma'_2\doteq \Gamma'_2(r_1) $

$ \Gamma'_2: \frac{|y|^q}{q}+G_-(x)=G_-(r_1), \quad (x(t), y(t))\in {\cal D}_2. $

然后, 考虑辅助函数

$ H_-(t)= \frac{|y(t)|^q}{q}+G_-(x(t)), $

对$ t $求导, 可得

(2.8) $ \begin{equation} \frac{{\rm d}H_-(t)}{{\rm d}t}\Big|_{(x(t), y(t))}=|y|^{q-1}y(g_-(x)-f_\varepsilon(t, x))\geq 0, \qquad (x(t), y(t))\in {\cal D}_2. \end{equation} $

上式蕴涵着$ \gamma_{z_0} $在$ {\cal D}_2 $内位于$ \Gamma'_2 $的外侧. 半径$ r(t)\geq \min\limits_{((x(t), y(t))\in\Gamma'_2} \{\sqrt{x^2+y^2}\}\doteq \eta'_2(r_1) $, 且有$ \eta'_2(r_1)\rightarrow0 \Leftrightarrow r_1\rightarrow 0. $由此, 我们就得到了在此区域内轨线的极径$ r(t) $满足

$ \eta'_2(r_1)\leq r(t)\leq \eta_2(r_1), \qquad (x(t), y(t))\in {\cal D}_2. $

又由(2.8) 式可知, 轨线必在时刻$ t_2 $时刻与负$ y- $轴第一次相交于点$ (0, y_2) $, 进入$ {\cal D}_3 $区域.

同样, 对于解$ (x(t), y(t))\in {\cal D}_i $的情形$ i=3, 4 $, 可以仿照上面的讨论, 分别证明.

综合上述分析可知, 当$ z(t)\in{\cal D}_i $时, 其半径$ r(t) $都可以被该区域内的初始半径所控制. 这样, 我们就可以取各区域内半径$ r(t) $下界的最小值和上界的最大值, 都是$ r_0 $的函数, 分别记为$ r'_1, r''_1 $, 取$ r_0 $适当小, 使得$ r''_1< d $. 记从$ (r_0, \theta_0) $出发的轨线绕原点转一圈的时间为$ L_1=L_1(r_0, \theta_0) $, 此时, 在$ L_1 $时间段内, 就有$ r(t)< d $. 这就证明了在$ L_1 $时间内, 当$ r_0 $充分小时, 从半径为$ r_0 $的圆周上出发的解夹在环域$ {\cal A}(r'_1, r''_1) $内部. 证毕.

上述引理运用$ k $次, 就可得到如下引理.

引理2.3  (小振幅解的盘旋性质)    任给正整数$ k $, 小常数$ r_k>0 $, 存在$ r'_k, \ r''_k>0 $, \ 使$ r'_k< r_k<r''_k $, 对于从$ r_0=r_k $出发的解$ (r(t), \theta(t)) $有如下性质：存在$ L_k=L_k(r_0, \theta_0) $在$ t\in[0, L_k] $时, $ r(t)\in{\cal A}(r'_k, r''_k) $, 且$ \theta(t_0+L_k)-\theta_0=-2k\pi $. 进一步, $ r_k\rightarrow 0 \Leftrightarrow r'_k, \ r''_k\rightarrow 0. $

当$ 0<r<d $时, 由$ \theta'<0 $, 可知小振幅的非零解绕原点顺时针旋转.

引理2.4   (解的回转性质)    令$ t_1>t_0 $, 假设轨线在相平面上的辐角满足$ \theta(t_1)-\theta(t_0)<-2N\pi $, 则对任何$ t_2>t_1 $, 有$ \theta(t_2)-\theta(t_0)<-2N\pi+\pi. $

证   由$ x'=|y|^{q-2}y $可见, 当轨线与$ y $轴的正半轴相交时有$ x'(t)=|y(t)|^{q-2}y(t)>0 $, 而与负半轴相交时有$ x'(t)=|y(t)|^{q-2}y(t)<0 $. 因此, 当轨线与$ y $轴相交时, 是按顺时针方向横截相交的. 当轨线从正(或负)$ y $轴到负(或正)$ y $轴时, 轨线的辐角获得增量$-\pi $, 而当轨线在右(或左)半平面内时, 无论如何活动, 它的辐角所获得的增量也不超过$ +\pi $. 由此可见, 在任何时间区间$ t_1\leq t \leq t_2 $内, 轨线的辐角所获得的增量满足不等式

$ \varphi(t_2)-\varphi(t_1)<\pi. $

所以对任何$ t_2>t_1 $, 有

$ \theta(t_2)-\theta(t_0)=(\theta(t_2)-\theta(t_1))+(\theta(t_1)-\theta(t_0))<-2N\pi+\pi. $

证毕.

对于小振幅的非零解还可以证明如下引理.

引理2.5   (慢速)    设$ \tau(h) $为方程$ (\ast)_\varepsilon $的解在$ r\leq h $的区域内转一圈所用时间的下确界, 则$ \lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\tau(h)=+\infty. $

证   固定$ \delta>0 $, 由原点处的$ p $-次线性条件$ (f_0)_\varepsilon $知: 对任意正数$ \delta $ (无论有多小), 存在正常数$ a=a(\delta) $ (不妨取$ a<d $), 使得

(2.9) $ \begin{equation} \frac{f_\varepsilon(t, x)}{|x|^{p-2}x}\leq \delta^{p}, \qquad \forall t\in{{\Bbb R}} , \ |x|\leq a. \end{equation} $

记$ M\doteq\delta^{p} $. 注意到$ p>1 $, 所以$ \delta \rightarrow 0 \Leftrightarrow M\rightarrow0. $引入另一个角变量$ \widehat{\theta} $为

(2.10) $ \begin{equation} \cos \widehat{\theta}=\frac{M^{\frac{1}{2}}|x|^{\frac{p}{2}-1}x}{(M|x|^p+|y|^q)^{\frac{1}{2}}}, \quad \sin \widehat{\theta}=\frac{|y|^{\frac{q}{2}-1}y}{(M|x|^p+|y|^q)^{\frac{1}{2}}}. \end{equation} $

注意到$ \cos \widehat{\theta} $与$ \cos\theta $; $ \sin \widehat{\theta} $与$ \sin\theta $分别有相同的符号, 且两个角变量$ \theta $与$ \widehat{\theta} $始终在同一象限, $ \widehat{\theta}=2k\pi+i\frac{\pi}{2}, \ k\in {\Bbb Z}, \ i=0, 1, 2, 3 $当且仅当极坐标角变量$ \theta $满足同样的等式. 因此, 如果在初始时刻$ t=0 $时有$ |\widehat{\theta}-\theta|<\frac{\pi}{2} $, 则对于不经过原点的连续曲线也是如此.

$ \begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}\widehat{\theta}}{{\rm d}t}&=&M^{\frac{1}{2}}\frac{|x|^{\frac{p}{2}-1}x\frac{\rm d}{{\rm d}t}(|y|^{\frac{q}{2}-1}y) -|y|^{\frac{q}{2}-1}y\frac{\rm d}{{\rm d}t}(|x|^{\frac{p}{2}-1}x)} {M|x|^p+|y|^q}, \\ &=&-\frac{1}{2}M^{\frac{1}{2}}\frac{q|y|^{\frac{q}{2}-1}|x|^{\frac{p}{2}-1}xf_\varepsilon(t, x) +p|y|^{\frac{q}{2}+q-1}|x|^{\frac{p}{2}-1}} {M|x|^p+|y|^q} , \\ &= &-\frac{1}{2}M^{\frac{1}{2}}\frac{|y|^{\frac{q}{2}-1}|x|^{\frac{p}{2}-1}(qxf_\varepsilon(t, x) +p|y|^{q})} {M|x|^p+|y|^q}, \\ &\geq& -\frac{1}{2}M^{\frac{1}{2}}\frac{|y|^{\frac{q}{2}-1}|x|^{\frac{p}{2}-1} (qM|x|^p +p|y|^{q})} {M|x|^p+|y|^q}, \\ &\geq &-cM^{\frac{1}{2}}|y|^{\frac{q}{2}-1}|x|^{\frac{p}{2}-1} =-cM^{\frac{1}{p}}|\tan \widehat{\theta}|^{-\frac{p-2}{p}}. \end{eqnarray*} $

其中$ c $为一常数. 取$ h $充分小, 使得$ h<a $, 则当$ r<h $时, 有$ |x|<a $. 角变量$ \widehat{\theta} $获得$ -2\pi $增量的时间可用下式估计.

(2.11) $ \begin{equation} \tau(h) \geq \frac{ 1}{c}M^{-\frac{1}{p}} \int _0^{2\pi}|\tan \widehat{\theta}|^{\frac{p-2}{p}} {\rm d}\widehat{\theta} \doteq c_p M^{-\frac{1}{p}}=c_p\frac{1}{\delta}. \end{equation} $

其中, $ c_p=\frac{ 1}{c}\int _0^{2\pi}|\tan \widehat{\theta}|^{\frac{p-2}{p}} {\rm d}\widehat{\theta} $, 注意到$ |\frac{p-2}{p}|<1 $, 积分是有限的, 所以$ c_p $是一有限正数. 事实上, 当$ h\rightarrow0^{+} $时, 就有$ \delta\rightarrow0 $, 进而有$ \tau(h)\rightarrow +\infty $. 证毕.

引理2.3和引理2.5说明在半径充分小的圆盘内, 轨线顺时针旋转, 且解绕原点转过一圈的时间会随着半径的减小而增大. 利用这一性质, 我们可以构造扭转.

注意到至此方程解的全局存在性没有证明. 因而方程的Poincaré 映射不一定有定义. 故我们需要对于系统$ (\ast)_\varepsilon $的右端改造. 在本节中, 系统$ (\ast)_\varepsilon $满足初值条件$ (x(t_0), y(t_0))=(x_0, y_0) $的解$ (x_\varepsilon(t;t_0, x_0, y_0), y_\varepsilon(t;t_0, x_0, y_0)) $, 记成$ (x_\varepsilon(t), y_\varepsilon(t)) $.

下面给出定理1.1的证明.

证  记引理2.3给出的$ r'_k, \ r''_k $为$ r'_{k, \varepsilon}, \ r''_{k, \varepsilon} $, 可取$ \varepsilon_0 $足够小, 使

$ \begin{eqnarray*} 0< r'_k=\inf\limits_{0<\varepsilon \leq \varepsilon_0}{ r'_{k, \varepsilon}}<r''_k=\sup\limits_{0<\varepsilon \leq \varepsilon_0}{r''_{k, \varepsilon}}<+\infty, \end{eqnarray*} $

且$ r'_k\rightarrow 0 \Leftrightarrow r'_k, r''_k \rightarrow 0 $.

再改造系统$ (\ast)_\varepsilon $, 使改造后方程的初值问题的解全局存在. 为此, 取Hamilton函数

$ H_\varepsilon(t, x, y)=\frac{|y|^q}{q}+(1 -K(r^2))F_\varepsilon(t, x)+K(r^2)\frac{|x|^p}{p}, $

其中$ F_\varepsilon (t, x)=\int_0^x f_\varepsilon(t, s){\rm d}s $, $ K(r^2)=K(x^2+y^2)\in C^\infty ({{\Bbb R}} ^+, {{\Bbb R}} ) $为截断函数, 满足

$ K(r^2)=\left \{ \begin{array}{ll} 0 , \quad &r\leq r''_k; \\ 1 , \quad &r\geq r''_k+1. \end{array} \right. $

其余部分光滑连接, 且$ \frac{{\rm d}K}{{\rm d}(r^2)}\geq 0. $$ (\ast)_\varepsilon $对应的方程为

(3.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} x'=\frac{\partial {H_\varepsilon}}{\partial y}=|y|^{q-2}y+ 2y \frac{{\rm d}K}{{\rm d}(r^2)}\left(\frac{|x|^p}{p}-F_\varepsilon(t, x)\right), \\ y'=-\frac{\partial {H_\varepsilon}}{\partial x}=-f_\varepsilon(t, x)+K(r^2)\left(f_\varepsilon(t, x)- |x|^{p-2}x \right) +2x\frac{{\rm d}K}{{\rm d}(r^2)}\left(F_\varepsilon(t, x)-\frac{1}{p}|x|^p\right). \end{array} \right. \end{equation} $

此系统在极坐标变换下的等价形式为

(3.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} r'=\frac{x\frac{\partial H_\varepsilon}{\partial y}-y\frac{\partial H_\varepsilon}{\partial x}}{r}, \\ \theta'=-\frac{x\frac{\partial H_\varepsilon}{\partial x}+y\frac{\partial H_\varepsilon}{\partial y}}{r^2}. \end{array} \right. \end{equation} $

方程(3.1) 满足$ r(t)\leq r''_k $的解就是方程$ (\ast)_\varepsilon $的解, 且当$ r\geq r''_k+1 $时, 其轨线是闭曲线. 所以方程(3.2}) 初值问题的解全局存在且满足解对初值的唯一性与连续依赖性, 从而方程(3.2) 的Poincaré 映射$ \Psi_{k, \varepsilon} $及其迭代都是有定义的, 且是保面积同胚.

取$ k\geq2 $, $ r_k $足够小, 使$ r''_k<d $. 在紧环域$ {\cal A}[r'_k, r''_k] $上, 系统(3.2) 的解是连续函数, 并且$ \theta_\varepsilon'<0 $, 故存在$ \alpha_k, \beta_k>0 $, 使

(3.3) $ \begin{equation} \alpha_k\leq -\theta'_\varepsilon \leq \beta_k. \end{equation} $

取$ T_k=2([\frac{2k}{\alpha_k}]+1)\pi $, 则从$ (r_0=r_k, \theta_0) $出发的解$ (r_\varepsilon(t), \theta_\varepsilon(t)) $或者在$ t\in[t_0, t_0+T_k] $时, 都在环域$ {\cal A}[r'_k, r''_k] $, 估计式(3.3}) 成立, 此时就有

$ \theta_\varepsilon(t_0+ T_k)-\theta_0<-2k\pi. $

或者由引理2.3, 一定存在时间$ L_k(r_0, \theta_0) $, 使

$ \theta_\varepsilon(t_0+ L_k)-\theta_0=-2k\pi, \ r_\varepsilon(t)\in{\cal A}[r'_k, r''_k], \ \ t\in[t_0, t_0+L_k]. $

从而由(3.3) 式知, $ T_k\geq L_k $. 再结合引理2.4, 得

$ \theta_\varepsilon(t_0+ T_k)-\theta_0<-2k\pi+\pi=-(2k-1)\pi. $

故从$ (r_0=r_k, \theta_0) $出发的解$ (r_\varepsilon(t), \theta_\varepsilon(t)) $总满足

(3.4) $ \begin{equation} \theta_\varepsilon(t_0+ T_k)-\theta_0<-(2k-1)\pi<-2(k-1)\pi. \end{equation} $

另一方面, 由引理2.5, 存在$ r^-_k $足够小, 使当解$ (r_\varepsilon(t), \theta_\varepsilon(t)) $满足$ r_\varepsilon(t)\leq r^-_k $时, 其转$ k-1 $圈的时间大于$ T_k $. 而且由于零解是唯一的, 解在原点处关于初值是连续的^[15], 故取$ \widetilde{r_k} $足够小, 当解$ (r_\varepsilon(t), \theta_\varepsilon(t)) $从$ r_0=\widetilde{r_k} $上出发时, 有

$ r_\varepsilon(t)< r^-_k, \qquad t\in[t_0, t_0+T_k]. $

从而

(3.5) $ \begin{equation} \theta_\varepsilon(t_0+ T_k)-\theta_0>-2(k-1)\pi. \end{equation} $

令$ \Gamma^k_-=\{(r, \theta)|r=\widetilde{r_k} \}, \ \Gamma^k_+= \{(r, \theta)|r=r_k\} $, $ m=[\frac{T_k}{2}]. $ (这里$ [\cdot] $表示取整运算). 考虑方程(3.2) 的Poincaré 映射$ \Psi_{k, \varepsilon} $的$ m $次迭代

$ \Psi_{k, \varepsilon}^m : (r_0, \theta_0)\mapsto(r_\varepsilon(2m\pi), \theta_\varepsilon(2m\pi)). $

由(3.4) 和(3.5) 式可知$ \Psi_{k, \varepsilon}^m $在环域$ {\cal A}[\Gamma^k_-, \Gamma^k_+] $上是扭转的. 因此利用Poincaré-Birkhoff扭转定理, $ \Psi_{k, \varepsilon}^m $至少有两个不动点$ (r_{\varepsilon, i}, \theta_{\varepsilon, i})\in{\cal A}(\Gamma_-, \Gamma_+), \ i=1, 2 $, 它们对应的方程的解记为$ (r_{\varepsilon, i}(t), \theta_{\varepsilon, i}(t)) $ (对应的直角坐标系下的解记为$ (x_{\varepsilon, i}(t), y_{\varepsilon, i}(t)) $). 则周期解的角度函数满足

$ \theta_{\varepsilon, i}(t_0+2m\pi)-\theta_{\varepsilon, i}=-2(k-1)\pi, \quad i=1, 2. $

由于$ \theta_\varepsilon(t) $对$ t $是单调递减的, 所以周期解$ (x_{\varepsilon, i}(t), y_{\varepsilon, i}(t)) $在$ 2m\pi $时间内顺时针绕原点转动的圈数等于$ k-1 $.

当$ m $是素数, 且$ 2\pi $是$ f(t, x) $的关于$ t $最小正周期时, 仿照丁同仁书^[16]可证明: 周期解$ (x_{\varepsilon, i}(t), y_{\varepsilon, i}(t)) $的最小正周期是$ 2m\pi $.

下面进一步证明上述给出的$ 2m\pi $周期解实际上位于$ r=r''_k $之内. 因此, 它们就是系统$ (\ast)_\varepsilon $的$ 2m\pi $周期解.

事实上, 如果存在时间$ t''_0\in[t_0, t_0+2m\pi] $, 使(3.2)式的周期解$ (r_\varepsilon(t), \theta_\varepsilon(t)) $, 满足

$ r_\varepsilon(t''_0)=r''_k, $

则由$ r_0\leq r_k $及慢速盘旋性质知

$ \theta_\varepsilon(t''_0)-\theta_0<-(2k+1)\pi. $

又注意到可由上式及前面类似讨论知

$ \theta_\varepsilon(t_0+2m\pi)-\theta(t''_0)\leq \pi. $

上述两式结合得

$ \theta(t_0+2m\pi)-\theta_0< -2k\pi. $

这与

$ \theta_\varepsilon(t_0+2m\pi)-\theta_0= -2(k-1)\pi $

矛盾. 所以由Poincaré-Birkhoff扭转定理证得的系统(3.2) 的$ 2m\pi $周期解就是$ (\ast)_\varepsilon $的$ 2m\pi $周期解.

这样, 我们就证明了对于固定的正整数$ k $, 方程$ (\ast)_\varepsilon $都至少有两个几何不同的$ 2m\pi $周期解.

注意到$ {\cal A}[r'_k, r''_k] $与$ \varepsilon $无关, 取$ \varepsilon_j\in(0, \varepsilon_0] $, 且$ j\rightarrow +\infty $时, $ \varepsilon_j\rightarrow 0 $, 由Arzela-Ascoli定理, $ \{(x_{\varepsilon_j}(t), y_{\varepsilon_j}(t))\} $一致有界且等度连续, 从而有一致收敛的子序列收敛到$ (x(t), y(t))\in C([0, 2m\pi]) $. 易证$ (x(t), y(t)) $就是原方程的$ 2m\pi $周期解.

由于$ k $可以取无穷多的正整数, 我们就证明了方程(1.1) 无穷多周期解的存在性.

注意到角度差

$ \theta(t_0+2m\pi)-\theta_0=-2k\pi . $

而且$ \theta(t_0+2m\pi)-\theta_0 $是$ r_0 $的连续函数, 若$ r_0 $在有界闭集上取值, 则上式左端为有界函数, 矛盾. 所以$ k\rightarrow \infty $时, 必有$ r^{(k)}_i\rightarrow0, i=1, 2 $. 从而

$ \liminf\limits_{k\rightarrow +\infty, t\in[0, 2m\pi]}\{r_k(t)\}=0. $

这就完成了定理1.1的证明. 证毕.