本文研究1-维$p$-Laplacian方程

的小振幅次调和解的存在性和重性. 其中$p>1, f(t, x)\in C({{\Bbb R}} \times{{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} )$, 且关于时间$t$是$2\pi$周期的, $f(t, x)$在原点附近满足$p$-次线性条件, 即

$(f_0)$$\lim\limits_{|x|\rightarrow0}\frac{f(t, x)}{|x|^{p-2}x}=0$, 对$\forall t\in{{\Bbb R}}$一致成立.

此类模型源于非牛顿流体力学和多孔媒介中气体湍流问题. 对于1-维$p$-Laplacian方程的研究, 已有很多基础且重要的研究结果, 见文献[1–8] 及其引文.

Del Pino M A和Manásevich R在文献[4] 中, 利用比较定理和叠合度理论证明了半线性条件下方程(1.1) 周期解的存在性, 并用Poincaré-Birkhoff扭转定理得到了参数变化下多个周期解的存在性. Manásevich R与Zanolin F在文献[9] 中讨论了拟线性Direchlet边值问题, 应用时间映射, Leray-Schauder度和极大值原理, 得到了解的存在性和多解性结果. Zhang M^[10]用作用-角变换和权特征值法给出了方程

的周期解的存在性条件. 文献[11]中利用单位分解定理和Poincaré 不动点定理得到了一类在原点附近满足超线性条件的一维$p$-Laplacian方程的无穷多调和解的存在性. 文献[12] 证明了带有小参数奇异$p$-Laplacian方程的正解的存在性.

Jacobowitz H在文献[13] 中用后继映射讨论了原点附近次线性的二阶方程, 即$p=2$的情况. 但$p\neq2$时, 方程(1.1)的后继映射并不是保面积的. 因此我们无法对后继映射应用Poincaré-Birkhoff扭转定理.

相福香在她的硕士论文[14] 中, 在$p$-次线性条件$(f_0)$及下述条件

$(f'_s)$  当$|x|\neq 0, \ \forall t\in{{\Bbb R}}$时,   ${\rm sgn}(x)f(t, x)>0$;

$(f'_\alpha)$  存在$c_0>0, \alpha>0$, 使得当$|x|\geq c_0, \forall t\in{{\Bbb R}}$时,   $|f(t, x)|\leq \alpha|x|^{p-1}$成立.

下得到了方程(1.1) 的小振幅次调和解的存在性和重性. 其中无穷远处的控制条件$(f'_\alpha)$的作用是保证方程(1.1) 的解是全局存在的, 从而相应的Poincaré 映射有定义.

本文的研究是在文献[14] 的基础上, 去掉无穷远处的控制条件$(f'_\alpha)$, 且符号条件减弱成

$(f_s)$  存在常数$d>0$, 当$0<|x|\leq d, \ \forall t\in{{\Bbb R}}$时, ${\rm sgn}(x)f(t, x)>0$.

本文的工作有两方面的创新, 一是与Jacobowitz H文献[13]的工作相比较, 模型包含了经典的二阶方程作为特例; 二是与文献[14] 相比较, 文中的条件更弱. 本文的困难有两方面: 一是方程化成平面系统以后, 右端项并不满足局部Lipschitz条件, 因此解的存在唯一性及解对初值的连续依赖性都要证明; 二是本文去掉了无穷远处的控制条件, 文献[14] 中用来保证解的全局存在性. 本文采用几何化的处理方式: 对无穷远处作挖补, 改造成线性系统, 使改造后的系统满足解的全局存在性, 从而Poincaré映射是有定义的. 证明方法基于经典的Poincaré-Birkhoff扭转定理.

方程(1.1) 改写成Hamiltonian系统

其中, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

本文的结果如下.

定理1.1   在条件$(f_0)$, $(f_s)$下, 1-维$p$-Laplacian方程(1.1) 存在无穷多$m$阶次调和解$x_k(t)$, 且

由于$(\ast)$的右端函数$f(t, x)$仅是连续的, 需要作光滑逼近. 设$\varepsilon_0$为一充分小正数, 取$\varepsilon\in(0, \varepsilon_0]$. 取光滑函数$f_\varepsilon(t, x)$, 满足

由$f_\varepsilon(t, x)$的取法可知, $f_\varepsilon(t, x)$满足下列性质

$(f_0)_\varepsilon$    $\lim\limits_{|x|\rightarrow0}\frac{f_\varepsilon(t, x)}{|x|^{p-2}x}=0$, 对$\forall t\in{{\Bbb R}}$一致成立;

$(f_s)_\varepsilon$   存在常数$d>0$, 当$0<|x|\leq d, \ \forall t\in{{\Bbb R}}$时, ${\rm sgn}(x)f_\varepsilon(t, x)>0$.

考虑方程($\ast$) 的逼近系统

尽管如此, 当$p\neq2$时, $(\ast)_\varepsilon$的右端项在$y=0(p>2)$不是Lipschitz连续的, 因此初值问题的解的唯一性以及解对初值的连续依赖性都需要证明.

系统$(\ast)_\varepsilon$满足初值条件$(x(t_0), y(t_0))=(x_0, y_0)$的解$(x_\varepsilon(t;t_0, x_0, y_0), y_\varepsilon(t;t_0, x_0, y_0))$, 简记成$(x_\varepsilon(t), y_\varepsilon(t))$. 在本节中, 仍用记号$(x(t), y(t))$表达$(\ast)_\varepsilon$的解.

引理2.1   方程$(\ast)_\varepsilon$的满足初值条件的解是存在唯一的, 且解对初值是连续依赖的.

证  解的初值问题的存在性由右端函数的连续性及Peano定理可得, 唯一性分三种情形讨论.

情形1  满足初值条件$(x(t_0), y(t_0))=(0, 0)$的解是唯一的且是零解.

定义Liapunov函数

则有

考虑从$(0, 0)_\varepsilon$点附近出发的解, 对函数$F(t)=F(x(t), y(t))$关于变量$t$求全导数, 利用原点附近的$p$-次线性条件$(f_0)$, 得

最后一个不等式, 由Young不等式得到. 于是

由Gronwall不等式可得

所以, 从$(0, 0)$点附近出发的解在任何有限时间内都不到达原点.

情形2   $y_0\neq 0$时, 函数$|y|^{q-2}y$在$y=y_0$时是Lipschitz连续的, 从而系统$(\ast)_\varepsilon$满足初值条件$(x_0, y_0)$的解$(x(t), y(t))$是唯一的.

情形3  如果$y_0= 0$, 可以分两种情况, $p>2$和$1<p\leq2$, 或者, 等价地, $1<q<2$和$q\geq2$. 如果$q\geq2$, 函数$|y|^{q-2}y$是Lipschitz连续的, 由微分方程的一般理论可得解的存在唯一性. 如果$1<q<2$, 函数$|y|^{q-2}y$在$y=0$处仅Hölder连续, 不是Lipschitz连续的, 因此满足初值条件$(x_0, 0)$的解的唯一性需要特别证明.

不妨令$t_0=0$, $t_0\neq0$时的证明只须考虑充分靠近$t_0$的$t$, 估计式中作$t$的平移即可. 考虑初值问题

将上述问题转化成等价的积分方程

其中$\psi_q(\tau)=|\tau|^{q-2}\tau.$令$b= f_\varepsilon(0, x(0))=f_\varepsilon(0, a)$, 由符号条件$(f_s)_\varepsilon$可知

所以在$t=0$附近, $\int_0^tf_\varepsilon(s, x(s)){\rm d}s\sim bt.$

设$x_1(t), x_2(t)$是方程的两个解, 由中值定理可得

其中, $\xi(\tau)$是介于两个积分$\int_0^\tau f_\varepsilon(s, x_1(s)){\rm d}s$与$\int_0^\tau f_\varepsilon(s, x_2(s)){\rm d}s$之间的数值, 因此$\xi(\tau)\sim b\tau$, 自然就有$\xi(\tau)>\frac{1}{2} |b|\tau$和$|\psi'_q (\xi(\tau))|\leq c\tau^{q-2}$, 其中$c$为一常数. 再由$x\neq 0$时, $f(t, x)$关于变量$x$满足局部Lipschitz条件, 可得

再次利用Gronwall不等式, 得出$x_2(t)\equiv x_1(t)$. 从而方程$(\ast)_\varepsilon$满足初值条件$(x_0, y_0)$的解$(x(t), y(t))$是存在唯一的. 而解的唯一性又蕴含解对初值的连续依赖性^[15]. 证毕.

由于非零解不过原点, 可用极坐标变换$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$把方程$(\ast)_\varepsilon$化为

下面分析系统(2.4) 轨线的性质.

引理2.2   (小振幅解的盘旋性质)    任给小常数$r_0>0$, 存在小常数$r'_1, \ r''_1>0,$满足$r'_1<r_0< r''_1$和$r_0\rightarrow 0 \Longleftrightarrow r'_1, \ r''_1\rightarrow 0,$使从$(r_0, \theta_0)$出发的解$(r(t), \theta(t))$有如下性质: 存在$L=L(r_0, \theta_0)$, 使在$t\in[t_0, t_0+L]$时, 解一直停留在环域${\cal A}(r'_1, r''_1)$的内部, 且$\theta(t_0+L)-\theta_0=-2\pi.$其中${\cal A}(r'_1, r''_1)=\{(r, \theta): r'_1< r < r''_1\}$.

证   记区域${\cal D}=\{(x, y)\in {{\Bbb R}} ^2:\sqrt{x^2+y^2}=r\leq d \}$. 现在, 把${\cal D}$分割成如下的四个子区域

不妨设解自正$y$-轴上$z_0=(x_0, y_0)=(0, y_0)\in{\cal D}_1$, 其极坐标形式$z_0=(r_0, \theta_0)$的某点出发, 轨线记做$\gamma_{z_0}: z(t)=(r(t), \theta(t))$.

下证$y_0\leq a$时, 轨线必在$L_1$时间段内按下面的顺序

绕原点顺时针转一圈, 且$r(t)$的长度可以控制住. 我们将按不同的$i\ (1\leq i\leq 4)$, 估计$r(t)$的范围.

首先, 设$z(t)\in {\cal D}_1.$

令

为了更精确地描述轨线在${\cal D}_1$中的运动, 我们记$\Gamma_1\doteq \Gamma_1(y_0)$

然后, 考虑辅助函数

对$t$求微商, 有

这就意味着$\gamma_{z_0}$在${\cal D}_1$内位于$\Gamma_1$的外侧. 半径$r(t)\geq \min\limits_{((x(t), y(t))\in\Gamma_1} \{\sqrt{x^2+y^2}\}\doteq \eta_1(r_0)$, 且有$\eta_1(r_0)\rightarrow 0\Leftrightarrow r_0\rightarrow 0.$

另一方面, 在区域${\cal D}_1$中, 令

记$\Gamma'_1\doteq \Gamma'_1(y_0)$

然后, 考虑辅助函数

对$t$求微商,

这就意味着$\gamma_{z_0}$在${\cal D}_1$内位于$\Gamma'_1$的内侧. 半径$r(t)\leq \max\limits_{((x(t), y(t))\in\Gamma'_1} \{\sqrt{x^2+y^2}\}\doteq \eta'_1(r_0)$, 且有$\eta'_1(r_0)\rightarrow 0 \Leftrightarrow r_0\rightarrow 0.$由此, 就得到了在此区域内轨线的半径可被控制

且设$\gamma_{z_0}$在$t_1$时刻与正$x$-轴第一次相交于点$(x_1, 0)$. 注意到$x_1=r_1$. 这样, 轨线就穿过正$x$-轴进入${\cal D}_2$.

其次, $z(t)\in {\cal D}_2.$记$\Gamma_2\doteq \Gamma_2(r_1)$

然后, 考虑辅助函数

关于$t$求导, 得到

这就意味着$\gamma_{z_0}$在${\cal D}_2$内位于$\Gamma_2$的内侧. 半径$r(t)\leq \max\limits_{((x(t), y(t))\in\Gamma_2} \{\sqrt{x^2+y^2}\}\doteq \eta_2(r_1)$, 且有$\eta_2(r_1)\rightarrow0 \Leftrightarrow r_1\rightarrow 0.$

另一方面, 在区域${\cal D}_2$中, 记$\Gamma'_2\doteq \Gamma'_2(r_1)$

然后, 考虑辅助函数

对$t$求导, 可得

上式蕴涵着$\gamma_{z_0}$在${\cal D}_2$内位于$\Gamma'_2$的外侧. 半径$r(t)\geq \min\limits_{((x(t), y(t))\in\Gamma'_2} \{\sqrt{x^2+y^2}\}\doteq \eta'_2(r_1)$, 且有$\eta'_2(r_1)\rightarrow0 \Leftrightarrow r_1\rightarrow 0.$由此, 我们就得到了在此区域内轨线的极径$r(t)$满足

又由(2.8) 式可知, 轨线必在时刻$t_2$时刻与负$y-$轴第一次相交于点$(0, y_2)$, 进入${\cal D}_3$区域.

同样, 对于解$(x(t), y(t))\in {\cal D}_i$的情形$i=3, 4$, 可以仿照上面的讨论, 分别证明.

综合上述分析可知, 当$z(t)\in{\cal D}_i$时, 其半径$r(t)$都可以被该区域内的初始半径所控制. 这样, 我们就可以取各区域内半径$r(t)$下界的最小值和上界的最大值, 都是$r_0$的函数, 分别记为$r'_1, r''_1$, 取$r_0$适当小, 使得$r''_1< d$. 记从$(r_0, \theta_0)$出发的轨线绕原点转一圈的时间为$L_1=L_1(r_0, \theta_0)$, 此时, 在$L_1$时间段内, 就有$r(t)< d$. 这就证明了在$L_1$时间内, 当$r_0$充分小时, 从半径为$r_0$的圆周上出发的解夹在环域${\cal A}(r'_1, r''_1)$内部. 证毕.

上述引理运用$k$次, 就可得到如下引理.

引理2.3  (小振幅解的盘旋性质)    任给正整数$k$, 小常数$r_k>0$, 存在$r'_k, \ r''_k>0$, \ 使$r'_k< r_k<r''_k$, 对于从$r_0=r_k$出发的解$(r(t), \theta(t))$有如下性质：存在$L_k=L_k(r_0, \theta_0)$在$t\in[0, L_k]$时, $r(t)\in{\cal A}(r'_k, r''_k)$, 且$\theta(t_0+L_k)-\theta_0=-2k\pi$. 进一步, $r_k\rightarrow 0 \Leftrightarrow r'_k, \ r''_k\rightarrow 0.$

当$0<r<d$时, 由$\theta'<0$, 可知小振幅的非零解绕原点顺时针旋转.

引理2.4   (解的回转性质)    令$t_1>t_0$, 假设轨线在相平面上的辐角满足$\theta(t_1)-\theta(t_0)<-2N\pi$, 则对任何$t_2>t_1$, 有$\theta(t_2)-\theta(t_0)<-2N\pi+\pi.$

证   由$x'=|y|^{q-2}y$可见, 当轨线与$y$轴的正半轴相交时有$x'(t)=|y(t)|^{q-2}y(t)>0$, 而与负半轴相交时有$x'(t)=|y(t)|^{q-2}y(t)<0$. 因此, 当轨线与$y$轴相交时, 是按顺时针方向横截相交的. 当轨线从正(或负)$y$轴到负(或正)$y$轴时, 轨线的辐角获得增量$-\pi$, 而当轨线在右(或左)半平面内时, 无论如何活动, 它的辐角所获得的增量也不超过$+\pi$. 由此可见, 在任何时间区间$t_1\leq t \leq t_2$内, 轨线的辐角所获得的增量满足不等式

所以对任何$t_2>t_1$, 有

证毕.

对于小振幅的非零解还可以证明如下引理.

引理2.5   (慢速)    设$\tau(h)$为方程$(\ast)_\varepsilon$的解在$r\leq h$的区域内转一圈所用时间的下确界, 则$\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\tau(h)=+\infty.$

证   固定$\delta>0$, 由原点处的$p$-次线性条件$(f_0)_\varepsilon$知: 对任意正数$\delta$ (无论有多小), 存在正常数$a=a(\delta)$ (不妨取$a<d$), 使得

记$M\doteq\delta^{p}$. 注意到$p>1$, 所以$\delta \rightarrow 0 \Leftrightarrow M\rightarrow0.$引入另一个角变量$\widehat{\theta}$为

注意到$\cos \widehat{\theta}$与$\cos\theta$; $\sin \widehat{\theta}$与$\sin\theta$分别有相同的符号, 且两个角变量$\theta$与$\widehat{\theta}$始终在同一象限, $\widehat{\theta}=2k\pi+i\frac{\pi}{2}, \ k\in {\Bbb Z}, \ i=0, 1, 2, 3$当且仅当极坐标角变量$\theta$满足同样的等式. 因此, 如果在初始时刻$t=0$时有$|\widehat{\theta}-\theta|<\frac{\pi}{2}$, 则对于不经过原点的连续曲线也是如此.

其中$c$为一常数. 取$h$充分小, 使得$h<a$, 则当$r<h$时, 有$|x|<a$. 角变量$\widehat{\theta}$获得$-2\pi$增量的时间可用下式估计.

其中, $c_p=\frac{ 1}{c}\int _0^{2\pi}|\tan \widehat{\theta}|^{\frac{p-2}{p}} {\rm d}\widehat{\theta}$, 注意到$|\frac{p-2}{p}|<1$, 积分是有限的, 所以$c_p$是一有限正数. 事实上, 当$h\rightarrow0^{+}$时, 就有$\delta\rightarrow0$, 进而有$\tau(h)\rightarrow +\infty$. 证毕.

引理2.3和引理2.5说明在半径充分小的圆盘内, 轨线顺时针旋转, 且解绕原点转过一圈的时间会随着半径的减小而增大. 利用这一性质, 我们可以构造扭转.

注意到至此方程解的全局存在性没有证明. 因而方程的Poincaré 映射不一定有定义. 故我们需要对于系统$(\ast)_\varepsilon$的右端改造. 在本节中, 系统$(\ast)_\varepsilon$满足初值条件$(x(t_0), y(t_0))=(x_0, y_0)$的解$(x_\varepsilon(t;t_0, x_0, y_0), y_\varepsilon(t;t_0, x_0, y_0))$, 记成$(x_\varepsilon(t), y_\varepsilon(t))$.

下面给出定理1.1的证明.

证  记引理2.3给出的$r'_k, \ r''_k$为$r'_{k, \varepsilon}, \ r''_{k, \varepsilon}$, 可取$\varepsilon_0$足够小, 使

且$r'_k\rightarrow 0 \Leftrightarrow r'_k, r''_k \rightarrow 0$.

再改造系统$(\ast)_\varepsilon$, 使改造后方程的初值问题的解全局存在. 为此, 取Hamilton函数

其中$F_\varepsilon (t, x)=\int_0^x f_\varepsilon(t, s){\rm d}s$, $K(r^2)=K(x^2+y^2)\in C^\infty ({{\Bbb R}} ^+, {{\Bbb R}} )$为截断函数, 满足

其余部分光滑连接, 且$\frac{{\rm d}K}{{\rm d}(r^2)}\geq 0.$$(\ast)_\varepsilon$对应的方程为

此系统在极坐标变换下的等价形式为

方程(3.1) 满足$r(t)\leq r''_k$的解就是方程$(\ast)_\varepsilon$的解, 且当$r\geq r''_k+1$时, 其轨线是闭曲线. 所以方程(3.2}) 初值问题的解全局存在且满足解对初值的唯一性与连续依赖性, 从而方程(3.2) 的Poincaré 映射$\Psi_{k, \varepsilon}$及其迭代都是有定义的, 且是保面积同胚.

取$k\geq2$, $r_k$足够小, 使$r''_k<d$. 在紧环域${\cal A}[r'_k, r''_k]$上, 系统(3.2) 的解是连续函数, 并且$\theta_\varepsilon'<0$, 故存在$\alpha_k, \beta_k>0$, 使

取$T_k=2([\frac{2k}{\alpha_k}]+1)\pi$, 则从$(r_0=r_k, \theta_0)$出发的解$(r_\varepsilon(t), \theta_\varepsilon(t))$或者在$t\in[t_0, t_0+T_k]$时, 都在环域${\cal A}[r'_k, r''_k]$, 估计式(3.3}) 成立, 此时就有

或者由引理2.3, 一定存在时间$L_k(r_0, \theta_0)$, 使

从而由(3.3) 式知, $T_k\geq L_k$. 再结合引理2.4, 得

故从$(r_0=r_k, \theta_0)$出发的解$(r_\varepsilon(t), \theta_\varepsilon(t))$总满足

另一方面, 由引理2.5, 存在$r^-_k$足够小, 使当解$(r_\varepsilon(t), \theta_\varepsilon(t))$满足$r_\varepsilon(t)\leq r^-_k$时, 其转$k-1$圈的时间大于$T_k$. 而且由于零解是唯一的, 解在原点处关于初值是连续的^[15], 故取$\widetilde{r_k}$足够小, 当解$(r_\varepsilon(t), \theta_\varepsilon(t))$从$r_0=\widetilde{r_k}$上出发时, 有

从而

令$\Gamma^k_-=\{(r, \theta)|r=\widetilde{r_k} \}, \ \Gamma^k_+= \{(r, \theta)|r=r_k\}$, $m=[\frac{T_k}{2}].$ (这里$[\cdot]$表示取整运算). 考虑方程(3.2) 的Poincaré 映射$\Psi_{k, \varepsilon}$的$m$次迭代

由(3.4) 和(3.5) 式可知$\Psi_{k, \varepsilon}^m$在环域${\cal A}[\Gamma^k_-, \Gamma^k_+]$上是扭转的. 因此利用Poincaré-Birkhoff扭转定理, $\Psi_{k, \varepsilon}^m$至少有两个不动点$(r_{\varepsilon, i}, \theta_{\varepsilon, i})\in{\cal A}(\Gamma_-, \Gamma_+), \ i=1, 2$, 它们对应的方程的解记为$(r_{\varepsilon, i}(t), \theta_{\varepsilon, i}(t))$ (对应的直角坐标系下的解记为$(x_{\varepsilon, i}(t), y_{\varepsilon, i}(t))$). 则周期解的角度函数满足

由于$\theta_\varepsilon(t)$对$t$是单调递减的, 所以周期解$(x_{\varepsilon, i}(t), y_{\varepsilon, i}(t))$在$2m\pi$时间内顺时针绕原点转动的圈数等于$k-1$.

当$m$是素数, 且$2\pi$是$f(t, x)$的关于$t$最小正周期时, 仿照丁同仁书^[16]可证明: 周期解$(x_{\varepsilon, i}(t), y_{\varepsilon, i}(t))$的最小正周期是$2m\pi$.

下面进一步证明上述给出的$2m\pi$周期解实际上位于$r=r''_k$之内. 因此, 它们就是系统$(\ast)_\varepsilon$的$2m\pi$周期解.

事实上, 如果存在时间$t''_0\in[t_0, t_0+2m\pi]$, 使(3.2)式的周期解$(r_\varepsilon(t), \theta_\varepsilon(t))$, 满足

则由$r_0\leq r_k$及慢速盘旋性质知

又注意到可由上式及前面类似讨论知

上述两式结合得

这与

矛盾. 所以由Poincaré-Birkhoff扭转定理证得的系统(3.2) 的$2m\pi$周期解就是$(\ast)_\varepsilon$的$2m\pi$周期解.

这样, 我们就证明了对于固定的正整数$k$, 方程$(\ast)_\varepsilon$都至少有两个几何不同的$2m\pi$周期解.

注意到${\cal A}[r'_k, r''_k]$与$\varepsilon$无关, 取$\varepsilon_j\in(0, \varepsilon_0]$, 且$j\rightarrow +\infty$时, $\varepsilon_j\rightarrow 0$, 由Arzela-Ascoli定理, $\{(x_{\varepsilon_j}(t), y_{\varepsilon_j}(t))\}$一致有界且等度连续, 从而有一致收敛的子序列收敛到$(x(t), y(t))\in C([0, 2m\pi])$. 易证$(x(t), y(t))$就是原方程的$2m\pi$周期解.

由于$k$可以取无穷多的正整数, 我们就证明了方程(1.1) 无穷多周期解的存在性.

注意到角度差

而且$\theta(t_0+2m\pi)-\theta_0$是$r_0$的连续函数, 若$r_0$在有界闭集上取值, 则上式左端为有界函数, 矛盾. 所以$k\rightarrow \infty$时, 必有$r^{(k)}_i\rightarrow0, i=1, 2$. 从而

这就完成了定理1.1的证明. 证毕.