本文研究一维FPU型格点问题, 其中格点上均为单位质量的粒子. 这个系统的动力学方程如下

其中$U$是相邻两个粒子相互作用产生的位势($q_{n+1}-q_n$表示两个粒子之间的位移), $q_n(t)$是第$n$个粒子在时刻$t$的状态.

速度为$c$的行波解指的是具有形式$q_n(t)=u(n-ct), n\in{\mathbb Z}$的解, 其中$u(t)$, $t\in{\mathbb R}$称为轮廓函数. 代入(1.1), 可以得到下面的二阶向前向后微分差分方程

孤立行波是指行波解的轮廓函数的导函数$u'(t)$在无穷远点消失为0; 周期行波是指$u'(t)$为周期函数, 也就是存在某个$T>0$, 使得$u'(t+T)=u'(t)$. 基态行波是指具有最小能量的非平凡行波解.

首先我们简要地列举一些近期通过变分方法得到的结果. 第一个结果来自Frieseke和Wattis^[5], 在一些假定下, 他们证明了给定平均势能的单调孤立行波解的存在性, 证明方法是基于一个适当的约束最小化方法与Lions引入的集中紧性原理^[8]. Smets和Willem^[14]通过使用山路引理的一个变形形式证明了给定速度的单调孤立行波解的存在性. 在文献[13] 中Smets通过使用一个非退化条件和由Coti Zelati与Rabinowitz^[3-4]引入的形变方法得到了无穷多包型的行波解. 之后, Pankov和Pfl$\rm{\ddot{u}}$ger^[11]证明了给定速度的周期和孤立行波解的存在性, 这个结果依赖于周期逼近方法和标准山路引理. 而关于FPU型格点系统的时间周期运动(即存在某个$T>0$, 使得$q(t +T) = q(t)$) 的相关文献可以参考文献[1–2, 15–17]. 更加详细的文献资料可以参考文献[10].

假定$U(r)=\frac{a}{2}r^{2}+V(r)$, 通过使用一种不同于之前的工作中广泛使用的经典Ambrosetti-Rabinowitz条件(简称(AR) 条件)

(AR) 存在$\bar{\theta} >2$, 使得$0<\bar{\theta} V(r)\leq V'(r)r$,

对所有的$r\neq0$成立.

Zhang和Ma在文献[19] 中证明了周期和孤立行波解的存在性. 文献[20] 通过使用Szulkin-Weth方法, 在下述假定条件下

(NC)  $r \longmapsto \frac{V^{\prime}(r)}{|r|}$在$(-\infty, 0)$和$(0, +\infty)$上严格递增, 证明了孤立基态行波解的存在性.

受上述工作启发, 在本文中我们将在对$V$的假定比文献[10, 20] 更加宽泛的基础上采取一种不同且更加直接的方法研究方程(1.2) 的孤立基态行波解的存在性. 具体来说我们令$V$满足

$(V_{1})$$V$在${\mathbb R}$上是$C^{1}$的, $V(0)=0$且$V'(r)=o(|r|)$当$r\rightarrow 0$时;

$(V_{2})$$\frac{V(r)}{r^{2}}\rightarrow +\infty$当$|r|\rightarrow +\infty$时;

$(V_{3})$存在常数$\theta>0$使得下列二者之一成立

(i) 对所有的$r\in {\mathbb R}$, $V'(r)r-2V(r) \geq \max(\theta V(r), 0)$;

(ii) 对所有的$r\in {\mathbb R}$与所有的$s\in[0, 1]$, $\widetilde{V}(r)\geq \theta \widetilde{V}(sr)$, 其中$\widetilde{V}(r)=V'(r)r-2V(r)$.

我们得到了如下的主要结果.

定理1.1  若假定$(V_{1})$–$(V_{3})$成立, 那么对每个$c^2>\max{(a, 0)}$, 方程(1.2) 至少存在一个孤立基态行波解$u$, 其导函数在无穷远处以指数速度衰减, 即存在常数$C>0$与$\gamma>0$使得$|u'(t)|\leq Ce^{-\gamma|t|}.$如果进一步假定$a>0$, $V$是偶的且满足

$(V_{4})$$r\mapsto \frac{V'(r)}{|r|}$在$(-\infty, 0)$和$(0, +\infty)$上单调不减,

则上面得到的解是单调的.

一维FPU型动力系统是一个由直线上相互作用的粒子构成的. 因为粒子无法在物理上穿过彼此, 方程(1.1) 的可容许的解应当保持粒子的序. 因此可容许行波的轮廓函数预期应该是单调的. 就我们所知, 之前的工作似乎只有文献[10, 命题3.13] 考虑了(1.2)式的孤立基态行波解的单调性. 在文献[10] 中, Pankov假设$V$满足$(V_{1})$与

(SN) $V\in C^2$且存在$\mu\in(0, 1)$使得$0<r^{-1} V^{\prime}(r) \leq \mu V^{\prime \prime}(r)$, 对所有的$r\neq0$成立.

他们通过Nehari方法和周期逼近技巧得到了一个单调的基态行波解. 容易验证假设条件(SN) 蕴含了(AR) 条件与严格递增假设条件(NC). 比起文献[10], 我们结果的一个创新点在于不需要严格递增的假设, 因此可以被运用到更一般的情况下, 而这个严格假设在Pankov^[10]的方法中起了至关重要的作用. 我们的方法是基于变分工具, $(V_3)$在保证方程(1.2) 所对应的能量泛函$J$的Cerami序列的有界性时起了关键的作用(见下面的引理3.2). 注意$(V_{3})$-(i) 比(AR) 条件弱. 而由文献[7] 引入的$(V_{3})$-(ii) 是对(AR) 条件的一个补充, 即存在函数$V$不满足(AR) 条件, 但满足$(V_3)$-(ii), 比如$V(r)=|r|^{2} \ln(1+|r|^{2})$. 并且, 容易验证$(V_3)$-(ii) 比(NC) 要弱.

如上所述, 在文献[10] 中, 作者通过周期逼近方法以及对一列周期基态行波取极限得到了一个孤立基态行波. 本文中, 我们同样在比文献[10] 更加一般的假设条件下考虑了方程(1.2) 的周期$T$的基态行波解. 值得注意的是, 对每个$T>0$, 形式为$u(t)=mt$, $m\neq0$的函数都是方程(1.2) 的$T$ -周期解. 这样的解应当被认为是平凡的且应该被排除出去. 实际上, 我们有下面的结果.

定理1.2  假定$(V_{1})$, $(V_{2})$和$(V_{3})$-(i) 成立, 则对每个$c^2>\max{(a, 0)}$和每个$T>0$, 方程(1.2) 至少存在一个非零的$T$ -周期基态行波解. 并且, 如果$T$足够大, 上面得到的$T$ -周期基态行波解一定不具有$u(t)=mt$$(m\neq0)$这种形式. 如果进一步假定$a>0$, $V$是偶的且满足$(V_{4})$, 那么上面得到的解是单调的.

下面简要介绍一下本文的剩余部分的结构. 在第2节中, 我们将给出方程(1.2) 的变分框架. 在第3和4节中, 我们将分别证明定理1.1和定理1.2.

对任意$T>0$, 令$k=T/2$. 定义Hilbert空间$\tilde{X}$和$\tilde{X}_k$如下

与

分别赋予内积

与

对应的范数由$\|u\|=\langle u, u\rangle^{1/2}$与$\|u\|_{k}=\langle u, u\rangle_{k}^{1/2}$分别定义. 令

和

那么, $X$和$X_{k}$分别是Hilbert空间$\tilde{X}$和$\tilde{X}_k$的余维数为1的子空间.

在$\tilde{X}_{k}$和$\tilde{X}$上定义差分算子$A$如下

可以验证(参考文献[9–10, 14])

和

其中$l(k)=1$当$k\geq1/2$时, $l(k)=\sqrt{\left[\frac{1}{2 k}\right]+1}$当$0<k<1/2$时.

考虑定义在$X_{k}$上的泛函

容易验证在假设条件$(V_{1})$下, 泛函$J_{k}$在$X_{k}$上是定义良好的且是$C^{1}$的. 更进一步, 任何$J_k$的临界点都是方程(1.2) 的经典解且满足$u'(t+2k)=u'(t)$, 即是一个$2k$ -周期行波解(具体参见文献[10]).

类似地, 考虑定义在$X$上的泛函

在相同的假设条件下, 泛函$J(u)$在$X$上是定义良好的且是$C^{1}$的. $J$的任何临界点都是方程(1.2) 的经典解且满足

即是一个孤立行波解.

本节我们证明定理1.1, 为此先给出几个引理.

引理3.1  假定$(V_{1})$成立, 那么对于每个$c^2>\max{(a, 0)}$, 零函数${\bf 0}$是$J$的一个孤立临界点.

证  由$(V_{1})$, 对任意的$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$, 使得$\left|V^{\prime}(r)\right|\leq\varepsilon r$对所有的$|r|\leq\delta$成立, 因此$\left|V^{\prime}(r) r\right|\leq\varepsilon r^{2}$. 令$\varepsilon=\frac{c^{2}-a}{2}$. 假定$J'(u)=0$与$\|u\|\leq\delta$. 由不等式(2.1), $\|A u\|_{L^{\infty}({\mathbb R})}\leq\delta$. 那么我们有

这意味着$u=0$, 结果得证.

为了证明孤立基态行波解的存在性, 受到文献[19, 引理4.1]的启发, 我们有下面的引理.

引理3.2  假定$(V_{1})$–$(V_{3})$成立, 令$\{u_{n}\} \subseteq X$是$J$在$X$上的Cerami序列, 即$J(u_n)$是有界的, 且$(1+\|u_n\|) \|J'(u_n)\| \rightarrow 0$当$n\rightarrow +\infty$时. 那么, $\{u_n\}$在$X$中是有界的.

证  若引理不成立, 则存在一个子列不妨仍记为$\{u_n\}$, 使得$\|u_n\|\rightarrow +\infty$, $J(u_n)\rightarrow b\in{\mathbb R}$, $(1+\|u_n\|) \|J'(u_n)\| \rightarrow 0$当$n\rightarrow +\infty$时.

令$v_n=u_n/\|u_n\|$, 那么$\|v_n\| =1$. 我们断言

否则, 存在$\eta>0$和一个子列不妨仍记为$\{v_n\}$满足$\|Av_n\|_{L^{\infty}({\mathbb R})}\geq \eta.$

由于$\|v_n\|=1$, $\{Av_n\}\subseteq X$有界. 并且, 由(2.1)式, $\|A v_n\|_{L^{\infty}({\mathbb R})}$也有界. 那么, 由Sobolev嵌入$H^1_{loc}({\mathbb R})\hookrightarrow C^0({\mathbb R})$, 存在$y_n\in{\mathbb R}$使得$|A v_n(y_n)|=\|A v_n\|_{L^{\infty}({\mathbb R})}$.

令$g_n(t)=A v_n(t+y_n)$, 那么$|g_n(0)|\geq\eta$对所有的$n$成立. 由于$g_n$在$X$上有界, 存在$g\in X$使得在$X$上$g_n\rightharpoonup g$. 那么由Sobolev嵌入的紧性知, 在$C^0(a, b)$上$g_n \to g$, 对任意的有限区间$(a, b)$都成立. 于是存在$\delta>0$使得$|A v_{n}\left(t+y_{n}\right)|=\left|g_{n}(t)\right| \geq \eta/2$对足够大的$n$和所有的$|t|\leq \delta$成立, 即

因此我们有

另一方面, 由$(V_1)$, $(V_2)$, 存在$r_0>0$使得$V(r)\geq0$在$|r|\geq r_0$时成立. 接着, 对这个$r_0$, $|V(r)|\leq C(r_0)r^{2}$在$|r|\leq r_0$时成立. 记$\{t\in {\mathbb R}:|Au_n(t)|< r_0\}$为$T_n^{1}$, 以及记$\{t\in {\mathbb R}:|Au_n(t)|\geq r_0\}$为$T_n^{2}$. 注意到对足够大的$n$, $[y_{n}-\delta, y_{n}+\delta] \subseteq T_n^{2}$. 那么由(2.1), (3.2) 和(3.3)式, 我们有

当$n\rightarrow +\infty$时, 这产生了矛盾, 于是我们证明了断言.

现在我们可以开始证明$\|u_n\|$的有界性.

假定$(V_3)$-(i) 成立, 由(2.1)式, 我们有

当$n\rightarrow +\infty$时, 产生了矛盾.

接下来我们假定$(V_3)$-(ii) 成立. 由于$\|A v_n\|_{L^{2}({\mathbb R})}$的有界性与$\|Av_n\|_{L^{\infty}({\mathbb R})}\to0$当$n\to\infty$时, 容易得到$\|A v_{n}\|_{L^{p}({\mathbb R})}\rightarrow 0, \, \forall\, p \in(2, \infty].$固定任意的$p>2$, 由$(V1)$, 对任意的$r_0>0$与$\varepsilon>0$, 存在$C_\varepsilon >0$使得$|V(r)|\leq \varepsilon r^2 + C_\varepsilon |r|^p$在$|r|\leq r_0$时成立. 我们令这个$r_0$为$h\|Av_n\|_{L^{\infty}({\mathbb R})}$的一个上界, 其中$h$是一个下面要用到的常数. 由于固定$h>0$, 我们有

第一项中的$\varepsilon$是任意的, 且第二项收敛到$0$, 因此有

当$n \rightarrow +\infty$时. 选取一个序列$\{h_n\}\subseteq [0, 1]$, 使得${ } J(h_n u_n)=\max_{h\in[0, 1]}J(hu_n).$给定$M>0$, 易见$2\sqrt{M}\|u_n\|^{-1}\in[0, 1]$在$n$足够大时成立. 然后使用(3.4)式, 其中$h=2\sqrt{M}$, 就有

对足够大的$n$成立, 再结合$M$的任意性, 便得到

当$n\rightarrow \infty$时. 注意$h_n<1$对充分大的$n$成立, 否则可以取一个子列$J(h_n u_n)=J(u_n)\rightarrow b$, 与(3.5)式矛盾. 于是有

因此, 由$(V_3)$-(ii), (3.6) 和(3.5)式, 我们有

当$n\rightarrow +\infty$时, 也产生了矛盾.

于是, 我们证明了$\{u_n\}$在$X$上是有界的. 证毕.

引理3.3  假定$(V_1)$与$c^2>\max(a, 0)$. 如果$\{u_n\}\subseteq X$是一个有界序列且满足$\|J'(u_n)\| \rightarrow 0$, 那么或者有$\|u_n\|\rightarrow 0$; 或者存在$\eta>0$以及$u_n$的一个子列不妨仍记为$u_n$, 使得

证  利用反证法, 我们假设$\|A u_{n}\|_{L^{\infty}({\mathbb R})}\to0.$

由$u_n$的有界性与(2.1)式, $\|A u_n\|_{L^{2}({\mathbb R})}$是有界的. 于是有

对所有的$p>2$成立.

令$\varepsilon_n=\left\|J^{\prime}\left(u_{n}\right)\right\| \rightarrow 0$, 有

固定$p>2$. 由$(V_1)$, 对每个$\varepsilon>0$存在常数$C_{\varepsilon}>0$使得$\left|V^{\prime}(r) r\right| \leq \varepsilon r^{2}+C_{\varepsilon}|r|^{p}$对$|r|\leq C$成立. 于是

若$a<0$, 取足够小的$\varepsilon>0$使得$a+\varepsilon<0$, 得到$c^{2}\left\|u_{n}\right\|^{2} \leq C_{\varepsilon}\left\|A u_{n}\right\|_{L^{p}({\mathbb R})}^{p}+\varepsilon_{n}\|u_n\|,$这表明$\|u_n\|\rightarrow 0$.

若$a>0$, 使用(2.1)式, 可得$\left(c^{2}-a-\varepsilon\right)\left\|u_{n}\right\|^{2} \leq C_{\varepsilon}\left\|A u_{n}\right\|_{L^{p}({\mathbb R})}^{p}+\varepsilon_{n}\|u_n\|.$由于$c^{2}>a$, 可以选取足够小的$\varepsilon>0$使得$c^{2}-a-\varepsilon>0$, 这样也有$\|u_n\|\rightarrow 0$. 证毕.

为了得到基态解, 我们定义${\cal K}$为$J$的所有非平凡临界点构成的集合. 令$m=\inf\limits_{u\in {\cal K}} J(u)$. 注意到$V'(r)r-2V(r)\geq0$, 于是有$m\geq 0$.

注3.1  文献[19] 中证明了如果假定$(V_{1})$, $(V_{2})$与$(V_{3})$-(ii) 成立, 有${\cal K}\neq\emptyset$. 由于$(V_{3})$-(i) 类似于(AR) 条件, 易证在这种假定条件下$J$满足标准的山路结构. 更进一步, 可以得到一个在山路值处的Cerami序列(参见文献[12]). 于是由引理3.1–3.3, 我们可以得到$J$的一个非平凡临界点, 这意味着这种情况下也有${\cal K}\neq\emptyset$. 这里我们省略具体的细节.

现在我们开始证明定理1.1.

定理1.1的证明  假定有一序列$\{u_n\}\subseteq {\cal K}$满足$J(u_n)\rightarrow m$当$n\rightarrow +\infty$时. 显然这是一个Cerami序列, 由引理3.2, $\|u_n\|$是有界的. 接着由引理3.3, 或者有$\|u_n\|\rightarrow 0$, 而这与引理3.1矛盾(因为$\|u\|\geq \delta$对所有的$u\in {\cal K}$); 或者存在$\eta>0$, $\{u_n\}$的一个子列不妨仍记为$\{u_n\}$, 使得

因为$u_n$是有界的, 由(2.1)式, $\|A u_n\|_{L^{\infty}({\mathbb R})}$是有界的. 更进一步, 由Sobolev嵌入$H^1_{loc}({\mathbb R})\hookrightarrow C^0({\mathbb R})$, 存在$y_n\in{\mathbb R}$使得$|A u_n(y_n)|=\|A u_n\|_{L^{\infty}({\mathbb R})}$. 令$\tilde{u}_{n}(t)=u_{n}\left(t+y_{n}\right)$, 那么$\tilde{u}_{n}\in X$, $\left\|\tilde{u}_{n}\right\|=\left\|u_{n}\right\|$, $|A \tilde{u}_n(0)|\geq\eta$, $J\left(\tilde{u}_{n}\right)=J\left(u_{n}\right)$且$J^{\prime}\left(\tilde{u}_{n}\right)=0$. 因此, 由引理3.2, 存在一个子列不妨仍记为$\{\tilde{u}_{n}\}$和$u\in X$使得在$X$上$\tilde{u}_{n}\rightharpoonup u$. 接着利用Sobolev嵌入$H^1_{loc}({\mathbb R})\hookrightarrow L^{\infty}_{loc}({\mathbb R})$的紧性, $A \tilde{u}_n\in C^0({\mathbb R})$与$|A \tilde{u}_n(0)|\geq\eta$, 我们得到$u$是非平凡的.

令$\varphi \in C^{\infty}({\mathbb R})$满足$\varphi(0)=0$且$\varphi^{\prime} \in C_{0}^{\infty}({\mathbb R}),$那么supp$A\varphi$是有界的. 因为在$L_{loc}^{\infty}({\mathbb R})$上$V^{\prime}\left(A \tilde{u}_{n}\right) \rightarrow V^{\prime}(A u)$, 我们有

因此我们证明了$u$是$J$在$X$上的一个临界点.

最后我们证明$J(u)=m$. 由于$u\in {\cal K}$, $J(u)\geq m$. 并且, 由$(V_3)$和Fatou引理, 我们有

于是得证.

现在我们证明在额外假设条件$"a>0"$与$(V_{4})$成立时, 上面得到的基态行波解$u$必定是单调的.

由于$V$是偶的, 函数$-u$也是一个基态行波解. 假定$u$不是单调的, 考虑下面的函数

就有$\tilde{u}\neq \pm u$. 直接计算可知

且$|Au(t)|\leq A\tilde{u}(t)$. 更进一步, 由于$u$是非单调的且由Sobolev嵌入$H^1_{loc}({\mathbb R})\hookrightarrow C^0({\mathbb R})$, $Au$和$A\tilde{u}$是连续的, 因此

我们断言

类似于文献[10, 19] (同时参见注3.1), 存在$\hat{u}\in X$与$\hat{u}_k\in X_k$使得

且

其中$\Gamma_{k}=\left\{\gamma \in C\left([0, 1], X_{k}\right) : \gamma(0)=0, J_k(\gamma(1))<0\right\}$.

固定$k_0\geq1$且令$k\geq k_0$. 由于在$L_{loc}^{\infty}({\mathbb R})$上$A\hat{u}_k\to A\hat{u}$, 且$\frac{1}{2}V'(r)r-V(r)\geq0$, 由Fatou引理得

令$k_0\to\infty$, 由$J'(\hat{u})=0$, 得到$J(\hat{u})\leq\limsup J_{k}\left(\hat{u}_{k}\right)$. 从而由$\hat{u}\in{\cal K}$得到$m\leq\limsup J_{k}\left(\hat{u}_{k}\right).$

定义$J$的山路值$\alpha$为

其中$\Gamma=\left\{\gamma \in C\left([0, 1], X\right) : \gamma(0)=0, J(\gamma(1))<0\right\}$. 由$(V_{2})$, 对每个$v\in X\setminus\{0\}$, 当$s\to +\infty$时, $J(sv)\to -\infty$. 于是存在$s_0>0$使得$J(s_0v)<0$. 令$\gamma(s)=ss_0v$. 显然, $\gamma\in \Gamma$. 于是得到

因此, 为了得到(3.9)式, 现在只需证明

事实上, 同文献[10] 一样, 给定$\gamma\in \Gamma$, 考虑被下式唯一定义的路径$\gamma_k\in \Gamma_k$

其中$s\in[0, 1]$是路径的参数. 不难验证$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {J_k}\left( {{\gamma _k}(s)} \right) = J(\gamma (s))$在$s\in[0, 1]$上一致地成立. 这样就得到了(3.11)式.

注意由$(V_{4})$, $J(u)=\sup\limits_{s>0}J(su)$. 又由$(V_{1})$–$(V_{2})$, 存在$s_0>0$使得$J(s_0\tilde{u})=\sup\limits_{s>0}J(s\tilde{u})$. 因此, 由(3.8)式, $(V_{2})$以及$\tilde{u}'=|u'|$, 成立

这就导致了矛盾. 于是我们就证明了$u$是单调的.

关于指数衰减的结果可以在文献[6]中找到, 因此这里我们省略它的证明.

定理1.2的证明  令$c_k=\inf\limits_{u\in {\cal K}_k} J_k(u)$, 其中${\cal K}_k$表示$J_k$在$X_k$上所有非平凡临界点构成的集合. 如注3.1中所述, 如果假定$(V_{1})$, $(V_{2})$和$(V_{3})$-(i) 成立, 我们可以得到一个非平凡的$T$ -周期行波解. 于是结合文献[19] 中所讨论的一样, 可以按照与定理1.1中相同的处理方法得到$T$ -周期基态行波解, 即存在$u_k\in{\cal K}_k$使得$J_k(u_k)=c_k$.

首先我们证明在$T$足够大时, $u_k$不满足形式$u(t)=mt$$(m\neq0)$. 定义山路值$\alpha_k$为

其中$\Gamma_{k}=\left\{\gamma \in C\left([0, 1], X_{k}\right): \gamma(0)=0, J_k(\gamma(1))<0\right\}$. 由文献[10, 19], 存在$\hat{u}_k\in {\cal K}_k$, 使得$J_k(\hat{u}_k)=\alpha_k$, 并且存在与$k$无关的$\delta$, $M>0$, 使得$\delta\leq \alpha_k\leq M$. 显然, $c_k\leq\alpha_k$. 于是对所有的$k$, 一致地有$c_k\leq M$.

另一方面, 注意到如果$u(t)=mt$, 则有

若$u(t)=mt$是临界点, 由$\langle J_k'(u), u\rangle=0$可得$V'(m)/m=c^2-a$. 于是, 由$(V_{1})$–$(V_{2})$和$V'(r)r-2V(r)\geq0$知, 存在与$T$无关的常数$\delta>0$使得$|m|\geq \delta$且$V(m)\geq V(\delta)>0$. 再利用条件$(V_3)$-(i), 当$T$充分大时, 就有

因此结合$J_k(u_k)=c_k\leq \alpha_k\leq M$知, $u_k(t)\neq mt$.

现在说明$u_k$在额外假设条件$"a>0"$与$(V_{4})$成立时是单调的. 证明采用与定理1.1相同的处理方式, 但会更加简单. 首先定义函数$\tilde{u}_k(t)=\int_0^t|u_k'(s)|{\rm d}s.$假定$u_k$不单调, 那么由Sobolev嵌入$X_k\hookrightarrow C^0(-k, k)$, 有

类似于(3.10)式, 可以得到

然后利用$c_k\leq \alpha_k$得到

接着就可以沿着与定理1.1相同的步骤完成剩余的证明. 证毕.

注4.1  注意到在$(V_{1})$与$(V_{2})$以及比$(V_{3})$-(ii) 更弱的假设: 存在常数$\theta>0$与$d>0$, 使得$\widetilde{V}(r)\geq \theta \widetilde{V}(sr)-d$对所有的$r\in {\mathbb R}$与$s\in[0, 1]$成立的条件下, 对任意的$T>0$, $T$ -周期行波解的存在性已经在文献[19] 中被证明了. 因此在假设条件$(V_{1})$, $(V_{2})$和$(V_{3})$-(ii) 成立时, 类似地也可以得到$T$ -周期行波解的存在性. 于是可以如定理1.1中相似的方法得到$T$ -周期基态行波解的存在性. 并且, 如果额外假设位势$V$满足$(V_{4})$, 那么当$T$足够大时上述得到的解也不会具有形式$u(t)=mt$. 更进一步, 若再额外假设$"a>0"$且$V$是偶的, 那么这个解还是单调的. 具体细节这里不在赘述.