近年来, 具有双相微分算子的偏微分方程和变分问题的研究是新的、有趣的研究领域. 许多物理例子, 诸如弹性力学、强各向异性材料和Lavrentiev现象都证实了这种兴趣的合理性, 具体可参考文献[1-4]. 有关于双相问题非平凡解的存在性和多重性的一些重要结果可参见文献[5-14].关于双相算子微分方程的解及其变分问题极小化的正则性方面的工作, 可参见文献[15-18].

本文的主要目的是研究如下双向问题正解的存在性.

这里$\Omega\subset {\Bbb R}^N$是具有光滑边界的有界区域, $N\geq 2$, $1<p<q<N$且

$\alpha, \beta, \lambda, \mu$是正实数, $V_1$和$V_2$是一般勒贝格空间中的函数.

最近, 存在大量文章研究了问题(P)解的存在性. 在最近的文献[5]中, Perera和Squassina利用Morse理论方法证明: 当$\mu=1$, $\alpha=p$, $V_1(x)=1$, $V_2(x)=-1$时, 问题(P) 存在一个非平凡的弱解. 同样注意到: 问题(P) 也被Papageorgiou, Radulescu和Repovs$^{[7]}$所关注. 当$\alpha=q$, $a(x)\equiv 1$, $V_2(x)\equiv 0$和$V_1(x)\equiv 1$时, 作者研究了连续特征值族的存在性. 更具体的, 他们证明: 对任意$\lambda\in(\lambda_1(p), +\infty)$, 问题(P) 都存在非平凡的解, 这里$\lambda_1(p)>0$是算子$(-\triangle_p, W_0^{1, p}(\Omega))$的本征特征值.

受上述文献的启发, 本文在更一般的假设条件下研究了问题(P). 更准确的, 在适当的条件下去证明: 对于任何$\lambda, \mu> 0$, 问题(P)存在弱解. 因此, 与已有的研究结果相比, 我们的结果更加丰富.

为了叙述本文的主要结果，需要给出以下假设.

$(h_1)$$1<\max\{\alpha, \beta\}<p<N<\min\{s_1, s_2\}$, $V_1\in L^{s_1}(\Omega)$使得$V_1(x)>0$, $x\in\Omega_0\subset\Omega$, 其中$|\Omega_0|>0$且$V_2\in L^{s_2}(\Omega)$是一个正函数.

$(h_2)$$\alpha<\beta$.

现在, 我们可以叙述本文的主要结果.

定理1.1  假设$(h_1)$成立. 那么, 对任意$\mu>0$, 存在$\lambda_0> 0$使得对任意的$\lambda\in[\lambda_0, +\infty)$, 问题(P) 在空间$W_0^{1, H}(\Omega)$中存在一个正的弱解, 其中空间$W_0^{1, H}(\Omega)$的定义将在第2节给出.

定理1.2  假设$(h_1)$和$(h_2)$成立. 那么, 对任意$\mu>0$, 存在$\lambda_1> 0$使得对任意的$\lambda\in(0, \lambda_1)$, 问题(P) 在空间$W_0^{1, H}(\Omega)$中存在一个正的弱解, 其中空间$W_0^{1, H}(\Omega)$的定义将在第2节给出.

定理1.3  假设$(h_1)$和$(h_2)$成立. 那么, 对任意$\lambda, \mu>0$, 问题(P) 在空间$W_0^{1, H}(\Omega)$中存在一个正的弱解, 其中空间$W_0^{1, H}(\Omega)$的定义将在第2节给出.

本文的其余内容安排如下: 在第2节, 我们介绍一些关于空间$W_0^{1, H}(\Omega)$的必要的初步知识. 在第3节, 我们建立了与问题(P)相关的变分框架并给出证明定理1.1–1.3所需要的一些引理. 在第4–5节, 我们完成定理1.1–1.3的证明.

为了讨论(P), 需要给出被称作Musielak-Orlicz-Sobolev空间$W_0^{1, H}(\Omega)$的一些基本事实. 出于此, 首先回忆Musielak-Orlicz空间的一些性质, 相关的结果可参见文献[14, 19-21].

用$N(\Omega)$表示所有广义$N$-函数的集合. 对$1<p<q$和$0\leq a(\cdot)\in L^1(\Omega)$, 定义

容易知道$H\in N(\Omega)$是一个局部可积的且

这就是所谓的条件$(\triangle_2)$.

首先, Musielak-Orlicz空间$L^{H}(\Omega)$被定义为

对应的Luxemburg范数为

Musielak-Orlicz-Sobolev空间$W^{1, H}(\Omega)$被定义为

相对应的范数为$\|u\|=|u|_{H}+|\nabla u|_{H}.$此外, 我们用$W_0^{1, H}(\Omega)$表示为$C_0^\infty(\Omega)$按$W^{1, H}(\Omega)$范数的完备化. 按照这些范数, 空间$L^{H}(\Omega)$, $W_0^{1, H}(\Omega)$和$W^{1, H}(\Omega)$是可分的、自反的Banach空间; 详细的可参见文献[14].

命题2.1^{[12, 命题2.1]}  记$\rho_H(u)=\int_{\Omega}(|u|^{p}+a(x)|u|^{q}){\rm d}x.$如果$u\in L^{H}(\Omega)$, 那么如下事实成立

(ⅰ) $u\neq 0, |u|_{H}=\lambda\Leftrightarrow \rho_H(\frac{u}{\lambda})=1$;

(ⅱ) $|u|_{H}<1(=1; >1)\Leftrightarrow \rho_H(u)<1(=1; >1)$;

(ⅲ) 如果$|u|_{H}\geq1$, 那么$|u|^{p}_{H}\leq \rho_H(u)\leq |u|^{q}_{H}$;

(ⅳ) 如果$|u|_{H}\leq1$, 那么$|u|^{q}_{H}\leq \rho_H(u)\leq |u|^{p}_{H}$.

命题2.2^{[14, 命题2.15, 命题2.18]}  (1) 如果$1\leq s\leq p^*=\frac{Np}{N-p}$, 那么嵌入$W_0^{1, H}(\Omega)\hookrightarrow L^s(\Omega)$是连续的. 特别的, 如果$s\in [1, p^*)$, 那么嵌入$W_0^{1, H}(\Omega)\hookrightarrow L^s(\Omega)$是紧的.

(2) 假设(1.1)成立. 那么Poincare不等式成立, 即, 存在一个正常数$C_0$使得

使用上面的命题, 存在一个常数$c_s> 0$使得$|u|_s\leq c_s\|u\|, \;\forall u\in W_0^{1, H}(\Omega)$成立, 这里$|u|_s$定义为$L^s(\Omega)$中的范数, $1\leq s < p^*$. 根据命题2.2(2), $|\nabla u|_H$是空间$W_0^{1, H}(\Omega)$中的等价范数. 我们将在下面的讨论中使用等价范数并记$\|u\|=|\nabla u|_H$.

为了讨论问题(P), 我们需要在空间$W_0^{1, H}(\Omega)$中定义如下泛函

我们知道(见文献[22]), $J\in C^1(W_0^{1, H}(\Omega), {\Bbb R})$且双相算子$-{\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u+a(x)|\nabla u|^{q-2}\nabla u)$是泛函$J$在弱拓扑意义下的导数. 如果定义$L=J': W_0^{1, H}(\Omega)\rightarrow (W_0^{1, H}(\Omega))^*$, 那么

对任意的$u, v\in W_0^{1, H}(\Omega)$. 其中$(W_0^{1, H}(\Omega))^*$定义为$W_0^{1, H}(\Omega)$的对偶且$\langle\cdot, \cdot\rangle$定义为空间$W_0^{1, H}(\Omega)$和$(W_0^{1, H}(\Omega))^*$的共轭对. 那么, 我们有如下命题.

命题2.3^{[12, 命题3.1]}  记$E= W^{1, H}_0(\Omega)$, $L$同上, 那么

(1) 算子$L: E\rightarrow E^*$是一个连续的, 有界的且严格单调的算子;

(2) 算子$L: E\rightarrow E^*$是$(S)_+$型映射, 即, 如果在$E$中$u_n\rightharpoonup u$且$\limsup\limits_{n\rightarrow +\infty}\langle L(u_n)-L(u), u_n-u\rangle\leq 0$, 蕴含有在$E$中$u_n\rightarrow u$;

(3) 算子$L: E\rightarrow E^*$是一个同胚.

为了证明主要定理, 我们回忆对应于问题(P)的变分结构.

我们观察到: 问题(P)有一个变分结构, 事实上, 它的解可以作为如下的能量泛函$\varphi_{\lambda, \mu}: E\rightarrow {\Bbb R}$的临界点来分析

定义3.1  我们称$u\in E$是问题(P) 的解, 如果

对任意的$v\in E$.

那么有如下的引理.

引理3.1  假设$(h_1)$成立, 那么$\varphi_{\lambda, \mu}\in C^1(E, {\Bbb R})$且

对任意的$u, v\in E$. 此外, $u\in E$是$\varphi_{\lambda, \mu}$的临界点当且仅当$u$是问题(P)的弱解.

证   首先, 定义$J_1$和$J_2$: $E\rightarrow {\Bbb R}$如下

下面去证明$\varphi_{\lambda, \mu}\in C^1(E, {\Bbb R})$和(3.2)式, 我们仅需要说明$J_i\in C^1(E, {\Bbb R})$ ($i=1, 2$) 和

对所有的$u, v\in E$.

另一方面, 对任意的$u, v\in E$和$0 <|t|< 1$, 我们可得

我们分别用$s_1'$和$s_2'$定义$s_1$和$s_2$的共轭数. 随后, 记$r_1:= \frac{s_1\alpha}{s_1-\alpha}$和$r_2:= \frac{s_2\beta}{s_2-\beta}$. 那么由条件$(h_2)$可得$\max\{r_1, r_2, s_1'\alpha, s_2'\beta\}<p^*$. 再由命题2.2, 可以获得

归功于事实$V_1\in L^{s_1}(\Omega)$并使用Hölder不等式, 我们可以得到$|V_1(x)| (|u|^{\alpha-1}|v|+|v|^{\alpha})\in L^1(\Omega).$因此, 由中值定理和Lebesgue控制收敛定理, 存在$0 <\lambda< 1$使得

对所有的$u, v\in E$. 因此$J_1$是Gateaux可微的. 关于$V_2$和$\beta$使用类似的论断, 可以证明

余下来去证明: $J_1'$是弱连续的. 假设在$E$中$u_n\rightharpoonup u$. 那么由命题2.2, 在$L^s(\Omega)$中$u_n\rightarrow u,$对任意的$s\in[1, p^*)$和$u_n(x)\rightarrow u(x)$几乎处处于$x\in\Omega$.

回忆到

记

我们断言: $k_0= 0$. 我们使用反证法来证明. 假设$k_0>0$. 那么存在一个序列$\{\phi_n\}\subseteq E$, $\|\phi_n\|=1$使得对足够大的$n$可得

直接计算很容易

再使用Hölder不等式, 可得

根据文献[23, Lemma A.1], 存在$w_1\in L^{r_1}(\Omega)$和$\xi_1\in L^\alpha(\Omega)$使得$\max\{|u_n(x)|, |u(x)|\}\leq |\xi_1(x)|$和$|\phi_n(x)|\leq |w_1(x)|.$因此, 由Lebesgue控制收敛定理可知

这蕴含有$k_0>0$. 因此, $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}||J_1'(u_n)-J_1'(u)||_{E_*}= 0.$成立.

关于$V_2$, $\beta$和$r_2$使用类似的论断, 我们同样可以得到

此外, 令$u$是$\varphi_{\lambda, \mu}$的临界点, 那么可得$\varphi_{\lambda, \mu}'(u)=0$, 这蕴含有$\langle\varphi_{\lambda, \mu}'(u), v\rangle=0, \;\forall v\in E.$由此可得

因此我们可以导出: $u$是问题(P)的弱解.

现在我们假设$u$是问题(P) 的一个弱解. 那么由定义3.1, 我们可以导出

这蕴含有$\langle\varphi_{\lambda, \mu}'(u), v\rangle=0, \;\forall v\in E.$进一步的, 我们有$\varphi_{\lambda, \mu}'(u)=0$ in $E^*$. 因此$u$是$\varphi_{\lambda, \mu}$的一个临界点. 这就完成了引理3.1的证明.

现在, 我们给出如下引理, 它将在主要定理的证明中起关键作用. 具体的, 让我们回顾一下Ekeland变分原理, 它将在定理1.2–1.3证明中被使用.

引理3.2^{[14, 定理1.1]}  设$(X, d)$是完备的距离空间, 并假设$f: X \rightarrow (-\infty, \infty]$是下半连续的, $\not\equiv +\infty$和下方有界的. 令$\varepsilon> 0$, $u\in X$使得$f(u)\leq\inf\limits_{x\in X}f(x)+\varepsilon$成立. 那么存在$v\in X$使得

(ⅰ) $f(v)\leq f(u)$;

(ⅱ) $d(u, v)\leq 1$;

(ⅲ) 对每个$w\neq v$, $f(v)-\varepsilon d(v, w)<f(w)$.

在本节, 我们将证明定理1.1. 首先, 我们去说明$\varphi_{\lambda, \mu}$在$E$中存在一个非平凡的全局极小点.

引理4.1  假设$(h_1)$成立. 那么泛函$\varphi_{\lambda, \mu}$在$E$上是强制的.

证   由假设$(h_1)$可得$s_1'\alpha<p^*$. 所以嵌入$E\hookrightarrow L^{s_1'\alpha}(\Omega)$是紧的和连续的, 那么存在正常数$C$使得

成立. 这样, 使用不等式(4.1), 对任意满足$\|u\|>1$的$u\in E$, 我们有

由(4.2)式和$\alpha<p$, 可以导出$\lim\limits_{\|u\|\rightarrow +\infty}\varphi_{\lambda, \mu}(u)=+\infty.$这蕴含着$\varphi_{\lambda, \mu}$是强制的, 证毕.

现在, 我们去证明定理1.1.

定理1.1的证明  由引理4.1可知, 泛函$\varphi_{\lambda, \mu}$在$E$上是强制的和弱下半连续的. 使用这两个性质, 并应用文献[15, 定理6.1.1], 必存在一个$u_{\lambda, \mu}\in E$且它是泛函$\varphi_{\lambda, \mu}$的全局极小值点. 因此, $u_{\lambda, \mu}$是问题(P)的一个弱解.

下面去证明: 当$\lambda$足够大时, $u_{\lambda, \mu}$是非平凡的. 为此目的, 让我们选取一个固定的常数$t_0>1$和一个满足$|\Omega_1|>0$的开子集$\Omega_1\subset\Omega_0$. 令$\eta_0\in C_0^\infty(\Omega)\subset E$是固定的一个函数且满足${\rm supp}(\eta_0)\subset\Omega_0$, $\eta_0(x)=t_0$, $x\in\overline{\Omega}_1$, 和$0\leq \eta_0(x)\leq t_0$, $x\in\Omega\backslash \Omega_1$. 因此

其中$C(\mu)$是某个正常数. 这蕴含着存在常数$\lambda_0> 0$使得对任意的$\lambda\in[\lambda_0, +\infty)$有$\varphi_{\lambda, \mu}(\eta_0)< 0$成立. 从而对任意的$\lambda\geq\lambda_0$有$\inf\limits_{u\in E} \varphi_{\lambda, \mu}(u) < 0$成立. 因此, 当$\lambda\in[\lambda_0, +\infty)$时, $u_{\lambda, \mu}$是非平凡的. 另外, 因为$\varphi_{\lambda, \mu}(|u_{\lambda, \mu}|)=\varphi_{\lambda, \mu}(u_{\lambda, \mu})$所以问题(P) 存在一个正解. 到此定理1.1的证明已完成.

在本节, 我们使用引理3.2去证明定理1.2和定理1.3, 为此我们先证明如下这些引理.

引理5.1  假设$(h_1)$和$(h_2)$成立. 那么对任意的$\mu>0$和任意的$\rho\in (0, 1)$, 存在$\nu>0$和仅依赖于$\rho$的$\lambda_1=\lambda_1(\rho)>0$使得对所有满足$\|u\|=\rho$的$u\in E$, 都有

成立.

证   让我们假设$\|u\|<\min\{1, \frac{1}{C}\}$, 其中$C$是(4.1) 中给出的正常数. 那么显然有$|u|_{s_1'\alpha} < 1$. 使用条件$(h_1)$和Hölder不等式, 对任意满足$\|u\|=\rho$的$u\in E$, 有下面的不等式成立

此时, 如果定义

那么由上面不等式, 对任意$\mu > 0$和$\lambda\in(0, \lambda_1)$, 以及满足$\|u\|=\rho$的$u\in E$, 必存在$\nu>0$使得$\varphi_{\lambda, \mu}(u)\geq\nu>0$成立. 证毕.

引理5.2  假设$(h_1)$和$(h_2)$成立. 那么存在$\xi_0\in E$使得$\xi_0\geq 0$, $\xi_0\neq 0$和$\varphi_{\lambda, \mu}(t\xi_0)<0$, 对于$t > 0$足够小的.

证   由假设$(h_1)$和$(h_2)$可知, $\alpha<\beta<p$. 再选取$\xi_0\in C_0^\infty(\Omega)\subset E$使得${\rm supp}(\xi_0)\subset\Omega_1\subset\Omega_0$, $\xi_0(x)=1$, $x\in\Omega_3\subset {\rm supp}(\xi_0)$, $0\leq \xi_0(x)\leq 1$, $x\in\Omega_1$. 那么对于$t\leq 1$, 使用(4.1) 式可得

因此, 对于满足$0<\delta<\min\Big\{1, \frac{ \lambda\beta\int_{\Omega_3}V_1(x){\rm d}x}{\alpha[\max\{\|\xi_0\|^p, \|\xi_0\|^q\}+\mu C^\beta|V_2|_{s_2}\|\xi_0\|^{\beta}] }\Big\}$和$t<\delta^{\frac{1}{\beta-\alpha}}$成立的$t$, 我们有$\varphi_{\lambda, \mu}(t\xi_0)<0$.

最后, 我们需要去证明$\max\{\|\xi_0\|^p, \|\xi_0\|^q\}+\mu C^\beta|V_2|_{s_2}\|\xi_0\|^{\beta}>0.$这里使用反证法. 如果它不是正确的, 那么$\max\{\|\xi_0\|^p, \|\xi_0\|^q\}+\mu C^\beta|V_2|_{s_2}\|\xi_0\|^{\beta}=0,$这就蕴含有$\max\{\|\xi_0\|^p, \|\xi_0\|^q\}=0.$再使用命题2.1可得, $\|\xi_0\|=0$, 因此有$\xi_0(x) =0$, $x\in\Omega$. 而这矛盾于函数$\xi_0$的选取. 证毕.

定理1.2的证明  令$\mu> 0$, $\lambda_1$同于(5.1}) 中的选取且$\lambda\in(0, \lambda_1)$. 由引理可得

这里, $\partial B_\rho(0)$表示为$E$中以原点为中心, $\rho$为半径的球的边界.

此外, 应用引理5.2, 我们可以找到一个$\xi\in E$使得对足够小的$t> 0$有$\varphi_{\lambda, \mu}(t\xi)<0$成立. 这一事实证明了Euler-Lagrange泛函$\varphi_{\lambda, \mu}$存在一个谷, 所以问题(P) 不具有山路几何结构. 因此, 对任意满足$\|u\|=\rho$的$u\in E$, 由条件$(h_1)$, (3.1) 和(4.1)式, 容易导出

由(5.3)式可得

上述事实表明: 泛函$\varphi_{\lambda, \mu}: \overline{B_\rho(0)}\rightarrow {\Bbb R}$是下方有界的, 且$\varphi_{\lambda, \mu}\in C^1(\overline{B_\rho(0)})$. 再令

那么由引理3.2, 必存在$u_\varepsilon\in B_\rho(0)$使得

成立. 注意到

那么$u_\varepsilon\in B_\rho(0)$.

现在, 我们定义$\psi_{\lambda, \mu}: \overline{B_\rho(0)}\rightarrow {\Bbb R}$如下$\psi_{\lambda, \mu}=\varphi_{\lambda, \mu}+\varepsilon\|u-u_\varepsilon\|$. 容易知道: $u_\varepsilon$是$\psi_{\lambda, \mu}$的极小值点. 从而对足够小的$t> 0$和任意的$v\in B_1(0)$, 有

成立. 由此不等式可以导出

当$t\rightarrow 0$时, 那么$\langle \varphi'_{\lambda, \mu}(u_\varepsilon), v \rangle+\varepsilon\|v\|\geq 0$, 所以有$\|\varphi'_{\lambda, \mu}(u_\varepsilon)\|\leq\varepsilon$成立. 再结合(5.5}) 式, 必存在一个序列$\{u_n\}\subset B_\rho(0)$使得

成立. 显然, $\{u_n\}\subset E$是有界的. 那么, 由空间$E$的凸性和自反性, 存在$\{u_n\}$的弱收敛的子序列和$u_0\in E$, 不妨仍取$\{u_n\}$, 使得按$E$中范数$u_n\rightharpoonup u_0$. 注意到

那么有(5.6), (5.7) 式和$\{u_n\}$的有界性, 可以导出

下面去证明

事实上, 由(3.3)式, 当$n\rightarrow \infty$时, 直接计算可得

和

回忆到

这样, 由(5.8), (5.10)–(5.12) 式可得(5.9)式成立.

最后, 由命题2.3可知$L$是$(S)_+$型映射, 因此按$E$中的范数$u_n\rightarrow u_0$. 从而, 由(5.6})式可得

并且因此有, $u_0$是非平凡的. 又因为$\varphi_{\lambda, \mu}(|u_0|)=\varphi_{\lambda, \mu}(u_0)$, 那么问题(P) 存在一个正解. 这就蕴含有: 对任意的$\mu>0$和$\lambda\in (0, \lambda_1)$, 问题(P) 存在一个非平凡的正解. 到此就完成了定理1.2的证明.

定理1.3的证明  归功于引理4.1, 容易知道$\varphi_{\lambda, \mu}$是强制的. 此外, 由引理5.2可知: 对任意的$\lambda, \mu> 0$, 存在$\xi_1\in E$使得$\varphi_{\lambda, \mu}(\xi_1)<0$, 所以问题(P) 存在一个非平凡的解, 且该解是泛函$\varphi_{\lambda, \mu}$的一个全局极小值点.