数学物理学报, 2022, 42(5): 1381-1397 doi:

论文

带非线性梯度项的p-Laplacian抛物方程的临界指标

鲁呵倩,, 张正策,

西安交通大学数学与统计学院 西安 710049

The Critical Exponents for the Evolution p-Laplacian Equation with Nonlinear Gradient Terms

Lu Heqian,, Zhang Zhengce,

School of Mathematics and Statistics, Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049

通讯作者: 张正策, zhangzc@mail.xjtu.edu.cn

收稿日期: 2021-06-29  

基金资助: 国家自然科学基金.  12071044

Received: 2021-06-29  

Fund supported: the NSFC.  12071044

作者简介 About authors

鲁呵倩,E-mail:look3114054014@stu.xjtu.edu.cn , E-mail:look3114054014@stu.xjtu.edu.cn

Abstract

This article studies the critical exponents for the homogeneous evolution $p$-Laplacian equation $u_{t}-\Delta_{p}u=u^{m}+|\nabla u|^{q}$ and its inhomogeneous version $u_{t}-\Delta_{p}u=u^{m}+|\nabla u|^{q}+h(x)$ in $\mathbb{R} ^{N}\times\mathbb{R} ^{+}$, $u(x, 0)=u_{0}(x)$ in $\mathbb{R} ^{N}$, where $N\geq1$, $p$, $m$, $q>1$. We obtain a discontinuous critical exponent result for the homogeneous evolution $p$-Laplacian equation, which demonstrates the gradient term brings about a significant phenomenon of the critical exponent, changing from $m=p-1+p/N$ to $m=\infty$ as $q$ goes to the value $p-N/(N+1)$ from above. Meanwhile, we also investigate the inhomogeneous evolution $p$-Laplacian equation and get a different discontinuous critical exponent result.

Keywords: Critical exponents ; p-Laplacian equation ; Gradient nonlinearity ; Blowup ; Global existence

PDF (402KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

鲁呵倩, 张正策. 带非线性梯度项的p-Laplacian抛物方程的临界指标. 数学物理学报[J], 2022, 42(5): 1381-1397 doi:

Lu Heqian, Zhang Zhengce. The Critical Exponents for the Evolution p-Laplacian Equation with Nonlinear Gradient Terms. Acta Mathematica Scientia[J], 2022, 42(5): 1381-1397 doi:

1 引言

本文考虑下述带非线性梯度项的齐次$ p $-Laplacian抛物方程初值问题

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-{\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=u^{m}+|\nabla u|^{q}, &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \\ \end{array}\right. \end{equation} $

以及其相应的非齐次抛物方程初值问题

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-{\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=u^{m}+|\nabla u|^{q}+h(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}\\ \end{array}\right. \end{equation} $

的临界指标. 这里, $ N\geq1 $, $ p $, $ m $, $ q>1 $, $ h(x)\not\equiv0 $, 并且初值$ u_{0}(x) $是定义在全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $中的非负非平凡函数.

非线性抛物方程临界指标的开创性研究起始于文献[1]. 在文献[1]中, Fujita讨论了下述经典的半线性抛物方程初值问题

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-\Delta u=u^{m}, &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \\ \end{array}\right. \end{equation} $

其中, $ m>1 $. 他证得结论

(1) 若$ 1<m<1+2/N $, 则问题(1.3)的任意非负非平凡解均发生有限时间爆破;

(2) 若$ m>1+2/N $, 并且$ u_{0}(x)\leq\delta {\rm e}^{-|x|^{2}}(0<\delta\ll1) $, 则问题(1.3)存在全局解.

随后, Hayakawa等[2-4]对于不同的空间维数$ N $, 证明了临界情形$ m=1+2/N $下, 问题(Fujita equation)不存在非负非平凡的全局解. 通常情况下, 将$ m_{F}=1+2/N $称作Fujita -型临界指标, 它在问题(Fujita equation)解相关性质的研究中发挥着重要作用. 在此之后, Fujita -型临界指标的结果在许多方面都取得进展. 文献[5-6]将Fujita -型临界指标的结果推广到下述非齐次问题

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-\Delta u=u^{m}+h(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \\ \end{array}\right. \end{equation} $

其中, $ m>1 $, $ \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x) {\rm d}x>0 $, 证得当$ N\geq3 $时, 问题(1.4)的临界指标为$ N/(N-2) $. 显然, 这与对应的齐次问题(1.3)的临界指标结果是不同的.

对于方程右端非线性依赖于$ u(x, t) $空间导数的情形, Chipot和Weissler [7]为了研究耗散梯度项对全局解存在性的影响, 考虑下述模型

该模型同样可以用来描述生物学中物种种群密度演化的动力学行为[8]. 与此方程相关的初值问题

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-\Delta u=u^{m}+\mu|\nabla u|^{q}, &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N} \end{array}\right. \end{equation} $

已经取得部分结果. 这里, $ m $, $ q>1 $, $ \mu\in{{\Bbb R}} $.$ \mu<0 $时, 如果$ m>m_{F} $, 那么问题(1.5)全局解总是存在的; 如果$ q=2m/(m+1) $, $ |\mu| $充分大, 或者$ q<2m/(m+1) $, 那么问题(1.5)不仅存在有限时间爆破解, 而且存在稳态解;如果$ q\geq m $, 那么问题(1.5)存在全局解. 因此, 在这些情形下, 问题(1.5)不存在Fujita -型临界指标的结果. 此外, 文献[9]结果表明, 如果$ m<m_{F} $, $ q=2m/(m+1) $, 并且$ |\mu| $充分小, 那么对任意的初值, 问题(1.5)不存在全局解. 因此, $ m_{F} $可以看作此情形下的临界指标. 然而, 到目前为止, 对于$ m\leq m_{F} $, $ 2m/(m+1)<q<m $情形, 问题(1.5)是否存在全局解仍尚未解决.

$ \mu>0 $时, Jleli等[10]证得正非线性梯度项$ |\nabla u|^{q} $引发问题(1.5)的Fujita -型临界指标不连续性变化这一有趣的现象, 并且给出结论: 如果$ q>1+1/(N+1) $, 那么梯度项的出现并没有对Fujita -型临界指标产生影响, 问题(1.5)的Fujita -型临界指标与问题(Fujita equation)保持一致, 均为$ m=1+2/N $; 如果$ q\leq1+1/(N+1) $, 那么问题(1.5)的Fujita -型临界指标则变为$ m=\infty $, 也就是说, 对于任意的$ m>1 $, 问题(1.5)都不存在全局解. 对于问题(1.5)相应的非齐次问题

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-\Delta u=u^{m}+\mu|\nabla u|^{q}+h(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \\ \end{array}\right. \end{equation} $

其中, $ \mu>0 $, $ N\geq3 $, $ h(x) $是定义在全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $中的非负非平凡函数. 文献[10]中证得类似结论: 如果$ q>N/(N-1) $, 那么问题(1.6)的Fujita -型临界指标与问题(1.4)保持一致; 如果$ q<N/(N-1) $, 那么问题(1.6)的Fujita -型临界指标变为$ m=\infty $.

另一方面, 文献[11-13]等讨论了下述齐次$ p $-Laplacian抛物方程初值问题

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-{\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=u^{m}, &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \\ \end{array}\right. \end{equation} $

并且证得此问题的Fujita -型临界指标为$ m_{c}=p-1+p/N $, 也就是说, 如果$ \max \{1, p-1\}<m\leq m_{c} $, 那么问题(1.7)的任意非负非平凡解均发生有限时间爆破;而如果$ m>m_{c} $, 那么对于适当小的初值$ u_{0}(x) $, 问题(1.7)存在全局解. 随后, Zeng[14]考虑了问题(1.7)对应的非齐次$ p $-Laplacian抛物方程初值问题, 并且证得结论: 当$ 2N/(N+1)<p<N $时, 该非齐次问题的Fujita -型临界指标为$ m_{*}=N(p-1)/(N-p) $, 也就是说, 如果$ \max \{1, p-1\}<m\leq m_{*} $, 那么该问题的任意非负非平凡解均发生有限时间爆破; 而如果$ m>m_{*} $, 那么存在$ h(x) $和初值$ u_{0}(x) $, 使得该问题存在全局解. 对于$ p\geq N $情形, 文献[14]结论表明, 当$ m>\max \{1, p-1\} $时, 对于任意的非负非平凡函数$ h(x) $和初值$ u_{0}(x) $, 该非齐次问题不存在全局解. 此外, 当$ \mu<0 $时, 文献[9, 15-16]等将问题(1.5)的部分结论推广到对应的$ p $-Laplacian抛物方程初值问题, 并且证明, 在$ \max \{1, p-1\}<m<p-1+p/N $, 并且$ q=pm/(m+1) $等情形下, 对任意的初值$ u_{0}(x) $, 该问题的非负非平凡解均发生有限时间爆破. 这些结论是Fujita -型临界指标在$ p $-Laplacian抛物方程情况下的延伸和发展.

根据我们所知, 对于问题(1.1)和(1.2)临界指标的研究尚未存在相关结论. 本文重点关注正梯度项$ |\nabla u|^{q} $对问题(1.1)和(1.2)解是否全局存在的临界指标的影响. 我们的结果表明, 正梯度项$ |\nabla u|^{q} $将会对$ p $-Laplacian抛物方程全局解存在和不存在的条件产生影响. 在本文中, 我们的方法受到文献[10, 14, 17]思想的启发, 同时, 我们引用了文献[13, 16, 18]中的一些结果.

首先, 我们给出问题(1.1)和(1.2)弱解的定义.

定义1.1[19]    如果对于全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $里任意有界光滑区域$ \Omega $, 定义在$ {{\Bbb R}} ^{N}\times(0, T) $上的一个非负函数$ u(x, t) $满足

以及对任意$ 0\leq t_{0}<t\leq T $和任意非负不恒等于零的检验函数$ \phi\in C^{1}(\overline{\Omega}\times[0, T]) $, 均有

并且满足初值条件

则称函数$ u(x, t) $是问题$ {\rm (1.1)} $的一个弱上解(弱下解). 这里, $ B_{r}=\{x\in{{\Bbb R}} ^{N}:|x|<r\} $; 当$ (x, t)\in\partial\Omega\times(0, T) $时, 检验函数$ \phi(x, t)=0 $. 如果函数$ u(x, t) $既是弱上解, 又是弱下解, 那么称函数$ u(x, t) $是问题$ {\rm (1.1)} $的弱解.

注1.1  在文献[20]中, Shang和Li给出当初值是非负$ {\rm Radon} $测度时, 问题$ {\rm (1.1)} $弱解的局部存在性, 并且得到了最优的初值假设条件.

定义1.2[19]  令$ \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x) {\rm d}x>0 $. 如果对于全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $里任意有界光滑区域$ \Omega $, 定义在$ {{\Bbb R}} ^{N}\times(0, T) $上的一个非负函数$ u(x, t) $满足

以及对任意$ 0\leq t_{0}<t\leq T $和任意非负不恒等于零的检验函数$ \phi\in C^{1}(\overline{\Omega}\times[0, T]) $, 均有

其中, 当$ (x, t)\in\partial\Omega\times(0, T) $时, 检验函数$ \phi(x, t)=0 $, 并且满足初值条件

则称函数$ u(x, t) $是问题$ {\rm (1.2)} $的一个弱上解(弱下解). 如果函数$ u(x, t) $既是弱上解, 又是弱下解, 那么称函数$ u(x, t) $是问题$ {\rm (1.2)} $的弱解.

注1.2  根据文献[19]可知, 方程$ u_{t}={\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u) $初值问题的$ {\rm Barenblatt} $解在$ |x|<Ct^{\frac{1}{N(p-2)+p}} $时是正的, 利用比较原理, 我们假定问题$ {\rm (1.1)} $$ {\rm (1.2)} $的解是非负的.

本文主要研究解的大时间行为, 我们可以合理地假设初值条件$ u_{0}(x) $以保证问题局部解的存在性以及比较原理成立. 本文的结构如下: 第二节, 我们讨论齐次问题(1.1), 证得了非负非平凡解的最优临界指标结果; 第三节, 我们考虑非齐次问题(1.2), 得到了与问题(1.1)不同的不连续临界指标结果.

2 齐次问题(1.1)

在这一节中, 我们目的是研究当$ p $, $ m $$ q $满足一定的条件时, 齐次问题(1.1)非负非平凡解的大时间行为. 在本节中, 我们假设

其中, 函数空间$ C_{0}({{\Bbb R}} ^{N}):=\Big\{w(x)\in C({{\Bbb R}} ^{N})\cap L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}):{ } \lim\limits_{\rho\rightarrow \infty}\sup\limits_{|x|\geq\rho}\left|w(x)\right|=0\Big\} $. 我们的第一个主要结果如下.

定理2.1  令$ N\geq1 $, $ p>2 $, $ m>p-1 $, 并且$ q>p-1 $.

$ {\rm (1)} $如果

那么问题$ {\rm (1.1)} $的任意非负非平凡弱解均发生有限时间爆破.

$ {\rm (2)} $如果

那么对于适当小的初值, 问题$ {\rm (1.1)} $存在非负非平凡的全局解. 比如, 当初值$ u_{0}(x) $满足

时, 问题$ {\rm (1.1)} $存在非负非平凡的全局解. 这里, $ \varepsilon $是充分小的正常数, $ r_{0} $是任一给定的正常数;对于任意的实数$ r $, 记$ r_{+}=\max \{r, 0\} $.

注2.1  定理$ {\rm 2.1} $的结果表明, 梯度项$ |\nabla u|^{q} $的出现引发了临界指标不连续变化这一重要现象. 也就是说, 如果$ q>p-N/(N+1) $, 那么问题$ {\rm (1.1)} $的临界指标与问题中不包含梯度项时保持一致, 即为$ m=p-1+p/N $; 反之, 如果$ q\leq p-N/(N+1) $, 那么问题$ {\rm (1.1)} $的临界指标改变为$ m=\infty $.

注2.2  定理$ {\rm 2.1} $的结论是$ p=2 $情形下对应的Fujita -型临界指标(详细结果参阅文献[10])的精确推广.

   (1) 首先, 考虑$ m\leq p-1+p/N $情形. 由于问题

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \phi_{t}-{\rm div}(|\nabla\phi|^{p-2}\nabla \phi)=\phi^{m}, &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ \phi(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}\\ \end{array}\right. \end{equation} $

的非负非平凡弱解$ \phi(x, t) $$ m\leq p-1+p/N $条件下发生有限时间爆破, 并且问题(1.1)的解$ u(x, t) $是问题(2.1)的弱上解, 因此根据比较原理(参阅文献[13, 定理2.9]), 可知问题(1.1)的任意非负非平凡弱解在此情形下均发生有限时间爆破.

接下来, 我们假设$ p-1<q\leq p-N/(N+1) $. 考虑相应的Hamilton-Jacobi问题

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} w_{t}-{\rm div}(|\nabla w|^{p-2}\nabla w)=|\nabla w|^{q}, &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ w(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \end{array}\right. \end{equation} $

可知问题(2.2)存在唯一解$ w(x, t)\in C({{\Bbb R}} ^{N}\times[0, \infty))\cap L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}\times[0, \infty)) $. 记常数$ { } M_{\infty}=\lim\limits_{t\rightarrow \infty}\|w(t)\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})}>0 $, $ \gamma_{q}=(q-1)q^{-q/(q-1)} $; 对任意的$ (x, t)\in{{\Bbb R}} ^{N}\times(0, \infty) $, 定义函数

根据文献[18, 定理1.1和1.3], 可以得到

$ \begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\|w(t)-h_{\infty}(t)\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})}=0. \end{equation} $

现在, 使用反证法, 假设问题(1.1)的解$ u(x, t) $全局存在, 那么存在一个正常数$ Y $, 使得对任意的$ \rho>0 $, 均有$ \mathop{\int}_{B_{\rho}}u {\rm d}x\leq Y $. 另一方面, 根据比较原理, 则有

从(2.3)式可知, 对任意的$ x_{0}\in{{\Bbb R}} ^{N} $, 均有

因此, 选取常数$ \epsilon=M_{\infty}/4 $, 则存在$ Q>0 $使得当$ t>Q $时有$ \left|w(x_{0}, t)-h_{\infty}(x_{0}, t)\right|<M_{\infty}/4 $. 进而

$ \rho>0 $是待定的常数. 选取

那么对任意的$ x\in B_{\rho/2} $, 我们有

$ \begin{eqnarray} u(x, t_{0})\geq w(x, t_{0}) &>&\left(M_{\infty}-(q-1)q^{-\frac{q}{q-1}}\left(\frac{|x|}{t_{0}^{1/q}}\right)^{\frac{q}{q-1}}\right)_{+}-\frac{M_{\infty}}{4}{}\\ &\geq&\frac{M_{\infty}}{2}-\frac{M_{\infty}}{4}=\frac{M_{\infty}}{4}. \end{eqnarray} $

借助于上述下界, 我们将使用特征函数法和尺度变换法推得矛盾. 令$ \lambda>0 $是下述问题

的第一特征值, $ \varphi(x)>0 $是对应的特征函数, 那么存在正常数$ k_{1} $, $ K_{1} $, $ K_{2} $$ K_{3} $使得

以及当$ l<1 $时, 有

$ \begin{equation} \int_{B_{1}}\varphi^{-l} {\rm d}x\leq K_{3}. \end{equation} $

$ \kappa $是待定的常数, 定义

显然地, 函数$ \varphi_{\rho}(x) $满足

$ \begin{equation} \varphi_{\rho}\geq k_{1}\rho^{-\kappa}, \ \ \forall x\in B_{\rho/2};\ \ \ \varphi_{\rho}\leq K_{1}\rho^{-\kappa}, |\nabla\varphi_{\rho}|\leq K_{2}\rho^{-\kappa-1}, \ \ \forall x\in B_{\rho}. \end{equation} $

$ \varsigma>0 $是待定的常数. 将问题(1.1)中方程两端同时乘以函数$ \varphi_{\rho}^{\varsigma}(x) $, 并且在球$ B_{\rho} $上使用分部积分法, 对任意的$ t>0 $, 我们得到

利用Young不等式, 我们有

其中

选取$ \varsigma>(p-1)/(q-p+1) $. 结合(2.5)和(2.6)式, 我们发现

因此, 可得

$ \begin{equation} \frac{{\rm d}}{{\rm dt}}\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\geq\int_{B_{\rho}}u^{m}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x+\frac{1}{2}\int_{B_{\rho}}|\nabla u|^{q}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x-L_{1}K_{2}^{\frac{q}{q-p+1}}K_{3}\rho^{N-\kappa\varsigma-\frac{q}{q-p+1}}. \end{equation} $

定义函数$ \zeta(x)=|x|^{2}/(2N) $, 经过简单计算可知, $ \zeta(x) $满足

进而

$ \begin{eqnarray} \int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x&=&\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma}\Delta\zeta {\rm d}x{}\\ &=&-\int_{B_{\rho}}\nabla\left(u \varphi_{\rho}^{\varsigma}\right)\cdot\nabla\zeta {\rm d}x+\int_{\partial B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma}\partial_{\nu}\zeta {\rm d}x{}\\ &\leq&\frac{\rho}{N}\int_{B_{\rho}}\left|\nabla\left(u \varphi_{\rho}^{\varsigma}\right)\right| {\rm d}x, \end{eqnarray} $

其中, $ \partial_{\nu} $表示边界$ \partial B_{\rho} $上的单位外法向量. 选取$ \varsigma>1 $, 使用Young不等式和Hölder不等式, 我们有

$ \begin{eqnarray} \frac{\rho}{N}\int_{B_{\rho}}\left|\nabla\left(u \varphi_{\rho}^{\varsigma}\right)\right| {\rm d}x & \leq&\frac{\rho\varsigma}{N}\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma-1}\left|\nabla \varphi_{\rho}\right| {\rm d}x+\frac{\rho}{N}\int_{B_{\rho}}|\nabla u|\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x{}\\ & \leq&\frac{1}{2}\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x+L_{2}\int_{B_{\rho}}u\left|\nabla \varphi_{\rho}\right|^{\varsigma} {\rm d}x{}\\ & &+\frac{\rho}{N}\bigg(\int_{B_{\rho}}|\nabla u|^{q}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{q}}\bigg(\int_{B_{\rho}}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{1-\frac{1}{q}}, \end{eqnarray} $

其中

另外, 根据(2.5)和(2.6)式, 我们可知

$ \begin{equation} \int_{B_{\rho}}u\left|\nabla \varphi_{\rho}\right|^{\varsigma} {\rm d}x\leq K_{2}^{\varsigma}\rho^{-(\kappa+1)\varsigma}\int_{B_{\rho}}u {\rm d}x \end{equation} $

$ \begin{equation} \int_{B_{\rho}}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x=\int_{B_{\rho}}\left(\rho^{-\kappa}\varphi\left(\rho^{-1}x\right)\right)^{\varsigma} {\rm d}x\leq K_{3}\rho^{N-\kappa\varsigma}. \end{equation} $

结合(2.8)–(2.11)式, 可以得到

$ \begin{equation} \int_{B_{\rho}}|\nabla u|^{q}\varphi_{\rho}^{\varsigma}{\rm d}x\geq 2L_{3}\rho^{(N-\kappa\varsigma)(1-q)-q}\bigg(\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{q}- 2L_{4}\rho^{N(1-q)-q\left(\varsigma+1\right)-\kappa\varsigma}\bigg(\int_{B_{\rho}}u{\rm d}x\bigg)^{q}. \end{equation} $

这里

此外, 我们注意到

$ \begin{eqnarray} \int_{B_{\rho}}u^{m}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x&\geq&\bigg(\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{m}\bigg(\int_{B_{\rho}}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{1-m}{}\\ &\geq &K_{3}^{1-m}\rho^{(N-\kappa\varsigma)(1-m)}\bigg(\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{m}. \end{eqnarray} $

将(2.12)和(2.13)代入(2.7)式, 我们有

选定

我们得到爆破不等式

$ \begin{eqnarray} y'(t)&\geq&K_{3}^{1-m}\rho^{\frac{q(m-1)}{q-1}}y^{m}(t)+L_{3}y^{q}(t)-L_{4}\rho^{-\frac{q}{q-1}-q(N+\varsigma+1)}\bigg(\int_{B_{\rho}}u {\rm d}x\bigg)^{q}{}\\ & &-L_{1}K_{2}^{\frac{q}{q-p+1}}K_{3}\rho^{-\frac{q}{q-1}-\frac{q}{q-p+1}}. \end{eqnarray} $

另一方面, 我们发现(2.4)和(2.6)式意味着

$ \begin{equation} y(t_{0})\geq\int_{B_{\rho/2}}u(x, t_{0})\varphi_{\rho}^{\varsigma}(x) {\rm d}x\geq\frac{\omega_{N}k_{1}^{\varsigma}M_{\infty}}{2^{N+2}}\rho^{-\frac{q}{q-1}}, \end{equation} $

其中, $ \omega_{N} $是全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $里单位球的体积. 选取

并且$ \rho>\max \left\{\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}\right\} $, 结合(2.15), 我们可知(2.14)式的右端在$ t=t_{0} $时是严格正的, 进而, 微分不等式(2.14})在$ t>t_{0} $时不存在全局解, 这就产生了矛盾. 因此, 问题(1.1)的任意非负非平凡弱解均发生有限时间爆破.

(2) 采用与文献[21-22]类似的论证方法, 定义函数

其中, $ \varepsilon $, $ k>0 $是待定的常数. 经过直接的计算, 我们有

因此

$ \begin{eqnarray} && z_{t}-{\rm div}(|\nabla z|^{p-2}\nabla z)-z^{m}-|\nabla z|^{q}{}\\ & =&\varepsilon k\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{p-1}{p-2}}(t+1)^{\frac{p(k-1)-N(p-1)}{N(p-2)+p}}{}\\ & &-\varepsilon^{m}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{m(p-1)}{p-2}}(t+1)^{\frac{(kp-N)m}{N(p-2)+p}}{}\\ & &-\varepsilon^{\frac{q}{p-1}}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{q}{p-1}}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{q}{p-2}}{}\\ && \cdot|x|^{\frac{q}{p-1}}(t+1)^{\frac{(kp-N)q}{N(p-2)+p}-\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\cdot\frac{pq}{p-1}}{}\\ & =&\varepsilon\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right) ^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}} {(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot \frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{p-1}{p-2}}{}\\ &&\times (t+1)^{\frac{p(k-1)-N(p-1)}{N(p-2)+p}}(k-I). \end{eqnarray} $

这里

由于

我们有

从而, 可得

$ \begin{equation} I_{1}\leq\varepsilon^{m-1}r_{0}^{\frac{p(m-1)}{p-2}}(t+1)^{\frac{(kp-N)m}{N(p-2)+p}-\frac{p(k-1)-N(p-1)}{N(p-2)+p}}. \end{equation} $

根据$ I_{2} $的定义, 我们可知, 当且仅当

时, $ I_{2}\geq0 $; 否则, $ I_{2}\equiv0 $. 因此

$ \begin{eqnarray} I_{2}&=&\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{q}{p-1}}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{q-p+1}{p-2}}{}\\ & &\cdot\varepsilon^{\frac{q-p+1}{p-1}}\frac{|x|^{\frac{q}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{q}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}(t+1)^{\frac{(kp-N)q}{N(p-2)+p}-\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\cdot\frac{pq}{p-1}-\frac{p(k-1)-N(p-1)}{N(p-2)+p}+\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\cdot\frac{q}{p-1}}{}\\ & \leq&\varepsilon^{\frac{q-p+1}{p-1}}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{q}{p-1}}r_{0}^{\frac{p(q-p+1)}{(p-1)(p-2)}}\left\{\varepsilon^{\frac{p-2}{p}}r_{0}\left(\frac{p}{p-2}\right)^{\frac{p-1}{p}}\left(\frac{N(p-2)+p}{k(p-2)+1}\right)^{\frac{1}{p}}\right\}^{\frac{q}{p-1}}{}\\ & &\cdot(t+1)^{\frac{k(2q-p)+N(p-1)+p-(N+1)q}{N(p-2)+p}}{}\\ & =&\varepsilon^{\frac{2q-p}{p}}r_{0}^{\frac{2q-p}{p-2}}\left(\frac{p}{p-2}\right)^{\frac{q}{p}}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{q}{p}}(t+1)^{\frac{k(2q-p)+N(p-1)+p-(N+1)q}{N(p-2)+p}}. \end{eqnarray} $

结合(2.17)和(2.18)式, 我们得到

$ \begin{eqnarray} I&\leq&\varepsilon^{m-1}r_{0}^{\frac{p(m-1)}{p-2}}(t+1)^{\frac{kp(m-1)}{N(p-2)+p}+\frac{N(p-1)+p-Nm}{N(p-2)+p}}{}\\ & &+\varepsilon^{\frac{2q-p}{p}}r_{0}^{\frac{2q-p}{p-2}}\left(\frac{p}{p-2}\right)^{\frac{q}{p}}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{q}{p}}(t+1)^{\frac{k(2q-p)+N(p-1)+p-(N+1)q}{N(p-2)+p}}. \end{eqnarray} $

借助于$ m>p-1+p/N $$ q>p-N/(N+1) $, 我们可以选择满足条件$ 0<k<N/p $的充分小常数$ k $使得

接着, 选取充分小的正常数$ \varepsilon $, 由(2.16)和(2.19)式可得

$ 0\leq u_{0}(x)\leq z(x, 0) $, 则有

即问题$ {\rm (1.1)} $存在非负非平凡的全局解. 定理2.1证毕.

3 非齐次问题(1.2)

在这一节中, 我们考虑非齐次问题(1.2). 我们的主要结果由以下两个定理给出.

定理3.1  令$ N\geq1 $, $ p>1 $, $ m>\max \{1, p-1\} $, $ q>1 $, $ h(x) $$ u_{0}(x) $是定义在全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $中非负非平凡函数. 若$ p\geq N $, 则问题$ {\rm (1.2)} $的任意非负非平凡弱解均发生有限时间爆破.

   由于问题(1.2)的解$ u(x, t) $是初值问题

的弱上解, 采用与文献[14, 定理2]类似的论证方法, 我们即可完成定理3.1的证明.

定理3.2$ N\geq2 $, $ 2N/(N+1)<p<N $, $ m>\max\{1, p-1\} $, 并且$ q>\max\{1, p-1\} $.

$ {\rm (1)} $如果

那么对于定义在全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $里的任意非负非平凡函数$ h(x) $$ u_{0}(x) $, 问题$ {\rm (1.2)} $的非负非平凡解均发生有限时间爆破.

$ {\rm (2)} $如果

那么存在函数$ h(x)>0 $, 使得对于适当小的初值, 问题$ {\rm (1.2)} $存在非负非平凡的全局解.

注3.1  从定理$ {\rm 3.1} $$ {\rm 3.2} $的结果可以发现, 问题$ {\rm (1.2)} $临界指标的值与齐次问题$ {\rm (1.1)} $是不同的. 然而, 在$ 2N/(N+1)<p<N $情形下, 类似于问题$ {\rm (1.1)} $, 梯度项$ |\nabla u|^{q} $的出现引发了非齐次问题$ {\rm (1.2)} $临界指标不连续变化这一现象. 也就是说, 如果$ q>N(p-1)/(N-1) $, 那么问题$ {\rm (1.2)} $的临界指标与问题中不包含梯度项时保持一致, 即为$ m=N(p-1)/(N-p) $; 反之, 如果$ q<N(p-1)/(N-1) $, 那么问题$ {\rm (1.2)} $的临界指标改变为$ m=\infty $.

   (1) 对于$ m\leq N(p-1)/(N-p) $情形, 采用与定理3.1类似的方法即可得到结论. 接下来, 我们假设$ q<N(p-1)/(N-1) $. 使用反证法, 假设问题(1.2)的解$ u(x, t) $全局存在. 我们将借助于检验函数技巧推得矛盾. 选取函数$ \zeta\in C^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}) $$ \vartheta\in C^{\infty}({{\Bbb R}} _{+}) $分别满足条件

给定$ \tau>0 $, 我们引入非负检验函数$ \psi=\psi_{\tau} $

其中

以及$ r>0 $是待定的常数. 将问题(1.2)中方程两端同时乘以检验函数$ \psi $, 并且在区域$ Q_{\tau}:={{\Bbb R}} ^{N}\times(0, \tau) $上积分, 我们得到

使用分部积分法, 我们有

从而

$ \begin{equation} {\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\!\left(u^{m}\!+\!|\nabla u|^{q}\right)\psi {\rm d}t {\rm d}x+\!{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\!h(x)\psi {\rm d}t {\rm d}x\!\leq\!{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\!u |\psi_{t}| {\rm d}t {\rm d}x+\!{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\!|\nabla u|^{p-1}|\nabla\psi| {\rm d}t {\rm d}x. \end{equation} $

利用Hölder不等式和函数$ \zeta $的定义, 我们发现

这里

进一步, 借助Young不等式, 则有

$ \begin{equation} {\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}|\nabla u|^{p-1}|\nabla\psi| {\rm d}t {\rm d}x\leq\frac{1}{2}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}|\nabla u|^{q}\psi {\rm d}t {\rm d}x+C_{1}I_{1}(\tau), \end{equation} $

其中

类似地, 使用Hölder不等式和函数$ \vartheta $的定义, 可以得到

这里

借助Young不等式, 我们有

$ \begin{equation} {\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}u |\psi_{t}| {\rm d}t {\rm d}x\leq\frac{1}{2}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}u^{m}\psi {\rm d}t {\rm d}x+C_{2}I_{2}(\tau), \end{equation} $

其中

根据(3.1), (3.2)和(3.3)式, 可以推得

$ \begin{equation} \frac{1}{2}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\left(u^{m}+|\nabla u|^{q}\right)\psi {\rm d}t {\rm d}x+{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}h(x)\psi {\rm d}t {\rm d}x\leq C_{1}I_{1}(\tau)+C_{2}I_{2}(\tau). \end{equation} $

下面, 我们估计$ I_{i} $, $ i=1, 2 $. 利用函数$ \zeta $, $ \vartheta $的性质以及变量替换$ x=\tau^{r}z $, $ t=\tau s $, 可知

$ \begin{equation} I_{1}(\tau)=C\tau^{1+Nr-\frac{rq}{q-p+1}}. \end{equation} $

特别说明, 此处及之后, $ C $表示一个与$ \tau $无关的正常数, 它对应的数值在每行可能是不同的. 同样地, 对于$ I_{2}(\tau) $, 我们有

$ \begin{equation} I_{2}(\tau)=C\tau^{Nr-\frac{1}{m-1}}. \end{equation} $

结合(3.4)–(3.6)式, 我们得到

$ \begin{equation} \frac{1}{2}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\left(u^{m}+|\nabla u|^{q}\right)\psi {\rm d}t {\rm d}x+{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}h(x)\psi {\rm d}t {\rm d}x\leq C\left(\tau^{1+Nr-\frac{rq}{q-p+1}}+\tau^{Nr-\frac{1}{m-1}}\right). \end{equation} $

另一方面, 我们发现

$ \begin{eqnarray} {\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}h(x)\psi {\rm d}t {\rm d}x&=&\left(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x)\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right){\rm d}x\right)\left(\int_{0}^{\tau}\vartheta^{\beta}\left(\tau^{-1}t\right){\rm d}t\right){}\\ &=&C\tau\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x)\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right) {\rm d}x. \end{eqnarray} $

进而, 根据(3.7)和(3.8)式, 可以推得

$ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x)\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right) {\rm d}x\leq C\left(\tau^{Nr-\frac{rq}{q-p+1}}+\tau^{Nr-\frac{m}{m-1}}\right). \end{equation} $

选取常数

从而

并且, 从(3.9)式可知, 对任意的$ \tau>0 $, 有

$ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x)\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right) {\rm d}x\leq C\tau^{\frac{m\left(Nq-Np+N-q\right)}{q(m-1)}}. \end{equation} $

由于$ q<N(p-1)/(N-1) $, 因此

将(3.10)式中$ \tau\rightarrow \infty $, 并且借助控制收敛定理, 则有

这与$ h(x) $是定义在全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $里的非负非平凡函数这一事实相矛盾. 因此, 问题(1.2)的解$ u(x, t) $有限时间发生爆破.

(2) 在这一部分, 我们证明, $ m>N(p-1)/(N-p) $$ q>N(p-1)/(N-1) $情形下, 存在$ u_{0}(x) $$ h(x) $使得问题(1.2)有非负非平凡的全局解. 我们考虑问题(1.2)相应的稳态问题

$ \begin{equation} -{\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=u^{m}+|\nabla u|^{q}+h(x), {\quad} x\in{{\Bbb R}} ^{N}. \end{equation} $

寻找具有形式$ v(x)=\varepsilon\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-k} $, 并且满足方程

$ \begin{equation} -{\rm div}(|\nabla v|^{p-2}\nabla v)=v^{m}+|\nabla v|^{q}+H(x), {\quad} x\in{{\Bbb R}} ^{N} \end{equation} $

的一个上解. 这里, $ k, \varepsilon>0 $是待定的常数. 经过直接的计算, 我们得到

选定$ H(x):=-{\rm div}(|\nabla v|^{p-2}\nabla v)-v^{m}-\left|\nabla v\right|^{q} $, 我们有

借助于

我们可以选取正常数$ k $使得

接着, 选取充分小的正常数$ \varepsilon $, 对任意的$ x\in{{\Bbb R}} ^{N} $, 可以得到

$ h(x)\leq H(x) $$ u_{0}(x)\leq \varepsilon\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-k} $, 则$ v(x) $是问题(1.2)的一个上解. 另一方面, $ v_{1}(x)\equiv0 $显然是问题(1.2)的一个下解. 因此, 根据迭代法和比较原理可得问题(1.2)存在非负非平凡的全局解. 证毕.

注3.2  对于$ q=N(p-1)/(N-1) $情形, 上述证明方法不再适用, 我们需要寻找新的方法来判定此情形下解是否全局存在. 这仍是一个开放性的问题.

参考文献

Fujita H .

On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for $ u_{t}=\Delta u+u.{1+\alpha} $

J Fac Sci Univ Tokyo Sect I, 1966, 13, 109- 124

[本文引用: 2]

Hayakawa K .

On nonexistence of global solutions of some semilinear parabolic differential equations

Proc Japan Acad, 1973, 49, 503- 505

[本文引用: 1]

Kobayashi K , Sirao T , Tanaka H .

On the growing up problem for semilinear heat equations

J Math Soc Japan, 1977, 29 (3): 407- 424

Weissler F B .

Existence and nonexistence of global solutions for a semilinear heat equation

Israel J Math, 1981, 38 (1/2): 29- 40

[本文引用: 1]

Bandle C , Levine H A , Zhang Q S .

Critical exponents of Fujita type for inhomogeneous parabolic equations and systems

J Math Anal Appl, 2000, 251 (2): 624- 648

DOI:10.1006/jmaa.2000.7035      [本文引用: 1]

Zhang Q S .

A new critical phenomenon for semilinear parabolic problems

J Math Anal Appl, 1998, 219 (1): 125- 139

DOI:10.1006/jmaa.1997.5825      [本文引用: 1]

Chipot M , Weissler F B .

Some blowup results for a nonlinear parabolic equation with a gradient term

SIAM J Math Anal, 1989, 20 (4): 886- 907

DOI:10.1137/0520060      [本文引用: 1]

Souplet P .

Finite time blow-up for a non-linear parabolic equation with a gradient term and applications

Math Methods Appl Sci, 1996, 19 (16): 1317- 1333

DOI:10.1002/(SICI)1099-1476(19961110)19:16<1317::AID-MMA835>3.0.CO;2-M      [本文引用: 1]

Mitidieri $ \grave{{\rm E}} $ , Pokhozhaev S I .

Fujita-type theorems for quasilinear parabolic inequalities with a nonlinear gradient

Doklady Mathematics, 2002, 66 (2): 187- 191

[本文引用: 2]

Jleli M , Samet B , Souplet P .

Discontinuous critical Fujita exponents for the heat equation with combined nonlinearities

Proc Amer Math Soc, 2020, 148 (6): 2579- 2593

DOI:10.1090/proc/14953      [本文引用: 4]

Galaktionov V A .

Blow-up for quasilinear heat equations with critical Fujita's exponents

Proc Roy Soc Edinburgh Sect A, 1994, 124 (3): 517- 525

DOI:10.1017/S0308210500028766      [本文引用: 1]

Qi Y W .

Critical exponents of degenerate parabolic equations

Sci China Ser A, 1995, 38 (10): 1153- 1162

Zhao J N .

On the Cauchy problem and initial traces for the evolution $ p $-Laplacian equations with strongly nonlinear sources

J Differential Equations, 1995, 121 (2): 329- 383

DOI:10.1006/jdeq.1995.1132      [本文引用: 3]

Zeng X Z .

Blow-up results and global existence of positive solutions for the inhomogeneous evolution $ p $-Laplacian equations

Nonlinear Anal, 2007, 66 (6): 1290- 1301

DOI:10.1016/j.na.2006.01.026      [本文引用: 4]

Filippucci R , Lombardi S .

Fujita type results for parabolic inequalities with gradient terms

J Differential Equations, 2020, 268 (5): 1873- 1910

DOI:10.1016/j.jde.2019.09.026      [本文引用: 1]

Lian S Z , Yuan H J , Cao C L , Gao W J , Xu X J .

On the Cauchy problem for the evolution $ p $-Laplacian equations with gradient term and source

J Differential Equations, 2007, 235 (2): 544- 585

DOI:10.1016/j.jde.2006.11.014      [本文引用: 2]

Lu H Q , Zhang Z C .

Blowup time estimates for a parabolic $ p $-Laplacian equation with nonlinear gradient terms

Z Angew Math Phys, 2019, 70 (3): 1- 18

[本文引用: 1]

Lauren\c{c}ot P .

Non-diffusive large time behavior for a degenerate viscous Hamilton-Jacobi equation

Comm Partial Differential Equations, 2009, 34 (3): 281- 304

DOI:10.1080/03605300902793808      [本文引用: 2]

伍卓群, 赵俊宁, 尹景学, 李辉来. 非线性扩散方程. 吉林: 吉林大学出版社, 1996

[本文引用: 3]

fanxiexiantihuan] Wu Z Q , Zhao J N , Yin J X , Li H L . Nonlinear Diffusion Equations. Jilin: Jilin University Press, 1996

[本文引用: 3]

Shang H F , Li F Q .

On the Cauchy problem for the evolution $ p $-Laplacian equations with gradient term and source and measures as initial data

Nonlinear Anal, 2010, 72, 3396- 3411

DOI:10.1016/j.na.2009.12.023      [本文引用: 1]

Galaktionov V A .

Conditions for nonexistence in the large and localization of solutions of the Cauchy problem for a class of nonlinear parabolic equations

USSR Comput Math and Math Phys, 1983, 23 (6): 36- 44

DOI:10.1016/S0041-5553(83)80073-1      [本文引用: 1]

Zheng Z , Qi Y W , Zhou S L .

Blow-up of $ p $-Laplacian evolution equations with variable source power

Sci China Math, 2017, 60 (3): 469- 490

DOI:10.1007/s11425-016-0091-0      [本文引用: 1]

/