本文考虑下述带非线性梯度项的齐次$ p $-Laplacian抛物方程初值问题

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-{\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=u^{m}+|\nabla u|^{q}, &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \\ \end{array}\right. \end{equation} $

以及其相应的非齐次抛物方程初值问题

(1.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-{\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=u^{m}+|\nabla u|^{q}+h(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}\\ \end{array}\right. \end{equation} $

的临界指标. 这里, $ N\geq1 $, $ p $, $ m $, $ q>1 $, $ h(x)\not\equiv0 $, 并且初值$ u_{0}(x) $是定义在全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $中的非负非平凡函数.

非线性抛物方程临界指标的开创性研究起始于文献[1]. 在文献[1]中, Fujita讨论了下述经典的半线性抛物方程初值问题

(1.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-\Delta u=u^{m}, &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \\ \end{array}\right. \end{equation} $

其中, $ m>1 $. 他证得结论

(1) 若$ 1<m<1+2/N $, 则问题(1.3)的任意非负非平凡解均发生有限时间爆破；

(2) 若$ m>1+2/N $, 并且$ u_{0}(x)\leq\delta {\rm e}^{-|x|^{2}}(0<\delta\ll1) $, 则问题(1.3)存在全局解.

随后, Hayakawa等^[2-4]对于不同的空间维数$ N $, 证明了临界情形$ m=1+2/N $下, 问题(Fujita equation)不存在非负非平凡的全局解. 通常情况下, 将$ m_{F}=1+2/N $称作Fujita -型临界指标, 它在问题(Fujita equation)解相关性质的研究中发挥着重要作用. 在此之后, Fujita -型临界指标的结果在许多方面都取得进展. 文献[5-6]将Fujita -型临界指标的结果推广到下述非齐次问题

(1.4) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-\Delta u=u^{m}+h(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \\ \end{array}\right. \end{equation} $

其中, $ m>1 $, $ \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x) {\rm d}x>0 $, 证得当$ N\geq3 $时, 问题(1.4)的临界指标为$ N/(N-2) $. 显然, 这与对应的齐次问题(1.3)的临界指标结果是不同的.

对于方程右端非线性依赖于$ u(x, t) $空间导数的情形, Chipot和Weissler ^[7]为了研究耗散梯度项对全局解存在性的影响, 考虑下述模型

$ \begin{eqnarray*} \label{jdg} u_{t}-\Delta u=u^{m}-\mu|\nabla u|^{q}, {\quad} \mu>0. \end{eqnarray*} $

该模型同样可以用来描述生物学中物种种群密度演化的动力学行为^[8]. 与此方程相关的初值问题

(1.5) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-\Delta u=u^{m}+\mu|\nabla u|^{q}, &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N} \end{array}\right. \end{equation} $

已经取得部分结果. 这里, $ m $, $ q>1 $, $ \mu\in{{\Bbb R}} $. 当$ \mu<0 $时, 如果$ m>m_{F} $, 那么问题(1.5)全局解总是存在的; 如果$ q=2m/(m+1) $, $ |\mu| $充分大, 或者$ q<2m/(m+1) $, 那么问题(1.5)不仅存在有限时间爆破解, 而且存在稳态解；如果$ q\geq m $, 那么问题(1.5)存在全局解. 因此, 在这些情形下, 问题(1.5)不存在Fujita -型临界指标的结果. 此外, 文献[9]结果表明, 如果$ m<m_{F} $, $ q=2m/(m+1) $, 并且$ |\mu| $充分小, 那么对任意的初值, 问题(1.5)不存在全局解. 因此, $ m_{F} $可以看作此情形下的临界指标. 然而, 到目前为止, 对于$ m\leq m_{F} $, $ 2m/(m+1)<q<m $情形, 问题(1.5)是否存在全局解仍尚未解决.

当$ \mu>0 $时, Jleli等^[10]证得正非线性梯度项$ |\nabla u|^{q} $引发问题(1.5)的Fujita -型临界指标不连续性变化这一有趣的现象, 并且给出结论: 如果$ q>1+1/(N+1) $, 那么梯度项的出现并没有对Fujita -型临界指标产生影响, 问题(1.5)的Fujita -型临界指标与问题(Fujita equation)保持一致, 均为$ m=1+2/N $; 如果$ q\leq1+1/(N+1) $, 那么问题(1.5)的Fujita -型临界指标则变为$ m=\infty $, 也就是说, 对于任意的$ m>1 $, 问题(1.5)都不存在全局解. 对于问题(1.5)相应的非齐次问题

(1.6) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-\Delta u=u^{m}+\mu|\nabla u|^{q}+h(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \\ \end{array}\right. \end{equation} $

其中, $ \mu>0 $, $ N\geq3 $, $ h(x) $是定义在全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $中的非负非平凡函数. 文献[10]中证得类似结论: 如果$ q>N/(N-1) $, 那么问题(1.6)的Fujita -型临界指标与问题(1.4)保持一致; 如果$ q<N/(N-1) $, 那么问题(1.6)的Fujita -型临界指标变为$ m=\infty $.

另一方面, 文献[11-13]等讨论了下述齐次$ p $-Laplacian抛物方程初值问题

(1.7) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-{\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=u^{m}, &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ u(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \\ \end{array}\right. \end{equation} $

并且证得此问题的Fujita -型临界指标为$ m_{c}=p-1+p/N $, 也就是说, 如果$ \max \{1, p-1\}<m\leq m_{c} $, 那么问题(1.7)的任意非负非平凡解均发生有限时间爆破；而如果$ m>m_{c} $, 那么对于适当小的初值$ u_{0}(x) $, 问题(1.7)存在全局解. 随后, Zeng^[14]考虑了问题(1.7)对应的非齐次$ p $-Laplacian抛物方程初值问题, 并且证得结论: 当$ 2N/(N+1)<p<N $时, 该非齐次问题的Fujita -型临界指标为$ m_{*}=N(p-1)/(N-p) $, 也就是说, 如果$ \max \{1, p-1\}<m\leq m_{*} $, 那么该问题的任意非负非平凡解均发生有限时间爆破; 而如果$ m>m_{*} $, 那么存在$ h(x) $和初值$ u_{0}(x) $, 使得该问题存在全局解. 对于$ p\geq N $情形, 文献[14]结论表明, 当$ m>\max \{1, p-1\} $时, 对于任意的非负非平凡函数$ h(x) $和初值$ u_{0}(x) $, 该非齐次问题不存在全局解. 此外, 当$ \mu<0 $时, 文献[9, 15-16]等将问题(1.5)的部分结论推广到对应的$ p $-Laplacian抛物方程初值问题, 并且证明, 在$ \max \{1, p-1\}<m<p-1+p/N $, 并且$ q=pm/(m+1) $等情形下, 对任意的初值$ u_{0}(x) $, 该问题的非负非平凡解均发生有限时间爆破. 这些结论是Fujita -型临界指标在$ p $-Laplacian抛物方程情况下的延伸和发展.

根据我们所知, 对于问题(1.1)和(1.2)临界指标的研究尚未存在相关结论. 本文重点关注正梯度项$ |\nabla u|^{q} $对问题(1.1)和(1.2)解是否全局存在的临界指标的影响. 我们的结果表明, 正梯度项$ |\nabla u|^{q} $将会对$ p $-Laplacian抛物方程全局解存在和不存在的条件产生影响. 在本文中, 我们的方法受到文献[10, 14, 17]思想的启发, 同时, 我们引用了文献[13, 16, 18]中的一些结果.

首先, 我们给出问题(1.1)和(1.2)弱解的定义.

定义1.1^[19]    如果对于全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $里任意有界光滑区域$ \Omega $, 定义在$ {{\Bbb R}} ^{N}\times(0, T) $上的一个非负函数$ u(x, t) $满足

$ \begin{eqnarray*} \label{regularity for weak solutions1} u(x, t)\in C_{{\rm loc}}(0, T;L^{1}(\Omega))\cap L^{s}_{{\rm loc}}(0, T;W^{1, s}(\Omega))\cap L^{\infty}_{{\rm loc}}({{\Bbb R}} ^{N}\times(0, T)), s={\rm \max}\{p, q\}, \end{eqnarray*} $

以及对任意$ 0\leq t_{0}<t\leq T $和任意非负不恒等于零的检验函数$ \phi\in C^{1}(\overline{\Omega}\times[0, T]) $, 均有

$ \begin{eqnarray*} \label{def for weak solutions formula1} && \int_{\Omega}u(x, t)\phi(x, t) {\rm d}x+\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}[-u\phi_{\tau}+|\nabla u|^{p-2}\nabla u\cdot \nabla\phi] {\rm d}x {\rm d}\tau\\ &\geq&(\leq)\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}u^{m}\phi {\rm d}x {\rm d}\tau+\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}|\nabla u|^{q}\phi {\rm d}x {\rm d}\tau+\int_{\Omega}u(x, t_{0})\phi(x, t_{0}) {\rm d}x, \end{eqnarray*} $

并且满足初值条件

$ \lim \limits_{t\rightarrow 0}\int_{B_{r}}|u(x, t)-u_{0}(x)| {\rm d}x=0, \ \ \ \forall r>0, $

则称函数$ u(x, t) $是问题$ {\rm (1.1)} $的一个弱上解(弱下解). 这里, $ B_{r}=\{x\in{{\Bbb R}} ^{N}:|x|<r\} $; 当$ (x, t)\in\partial\Omega\times(0, T) $时, 检验函数$ \phi(x, t)=0 $. 如果函数$ u(x, t) $既是弱上解, 又是弱下解, 那么称函数$ u(x, t) $是问题$ {\rm (1.1)} $的弱解.

注1.1  在文献[20]中, Shang和Li给出当初值是非负$ {\rm Radon} $测度时, 问题$ {\rm (1.1)} $弱解的局部存在性, 并且得到了最优的初值假设条件.

定义1.2^[19]  令$ \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x) {\rm d}x>0 $. 如果对于全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $里任意有界光滑区域$ \Omega $, 定义在$ {{\Bbb R}} ^{N}\times(0, T) $上的一个非负函数$ u(x, t) $满足

$ \begin{eqnarray*} \label{regularity for weak solutions2} u(x, t)\in C_{{\rm loc}}(0, T;L^{1}(\Omega))\cap L^{s}_{{\rm loc}}(0, T;W^{1, s}(\Omega))\cap L^{\infty}_{{\rm loc}}({{\Bbb R}} ^{N}\times(0, T)), s={\rm \max}\{p, q\}, \end{eqnarray*} $

以及对任意$ 0\leq t_{0}<t\leq T $和任意非负不恒等于零的检验函数$ \phi\in C^{1}(\overline{\Omega}\times[0, T]) $, 均有

$ \begin{eqnarray*} \label{def for weak solutions formula2} && \int_{\Omega}u(x, t)\phi(x, t) {\rm d}x+\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}[-u\phi_{\tau}+|\nabla u|^{p-2}\nabla u\cdot \nabla\phi] {\rm d}x {\rm d}\tau\\ & \geq&(\leq)\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}u^{m}\phi {\rm d}x {\rm d}\tau+\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}|\nabla u|^{q}\phi {\rm d}x {\rm d}\tau+\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}h\phi {\rm d}x {\rm d}\tau+\int_{\Omega}u(x, t_{0})\phi(x, t_{0}) {\rm d}x, \end{eqnarray*} $

其中, 当$ (x, t)\in\partial\Omega\times(0, T) $时, 检验函数$ \phi(x, t)=0 $, 并且满足初值条件

$ \lim \limits_{t\rightarrow 0}\int_{B_{r}}|u(x, t)-u_{0}(x)| {\rm d}x=0, \ \ \ \forall r>0, $

则称函数$ u(x, t) $是问题$ {\rm (1.2)} $的一个弱上解(弱下解). 如果函数$ u(x, t) $既是弱上解, 又是弱下解, 那么称函数$ u(x, t) $是问题$ {\rm (1.2)} $的弱解.

注1.2  根据文献[19]可知, 方程$ u_{t}={\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u) $初值问题的$ {\rm Barenblatt} $解在$ |x|<Ct^{\frac{1}{N(p-2)+p}} $时是正的, 利用比较原理, 我们假定问题$ {\rm (1.1)} $和$ {\rm (1.2)} $的解是非负的.

本文主要研究解的大时间行为, 我们可以合理地假设初值条件$ u_{0}(x) $以保证问题局部解的存在性以及比较原理成立. 本文的结构如下: 第二节, 我们讨论齐次问题(1.1), 证得了非负非平凡解的最优临界指标结果; 第三节, 我们考虑非齐次问题(1.2), 得到了与问题(1.1)不同的不连续临界指标结果.

在这一节中, 我们目的是研究当$ p $, $ m $和$ q $满足一定的条件时, 齐次问题(1.1)非负非平凡解的大时间行为. 在本节中, 我们假设

$ u_{0}(x)\in C_{0}({{\Bbb R}} ^{N})\cap W^{1, \infty}({{\Bbb R}} ^{N}), u_{0}(x)\geq0, u_{0}(x)\not\equiv0, $

其中, 函数空间$ C_{0}({{\Bbb R}} ^{N}):=\Big\{w(x)\in C({{\Bbb R}} ^{N})\cap L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}):{ } \lim\limits_{\rho\rightarrow \infty}\sup\limits_{|x|\geq\rho}\left|w(x)\right|=0\Big\} $. 我们的第一个主要结果如下.

定理2.1  令$ N\geq1 $, $ p>2 $, $ m>p-1 $, 并且$ q>p-1 $.

$ {\rm (1)} $如果

$ m\leq p-1+\frac{p}{N}\ \ \ \ \ \ \mbox{或者}\ \ \ \ \ \ q\leq p-\frac{N}{N+1}, $

那么问题$ {\rm (1.1)} $的任意非负非平凡弱解均发生有限时间爆破.

$ {\rm (2)} $如果

$ m>p-1+\frac{p}{N}\ \ \ \ \ \ \mbox{并且}\ \ \ \ \ \ q>p-\frac{N}{N+1}, $

那么对于适当小的初值, 问题$ {\rm (1.1)} $存在非负非平凡的全局解. 比如, 当初值$ u_{0}(x) $满足

$ 0\leq u_{0}(x)\leq\varepsilon\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}\right\}_{+}^{\frac{p-1}{p-2}} $

时, 问题$ {\rm (1.1)} $存在非负非平凡的全局解. 这里, $ \varepsilon $是充分小的正常数, $ r_{0} $是任一给定的正常数；对于任意的实数$ r $, 记$ r_{+}=\max \{r, 0\} $.

注2.1  定理$ {\rm 2.1} $的结果表明, 梯度项$ |\nabla u|^{q} $的出现引发了临界指标不连续变化这一重要现象. 也就是说, 如果$ q>p-N/(N+1) $, 那么问题$ {\rm (1.1)} $的临界指标与问题中不包含梯度项时保持一致, 即为$ m=p-1+p/N $; 反之, 如果$ q\leq p-N/(N+1) $, 那么问题$ {\rm (1.1)} $的临界指标改变为$ m=\infty $.

注2.2  定理$ {\rm 2.1} $的结论是$ p=2 $情形下对应的Fujita -型临界指标(详细结果参阅文献[10])的精确推广.

证   (1) 首先, 考虑$ m\leq p-1+p/N $情形. 由于问题

(2.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \phi_{t}-{\rm div}(|\nabla\phi|^{p-2}\nabla \phi)=\phi^{m}, &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ \phi(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}\\ \end{array}\right. \end{equation} $

的非负非平凡弱解$ \phi(x, t) $在$ m\leq p-1+p/N $条件下发生有限时间爆破, 并且问题(1.1)的解$ u(x, t) $是问题(2.1)的弱上解, 因此根据比较原理(参阅文献[13, 定理2.9]), 可知问题(1.1)的任意非负非平凡弱解在此情形下均发生有限时间爆破.

接下来, 我们假设$ p-1<q\leq p-N/(N+1) $. 考虑相应的Hamilton-Jacobi问题

(2.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} w_{t}-{\rm div}(|\nabla w|^{p-2}\nabla w)=|\nabla w|^{q}, &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ w(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \end{array}\right. \end{equation} $

可知问题(2.2)存在唯一解$ w(x, t)\in C({{\Bbb R}} ^{N}\times[0, \infty))\cap L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}\times[0, \infty)) $. 记常数$ { } M_{\infty}=\lim\limits_{t\rightarrow \infty}\|w(t)\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})}>0 $, $ \gamma_{q}=(q-1)q^{-q/(q-1)} $; 对任意的$ (x, t)\in{{\Bbb R}} ^{N}\times(0, \infty) $, 定义函数

$ H_{\infty}(x)=\big(M_{\infty}-\gamma_{q}|x|^{\frac{q}{q-1}}\big)_{+}\ \ \ \mbox{和}\ \ \ h_{\infty}(x, t)=H_{\infty}\left(\frac{x}{t^{1/q}}\right). $

根据文献[18, 定理1.1和1.3], 可以得到

(2.3) $ \begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\|w(t)-h_{\infty}(t)\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})}=0. \end{equation} $

现在, 使用反证法, 假设问题(1.1)的解$ u(x, t) $全局存在, 那么存在一个正常数$ Y $, 使得对任意的$ \rho>0 $, 均有$ \mathop{\int}_{B_{\rho}}u {\rm d}x\leq Y $. 另一方面, 根据比较原理, 则有

$ u(x, t)\geq w(x, t), \ \ \ (x, t)\in{{\Bbb R}} ^{N}\times(0, \infty). $

从(2.3)式可知, 对任意的$ x_{0}\in{{\Bbb R}} ^{N} $, 均有

$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\left|w(x_{0}, t)-h_{\infty}(x_{0}, t)\right|=0. $

因此, 选取常数$ \epsilon=M_{\infty}/4 $, 则存在$ Q>0 $使得当$ t>Q $时有$ \left|w(x_{0}, t)-h_{\infty}(x_{0}, t)\right|<M_{\infty}/4 $. 进而

$ \begin{eqnarray*} \label{w lowerbound} w(x_{0}, t)>h_{\infty}(x_{0}, t)-\frac{M_{\infty}}{4}=\left(M_{\infty}-(q-1)q^{-\frac{q}{q-1}}\left(\frac{|x_{0}|}{t^{1/q}}\right)^{\frac{q}{q-1}}\right)_{+}-\frac{M_{\infty}}{4}. \end{eqnarray*} $

令$ \rho>0 $是待定的常数. 选取

$ t_{0}=\frac{1}{2}\left(\frac{\rho}{q}\right)^{q}\left(\frac{q-1}{M_{\infty}}\right)^{q-1}\ \ \ \ \ \ \mbox{和}\ \ \ \ \ \ \rho>\rho_{1}:=2qQ^{1/q}\left(\frac{M_{\infty}}{2(q-1)}\right)^{(q-1)/q}, $

那么对任意的$ x\in B_{\rho/2} $, 我们有

(2.4) $ \begin{eqnarray} u(x, t_{0})\geq w(x, t_{0}) &>&\left(M_{\infty}-(q-1)q^{-\frac{q}{q-1}}\left(\frac{|x|}{t_{0}^{1/q}}\right)^{\frac{q}{q-1}}\right)_{+}-\frac{M_{\infty}}{4}{}\\ &\geq&\frac{M_{\infty}}{2}-\frac{M_{\infty}}{4}=\frac{M_{\infty}}{4}. \end{eqnarray} $

借助于上述下界, 我们将使用特征函数法和尺度变换法推得矛盾. 令$ \lambda>0 $是下述问题

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta\varphi=\lambda\varphi, &x\in B_{1}, \\ \varphi=0, &x\in\partial B_{1}\\ \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

的第一特征值, $ \varphi(x)>0 $是对应的特征函数, 那么存在正常数$ k_{1} $, $ K_{1} $, $ K_{2} $和$ K_{3} $使得

$ \varphi\geq k_{1}, \ \ \forall x\in B_{1/2};\ \ \ \varphi\leq K_{1}, |\nabla\varphi|\leq K_{2}, \ \ \forall x\in B_{1}, $

以及当$ l<1 $时, 有

(2.5) $ \begin{equation} \int_{B_{1}}\varphi^{-l} {\rm d}x\leq K_{3}. \end{equation} $

令$ \kappa $是待定的常数, 定义

$ \varphi_{\rho}(x):=\rho^{-\kappa}\varphi\left(\rho^{-1}x\right), \ \ \ x\in B_{\rho}. $

显然地, 函数$ \varphi_{\rho}(x) $满足

$ \begin{eqnarray*} \label{eigen equ rho}\left\{ \begin{array}{ll} -\Delta\varphi_{\rho}=\lambda\rho^{-2}\varphi_{\rho}, &x\in B_{\rho}, \\ \varphi_{\rho}=0, &x\in\partial B_{\rho}\\ \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

和

(2.6) $ \begin{equation} \varphi_{\rho}\geq k_{1}\rho^{-\kappa}, \ \ \forall x\in B_{\rho/2};\ \ \ \varphi_{\rho}\leq K_{1}\rho^{-\kappa}, |\nabla\varphi_{\rho}|\leq K_{2}\rho^{-\kappa-1}, \ \ \forall x\in B_{\rho}. \end{equation} $

令$ \varsigma>0 $是待定的常数. 将问题(1.1)中方程两端同时乘以函数$ \varphi_{\rho}^{\varsigma}(x) $, 并且在球$ B_{\rho} $上使用分部积分法, 对任意的$ t>0 $, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} \label{Multiply test function} \frac{{\rm d}}{{\rm dt}}\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x=-\varsigma\int_{B_{\rho}}|\nabla u|^{p-2}\varphi_{\rho}^{\varsigma-1}\nabla u\cdot\nabla\varphi_{\rho} {\rm d}x+\int_{B_{\rho}}u^{m}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x+\int_{B_{\rho}}|\nabla u|^{q}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x. \end{eqnarray*} $

利用Young不等式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \varsigma\int_{B_{\rho}}|\nabla u|^{p-2}\varphi_{\rho}^{\varsigma-1}\nabla u\cdot\nabla\varphi_{\rho} {\rm d}x \leq\frac{1}{2}\int_{B_{\rho}}|\nabla u|^{q}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x+L_{1}\int_{B_{\rho}}\varphi_{\rho}^{\varsigma-\frac{q}{q-p+1}}|\nabla \varphi_{\rho}|^{\frac{q}{q-p+1}} {\rm d}x, \end{eqnarray*} $

其中

$ L_{1}=(q-p+1)(2p-2)^{\frac{p-1}{q-p+1}}\left(\frac{\varsigma}{q}\right)^{\frac{q}{q-p+1}}. $

选取$ \varsigma>(p-1)/(q-p+1) $. 结合(2.5)和(2.6)式, 我们发现

$ \begin{eqnarray*} \int_{B_{\rho}}\varphi_{\rho}^{\varsigma-\frac{q}{q-p+1}}|\nabla \varphi_{\rho}|^{\frac{q}{q-p+1}} {\rm d}x&\leq&\left(\rho^{-\kappa-1}K_{2}\right)^{\frac{q}{q-p+1}}\int_{B_{\rho}}\left(\rho^{-\kappa}\varphi\left(\rho^{-1}x\right)\right)^{\varsigma-\frac{q}{q-p+1}} {\rm d}x\\ &=&\left(\rho^{-\kappa-1}K_{2}\right)^{\frac{q}{q-p+1}}\rho^{N-\kappa\left(\varsigma-\frac{q}{q-p+1}\right)}\int_{B_{1}}\varphi^{\varsigma-\frac{q}{q-p+1}}(y) {\rm d}y\\ &\leq& K_{2}^{\frac{q}{q-p+1}}K_{3}\rho^{N-\kappa\varsigma-\frac{q}{q-p+1}}. \end{eqnarray*} $

因此, 可得

(2.7) $ \begin{equation} \frac{{\rm d}}{{\rm dt}}\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\geq\int_{B_{\rho}}u^{m}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x+\frac{1}{2}\int_{B_{\rho}}|\nabla u|^{q}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x-L_{1}K_{2}^{\frac{q}{q-p+1}}K_{3}\rho^{N-\kappa\varsigma-\frac{q}{q-p+1}}. \end{equation} $

定义函数$ \zeta(x)=|x|^{2}/(2N) $, 经过简单计算可知, $ \zeta(x) $满足

$ \begin{eqnarray*} \label{explicit}\left\{ \begin{array}{ll} \Delta\zeta=1, &x\in B_{\rho}, \\ \zeta(0)=0, &\nabla\zeta(0)=0.\\ \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

进而

(2.8) $ \begin{eqnarray} \int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x&=&\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma}\Delta\zeta {\rm d}x{}\\ &=&-\int_{B_{\rho}}\nabla\left(u \varphi_{\rho}^{\varsigma}\right)\cdot\nabla\zeta {\rm d}x+\int_{\partial B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma}\partial_{\nu}\zeta {\rm d}x{}\\ &\leq&\frac{\rho}{N}\int_{B_{\rho}}\left|\nabla\left(u \varphi_{\rho}^{\varsigma}\right)\right| {\rm d}x, \end{eqnarray} $

其中, $ \partial_{\nu} $表示边界$ \partial B_{\rho} $上的单位外法向量. 选取$ \varsigma>1 $, 使用Young不等式和Hölder不等式, 我们有

(2.9) $ \begin{eqnarray} \frac{\rho}{N}\int_{B_{\rho}}\left|\nabla\left(u \varphi_{\rho}^{\varsigma}\right)\right| {\rm d}x & \leq&\frac{\rho\varsigma}{N}\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma-1}\left|\nabla \varphi_{\rho}\right| {\rm d}x+\frac{\rho}{N}\int_{B_{\rho}}|\nabla u|\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x{}\\ & \leq&\frac{1}{2}\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x+L_{2}\int_{B_{\rho}}u\left|\nabla \varphi_{\rho}\right|^{\varsigma} {\rm d}x{}\\ & &+\frac{\rho}{N}\bigg(\int_{B_{\rho}}|\nabla u|^{q}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{q}}\bigg(\int_{B_{\rho}}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{1-\frac{1}{q}}, \end{eqnarray} $

其中

$ L_{2}=\left(\frac{\rho}{N}\right)^{\varsigma}\left(\frac{1}{2(\varsigma-1)}\right)^{1-\varsigma}. $

另外, 根据(2.5)和(2.6)式, 我们可知

(2.10) $ \begin{equation} \int_{B_{\rho}}u\left|\nabla \varphi_{\rho}\right|^{\varsigma} {\rm d}x\leq K_{2}^{\varsigma}\rho^{-(\kappa+1)\varsigma}\int_{B_{\rho}}u {\rm d}x \end{equation} $

和

(2.11) $ \begin{equation} \int_{B_{\rho}}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x=\int_{B_{\rho}}\left(\rho^{-\kappa}\varphi\left(\rho^{-1}x\right)\right)^{\varsigma} {\rm d}x\leq K_{3}\rho^{N-\kappa\varsigma}. \end{equation} $

结合(2.8)–(2.11)式, 可以得到

$ \begin{eqnarray*} \label{process 1 2 3 4} \frac{1}{2}\int_{B_{\rho}}u\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\leq L_{2}K_{2}^{\varsigma}\rho^{-(\kappa+1)\varsigma}\int_{B_{\rho}}u {\rm d}x+\frac{K_{3}^{1-1/q}}{N}\rho^{1+\frac{(N-\kappa\varsigma)(q-1)}{q}}\bigg (\int_{B_{\rho}}|\nabla u|^{q}\varphi_{\rho}^{\varsigma}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{q}}, \end{eqnarray*} $

即

(2.12) $ \begin{equation} \int_{B_{\rho}}|\nabla u|^{q}\varphi_{\rho}^{\varsigma}{\rm d}x\geq 2L_{3}\rho^{(N-\kappa\varsigma)(1-q)-q}\bigg(\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{q}- 2L_{4}\rho^{N(1-q)-q\left(\varsigma+1\right)-\kappa\varsigma}\bigg(\int_{B_{\rho}}u{\rm d}x\bigg)^{q}. \end{equation} $

这里

$ L_{3}=\frac{N^{q}}{2^{2q+1}K_{3}^{q-1}}, \ \ \ \ \ \ L_{4}=\frac{\left(L_{2}N\right)^{q}K_{2}^{\varsigma q}}{2K_{3}^{q-1}}. $

此外, 我们注意到

(2.13) $ \begin{eqnarray} \int_{B_{\rho}}u^{m}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x&\geq&\bigg(\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{m}\bigg(\int_{B_{\rho}}\varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{1-m}{}\\ &\geq &K_{3}^{1-m}\rho^{(N-\kappa\varsigma)(1-m)}\bigg(\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{m}. \end{eqnarray} $

将(2.12)和(2.13)代入(2.7)式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \label{transformation 4} \frac{{\rm d}}{{\rm dt}}\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x & \geq& K_{3}^{1-m}\rho^{(N-\kappa\varsigma)(1-m)}\bigg(\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{m}+L_{3}\rho^{(N-\kappa\varsigma)(1-q)-q}\bigg(\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x\bigg)^{q}\\ & &-L_{4}\rho^{N(1-q)-q\left(\varsigma+1\right)-\kappa\varsigma}\bigg(\int_{B_{\rho}}u {\rm d}x\bigg)^{q}-L_{1}K_{2}^{\frac{q}{q-p+1}}K_{3}\rho^{N-\kappa\varsigma-\frac{q}{q-p+1}}. \end{eqnarray*} $

选定

$ y(t)=\int_{B_{\rho}}u \varphi_{\rho}^{\varsigma} {\rm d}x, \ \ \ \ \ \ \kappa=\frac{(N+1)q-N}{\varsigma(q-1)}, $

我们得到爆破不等式

(2.14) $ \begin{eqnarray} y'(t)&\geq&K_{3}^{1-m}\rho^{\frac{q(m-1)}{q-1}}y^{m}(t)+L_{3}y^{q}(t)-L_{4}\rho^{-\frac{q}{q-1}-q(N+\varsigma+1)}\bigg(\int_{B_{\rho}}u {\rm d}x\bigg)^{q}{}\\ & &-L_{1}K_{2}^{\frac{q}{q-p+1}}K_{3}\rho^{-\frac{q}{q-1}-\frac{q}{q-p+1}}. \end{eqnarray} $

另一方面, 我们发现(2.4)和(2.6)式意味着

(2.15) $ \begin{equation} y(t_{0})\geq\int_{B_{\rho/2}}u(x, t_{0})\varphi_{\rho}^{\varsigma}(x) {\rm d}x\geq\frac{\omega_{N}k_{1}^{\varsigma}M_{\infty}}{2^{N+2}}\rho^{-\frac{q}{q-1}}, \end{equation} $

其中, $ \omega_{N} $是全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $里单位球的体积. 选取

$ \rho_{2}=\left\{2L_{4}K_{3}^{m-1}Y^{q}\left(\frac{2^{N+2}}{\omega_{N}k_{1}^{\varsigma}M_{\infty}}\right)^{m}\right\}^{\frac{1}{q\left(N+\varsigma+1\right)}}, $

$ \rho_{3}=K_{2}^{\frac{1}{p-q}}\left(\frac{2L_{1}K_{3}}{L_{3}}\right)^{\frac{q-p+1}{q(p-q)}}\left(\frac{2^{N+2}}{\omega_{N}k_{1}^{\varsigma}M_{\infty}}\right)^{\frac{q-p+1}{p-q}}, $

并且$ \rho>\max \left\{\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}\right\} $, 结合(2.15), 我们可知(2.14)式的右端在$ t=t_{0} $时是严格正的, 进而, 微分不等式(2.14})在$ t>t_{0} $时不存在全局解, 这就产生了矛盾. 因此, 问题(1.1)的任意非负非平凡弱解均发生有限时间爆破.

(2) 采用与文献[21-22]类似的论证方法, 定义函数

$ z(x, t)=\varepsilon(t+1)^{\frac{kp-N}{N(p-2)+p}}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{p-1}{p-2}}, $

其中, $ \varepsilon $, $ k>0 $是待定的常数. 经过直接的计算, 我们有

$ \begin{eqnarray*} z_{t}&=& \frac{\varepsilon(kp-N)}{N(p-2)+p}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{p-1}{p-2}}\\ && \cdot(t+1)^{\frac{kp-N}{N(p-2)+p}-1}\\ & &+\varepsilon^{\frac{1}{p-1}}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{p}{p-1}}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{1}{p-2}}\\ && \cdot|x|^{\frac{p}{p-1}}(t+1)^{\frac{kp-N}{N(p-2)+p}-\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\cdot\frac{p}{p-1}-1}, \\ \nabla z&=& -\varepsilon^{\frac{1}{p-1}}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{1}{p-2}}\\ && \cdot(t+1)^{\frac{kp-N}{N(p-2)+p}-\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\cdot\frac{p}{p-1}}|x|^{\frac{2-p}{p-1}}x \end{eqnarray*} $

和

$ \begin{eqnarray*} & &{\rm div}(|\nabla z|^{p-2}\nabla z)\\ &=&-\varepsilon \frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{p-1}{p-2}}\\ && \cdot N(t+1)^{\frac{p(k-1)-N(p-1)}{N(p-2)+p}}\\ & &+\varepsilon^{\frac{1}{p-1}}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{p}{p-1}}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{1}{p-2}}\\ && \cdot|x|^{\frac{p}{p-1}}(t+1)^{\frac{p(k-1)-N(p-1)}{N(p-2)+p}-\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\cdot\frac{p}{p-1}}. \end{eqnarray*} $

因此

(2.16) $ \begin{eqnarray} && z_{t}-{\rm div}(|\nabla z|^{p-2}\nabla z)-z^{m}-|\nabla z|^{q}{}\\ & =&\varepsilon k\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{p-1}{p-2}}(t+1)^{\frac{p(k-1)-N(p-1)}{N(p-2)+p}}{}\\ & &-\varepsilon^{m}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{m(p-1)}{p-2}}(t+1)^{\frac{(kp-N)m}{N(p-2)+p}}{}\\ & &-\varepsilon^{\frac{q}{p-1}}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{q}{p-1}}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{q}{p-2}}{}\\ && \cdot|x|^{\frac{q}{p-1}}(t+1)^{\frac{(kp-N)q}{N(p-2)+p}-\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\cdot\frac{pq}{p-1}}{}\\ & =&\varepsilon\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right) ^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}} {(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot \frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{p-1}{p-2}}{}\\ &&\times (t+1)^{\frac{p(k-1)-N(p-1)}{N(p-2)+p}}(k-I). \end{eqnarray} $

这里

$ \begin{eqnarray*} I&=&\varepsilon^{m-1}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{(m-1)(p-1)}{p-2}}\\ & &\cdot(t+1)^{\frac{(kp-N)m}{N(p-2)+p}-\frac{p(k-1)-N(p-1)}{N(p-2)+p}}\\ && +\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{q}{p-1}}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{q-p+1}{p-2}}\\ & &\cdot\varepsilon^{\frac{q-p+1}{p-1}}|x|^{\frac{q}{p-1}}(t+1)^{\frac{(kp-N)q}{N(p-2)+p}-\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\cdot\frac{pq}{p-1}-\frac{p(k-1)-N(p-1)}{N(p-2)+p}}\\ &:=&I_{1}+I_{2}. \end{eqnarray*} $

由于

$ r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\leq r_{0}^{\frac{p}{p-1}}, $

我们有

$ \left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{(m-1)(p-1)}{p-2}}\leq r_{0}^{\frac{p(m-1)}{p-2}}. $

从而, 可得

(2.17) $ \begin{equation} I_{1}\leq\varepsilon^{m-1}r_{0}^{\frac{p(m-1)}{p-2}}(t+1)^{\frac{(kp-N)m}{N(p-2)+p}-\frac{p(k-1)-N(p-1)}{N(p-2)+p}}. \end{equation} $

根据$ I_{2} $的定义, 我们可知, 当且仅当

$ \frac{|x|}{(t+1)^{\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\leq \varepsilon^{\frac{p-2}{p}}r_{0}\left(\frac{p}{p-2}\right)^{\frac{p-1}{p}}\left(\frac{N(p-2)+p}{k(p-2)+1}\right)^{\frac{1}{p}} $

时, $ I_{2}\geq0 $; 否则, $ I_{2}\equiv0 $. 因此

(2.18) $ \begin{eqnarray} I_{2}&=&\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{q}{p-1}}\left\{r_{0}^{\frac{p}{p-1}}-\frac{p-2}{p}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{1}{p-1}}\frac{\varepsilon^{\frac{2-p}{p-1}}|x|^{\frac{p}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{p}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}\right\}_{+}^{\frac{q-p+1}{p-2}}{}\\ & &\cdot\varepsilon^{\frac{q-p+1}{p-1}}\frac{|x|^{\frac{q}{p-1}}}{(t+1)^{\frac{q}{p-1}\cdot\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}}}(t+1)^{\frac{(kp-N)q}{N(p-2)+p}-\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\cdot\frac{pq}{p-1}-\frac{p(k-1)-N(p-1)}{N(p-2)+p}+\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\cdot\frac{q}{p-1}}{}\\ & \leq&\varepsilon^{\frac{q-p+1}{p-1}}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{q}{p-1}}r_{0}^{\frac{p(q-p+1)}{(p-1)(p-2)}}\left\{\varepsilon^{\frac{p-2}{p}}r_{0}\left(\frac{p}{p-2}\right)^{\frac{p-1}{p}}\left(\frac{N(p-2)+p}{k(p-2)+1}\right)^{\frac{1}{p}}\right\}^{\frac{q}{p-1}}{}\\ & &\cdot(t+1)^{\frac{k(2q-p)+N(p-1)+p-(N+1)q}{N(p-2)+p}}{}\\ & =&\varepsilon^{\frac{2q-p}{p}}r_{0}^{\frac{2q-p}{p-2}}\left(\frac{p}{p-2}\right)^{\frac{q}{p}}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{q}{p}}(t+1)^{\frac{k(2q-p)+N(p-1)+p-(N+1)q}{N(p-2)+p}}. \end{eqnarray} $

结合(2.17)和(2.18)式, 我们得到

(2.19) $ \begin{eqnarray} I&\leq&\varepsilon^{m-1}r_{0}^{\frac{p(m-1)}{p-2}}(t+1)^{\frac{kp(m-1)}{N(p-2)+p}+\frac{N(p-1)+p-Nm}{N(p-2)+p}}{}\\ & &+\varepsilon^{\frac{2q-p}{p}}r_{0}^{\frac{2q-p}{p-2}}\left(\frac{p}{p-2}\right)^{\frac{q}{p}}\left(\frac{k(p-2)+1}{N(p-2)+p}\right)^{\frac{q}{p}}(t+1)^{\frac{k(2q-p)+N(p-1)+p-(N+1)q}{N(p-2)+p}}. \end{eqnarray} $

借助于$ m>p-1+p/N $和$ q>p-N/(N+1) $, 我们可以选择满足条件$ 0<k<N/p $的充分小常数$ k $使得

$ kp(m-1)+N(p-1)+p-Nm\leq0 {\quad} \mbox{和} {\quad} k(2q-p)+N(p-1)+p-(N+1)q\leq0. $

接着, 选取充分小的正常数$ \varepsilon $, 由(2.16)和(2.19)式可得

$ z_{t}-{\rm div}(|\nabla z|^{p-2}\nabla z)-z^{m}-|\nabla z|^{q}\geq0, \ \ \ \ \ \ (x, t)\in{{\Bbb R}} ^{N}\times(0, \infty). $

若$ 0\leq u_{0}(x)\leq z(x, 0) $, 则有

$ u(x, t)\leq z(x, t)\leq\varepsilon(t+1)^{\frac{kp-N}{N(p-2)+p}}r_{0}^{\frac{p}{p-2}}\leq\varepsilon r_{0}^{\frac{p}{p-2}}, \ \ \ (x, t)\in{{\Bbb R}} ^{N}\times(0, \infty), $

即问题$ {\rm (1.1)} $存在非负非平凡的全局解. 定理2.1证毕.

在这一节中, 我们考虑非齐次问题(1.2). 我们的主要结果由以下两个定理给出.

定理3.1  令$ N\geq1 $, $ p>1 $, $ m>\max \{1, p-1\} $, $ q>1 $, $ h(x) $和$ u_{0}(x) $是定义在全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $中非负非平凡函数. 若$ p\geq N $, 则问题$ {\rm (1.2)} $的任意非负非平凡弱解均发生有限时间爆破.

证   由于问题(1.2)的解$ u(x, t) $是初值问题

$ \left\{ \begin{array}{ll} \phi_{t}-{\rm div}(|\nabla \phi|^{p-2}\nabla \phi)=\phi^{m}+h(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}, \ t>0, \\ \phi(x, 0)=u_{0}(x), &x\in{{\Bbb R}} ^{N}\\ \end{array}\right. $

的弱上解, 采用与文献[14, 定理2]类似的论证方法, 我们即可完成定理3.1的证明.

定理3.2令$ N\geq2 $, $ 2N/(N+1)<p<N $, $ m>\max\{1, p-1\} $, 并且$ q>\max\{1, p-1\} $.

$ {\rm (1)} $如果

$ m\leq \frac{N(p-1)}{N-p}\ \ \ \ \ \ \mbox{或者}\ \ \ \ \ \ q<\frac{N(p-1)}{N-1}, $

那么对于定义在全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $里的任意非负非平凡函数$ h(x) $和$ u_{0}(x) $, 问题$ {\rm (1.2)} $的非负非平凡解均发生有限时间爆破.

$ {\rm (2)} $如果

$ m>\frac{N(p-1)}{N-p}\ \ \ \ \ \ \mbox{并且}\ \ \ \ \ \ q>\frac{N(p-1)}{N-1}, $

那么存在函数$ h(x)>0 $, 使得对于适当小的初值, 问题$ {\rm (1.2)} $存在非负非平凡的全局解.

注3.1  从定理$ {\rm 3.1} $和$ {\rm 3.2} $的结果可以发现, 问题$ {\rm (1.2)} $临界指标的值与齐次问题$ {\rm (1.1)} $是不同的. 然而, 在$ 2N/(N+1)<p<N $情形下, 类似于问题$ {\rm (1.1)} $, 梯度项$ |\nabla u|^{q} $的出现引发了非齐次问题$ {\rm (1.2)} $临界指标不连续变化这一现象. 也就是说, 如果$ q>N(p-1)/(N-1) $, 那么问题$ {\rm (1.2)} $的临界指标与问题中不包含梯度项时保持一致, 即为$ m=N(p-1)/(N-p) $; 反之, 如果$ q<N(p-1)/(N-1) $, 那么问题$ {\rm (1.2)} $的临界指标改变为$ m=\infty $.

证   (1) 对于$ m\leq N(p-1)/(N-p) $情形, 采用与定理3.1类似的方法即可得到结论. 接下来, 我们假设$ q<N(p-1)/(N-1) $. 使用反证法, 假设问题(1.2)的解$ u(x, t) $全局存在. 我们将借助于检验函数技巧推得矛盾. 选取函数$ \zeta\in C^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}) $和$ \vartheta\in C^{\infty}({{\Bbb R}} _{+}) $分别满足条件

$ \label{auxiliary function f} \zeta(z)=\left\{ \begin{array}{ll} 1, {\quad} & \hbox{ |z|\leq1 , } \\ 0, & \hbox{ |z|\geq2 } \\ \end{array} \right. $

和

$ 0\leq\vartheta\leq1, \ \ \ \ \ \ \vartheta\not\equiv0, \ \ \ \ \ \ {\rm supp}(\vartheta)\subset(0, 1). $

给定$ \tau>0 $, 我们引入非负检验函数$ \psi=\psi_{\tau} $为

$ \psi(x, t)=f(x)g(t), (x, t)\in{{\Bbb R}} ^{N}\times(0, \tau), $

其中

$ f(x)=\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right), \ \ \ \alpha=\frac{q}{q-p+1}, $

$ g(t)=\vartheta^{\beta}\left(\tau^{-1}t\right), \ \ \ \beta=\frac{m}{m-1}, $

以及$ r>0 $是待定的常数. 将问题(1.2)中方程两端同时乘以检验函数$ \psi $, 并且在区域$ Q_{\tau}:={{\Bbb R}} ^{N}\times(0, \tau) $上积分, 我们得到

$ {\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}u_{t}\psi {\rm d}t {\rm d}x-{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\psi\Delta_{p}u {\rm d}t {\rm d}x={\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\left(u^{m}+|\nabla u|^{q}+h(x)\right)\psi {\rm d}t {\rm d}x. $

使用分部积分法, 我们有

$ -{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}u \psi_{t} {\rm d}t {\rm d}x+{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}|\nabla u|^{p-2}\nabla u\cdot\nabla\psi {\rm d}t {\rm d}x={\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\left(u^{m}+|\nabla u|^{q}+h(x)\right)\psi {\rm d}t {\rm d}x. $

从而

(3.1) $ \begin{equation} {\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\!\left(u^{m}\!+\!|\nabla u|^{q}\right)\psi {\rm d}t {\rm d}x+\!{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\!h(x)\psi {\rm d}t {\rm d}x\!\leq\!{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\!u |\psi_{t}| {\rm d}t {\rm d}x+\!{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\!|\nabla u|^{p-1}|\nabla\psi| {\rm d}t {\rm d}x. \end{equation} $

利用Hölder不等式和函数$ \zeta $的定义, 我们发现

$ \begin{eqnarray*} && {\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}|\nabla u|^{p-1}|\nabla\psi| {\rm d}t {\rm d}x\\ &=&\alpha\tau^{-r}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}|\nabla u|^{p-1}\zeta^{\alpha-1}\left(\tau^{-r}x\right)\left|\nabla\zeta\left(\tau^{-r}x\right)\right|\vartheta^{\beta}\left(\tau^{-1}t\right) {\rm d}t {\rm d}x\\ &=&\alpha\tau^{-r}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}|\nabla u|^{p-1}\psi^{\frac{p-1}{q}}\left|\nabla\zeta\left(\tau^{-r}x\right)\right|\vartheta^{\beta\left(1-\frac{p-1}{q}\right)}\left(\tau^{-1}t\right) {\rm d}t {\rm d}x\\ &\leq&\alpha\tau^{-r}\left({\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}|\nabla u|^{q}\psi {\rm d}t {\rm d}x\right)^{\frac{p-1}{q}}\left({\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\left|\nabla\zeta\left(\tau^{-r}x\right)\right|^{\frac{q}{q-p+1}}\vartheta^{\beta}\left(\tau^{-1}t\right) {\rm d}t {\rm d}x\right)^{1-\frac{p-1}{q}}, \end{eqnarray*} $

即

$ {\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}|\nabla u|^{p-1}|\nabla\psi| {\rm d}t {\rm d}x\leq I_{1}^{1-\frac{p-1}{q}}(\tau)\left({\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}|\nabla u|^{q}\psi {\rm d}t {\rm d}x\right)^{\frac{p-1}{q}}. $

这里

$ I_{1}(\tau):=\left(\alpha\tau^{-r}\right)^{\frac{q}{q-p+1}}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\left|\nabla\zeta\left(\tau^{-r}x\right)\right|^{\frac{q}{q-p+1}}\vartheta^{\beta}\left(\tau^{-1}t\right) {\rm d}t {\rm d}x. $

进一步, 借助Young不等式, 则有

(3.2) $ \begin{equation} {\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}|\nabla u|^{p-1}|\nabla\psi| {\rm d}t {\rm d}x\leq\frac{1}{2}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}|\nabla u|^{q}\psi {\rm d}t {\rm d}x+C_{1}I_{1}(\tau), \end{equation} $

其中

$ C_{1}=\frac{q-p+1}{q}\left(\frac{2(p-1)}{q}\right)^{\frac{p-1}{q-p+1}}. $

类似地, 使用Hölder不等式和函数$ \vartheta $的定义, 可以得到

$ \begin{eqnarray*} {\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}u |\psi_{t}| {\rm d}t {\rm d}x &=&\beta\tau^{-1}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}u \vartheta^{\beta-1}\left(\tau^{-1}t\right)\left|\vartheta'\left(\tau^{-1}t\right)\right|\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right) {\rm d}t {\rm d}x\\ &=&\beta\tau^{-1}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}u \psi^{\frac{1}{m}}\left|\vartheta'\left(\tau^{-1}t\right)\right|\zeta^{\alpha\left(1-\frac{1}{m}\right)}\left(\tau^{-r}x\right) {\rm d}t {\rm d}x\\ &\leq&\beta\tau^{-1}\left({\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}u^{m}\psi {\rm d}t {\rm d}x\right)^{\frac{1}{m}}\left({\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\left|\vartheta'\left(\tau^{-1}t\right)\right|^{\frac{m}{m-1}}\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right) {\rm d}t {\rm d}x\right)^{1-\frac{1}{m}}, \end{eqnarray*} $

即

$ {\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}u |\psi_{t}| {\rm d}t {\rm d}x\leq I_{2}^{1-\frac{1}{m}}(\tau)\left({\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}u^{m}\psi {\rm d}t {\rm d}x\right)^{\frac{1}{m}}. $

这里

$ I_{2}(\tau):=\left(\beta\tau^{-1}\right)^{\frac{m}{m-1}}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\left|\vartheta'\left(\tau^{-1}t\right)\right|^{\frac{m}{m-1}}\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right) {\rm d}t {\rm d}x. $

借助Young不等式, 我们有

(3.3) $ \begin{equation} {\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}u |\psi_{t}| {\rm d}t {\rm d}x\leq\frac{1}{2}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}u^{m}\psi {\rm d}t {\rm d}x+C_{2}I_{2}(\tau), \end{equation} $

其中

$ C_{2}=\frac{m-1}{m}\left(\frac{2}{m}\right)^{\frac{1}{m-1}}. $

根据(3.1), (3.2)和(3.3)式, 可以推得

(3.4) $ \begin{equation} \frac{1}{2}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\left(u^{m}+|\nabla u|^{q}\right)\psi {\rm d}t {\rm d}x+{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}h(x)\psi {\rm d}t {\rm d}x\leq C_{1}I_{1}(\tau)+C_{2}I_{2}(\tau). \end{equation} $

下面, 我们估计$ I_{i} $, $ i=1, 2 $. 利用函数$ \zeta $, $ \vartheta $的性质以及变量替换$ x=\tau^{r}z $, $ t=\tau s $, 可知

$ \begin{eqnarray*} I_{1}(\tau)&=&\left(\alpha\tau^{-r}\right)^{\frac{q}{q-p+1}}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\int_{0}^{\tau}\left|\nabla\zeta\left(\tau^{-r}x\right)\right|^{\frac{q}{q-p+1}}\vartheta^{\beta}\left(\tau^{-1}t\right) {\rm d}t {\rm d}x\\ &=&\left(\alpha\tau^{-r}\right)^{\frac{q}{q-p+1}}\left(\int_{|x|\leq2\tau^{r}}\left|\nabla\zeta\left(\tau^{-r}x\right)\right|^{\frac{q}{q-p+1}} {\rm d}x\right)\left(\int_{0}^{\tau}\vartheta^{\beta}\left(\tau^{-1}t\right) {\rm d}t\right)\\ &=&\alpha^{\frac{q}{q-p+1}}\tau^{1+Nr-\frac{rq}{q-p+1}}\left(\int_{|z|\leq2}\left|\nabla\zeta(z)\right|^{\frac{q}{q-p+1}} {\rm d}z\right)\left(\int_{0}^{1}\vartheta^{\beta}(s) {\rm d}s\right), \end{eqnarray*} $

即

(3.5) $ \begin{equation} I_{1}(\tau)=C\tau^{1+Nr-\frac{rq}{q-p+1}}. \end{equation} $

特别说明, 此处及之后, $ C $表示一个与$ \tau $无关的正常数, 它对应的数值在每行可能是不同的. 同样地, 对于$ I_{2}(\tau) $, 我们有

$ \begin{eqnarray*} I_{2}(\tau)&=&\left(\beta\tau^{-1}\right)^{\frac{m}{m-1}}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\int_{0}^{\tau}\left|\vartheta'\left(\tau^{-1}t\right)\right|^{\frac{m}{m-1}}\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right) {\rm d}t {\rm d}x\\ &=&\left(\beta\tau^{-1}\right)^{\frac{m}{m-1}}\left(\int_{|x|\leq2\tau^{r}}\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right) {\rm d}x\right)\left(\int_{0}^{\tau}\left|\vartheta'\left(\tau^{-1}t\right)\right|^{\frac{m}{m-1}} {\rm d}t\right)\\ &=&\beta^{\frac{m}{m-1}}\tau^{1+Nr-\frac{m}{m-1}}\left(\int_{|z|\leq2}\zeta^{\alpha}(z) {\rm d}z\right)\left(\int_{0}^{1}\left|\vartheta'(s)\right|^{\frac{m}{m-1}} {\rm d}s\right), \end{eqnarray*} $

即

(3.6) $ \begin{equation} I_{2}(\tau)=C\tau^{Nr-\frac{1}{m-1}}. \end{equation} $

结合(3.4)–(3.6)式, 我们得到

(3.7) $ \begin{equation} \frac{1}{2}{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}\left(u^{m}+|\nabla u|^{q}\right)\psi {\rm d}t {\rm d}x+{\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}h(x)\psi {\rm d}t {\rm d}x\leq C\left(\tau^{1+Nr-\frac{rq}{q-p+1}}+\tau^{Nr-\frac{1}{m-1}}\right). \end{equation} $

另一方面, 我们发现

(3.8) $ \begin{eqnarray} {\int\!\!\!\int}_{Q_{\tau}}h(x)\psi {\rm d}t {\rm d}x&=&\left(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x)\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right){\rm d}x\right)\left(\int_{0}^{\tau}\vartheta^{\beta}\left(\tau^{-1}t\right){\rm d}t\right){}\\ &=&C\tau\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x)\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right) {\rm d}x. \end{eqnarray} $

进而, 根据(3.7)和(3.8)式, 可以推得

(3.9) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x)\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right) {\rm d}x\leq C\left(\tau^{Nr-\frac{rq}{q-p+1}}+\tau^{Nr-\frac{m}{m-1}}\right). \end{equation} $

选取常数

$ r=\frac{m(q-p+1)}{q(m-1)}. $

从而

$ Nr-\frac{rq}{q-p+1}=Nr-\frac{m}{m-1}=\frac{m\left(Nq-Np+N-q\right)}{q(m-1)}, $

并且, 从(3.9)式可知, 对任意的$ \tau>0 $, 有

(3.10) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x)\zeta^{\alpha}\left(\tau^{-r}x\right) {\rm d}x\leq C\tau^{\frac{m\left(Nq-Np+N-q\right)}{q(m-1)}}. \end{equation} $

由于$ q<N(p-1)/(N-1) $, 因此

$ \frac{m\left(Nq-Np+N-q\right)}{q(m-1)}<0. $

将(3.10)式中$ \tau\rightarrow \infty $, 并且借助控制收敛定理, 则有

$ \int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x) {\rm d}x\leq0. $

这与$ h(x) $是定义在全空间$ {{\Bbb R}} ^{N} $里的非负非平凡函数这一事实相矛盾. 因此, 问题(1.2)的解$ u(x, t) $有限时间发生爆破.

(2) 在这一部分, 我们证明, $ m>N(p-1)/(N-p) $和$ q>N(p-1)/(N-1) $情形下, 存在$ u_{0}(x) $和$ h(x) $使得问题(1.2)有非负非平凡的全局解. 我们考虑问题(1.2)相应的稳态问题

(3.11) $ \begin{equation} -{\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=u^{m}+|\nabla u|^{q}+h(x), {\quad} x\in{{\Bbb R}} ^{N}. \end{equation} $

寻找具有形式$ v(x)=\varepsilon\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-k} $, 并且满足方程

(3.12) $ \begin{equation} -{\rm div}(|\nabla v|^{p-2}\nabla v)=v^{m}+|\nabla v|^{q}+H(x), {\quad} x\in{{\Bbb R}} ^{N} \end{equation} $

的一个上解. 这里, $ k, \varepsilon>0 $是待定的常数. 经过直接的计算, 我们得到

$ v_{x_{i}}=-\frac{\varepsilon kp}{p-1}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-k-1}|x|^{\frac{p}{p-1}-2}x_{i}, \ \ \ |\nabla v|=\frac{\varepsilon kp}{p-1}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-k-1}|x|^{\frac{1}{p-1}}, $

$ \begin{eqnarray*} v_{x_{i}x_{j}}&=& -\frac{\varepsilon kp}{p-1}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-k-1}|x|^{\frac{p}{p-1}-2}\delta_{ij}+\frac{\varepsilon k(k+1)p^{2}}{(p-1)^{2}}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-k-2}|x|^{\frac{2p}{p-1}-4}x_{i}x_{j}\\ &&-\frac{\varepsilon kp(2-p)}{(p-1)^{2}}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-k-1}|x|^{\frac{p}{p-1}-4}x_{i}x_{j} \end{eqnarray*} $

和

$ \begin{eqnarray*} {\rm div}(|\nabla v|^{p-2}\nabla v)&=&\left(\frac{\varepsilon kp}{p-1}\right)^{p-1}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-kp+k-p}\big((p+kp-N)|x|^{\frac{p}{p-1}}-N\big)\\ & \leq&\left(\frac{\varepsilon kp}{p-1}\right)^{p-1}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-kp+k-p+1}\left(p+kp-N\right). \end{eqnarray*} $

选定$ H(x):=-{\rm div}(|\nabla v|^{p-2}\nabla v)-v^{m}-\left|\nabla v\right|^{q} $, 我们有

$ \begin{eqnarray*} -H(x)&\leq&\left(\frac{\varepsilon kp}{p-1}\right)^{p-1}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-kp+k-p+1}(p+kp-N)\\ &&+\varepsilon^{m}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-km}+\left(\frac{\varepsilon kp}{p-1}\right)^{q}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-(k+1)q}|x|^{\frac{q}{p-1}}\\ &\leq&\left(\frac{\varepsilon kp}{p-1}\right)^{p-1}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-(k+1)(p-1)}\\ &&\times \Bigg\{p+kp-N +\varepsilon^{m-p+1}\left(\frac{p-1}{kp}\right)^{p-1}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-km+(k+1)(p-1)}\\ &&+\varepsilon^{q-p+1}\left(\frac{ kp}{p-1}\right)^{q-p+1}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-(k+1)q+\frac{q}{p}+(k+1)(p-1)}\Bigg\}. \end{eqnarray*} $

借助于

$ m>p-1, \ \ q>p-1, \ \ m>\frac{N(p-1)}{N-p}\ \ \mbox{和}\ \ q>\frac{N(p-1)}{N-1}, $

我们可以选取正常数$ k $使得

$ \max \left\{\frac{p-1}{m-p+1}, \ \frac{(p-1)(p-q)}{p(q-p+1)}\right\}<k<\frac{N-p}{p}. $

接着, 选取充分小的正常数$ \varepsilon $, 对任意的$ x\in{{\Bbb R}} ^{N} $, 可以得到

$ \begin{eqnarray*} -H(x)&\leq&\left(\frac{\varepsilon kp}{p-1}\right)^{p-1}\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-(k+1)(p-1)}\\ &&\times \Bigg\{p+kp-N +\varepsilon^{m-p+1}\left(\frac{p-1}{kp}\right)^{p-1}+\varepsilon^{q-p+1}\left(\frac{ kp}{p-1}\right)^{q-p+1}\Bigg\}<0. \end{eqnarray*} $

令$ h(x)\leq H(x) $和$ u_{0}(x)\leq \varepsilon\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-k} $, 则$ v(x) $是问题(1.2)的一个上解. 另一方面, $ v_{1}(x)\equiv0 $显然是问题(1.2)的一个下解. 因此, 根据迭代法和比较原理可得问题(1.2)存在非负非平凡的全局解. 证毕.

注3.2  对于$ q=N(p-1)/(N-1) $情形, 上述证明方法不再适用, 我们需要寻找新的方法来判定此情形下解是否全局存在. 这仍是一个开放性的问题.