本文考虑下述带非线性梯度项的齐次$p$-Laplacian抛物方程初值问题

以及其相应的非齐次抛物方程初值问题

的临界指标. 这里, $N\geq1$, $p$, $m$, $q>1$, $h(x)\not\equiv0$, 并且初值$u_{0}(x)$是定义在全空间${{\Bbb R}} ^{N}$中的非负非平凡函数.

非线性抛物方程临界指标的开创性研究起始于文献[1]. 在文献[1]中, Fujita讨论了下述经典的半线性抛物方程初值问题

其中, $m>1$. 他证得结论

(1) 若$1<m<1+2/N$, 则问题(1.3)的任意非负非平凡解均发生有限时间爆破；

(2) 若$m>1+2/N$, 并且$u_{0}(x)\leq\delta {\rm e}^{-|x|^{2}}(0<\delta\ll1)$, 则问题(1.3)存在全局解.

随后, Hayakawa等^[2-4]对于不同的空间维数$N$, 证明了临界情形$m=1+2/N$下, 问题(Fujita equation)不存在非负非平凡的全局解. 通常情况下, 将$m_{F}=1+2/N$称作Fujita -型临界指标, 它在问题(Fujita equation)解相关性质的研究中发挥着重要作用. 在此之后, Fujita -型临界指标的结果在许多方面都取得进展. 文献[5-6]将Fujita -型临界指标的结果推广到下述非齐次问题

其中, $m>1$, $\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x) {\rm d}x>0$, 证得当$N\geq3$时, 问题(1.4)的临界指标为$N/(N-2)$. 显然, 这与对应的齐次问题(1.3)的临界指标结果是不同的.

对于方程右端非线性依赖于$u(x, t)$空间导数的情形, Chipot和Weissler ^[7]为了研究耗散梯度项对全局解存在性的影响, 考虑下述模型

该模型同样可以用来描述生物学中物种种群密度演化的动力学行为^[8]. 与此方程相关的初值问题

已经取得部分结果. 这里, $m$, $q>1$, $\mu\in{{\Bbb R}}$. 当$\mu<0$时, 如果$m>m_{F}$, 那么问题(1.5)全局解总是存在的; 如果$q=2m/(m+1)$, $|\mu|$充分大, 或者$q<2m/(m+1)$, 那么问题(1.5)不仅存在有限时间爆破解, 而且存在稳态解；如果$q\geq m$, 那么问题(1.5)存在全局解. 因此, 在这些情形下, 问题(1.5)不存在Fujita -型临界指标的结果. 此外, 文献[9]结果表明, 如果$m<m_{F}$, $q=2m/(m+1)$, 并且$|\mu|$充分小, 那么对任意的初值, 问题(1.5)不存在全局解. 因此, $m_{F}$可以看作此情形下的临界指标. 然而, 到目前为止, 对于$m\leq m_{F}$, $2m/(m+1)<q<m$情形, 问题(1.5)是否存在全局解仍尚未解决.

当$\mu>0$时, Jleli等^[10]证得正非线性梯度项$|\nabla u|^{q}$引发问题(1.5)的Fujita -型临界指标不连续性变化这一有趣的现象, 并且给出结论: 如果$q>1+1/(N+1)$, 那么梯度项的出现并没有对Fujita -型临界指标产生影响, 问题(1.5)的Fujita -型临界指标与问题(Fujita equation)保持一致, 均为$m=1+2/N$; 如果$q\leq1+1/(N+1)$, 那么问题(1.5)的Fujita -型临界指标则变为$m=\infty$, 也就是说, 对于任意的$m>1$, 问题(1.5)都不存在全局解. 对于问题(1.5)相应的非齐次问题

其中, $\mu>0$, $N\geq3$, $h(x)$是定义在全空间${{\Bbb R}} ^{N}$中的非负非平凡函数. 文献[10]中证得类似结论: 如果$q>N/(N-1)$, 那么问题(1.6)的Fujita -型临界指标与问题(1.4)保持一致; 如果$q<N/(N-1)$, 那么问题(1.6)的Fujita -型临界指标变为$m=\infty$.

另一方面, 文献[11-13]等讨论了下述齐次$p$-Laplacian抛物方程初值问题

并且证得此问题的Fujita -型临界指标为$m_{c}=p-1+p/N$, 也就是说, 如果$\max \{1, p-1\}<m\leq m_{c}$, 那么问题(1.7)的任意非负非平凡解均发生有限时间爆破；而如果$m>m_{c}$, 那么对于适当小的初值$u_{0}(x)$, 问题(1.7)存在全局解. 随后, Zeng^[14]考虑了问题(1.7)对应的非齐次$p$-Laplacian抛物方程初值问题, 并且证得结论: 当$2N/(N+1)<p<N$时, 该非齐次问题的Fujita -型临界指标为$m_{*}=N(p-1)/(N-p)$, 也就是说, 如果$\max \{1, p-1\}<m\leq m_{*}$, 那么该问题的任意非负非平凡解均发生有限时间爆破; 而如果$m>m_{*}$, 那么存在$h(x)$和初值$u_{0}(x)$, 使得该问题存在全局解. 对于$p\geq N$情形, 文献[14]结论表明, 当$m>\max \{1, p-1\}$时, 对于任意的非负非平凡函数$h(x)$和初值$u_{0}(x)$, 该非齐次问题不存在全局解. 此外, 当$\mu<0$时, 文献[9, 15-16]等将问题(1.5)的部分结论推广到对应的$p$-Laplacian抛物方程初值问题, 并且证明, 在$\max \{1, p-1\}<m<p-1+p/N$, 并且$q=pm/(m+1)$等情形下, 对任意的初值$u_{0}(x)$, 该问题的非负非平凡解均发生有限时间爆破. 这些结论是Fujita -型临界指标在$p$-Laplacian抛物方程情况下的延伸和发展.

根据我们所知, 对于问题(1.1)和(1.2)临界指标的研究尚未存在相关结论. 本文重点关注正梯度项$|\nabla u|^{q}$对问题(1.1)和(1.2)解是否全局存在的临界指标的影响. 我们的结果表明, 正梯度项$|\nabla u|^{q}$将会对$p$-Laplacian抛物方程全局解存在和不存在的条件产生影响. 在本文中, 我们的方法受到文献[10, 14, 17]思想的启发, 同时, 我们引用了文献[13, 16, 18]中的一些结果.

首先, 我们给出问题(1.1)和(1.2)弱解的定义.

定义1.1^[19]    如果对于全空间${{\Bbb R}} ^{N}$里任意有界光滑区域$\Omega$, 定义在${{\Bbb R}} ^{N}\times(0, T)$上的一个非负函数$u(x, t)$满足

以及对任意$0\leq t_{0}<t\leq T$和任意非负不恒等于零的检验函数$\phi\in C^{1}(\overline{\Omega}\times[0, T])$, 均有

并且满足初值条件

则称函数$u(x, t)$是问题${\rm (1.1)}$的一个弱上解(弱下解). 这里, $B_{r}=\{x\in{{\Bbb R}} ^{N}:|x|<r\}$; 当$(x, t)\in\partial\Omega\times(0, T)$时, 检验函数$\phi(x, t)=0$. 如果函数$u(x, t)$既是弱上解, 又是弱下解, 那么称函数$u(x, t)$是问题${\rm (1.1)}$的弱解.

注1.1  在文献[20]中, Shang和Li给出当初值是非负${\rm Radon}$测度时, 问题${\rm (1.1)}$弱解的局部存在性, 并且得到了最优的初值假设条件.

定义1.2^[19]  令$\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}h(x) {\rm d}x>0$. 如果对于全空间${{\Bbb R}} ^{N}$里任意有界光滑区域$\Omega$, 定义在${{\Bbb R}} ^{N}\times(0, T)$上的一个非负函数$u(x, t)$满足

以及对任意$0\leq t_{0}<t\leq T$和任意非负不恒等于零的检验函数$\phi\in C^{1}(\overline{\Omega}\times[0, T])$, 均有

其中, 当$(x, t)\in\partial\Omega\times(0, T)$时, 检验函数$\phi(x, t)=0$, 并且满足初值条件

则称函数$u(x, t)$是问题${\rm (1.2)}$的一个弱上解(弱下解). 如果函数$u(x, t)$既是弱上解, 又是弱下解, 那么称函数$u(x, t)$是问题${\rm (1.2)}$的弱解.

注1.2  根据文献[19]可知, 方程$u_{t}={\rm div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$初值问题的${\rm Barenblatt}$解在$|x|<Ct^{\frac{1}{N(p-2)+p}}$时是正的, 利用比较原理, 我们假定问题${\rm (1.1)}$和${\rm (1.2)}$的解是非负的.

本文主要研究解的大时间行为, 我们可以合理地假设初值条件$u_{0}(x)$以保证问题局部解的存在性以及比较原理成立. 本文的结构如下: 第二节, 我们讨论齐次问题(1.1), 证得了非负非平凡解的最优临界指标结果; 第三节, 我们考虑非齐次问题(1.2), 得到了与问题(1.1)不同的不连续临界指标结果.

在这一节中, 我们目的是研究当$p$, $m$和$q$满足一定的条件时, 齐次问题(1.1)非负非平凡解的大时间行为. 在本节中, 我们假设

其中, 函数空间$C_{0}({{\Bbb R}} ^{N}):=\Big\{w(x)\in C({{\Bbb R}} ^{N})\cap L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}):{ } \lim\limits_{\rho\rightarrow \infty}\sup\limits_{|x|\geq\rho}\left|w(x)\right|=0\Big\}$. 我们的第一个主要结果如下.

定理2.1  令$N\geq1$, $p>2$, $m>p-1$, 并且$q>p-1$.

${\rm (1)}$如果

那么问题${\rm (1.1)}$的任意非负非平凡弱解均发生有限时间爆破.

${\rm (2)}$如果

那么对于适当小的初值, 问题${\rm (1.1)}$存在非负非平凡的全局解. 比如, 当初值$u_{0}(x)$满足

时, 问题${\rm (1.1)}$存在非负非平凡的全局解. 这里, $\varepsilon$是充分小的正常数, $r_{0}$是任一给定的正常数；对于任意的实数$r$, 记$r_{+}=\max \{r, 0\}$.

注2.1  定理${\rm 2.1}$的结果表明, 梯度项$|\nabla u|^{q}$的出现引发了临界指标不连续变化这一重要现象. 也就是说, 如果$q>p-N/(N+1)$, 那么问题${\rm (1.1)}$的临界指标与问题中不包含梯度项时保持一致, 即为$m=p-1+p/N$; 反之, 如果$q\leq p-N/(N+1)$, 那么问题${\rm (1.1)}$的临界指标改变为$m=\infty$.

注2.2  定理${\rm 2.1}$的结论是$p=2$情形下对应的Fujita -型临界指标(详细结果参阅文献[10])的精确推广.

证   (1) 首先, 考虑$m\leq p-1+p/N$情形. 由于问题

的非负非平凡弱解$\phi(x, t)$在$m\leq p-1+p/N$条件下发生有限时间爆破, 并且问题(1.1)的解$u(x, t)$是问题(2.1)的弱上解, 因此根据比较原理(参阅文献[13, 定理2.9]), 可知问题(1.1)的任意非负非平凡弱解在此情形下均发生有限时间爆破.

接下来, 我们假设$p-1<q\leq p-N/(N+1)$. 考虑相应的Hamilton-Jacobi问题

可知问题(2.2)存在唯一解$w(x, t)\in C({{\Bbb R}} ^{N}\times[0, \infty))\cap L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N}\times[0, \infty))$. 记常数${ } M_{\infty}=\lim\limits_{t\rightarrow \infty}\|w(t)\|_{L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})}>0$, $\gamma_{q}=(q-1)q^{-q/(q-1)}$; 对任意的$(x, t)\in{{\Bbb R}} ^{N}\times(0, \infty)$, 定义函数

根据文献[18, 定理1.1和1.3], 可以得到

现在, 使用反证法, 假设问题(1.1)的解$u(x, t)$全局存在, 那么存在一个正常数$Y$, 使得对任意的$\rho>0$, 均有$\mathop{\int}_{B_{\rho}}u {\rm d}x\leq Y$. 另一方面, 根据比较原理, 则有

从(2.3)式可知, 对任意的$x_{0}\in{{\Bbb R}} ^{N}$, 均有

因此, 选取常数$\epsilon=M_{\infty}/4$, 则存在$Q>0$使得当$t>Q$时有$\left|w(x_{0}, t)-h_{\infty}(x_{0}, t)\right|<M_{\infty}/4$. 进而

令$\rho>0$是待定的常数. 选取

那么对任意的$x\in B_{\rho/2}$, 我们有

借助于上述下界, 我们将使用特征函数法和尺度变换法推得矛盾. 令$\lambda>0$是下述问题

的第一特征值, $\varphi(x)>0$是对应的特征函数, 那么存在正常数$k_{1}$, $K_{1}$, $K_{2}$和$K_{3}$使得

以及当$l<1$时, 有

令$\kappa$是待定的常数, 定义

显然地, 函数$\varphi_{\rho}(x)$满足

和

令$\varsigma>0$是待定的常数. 将问题(1.1)中方程两端同时乘以函数$\varphi_{\rho}^{\varsigma}(x)$, 并且在球$B_{\rho}$上使用分部积分法, 对任意的$t>0$, 我们得到

利用Young不等式, 我们有

其中

选取$\varsigma>(p-1)/(q-p+1)$. 结合(2.5)和(2.6)式, 我们发现

因此, 可得

定义函数$\zeta(x)=|x|^{2}/(2N)$, 经过简单计算可知, $\zeta(x)$满足

进而

其中, $\partial_{\nu}$表示边界$\partial B_{\rho}$上的单位外法向量. 选取$\varsigma>1$, 使用Young不等式和Hölder不等式, 我们有

其中

另外, 根据(2.5)和(2.6)式, 我们可知

和

结合(2.8)–(2.11)式, 可以得到

即

这里

此外, 我们注意到

将(2.12)和(2.13)代入(2.7)式, 我们有

选定

我们得到爆破不等式

另一方面, 我们发现(2.4)和(2.6)式意味着

其中, $\omega_{N}$是全空间${{\Bbb R}} ^{N}$里单位球的体积. 选取

并且$\rho>\max \left\{\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}\right\}$, 结合(2.15), 我们可知(2.14)式的右端在$t=t_{0}$时是严格正的, 进而, 微分不等式(2.14})在$t>t_{0}$时不存在全局解, 这就产生了矛盾. 因此, 问题(1.1)的任意非负非平凡弱解均发生有限时间爆破.

(2) 采用与文献[21-22]类似的论证方法, 定义函数

其中, $\varepsilon$, $k>0$是待定的常数. 经过直接的计算, 我们有

和

因此

这里

由于

我们有

从而, 可得

根据$I_{2}$的定义, 我们可知, 当且仅当

时, $I_{2}\geq0$; 否则, $I_{2}\equiv0$. 因此

结合(2.17)和(2.18)式, 我们得到

借助于$m>p-1+p/N$和$q>p-N/(N+1)$, 我们可以选择满足条件$0<k<N/p$的充分小常数$k$使得

接着, 选取充分小的正常数$\varepsilon$, 由(2.16)和(2.19)式可得

若$0\leq u_{0}(x)\leq z(x, 0)$, 则有

即问题${\rm (1.1)}$存在非负非平凡的全局解. 定理2.1证毕.

在这一节中, 我们考虑非齐次问题(1.2). 我们的主要结果由以下两个定理给出.

定理3.1  令$N\geq1$, $p>1$, $m>\max \{1, p-1\}$, $q>1$, $h(x)$和$u_{0}(x)$是定义在全空间${{\Bbb R}} ^{N}$中非负非平凡函数. 若$p\geq N$, 则问题${\rm (1.2)}$的任意非负非平凡弱解均发生有限时间爆破.

证   由于问题(1.2)的解$u(x, t)$是初值问题

的弱上解, 采用与文献[14, 定理2]类似的论证方法, 我们即可完成定理3.1的证明.

定理3.2令$N\geq2$, $2N/(N+1)<p<N$, $m>\max\{1, p-1\}$, 并且$q>\max\{1, p-1\}$.

${\rm (1)}$如果

那么对于定义在全空间${{\Bbb R}} ^{N}$里的任意非负非平凡函数$h(x)$和$u_{0}(x)$, 问题${\rm (1.2)}$的非负非平凡解均发生有限时间爆破.

${\rm (2)}$如果

那么存在函数$h(x)>0$, 使得对于适当小的初值, 问题${\rm (1.2)}$存在非负非平凡的全局解.

注3.1  从定理${\rm 3.1}$和${\rm 3.2}$的结果可以发现, 问题${\rm (1.2)}$临界指标的值与齐次问题${\rm (1.1)}$是不同的. 然而, 在$2N/(N+1)<p<N$情形下, 类似于问题${\rm (1.1)}$, 梯度项$|\nabla u|^{q}$的出现引发了非齐次问题${\rm (1.2)}$临界指标不连续变化这一现象. 也就是说, 如果$q>N(p-1)/(N-1)$, 那么问题${\rm (1.2)}$的临界指标与问题中不包含梯度项时保持一致, 即为$m=N(p-1)/(N-p)$; 反之, 如果$q<N(p-1)/(N-1)$, 那么问题${\rm (1.2)}$的临界指标改变为$m=\infty$.

证   (1) 对于$m\leq N(p-1)/(N-p)$情形, 采用与定理3.1类似的方法即可得到结论. 接下来, 我们假设$q<N(p-1)/(N-1)$. 使用反证法, 假设问题(1.2)的解$u(x, t)$全局存在. 我们将借助于检验函数技巧推得矛盾. 选取函数$\zeta\in C^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})$和$\vartheta\in C^{\infty}({{\Bbb R}} _{+})$分别满足条件

和

给定$\tau>0$, 我们引入非负检验函数$\psi=\psi_{\tau}$为

其中

以及$r>0$是待定的常数. 将问题(1.2)中方程两端同时乘以检验函数$\psi$, 并且在区域$Q_{\tau}:={{\Bbb R}} ^{N}\times(0, \tau)$上积分, 我们得到

使用分部积分法, 我们有

从而

利用Hölder不等式和函数$\zeta$的定义, 我们发现

即

这里

进一步, 借助Young不等式, 则有

其中

类似地, 使用Hölder不等式和函数$\vartheta$的定义, 可以得到

即

这里

借助Young不等式, 我们有

其中

根据(3.1), (3.2)和(3.3)式, 可以推得

下面, 我们估计$I_{i}$, $i=1, 2$. 利用函数$\zeta$, $\vartheta$的性质以及变量替换$x=\tau^{r}z$, $t=\tau s$, 可知

即

特别说明, 此处及之后, $C$表示一个与$\tau$无关的正常数, 它对应的数值在每行可能是不同的. 同样地, 对于$I_{2}(\tau)$, 我们有

即

结合(3.4)–(3.6)式, 我们得到

另一方面, 我们发现

进而, 根据(3.7)和(3.8)式, 可以推得

选取常数

从而

并且, 从(3.9)式可知, 对任意的$\tau>0$, 有

由于$q<N(p-1)/(N-1)$, 因此

将(3.10)式中$\tau\rightarrow \infty$, 并且借助控制收敛定理, 则有

这与$h(x)$是定义在全空间${{\Bbb R}} ^{N}$里的非负非平凡函数这一事实相矛盾. 因此, 问题(1.2)的解$u(x, t)$有限时间发生爆破.

(2) 在这一部分, 我们证明, $m>N(p-1)/(N-p)$和$q>N(p-1)/(N-1)$情形下, 存在$u_{0}(x)$和$h(x)$使得问题(1.2)有非负非平凡的全局解. 我们考虑问题(1.2)相应的稳态问题

寻找具有形式$v(x)=\varepsilon\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-k}$, 并且满足方程

的一个上解. 这里, $k, \varepsilon>0$是待定的常数. 经过直接的计算, 我们得到

和

选定$H(x):=-{\rm div}(|\nabla v|^{p-2}\nabla v)-v^{m}-\left|\nabla v\right|^{q}$, 我们有

借助于

我们可以选取正常数$k$使得

接着, 选取充分小的正常数$\varepsilon$, 对任意的$x\in{{\Bbb R}} ^{N}$, 可以得到

令$h(x)\leq H(x)$和$u_{0}(x)\leq \varepsilon\big(1+|x|^{\frac{p}{p-1}}\big)^{-k}$, 则$v(x)$是问题(1.2)的一个上解. 另一方面, $v_{1}(x)\equiv0$显然是问题(1.2)的一个下解. 因此, 根据迭代法和比较原理可得问题(1.2)存在非负非平凡的全局解. 证毕.

注3.2  对于$q=N(p-1)/(N-1)$情形, 上述证明方法不再适用, 我们需要寻找新的方法来判定此情形下解是否全局存在. 这仍是一个开放性的问题.