可积自旋模型及其推广在数学和物理领域中具有广泛应用. (1+1) 维海森堡铁磁链(HF) 模型是可积自旋系统的基本模型. 研究表明, (1+1) 维HF模型^[1]规范等价且几何等价于非线性薛定谔方程^[2]. 目前, 众多学者对推广的(1+1) 维HF模型进行了研究, 如非齐次HF模型^[3], 高阶HF模型^[4], Myrzakulov系列(MS) 方程^[5]等. 此外, 很多重要的(2+1) 维推广的HF模型^[6]被研究, 如Ishimori方程^[7], Myrzakulov-I方程^[8], Myrzakulov Lakshmanan系列(MLS) 方程^[9]等.

多分量可积方程是可积系统的一种推广形式, 在数学物理众多领域中具有广泛的应用，例如代数表示理论, 随机矩阵, 布朗运动, 正交多项式^[10], Frobenius流形理论, 矩阵Riemann-Hilbert问题^[11]等. 许多重要的可积系统被推广到多分量形式, 如耦合的KdV方程^[12], 多分量Kadomtsev-Petviashvili (KP) 方程^[13]和多分量Toda方程^[14]. Li等^[15]研究了$ B $型universal character方程在耦合状态下的Frobenius推广方程, 并使用Schur $ Q $函数构造了方程的解. Ma等^[16]研究了多分量非线性薛定谔方程的二元Darboux变换, 并由此得到了多分量非线性薛定谔方程的孤子解. 最近, 有学者推导了(1+1) 维和(2+1) 维的Frobenius值的HF模型, 并研究了这些方程的可积结构和性质^[17]. 一个自然的研究问题: 推广的HF模型是否可以研究其多分量形式? 本文的主要目的是: 通过将自旋变量取值于交换子代数$ gl(n, {\Bbb C}) $, 构造两类推广的HF模型的多分量方程, 分别为多分量的(1+1) 维MS方程和多分量的(2+1) 维MLS方程, 并进一步研究其相应的可积性质，如Lax表示和几何等价方程等.

本文安排如下: 第2节给出(1+1) 维多分量MS方程, 并推导其Lax表示, 进一步研究其几何等价方程; 第3节介绍(2+1) 维多分量MLS方程, 推导其Lax表示和几何等价方程; 最后一节进行总结和归纳.

本节考虑多分量的MS方程, 其中包含多分量Myrzakulov serise 1 (MS1) 和Myrzakulov series 2 (MS2) 方程.

(2.1) $ \begin{eqnarray} &&{\bf S}_{t}+{\bf S}\times {\bf S}_{xx}+\frac{2}{\omega}{\bf S}\times{\bf W}=0, {} \\ &&{\bf W}_{x}+2\omega{\bf S}\times{\bf W}=0, \end{eqnarray} $

其中$ \omega $是一个实常数, $ {\bf S}=(S_1, S_2, S_3) $是一个自旋向量, $ {\bf S}^2=1 $. $ S_1, S_2, S_3 $是关于变量$ x $和$ t $的函数. $ {\bf W}=(W_1, W_2, W_3) $是向量势, $ {\bf W} $满足$ {\bf W}^2=W_1^{2}+W_2^{2}+W_3^{2}=C(t) $, 其中$ C(t) $是关于$ t $的函数.

MS1方程的矩阵形式^[6]为

(2.2) $ \begin{eqnarray} &&{\rm i}S_{t}+\frac{1}{2}[S, S_{xx}]+\frac{1}{\omega}[S, W]=0, {} \\ &&{\rm i}W_{x}+\omega[S, W]=0, \end{eqnarray} $

其中$ S=\sum\limits_{i=1}^{3} S_i\sigma_i $, $ W=\sum\limits_{i=1}^{3} W_i\sigma_i $, $ S^2=I $, $ I $为单位矩阵, $ tr S=0 $, $ W^2=C(t)I $以及$ \sigma_i $$ (i=1, 2, 3) $是泡利矩阵.

定理2.1  方程(2.1) 的多分量形式为

(2.3) $ \begin{eqnarray} &&{\bf S}_{kt}+\sum\limits_{i+j=k}{\bf S}_i\times {\bf S}_{jxx}+\frac{2}{\omega}\sum\limits_{i+j=k}{\bf S}_i\times{\bf W}_j=0, {} \\ &&{\bf W}_{kx}+2\omega\sum\limits_{i+j=k}{\bf S}_i\times{\bf W}_j=0, \ \ 0\leq k \leq n-1, \end{eqnarray} $

其中$ {\bf S}_j=(S_{1j}, S_{2j}, S_{3j}) $, $ {\bf W}_j=(W_{1j}, W_{2j}, W_{3j}) $.

证   令方程(2.2) 中的矩阵$ S $在交换子代数$ Z_n={\Bbb C}[\Gamma]/(\Gamma^n) $, $ \Gamma=(\delta_{i, j+1})_{ij}\in gl(n, {\Bbb C}) $中取值. 根据方程(2.2) 可得

(2.4) $ \begin{equation} {\rm i}\tilde{S}_{t}+\frac{1}{2}[\tilde{S}, \tilde{S}_{xx}]+\frac{1}{\omega}[\tilde{S}, \tilde{W}]=0, \end{equation} $

其中$ \tilde{S}^2=I $, $ \tilde{W}^2=C(t)I $, $ I $是单位矩阵.

设

(2.5) $ \begin{eqnarray} \tilde{S}(x, t)= \left( {\begin{array}{*{20}c} \tilde{S}_3 &\tilde{S}_1+{\rm i}\tilde{S}_2\\ \tilde{S}_1-{\rm i}\tilde{S}_2 & -\tilde{S}_3 \end{array}}\right), \ \ \ \tilde{W}(x, t)= \left( {\begin{array}{*{20}c} \tilde{W}_3 &\tilde{W}_1+{\rm i}\tilde{W}_2\\ \tilde{W}_1-{\rm i}\tilde{W}_2 & -\tilde{W}_3 \end{array}}\right), \end{eqnarray} $

其中

(2.6) $ \begin{eqnarray} \tilde{S}_i&=&S_{i0}I+S_{i1}\Gamma+S_{i2}\Gamma^2+\cdots+S_{i(n-1)}\Gamma^{n-1}, {} \\ \tilde{W}_i&=&W_{i0}I+W_{i1}\Gamma+W_{i2}\Gamma^2+\cdots+W_{i(n-1)}\Gamma^{n-1}. \end{eqnarray} $

$ \tilde{S}(x, t) $和$ \tilde{W}(x, t) $可以被划分为$ n $部分

(2.7) $ \begin{eqnarray} \tilde{S}=S_0+S_1+S_2+\cdots+S_{n-1}, \ \ \ \tilde{W}=W_0+W_1+W_2+\cdots+W_{n-1}, \end{eqnarray} $

其中

(2.8) $ \begin{eqnarray} S_k&=&{\bf S}_k\cdot{\bf X}_k, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bf S}_k=(S_{1k}, S_{2k}, S_{3k}), \ \ \ \ \ \ \ \ \Gamma^0=I, {} \\ W_k&=&{\bf W}_k\cdot{\bf X}_k, \ \ \ \ \ \ \ {\bf W}_k=(W_{1k}, W_{2k}, W_{3k}), \ \ \ \ {\bf X}_k=(X_{1k}, X_{2k}, X_{3k}), {} \\ X_{1k}&=&\left({\begin{array}{*{20}c} 0 & \Gamma^k \\ \Gamma^k & 0 \end{array}}\right), \ X_{2k}=\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & {\rm i}\Gamma^k \\ -{\rm i}\Gamma^k & 0 \end{array}}\right), \ \ \ X_{3k}=\left( {\begin{array}{*{20}c} \Gamma^k & 0 \\ 0 & -\Gamma^k \end{array}}\right). \end{eqnarray} $

将方程(2.5)–(2.8) 代入方程(2.2) 中, 对比$ \Gamma^k $前面系数, 由性质

(2.9) $ \begin{eqnarray} \big[{\bf S}_i\cdot {\bf X}_i, {\bf S}_{jxx}\cdot {\bf X}_j\big]=2{\rm i}{\bf S}_i\times {\bf S}_{jxx} \cdot {\bf X}_{i+j}, \ i+j\leq n-1, \mbox{当}\ i+j > n-1, \ {\bf X}_{i+j}=0, \end{eqnarray} $

可得方程(2.3).

定理2.2  方程(2.2) 的多分量形式为

(2.10) $ \begin{eqnarray} &&{\rm i}S_{kt}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i+j=k}[S_i, S_{jxx}]+\frac{1}{\omega}\sum\limits_{i+j=k}[S_i, W_j]=0, {} \\ &&{\rm i}W_{kx}+\omega\sum\limits_{i+j=k}[S_i, W_j]=0, \ \ 0\leq k \leq n-1. \end{eqnarray} $

证   将方程(2.5)–(2.8) 代入到方程(2.4) 中, 对比$ \Gamma^k $的系数, 可得定理2.2.

方程(2.10) 的可积性条件为

(2.11) $ \begin{eqnarray} \Phi_x(x, t, \lambda_j)=U(x, t, \lambda_j)\Phi(x, t, \lambda_j), \ \ \ \Phi_t(x, t, \lambda_j)=V(x, t, \lambda_j)\Phi(x, t, \lambda_j), \end{eqnarray} $

其中

(2.12) $ \begin{eqnarray} U&=&-{\rm i}\sum\limits_{l=0}^{n-1}\sum\limits_{j+k=l}\lambda_j {\bf S}_k\cdot {\bf X}_l , {} \\ V&=&\sum\limits_{l=0}^{n-1}\bigg[\sum\limits_{i+j+k=l}(-2{\rm i}\lambda_i \lambda_j{\bf S}_k\cdot {\bf X}_l+{\rm i}\lambda_i {\bf S}_j\times {\bf S}_{kx}\cdot{\bf X}_l){} \\ &&+{\rm i}\sum\limits_{j+k=l}(\lambda+\omega)_{j}^{-1}{\bf W}_k\cdot {\bf X}_l+\frac{{\rm i}}{\omega}{\bf W}_l\cdot{\bf X}_l\bigg]. \end{eqnarray} $

谱参数$ \lambda $满足$ \lambda_t=0 $, $ \lambda_t $是函数$ \lambda $关于变量$ t $的导数, $ i, j $是$ \lambda $的下标.

下面本文将研究方程(2.3) 的几何等价方程. 首先利用多分量正切向量$ {\bf t}_j $, 法向量$ {\bf b}_j $和副法向量$ {\bf n}_j $, 可得多分量Serret-Frenet方程

(2.13) $ \begin{eqnarray} {\bf t}_{jx}&=&\sum\limits_{m+l=j}k_m {\bf b}_l, {} \\ {\bf b}_{jx}&=&\sum\limits_{m+l=j}(\tau_m {\bf n}_l-k_m {\bf t}_l), {} \\ {\bf n}_{jx}&=&\sum\limits_{m+l=j}\tau_m {\bf b}_l. \end{eqnarray} $

多分量Rigid Body方程为

(2.14) $ \begin{eqnarray} {\bf t}_{jy}&=&\sum\limits_{m+l=j}(\tilde{\omega}_{3m}{\bf b}_l-\tilde{\omega}_{2m}{\bf n}_l), {} \\ {\bf b}_{jy}&=&\sum\limits_{m+l=j}(-\tilde{\omega}_{3m}{\bf t}_l+\tilde{\omega}_{1m}{\bf n}_l), {} \\ {\bf n}_{jy}&=&\sum\limits_{m+l=j}(\tilde{\omega}_{2m}{\bf t}_l-\tilde{\omega}_{1m}{\bf b}_l). \end{eqnarray} $

引入多分量Hasimoto函数

(2.15) $ \begin{eqnarray} q_{jx}=\frac{1}{2}\bigg(\sum\limits_{\alpha+\beta=j}k_{\alpha x}b_\beta-{\rm i}\sum\limits_{p+q+r=j}k_p\tau_qb_r\bigg), \ \ 0 \leq j \leq n-1, \end{eqnarray} $

其中

(2.16) $ \begin{eqnarray} b_\beta&=&\sum\limits_{i_1m_1+i_2m_2+\cdots+i_{n-1}m_{n-1}=\beta}\frac{1}{m_1!m_2!\cdots m_{n-1}!}A_{i_1}^{m_1}A_{i_2}^{m_2}\cdots A_{i_{n-1}}^{m_{n-1}} \exp\bigg({-{\rm i}\int_{-\infty}^x \tau_0 {\rm d}x'}\bigg), {} \\ A_{i_{t}}&=&-{\rm i}\int_{-\infty}^x\tau_{i_{t}} {\rm d}x'. \end{eqnarray} $

向量势$ {\bf W_j}=(W_{1j}, W_{2j}, W_{3j}) $满足下列关系

(2.17) $ \begin{eqnarray} W_{1jx}&=&\sum\limits_{\alpha+\beta=j}k_{\alpha}W_{2\beta}, {} \\ W_{2jx}&=&2\omega W_{3j}+\sum\limits_{\alpha+\beta=j}(-k_{\alpha}W_{1\beta}+\tau_{\alpha}W_{3\beta}), {} \\ W_{3jx}&=&-2\omega W_{2j}-\sum\limits_{\alpha+\beta=j}\tau_{\alpha}W_{2\beta}, \ \ 0 \leq j \leq n-1. \end{eqnarray} $

由此可得

(2.18) $ \begin{eqnarray} \tilde{\omega}_{1j}&=&\omega_{1j}-\frac{2}{\omega}W_{1j}+4\sum\limits_{\alpha+\beta=j}W_{3\alpha}k_{\beta}^{-1}, {} \\ \tilde{\omega}_{2j}&=&\omega_{2j}+\frac{2}{\omega}W_{2j}, {} \\ \tilde{\omega}_{3j}&=&\omega_{3j}+\frac{2}{\omega}W_{3j}, \ \ 0 \leq j \leq n-1. \end{eqnarray} $

通过方程(2.17) 和(2.18), 可推出

(2.19) $ \begin{eqnarray} k_{jt}&=&\omega_{3jx}+\sum\limits_{\alpha+\beta=j}\tau_{\alpha}\omega_{2\beta}-4W_{2j}, {} \\ \tau_{jt}&=&\omega_{1jx}-\sum\limits_{\alpha+\beta=j}\big[k_{\alpha}\omega_{2\beta}-4(W_{3\alpha}k_{\beta}^{-1})_x\big], {} \\ \omega_{2jx}&=&\sum\limits_{\alpha+\beta=j}(\tau_{\alpha}\omega_{3\beta}-k_{\alpha}\omega_{1\beta}), \ \ 0 \leq j \leq n-1. \end{eqnarray} $

由方程(2.17)–(2.19), 可得与方程(2.3) 相对应的几何等价方程

(2.20) $ \begin{eqnarray} &&{\rm i}q_{mt}+q_{mxx}+2\sum\limits_{i+j+l=m}q_ir_jq_l-2{\rm i}p_m=0, \ \ p_{mx}-2{\rm i}\omega p_m-2\sum\limits_{i+j=m}\eta_iq_j=0, {} \\ &&{\rm i}r_{mt}-r_{mxx}-2\sum\limits_{i+j+l=m}q_ir_jr_l-2{\rm i}k_m=0, \ \ k_{mx}+2{\rm i}\omega k_m-2\sum\limits_{i+j=m}\eta_ir_j=0, {} \\ &&\eta_{mx}+\sum\limits_{i+j=m}(r_ip_j+q_ik_j)=0, \ \ 0\leq m \leq n-1. \end{eqnarray} $

因此, 可得方程(2.20) 的Lax表示为

(2.21) $ \begin{eqnarray} F= \left( {\begin{array}{*{20}c} -{\rm i}\lambda{\quad} & q \\ -r{\quad} & {\rm i}\lambda\end{array}}\right), \ \ \ G= \left( {\begin{array}{*{20}c} M & N \\ -\bar{N} & -M\end{array}}\right), \end{eqnarray} $

其中

(2.22) $ \begin{equation} M=\sum\limits_{l=0}^{n-1}\bigg[\sum\limits_{i+j=l}({\rm i}r_i q_j-2{\rm i}\lambda_i \lambda_{j})+\frac{{\rm i}}{\omega}\eta_l\bigg]\Gamma^l, \ \ N=\sum\limits_{l=0}^{n-1}\bigg(\sum\limits_{i+j=l}2\lambda_iq_j +{\rm i}q_{lx}-\frac{{\rm i}}{\omega}p_l\bigg)\Gamma^l. \end{equation} $

MS2方程^[5]为

(2.23) $ \begin{eqnarray} &&{\bf S}_{t}+\epsilon_1{\bf S}\times {\bf S}_{xx}+\epsilon_2[{\bf S}_{xxx}, 6(\beta{\bf S})_{x}]+\frac{2}{\omega}{\bf S}\times{\bf W}=0, {} \\ &&{\bf W}_{x}+2\omega{\bf S}\times{\bf W}=0, \end{eqnarray} $

其中$ \omega $, $ \epsilon_1 $和$ \epsilon_2 $是实常数, $ \beta=\frac{1}{8}({\bf S}_{x}\cdot{\bf S}_{x}) $.

MS2方程的矩阵形式为

(2.24) $ \begin{eqnarray} &&{\rm i}S_{t}+\frac{1}{2}\epsilon_1[S, S_{xx}]+{\rm i}\epsilon_2[S_{xxx}, 6(\beta S)_{x}]+\frac{1}{\omega}[S, W]=0, {} \\ &&{\rm i}W_{x}+\omega[S, W]=0, \end{eqnarray} $

其中$ \beta=\frac{1}{8}(S_{x}\cdot S_{x}) $.

定理2.3  方程(2.23) 的多分量形式如下

(2.25) $ \begin{eqnarray} &&{\bf S}_{kt}+\epsilon_1\sum\limits_{i+j=k}{\bf S}_i\times {\bf S}_{jxx}+\epsilon_2\sum\limits_{i+j+m=k}[{\bf S}_{ixxx}, 6(\beta_j{\bf S}_m)_x]+\frac{2}{\omega}\sum\limits_{i+j=k}{\bf S}_i\times{\bf W}_j=0, {} \\ &&{\bf W}_{kx}+2\omega\sum\limits_{i+j=k}{\bf S}_i\times{\bf W}_j=0, \ \ 0\leq k \leq n-1, \end{eqnarray} $

其中$ \beta_j=\frac{1}{8}(\sum\limits_{m+l=j}{\bf S}_{mx}\cdot{\bf S}_{lx}) $.

证   将方程(2.5)–(2.8) 代入方程(2.24) 中, 利用性质(2.9), 可得定理2.3.

定理2.4  多分量MS2方程的矩阵形式为

(2.26) $ \begin{eqnarray} &&{\rm i}S_{kt}+\frac{1}{2}\epsilon_1\sum\limits_{i+j=k}[S_i, S_{jxx}]+{\rm i}\epsilon_2\sum\limits_{i+j+m=k}[S_{ixxx}, 6(\beta_j S_m)_{x}]+\frac{1}{\omega}\sum\limits_{i+j=k}[S_i, W_j]=0, {} \\ &&{\rm i}W_{kx}+\omega\sum\limits_{i+j=k}[S_i, W_j]=0, \ \ 0\leq k \leq n-1, \end{eqnarray} $

其中$ \beta_j=\frac{1}{8}(\sum\limits_{m+l=j}{\bf S}_{mx}\cdot{\bf S}_{lx})\cdot{\bf X}_j $.

证   将方程(2.5)–(2.8) 代入方程(2.24) 中, 对比$ \Gamma^k $的系数, 可推出定理2.4.

方程(2.26) 的可积性条件为

(2.27) $ \begin{eqnarray} \Phi_x(x, t, \lambda_j)=U(x, t, \lambda_j)\Phi(x, t, \lambda_j), \ \ \ \Phi_t(x, t, \lambda_j)=V(x, t, \lambda_j)\Phi(x, t, \lambda_j), \end{eqnarray} $

其中

(2.28) $ \begin{eqnarray} U&=&-{\rm i}\sum\limits_{l=0}^{n-1}\sum\limits_{j+k=l}\lambda_j {\bf S}_k\cdot {\bf X}_l , {} \\ V&=&\sum\limits_{l=0}^{n-1}\bigg[-4{\rm i}\epsilon_2\sum\limits_{i+j+k +m=l}\lambda_i\lambda_j\lambda_k{\bf S}_m\cdot{\bf X}_l+2\epsilon_2\sum\limits_{m+i+j+k=l}\lambda_{m}\lambda_{i}{\bf S}_j{\bf S}_{kx}\cdot{\bf X}_l{} \\ &&-2{\rm i}\epsilon_1\sum\limits_{i+j+k=l}\lambda_i \lambda_j{\bf S}_k\cdot {\bf X}_l+\epsilon_1\sum\limits_{i+j+k=l}\lambda_i{\bf S}_j {\bf S}_{kx}\cdot{\bf X}_l+6{\rm i}\epsilon_2\sum\limits_{i+j+k=l}\lambda_i\beta_j{\bf S}_k\cdot{\bf X}_l {} \\ &&+\sum\limits_{j+k=l}(\lambda+\omega)_{j}^{-1}{\bf W}_k\cdot {\bf X}_l+{\rm i}\epsilon_2\sum\limits_{i+j=l}\lambda_i{\bf S}_{jxx}\cdot{\bf X}_l+\frac{{\rm i}}{\omega}{\bf W}_l\cdot{\bf X}_l\bigg], \end{eqnarray} $

其中$ \lambda_t=0 $, $ \lambda_t $为函数$ \lambda $关于变量$ t $的导数, $ i, j, k, m $是$ \lambda $的下标.

通过方程(2.17)–(2.19), 可得多分量MS2方程的几何等价方程为

(2.29) $ \begin{eqnarray} &&{\rm i}q_{mt}+\epsilon_1(q_{mxx}+2\sum\limits_{i+j+l=m}q_ir_jq_l)+{\rm i}\epsilon_2(q_{mxxx}+6\sum\limits_{i+j+l=m}q_ir_jq_{lx})-2{\rm i}p_m=0, {} \\ &&{\rm i}r_{mt}-\epsilon_1(r_{mxx}+2\sum\limits_{i+j+l=m}q_ir_jr_l)+{\rm i}\epsilon_2(r_{mxxx}+6\sum\limits_{i+j+l=m}q_ir_jr_{lx})-2{\rm i}k_m=0, {} \\ &&p_{mx}-2{\rm i}\omega p_m-2\sum\limits_{i+j=m}\eta_iq_j=0, \ \ \ \ k_{mx}+2{\rm i}\omega k_m-2\sum\limits_{i+j=m}\eta_ir_j=0, {} \\ &&\eta_{mx}+\sum\limits_{i+j=m}(r_ip_j+q_ik_j)=0, \ \ 0\leq m \leq n-1. \end{eqnarray} $

方程(2.29) 的Lax对可表示为

(2.30) $ \begin{eqnarray} F= \left( {\begin{array}{*{20}c} -{\rm i}\lambda {\quad} & q \\ -r {\quad} & {\rm i}\lambda\end{array}}\right), \ \ \ G= \left( {\begin{array}{*{20}c} M {\quad} & N \\ -\bar{N} {\quad} & -M\end{array}}\right), \end{eqnarray} $

其中

(2.31) $ \begin{eqnarray} M&=&\sum\limits_{l=0}^{n-1}\bigg[{\rm i}\epsilon_1\sum\limits_{i+j=l}r_i q_j-2{\rm i}\epsilon_1\sum\limits_{i+j=l}\lambda_i \lambda_{j}+\epsilon_2\sum\limits_{i+j=l}(r_{ix}q_{j}-q_{ix}r_{j}){} \\ &&-{\rm i}\epsilon_2\sum\limits_{i+j+k=l}\lambda_{i}q_{j}r_{k}-4{\rm i}\epsilon_2\sum\limits_{i+j+k=l}\lambda_{i}\lambda_{j}\lambda_{k}+\frac{{\rm i}}{\omega}\eta_l\bigg]\Gamma^l, {} \\ N&=&\sum\limits_{l=0}^{n-1}\bigg[{\rm i}\epsilon_1q_{lx}-\epsilon_2q_{lxx}+\epsilon_2\sum\limits_{i+j+k=l}q_i r_j q_k+\sum\limits_{i+j=l}\lambda_{i}(2\epsilon_1q_{j}+2{\rm i}\epsilon_2q_{jx}){} \\ &&+4\epsilon_2\sum\limits_{i+j+k=l}\lambda_{i}\lambda_{j}q_{k}-\frac{{\rm i}}{\omega}p_l\bigg]\Gamma^l. \end{eqnarray} $

本节将讨论(2+1) 维多分量MLS方程, 其中包括Lakshmanan-Myrzakulov方程(LME), Myrzakulov-Lakshmanan I (ML-I) 方程和Myrzakulov-Lakshmanan II (ML-II) 方程.

LME^[9]可表示为

(3.1) $ \begin{eqnarray} {\bf S}_{t}&=&[{\bf S}\times(f_1{\bf S}_x+\beta{\bf S}_y)+u{\bf S}]_x+f_2{\bf S}_x, {} \\ u_x&=&-\beta{\bf S}\cdot({\bf S}_x\times{\bf S}_y), \end{eqnarray} $

其中$ f_1 $和$ f_2 $是关于变量$ x $和$ t $的函数, $ \beta $是实常数.

多分量LME为

(3.2) $ \begin{eqnarray} {\bf S}_{jt}&=&\sum\limits_{m+n=j}\big[(\beta{\bf S}_m\times{\bf S}_{n y}+u_m{\bf S}_n)_x+f_{2m}{\bf S}_{n x}\big]+\sum\limits_{m+n+q=j}\big[{\bf S}_m\times(f_{1n}{\bf S}_{qx})\big]_x, {} \\ u_{jx}&=&-\beta\sum\limits_{m+n+q=j}{\bf S}_m\cdot({\bf S}_{nx}\times{\bf S}_{qy}), \ \ 0 \leq j \leq n'-1, \end{eqnarray} $

其中$ {\bf S}_j=(S_{1j}, S_{2j}, S_{3j}) $, $ f_{1n}=f_{10}I+f_{11}\Gamma+\cdots+f_{1(n-1)}\Gamma^{n-1} $, $ f_{2m}=f_{20}I+f_{21}\Gamma+\cdots+f_{2(m-1)}\Gamma^{m-1} $.

方程(3.2) 的Lax表示为

(3.3) $ \begin{eqnarray} \Phi_x=U\Phi, \ \ \ \Phi_t=-\beta\lambda\Phi_y+V \Phi, \end{eqnarray} $

其中

(3.4) $ \begin{eqnarray} U&=&\frac{{\rm i}}{2}\sum\limits_{k=0}^{n'-1}\sum\limits_{m+n=k}\lambda_m{\bf S}_n\cdot {\bf X}_k, {} \\ V&=&\frac{{\rm i}}{2}\sum\limits_{k=0}^{n'-1}\bigg[\sum\limits_{m+n+i+j=k}(-\lambda_m\lambda_n f_{1i}{\bf S}_j\cdot{\bf X}_k+\lambda_m f_{1n}{\bf S}_i\times{\bf S}_j\cdot{\bf X}_k){} \\ &&+\sum\limits_{m+n+i=k}(\lambda_m f_{2n}{\bf S}_i\cdot{\bf X}_k +\lambda_m u_n{\bf S}_i\cdot {\bf X}_k+\beta\lambda_m{\bf S}_n\times{\bf S}_{iy}\cdot{\bf X}_k)\bigg], \end{eqnarray} $

其中的谱参数$ \lambda $满足

(3.5) $ \begin{eqnarray} \lambda_{kt}=\sum\limits_{m+n=k}(\beta\lambda_m\lambda_{ny}+\lambda_m f_{2nx})+\sum\limits_{j+m+n=k}\lambda_j\lambda_m f_{1nx}\ \ (k=0, 1, \cdots, n'-1), \end{eqnarray} $

其中$ \lambda_t $和$ \lambda_y $分别表示为函数$ \lambda $关于变量$ t $和$ y $的导数, $ k, m, n, j $是$ \lambda $的下标.

接下来我们将研究几何等价性与多分量LME之间的联系. 引入新的多分量的Serret-Frenet方程

(3.6) $ \begin{eqnarray} \tilde{{\bf t}}_{jx}&=&\sum\limits_{m+l=j}k_m \tilde{{\bf n}}_l, {} \\ \tilde{{\bf b}}_{jx}&=&\sum\limits_{m+l=j}\tau_m \tilde{{\bf n}}_l, {} \\ \tilde{{\bf n}}_{jx}&=&\sum\limits_{m+l=j}(\tau_m \tilde{{\bf b}}_l-k_m \tilde{{\bf t}}_l). \end{eqnarray} $

由多分量的Hasimoto函数

(3.7) $ \begin{eqnarray} \varphi_{jx}=\sum\limits_{m+n=j}k_{mx}b_n+{\rm i}\sum\limits_{p+q+r=j}(k_p\tau_qb_r), \ \ 0 \leq j \leq n'-1, \end{eqnarray} $

其中

(3.8) $ \begin{eqnarray} b_j&=&\sum\limits_{i_1m_1+i_2m_2+\cdots+i_{n-1}m_{n-1}=j}\frac{1}{m_1!m_2!\cdots m_{n-1}!}B_{i_1}^{m_1}B_{i_2}^{m_2}\cdots B_{i_{n-1}}^{m_{n-1}} \exp\bigg({{\rm i}\int_{-\infty}^x \tau_0 {\rm d}x'}\bigg), {} \\ B_{i_{t}}&=&{\rm i}\int_{-\infty}^x\tau_{i_{t}} {\rm d}x'. \end{eqnarray} $

设$ {\bf S}_j=\tilde{{\bf t}}_j $, 可得

(3.9) $ \begin{eqnarray} \tilde{{\bf t}}_{jt}&=&\sum\limits_{m+l=j}\big[(\beta\tilde{{\bf t}}_m\times\tilde{{\bf t}}_{ly}+u_m\tilde{{\bf t}}_l)_x+f_{2m}\tilde{{\bf t}}_{lx}\big]+\sum\limits_{m+l+k=j}\big[\tilde{{\bf t}}_m\times(f_{1l}\tilde{{\bf t}}_{kx})\big]_x{} \\ &=&-\sum\limits_{m+n+i+q=j}f_{1m}k_n\tau_i\tilde{{\bf n}}_q+\sum\limits_{m+n+i=j}(u_m k_n+k_m f_{2n}-\beta k_m\eta_n)\tilde{{\bf n}}_i {} \\ &&+\sum\limits_{m+n+i=j}(f_{1m x}k_n+f_{1m}k_{nx})\tilde{{\bf b}}_i+\sum\limits_{m+n=j}\beta k_{my}\tilde{{\bf b}}_n {} \\ &=&\sum\limits_{p+q=j}\eta_p\tilde{{\bf n}}_{q}+\zeta_p\tilde{{\bf b}}_{q}, \ \ 0 \leq j \leq n'-1. \end{eqnarray} $

然后有

(3.10) $ \begin{eqnarray} \gamma_j=-\sum\limits_{p+q=j}(\eta_p+{\rm i}\zeta_p)b_q=-{\rm i}\beta\varphi_{jy}-\sum\limits_{m+n=j}\big[f_{2m} \varphi_{n}+{\rm i}(f_{1m}\varphi_n)_x\big]. \end{eqnarray} $

由下述方程

(3.11) $ \begin{eqnarray} R_{jx} &=&\frac{{\rm i}}{2}\sum\limits_{m+n=j}(\gamma_m\bar\varphi_n -\bar\gamma_m\varphi_n). \end{eqnarray} $

可得

(3.12) $ \begin{eqnarray} R_{jx}&=&\frac{{\rm i}}{2}\beta\sum\limits_{m+n=j}\int_{-\infty}^y\varphi_m\bar{\varphi}_n {\rm d}y+\frac{1}{2}\sum\limits_{m+n+i=j}(f_{1m}\varphi_n\bar{\varphi}_i)_x. \end{eqnarray} $

则以下等式成立

(3.13) $ \begin{equation} \varphi_{jt}+{\gamma}_{jx}-{\rm i}\sum\limits_{m+n=j} R_m\varphi_n=0. \end{equation} $

将方程(3.10) 和(3.12) 代入到(3.13) 中, 可推出与多分量LME几何等价的方程为

(3.14) $ \begin{eqnarray} &&{\rm i}\varphi_{jt}+\beta\varphi_{jxy}+\sum\limits_{m+n=j}[(f_{1m} \varphi_n)_{xx}-{\rm i}(f_{2m}\varphi_n)_x+v_m\varphi_n]=0, {} \\ &&{\rm i}\bar{\varphi}_{jt}-\beta\bar{\varphi}_{jxy}-\sum\limits_{m+n=j}[(f_{1m} \bar{\varphi}_n)_{xx}+{\rm i}(f_{2m}\bar{\varphi}_n)_x+v_m\bar{\varphi}_n]=0, {} \\ &&v_{jx}=2\beta\sum\limits_{m+n=j}\int_{-\infty}^y\varphi_m\bar{\varphi}_n {\rm d}y+2\sum\limits_{m+n+q=j}(f_{1m}\varphi_{n}\bar{\varphi}_q)_x, \ \ 0\leq j \leq n'-1. \end{eqnarray} $

方程(3.14) 的Lax表示如下

(3.15) $ \begin{eqnarray} F=\frac{1}{2} \left( {\begin{array}{*{20}c} {\rm i}\lambda{\quad} & \bar{\varphi} \\ -\varphi {\quad} & -{\rm i}\lambda\end{array}}\right), \ \ \ G= \left( {\begin{array}{*{20}c} -G_{11}{\quad} & \bar{G}_{12} \\ -G_{12} {\quad} & G_{11}\end{array}}\right), \end{eqnarray} $

其中

$ \begin{eqnarray*} G_{11}&=&\sum\limits_{k=0}^{n'-1}\bigg[\sum\limits_{m+n=k}(\frac{{\rm i}}{4}\beta\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y \varphi_{m}\bar{\varphi}_{n}{\rm d}y{\rm d}x'-\frac{1}{2}f_{2m}\lambda_n){\nonumber} \\ &&+\sum\limits_{m+n+i=k}(\frac{{\rm i}}{4}f_{1m} \varphi_{n}\bar{\varphi}_{i}-\frac{{\rm i}}{2}f_{1m}\lambda_{n}\lambda_{i})\bigg]\Gamma^k, {\nonumber} \\ G_{12}&=&\sum\limits_{k=0}^{n'-1}\bigg[\frac{{\rm i}}{2}\beta\varphi_{ky}+\sum\limits_{m+n=k}\big(\frac{{\rm i}}{2}(f_{1m}\varphi_n)_x+\frac{1}{2}f_{2m}\varphi_{n}\big) +\frac{1}{2}\sum\limits_{m+n+i=k}f_{1m}\lambda_n\varphi_i \bigg]\Gamma^k. \end{eqnarray*} $

ML-I^[18]方程为

(3.16) $ \begin{eqnarray} {\bf S}_t&=&[{\bf S}\times(\alpha{\bf S}_x+\beta{\bf S}_y)+u{\bf S}]_x, {} \\ u_x&=&-\beta{\bf S}\cdot({\bf S}_x\times{\bf S}_y), \end{eqnarray} $

其中$ \alpha $和$ \beta $是常数.

多分量ML-I方程如下

(3.17) $ \begin{eqnarray} {\bf S}_{jt}&=&\sum\limits_{m+n=j}\big[{\bf S}_m\times(\alpha{\bf S}_{nx}+\beta{\bf S}_{ny})+u_m{\bf S}_n\big]_x, {} \\ u_{jx}&=&-\beta\sum\limits_{m+n+q=j}{\bf S}_m\cdot({\bf S}_{nx}\times{\bf S}_{qy}), \ \ 0 \leq j \leq n'-1. \end{eqnarray} $

方程(3.17) 的Lax对为

(3.18) $ \begin{equation} \Phi_x=U\Phi, \ \ \ \Phi_t=\lambda \Phi_y +V \Phi, \end{equation} $

其中$ U $和$ V $为

(3.19) $ \begin{eqnarray} U&=&\frac{{\rm i}}{2}\sum\limits_{k=0}^{n'-1}\sum\limits_{m+n=k}\lambda_m{\bf S}_n\cdot {\bf X}_k, {} \\ V&=&\sum\limits_{k=0}^{n'-1}\bigg[\sum\limits_{m+n+p=k}(\frac{{\rm i}}{2}\alpha\lambda_m \lambda_n{\bf S}_{p}\cdot {\bf X}_k+\frac{{\rm i}}{2}\beta\lambda_mu_n{\bf S}_{p}\cdot{\bf X}_k{} \\ &&+\frac{{\rm i}}{2}\beta\lambda_m{\bf S}_n\times{\bf S}_{py}\cdot{\bf X}_k) +\frac{{\rm i}}{2}\alpha\sum\limits_{m+n=k}{\bf S}_m\times{\bf S}_{nx}\cdot{\bf X}_k\bigg]. \end{eqnarray} $

$ \lambda $满足以下条件

(3.20) $ \begin{equation} \lambda_{kt}=\beta\sum\limits_{m+n=k}\lambda_m\lambda_{ny}\ \ (k=0, 1, \cdots n'-1), \end{equation} $

其中$ \lambda_t $和$ \lambda_y $是函数$ \lambda $关于变量$ t $和$ y $的导数, $ k, m, n $是$ \lambda $的下标.

通过在方程(3.17) 中取$ {\bf S}_j=\tilde{{\bf t}}_j $, 可得与多分量ML-I方程几何等价的方程

(3.21) $ \begin{eqnarray} &&{\rm i}\varphi_{jt}+\alpha\varphi_{jxx}+\beta\varphi_{jxy}+\sum\limits_{m+n=j}v_m\varphi_n=0, \ \ {\rm i}\bar{\varphi}_{jt}-\alpha\bar{\varphi}_{jxx}-\beta\bar{\varphi}_{jxy}-\sum\limits_{m+n=j}v_m\bar{\varphi}_n=0, {} \\ &&v_{jx}=2\sum\limits_{m+n=j}\bigg(\alpha\int_{-\infty}^x\varphi_m\bar{\varphi}_n {\rm d}x'+\beta\int_{-\infty}^y\varphi_m\bar{\varphi}_n {\rm d}y\bigg), \ \ 0\leq j \leq n'-1. \end{eqnarray} $

方程(3.21) 的Lax表示为

(3.22) $ \begin{eqnarray} F=\frac{1}{2} \left( {\begin{array}{*{20}c} {\rm i}\lambda {\quad} & \bar{\varphi} \\ -\varphi {\quad} & -{\rm i}\lambda\end{array}}\right), \ \ \ G= \left( {\begin{array}{*{20}c} -G_{11} {\quad} & \bar{G}_{12} \\ -G_{12} {\quad} & G_{11}\end{array}}\right), \end{eqnarray} $

其中

(3.23) $ \begin{eqnarray} G_{11}&=&\sum\limits_{k=0}^{n'-1}\bigg[\frac{{\rm i}}{4}\sum\limits_{m+n=k}\int_{-\infty}^x(\alpha\int_{-\infty}^x\varphi_m \bar{\varphi}_n {\rm d}x'+\beta\int_{-\infty}^y\varphi_m \bar{\varphi}_n {\rm d}y){\rm d}x''-\frac{{\rm i}}{2}\alpha\lambda_m\lambda_n\bigg]\Gamma^k, {} \\ G_{12}&=&\sum\limits_{k=0}^{n'-1}\bigg(\frac{{\rm i}}{2}\alpha\varphi_{kx}+\frac{{\rm i}}{2}\beta\varphi_{ky}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m+n=k}\lambda_m\varphi_n\bigg)\Gamma^k. \end{eqnarray} $

ML-II^[18]方程为

(3.24) $ \begin{eqnarray} &&{\bf S}_t-{\bf S}\times{\bf S}_{xy}-u{\bf S}_x+\frac{2}{\omega}{\bf S}\times{\bf W}=0, {} \\ &&u_x+{\bf S}\cdot({\bf S}_x\times{\bf S}_y)=0, {} \\ &&{\bf W}_x+2\omega{\bf S}\times{\bf W}=0, \end{eqnarray} $

其中$ \omega $是常数.

多分量ML-II方程为

(3.25) $ \begin{eqnarray} &&{\bf S}_{jt}-\sum\limits_{m+n=j}({\bf S}_m\times{\bf S}_{nxy}+u_m{\bf S}_{nx}-\frac{2}{\omega}{\bf S}_m\times{\bf W}_n)=0, {} \\ &&u_{jx}+\sum\limits_{m+n+i=j}{\bf S}_m\cdot({\bf S}_{nx}\times{\bf S}_{iy})=0, {} \\ &&{\bf W}_{jx}+2\omega\sum\limits_{m+n=j}{\bf S}_m\times{\bf W}_n=0, \ \ 0\leq j \leq n'-1. \end{eqnarray} $

方程(3.25) 的Lax对为

(3.26) $ \begin{equation} \Phi_x=U\Phi, \ \ \ \Phi_t=2\lambda\Phi_y+V \Phi, \end{equation} $

其中

(3.27) $ \begin{eqnarray} U&=&-{\rm i}\sum\limits_{k=0}^{n'-1}\sum\limits_{m+n=k}\lambda_m{\bf S}_n\cdot {\bf X}_k, {} \\ V&=&{\rm i}\sum\limits_{k=0}^{n'-1}\bigg[\sum\limits_{m+n+i=k}\lambda_m{\bf S}_n\times{\bf S}_{ix}\cdot{\bf X}_k+\sum\limits_{m+n=k}({\rm i}u_m{\bf S}_n\cdot{\bf X}_k{} \\ &&+(\lambda+\omega)_{m}^{-1}{\bf W}_n\cdot {\bf X}_k)+\frac{{\rm i}}{\omega}{\bf W}_k\cdot{\bf X}_k\bigg]. \end{eqnarray} $

$ \lambda $满足

(3.28) $ \begin{equation} \lambda_{kt}=2\sum\limits_{m+n=k}\lambda_m\lambda_{ny}\ \ (k=0, 1, \cdots n'-1), \end{equation} $

其中$ \lambda_t $和$ \lambda_y $是函数$ \lambda $关于变量$ t $和$ y $的导数, $ k, m, n $是$ \lambda $的下标.

与第2节中的证明相似, 可得多分量ML-II方程的几何等价方程

$ \begin{eqnarray*} \label{4NLSE4} &&q_{jt}+{\rm i}q_{jxy}+{\rm i}\sum\limits_{m+n=j}v_m q_n-2p_j=0, \ \ p_{jx}-2{\rm i}\omega p_j-2\sum\limits_{m+n=j}\eta_m q_n=0, {\nonumber} \\ &&r_{jt}-{\rm i}r_{jxy}-{\rm i}\sum\limits_{m+n=j}v_m r_n-2k_j=0, \ \ k_{jx}+2{\rm i}\omega k_j-2\sum\limits_{m+n=j}\eta_m r_n=0, {\nonumber} \\ &&v_{jx}-2\sum\limits_{m+n=j}(r_m q_n)_y=0, \ \ \eta_{jx}+\sum\limits_{m+n=j}(r_m p_n+q_m k_n)=0, \ \ 0\leq j \leq n'-1. \end{eqnarray*} $

上式的Lax表示为

(3.29) $ \begin{eqnarray} F=\left( {\begin{array}{*{20}c} -{\rm i}\lambda{\quad} & q \\ -r{\quad} & {\rm i}\lambda\end{array}}\right), \ \ \ G= \left( {\begin{array}{*{20}c} G_{11}{\quad} & G_{12} \\ -\bar{G}_{12}{\quad} & -G_{11}\end{array}}\right), \end{eqnarray} $

其中

(3.30) $ \begin{eqnarray} G_{11}=\sum\limits_{k=0}^{n'-1}(-\frac{{\rm i}}{2}v_k+\frac{{\rm i}}{\omega}\eta_k)\Gamma^k, \ \ \ \ G_{12}=\sum\limits_{k=0}^{n'-1}({\rm i}q_{ky}-\frac{{\rm i}}{\omega}p_k)\Gamma^k. \end{eqnarray} $

本文通过在交换子代数$ Z_n={\Bbb C}(\Gamma)/{\Gamma^n} $, $ \Gamma=(\delta_{i, j+1})_{ij}\in gl(n, {\Bbb C}) $中取值, 构造了两类多分量推广的HF模型: (1+1) 维MS方程和(2+1) 维MLS方程. 根据欧氏空间中曲线的运动规律, 利用几何等价性, 推导了多分量MS方程和MLS方程的几何等价方程. 此外, 还得到了多分量可积方程的Lax表示. 最近, 马^[19-20]利用Hirota双线性方法, 讨论了很多可积系统的$ n $孤子解, 根据二元Darboux变换和Hirota双线性方法来确定多分量HF模型的孤子解是非常有趣的研究课题, 我们将在后续工作中进行研究.