非光滑边界条件下具时滞的Rotenberg方程主算子的谱分析
Spectral Analysis of the Main Operator of Rotenberg Equation with Time Delay Under Nonsmooth Boundary Conditions
Received: 2021-08-12
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After considering the time delay of cell division, the Rotenberg transport equation with time-delay is introduced in this paper. In
Keywords:
本文引用格式
童雅阁, 吴开谡.
Tong Yage, Wu Kaisu.
1 引言
1983年Rotenberg[1]引入了如下迁移方程描述种群细胞增生
其中函数
在生物学上, 边界算子
其中正核
这里常数
Rotenberg[1]模型提出后, Jeribi A, Megdiche H和Moalla N在文献[3]中研究了Rotenbe-rg模型的迁移方程, 证明方程的主算子(即迁移算子)生成
事实上, 在边界条件(1.2)中, 变量
此外, 根据生物学的实际意义, 在细胞分裂前有一个不可观察的时期, 称为时间滞差. 当微生物群体被接种到新鲜培养基中, 开始一段时间内, 通常不会立即进行细胞分裂、增殖, 生长速率近于零, 细胞数目几乎保持不变, 甚至稍有减少, 这段时间被称为延滞生长期, 延滞生长期是细胞分裂启动之前的恢复或调整期, 所以, 有必要进一步考虑时滞效应对种群细胞增生的影响.
这里的
由于
Rotenberg方程是一类Boltzmann方程, 这类Boltzmann积微分方程解的构造性理论, 核心就是主算子的谱分析[18], 所以, 本文的研究对Rotenberg方程解的构造特别是解的渐近行为等具有积极的意义.
2 准备知识
令
定义索伯列夫空间
定义边界算子
且
引理2.1 令
定义流算子(即Streaming算子)
假设:
令
则
取
根据(2.2)式和(2.3)式引入如下算子
定理2.1
证 本文在
即可得
即可得
即可得
即可得
在
定理2.2 记
证
即可得
当
证毕.
由定理2.2可得算子
即
定理2.3 在
证 由(2.6)式知: 对一切的
即
所以
定理2.4 在
证
即可得
即可证得算子
推论2.1
证 由定理2.3和定理2.4立即可得.证毕.
3 生成半群
定理3.1 在非光滑无界边界条件下, 具时滞的
证 利用Hille-Yosida定理证明算子
(1) 显然算子
即
即算子
(2) 由定理2.3, 对一切的
所以由
由Hille-Yosida定理知, 流算子
4 算子$ A_H $ 的谱
引理4.1
证 由定理3.1, 当
所以,
从而
存在, 且为有界正算子.又因为
所以当
令
定理4.1
证 由文献[3]知: 迁移算子
所以
令
且
进一步我们可以获得和文献[3]类似的结论如下.
定理4.2
证 由于
现分两步证明.第一步证
先证对所有的
由算子
且
所以算子
且
设
由Riemann-Lebesgue定理知
另外, 对每个整数
因为
同理可证: 对
由推论2.1和(4.3)式知
第二步证
以上由第一步和第二步的证明知:
证毕.
定理4.3
(1) 区域
(2)
证 (1)由定理4.2和Goberg-Krein定理知;区域
(2) 当
又由
由定理4.2可知
则对
令
由谱映像原理知
又因为
所以
则易知
定理4.4
(1) 若
此时
且
(2) 若
此时
特别的, 若
5 结论
本文在前人研究工作的基础上, 进一步考虑细胞分裂的时滞效应, 建立了具有时滞效应的Rotenberg迁移方程. 在
参考文献
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种群细胞增生中迁移算子的谱研究
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