数学物理学报, 2022, 42(5): 1320-1331 doi:

论文

非光滑边界条件下具时滞的Rotenberg方程主算子的谱分析

童雅阁,, 吴开谡,

北京化工大学数理学院 北京 100029

Spectral Analysis of the Main Operator of Rotenberg Equation with Time Delay Under Nonsmooth Boundary Conditions

Tong Yage,, Wu Kaisu,

School of Mathematics and Physics, Beijing University of Chemical Technology, Beijing 100029

通讯作者: 吴开谡, E-mail: wuks@mail.buct.edu.cn

收稿日期: 2021-08-12  

基金资助: 北京化工大学精品课程项目.  00810220

Received: 2021-08-12  

Fund supported: the Excellent Course Project of Beijing University of Chemical Technology.  00810220

作者简介 About authors

童雅阁,E-mail:865066107@qq.com , E-mail:865066107@qq.com

Abstract

After considering the time delay of cell division, the Rotenberg transport equation with time-delay is introduced in this paper. In $L_1$ space, under the condition of non-smooth boundary (the boundary operator is unbounded), it is proved that the transport operator can generate a $C_0$-semigroup. Furthermore, we study the spectrum of the transport operator and prove that the region $\Gamma=\sigma(A_H)\cap \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda>\gamma\}$ ($\gamma>{\rm max}\{\lambda_0, -\sigma_0\}$) is only consists of a finite number of discrete eigenvalues with finite algebraic multiplicity.

Keywords: Rotenberg equation ; Transport operators ; Nonsmooth boundary conditions ; Spectrum analysis ; Time delay

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本文引用格式

童雅阁, 吴开谡. 非光滑边界条件下具时滞的Rotenberg方程主算子的谱分析. 数学物理学报[J], 2022, 42(5): 1320-1331 doi:

Tong Yage, Wu Kaisu. Spectral Analysis of the Main Operator of Rotenberg Equation with Time Delay Under Nonsmooth Boundary Conditions. Acta Mathematica Scientia[J], 2022, 42(5): 1320-1331 doi:

1 引言

1983年Rotenberg[1]引入了如下迁移方程描述种群细胞增生

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} {\frac{\partial \psi}{\partial t}(\mu, v, t)}= {-v\frac{\partial\psi}{\partial\mu}(\mu, v, t)}-\sigma(\mu, v) \psi(\mu, v, t) + {\int_{a}^{b} r(\mu, v, v') \psi(\mu, v', t){\rm d}v'}. \\ \psi(\mu, v, 0)=\psi_0(\mu, v)\quad (H\psi)(1, v)=\psi(0, v). \end{array}\right. \end{equation} $

其中函数$ \psi(\mu, v, t) $表示细胞种群密度;变量$ \mu $表示细胞的成熟度且$ \mu\in(0, 1) $, 当$ \mu=0 $时表示细胞的出生, 当$ \mu=1 $时表示细胞的死亡; 变量$ {v=\frac{{\rm d} \mu}{{\rm d} t}} $表示细胞成熟速度且$ v\in (a, b) $, ($ 0\leq a<v<b<+\infty $); 函数$ r(\mu, v, t) $表示种群细胞从$ v $$ v' $的转变率; $ t\geq0 $表示时间, 当$ t=0 $时, $ \psi(\mu, v, 0)=\psi_0(\mu, v) $, 表示细胞种群密度分布; $ \sigma(\mu, v) $为总转变截面且

在生物学上, 边界算子$ H $表示转移规则, 由于细胞在分裂和成长过程中会有不同的情况发生, 故边界算子$ H $具有不同的边界条件. 本文我们对以下的非光滑边界条件进行研究

$ \begin{equation} (H\psi)(1, v)=\beta\psi(1, v)+\frac{\widetilde{p}}{v}\int_{a}^{b}k(v, v')\psi(1, v')v' {\rm d} v'. \end{equation} $

其中正核$ k(v, v') $为有界可测函数, 表示母体细胞成熟速度$ v $和它的子细胞$ v' $间的相互关系[2], 并满足标准化条件

这里常数$ \beta, \widetilde{p}>0 $表示能够分裂的每一有丝分裂子细胞的平均数, $ \widetilde{p}=1 $时保证了细胞通量的连续性.

Rotenberg[1]模型提出后, Jeribi A, Megdiche H和Moalla N在文献[3]中研究了Rotenbe-rg模型的迁移方程, 证明方程的主算子(即迁移算子)生成$ C_0 $ -半群及半群的不可约性, $ \sigma(A_H)\cap \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda>{\rm Re}\overline{\lambda} \} $由至多有限重离散本征值组成等结果. M.Boulanouar在文献[4]中证明Rotenberg模型是全局稳定的, 证明了生成半群的正则性和不可约性. 文献[5]中则证明了, 如果边界算子是正则的, 其生成的迁移半群是不可约的.关于细胞增生的Rotenberg迁移方程还有大量的研究工作(见文献[617]), 大部分的工作都是研究其迁移算子产生$ C_0 $ -半群的不可约性及其解的渐近性等. 在以上研究中, 边界算子都加了有界这一条件.

事实上, 在边界条件(1.2)中, 变量$ v\in(a, b) $, 当$ a\rightarrow0 $时, 边界算子是无界的, 去除前人研究中对边界算子加的有界这一条件, 正是本文研究的一个主要目的.

此外, 根据生物学的实际意义, 在细胞分裂前有一个不可观察的时期, 称为时间滞差. 当微生物群体被接种到新鲜培养基中, 开始一段时间内, 通常不会立即进行细胞分裂、增殖, 生长速率近于零, 细胞数目几乎保持不变, 甚至稍有减少, 这段时间被称为延滞生长期, 延滞生长期是细胞分裂启动之前的恢复或调整期, 所以, 有必要进一步考虑时滞效应对种群细胞增生的影响.

Piazzera和Tonetto[6]以及Meng Bai和Shihe Xu[7]研究具有年龄结构时滞种群方程, 受他们研究的启发, 我们引入了如下的带有时滞的Rotenberg迁移方程

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} {\frac{\partial \psi}{\partial t}(\mu, v, t)}= {-v\frac{\partial\psi}{\partial\mu}(\mu, v, t)}-\sigma(\mu, v) \psi(\mu, v, t) + {\int_{a}^{b}\int_{-\tau}^{0} r(\alpha, \mu, v, v') \psi(\mu+\alpha, v', t){\rm d}\alpha {\rm d} v'}. \\ \psi(\mu, v, 0)=\psi_0(\mu, v)\ (H\psi)(1, v)=\psi(0, v). \end{array} \right. \end{equation} $

这里的$ r(\alpha, \mu, v, v') $表示在考虑延滞的情况下种群细胞从$ v $$ v' $的转变率, $ \tau $是一个常数, 表示最大的延滞时间, 其他符号的意义如前所述.

由于$ L_1 $空间具有重要的生物学意义[8], 本文在$ L_1 $空间中研究带有时滞的种群细胞增生Rotenberg迁移方程, 需要指出的是, 我们考虑的非光滑边界条件定义的边界算子$ H $是无界线性算子.我们证明了方程(1.3)的迁移算子生成$ C_0 $ -半群并进一步详细的讨论了迁移算子的谱, 得到该迁移算子的谱在区域$ \Gamma=\sigma(A_H)\cap \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda>\gamma\} $ ($ \gamma>{\rm max}\{\lambda_0, -\sigma_0\} $) 中仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成等结果.

Rotenberg方程是一类Boltzmann方程, 这类Boltzmann积微分方程解的构造性理论, 核心就是主算子的谱分析[18], 所以, 本文的研究对Rotenberg方程解的构造特别是解的渐近行为等具有积极的意义.

2 准备知识

$ X_1=L_1[(0, 1)\times(a, b);{\rm d}\mu {\rm d} v] $, 且定义$ X_1^0 $$ X_1^1 $为边界空间

定义索伯列夫空间$ W_1 $

定义边界算子$ H $

$ \psi^0=\psi(0, v) $, $ \psi^1=\psi(1, v). $

引理2.1  令$ \psi\in W_1 $, 若$ \psi^0\in X_1^0 $, 则$ \psi^1 \in X_1^1 $; 反之一样.

定义流算子(即Streaming算子) $ T_H $和碰撞转移算子$ K $及迁移算子$ A_H $如下

假设: $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v) $, 而$ K_0(L_1[a, b]) $$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合.

$ \sigma_0={\rm essinf} \{\sigma(\mu, v) | (\mu, v)\in (0, 1)\times(a, b)\} $, 对$ \varphi \in X_1 $, $ \lambda \in C $, $ \psi \in D(T_H) $考虑方程

$ \begin{equation} (\lambda I -T_H)\psi=\varphi. \end{equation} $

$ \forall\; {\rm Re}\lambda>-\sigma_0 $, 方程(2.1)可以形式的解为

$ \begin{equation} \psi (\mu, v)=\psi (0, v)e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{\mu}(\lambda+\sigma(\mu', v)){\rm d}\mu'}+\frac{1}{v}\int_{0}^{\mu}e^{-\frac{1}{v}\int_{\mu'}^{\mu}(\lambda+\sigma(\tau, v)){\rm d}\tau }\varphi(\mu', v){\rm d}\mu'. \end{equation} $

$ \mu=1 $, 则(2.2)式为

$ \begin{equation} \psi (1, v)=\psi (0, v)e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{1}(\lambda+\sigma(\mu', v)){\rm d}\mu'}+\frac{1}{v}\int_{0}^{1}e^{-\frac{1}{v}\int_{\mu'}^{1}(\lambda+\sigma(\tau, v)){\rm d}\tau }\varphi(\mu', v){\rm d}\mu'. \end{equation} $

根据(2.2)式和(2.3)式引入如下算子

定理2.1  $ \forall\; {\rm Re}\lambda>-\sigma_0 $, 算子$ P_\lambda $, $ Q_\lambda $, $ B_\lambda $$ C_\lambda $$ L_1 $空间上的有界线性算子, 且

  本文在$ L_1 $空间中进行研究, 对所有算子进行$ L_1 $范数估计

即可得

即可得

即可得

即可得$ \left\|C_\lambda\right\| \le (b-a)({\rm Re}\lambda+\sigma_0)^{-1}. $证毕.

$ X^{+} $ ($ X $的正锥)上$ P_\lambda $, $ Q_\lambda $, $ B_\lambda $$ C_\lambda $都是正算子.从而(2.3)和(2.2)式分别为

$ \begin{equation} \psi^1=P_\lambda H\psi^1+B_\lambda\varphi. \end{equation} $

$ \begin{equation} \psi=Q_\lambda H\psi^1+C_\lambda\varphi. \end{equation} $

定理2.2  记$ \lambda_0=b{\rm ln}(\beta b+\widetilde{p}\widetilde{k}b(b-a))-\sigma_0 $, 则当$ {\rm Re}\lambda>{\rm max} \{\lambda_0, -\sigma_0\} $时, 算子$ P_\lambda H $有界, 且$ \left\| P_\lambda H \right\|<1. $

即可得

$ {\rm Re}\lambda>{\rm max} \{\lambda_0, -\sigma_0\} $时, 可得

$ \begin{equation} \left\| P_\lambda H \right\|<1. \end{equation} $

证毕.

由定理2.2可得算子$ (I-P_\lambda H)^{-1} $存在, 所以(2.4)和(2.5)式分别为

$ \begin{equation} \psi^1=(I-P_\lambda H)^{-1} B_\lambda\varphi. \end{equation} $

$ \begin{equation} \psi=Q_\lambda H(I-P_\lambda H)^{-1}B_\lambda\varphi +C_\lambda\varphi. \end{equation} $

$ \begin{equation} (\lambda I-T_H)^{-1}=Q_\lambda H(I-P_\lambda H)^{-1}B_\lambda+C_\lambda=\sum\limits_{n\ge0} Q_\lambda H(P_\lambda H)^n B_\lambda +C_\lambda. \end{equation} $

定理2.3  在$ X^{+} $ ($ X $的正锥)上, 算子$ (I-P_\lambda H)^{-1}B_\lambda $, $ P_\lambda $, $ Q_\lambda $$ C_\lambda $关于$ \lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $都是一致有界正算子.

   由(2.6)式知: 对一切的$ \lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $, 有$ \left\| P_\lambda H \right\|<1 $, 则$ \exists \;c>0 $, 使得

所以$ (I-P_\lambda H)^{-1} $一致有界; 又由$ B_\lambda $的表达式和$ \lim\limits_{{\rm Re} \lambda\to +\infty}(B_\lambda u)(1, v)=0 $知: $ B_\lambda $关于$ \lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $一致有界; 所以$ (I-P_\lambda H)^{-1}B_\lambda $为一致有界正算子; 同理可证$ Q_\lambda $$ C_\lambda $也是一致有界正算子. 证毕.

定理2.4  在$ X^{+} $ ($ X $的正锥)上, 算子$ Q_\lambda H $关于$ \lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $是一致有界正算子.

即可得

即可证得算子$ Q_\lambda H $是一致有界正算子. 证毕.

推论2.1  $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v), $$ K_0(L_1[a, b]) $$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合, 对一切$ \lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $, $ Q_\lambda H(I-P_\lambda H)^{-1}B_\lambda K $为紧算子.

   由定理2.3和定理2.4立即可得.证毕.

3 生成半群

定理3.1  在非光滑无界边界条件下, 具时滞的$ {\rm Rotenberg} $迁移方程的主算子在$ L_1 $空间中生成$ C_0 $ -半群.

   利用Hille-Yosida定理证明算子$ T_H $可以生成$ C_0 $ -半群.首先证明算子$ T_H $是稠定闭算子, 然后再证明其满足Hille-Yosida定理中的第二个条件.

(1) 显然算子$ T_H $是闭算子, 下面证明$ T_H $是稠定算子. 对$ \forall\; \psi\in X_1 $, 存在$ \ D(T_H) $中的函数列$ \psi_n $, 满足$ \psi_n^0=H\psi_n^1 $, 则令

$ J_\varepsilon \psi_n(\mu, v) $$ \psi_n(\mu, v) $的磨光, 记$ \psi_{nn}=J_\varepsilon \psi_n(\mu, v) $, 为一列光滑函数.令$ {\varepsilon=\frac{1}{n}} $, 利用磨光性质得

即算子$ T_H $是稠定的, 以上证明算子$ T_H $是稠定闭线性算子.

(2) 由定理2.3, 对一切的$ \lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $, 有$ \left\| P_\lambda H \right\| <1, $, 则$ \exists\; c>0 $, 使得$ \left\| P_\lambda H \right\|\le c<1 $, 即

所以由

由Hille-Yosida定理知, 流算子$ T_H $可以生成$ C_0 $ -半群.由扰动定理可知$ A_H=T_H+K $可以生成$ C_0 $ -半群. 证毕.

4 算子$ A_H $的谱

引理4.1  $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v) $, 而 $ K_0(L_1[a, b]) $$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合, 则当$ {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega(\omega>0) $时, $ (\lambda I-A_H)^{-1} $为一致有界正算子.

   由定理3.1, 当$ {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\} $, $ T_H $生成$ C_0 $ -半群, 再由文献[3]可知

$ \begin{equation} \lim\limits_{{\rm Re}\lambda\to +\infty}\left\| (\lambda I-T_H )^{-1}\right\|=0. \end{equation} $

所以, $ \exists\;\omega>0 $, 使得当$ {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega $时, 有$ \left\| (\lambda I-T_H )^{-1}K\right\|<1 $, 即

从而

存在, 且为有界正算子.又因为

所以当$ {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega $时, 算子$ (\lambda I-A_H)^{-1} $也为$ X_1 $上的一致有界正算子.

$ \Gamma=\sigma(A_H)\cap \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda>\gamma\} $, 其中$ \gamma>{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}. $

定理4.1  $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v) $, 而 $ K_0(L_1[a, b]) $$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合, 当$ \beta={\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega $时, $ \sigma_p(A_H)\ne\emptyset $, 且存在实数$ \beta_0\in\Gamma $为算子$ A_H $的本征值.

   由文献[3]知: 迁移算子$ A_H $的谱$ \sigma(A_H) $由至多有限重离散本征值组成, 所以由引理4.1知: $ r(\beta) $$ (\beta I-A_H)^{-1} $的本征值, 且相应的有非负本征函数$ \psi_0 $, 即

所以

$ \beta_0=\beta-\frac{1}{r(\beta)} $, 则$ \beta_0 $$ A_H $的本征值.若取$ \beta $$ \gamma $满足

$ {\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\} <\beta_0 $, $ \gamma\in({\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\} , \beta_0) $, 则$ \beta_0\in\Gamma $. 证毕.

进一步我们可以获得和文献[3]类似的结论如下.

定理4.2   $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v) $, 而 $ K_0(L_1[a, b]) $$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合, 当$ {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\} $时, 有

$ \begin{equation} \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K( \lambda I-T_H )^{-1}K\right\|=0. \end{equation} $

  由于

现分两步证明.第一步证$ \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K Q _\lambda H( I-P_\lambda H )^{-1} B_\lambda K \right\|=0. $

先证对所有的$ \varphi\in X_1^0 $, 有$ \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K Q _\lambda \varphi \right\|=0. $

由算子$ K $的假设知: 算子$ K $可由一列算子$ (K_n)_n $按一致算子拓扑逼近, 且算子$ (K_n)_n $的核为

$ \gamma_j\in L _\infty [[0, \tau]:{\rm d}\alpha], \eta_j\in L _\infty[[0, 1]:{\rm d}\mu], \theta_j\in L_1[[a, b]:{\rm d} v], $$ \beta_j\in L_\infty[[a, b]:{\rm d} v]. $

所以算子$ K $的核为

$ \gamma\in L _\infty [[0, \tau]:d\alpha], \eta\in L _\infty[[0, 1]:{\rm d}\mu], \theta\in L_1[[a, b]:{\rm d} v], \beta\in L_\infty[[a, b]:{\rm d} v]. $

$ \lambda_n=h+it_n $, 且$ \lambda_n \in\{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda>{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $, 使得当$ n\to \infty $时, $ \vert t_n\vert\to \infty $, 令$ p=\mu+\alpha $, 则

由Riemann-Lebesgue定理知

另外, 对每个整数$ n $, 有

因为$ \theta\in L_1[[a, b]:d v] $, 所以对一切$ \varphi\in X_1^0 $, 有

$ \begin{equation} \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K Q _\lambda \varphi \right\|=0. \end{equation} $

同理可证: 对$ \forall \varphi\in X_1 $, 有

$ \begin{equation} \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K C _\lambda \varphi \right\|=0. \end{equation} $

由推论2.1和(4.3)式知

第二步证$ \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K C_\lambda K \right\|=0. $根据(4.4)式和算子$ K $的假设即可证得.

以上由第一步和第二步的证明知: $ {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\} $时, 有

证毕.

定理4.3  $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v) $, 而 $ K_0(L_1[a, b]) $$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合, 以下结论成立

(1) 区域$ \Gamma $仅由有限个具有限代数重数的离散本征值构成;

(2) $ \sigma(A_H)\cap\lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda> {\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega\} $为有限.

   (1)由定理4.2和Goberg-Krein定理知;区域$ \Gamma $至多由有限个具有限代数重数的离散本征值组成; 再由定理4.1知此结论成立;

(2) 当$ {\rm Re}\lambda> {\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\} $时, 由(4.1)式知

又由$ K $是紧的, 所以

$ \begin{equation} \lim\limits_{{\rm Re}\lambda\to +\infty}\left\| (\lambda I-T_H )^{-1} K \right\|=0. \end{equation} $

由定理4.2可知

$ \begin{equation} \lim\limits_{|{\rm Im} \lambda|\to +\infty}\left\| [(\lambda I-T_H )^{-1} K]^2 \right\|=0. \end{equation} $

则对$ \forall\; c_1 (0<c_1<1) $, $ \exists\; c_2(\omega)>0 $, 当$ |{\rm Im} \lambda|\ge c_2(\omega) $, 有

由谱映像原理知

又因为

所以$ R(\omega $)不含本征值, 根据(4.5)式知: $ \sigma(A_H)\cap\lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda> {\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega\} $有限. 令

则易知$ \beta_1<\beta_2 $.现可取$ \beta^* $, 使得$ \beta_1<\beta^*<\beta_2 $. 证毕.

定理4.4  $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v) $, 而 $ K_0(L_1[a, b]) $$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合, 以下结论成立

(1) 若$ \psi_0\in D(A_H) $, 则迁移方程$ {\rm (1.3)} $的解为

此时

$ P_j $$ D_j $分别表示投影算子和由$ \lambda_j $构成的幂零算子.

(2) 若$ \psi_0\in D(A_H^2) $$ \beta^*\ne 0 $, 则

此时

特别的, 若$ \psi_0\in D(A_H^2) $$ \beta_1<0 $, 则

   本定理和文献[3]的结论类似, 可以由定理4.2、定理4.3和文献([10, 定理2.3])证得本定理.

5 结论

本文在前人研究工作的基础上, 进一步考虑细胞分裂的时滞效应, 建立了具有时滞效应的Rotenberg迁移方程. 在$ L_1 $空间中, 去除了边界算子有界的假设, 证明迁移算子生成$ C_0 $-半群, 并进一步研究迁移算子的谱, 得到该迁移算子的谱在区域$ \Gamma $中仅由有限个具有有限代数重数的离散本征值组成. 本文在更一般的条件下, 得到了具时滞的Rotenberg方程主算子的谱分析, 这一结果对于Rotenberg方程解的构造理论具有一定意义.

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