1983年Rotenberg^[1]引入了如下迁移方程描述种群细胞增生

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} {\frac{\partial \psi}{\partial t}(\mu, v, t)}= {-v\frac{\partial\psi}{\partial\mu}(\mu, v, t)}-\sigma(\mu, v) \psi(\mu, v, t) + {\int_{a}^{b} r(\mu, v, v') \psi(\mu, v', t){\rm d}v'}. \\ \psi(\mu, v, 0)=\psi_0(\mu, v)\quad (H\psi)(1, v)=\psi(0, v). \end{array}\right. \end{equation} $

其中函数$ \psi(\mu, v, t) $表示细胞种群密度；变量$ \mu $表示细胞的成熟度且$ \mu\in(0, 1) $, 当$ \mu=0 $时表示细胞的出生, 当$ \mu=1 $时表示细胞的死亡; 变量$ {v=\frac{{\rm d} \mu}{{\rm d} t}} $表示细胞成熟速度且$ v\in (a, b) $, ($ 0\leq a<v<b<+\infty $); 函数$ r(\mu, v, t) $表示种群细胞从$ v $到$ v' $的转变率; $ t\geq0 $表示时间, 当$ t=0 $时, $ \psi(\mu, v, 0)=\psi_0(\mu, v) $, 表示细胞种群密度分布; $ \sigma(\mu, v) $为总转变截面且

$ \sigma(\mu, v)=\int_{a}^{b}r(\mu, v, v'){\rm d} v' \in L_\infty[(0, 1)\times(a, b)]; $

在生物学上, 边界算子$ H $表示转移规则, 由于细胞在分裂和成长过程中会有不同的情况发生, 故边界算子$ H $具有不同的边界条件. 本文我们对以下的非光滑边界条件进行研究

(1.2) $ \begin{equation} (H\psi)(1, v)=\beta\psi(1, v)+\frac{\widetilde{p}}{v}\int_{a}^{b}k(v, v')\psi(1, v')v' {\rm d} v'. \end{equation} $

其中正核$ k(v, v') $为有界可测函数, 表示母体细胞成熟速度$ v $和它的子细胞$ v' $间的相互关系^[2], 并满足标准化条件

$ \int_{a}^{b}k(v, v'){\rm d}v=1, $

这里常数$ \beta, \widetilde{p}>0 $表示能够分裂的每一有丝分裂子细胞的平均数, $ \widetilde{p}=1 $时保证了细胞通量的连续性.

Rotenberg^[1]模型提出后, Jeribi A, Megdiche H和Moalla N在文献[3]中研究了Rotenbe-rg模型的迁移方程, 证明方程的主算子(即迁移算子)生成$ C_0 $ -半群及半群的不可约性, $ \sigma(A_H)\cap \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda>{\rm Re}\overline{\lambda} \} $由至多有限重离散本征值组成等结果. M.Boulanouar在文献[4]中证明Rotenberg模型是全局稳定的, 证明了生成半群的正则性和不可约性. 文献[5]中则证明了, 如果边界算子是正则的, 其生成的迁移半群是不可约的.关于细胞增生的Rotenberg迁移方程还有大量的研究工作(见文献[6–17]), 大部分的工作都是研究其迁移算子产生$ C_0 $ -半群的不可约性及其解的渐近性等. 在以上研究中, 边界算子都加了有界这一条件.

事实上, 在边界条件(1.2)中, 变量$ v\in(a, b) $, 当$ a\rightarrow0 $时, 边界算子是无界的, 去除前人研究中对边界算子加的有界这一条件, 正是本文研究的一个主要目的.

此外, 根据生物学的实际意义, 在细胞分裂前有一个不可观察的时期, 称为时间滞差. 当微生物群体被接种到新鲜培养基中, 开始一段时间内, 通常不会立即进行细胞分裂、增殖, 生长速率近于零, 细胞数目几乎保持不变, 甚至稍有减少, 这段时间被称为延滞生长期, 延滞生长期是细胞分裂启动之前的恢复或调整期, 所以, 有必要进一步考虑时滞效应对种群细胞增生的影响.

Piazzera和Tonetto^[6]以及Meng Bai和Shihe Xu^[7]研究具有年龄结构时滞种群方程, 受他们研究的启发, 我们引入了如下的带有时滞的Rotenberg迁移方程

(1.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} {\frac{\partial \psi}{\partial t}(\mu, v, t)}= {-v\frac{\partial\psi}{\partial\mu}(\mu, v, t)}-\sigma(\mu, v) \psi(\mu, v, t) + {\int_{a}^{b}\int_{-\tau}^{0} r(\alpha, \mu, v, v') \psi(\mu+\alpha, v', t){\rm d}\alpha {\rm d} v'}. \\ \psi(\mu, v, 0)=\psi_0(\mu, v)\ (H\psi)(1, v)=\psi(0, v). \end{array} \right. \end{equation} $

这里的$ r(\alpha, \mu, v, v') $表示在考虑延滞的情况下种群细胞从$ v $到$ v' $的转变率, $ \tau $是一个常数, 表示最大的延滞时间, 其他符号的意义如前所述.

由于$ L_1 $空间具有重要的生物学意义^[8], 本文在$ L_1 $空间中研究带有时滞的种群细胞增生Rotenberg迁移方程, 需要指出的是, 我们考虑的非光滑边界条件定义的边界算子$ H $是无界线性算子.我们证明了方程(1.3)的迁移算子生成$ C_0 $ -半群并进一步详细的讨论了迁移算子的谱, 得到该迁移算子的谱在区域$ \Gamma=\sigma(A_H)\cap \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda>\gamma\} $ ($ \gamma>{\rm max}\{\lambda_0, -\sigma_0\} $) 中仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成等结果.

Rotenberg方程是一类Boltzmann方程, 这类Boltzmann积微分方程解的构造性理论, 核心就是主算子的谱分析^[18], 所以, 本文的研究对Rotenberg方程解的构造特别是解的渐近行为等具有积极的意义.

令$ X_1=L_1[(0, 1)\times(a, b);{\rm d}\mu {\rm d} v] $, 且定义$ X_1^0 $和$ X_1^1 $为边界空间

$ X_1^0=L_1[ \{0\}\times(a, b);v {\rm d} v], $

$ X_1^1=L_1[\{1\}\times(a, b);v {\rm d} v]. $

定义索伯列夫空间$ W_1 $为

$ W_1=\{\psi\in X_1 | v\frac{\partial\psi}{\partial\mu}\in X_1\}. $

定义边界算子$ H $为

$ \left\{ \begin{array}{ll} H: X_1^1 \to X_1^0, \\\psi^1 \to H \psi^1. \end{array}\right. $

且$ \psi^0=\psi(0, v) $, $ \psi^1=\psi(1, v). $

引理2.1  令$ \psi\in W_1 $, 若$ \psi^0\in X_1^0 $, 则$ \psi^1 \in X_1^1 $; 反之一样.

定义流算子(即Streaming算子) $ T_H $和碰撞转移算子$ K $及迁移算子$ A_H $如下

$ \left\{ \begin{array}{ll} T_H: D(T_H)\subset X_1\to X_1, \\ \psi \to T_H\psi(\mu, v)= {-v\frac{\partial\psi}{\partial\mu}(\mu, v)}-\sigma(\mu, v) \psi(\mu, v), \\ D(T_H)=\{\psi\in W_1 | \psi^0=H\psi^1\}. \end{array}\right. $

$ \left\{ \begin{array}{ll} K: X_1\to X_1, \\\psi \to K\psi(\mu, v)= {\int_{a}^{b}\int_{-\tau}^{0} r(\alpha, \mu, v, v') \psi(\mu+\alpha, v', t){\rm d} \alpha {\rm d} v'}.\\ \end{array}\right. $

$ A_H=T_H+K , D(A_H)=D(T_H). $

假设: $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v) $, 而$ K_0(L_1[a, b]) $为$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合.

令$ \sigma_0={\rm essinf} \{\sigma(\mu, v) | (\mu, v)\in (0, 1)\times(a, b)\} $, 对$ \varphi \in X_1 $, $ \lambda \in C $, $ \psi \in D(T_H) $考虑方程

(2.1) $ \begin{equation} (\lambda I -T_H)\psi=\varphi. \end{equation} $

则$ \forall\; {\rm Re}\lambda>-\sigma_0 $, 方程(2.1)可以形式的解为

(2.2) $ \begin{equation} \psi (\mu, v)=\psi (0, v)e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{\mu}(\lambda+\sigma(\mu', v)){\rm d}\mu'}+\frac{1}{v}\int_{0}^{\mu}e^{-\frac{1}{v}\int_{\mu'}^{\mu}(\lambda+\sigma(\tau, v)){\rm d}\tau }\varphi(\mu', v){\rm d}\mu'. \end{equation} $

取$ \mu=1 $, 则(2.2)式为

(2.3) $ \begin{equation} \psi (1, v)=\psi (0, v)e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{1}(\lambda+\sigma(\mu', v)){\rm d}\mu'}+\frac{1}{v}\int_{0}^{1}e^{-\frac{1}{v}\int_{\mu'}^{1}(\lambda+\sigma(\tau, v)){\rm d}\tau }\varphi(\mu', v){\rm d}\mu'. \end{equation} $

根据(2.2)式和(2.3)式引入如下算子

$ \left\{ \begin{array}{ll} P_\lambda: X_1^0\to X_1^1, \\u \to P_\lambda u(1, v):=u(0, v)e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{1}(\lambda+\sigma(\mu', v)){\rm d}\mu'}. \end{array}\right. $

$ \left\{ \begin{array}{ll} Q_\lambda: X_1^0\to X_1, \\u \to Q_\lambda u(\mu, v):=u(0, v)e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{\mu}(\lambda+\sigma(\mu', v)){\rm d}\mu'}. \end{array}\right. $

$ \left\{ \begin{array}{ll} B_\lambda: X_1\to X_1^1, \\u \to B_\lambda u(1, v):= {\frac{1}{v}} {\int_{0}^{1}e^{-\frac{1}{v}\int_{\mu'}^{1}(\lambda+\sigma(\tau, v)){\rm d}\tau }u(\mu', v){\rm d}\mu'}. \end{array}\right. $

$ \left\{ \begin{array}{ll} C_\lambda: X_1\to X_1, \\u \to C_\lambda u(\mu, v):= {\frac{1}{v}} {\int_{0}^{\mu}e^{-\frac{1}{v}\int_{\mu'}^{\mu}(\lambda+\sigma(\tau, v)){\rm d}\tau }u(\mu', v){\rm d}\mu'}. \end{array}\right. $

定理2.1  $ \forall\; {\rm Re}\lambda>-\sigma_0 $, 算子$ P_\lambda $, $ Q_\lambda $, $ B_\lambda $和$ C_\lambda $是$ L_1 $空间上的有界线性算子, 且

$ \left\|P_\lambda\right\| \le be^{-\frac{1}{b}({\rm Re}\lambda+\sigma_0)}, \left\|Q_\lambda\right\| \le b({\rm Re}\lambda+\sigma_0)^{-1}. $

$ \left\|B_\lambda\right\| \le b-a, \left\|C_\lambda\right\| \le (b-a)({\rm Re}\lambda+\sigma_0)^{-1}. $

证  本文在$ L_1 $空间中进行研究, 对所有算子进行$ L_1 $范数估计

$ \begin{eqnarray*} P_{\lambda}u(1, v)&=&u(0, v)e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{1}(\lambda +\sigma ({\mu}' , v)){\rm d} {\mu}'}, \\ \left \| P_{\lambda}u(1, v)\right \|&=&\int_{a}^{b}\left | u(0, v)e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{1} (\lambda +\sigma ({\mu}' , v)){\rm d} {\mu}'}\right |\cdot v{\rm d}v\\ &=&\int_{a}^{b}\left | u(0, v)ve^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{1}(\lambda +\sigma ({\mu}' , v)){\rm d} {\mu}'}\right |{\rm d}v\\ &\leq &\int_{a}^{b}\left | u(0, v)ve^{-\frac{{\rm Re}\lambda +\sigma _{0}}{v}}\right |{\rm d}v \leq be^{-\frac{{\rm Re}\lambda +\sigma _{0}}{b}}\left \| u\right \|. \end{eqnarray*} $

即可得

$ \left \| P_{\lambda }\right \|\leq be^{-\frac{{\rm Re}\lambda +\sigma _{0}}{b}}, $

$ \begin{eqnarray*} Q_\lambda u(\mu, v)&=&u(0, v)e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{\mu}(\lambda+\sigma(\mu', v)){\rm d}\mu'}, \\ \left \| Q_{\lambda}u(\mu, v)\right \|&=&\int_{a}^{b}\int_{0}^{1}\left | u(0, v)e^{-\frac{1}{v} \int_{0}^{\mu}(\lambda +\sigma ({\mu}' , v)){\rm d} {\mu}'}\right |{\rm d}\mu {\rm d}v\\ &\leq & \int_{a}^{b}\int_{0}^{1}\left | u(0, v)e^{-\frac{\mu({\rm Re}\lambda +\sigma _{0})}{v}}\right |{\rm d}\mu {\rm d}v\\ & \leq&\int_{a}^{b}\left | u(0, v)(\frac{v}{{\rm Re}\lambda+\sigma _{0}}-\frac{v}{{\rm Re} \lambda+\sigma _{0}}e^{-\frac{({\rm Re}\lambda +\sigma _{0})}{v}})\right | {\rm d}v \\ &\leq&\int_{a}^{b}\left | u(0, v)\frac{v}{{\rm Re}\lambda+\sigma _{0}}\right | {\rm d}v \leq\frac{b}{{\rm Re}\lambda+\sigma _{0}} \left \| u\right \|. \end{eqnarray*} $

即可得

$ \left\|Q_\lambda\right\| \le b({\rm Re}\lambda+\sigma_0)^{-1}, $

$ \begin{eqnarray*} B_{\lambda}u(1, v)&= &\frac{1}{v}\int_{0}^{1}e^{-\frac{1}{v}\int_{{\mu}'}^{1}(\lambda +\sigma ({\tau } , v)){\rm d} { \tau }}u({\mu}', v){\rm d}{\mu}', \\ \left \| B_{\lambda}u(1, v)\right \|&=&\int_{a}^{b}\left | \frac{1}{v}\int_{0}^{1}e^{-\frac{1}{v} \int_{{\mu}'}^{1}(\lambda +\sigma ({\tau } , v)){\rm d} { \tau }}u({\mu}', v){\rm d}{\mu}'\right |\cdot v{\rm d}v\\ &\leq &\int_{a}^{b}\left |\int_{0}^{1} e^{-\frac{1}{v}\int_{{\mu}'}^{1} (\lambda +\sigma ({\tau } , v)){\rm d} {\tau }}u({\mu}', v){\rm d}{\mu}'\right |{\rm d}v\\ &\leq &\int_{a}^{b}\sup e^{-\frac{1}{v}\int_{{\mu}'}^{1}(\lambda +\sigma ({\tau } , v)){\rm d} {\tau }}{\rm d}v\left \| u\right \| \leq (b-a)\left \| u\right \|. \end{eqnarray*} $

即可得

$ \left\|B_\lambda\right\| \le b-a, $

$ \begin{eqnarray*} C_{\lambda}u(\mu, v)&=&\frac{1}{v}\int_{0}^{\mu}e^{-\frac{1}{v}\int_{{\mu}'}^{\mu}(\lambda +\sigma ({\tau } , v)){\rm d} { \tau }}u({\mu}', v){\rm d}{\mu}', \\ \left \| C_{\lambda}u(\mu, v)\right \|&=&\int_{a}^{b}\int_{0}^{1}\left | \frac{1}{v}\int_{0}^{\mu}e^{-\frac{1} {v}\int_{{\mu}'}^{\mu}(\lambda +\sigma ({\tau } , v)){\rm d} { \tau }}u({\mu}', v){\rm d}{\mu}'\right |{\rm d}{\mu}{\rm d}v \\ &\leq& \int_{a}^{b}\int_{0}^{1}\left | \frac{1}{v}\sup e^{-\frac{1}{v} \int_{{\mu}'}^{\mu}(\lambda +\sigma ({\tau } , v)){\rm d} { \tau }}{\rm d}{\mu}'\right |{\rm d}{\mu}{\rm d}v\left \| u\right \|\\ &\leq &\int_{a}^{b}\left | \frac{1}{v}\left [ (-\frac{v}{{\rm Re} \lambda+\sigma_0})e^{-\frac{ ({\rm Re}\lambda+\sigma_0)\mu}{v}}|_{0}^{1} \right ]\right | {\rm d}v\left \| u\right \| \\ & \leq&\int_{a}^{b}(\frac{1}{{\rm Re}\lambda+\sigma_0}-\frac{1}{{\rm Re}\lambda+\sigma_0} e^{-\frac{{\rm Re}\lambda+\sigma_0}{v}}){\rm d}v\left \| u\right \|\\ & \leq& \frac{b-a} {{\rm Re}\lambda+\sigma_0}\left \| u\right \|. \end{eqnarray*} $

即可得$ \left\|C_\lambda\right\| \le (b-a)({\rm Re}\lambda+\sigma_0)^{-1}. $证毕.

在$ X^{+} $ ($ X $的正锥)上$ P_\lambda $, $ Q_\lambda $, $ B_\lambda $和$ C_\lambda $都是正算子.从而(2.3)和(2.2)式分别为

(2.4) $ \begin{equation} \psi^1=P_\lambda H\psi^1+B_\lambda\varphi. \end{equation} $

(2.5) $ \begin{equation} \psi=Q_\lambda H\psi^1+C_\lambda\varphi. \end{equation} $

定理2.2  记$ \lambda_0=b{\rm ln}(\beta b+\widetilde{p}\widetilde{k}b(b-a))-\sigma_0 $, 则当$ {\rm Re}\lambda>{\rm max} \{\lambda_0, -\sigma_0\} $时, 算子$ P_\lambda H $有界, 且$ \left\| P_\lambda H \right\|<1. $

证

$ \begin{eqnarray*} \left ( P_{\lambda }H\right )u(1, v)&=&(\beta u(0, v)+\frac{\widetilde{p}}{v}\int_{a}^{b}k(v, {v}')u(0, {v}'){v}'{\rm d}{v}')e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{1}(\lambda+\sigma({\mu}', v)){\rm d}{\mu}'}, \\ \left \| \left ( P_{\lambda }H\right )u(1, v)\right \|&=&\int_{a}^{b}\left | (\beta u(0, v)+\frac{\widetilde{p}}{v}\int_{a}^{b}k(v, {v}')u(0, {v}'){v}'{\rm d}{v}')e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{1}(\lambda+\sigma({\mu}', v)){\rm d}{\mu}'}\right |v{\rm d}v\\ & \leq&\int_{a}^{b}\left | (v\beta u(0, v)+\widetilde{p}\int_{a}^{b}k(v, {v}')u(0, {v}'){v}'{\rm d}{v}')e^{-\frac{1}{v} \int_{0}^{1}(\lambda+\sigma({\mu}', v)){\rm d}{\mu}'}\right | {\rm d}v\\& \leq &\int_{a}^{b}\left | v\beta u(0, v)e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{1}(\lambda+\sigma({\mu}', v)){\rm d}{\mu}'}\right |{\rm d}v\\ &&+\int_{a}^{b}\left | \widetilde{p}(\int_{a}^{b}k(v, {v}')u(0, {v}'){v}'{\rm d}{v}') e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{1}(\lambda+\sigma({\mu}', v)){\rm d}{\mu}'}\right |{\rm d}v\\ & \leq &\beta b e^{-\frac{{\rm Re}\lambda_+\sigma_0}{b}}\left \| u\right \|+\widetilde{p}\widetilde{k} b(b-a) e^{-\frac{{\rm Re}\lambda_+\sigma_0}{b}}\left \| u\right \|. \end{eqnarray*} $

即可得

$ \left \| P_{\lambda }H\right \| \leq \beta b e^{-\frac{{\rm Re}\lambda_+\sigma_0}{b}}+\widetilde{p}\widetilde{k} b(b-a)e^{-\frac{{\rm Re}\lambda_+\sigma_0}{b}}. $

当$ {\rm Re}\lambda>{\rm max} \{\lambda_0, -\sigma_0\} $时, 可得

(2.6) $ \begin{equation} \left\| P_\lambda H \right\|<1. \end{equation} $

证毕.

由定理2.2可得算子$ (I-P_\lambda H)^{-1} $存在, 所以(2.4)和(2.5)式分别为

(2.7) $ \begin{equation} \psi^1=(I-P_\lambda H)^{-1} B_\lambda\varphi. \end{equation} $

(2.8) $ \begin{equation} \psi=Q_\lambda H(I-P_\lambda H)^{-1}B_\lambda\varphi +C_\lambda\varphi. \end{equation} $

即

(2.9) $ \begin{equation} (\lambda I-T_H)^{-1}=Q_\lambda H(I-P_\lambda H)^{-1}B_\lambda+C_\lambda=\sum\limits_{n\ge0} Q_\lambda H(P_\lambda H)^n B_\lambda +C_\lambda. \end{equation} $

定理2.3  在$ X^{+} $ ($ X $的正锥)上, 算子$ (I-P_\lambda H)^{-1}B_\lambda $, $ P_\lambda $, $ Q_\lambda $和$ C_\lambda $关于$ \lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $都是一致有界正算子.

证   由(2.6)式知: 对一切的$ \lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $, 有$ \left\| P_\lambda H \right\|<1 $, 则$ \exists \;c>0 $, 使得

$ \left\| P_\lambda H \right\| \le c<1, $

即

$ \left\|(I-P_\lambda H)^{-1}\right\|\le \frac{1}{1-c} . $

所以$ (I-P_\lambda H)^{-1} $一致有界; 又由$ B_\lambda $的表达式和$ \lim\limits_{{\rm Re} \lambda\to +\infty}(B_\lambda u)(1, v)=0 $知: $ B_\lambda $关于$ \lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $一致有界; 所以$ (I-P_\lambda H)^{-1}B_\lambda $为一致有界正算子; 同理可证$ Q_\lambda $和$ C_\lambda $也是一致有界正算子. 证毕.

定理2.4  在$ X^{+} $ ($ X $的正锥)上, 算子$ Q_\lambda H $关于$ \lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $是一致有界正算子.

证

$ \begin{eqnarray*} \left ( Q_{\lambda }H\right )u(\mu, v)&=&(\beta u(0, v)+\frac{\widetilde{p}}{v}\int_{a}^{b}k(v, {v}') u(0, {v}'){v}'{\rm d}{v}')e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{\mu}(\lambda+\sigma({\mu}', v)){\rm d}{\mu}'}, \\ \left \| \left ( Q_{\lambda }H\right )u(\mu, v)\right \|&=&\int_{0}^{1}\int_{a}^{b}\left | (\beta u(0, v)+\frac{\widetilde{p}}{v}\int_{a}^{b}k(v, {v}')u(0, {v}'){v}'{\rm d}{v}') e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{\mu}(\lambda+\sigma({\mu}', v)){\rm d}{\mu}'}\right |{\rm d}v{\rm d}\mu\\& \leq&\int_{0}^{1}\int_{a}^{b}\left | \beta u(0, v)e^{-\frac{1}{v}\int_{0}^{\mu}(\lambda+\sigma({\mu}', v)){\rm d}{\mu}'} \right |{\rm d}v{\rm d}\mu\\ &&+\int_{0}^{1}\int_{a}^{b}\left | \frac{\widetilde{p}}{v} \int_{a}^{b}k(v, {v}')u(0, {v}'){v}'{\rm d}{v}'e^{-\frac{1}{v} \int_{0}^{\mu}(\lambda+\sigma({\mu}', v){\rm d}{\mu}'}\right |{\rm d}v{\rm d}\mu \\& \leq&\int_{0}^{1}\int_{a}^{b}\left | \beta u(0, v)e^{-\frac{\mu({\rm Re}\lambda+\sigma_0)}{v}}\right |{\rm d}v{\rm d}\mu\\ &&+\int_{0}^{1}\int_{a}^{b}\left | \frac{\widetilde{p}}{v}\int_{a}^{b}k(v, {v}')u(0, {v}'){v}'{\rm d}{v}' e^{-\frac{\mu({\rm Re}\lambda+\sigma_0)}{v}}\right |{\rm d}v{\rm d}\mu \\& \leq &\beta \left \| u\right \|+\int_{a}^{b} \frac{\widetilde{p}}{{\rm Re}\lambda +\sigma_0}(1-e^{-\frac{{\rm Re}\lambda+\sigma_0}{v}})\cdot (\int_{a}^{b}k(v, {v}')u(0, {v}'){v}'{\rm d}{v}'){\rm d}v\\& \leq &\beta \left \| u\right \|+\frac{\widetilde{p}}{{\rm Re}\lambda+\sigma_0} \int_{a}^{b}(\int_{a}^{b}k(v, {v}')u(0, {v}'){v}'{\rm d}{v}'){\rm d}v\\ & \leq &\beta \left \| u\right \|+\frac{\widetilde{p}\widetilde{k}b(b-a)}{{\rm Re}\lambda+\sigma_0}\left \| u\right \|. \end{eqnarray*} $

即可得

$ \left \| Q_{\lambda }H\right \| \leq \beta +\frac{\widetilde{p}\widetilde{k}b(b-a)}{{\rm Re}\lambda+\sigma_0}. $

即可证得算子$ Q_\lambda H $是一致有界正算子. 证毕.

推论2.1  $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v), $而 $ K_0(L_1[a, b]) $为$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合, 对一切$ \lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $, $ Q_\lambda H(I-P_\lambda H)^{-1}B_\lambda K $为紧算子.

证   由定理2.3和定理2.4立即可得.证毕.

定理3.1  在非光滑无界边界条件下, 具时滞的$ {\rm Rotenberg} $迁移方程的主算子在$ L_1 $空间中生成$ C_0 $ -半群.

证   利用Hille-Yosida定理证明算子$ T_H $可以生成$ C_0 $ -半群.首先证明算子$ T_H $是稠定闭算子, 然后再证明其满足Hille-Yosida定理中的第二个条件.

(1) 显然算子$ T_H $是闭算子, 下面证明$ T_H $是稠定算子. 对$ \forall\; \psi\in X_1 $, 存在$ \ D(T_H) $中的函数列$ \psi_n $, 满足$ \psi_n^0=H\psi_n^1 $, 则令

$ \psi_n (\mu, v)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & 0<\mu<\frac{1}{n}, \\ \psi (\mu, v), {\quad} & { } \frac{1}{n}\le\mu<1-\frac{1}{n}, \\ 0 , & { } 1-\frac{1}{n}\le \mu<\ 1 . \end{array}\right. $

$ {J_\varepsilon \psi_n(\mu, v)=(j_\varepsilon\ast\psi_n) (\mu, v)=\int_{R^n} j_\varepsilon (\mu-y)\psi_n(y, v){\rm d} y.} $

$ J_\varepsilon \psi_n(\mu, v) $为$ \psi_n(\mu, v) $的磨光, 记$ \psi_{nn}=J_\varepsilon \psi_n(\mu, v) $, 为一列光滑函数.令$ {\varepsilon=\frac{1}{n}} $, 利用磨光性质得

$ {\lim\limits_{n \to \infty}\left\| \psi_{nn}-\psi_n\right\|=\lim\limits_{\varepsilon \to \ 0^+}\left\| \psi_{nn}-\psi_n\right\|_{L_1[(0, 1)\times (a, b)]}=0.} $

即

$ {\lim\limits_{n \to \infty}\left\| \psi_{n}-\psi \right\| \le \lim\limits_{n \to \infty}\left\| \psi_{n}-\psi_{nn}\right\|+\lim\limits_{n \to \infty}\left\| \psi_{nn}-\psi \right\|=0.} $

即算子$ T_H $是稠定的, 以上证明算子$ T_H $是稠定闭线性算子.

(2) 由定理2.3, 对一切的$ \lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $, 有$ \left\| P_\lambda H \right\| <1, $, 则$ \exists\; c>0 $, 使得$ \left\| P_\lambda H \right\|\le c<1 $, 即

$ \left\|(I-P_\lambda H)^{-1}\right\|\le \frac{1}{1-c}. $

所以由

$ \begin{eqnarray*} (\lambda I-T_H)^{-1}&=&Q_\lambda H(I-P_\lambda H)^{-1}B_\lambda+C_\lambda=\sum\limits_{n\ge0} Q_\lambda H(P_\lambda H)^n B_\lambda +C_\lambda, \\ \left\|R(\lambda;T_H)^n\right\|&=&\left\|(\lambda I-T_H)^{-n} \right\|=\left\|(Q_\lambda H(I-P_\lambda H)^{-1}B_\lambda+C_\lambda)^n\right\| \\ &\le &(\left\| Q_\lambda H(I-P_\lambda H)^{-1}B_\lambda \right\| +\left\|C_\lambda \right\|)^n\\ &\le&(\left\| Q_\lambda H \right\|\cdot \left\|(I-P_\lambda H)^{-1} \right\| \cdot \left\| B_\lambda\right\|+\left\|C_\lambda\right\|)^n\\ &\le &(\frac{1}{1-c}\cdot(\beta +\frac{\widetilde{p}\widetilde{k}b(b-a)}{{\rm Re}\lambda+\sigma_0}) \cdot(b-a)+\frac{b-a}{{\rm Re} \lambda +\sigma_0})^n\\ &=&\frac{M}{({\rm Re}\lambda+\sigma_0)^n} \le \frac{M}{(\lambda-\omega)^n}. \end{eqnarray*} $

由Hille-Yosida定理知, 流算子$ T_H $可以生成$ C_0 $ -半群.由扰动定理可知$ A_H=T_H+K $可以生成$ C_0 $ -半群. 证毕.

引理4.1  $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v) $, 而 $ K_0(L_1[a, b]) $为$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合, 则当$ {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega(\omega>0) $时, $ (\lambda I-A_H)^{-1} $为一致有界正算子.

证   由定理3.1, 当$ {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\} $, $ T_H $生成$ C_0 $ -半群, 再由文献[3]可知

(4.1) $ \begin{equation} \lim\limits_{{\rm Re}\lambda\to +\infty}\left\| (\lambda I-T_H )^{-1}\right\|=0. \end{equation} $

所以, $ \exists\;\omega>0 $, 使得当$ {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega $时, 有$ \left\| (\lambda I-T_H )^{-1}K\right\|<1 $, 即

$ r_\sigma((\lambda I-T_H )^{-1}K)<1. $

从而

$ [I-(\lambda I-T_H)^{-1}K]^{-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}[(\lambda I-T_H)^{-1}K]^n $

存在, 且为有界正算子.又因为

$ (\lambda I-A_H)^{-1}=(I-(\lambda I-T_H)^{-1}K)^{-1}(\lambda I-T_H)^{-1}. $

所以当$ {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega $时, 算子$ (\lambda I-A_H)^{-1} $也为$ X_1 $上的一致有界正算子.

令$ \Gamma=\sigma(A_H)\cap \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda>\gamma\} $, 其中$ \gamma>{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}. $

定理4.1  $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v) $, 而 $ K_0(L_1[a, b]) $为$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合, 当$ \beta={\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega $时, $ \sigma_p(A_H)\ne\emptyset $, 且存在实数$ \beta_0\in\Gamma $为算子$ A_H $的本征值.

证   由文献[3]知: 迁移算子$ A_H $的谱$ \sigma(A_H) $由至多有限重离散本征值组成, 所以由引理4.1知: $ r(\beta) $为$ (\beta I-A_H)^{-1} $的本征值, 且相应的有非负本征函数$ \psi_0 $, 即

$ r(\beta)\psi_0=(\beta I-A_H)^{-1}\psi_0, $

所以

$ (\beta-\frac{1}{r(\beta)})\psi_0=A_H\psi_0. $

令$ \beta_0=\beta-\frac{1}{r(\beta)} $, 则$ \beta_0 $是$ A_H $的本征值.若取$ \beta $和$ \gamma $满足

$ {\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega-\frac{1}{r(\beta)}\le \beta-\frac{1}{r(\beta)}=\beta_0 \le {\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega, $

且$ {\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\} <\beta_0 $, $ \gamma\in({\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\} , \beta_0) $, 则$ \beta_0\in\Gamma $. 证毕.

进一步我们可以获得和文献[3]类似的结论如下.

定理4.2   $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v) $, 而 $ K_0(L_1[a, b]) $为$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合, 当$ {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\} $时, 有

(4.2) $ \begin{equation} \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K( \lambda I-T_H )^{-1}K\right\|=0. \end{equation} $

证  由于

$ \begin{eqnarray*} \left\| K( \lambda I-T_H )^{-1}K\right\|&=&\left\| K Q _\lambda H( I-P_\lambda H )^{-1} B_\lambda K +K C_\lambda K\right\|\\ &\le& \left\| K Q _\lambda H( I-P_\lambda H )^{-1} B_\lambda K \right\|+\left\|K C_\lambda K\right\|. \end{eqnarray*} $

现分两步证明.第一步证$ \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K Q _\lambda H( I-P_\lambda H )^{-1} B_\lambda K \right\|=0. $

先证对所有的$ \varphi\in X_1^0 $, 有$ \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K Q _\lambda \varphi \right\|=0. $

由算子$ K $的假设知: 算子$ K $可由一列算子$ (K_n)_n $按一致算子拓扑逼近, 且算子$ (K_n)_n $的核为

$ r_n(\alpha, \mu, v, v')=\sum\limits_{j=1}^{n}\gamma_j(\alpha)\eta_j(\mu)\theta_j(v)\beta_j(v'), $

且$ \gamma_j\in L _\infty [[0, \tau]:{\rm d}\alpha], \eta_j\in L _\infty[[0, 1]:{\rm d}\mu], \theta_j\in L_1[[a, b]:{\rm d} v], $$ \beta_j\in L_\infty[[a, b]:{\rm d} v]. $

所以算子$ K $的核为

$ r(\alpha, \mu, v, v')=\gamma(\alpha)\eta(\mu)\theta(v)\beta(v'), $

且$ \gamma\in L _\infty [[0, \tau]:d\alpha], \eta\in L _\infty[[0, 1]:{\rm d}\mu], \theta\in L_1[[a, b]:{\rm d} v], \beta\in L_\infty[[a, b]:{\rm d} v]. $

设$ \lambda_n=h+it_n $, 且$ \lambda_n \in\{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda>{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}\} $, 使得当$ n\to \infty $时, $ \vert t_n\vert\to \infty $, 令$ p=\mu+\alpha $, 则

$ | K Q_{\lambda_n}\varphi(\mu, v)|= \bigg|\int_{\mu-\tau}^{\mu}\int_{a}^{b}\gamma(\alpha)\eta(p-\alpha)\theta(v)\beta(v')e^{-\frac{1}{v'}\int_{0}^{p}(h+\sigma(p', v')){\rm d} p'}\varphi(0, v'){\rm d} v' {\rm d}\varphi \bigg|. $

由Riemann-Lebesgue定理知

$ \lim\limits_{n\to +\infty}| K Q _{\lambda_n} \varphi(\mu, v)|=0, \quad {\rm a.e.}\quad \forall \;(\mu, v)\in(0, 1)\times(a, b). $

另外, 对每个整数$ n $, 有

$ \begin{eqnarray*} | K Q _{\lambda_n} \varphi(\mu, v)|&\le&|\theta(v)|\cdot \int_{\mu-\tau}^{\mu}\int_{a}^{b}e^{-\frac{p(h+\sigma)}{v'}}|\gamma(\alpha)\eta(p-\alpha)\beta(v')\varphi(0, v')|{\rm d} v' {\rm d}\varphi\\ &\le&|\theta(v)|\cdot\int_{\mu-\tau}^{\mu}\int_{a}^{b}|\gamma(\alpha)\eta(p-\alpha)\beta(v')\varphi(0, v')|{\rm d} v' {\rm d}\varphi. \end{eqnarray*} $

因为$ \theta\in L_1[[a, b]:d v] $, 所以对一切$ \varphi\in X_1^0 $, 有

(4.3) $ \begin{equation} \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K Q _\lambda \varphi \right\|=0. \end{equation} $

同理可证: 对$ \forall \varphi\in X_1 $, 有

(4.4) $ \begin{equation} \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K C _\lambda \varphi \right\|=0. \end{equation} $

由推论2.1和(4.3)式知

$ \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K Q _\lambda H( I-P_\lambda H )^{-1} B_\lambda K \right\|=0. $

第二步证$ \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K C_\lambda K \right\|=0. $根据(4.4)式和算子$ K $的假设即可证得.

以上由第一步和第二步的证明知: $ {\rm Re}\lambda >{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\} $时, 有

$ \lim\limits_{\vert {\rm Im} \lambda\vert\to +\infty}\left\| K( \lambda I-T_H )^{-1}K\right\|=0. $

证毕.

定理4.3  $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v) $, 而 $ K_0(L_1[a, b]) $为$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合, 以下结论成立

(1) 区域$ \Gamma $仅由有限个具有限代数重数的离散本征值构成;

(2) $ \sigma(A_H)\cap\lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda> {\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega\} $为有限.

证   (1)由定理4.2和Goberg-Krein定理知；区域$ \Gamma $至多由有限个具有限代数重数的离散本征值组成; 再由定理4.1知此结论成立;

(2) 当$ {\rm Re}\lambda> {\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\} $时, 由(4.1)式知

$ \lim\limits_{{\rm Re}\lambda\to +\infty}\left\| (\lambda I-T_H )^{-1}\right\|=0. $

又由$ K $是紧的, 所以

(4.5) $ \begin{equation} \lim\limits_{{\rm Re}\lambda\to +\infty}\left\| (\lambda I-T_H )^{-1} K \right\|=0. \end{equation} $

由定理4.2可知

(4.6) $ \begin{equation} \lim\limits_{|{\rm Im} \lambda|\to +\infty}\left\| [(\lambda I-T_H )^{-1} K]^2 \right\|=0. \end{equation} $

则对$ \forall\; c_1 (0<c_1<1) $, $ \exists\; c_2(\omega)>0 $, 当$ |{\rm Im} \lambda|\ge c_2(\omega) $, 有

$ \left\| [(\lambda I-T_H )^{-1} K]^2 \right\| <c_1<1. $

令

$ H_\lambda =(\lambda-T_H)^{-1}K;\quad R(\omega)=\{\lambda\in C|{\rm Re}\lambda>\lambda_0 +\omega, |{\rm Im}\lambda|\ge c_2(\omega)\}. $

由谱映像原理知

$ r_\sigma(H_\lambda)\le c_1^{\frac{1}{2}}<1. $

又因为

$ \lambda\in \sigma_p(A_H)\iff 1\in \sigma_p(H_\lambda). $

所以$ R(\omega $)不含本征值, 根据(4.5)式知: $ \sigma(A_H)\cap\lambda \in \{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda> {\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega\} $有限. 令

$ \{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\}=\sigma(A_H)\cap\{\lambda\in C | {\rm Re}\lambda\ge{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega\}. $

$ \beta_2={\rm min}\{{\rm Re}\lambda_i|1\le i\le n\} , \quad \beta_1=\sup \{{\rm Re}\lambda|\lambda\in\sigma(A_H), {\rm Re}\lambda<{\rm max}\{\lambda_0 , -\sigma_0\}+\omega\}. $

则易知$ \beta_1<\beta_2 $.现可取$ \beta^* $, 使得$ \beta_1<\beta^*<\beta_2 $. 证毕.

定理4.4  $ r(\alpha, \mu, v, v') $为非负有界可测函数, 算子$ K\psi(\mu, v)\in K_0(L_1[a, b], {\rm d}v) $, 而 $ K_0(L_1[a, b]) $为$ L_1[[a, b], {\rm d}v] $上的紧算子集合, 以下结论成立

(1) 若$ \psi_0\in D(A_H) $, 则迁移方程$ {\rm (1.3)} $的解为

$ \psi(t)=U_{H, K}(t)\psi_0=R(t)+\sum\limits_{j=1}^{n}e^{\lambda_j t}e^{t D_j}P_j\psi_0, $

此时

$ R(t)=\lim\limits_{\xi \to +\infty}\frac{1}{2{\rm i}\pi}\int_{\beta^*-{\rm i}\xi} ^{\beta^* +{\rm i}\xi}e^{\lambda t }(\lambda I-A_H)^{-1}\psi_0 {\rm d} \lambda. $

且$ P_j $和$ D_j $分别表示投影算子和由$ \lambda_j $构成的幂零算子.

(2) 若$ \psi_0\in D(A_H^2) $且$ \beta^*\ne 0 $, 则

$ R(t)=\frac{e^{\beta^*}t}{2\pi}\int_{{{\Bbb R}} }\frac{(\beta^*+{\rm i}v-A_H)^{-1}A_H^2\psi_0}{(\beta^*+{\rm i}v)^2} e^{{\rm i}vt}{\rm d} v +\alpha(\beta^*)(\psi_0+t A_H\psi_0). $

此时

$ \alpha(\beta^*)=\left\{ \begin{array}{ll} 1, {\quad} & \rm{if \mathsf{ β}^*>0 , }\\ 0, & \rm{if \mathsf{ β}^*<0 .} \end{array}\right. $

特别的, 若$ \psi_0\in D(A_H^2) $且$ \beta_1<0 $, 则

$ \left\|R(t)\right\| \le \frac{1}{2\pi}\int_{{{\Bbb R}} }\frac{\left\|(\beta^*+{\rm i}v-A_H)^{-1}\right \|}{|(\beta^*+{\rm i}v)^2|} {\rm d} v \left\|A_H^2\psi_0\right\|E^{\beta^*t} \quad (\beta_1<\beta^*<0). $

证   本定理和文献[3]的结论类似, 可以由定理4.2、定理4.3和文献([10, 定理2.3])证得本定理.

本文在前人研究工作的基础上, 进一步考虑细胞分裂的时滞效应, 建立了具有时滞效应的Rotenberg迁移方程. 在$ L_1 $空间中, 去除了边界算子有界的假设, 证明迁移算子生成$ C_0 $-半群, 并进一步研究迁移算子的谱, 得到该迁移算子的谱在区域$ \Gamma $中仅由有限个具有有限代数重数的离散本征值组成. 本文在更一般的条件下, 得到了具时滞的Rotenberg方程主算子的谱分析, 这一结果对于Rotenberg方程解的构造理论具有一定意义.