本文中, 若存在常数$ l>0 $和$ m>0 $使得$ lQ \leq P \leq mQ $, 我们称两个量$ P $和$ Q $是等价的, 记为$ “P\asymp Q” $. 若存在常数$ l>0 $使$ P \leq lQ $ ($ P \geq lQ $), 记为$ “P\lesssim Q” $ ($ “P \gtrsim Q” $).

设$ {\Bbb C}^{n} $为$ n $维复空间, $ {\Bbb C}^{n} $中两点$ u=(u_{1}, \cdots, u_{n}) $和$ w=(w_{1}, \cdots, w_{n}) $的内积定义为$ \langle u, w\rangle=u_{1}\overline{w_{1}}+u_{2}\overline{w_{2}}\cdots+u_{n}\overline{w_{n}}. $设$ {\Bbb C}^{n} $中单位球为集合

$ B_{n}=\{z\in {{\bf C}^{n}}: |z|=\sqrt{\langle z, z\rangle}<1\}. $

特别的, 当$ n=1 $时记$ B_{n} $为$ D $, 我们把$ B_{n} $的边界记为$ S_{n} $, 并记$ B_{n} $中全纯函数类为$ H(B_{n}) $. 对$ g\in H(B_{n}) $和$ w\in B_{n} $, 函数$ g $的复梯度$ \nabla g $和径向导数$ Rg $分别定义为

$ \nabla g(w)=\left(\frac{\partial g}{\partial w_{1}}(w), \cdots, \frac{\partial g}{\partial w_{n}}(w)\right) \ \mbox{和} \ R g(w)=\langle \nabla g(w), \overline{w}\rangle=\sum\limits_{j=1}^{n}w_{j}\frac{\partial g}{\partial w_{j}}(w). $

给定$ w\in B_{n} $, 设$ \varphi_{w} $是$ B_{n} $上的对合自同构, 满足$ \varphi_{w}(w)=0 $和$ \varphi_{w}(0)=w $. 对$ r>0 $和$ w\in B_{n} $, 设$ D(w, r)=\{u: u\in B_{n} \ \mbox{和} \ \beta(u, w)<r\} $为中心为$ w $的Bergman球, 其中

$ \beta(u, w)=\log\sqrt{\frac{1+|\varphi_{w}(u)|}{1-|\varphi_{w}(u)|}}. $

定义1.1   $ [0, 1) $上一个正的连续函数$ \mu $被称为正规函数, 那是指存在常数$ b\geq a>0 $和$ 0\leq \rho_{0}<1 $使得$ {\frac{\mu(\rho)}{(1-\rho^{2})^{b}}} $在$ [\rho_{0}, 1) $上递增且$ {\frac{\mu(\rho)}{(1-\rho^{2})^{a}}} $在$ [\rho_{0}, 1) $上递减. 例如

$ \mu(\rho)=(1-\rho^{2})^{\alpha}\left(\log\frac{e}{1-\rho^{2}}\right)^{\beta}\left(\log\log \frac{e^{2}}{1-\rho^{2}}\right)^{\gamma} \ (\alpha>0, \ \mbox{ β 和 γ为实数}). $

为了论证上的方便, 本文中我们设$ \rho_{0}=0 $.

定义1.2   给定$ [0, 1) $上的正规函数$ \mu $, 若$ f\in H(B_{n}) $且满足

$ {\|f\|_{{\cal B}_{\mu} }=|f(0)|+ \sup\limits_{z\in B_{n}}\mu(|z|)| \nabla f(z)|}<\infty, $

称$ f $属于正规权Bloch空间$ {\cal B}_{\mu}(B_{n}) $. 特别的, 当$ \mu(\rho)=(1-\rho^{2})^{\alpha} \ \ (\alpha>0) $时, 空间$ {\cal B}_{\mu}(B_{n}) $是$ \alpha $-Bloch空间$ {\cal B}^{\alpha}(B_{n}) $, 当$ \mu(\rho)=1-\rho^{2} $时, $ {\cal B}_{\mu}(B_{n}) $就是Bloch空间$ {\cal B}(B_{n}) $.

定义1.3   设$ p>0 $和$ \mu $是$ [0, 1) $上的正规函数, 若$ f\in H(B_{n}) $且

$ \int_{B_{n}}|R f(z)|^{p}\frac{\mu^{p}(|z|)}{1-|z|^{2}} {\rm d}v(z)<\infty, $

称$ f $属于正规权Dirichlet型空间$ {\cal D}_{\mu}^{p}(B_{n}) $, 其中d$ v $是满足$ v(B_{n})=1 $的Lebesgue测度.

设$ p>0 $, $ s\geq 0 $, $ q+n>-1 $, $ q+s>-1 $, 若$ f\in H(B_{n}) $且

$ \|f\|_{F(p, q, s)}=|f(0)|+\left\{\sup\limits_{w\in B_{n}}\int_{B_{n}}|\nabla f(z)|^{p}\ (1-|z|^{2})^{q}\log^{s}\frac{1}{|\varphi_{w}(z)|} {\rm d}v(z)\right\}^{\frac{1}{p}}<\infty, $

称$ f $属于一般函数空间$ F(p, q, s). $在文献[1]中, Zhao首先在$ D $中引进了空间$ F(p, q, s), $不久以后大量与$ F(p, q, s) $相关的函数空间被研究, 如文献[2–23]等. 许多函数空间可嵌入$ F(p, q, s), $例如, $ Q_{s} $空间, BMOA空间, Dirichlet型空间, $ H^{2} $空间, Bloch空间, 等等.

在文献[2]中, 我们已经证明: 当$ f\in F(p, q, s) $时

$ \begin{eqnarray*} \|f\|_{F(p, q, s)}&\asymp &|f(0)|+\left\{\sup\limits_{w\in B_{n}}\int_{B_{n}}|R f(z)|^{p}\ (1-|z|^{2})^{q}(1-|\varphi_{w}(z)|^{2})^{s} {\rm d}v(z)\right\}^{\frac{1}{p}} \\ &=&|f(0)|+\left\{\sup\limits_{w\in B_{n}}\int_{B_{n}}\frac{|R f(z)|^{p}\ (1-|w|^{2})^{s}}{|1-\langle z, w\rangle|^{2s}} (1-|z|^{2})^{q+s} {\rm d}v(z)\right\}^{\frac{1}{p}}. \end{eqnarray*} $

这个积分中的关键测度是$ (1-|z|^{2})^{q+s} {\rm d}v(z) $. 为了在更广泛更宽阔的视野上研究一般函数空间, 我们可以把测度$ (1-|z|^{2})^{q+s} {\rm d}v(z) $推广到某种抽象形式.

定义1.4   设$ \mu $是$ [0, 1) $上的正规函数, $ p>0 $和$ s\geq 0 $, 若$ f\in H(B_{n}) $且

$ \|f\|_{F(p, \mu, s)}=|f(0)|+\left\{\sup\limits_{w\in B_{n}}\int_{B_{n}}\frac{|R f(z)|^{p}(1-|w|^{2})^{s}}{|1-\langle z, w\rangle|^{2s}}\frac{\mu^{p}(|z|)}{1-|z|^{2}} {\rm d}v(z)\right\}^{\frac{1}{p}}<\infty, $

称$ f $属于正规权一般函数空间$ F(p, \mu, s) $. 特别的, 当$ \mu(\rho)=(1-\rho^{2})^{\frac{q+s+1}{p}} $时, $ F(p, \mu, s) $恰好是空间$ F(p, q, s). $若$ s=0 $, 则$ F(p, \mu, s)={\cal D}_{\mu}^{p}(B_{n}) $. 因此, 空间$ F(p, \mu, s) $不仅是$ F(p, q, s) $空间的推广, 也是正规权Dirichlet型空间的推广. 容易证明: 对所有情形都有$ F(p, \mu, s)\subseteq{\cal B}_{\nu}(B_{n}) $且$ s>n $时$ F(p, \mu, s)={\cal B}_{\nu}(B_{n}) $, 其中$ \nu(\rho)=(1-\rho^{2})^{\frac{n-s}{p}}\ \mu(\rho) $.

定义1.5   给定全纯映射$ \varphi=(\varphi_{1}, \cdots, \varphi_{n}): B_{n}\rightarrow B_{n} $, 诱导$ H(B_{n}) $上一个复合算子

$ C_{\varphi}(f)=f\circ\varphi, \ \ \ f\in H(B_{n}). $

复合算子的研究主要在全纯(解析)函数论和算子理论, 起源于Littlewood从属定理和上世纪六十年代Nordgren的工作^[24-25]. 在各种空间探讨$ \varphi $诱导的复合算子有界或紧时$ \varphi $性质的刻画是一个有趣的工作, 大量的研究工作已经获得, 其中与本文密切相关的工作如文献[3–7, 11, 13–14, 16, 19–21, 26–33], 等等. 由于$ F(p, \mu, s)\subseteq{\cal B}_{\nu}(B_{n}) $, 那么$ C_{\varphi} $总是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的有界算子吗? 如果不是, 要想$ C_{\varphi} $有界或者紧, 那么$ \varphi $需要满足什么条件呢？本文将考虑这些问题.

本文中, 我们总设$ a $和$ b $是正规函数$ \mu $中的那两个参数.

在高维, 我们需要下面的量去处理Bloch型空间的复合算子问题. 给定正规函数$ \mu $, 设

$ {\frac{1}{\sigma_{\mu}(\rho)}=\frac{1}{\mu(0)}+\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{(1-t)^{\frac{1}{2}}\ \mu(t)} \ \ (0\leq \rho<1)}. $

对任意$ u\in {\Bbb C}^{n} $, 记$ { G^{\mu}_{0}(u)=\frac{|u|^{2}}{\mu^{2}(0)}} $. 当$ 0\neq w\in B_{n} $时, 设

$ {G^{\mu}_{w}(u)=\frac{1}{\mu^{2}(|w|)}\left\{\frac{\mu^{2}(|w|)}{\sigma_{\mu}^{2}(|w|)}\ |u|^{2}+\left(1-\frac{\mu^{2}(|w|)}{\sigma_{\mu}^{2}(|w|)}\right)\ \frac{|\langle w, u\rangle|^{2}}{|w|^{2}}\right\}}. $

对任意$ 0\leq \rho<1 $, 我们有

(2.1) $ \begin{align} (1-\rho)^{b}\left(1+\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{(1-t)^{b+\frac{1}{2}}}\right)\lesssim\frac{\mu(\rho)}{\sigma_{\mu}(\rho)}\lesssim (1-\rho)^{a}\left(1+\int_{0}^{\rho}\frac{{\rm d}t}{(1-t)^{a+\frac{1}{2}}}\right) \end{align} $

且存在常数$ 1/2<t_{0}<1 $使得

(2.2) $ \begin{align} \sqrt{G_{w}^{\mu}(u)}\asymp \frac{|\langle w, u\rangle|}{\mu(|w|)}+\frac{|u|}{\sigma_{\mu}(|w|)} \;\text { when } \;\;t_0 <|w| <1 \end{align} $

当$ a>1/2 $时, 根据文献[16, 引理3.1] 可得

(2.3) $ \begin{align} \sqrt{G_{w}^{\mu}(u)}\asymp \frac{1-|w|^{2}}{\mu(|w|)}\sqrt{ H_{w}(u)}, \end{align} $

其中$ H_{w}(u)=\frac{(1-|w|^{2})|u|^{2}+|\langle w, u\rangle|^{2}}{(1-|w|^{2})^{2}}. $

为了证明主要结果, 我们首先给出几个引理.

引理2.1^[16]   设$ \mu $是$ [0, 1) $上的一个正规函数, 则$ \|f\|_{{\cal B}_{\mu}}\asymp \|f\|_{{\cal B}_{\mu, 1}}\asymp \|f\|_{{\cal B}_{\mu, 2}} $对所有$ f\in {\cal B}_{\mu}(B_{n}) $成立, 其中$ \|f\|_{{\cal B}_{\mu, 1}}=|f(0)|+ {\sup\limits_{z\in B_{n}}}\mu(|z|)|Rf(z)| $且

$ \|f\|_{{\cal B}_{\mu, 2}}=|f(0)|+\sup\limits_{z\in B_{n}}Q^{\mu}_{f}(z), \ \ Q^{\mu}_{f}(z)=\sup\limits_{u\in {\bf C^{n}}-\{0\}}\frac{|\langle \nabla f(z), \overline{u}\rangle|}{\sqrt{G^{\mu}_{z}(u)}}. $

引理2.2^[17]   设$ \mu $是$ [0, 1) $上的一个正规函数且$ w\in B_{n} $, 则有下列结果

(1) $ \mu(|z|)\asymp \mu(|w|) $对所有$ z\in D(w, 1) $成立.

(2) $ {\frac{\mu(|z|)}{\mu(|w|)}\leq \left(\frac{1-|z|^{2}}{1-|w|^{2}}\right)^{a}+\left(\frac{1-|z|^{2}}{1-|w|^{2}}\right)^{b}} $对所有$ z\in B_{n} $成立.

引理2.3^[26]   设$ t $是实数且$ \delta>-1 $, 则积分$ J(z)=\int_{ B}\frac{(1-|w|^{2})^{\delta}}{|1-\langle z, w\rangle|^{t}} {\rm d}v(w) \ (z\in B_{n}) $有下列估计

(1) 若$ t-\delta<n+1 $, 则$ J(z)\asymp 1 $.

(2) 若$ t-\delta=n+1 $, 则$ { J(z)\asymp \log\frac{e}{1-|z|^{2}}} $.

(3) 若$ t-\delta>n+1 $, 则$ { J(z)\asymp \frac{1}{(1-|z|^{2})^{t-\delta-n-1}}} $.

引理2.4    设$ p>0 $且$ \mu $是$ [0, 1) $上的一个正规函数, 并设$ pa+n> s\geq 0 $且$ \nu(\rho)=(1-\rho^{2})^{\frac{n-s}{p}}\ \mu(\rho) $$ (0\leq \rho<1) $. 若$ f\in F(p, \mu, s) $, 则

$ |Rf(w)|\lesssim \frac{\|f\|_{F(p, \mu, s)}}{\mu(|w|)(1-|w|^{2})^{\frac{n-s}{p}}} \ \ (w\in B_{n}). $

进一步, 若$ s>n $, 则$ F(p, \mu, s)={\cal B}_{\nu}(B_{n}) $.

证   根据文献[27, 引理2.20和引理2.24]结合本文引理2.1–2.3容易给出结果.证毕.

引理2.5^[18]   设$ \delta>-1 $, $ r> 0 $, $ t> 0 $, 记

$ I_{w, \eta}=\int_{B_{n}}\frac{(1-|z|^{2})^{ \delta}}{|1-\langle z, w\rangle|^{ t}\ |1-\langle z, \eta\rangle|^{ r}} {\rm d}v(z) \ \ \ (w, \eta\in B_{n}), $

则有下列积分估计

(1) 当$ t-\delta>n+1 $和$ r-\delta>n+1 $时, 有

$ I_{w, \eta}\asymp \frac{1}{(1-|w|^{2})^{t-\delta-n-1} |1-\langle w, \eta\rangle|^{r}}+\frac{1}{(1-|\eta|^{2})^{r-\delta-n-1} |1-\langle w, \eta\rangle|^{t}}. $

(2) 当$ t-\delta>n+1=r-\delta $时, 有

$ I_{w, \eta}\asymp \frac{1}{(1-|w|^{2})^{t-\delta-n-1} |1-\langle w, \eta\rangle|^{r}}+\frac{1}{ |1-\langle w, \eta\rangle|^{t}}\log\frac{e}{1-|\varphi_{w}(\eta)|^{2}}. $

(3) 当$ t-\delta>n+1>r-\delta $时, 有

$ I_{w, \eta}\asymp \frac{1}{(1-|w|^{2})^{t-\delta-n-1} |1-\langle w, \eta\rangle|^{r}}. $

(4) 当$ r+t-\delta>n+1>\max\{t-\delta, r-\delta\} $时, 有

$ I_{w, \eta}\asymp \frac{1}{ |1-\langle w, \eta\rangle|^{t+r-\delta-n-1}}. $

(5) 当$ t-\delta=n+1>r-\delta $时, 有

$ I_{w, \eta}\asymp\frac{1}{|1-\langle w, \eta\rangle|^{r}}\log\frac{e}{|1-\langle w, \varphi_{w}(\eta)\rangle|} . $

引理2.6^[19]   设$ \mu $是$ [0, 1) $上的一个正规函数以及$ j\in \{1, 2, \cdots\} $, 记$ n_{j} $是$ (1-\rho_{j})^{-1} $的整数部分, 其中$ \rho_{0}=0 $且$ \mu(\rho_{j})=2^{-j} $, 则函数

$ g(u)=1+\sum\limits_{j=1}^{\infty}2^{j}\ u^{n_{j}}\ \ (u\in D) $

满足$ { \inf\limits_{\rho\in [0, 1)}\mu(\rho)g(\rho)=M_{0}>0} $且$ {\sup\limits_{u\in D}\mu(|u|)|g(u)|=M_{1}<\infty.} $

引理2.7^[20]   设$ \mu $是$ [0, 1) $上的一个正规函数, 给定$ 0<r_{0}<1 $, 则

$ \frac{1}{\sigma_{\mu}(|w|)}=\int_{0}^{|w|}\frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t}\mu(t)}+\frac{1}{\mu(0)} \asymp \int_{0}^{|w|^{2}}\frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t}\mu(t)} $

对所有$ r_{0}<|w|<1 $成立.

引理2.8^[16]   设$ \mu $是$ [0, 1) $上的一个正规函数和$ f\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $. 给定$ 0\neq z\in B_{n} $且$ \xi\in S_{n} $满足$ \langle z, \xi\rangle=0 $. 给定$ 0< r_{0}<1 $, 若$ {\int_{0}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{\sqrt{1-\rho}\ \nu(\rho)}<\infty} $和$ |\nabla f(z)|\leq m \ \ (|z|\leq r_{0}) $, 则

$ |\langle\nabla f(z), \overline{\xi}\rangle|\lesssim m+\|f\|_{{\cal B}_{\mu, 1}}\int_{r_{0}}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{\sqrt{1-\rho}\ \nu(\rho)} $

对所有$ r_{0}\leq |z|<1 $成立.

当$ s>n $时, 根据引理2.4可得$ F(p, \mu, s)={\cal B}_{\nu}(B_{n}) $, 对于正规权Bloch型空间上复合算子的问题已经有相当完美的结果, 具体可参见文献[21, 定理3.3], 文献[22, 定理3.5], 文献[16, 定理6.1和定理7.4]等. 至于$ s=0 $时, 我们知道$ F(p, \mu, s)={\cal D}^{p}_{\mu}(B_{n}) $, 文献[23, 定理3.1]已给出一些结果. 因此, 我们仅仅需要考虑情形$ 0<s\leq n $.

定理3.1   设$ 0<s\leq n $且$ \nu(\rho)=(1-\rho^{2})^{\frac{n-s}{p}}\ \mu(\rho) $ ($ \rho\in [0, 1) $), 则$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $有界算子当且仅当

(3.1) $ \begin{eqnarray} I=\sup\limits_{z\in B_{n}}\nu(|z|)\left\{\frac{|\langle R\varphi(z), \varphi(z)\rangle|}{\nu(|\varphi(z)|)} +\frac{|R\varphi(z)|}{\sigma_{\nu}(|\varphi(z)|)}\right\}<\infty. \end{eqnarray} $

证    如果(3.1) 式成立, 则对所有$ l\in \{1, 2, \cdots, n\} $有$ \varphi_{l}\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $. 对任意$ f\in F(p, \mu, s) $, 根据引理2.1可得

$ \begin{eqnarray*} \|C_{\varphi}f\|_{{\cal B}_{\nu}}&\asymp &|C_{\varphi}f(0)|+\sup\limits_{z\in B_{n}} \nu(|z|)|R[f\circ\varphi](z)|\\ &=&|C_{\varphi}f(0)|+\sup\limits_{z\in B_{n}}\nu(|z|)|\langle (\nabla f)[\varphi(z)], \overline{R\varphi(z)}\rangle|\\ &\leq& |C_{\varphi}f(0)|+\{\sup\limits_{|\varphi(z)|>t_{0}}+\sup\limits_{|\varphi(z)|\leq t_{0}}\}\nu(|z|)|\langle (\nabla f)[\varphi(z)], \overline{R\varphi(z)}\rangle|. \end{eqnarray*} $

再根据引理2.1, 引理2.4, (2.2) 和(3.1)式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} &&\sup\limits_{|\varphi(z)|>t_{0}}\nu(|z|)|\langle (\nabla f)[\varphi(z)], \overline{R\varphi(z)}\rangle|\\ &=& \sup\limits_{|\varphi(z)|>t_{0}} \nu(|z|)\sqrt{G_{\varphi(z)}[R\varphi(z)]}\ \frac{|\langle (\nabla f)[\varphi(z)], \overline{R\varphi(z)}\rangle|}{\sqrt{G_{\varphi(z)}[R\varphi(z)]}}\\ & \leq& \sup\limits_{|\varphi(z)|>t_{0}}\nu(|z|)\sqrt{G_{\varphi(z)}[R\varphi(z)]}\ \|f\|_{{\cal B}_{\nu, 2}}\lesssim I\|f\|_{{\cal B}_{\nu}}\lesssim I\|f\|_{F(p, \mu, s)}. \end{eqnarray*} $

根据引理2.1和引理2.4可得到

$ \begin{eqnarray*} \sup\limits_{|\varphi(z)|\leq t_{0}} \nu(|z|)|R[f\circ\varphi](z)| &\leq &\sup\limits_{|\varphi(z)|\leq t_{0}}\frac{\nu(|z|)|R\varphi(z)|}{\nu(|\varphi(z)|)}\ \|f\|_{{\cal B}_{\nu}}\\ & \leq&\frac{1}{\nu(t_{0})}\sum\limits_{l=1}^{n}\|\varphi_{l}\|_{{\cal B}_{\nu}}\ \|f\|_{{\cal B}_{\nu}} \lesssim \frac{1}{\nu(t_{0})}\sum\limits_{l=1}^{n}\|\varphi_{l}\|_{{\cal B}_{\nu}}\ \|f\|_{F(p, \mu, s)}. \end{eqnarray*} $

此外, 根据引理2.1和引理2.4还有

$ \begin{eqnarray*} |C_{\varphi}f(0)-f(0)|&=&\left|\int_{0}^{1}\frac{Rf[t\varphi(0)] {\rm d}t}{t}\right|=\left|\int_{0}^{1}\langle \nabla f[t\varphi(0)], \overline{\varphi(0)}\rangle {\rm d}t\right|\\ &\leq& \int_{0}^{|\varphi(0)|}\frac{\|f\|_{ {\cal B}_{\nu}}}{\nu(t)} {\rm d}t \lesssim\frac{\|f\|_{F(p, \mu, s)}}{\nu(|\varphi(0)|)} \Rightarrow |C_{\varphi}f(0)|\lesssim \|f\|_{F(p, \mu, s)}. \end{eqnarray*} $

综上所述, $ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的有界算子.

反过来, 若$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的有界算子, 则对任意$ l\in \{1, 2, \cdots, n\} $容易得到$ \varphi_{l}\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $.

对任意$ w\in B_{n} $, 若$ |\varphi(w)|>t_{0} $, 我们取

$ f_{w}(z)=\frac{(1-|\varphi(w)|^{2})^{1+b+\frac{s}{p}}}{\mu(|\varphi(w)|)}\int_{0}^{\langle z, \varphi(w)\rangle}\frac{{\rm d}t}{(1-t)^{1+b+\frac{n}{p}}} \ \ \ (z\in B_{n}). $

根据引理2.2可得

$ \begin{eqnarray*} &\;& \int_{B_{n}}\frac{(1-|u|^{2})^{s}|Rf_{w}(z)|^{p}\ \mu^{p}(|z|)}{|1-\langle z, u\rangle|^{2s}(1-|z|^{2})} {\rm d}v(z)\\ & \leq&\int_{B_{n}}\frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+pb+s} \mu^{p}(|z|)}{\mu^{p}(|\varphi(w)|)|1-\langle z, u\rangle|^{2s}|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{p+pb+n}(1-|z|^{2})} {\rm d}v(z)\\ & \lesssim &\int_{B_{n}}\frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+s}(1-|z|^{2})^{pb-1}}{|1-\langle z, u\rangle|^{2s}|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{p+pb+n}} {\rm d}v(z)\\&\;& + \int_{B_{n}}\frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+s+pb-pa}(1-|z|^{2})^{pa-1}}{|1-\langle z, u\rangle|^{2s} |1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{p+pb+n}} {\rm d}v(z)\\ &=&J_{1}+J_{2}. \end{eqnarray*} $

当$ 0\leq 2s<pb+n $时, 利用引理2.5(3) 有

$ \begin{eqnarray*} J_{1}\asymp \frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+s}}{(1-|\varphi(w)|^{2})^{p}|1-\langle u, \varphi(w)\rangle|^{2s}}\lesssim 1. \end{eqnarray*} $

当$ 2s>pb+n $时, 利用引理2.5(1) 和$ s\leq n $有

$ \begin{eqnarray*} J_{1}\asymp\frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+s}}{(1-|\varphi(w)|^{2})^{p}|1-\langle u, \varphi(w)\rangle|^{2s}}+\frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+s}}{(1-|u|^{2})^{2s-pb-n} |1-\langle u, \varphi(w)\rangle|^{p+pb+n}}\lesssim 1. \end{eqnarray*} $

当$ 2s=pb+n $时, 选取$ 0<\sigma<s $. 利用引理2.5(2) 和

$ {\sup \left\{x^{\sigma}\log\frac{e}{x}: 0<x\leq 1\right\}=\frac{e^{\sigma-1}}{\sigma}} $

可得

$ \begin{eqnarray*} J_{1}&\asymp&\frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+s}}{(1-|\varphi(w)|^{2})^{p}|1-\langle u, \varphi(w)\rangle|^{2s}} + \frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+s}}{|1-\langle u, \varphi(w)\rangle|^{p+pb+n}}\log\frac{e}{1-|\varphi_{u}[\varphi(w)]|^{2}}\\ & \lesssim& \frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+s}}{(1-|\varphi(w)|^{2})^{p}|1-\langle u, \varphi(w)\rangle|^{2s}}+ \frac{(1-|u|^{2})^{s-\sigma}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+s-\sigma}}{|1-\langle u, \varphi(w)\rangle|^{p+pb+n-2\sigma}}\lesssim 1. \end{eqnarray*} $

类似的, 我们可证明$ J_{2}\lesssim 1 $. 这表明$ \|f_{w}\|_{F(p, \mu, s)}\lesssim 1 $.

如果$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的有界算子, 则

(3.2) $ \begin{eqnarray} \|C_{\varphi}\|&\gtrsim& \|C_{\varphi}\|.\|f_{w}\|_{F(p, \mu, s)} \geq \|C_{\varphi}f_{w}\|_{{\cal B}_{\nu}} {}\\ & \geq&\nu(|w|)|R[f_{w}\circ \varphi](w)|= \frac{\nu(|w|)|\langle R\varphi(w), \varphi(w)\rangle|}{\nu(|\varphi(w)|)}. \end{eqnarray} $

设$ \langle \varphi(w), \xi\rangle=0 $和$ \xi\in S_{n} $. 根据$ |\varphi(w)|>1/2 $和文献[21, (3.6) 式]可得

(3.3) $ \begin{equation} |\langle z, \xi\rangle| \leq 2\sqrt{1-|\langle z, \varphi(w)\rangle|}\leq 2\sqrt{|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|} \end{equation} $

对任意$ z\in B_{n} $成立.

当$ a+(n-s)/p> 1/2 $时, 取

$ h_{w}(z)=\frac{(1-|\varphi(w)|^{2})^{1+b+\frac{n}{p}}\ \langle z, \xi\rangle}{(1-\langle z, \varphi(w)\rangle)^{1+b+\frac{n}{p}}}\int_{0}^{\langle z, \varphi(w)\rangle}\frac{g(t)}{(1-t)^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}} {\rm d}t \ \ \ (z\in B_{n}), $

其中$ g $是引理2.6中和正规函数$ \mu $匹配的那个函数. 根据$ \nu $的定义和引理2.6可得

(3.4) $ \begin{eqnarray} \mu(|z|)\int_{0}^{|\langle z, \varphi(w)\rangle|}\frac{g(t)}{(1-t)^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}} {\rm d}t &\leq& (1-|z|^{2})^{a}\int_{0}^{|\langle z, \varphi(w)\rangle|}\frac{\mu(t)g(t) {\rm d}t}{(1-t)^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}+a}} {}\\ & \leq& M_{1} \int_{0}^{|\langle z, \varphi(w)\rangle|}\frac{ (1-|z|^{2})^{a} {\rm d}t}{(1-t)^{\frac{1}{2}+a+\frac{n-s}{p}}}. \end{eqnarray} $

当$ 1/2<a+(n-s)/p<1 $时, 利用(3.3)–(3.4)式有

(3.5) $ \begin{eqnarray} |\langle z, \xi\rangle|\mu(|z|)\int_{0}^{|\langle z, \varphi(w)\rangle|}\frac{g(t)}{(1-t)^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}} {\rm d}t &\lesssim &\frac{(1-|z|^{2})^{a}\sqrt{1-|\langle z, \varphi(w)\rangle|}}{(1-|\langle z, \varphi(w)\rangle|)^{a+\frac{n-s}{p}-\frac{1}{2}}} {}\\ &\lesssim &(1-|z|^{2})^{a}|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{1-a-\frac{n-s}{p}}\triangleq k(z, w). {\qquad} \end{eqnarray} $

当$ a+(n-s)/p\geq 1 $时, 同样利用(3.3)–(3.4)式得

(3.6) $ \begin{eqnarray} |\langle z, \xi\rangle|\mu(|z|)\int_{0}^{|\langle z, \varphi(w)\rangle|}\frac{g(t)}{(1-t)^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}} {\rm d}t &\lesssim &\frac{(1-|z|^{2})^{a}\sqrt{1-|\langle z, \varphi(w)\rangle|}}{(1-|\langle z, \varphi(w)\rangle|)^{a+\frac{n-s}{p}-\frac{1}{2}}} {}\\ &\lesssim &\frac{(1-|z|^{2})^{a}}{(1-|\varphi(w)|^{2})^{a+\frac{n-s}{p}-1}}\triangleq k(z, w). \end{eqnarray} $

对任意$ u\in B_{n} $, 根据(3.3)–(3.6)式, 引理2.2, 引理2.5(1)–(3), 引理2.6, 我们可得

$ \begin{eqnarray*} &\;& \int_{B_{n}}\frac{(1-|u|^{2})^{s}|Rh_{w}(z)|^{p}\ \mu^{p}(|z|)}{|1-\langle z, u\rangle|^{2s}(1-|z|^{2})} {\rm d}v(z)\\ & \lesssim& \int_{B_{n}}\frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+pb+n}}{|1-\langle z, u\rangle|^{2s}|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{2p+pb+n}(1-|z|^{2})}\\ &\;&\times \left(|\langle z, \xi\rangle|\mu(|z|)\int_{0}^{|\langle z, \varphi(w)\rangle|}\frac{|g(t)| {\rm d}t} {(1-t)^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}}\right)^{p} {\rm d}v(z)\\ &\;& + \ \int_{B_{n}}\frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+n+pb} \mu^{p}(|z|)}{|1-\langle z, u\rangle|^{2s}|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{p+pb+n}(1-|z|^{2})}\\ &\;&\times\left(| \langle z, \xi\rangle|\frac{|g(\langle z, \varphi(w)\rangle)|}{|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}}\right)^{p} {\rm d}v(z)\\ & \lesssim &\int_{B_{n}}\frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+pb+n} k^{p}(z, w)}{|1-\langle z, u\rangle|^{2s}|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{2p+pb+n}(1-|z|^{2})} {\rm d}v(z)\\ \\ &\;& + \int_{B_{n}}\frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|\varphi(w)|^{2})^{p+pb+n-pa}(1-|z|^{2})^{pa-1}}{|1-\langle z, u\rangle|^{2s}|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{p+pb+2n-s}} {\rm d}v(z)\asymp 1. \end{eqnarray*} $

这表明$ \|h_{w}\|_{F(p, \mu, s)}\lesssim 1 $.

如果$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的有界算子, 根据引理2.6和引理2.7可得

(3.7) $ \begin{eqnarray} \|C_{\varphi}\|&\gtrsim &\nu(|w|)|R[h_{w}\circ \varphi](w)|= \nu(|w|) |\langle R\varphi(w), \xi\rangle|\int_{0}^{|\varphi(w)|^{2}}\frac{g(t) {\rm d}t}{(1-t)^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}} {}\\ &\gtrsim &\nu(|w|) |\langle R\varphi(w), \xi\rangle|\int_{0}^{|\varphi(w)|^{2}}\frac{{\rm d}t}{\nu (t)\sqrt{1-t}} \asymp \frac{\nu(|w|) |\langle R\varphi(w), \xi\rangle|}{\sigma_{\nu}(|\varphi(w)|)}. \end{eqnarray} $

当$ 0<a+(n-s)/p\leq 1/2 $时, 取

$ H_{w}(z)=\langle z, \xi\rangle\int_{0}^{\langle z, \varphi(w)\rangle}\frac{g(t)}{(1-t)^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}} {\rm d}t \ \ \ (z\in B_{n}), $

其中$ g $是引理2.6中和正规函数$ \mu $匹配的那个函数. 由(3.3)–(3.4), $ \sup \left\{\sqrt{x}\log\frac{e}{x}: 0<x\leq 1\right\} $$ =\frac{2}{\sqrt{e}} $和$ {0<a\leq a+\frac{n-s}{p}\leq \frac{1}{2}} $, 我们有

(3.8) $ \begin{equation} \mu(|z|)|\langle z, \xi\rangle|\bigg|\int_{0}^{\langle z, \varphi(w)\rangle}\frac{g(t) {\rm d}t} {(1-t)^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}}\bigg|\lesssim (1-|z|^{2})^{a} \end{equation} $

和

(3.9) $ \begin{eqnarray} \frac{\mu(|z|)|\langle z, \xi\rangle\|g(\langle z, \varphi(w)\rangle)|}{|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}} &\lesssim& \frac{(1-|z|^{2})^{a}}{(1-|\langle z, \varphi(w)\rangle|)^{a}}\frac{\sqrt{1-|\langle z, \varphi(w)\rangle|}}{|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}} {}\\ &=&\frac{(1-|z|^{2})^{a}(1-|\langle z, \varphi(w)\rangle|)^{\frac{1}{2}-a}}{|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}}{}\\ &\leq &\frac{(1-|z|^{2})^{a}}{|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{a+\frac{n-s}{p}}}. \end{eqnarray} $

对任意$ u\in B_{n} $, 由(3.8)–(3.9)式, 引理2.3, 引理2.5(3–5), $ {\sup \{x^{\sigma}\log\frac{e}{x}:} \ 0<x< 2\} =\max{\left\{2^{\sigma}\log\frac{e}{2}, \frac{e^{\sigma-1}}{\sigma}\right\}} \ (0<\sigma<s) $, 我们有

$ \begin{eqnarray*} &\;& \int_{B_{n}}\frac{(1-|u|^{2})^{s}|RH_{w}(z)|^{p}\ \mu^{p}(|z|)}{|1-\langle z, u\rangle|^{2s}(1-|z|^{2})} {\rm d}v(z)\\ & \lesssim &\int_{B_{n}}\frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|z|^{2})^{pa-1}}{|1-\langle z, u\rangle|^{2s}} {\rm d}v(z)+\int_{B_{n}} \frac{(1-|u|^{2})^{s}(1-|z|^{2})^{pa-1} {\rm d}v(z)}{|1-\langle z, u\rangle|^{2s}|1-\langle z, \varphi(w)\rangle|^{pa+n-s}}\asymp 1. \end{eqnarray*} $

这表明$ \|H_{w}\|_{F(p, \mu, s)}\lesssim 1 $. 因此, 若$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的有界算子, 根据引理2.6–2.7可得(3.7) 式成立.

综合起来, 若$ |\varphi(w)|>t_{0} $, 根据(3.2) 和(3.7) 以及(2.1) 式就有

$ \begin{eqnarray*} &\;&\nu(|w|)\left\{\frac{|\langle R\varphi(w), \varphi(w)\rangle|}{\nu(|\varphi(w)|)}+\frac{|R\varphi(w)|}{\sigma_{\nu}(|\varphi(w)|)}\right\}\\ & \leq& \frac{\nu(|w|)|\langle R\varphi(w), \varphi(w)\rangle|}{\nu(|\varphi(w)|)}\left\{1+\frac{\nu(|\varphi(w)|)}{|\varphi(w)|\sigma_{\nu}(|\varphi(w)|)}\right\}+\frac{\nu(|w|)|\langle R\varphi(w), \xi\rangle|}{\sigma_{\nu}(|\varphi(w)|)}\\ & \lesssim& \frac{\nu(|w|)|\langle R\varphi(w), \varphi(w)\rangle|}{\nu(|\varphi(w)|)}+\frac{\nu(|w|)|\langle R\varphi(w), \xi\rangle|}{\sigma_{\nu}(|\varphi(w)|)} \lesssim \|C_{\varphi}\|. \end{eqnarray*} $

若$ |\varphi(w)|\leq t_{0} $, 根据(2.1)式可得

$ \begin{eqnarray*} &\;& \nu(|w|)\left\{\frac{|\langle R\varphi(w), \varphi(w)\rangle|}{\nu(|\varphi(w)|)}+\frac{|R\varphi(w)|}{\sigma_{\nu}(|\varphi(w)|)}\right\} \\ & \lesssim &\frac{1}{\nu(t_{0})}\sum\limits_{l=1}^{n}\|\varphi_{l}\|_{{\cal B}_{\nu}} +\frac{1}{\nu(t_{0})}\sum\limits_{l=1}^{n}\|\varphi_{l}\|_{{\cal B}_{\nu}}\left(1+\int_{0}^{t_{0}}\frac{{\rm d}t}{(1-t)^{a+\frac{n-s}{p}+\frac{1}{2}}}\right) \lesssim \sum\limits_{l=1}^{n}\|\varphi_{l}\|_{{\cal B}_{\nu}}. \end{eqnarray*} $

这表明(3.1) 式成立. 证毕.

推论3.2   若$ 0<s\leq n $和$ pa+n\geq s+ p $, 则$ C_{\varphi} $从$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $总有界.

证    对任意满足$ |\varphi(z)|>t_{0} $的$ z\in B_{n} $, 根据(2.2)–(2.3)式, 球上Schwarz-Pick引理, 引理2.2, 我们有

$ \begin{eqnarray*} &&\nu(|z|)\left\{\frac{|\langle R\varphi(z), \varphi(z)\rangle|}{\nu(|\varphi(z)|)}+\frac{|R\varphi(z)|} {\sigma_{\nu}(|\varphi(z)|)}\right\} \\ & \asymp& \frac{\nu(|z|)(1-|\varphi(z)|^{2})}{\nu(|\varphi(z)|)}\sqrt{H_{\varphi(z)}(R\varphi(z))} \lesssim \frac{\nu(|z|)(1-|\varphi(z)|^{2})}{\nu(|\varphi(z)|)(1-|z|^{2})}\\ &\lesssim& \frac{(1-|z|^{2})^{a+\frac{n-s}{p}-1}}{(1-|\varphi(z)|^{2})^{a+\frac{n-s}{p}-1}}+ \frac{(1-|z|^{2})^{b+\frac{n-s}{p}-1}}{(1-|\varphi(z)|^{2})^{b+\frac{n-s}{p}-1}}\lesssim 1. \end{eqnarray*} $

根据定理3.1就有$ C_{\varphi} $从$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $总有界. 证毕.

注记1   当$ pa+n< s+ p $时, 存在$ \varphi $使得$ C_{\varphi} $不是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的有界算子. 例如, 我们按如下取$ \mu $和$ \varphi $, 有

$ \mu(\rho)=(1-\rho)^{\alpha}\log^{-1}\frac{e}{1-\rho}, \ \ \ \varphi(z)=\Big(\frac{(1-z_{1})^{\beta}}{3}, 0, \cdots, 0\Big), $

其中$ {0<\alpha<1-\frac{n-s}{p}} $且$ {0<2\beta<1-\alpha-\frac{n-s}{p}} $. 容易证明

$ I\gtrsim \sup\limits_{\frac{1}{2}<\rho<1}(1-\rho)^{\frac{n-s}{p}+\alpha+2\beta-1}\log^{-1}\frac{e}{1-\rho}=\infty. $

根据定理3.1可知$ C_{\varphi} $不是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的有界算子.

定理3.3   设$ 0<s\leq n $且$ \nu(\rho)=(1-\rho^{2})^{\frac{n-s}{p}}\ \mu(\rho) $, 则下列三个条件是等价的.

(1) $ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的紧算子.

(2) (i) 当$ {\|\varphi\|_{\infty}<1} $时, 对所有$ l\in \{1, 2, \cdots, n\} $有$ \varphi_{l}\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $.

(ii) 当$ \|\varphi\|_{\infty}=1 $且$ {\int_{0}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{\sqrt{1-\rho}\ \nu(\rho)}<\infty} $时, 对$ l\in \{1, \cdots, n\} $都有$ \varphi_{l}\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $且

(3.10) $ \begin{equation} \lim\limits_{|\varphi(z)|\rightarrow 1^{-}}\frac{\nu(|z|)|\langle R\varphi(z), \varphi(z)\rangle|}{\nu(|\varphi(z)|)}=0. \end{equation} $

(iii) 当$ \|\varphi\|_{\infty}=1 $且$ {\int_{0}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{\sqrt{1-\rho} \nu(\rho)}=\infty} $时, 对$ l\in \{1, \cdots, n\} $都有$ \varphi_{l}\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $且

(3.11) $ \begin{equation} \lim\limits_{|\varphi(z)|\rightarrow 1^{-}}\nu(|z|)\left\{\frac{|\langle R\varphi(z), \varphi(z)\rangle|}{\nu(|\varphi(z)|)}+\frac{|R\varphi(z)|}{\sigma_{\nu}(|\varphi(z)|)}\right\}=0. \end{equation} $

(3) $ C_{\varphi} $在$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $上为紧算子.

证    根据文献[16, 定理7.4]结合(2.2)式可知：结果(3) 成立当且仅当结果(2) 成立. 因此, 我们仅仅需要证明结果(1)成立当且仅当结果(2) 成立. 首先, 我们证明充分性.

设$ \{f_{k}\} $是任一在$ B_{n} $的任意紧子集上一致收敛于0且满足对所有$ k\in \{1, 2, \cdots\} $有$ \|f_{k}\|_{F(p, \mu, s)}\leq 1 $的函数列. 容易证明$ \{|\nabla f_{k}|\} $在$ B_{n} $的任意紧子集上也一致收敛于0.

(i) 若$ \|\varphi\|_{\infty}<1 $且$ \varphi_{l}\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $, 根据引理2.1可得

$ \begin{eqnarray*} \|C_{\varphi}f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu}} &\lesssim& |f_{k}[\varphi(0)]|+\sup\limits_{z\in B_{n}}\nu(|z|)|\langle (\nabla f_{k})[\varphi(z)], \overline{R\varphi(z)}\rangle|\\ & \leq &|f_{k}[\varphi(0)]|+\sum\limits_{l=1}^{n}\|\varphi_{l}\|_{{\cal B}_{\nu}}\sup\limits_{|w|\leq \|\varphi\|_{\infty}}|\nabla f_{k}(w)|\rightarrow 0 \ \ (k\rightarrow \infty). \end{eqnarray*} $

这意味着$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的紧算子.

(ii) 若$ {\int_{0}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{\sqrt{1-\rho}\ \nu(\rho)}<\infty} $, 则对任意$ \varepsilon>0 $, 存在$ t_{0}<r_{0}<1 $使得

(3.12) $ \begin{equation} \int_{r_{0}}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{\sqrt{1-\rho}\ \nu(\rho)}<\varepsilon. \end{equation} $

假设$ \|\varphi\|_{\infty}=1 $且(3.10) 成立, 则对上述$ \varepsilon>0 $, 存在$ r_{0}<\delta<1 $使得$ |\varphi(z)|>\delta $时

(3.13) $ \begin{equation} \frac{\nu(|z|)|\langle R\varphi(z), \varphi(z)\rangle|}{\nu(|\varphi(z)|)}<\varepsilon. \end{equation} $

当$ |\varphi(z)|>\delta $时, 设$ R\varphi(z)=u_{1}\varphi(z)/|\varphi(z)|+u_{2}\xi $, 其中$ \xi\in S_{n} $满足$ \langle \varphi(z), \xi\rangle=0 $. 若对所有$ l\in \{1, 2, \cdots, n\} $有$ \varphi_{l}\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $且(3.10) 式成立, 根据(3.12)–(3.13)式和引理2.8以及引理2.4可得

$ \begin{eqnarray*} \|C_{\varphi}f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu}} &\lesssim& |f_{k}[\varphi(0)]|+\{\sup\limits_{|\varphi(z)|\leq\delta}+\sup\limits_{|\varphi(z)|>\delta}\}\nu(|z|)|\langle (\nabla f_{k})[\varphi(z)], \overline{R\varphi(z)}\rangle|\\ & \lesssim& |f_{k}[\varphi(0)]|+\sum\limits_{l=1}^{n}\|\varphi_{l}\|_{{\cal B}_{\nu}}\sup\limits_{|w|\leq\delta}|\nabla f_{k}(w)| +\sup\limits_{|\varphi(z)|>\delta}\frac{\nu(|z|)|\langle R\varphi(z), \varphi(z)\rangle|}{\nu(|\varphi(z)|)|\varphi(z)|}\\ &&+\sup\limits_{|\varphi(z)|>\delta}\nu(|z|)|\langle (\nabla f_{k})[\varphi(z)], \overline{\xi}\rangle\|\langle R\varphi(z), \xi\rangle| \\& \lesssim & |f_{k}[\varphi(0)]|+\sum\limits_{l=1}^{n}\|\varphi_{l}\|_{{\cal B}_{\nu}}\sup\limits_{|w|\leq\delta}|\nabla f_{k}(w)| + \varepsilon\\ &&+\|f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu, 1}}\sum\limits_{l=1}^{n}\|\varphi_{l}\|_{{\cal B}_{\nu}}\int_{\delta}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{\sqrt{1-\rho}\ \nu(\rho)}\\ & \lesssim &|f_{k}[\varphi(0)]|+\sum\limits_{l=1}^{n}\|\varphi_{l}\|_{{\cal B}_{\nu}}\sup\limits_{|w|\leq\delta}|\nabla f_{k}(w)| + \ \varepsilon\rightarrow \varepsilon \ \ (k\rightarrow \infty). \end{eqnarray*} $

根据$ \varepsilon $的任意性就有$ {\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\|C_{\varphi}f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu}}}=0 $. 这暗指$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的紧算子.

(iii) 假设$ \|\varphi\|_{\infty}=1 $和(3.11) 式成立, 则对任意$ \varepsilon>0 $, 存在$ r_{0}<\delta<1 $使$ |\varphi(z)|>\delta $时

(3.14) $ \begin{equation} \nu(|z|)\left\{\frac{|\langle R\varphi(z), \varphi(z)\rangle|}{\nu(|\varphi(z)|)}+\frac{|R\varphi(z)|}{\sigma_{\nu}(|\varphi(z)|)}\right\}<\varepsilon. \end{equation} $

若对所有$ l\in \{1, 2, \cdots, n\} $有$ \varphi_{l}\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $且(3.11) 式成立, 根据引理2.1, (3.14) 式, (2.2) 式, 引理2.4, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \|C_{\varphi}f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu}} &\lesssim& |f_{k}[\varphi(0)]|+\{\sup\limits_{|\varphi(z)|\leq\delta}+\sup\limits_{|\varphi(z)|>\delta}\}\nu(|z|)|\langle (\nabla f_{k})[\varphi(z)], \overline{R\varphi(z)}\rangle|\\ & \lesssim & |f_{k}[\varphi(0)]|+\sum\limits_{l=1}^{n}\|\varphi_{l}\|_{{\cal B}_{\nu}}\sup\limits_{|w|\leq\delta}|\nabla f_{k}(w)| + \ \varepsilon\|f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu}}\\ & \lesssim & |f_{k}[\varphi(0)]|+\sum\limits_{l=1}^{n}\|\varphi_{l}\|_{{\cal B}_{\nu}}\sup\limits_{|w|\leq\delta}|\nabla f_{k}(w)| + \ \varepsilon\rightarrow \varepsilon \ \ (k\rightarrow \infty). \end{eqnarray*} $

根据$ \varepsilon $的任意性, 我们有$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的紧算子.

接下来我们考虑必要性. 当$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的紧算子时, 根据紧算子必是有界算子可得: 对所有$ l\in \{1, 2, \cdots, n\} $有$ \varphi_{l}\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $. 假定$ \|\varphi\|_{\infty}=1 $, 设 $ \{w^{k}\}\subset B_{n} $是任一满足$ {\lim\limits_{k\rightarrow \infty}|\varphi(w^{k})|=1} $和$ |\varphi(w^{k})|>t_{0} $ ($ k=1, 2, \cdots $) 的点列, 取

$ f_{k}(z)=\frac{(1-|\varphi(w^{k})|^{2})^{1+b+\frac{s}{p}}}{\mu(|\varphi(w^{k})|)}\int_{0}^{\langle z, \varphi(w^{k})\rangle}\frac{{\rm d}t}{(1-t)^{1+b+\frac{n}{p}}} \ \ \ (z\in B_{n}). $

容易验证$ \{f_{k}\} $在$ B_{n} $的任意紧子集上一致趋于0且$ \|f_{k}\|_{F(p, \mu, s)}\lesssim 1 $对所有$ k\in \{1, 2, \cdots\} $成立. 因此, 如果$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的紧算子, 则$ {\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\|C_{\varphi}f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu}}=0} $. 类似(3.2) 式的证明, 我们可得$ \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\nu(|w^{k}|)|\langle R\varphi(w^{k}), \varphi(w^{k})\rangle|}{\nu(|\varphi(w^{k})|)}=0. $这意味着(3.10)式成立.

进一步, 对任意$ k\in \{1, 2, \cdots\} $, 设$ R\varphi(w^{k})=u_{1, k}\ \varphi(w^{k})+u_{2, k}\ \xi^{k} $, 其中$ \xi^{k}\in S_{n} $满足$ \langle \varphi(w^{k}), \xi^{k}\rangle=0 $. 当$ a+(n-s)/p>1/2 $时, 我们取

$ h_{k}(z)=\frac{(1-|\varphi(w^{k})|^{2})^{1+b+\frac{n}{p}}\ \langle z, \xi^{k}\rangle}{(1-\langle z, \varphi(w^{k})\rangle)^{1+b+\frac{n}{p}}}\int_{0}^{\langle z, \varphi(w^{k})\rangle}\frac{g(t)}{(1-t)^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}} {\rm d}t \ \ \ (z\in B_{n}), $

其中$ g $是引理2.6中和正规函数$ \mu $匹配的那个函数.

当$ a+(n-s)/p\leq 1/2 $且$ {\int_{0}^{1}\frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t}\ \nu(t)}=\int_{0}^{1}\frac{{\rm d}t}{\mu(t) (1-t)^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}}=\infty} $时, 取

$ h_{k}(z)=\langle z, \xi^{k}\rangle\left\{\int_{0}^{\langle z, \varphi(w^{k})\rangle}\frac{g(t) {\rm d}t}{(1-t)^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}}\right\}^{2} \bigg/ \int_{0}^{|\varphi(w^{k})|^{2}}\frac{g(t) {\rm d}t}{(1-t)^{\frac{1}{2}+\frac{n-s}{p}}}\ \ \ (z\in B_{n}). $

容易证明$ \{h_{k}\} $在$ B_{n} $的任一紧子集上一致趋于0且$ \|h_{k}\|_{F(p, \mu, s)}\lesssim 1 $对所有$ k\in \{1, 2, \cdots\} $成立. 类似(3.7)式的证明, 我们可得

$ \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{\nu(|w^{k}|)\ |\langle R\varphi(w^{k}), \xi^{k}\rangle|}{\sigma_{\nu}(|\varphi(w^{k})|)}=0. $

这意味着

(3.15) $ \begin{equation} \lim\limits_{|\varphi(z)|\rightarrow 1^{-}}\frac{\nu(|z|)|\langle R\varphi(z), \xi\rangle|}{\sigma_{\nu}(|\varphi(z)|)}=0, \end{equation} $

其中$ \xi\in S_{n} $满足$ \langle \varphi(z), \xi\rangle=0. $

因此, 根据(3, 10)式和(3.15)式可得(3.11) 式成立. 证毕.

实际上, 我们可得到下列结果.

推论3.4   设$ 0<s\leq n $且$ \nu(\rho)=(1-\rho^{2})^{\frac{n-s}{p}}\ \mu(\rho) $ ($ \rho\in [0, 1) $).

(1) 若$ {\int_{0}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{\nu(\rho)}<\infty} $, 则$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的紧算子当且仅当$ \|\varphi\|_{\infty}<1 $以及对所有$ l\in \{1, 2, \cdots, n\} $有$ \varphi_{l}\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $.

(2) 若$ {\int_{0}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{ \nu(\rho)}=\infty} $且$ \|\varphi\|_{\infty}=1 $, 则$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的紧算子当且仅当(3.11) 成立以及对所有$ l\in \{1, 2, \cdots, n\} $有$ \varphi_{l}\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $.

证    利用定理3.3可得结果(2) 成立.

假定$ \|\varphi\|_{\infty}=1 $, 根据定理3.3可知：$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的紧算子的充要条件与$ C_{\varphi} $是$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $上紧算子的充要条件相同.

但在另一方面, 我们知道: 当$ {\int_{0}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{\nu(\rho)}}<\infty $时, $ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $是一个自同构不变的边界正则小空间(可参见文献[21, 注记1]). 根据文献[28, 定理4.5]可知: 当$ C_{\varphi} $在$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $上紧时必有$ \|\varphi\|_{\infty}<1 $. 因此, 如果$ {\int_{0}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{\nu(\rho)}}<\infty $, 则$ C_{\varphi} $在$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $上紧当且仅当$ \|\varphi\|_{\infty}<1 $且对所有$ l\in \{1, 2, \cdots, n\} $有$ \varphi_{l}\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $ (可参见文献[21, 定理3.3]). 这暗指结果(1)是成立的. 证毕.

注记2   对一个正规函数$ \mu $, 若$ a>1 $, 则$ H^{\infty}(B_{n})\subset {\cal B}_{\mu}(B_{n}) $. 但条件$ {\int_{0}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{\mu(\rho)}=\infty} $导不出这个结果. 例如, 我们取$ \mu(\rho)=(1-\rho)\log\frac{e}{1-\rho} \ ( 0\leq\rho<1 ) $和$ h(z)=e^{\frac{z_{1}+1}{z_{1}-1}} \ (z\in B_{n}). $不难验证$ h\in H^{\infty}(B_{n}) $, 但$ h $不属于$ {\cal B}_{\mu}(B_{n}) $.

推论3.5   若$ 0<s\leq n $且$ pa+n>s+p $, 则$ C_{\varphi} $从$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $紧当且仅当

(3.16) $ \begin{equation} \lim\limits_{|z|\rightarrow 1^{-}}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi(z)|^{2}}=0. \end{equation} $

证    当$ \|\varphi\|_{\infty}=1 $时, 设$ \{w^{k}\}\subset B_{n} $是任一满足 $ {\lim\limits_{k\rightarrow \infty}|\varphi(w^{k})|=1} $且对任意$ k\in \{1, 2, \cdots\} $都有$ |\varphi(w^{k})|>t_{0} $的序列. 若$ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的紧算子, 我们取

$ f_{k}(z)=\frac{(1-|\varphi(w^{k})|^{2})^{1+b+\frac{s}{p}}}{\mu(|\varphi(w^{k})|)(1-\langle z, \varphi(w^{k})\rangle)^{b+\frac{n}{p}}} \ \ \ (z\in B_{n}). $

类似前面的证明, 我们可得$ {\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\|C_{\varphi}f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu}}=0} $.

若$ a+(n-s)/p>1 $, 根据引理2.1可得

(3.17) $ \begin{eqnarray} |C_{\varphi}f_{k}(w^{k})-C_{\varphi}f_{k}(0)|&=&\left|\int_{0}^{1}R[C_{\varphi}f_{k}](\rho w^{k})\ \frac{ {\rm d}\rho}{\rho}\right| \lesssim \int_{0}^{1}\frac{|w^{k}|\ \|C_{\varphi}f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu}}}{\nu(\rho |w^{k}|)}\ {\rm d}\rho{}\\ & =&\int_{0}^{|w^{k}|}\frac{\|C_{\varphi}f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu}}\ {\rm d}\rho}{(1-\rho^{2})^{\frac{n-s}{p}}\mu(\rho)}\asymp \frac{\|C_{\varphi}f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu}}(1-|w^{k}|^{2})^{1-\frac{n-s}{p}}}{\mu(|w^{k}|)}. \end{eqnarray} $

因此, 利用(3.17)式和引理2.2就有

$ \begin{eqnarray*} \frac{\|C_{\varphi}f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu}}(1-|w^{k}|^{2})^{1-\frac{n-s}{p}}}{\mu(|w^{k}|)} &\gtrsim& \frac{(1-|\varphi(w^{k})|^{2})^{1-\frac{n-s}{p}}}{\mu(|\varphi(w^{k})|)} \Rightarrow \left(\frac{1-|w^{k}|^{2}}{1-|\varphi(w^{k})|^{2}}\right)^{b+\frac{n-s}{p}-1}\\ &\lesssim& \left\{1+\left(\frac{1-|w^{k}|^{2}}{1-|\varphi(w^{k})|^{2}}\right)^{b-a}\right\}\|C_{\varphi}f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu}}\\ & \leq& \left\{1+\left(\frac{1+|\varphi(0)|}{1-|\varphi(0)|}\right)^{b-a}\right\}\|C_{\varphi}f_{k}\|_{{\cal B}_{\nu}}\rightarrow 0 \ \ (k\rightarrow \infty). \end{eqnarray*} $

这暗指(3.16) 式成立.

对任意$ l\in \{1, 2, \cdots, n\} $, 通过注记, 当$ a+(n-s)/p>1 $时, 条件$ |\varphi_{l}(z)|<1 \ (z\in B_{n}) $暗指$ \varphi_{l}\in {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $. 此外, 若$ |\varphi(z)|\rightarrow 1^{-} $, 则必有$ |z|\rightarrow 1^{-} $. 若(3.16)式成立, 根据(2.2)–(2.3)式就有

$ \begin{eqnarray*} &&\nu(|z|)\left\{\frac{|\langle R\varphi(z), \varphi(z)\rangle|}{\nu(|\varphi(z)|)}+\frac{|R\varphi(z)|}{\sigma_{\nu}(|\varphi(z)|)}\right\} \\ &\asymp& \frac{\nu(|z|)(1-|\varphi(z)|^{2})}{\nu(|\varphi(z)|)}\sqrt{H_{\varphi(z)}[R\varphi(z)]} \lesssim \frac{\nu(|z|)(1-|\varphi(z)|^{2})}{\nu(|\varphi(z)|)(1-|z|^{2})}\\ &\lesssim& \left(\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi(z)|^{2}}\right)^{a+\frac{n-s}{p}-1}+\left(\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi(z)|^{2}}\right)^{b+\frac{n-s}{p}-1} \rightarrow 0 \ \ (|\varphi(z)|\rightarrow 1^{-}). \end{eqnarray*} $

根据定理3.3知$ C_{\varphi} $为$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(B_{n}) $的紧算子. 证毕.

当$ n=1 $时, 我们有下列结果.

推论3.6   设$ 0<s\leq 1 $且$ \nu(\rho)=(1-\rho^{2})^{\frac{1-s}{p}}\ \mu(\rho) $ ($ \rho\in [0, 1) $).

(1) $ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(D) $的有界算子当且仅当$ \sup\limits_{z\in D}\frac{\nu(|z|) |\varphi'(z)|}{\nu(|\varphi(z)|)}<\infty. $

(2) 当$ {\int_{0}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{\nu(\rho)}<\infty} $时, $ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(D) $的紧算子当且仅当$ \varphi\in {\cal B}_{\nu}(D) $并且满足$ \|\varphi\|_{\infty}<1 $.

(3) 当$ {\int_{0}^{1}\frac{ {\rm d}\rho}{\nu(\rho)}=\infty} $且$ \|\varphi\|_{\infty}=1 $时, $ C_{\varphi} $是$ F(p, \mu, s) $到$ {\cal B}_{\nu}(D) $的紧算子当且仅当$ \varphi\in {\cal B}_{\nu}(D) $并且还满足$ \lim\limits_{|\varphi(z)|\rightarrow 1^{-}}\frac{\nu(|z|)\ |\varphi'(z)|}{\nu(|\varphi(z)|)}=0. $