近年来, 保险公司的最优投资与再保险问题是精算界关注的热点问题之一. 在金融市场中的投资是保险公司获取利润的重要经营活动, 而再保险是保险公司规避或转移过度风险的主要手段. 适当的投资与再保险策略不仅可以对索赔的风险进行对冲, 而且能够增加收益. 因此如何合理地分配投资与购买再保险成为保险公司需要面对的重要问题.

在以往的研究中, 大多数学者基于三种优化准则来研究最优投资与再保险问题, 第一种是终端财富期望效用最大化准则, 其中常用的效用函数有指数效用函数^[1−2], 和幂效用函数^[3−4]; 第二种是最小化破产概率准则^[5−6]; 第三种是均值-方差准则^[7−8]. 基于这些优化准则来研究最优策略忽略了决策者可能具有损失厌恶特征, 事实上, 许多决策者不可能在任何时刻都保持理性, Kahneman和Tversky^[9]从认知心理学的角度研究了决策者的决策行为, 并提出了损失厌恶的概念. 现实中的许多决策者关注的不是财富本身的绝对水平, 而是与一个预设参考点相关的得失情况, 通常决策者对损失比对收益更敏感, 基于这些考虑, Kahneman和Tversky^[9]提出用$ S $型效用函数来描述决策者的损失厌恶特征. 后来Barberis等^[10]利用数值方法研究了损失厌恶型投资者的最优投资组合; Berkelaar等^[11]研究了$ S $型效用函数下的连续时间投资组合问题, 他们利用Cox和Huang^[12]以及Karatzas等^[13]提出的鞅方法, 获得了投资策略的解析解; 郭文旌^[14]以及孙庆雅等^[15]假设保险公司的效用函数为$ S $型的, 同样运用鞅方法对保险公司的最优投资与再保险问题进行求解, 得到的结果考虑了决策者的非理性因素, 同时使保险公司的资金管理收益达到最佳.

通常保险公司将资金进行集中管理, 保险公司的社会目标要求其拥有偿付能力, 但实际上任何一个公司在运营过程中都存在破产风险. 如果保险公司破产, 无疑是将风险再次转移到保险购买者身上, 因此需要保证保险公司不会破产, 这意味着保险公司的财富在终端时刻必须不低于一个合适的正水平, 以保证公司的正常运行. 以上提到的$ S $型效用函数下的研究考虑了决策者的非理性因素, 而均未考虑保险公司的破产风险. 以往有学者在研究最优投资问题时考虑了最低绩效保障, 例如Browne^[16]引入了随机最低绩效保障抑制, 并预设投资组合收益需超过最低绩效保障一定比例, 以达到此比例的概率最大化为优化准则, 对投资者的最优投资问题进行了研究; Tepía^[17]限制到期时刻的投资组合产生的财富值不低于最低绩效保障, 在期望HARA效用最大化准则下研究了最优投资问题; 在文献[17]的基础上, 刘福兵等^[18]研究了随机利率环境及随机最低绩效保障下的最优投资问题, 要求投资者在到期时刻的投资组合产生的财富值不低于最低绩效保障. 但是, 这些研究都不是基于期望$ S $型效用最大化准则, 未考虑决策者的损失厌恶特征.

以上文献均未考虑通胀风险. 事实上, 由于保险公司的投资与再保险过程涉及的时间较长, 无论是投资收益还是保费收入都不足以使保险公司抵御购买力恶化的影响, 因此有必要考虑通胀风险. 在以往的研究中, Guan等^[3]考虑了通胀风险, 假设名义利率为随机的, 在模型中引入了通胀指数债券来对冲通胀风险, 以期望幂效用最大化为优化准则, 对最优投资与再保险问题进行了研究; 杨鹏^[19]考虑了通胀风险, 并与随机微分博弈相结合, 研究了保险公司在与金融市场博弈时的最优投资与再保险问题; Guo等^[20]用CIR模型来描述国内外名义利率, 研究了同时在国内外市场投资的保险公司的最优投资与再保险问题.

在上述文献研究的基础上, 该文同时考虑了决策者的损失厌恶特征, 以及保险公司在实际运营过程中面临的通胀风险和破产风险, 对保险公司的最优投资与再保险问题进行了进一步的研究. 在假设保险公司决策者是损失厌恶的非理性人的前提下, 该文充分结合实际, 用$ S $型效用来描述决策者的满意程度; 同时, 为了消除破产风险和对冲通胀风险, 该文考虑了最低绩效保障抑制和引入了通胀指数债券; 此外, 该文考虑了保险盈余与通胀指数债券过程和股价过程的相关性, 使模型更符合实际. 对以上几个方面的考虑, 使得该文结论更具有现实指导意义, 并丰富了最优投资与再保险问题的相关研究. 该文的研究过程如下: 首先以终端财富期望$ S $型效用最大化为优化准则, 建立带最低绩效保障的随机最优控制模型, 由于$ S $型效用的非凹特征, 运用HJB方程方法不易求解该问题, 与文献[12−15, 21]的处理方法类似, 该文运用鞅方法得到保险公司最优投资与再保险策略的详细表达式, 然后通过数值模拟, 分析了不同模型参数对投资与再保险策略的影响, 并给出了合理的经济学解释.

该文其余部分安排如下: 在第二节, 我们给出了指数债券, 股票, 无风险资产以及盈余过程模型, 介绍了$ S $型效用函数, 并提出了动态优化问题(2.13); 在第三节, 利用鞅方法推导出了保险公司的最优终端财富, 以及最优投资与再保险策略的详细表达式; 在第四节, 通过数值模拟分析了参数变化对最优投资与再保险策略的影响; 第五节对文章进行了总结.

设$ (\Omega, {\cal F}, \{{\cal F}_t\}_{0\leq t\leq T}, \mathbb{P}) $是一完备的概率空间, 其中滤子$ \{{\cal F}_t\}_{0\leq t\leq T} $满足通常条件, $ T > 0 $为固定的有限时间. 该文所考虑的随机过程都定义在$ (\Omega, {\cal F}, \{{\cal F}_t\}_{0\leq t\leq T}, \mathbb{P}) $上, 且关于$ \{{\cal F}_t\}_{0\leq t\leq T} $适应. 假设决策者可以连续进行交易, 且不考虑交易成本和税费.

假设金融市场由三种可交易的资产组成: 通胀指数债券, 无风险资产和股票. 为了描述通货膨胀风险, 定义服从几何布朗运动的随机价格水平$ I(t) $, 满足

(2.1) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } \frac{{\rm d} I(t)}{I(t)}=\mu _I(t){\rm d}t +\sigma_I(t){\rm d}W_I(t), \\ I(0)=i_0>0, \end{array} \end{equation} $

其中$ \mu_I(t)>0 $表示期望通胀率, $ \sigma_I(t)>0 $表示价格水平波动率, 它们均是时间$ t $的连续函数, $ W_I(t) $是标准布朗运动.

指数债券$ B(t) $的价格过程满足

(2.2) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } \frac{{\rm d} B(t)}{B(t)}=r(t){\rm d}t+ \frac{{\rm d} I(t)}{I(t)}=(r(t)+\mu_I(t)){\rm d}t+\sigma_I(t){\rm d}W_I(t), \\ B(0)=b_0>0, \end{array} \end{equation} $

其中$ r(t)>0 $是时间$ t $的连续函数, 表示实际利率.

无风险债券$ S_0(t) $的价格过程满足

(2.3) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } \frac{{\rm d} S_0(t)}{S_0(t)}= r_0(t){\rm d}t, \\ S_0(0)=1, \end{array} \end{equation} $

其中$ r_0(t)>0 $是时间$ t $的连续函数, 表示名义无风险利率.

股票$ S(t) $的价格过程满足

(2.4) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } \frac{{\rm d}S(t) }{S(t)} =\mu_S(t){\rm d}t+\sigma_{S1}(t){\rm d}W_S(t)+\sigma_{S2}(t){\rm d}W_I(t), \\ S(0)=s_0>0, \end{array} \end{equation} $

其中$ \mu_S(t)>0 $表示风险资产的期望回报率, $ \sigma_{S1}(t)>0 $表示风险资产波动率, $ \sigma_{S2}(t)>0 $表示与价格水平相关的波动率, 它们均是时间$ t $的连续函数, $ W_S(t) $是独立于$ W_I(t) $的标准布朗运动.

在不考虑再保险情形时, 假设保险盈余过程$ R_0(t) $符合如下扩散模型

(2.5) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } {\rm d}R_0(t)=c(t){\rm d}t-\mu_R(t){\rm d}t+\sigma_{R1}(t){\rm d}W_R(t)+ \sigma_{R2}(t){\rm d}W_I(t)+\sigma_{R3}(t){\rm d}W_S(t), \\ R_0(0)=R_0>0, \end{array} \end{equation} $

其中$ c(t)>0 $表示保费率, $ \mu_R(t)>0 $表示期望保险赔付率, $ \sigma_{R1}(t) $, $ \sigma_{R2}(t) $与$ \sigma_{R3}(t) $均为取正值的连续函数, $ \sigma_{R2}(t) $与$ \sigma_{R3}(t) $可分别用来描述保险盈余过程$ R_0(t) $与指数债券价格过程$ B(t) $和股票价格过程$ S(t) $的相关性水平, $ W_R(t) $是独立于$ W_I(t) $与$ W_S(t) $的标准布朗运动. 假设$ t $时刻的保费率按照期望保费原理计算, 即

$ c(t)=(1+\eta(t))\mu_R(t), $

其中$ \eta(t)>0 $为保险公司的安全负荷因子. 若

$ c(t)\equiv c, \mu_R(t)\equiv \mu_R, \sigma_{R1}\equiv \sqrt{1-\rho_1^2-\rho_2^2}\cdot \sigma_R, \sigma_{R2}\equiv \sigma_R\rho_1, \sigma_{R3}\equiv \sigma_R\rho_2, $

其中$ c $, $ \mu_R $, $ \sigma_R $, $ \rho_1 $, $ \rho_2 $均为正常数, 且$ 0\leqslant \rho_1^2+\rho_2^2\leqslant1 $, 设

$ \overline{W}(t)=\sqrt{1-\rho_1^2-\rho_2^2}W_R(t)+\rho_1W_I(t)+\rho_2W_S(t), $

则$ \overline{W}(t) $为连续鞅, $ \overline{W}(0)=0 $, 且二次变差$ \langle \overline{W}, \overline{W}\rangle(t)=t $, 由布朗运动的Lévy刻画定理知, $ \overline{W}(t) $为标准布朗运动. 此时(2.5) 式可简写为

$ {\rm d}R_0(t)=(c-\mu_R){\rm d}t+\sigma_R{\rm d}\overline{W}(t), $

这是经典的保险盈余扩散过程模型^[22]. 因此(2.5) 式是推广的保险盈余扩散过程模型, 其中参数均假设为时间$ t $的函数, 可反映受背景风险和经济环境不确定等因素的影响而产生的时变特征.

保险公司可通过购买再保险或获取新业务来分散保险风险, $ q(t) $表示在$ t $时刻的保险业务自留比例, 由于在现实中不允许保险公司存在通过再保险业务进行套利的行为, 因此$ q(t)\geqslant0 $. 对于在$ t $时刻发生的索赔, 由再保险公司支付索赔额度的一部分, 比例为$ (1-q(t)) $, 而保险公司支付剩余部分. 再保险费率同样按照期望保费原理计算, 即为$ (1-q(t))(1+\beta(t))\mu_R(t), $ 其中$ \beta(t)(>\eta(t)) $是再保险公司的安全负荷因子. 带有再保险的盈余过程$ R(t) $满足

(2.6) $ \begin{equation} \begin{array}{rl} {\rm d}R(t)=&c(t){\rm d}t-q(t)\mu_R(t){\rm d}t+q(t)(\sigma_{R1}(t){\rm d}W_R(t)+\sigma_{R2}(t){\rm d}W_I(t)+\sigma_{R3}(t){\rm d}W_S(t))\\ &-(1-q(t))(1+\beta(t))\mu_R(t){\rm d}t\\ =&(\mu_R(t)\beta q(t)+\mu_R(t)(\eta(t)-\beta(t))){\rm d}t+q(t)(\sigma_{R1}(t){\rm d}W_R(t)+\sigma_{R2}(t){\rm d}W_I(t)\\ &+\sigma_{R3}(t){\rm d}W_S(t)), \\ R(0)=&R_0>0. \end{array} \end{equation} $

除了购买再保险或获取新业务, 保险公司还将资金投资于金融市场来获取收益. 设$ \pi_1(t), $$ \pi_2(t) $分别表示$ t $时刻投资于通胀指数债券和股票的额度, 则$ X(t)-\pi_1(t)-\pi_2(t) $表示投资于无风险债券的额度, 这里的$ X(t) $表示保险公司的财富过程, 其对应的投资与再保险策略记为$ u(t)=(\pi_1(t) $, $ \pi_2(t), q(t))' $. 设保险公司的初始财富值为$ x_0 $, 则$ X(t) $满足

(2.7) $ \begin{equation} \begin{array}{rl} {\rm d}X(t)&{ } =\pi_1(t)\frac{{\rm d} B(t)}{B(t)}+\pi_2(t)\frac{{\rm d} S(t)}{S(t)}+(X(t)-\pi_1(t)-\pi_2(t))\frac{{\rm d} S_0(t)}{S_0(t)}+{\rm d}R(t)\\ &=X(t)r_0(t){\rm d}t+u'(t)\sigma(t)(\xi(t){\rm d}t+{\rm d}W(t))+\mu_R(t)(\eta(t)-\beta(t)){\rm d}t, \\ X(0)&=x_0>0, \end{array} \end{equation} $

其中

(2.8)$\begin{equation} {\nonumber} \begin{array}{ll} {u(t)=(\pi_1(t), \pi_2(t), q(t))'}, \end{array} \end{equation}$

(2.9)$\begin{equation} {\nonumber} \begin{array}{ll} &{\sigma(t)= \left( \begin{array}{ccc} \sigma_I(t) & 0 & 0\\ \sigma_{S2}(t) & \; \sigma_{S1}(t) \; & 0\\ \sigma_{R2}(t) & \sigma_{R3}(t) &\sigma_{R1}(t) \end{array} \right)}, \end{array} \end{equation} $

(2.10)$\begin{equation} {\nonumber} \begin{array}{ll} &{\xi(t)=\sigma^{-1}(t) \left( \begin{array}{ccc} r(t)+\mu_I(t)-r_0(t)\\ \mu_S(t)-r_0(t)\\ \beta(t)\mu_R(t) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} \xi_1(t)\\ \xi_2(t)\\ \xi_3(t) \end{array} \right)}, \\ \end{array} \end{equation}$

(2.11)$\begin{equation} {\nonumber} \begin{array}{ll} &{W(t)=(W_I(t), W_S(t), W_R(t))'}. \end{array} \end{equation}$

实证结果表明, 决策者习惯根据某些参考水平做出决定, 而且损失比收益更容易引起不适, 即损失引起的负面情绪通常大于同等收益引起的正面情绪. 此外, 大多数决策者对收益是风险厌恶的, 但当他们必须对潜在的损失做出决策时, 多数经济个体会转变为风险偏好者. 基于此, Kahneman和Tversky^[9]提出了$ S $型效用函数

(2.12) $ \begin{equation} U(x)=\left\{\begin{array}{lll} -A(\theta-x)^{\gamma_1}, & \quad x\leqslant\theta, \\ B(x-\theta)^{\gamma_2}, &\quad x> \theta, \end{array}\right. \end{equation} $

其中, $ A>B>0 $用来描述损失厌恶, $ \gamma_1\in(0, 1) $刻画损失厌恶程度, $ \gamma_2\in(0, 1) $刻画风险厌恶程度, $ \theta $是预先选择的参考点. 损失厌恶下的投资与再保险策略对参考点的选择较敏感, 在现实的保险公司资产与负债管理中, 通常取参考点$ \theta>0 $.

假设保险公司为保证公司的正常运营设定了最低绩效保障, 为了方便分析不同的最低绩效保障对最优策略的影响, 设最低绩效保障为常数$ L $, 即$ X(T)\geqslant L, $ a.s..

定义2.1  投资与再保险策略$ u(t)=(\pi_1(t), \pi_2(t), q(t))' $称为可容许策略, 如果它满足下列条件

(1) $ u(t) $是$ \{{\cal F}_t\}_{0\leq t\leq T} $ - 循序可测的;

(2) 对于所有的$ t\in[0, T] $, $ q(t)\geqslant0 $, 且$ \int_{0}^{T}(\pi_1^2(t)+\pi_2^2(t)+q^2(t)){\rm d}t<\infty, $ a.s.;

(3) 随机微分方程(2.7) 存在唯一强解;

(4) $ X(T)\geqslant L, $ a.s..

所有可容许策略构成的集合记为$ \Pi $.

保险公司在可容许策略集$ \Pi $中选择合适的投资与再保险策略, 使$ T $时刻超出最低绩效的财富值的期望效用达到最大, 即考虑如下随机控制问题

(2.13) $ \begin{equation} \begin{array}{rl} &\max \limits_{u\in\Pi}E[U(X(T)-L)], \\ {\rm s.t.}\quad &(X(t), u(t))\quad\mbox{满足方程(2.7)}, \\ &u\in\Pi. \end{array} \end{equation} $

首先给出最低绩效保障$ L $在$ t $时刻的贴现值

(3.1) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} G(t) &=Le^{-\int_{t}^{T}r_0(s){\rm d}s}, \end{array} \end{equation} $

以及随机折现因子

(3.2) $ \begin{equation} \rho(t)={\rm exp}\bigg\{-\int_{0}^{t} r_0(s){\rm d}s-\frac{1}{2} \int_{0}^{t}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s-\int_{0}^{t}\xi'(s){\rm d}W(s)\bigg\}, \end{equation} $

下面引理在使用鞅方法时会用到.

引理3.1  令$ Z(t)=X(t)-G(t), $ 则$ \rho(t)Z(t)-\int_{0}^{t}\rho(s)\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s $是上鞅.

证  由(3.1) 和(3.2) 式及Itô公式得

(3.3) $ \begin{eqnarray} {\rm d}(\rho(t)Z(t))&=&{\rm d}(\rho(t)(X(t)-G(t))){}\\ &=&(X(t)-G(t)){\rm d}\rho(t)+\rho(t){\rm d}(X(t)-G(t))+{\rm d}(X(t)-G(t)){\rm d}\rho(t){}\\ &=&-\rho(t)X(t)\xi'(t){\rm d}W(t)+\rho(t)\pi'(t)\sigma(t){\rm d}W(t){}\\ &&+\rho(t)G(t)\xi'(t){\rm d}W(t)+\rho(t)\mu_R(t)(\eta(t)-\beta(t)){\rm d}t, \end{eqnarray} $

所以$ \rho(t)Z(t)-\int_{0}^{t}\rho(s)\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s $是非负局部鞅, 因此为上鞅.

该文中损失厌恶型保险公司将采用式(2.12) 作为效用函数, 保险公司以期望效用最大化为准则, 建立了如式(2.13) 所示的动态约束问题, 根据Cox和Huang^[12]以及Karatzas等^[13]提出的鞅方法与引理3.1, 可先求解如下静态最优化问题(3.4), 以得到最优终端财富值, 然后再找出可复制最优终端财富值的投资与再保险策略

(3.4) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} &\max \limits_{Z(T)}E[U(Z(T))], \\ { } {\rm s.t.}\quad &E\Big[\rho(T)Z(T)-\int_{0}^{T}\rho(s)\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s\Big]\leqslant Z(0), \\ &Z(T)\geqslant0. \end{array} \end{equation} $

定理3.1  在$ Z(0)+\int_{0}^{T}e^{-\int_{0}^{s}r_0(u){\rm d}u}(\eta(s)-\beta(s))\mu_R(s){\rm d}s>0 $的条件下, 问题(3.4) 的最优解为

(3.5) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} Z^*(T)=\left\{\begin{array}{lll} { } \theta+\Big(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)}\Big)^\frac{1}{1-\gamma_2}, \quad &\rho(T)<\overline{\rho}, \\ 0, & \rho(T)\geqslant\overline{\rho}, \end{array}\right. \end{array} \end{equation} $

保险公司的最优终端财富值为

(3.6) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} X^*(T)=\left\{\begin{array}{lll} { } \theta+\Big(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)}\Big)^\frac{1}{1-\gamma_2}+L, \quad &\rho(T)<\overline{\rho}, \\ L\qquad\qquad, & \rho(T)\geqslant\overline{\rho}, \end{array}\right. \end{array} \end{equation} $

其中$ \overline{\rho} $满足$ f(\overline{\rho})=0 $, 有

(3.7) $ \begin{equation} f(x)=\frac{1-\gamma_2}{\gamma_2}(\frac{1}{yx})^\frac{\gamma_2}{1-\gamma_2}(B\gamma_2)^{\frac{1}{1-\gamma_2}}-\theta yx+A\theta^{\gamma_1}, \end{equation} $

$ y>0 $是拉格朗日乘子, 满足

(3.8) $ \begin{equation} E\bigg[\rho(T)Z^*(T)-\int_{0}^{T}\rho(s)\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s\bigg]=Z(0). \end{equation} $

证明过程见附录A.

注3.1  定理3.1表明, 损失厌恶型保险公司的最优终端财富的分布是不连续的, 并将达到$ \theta+(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)})^\frac{1}{1-\gamma_2}+L $或$ L $的水平, 最低绩效保障确保了保险公司的终端财富值不低于$ L $. 当$ \theta=0 $时, 效用函数(2.12) 将退化为幂效用函数$ U(x)=Bx^{\gamma_2} $, 此时$ \overline{\rho}=+\infty $, 最优终端财富值为$ (\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)})^\frac{1}{1-\gamma_2}+L $. 当处于良好的经济状态时, 损失厌恶型保险公司的最优终端财富值为$ \theta+(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)})^\frac{1}{1-\gamma_2}+L $, 它高于幂效用下保险公司的最优终端财富值. 然而在经济状况不佳的情况下, 损失厌恶型保险公司的最优终端财富会降低到$ L $, 它低于幂效用下保险公司的最优终端财富值.

在获得最优终端财富值以后, 我们可以计算得到$ t $时刻最优财富值以及最优投资与再保险策略的详细表达式.

定理3.2  $ 0\leqslant t<T $时刻的最优财富值由下式给出

(3.9) $ \begin{eqnarray} X^*(t)&=&Le^{-\int_{t}^{T}r_0(s){\rm d}s}+ \theta e^{\int_{t}^{T}r_0(s){\rm d}s}\Phi(d_1(t, \overline{\rho}))+e^{\Psi(t)}\bigg(\frac{B\gamma_2}{y\rho(t)}\bigg)^{\frac{1}{1-\gamma_2}}\Phi(d_2(t, \overline{\rho})) {}\\ &&-\int_{t}^{T}e^{-\int_{t}^{s}r_0(u){\rm d}u}\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s, \end{eqnarray} $

其中

$ d_1(t, x)=\frac{{\rm log}(\frac{x}{\rho(t)})+\int_{t}^{T}(r_0(s)-\frac{1}{2}\left \| \xi(s) \right \|^2) {\rm d}s}{\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \|^2{\rm d}s}}, $

$ d_2(t, x)=d_1(t, x)+\frac{\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \|^2{\rm d}s}}{1-\gamma_2}, $

$ \Psi(t)=\frac{\gamma_2}{1-\gamma_2}\int_{t}^{T}\bigg(r_0(s)+\frac{1}{2}\left \| \xi(s) \right \|^2 \bigg){\rm d}s+\int_{t}^{T}\frac{1}{2}\bigg(\frac{\gamma_2}{1-\gamma_2}\bigg)^2\left \| \xi(s) \right \|^2{\rm d}s. $

最优投资与再保险策略为

(3.10) $ \begin{equation} u^*(t)=\left\{\begin{array}{lll} \sigma^{-1}(t)\xi(t)\Lambda(t), \quad &0\leqslant t<T, \\ { } \frac{\sigma^{-1}(t)\xi(t)}{1-\gamma_2}\Big(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)}\Big)^\frac{1}{1-\gamma_2}, {\quad} &t=T, \end{array}\right. \end{equation} $

其中

$ \Lambda(t)=\frac{\theta e^{-\int_{t}^{T}r_0(s){\rm d}s}}{\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \|^2{\rm d}s}}\phi(d_1(t, \overline{\rho}))+e^{\Psi(t)}\bigg(\frac{B\gamma_2}{y\rho(t)}\bigg)^{\frac{1}{1-\gamma_2}}\bigg(\frac{\phi(d_2(t, \overline{\rho}))}{\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \|^2{\rm d}s}}+\frac{\Phi(d_2(t, \overline{\rho}))}{1-\gamma_2}\bigg), $

$ \Phi(\cdot) $表示标准正态分布的分布函数, $ \phi(\cdot) $表示标准正态分布的密度函数.

若

$ {\sigma^{-1}(t)= \left(\begin{array}{ccc} \sigma_{11}(t) & 0 & 0\\ \sigma_{21}(t) &\; \sigma_{22}(t)\; & 0\\ \sigma_{31}(t) & \sigma_{32}(t) &\sigma_{33}(t) \end{array} \right)} , $

则最优投资与再保险策略可写为

$ \pi_1^*(t)=\sigma_{11}(t)\xi_1(t)\Lambda(t), $

$ \pi_2^*(t)=(\sigma_{21}(t)\xi_1(t)+\sigma_{22}(t)\xi_2(t))\Lambda(t), $

$ q^*(t)=(\sigma_{31}(t)\xi_1(t)+\sigma_{32}(t)\xi_2(t)+\sigma_{33}(t)\xi_3(t))\Lambda(t). $

证明过程见附录B.

注3.2  注意到$ \Lambda(t)>0 $, 因此再保险策略$ q^*(t)\geqslant0 $. 假设$ \theta=0 $, 即效用函数退化为幂效用函数$ U(x)=Bx^{\gamma_2} $, 此时$ \Lambda(t) $即为

$ \begin{eqnarray*} \Lambda_1(t)&=&\frac{1}{1-\gamma_2}e^{\Psi(t)}\Big(\frac{B\gamma_2}{y\rho(t)}\Big)^{\frac{1}{1-\gamma_2}}\\ &=& \frac{1}{1-\gamma_2}(X^*(t)-Le^{\int_{t}^{T}r_0(s){\rm d}s}+\int_{t}^{T}e^{-\int_{t}^{T}r _0(u){\rm d}u}\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s){\rm d}s)). \end{eqnarray*} $

若进一步假设模型不存在最低绩效保障, 并且再保险为廉价情形, 即$ L=0 $, $ \eta(t)=\beta(t) $, 此时$ \Lambda(t) $即为

$ \Lambda_2(t)= \frac{X^*(t)}{1-\gamma_2}, \pi_1^*(t)=\frac{X^*(t)\sigma_{11}\xi_1(t)\Lambda_2(t)}{1-\gamma_2}, \pi_2^*(t)=\frac{X^*(t)(\sigma_{21}\xi_1(t)+\sigma_{22}\xi_2(t))\Lambda_2(t)}{1-\gamma_2}, $

此结果与Merton^[23−24]得到的最优投资策略是一致的.

本节对投资与再保险策略进行了数值模拟, 并基于这些模拟结果, 给出了一些经济学解释. 本节主要讨论最优投资与再保险策略关于$ S $型效用参考点$ \theta $, 最低绩效保障$ L $, 保险公司安全负荷因子$ \eta $, 以及波动率$ \sigma_{R2} $与$ \sigma_{R3} $的行为变化特征. 我们设定以下基本参数值: $ r=0.025 $, $ r_0=0.035 $, $ \mu_I=0.03 $, $ \mu_S=0.08 $, $ \mu_R=0.3 $, $ \sigma_I=0.25, \sigma_{S1}=0.3, \sigma_{S2}=0.1, $$ \sigma_{R1}=0.4, $$ \sigma_{R2}=0.2, \sigma_{R3}=0.2 $, $ T=20 $, $ x_0=6 $, $ L=8 $, $ A=4 $, $ B=3 $, $ \gamma_1=0.3 $, $ \gamma_2=0.35 $, $ \theta=10 $, $ \eta=0.18 $, $ \beta=0.36 $, 此时$ Z(0)>0 $, 且

$ Z(0)-\frac{1}{r_0}(e^{-r_0T}-1)(\eta-\beta)\mu_R>0. $

以下的分析均为$ t=0 $时刻不同参数对保险公司策略选择的影响.

参考点是损失厌恶型决策者的关键变量, 首先讨论参考点对投资与再保险策略的影响. 如图 2所示, 随着参考点的增大, 保险业务的自留比例以及投资于股票和指数债券的比例呈“$ V $”形变化. 当参考点为$ 0 $时, $ S $型效用退化为幂效用, 此时投资比例与保险业务自留比例较大. 参考点增大后, 保险公司决策者需要防止终端财富值低于参考点水平, 并且在参考点增大的过程中, 策略的侧重点会有所变化. 当参考点处于相对较低水平时, 无风险资产的收益可以使终端财富值达到参考点水平, 决策者需要更注重风险的规避, 因此随着参考点增大, 保险公司会降低保险业务自留比例并减小投资比例, 将更多资金投入无风险债券并将更多保险业务分保给再保险公司, 从而有效地规避风险; 当参考点大于某个阈值时, 仅依靠无风险资产的收益不能使终端财富值达到参考点的水平, 保险公司需要寻求更大的收益, 此时随着参考点继续增大, 损失厌恶的决策者将会承担更多风险以寻求更高的收益, 因此会提高保险业务自留比例并将资金更多地投入股票与指数债券, 使终端财富的期望效用达到最大. 由图 2可以看出“$ V $”形曲线的阈值约为$ 2.54 $, 对此的解释如下: 在初始时刻, $ x_0-Le^{-r_0T}-\frac{1}{r_0}(e^{-r_0T}-1)(\eta-\beta)\mu_R $约等于$ 1.26 $, 假设保险公司极度保守, 将所有保险业务分保给再保险公司, 并将全部盈余投入无风险债券中, 那么在扣除折现的最低绩效保障后, $ T $时刻保险公司的财富值会达到大约$ 2.54 $的水平.

图 3表示最低绩效保障$ L $对投资与再保险策略的影响. 随着$ L $的增加, 投资在股票和指数债券的比例以及再保险自留比例均会减小. 当最低绩效保障$ L $增大时, 保险公司为保障公司的正常运营需要提高其自身抵御风险的能力, 因此会将保险业务更多地分保给再保险公司, 即减小自留比例, 同时也会采取更保守的投资方式, 即减少在股票和指数债券上的投资, 从而降低投资带来的风险.

图 4描述保险公司的安全负荷因子$ \eta $对最优投资比例与再保险比例的影响. 安全负荷因子增大, 意味着保险业务的收入增加, 保险公司会有更充足的资金维持正常运营, 因此会采取相对保守的投资与再保险策略来规避风险, 即将保险业务更多地分保给再保险公司, 同时减少在股票和指数债券上的投资比例.

图 5描述了盈余过程的波动率$ \sigma_{R2} $和$ \sigma_{R3} $对最优投资比例与再保险比例的影响. 如图所示, 随着$ \sigma_{R2} $和$ \sigma_{R3} $增大, 保险索赔业务的不确定性增加, 而且通胀风险和股票的价格波动对保险业务的影响会更为显著, 保险公司为了更好地规避保险风险, 需要采取更保守的再保险策略, 即将保险业务更多地分保给再保险公司, 同时投资于指数债券和股票的比例也会相应的略微减小.

该文研究了损失厌恶型保险公司的最优投资与再保险策略问题. 假设保险公司可将资金投资于无风险资产, 股票以及指数债券, 并可购买比例再保险. 该文与实际紧密联系, 考虑了保险公司决策者损失厌恶的特征, 并且考虑了保险公司在实际运营过程中的破产风险和通胀风险, 以期望$ S $型效用最大化为准则, 运用鞅方法得到了最优终端财富值以及最优投资与再保险策略的详细表达式. 最后, 通过数值模拟分析, 研究了各参数变化对最优投资与再保险策略的影响.

该文的研究中假设股票及通胀指数债券价格过程信息是完全可观测的, 并未考虑在实际中它们仅是部分观测的情形. 此外, 我们还可以考虑投资带抑制的情形, 比如卖空抑制. 对于这些有意义的问题, 我们将继续深入研究.

在此附录中, 为了方便, 用$ Z $, $ Z_1^* $, $ Z_2^* $分别表示$ Z(T) $, $ Z_1^*(T) $, $ Z_2^*(T) $. 我们用拉格朗日对偶理论来求解最优化问题(3.4). 首先, 定义如下拉格朗日函数

(A.1) $ \begin{equation} L(Z, y)=E[U(Z)]-yE[\rho(T)Z]+yE\bigg[\int_{0}^{T}\rho(s)\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s\bigg]+yZ(0), \end{equation} $

其中$ y $是拉格朗日乘子. 则原优化问题(3.4) 转化为如下问题

(A.2) $ \begin{equation} \inf\limits_{y\geqslant0}\sup\limits_{Z\geqslant0}L(Z, y). \end{equation} $

我们可以将优化问题(A.2) 分为两部分来求解. 先假设$ y $是固定的, 找到使得$ L(Z, y) $达到最大的$ Z^* $, 即为如下优化问题

(A.3) $ \begin{equation} \sup\limits_{Z\geqslant0}L(Z, y). \end{equation} $

再求解有关$ y $的最优化问题

(A.4) $ \begin{equation} \inf\limits_{y\geqslant0}L(Z^*, y). \end{equation} $

(1) 首先求解问题(A.3), 省略$ L(Z, y) $中与$ Z $无关的部分, 并将(A.3)式转化为如下优化问题

(A.5) $ \begin{equation} \max \limits_{Z\geqslant0}\{U(Z)-y\rho(T)Z\}. \end{equation} $

效用函数(2.12) 是先凸后凹的, 将其重写为以下分段形式

(A.6) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} U(Z)=\left\{\begin{array}{lll} U_1(Z)=-A(\theta-Z)^{\gamma_1}, &Z\leqslant\theta, \\ U_2(Z)=B(Z-\theta)^{\gamma_2}, & Z>\theta. \end{array}\right. \end{array} \end{equation} $

我们分别求出(A.5) 式在$ U(Z)=U_1(Z) $与$ U(Z)=U_2(Z) $时的局部最优解$ Z_1^* $与$ Z_2^* $, 再通过比较$ U(Z_1^*)-y\rho(T)Z_1^* $与$ U(Z_2^*)-y\rho(T)Z_2^* $得到(A.5)式的全局最优解. 当$ Z\leqslant\theta $时, $ U_1(Z) $是凸函数, 由凸函数性质得局部最优解$ Z_1^*=\theta $或$ Z_1^*=0 $; 当$ Z>\theta $时, $ U_2(Z) $是凹函数, 引入拉格朗日函数$ Lf=U(Z)-y\rho(T)Z+\lambda Z $, 其中$ \lambda $是拉格朗日乘子, 则根据(A.5)式中的非负约束, $ Z_2^* $满足KKT条件, 即

(A.7) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} \left\{\begin{array}{lll} &U'(Z)-y\rho(T)+\lambda=0, \\ &\lambda Z_2^*=0, \\ &Z_2^*\geqslant0, \\ &\lambda\geqslant0. \end{array}\right. \end{array} \end{equation} $

求得局部最优解为$ Z_2^*=(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)})^{\frac{1}{1-\gamma_2}}+\theta $. 接下来我们比较$ U(Z_1^*)-y\rho(T)Z_1^* $与$ U(Z_2^*)-y\rho(T)Z_2^* $以得到全局最优解. 令

(A.8) $ \begin{equation} f(\rho(T))=U(Z_2^*)-y\rho(T)Z_2^*-(U(Z_1^*)-y\rho(T)Z_1^*), \end{equation} $

若$ f(\rho(T))>0 $, 则全局最优解为$ Z_2^* $; 若$ f(\rho(T))\leqslant 0 $, 则全局最优解为$ Z_1^* $.

a) 当$ Z_1^*=\theta $时, 有

(A.9) $ \begin{equation} f(\rho(T)) =\Big(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)}\Big)^{\frac{\gamma_2}{1-\gamma_2}}B(1-\gamma_2)>0. \end{equation} $

全局最优解为$ Z_2^*=(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)})^{\frac{1}{1-\gamma_2}}+\theta $.

b) 当$ Z_1^*=0 $时, 有

(A.10) $ \begin{equation} f(\rho(T)) =\Big(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)}\Big)^{\frac{\gamma_2}{1-\gamma_2}}B(1-\gamma_2)-y\theta\rho(T)+A\theta^{\gamma_1}. \end{equation} $

当$ \rho(T)\leqslant\frac{A}{y}\theta^{\gamma_1-1} $时, $ f(\rho(T))>0 $. 进一步, 有$ \lim \limits_{\rho(T) \to \infty} f(\rho(T))=-\infty<0 $, 且

(A.11) $ \begin{equation} \frac{{\rm d}f(\rho(T))}{{\rm d}\rho(T)}=-B\gamma_2 \Big(\frac{B\gamma_2}{y}\Big)^{\frac{\gamma_2}{1-\gamma_2}} \Big(\frac{1}{\rho(T)}\Big)^{\frac{1}{1-\gamma_2}}-y\theta<0, \end{equation} $

$ f(\rho(T)) $单调递减. 于是存在$ \overline{\rho}\in(\frac{A}{y}\theta^{\gamma_1-1}, +\infty) $, 使得$ f(\overline{\rho})=0 $. 当$ \rho(T)\geqslant\overline{\rho} $时, $ f(\rho(T))\leqslant\overline{\rho} $, 全局最优解为$ Z_1^*=0 $; 当$ \rho(T)<\overline{\rho} $时, $ f(\rho(T))>\overline{\rho} $, 全局最优解为$ Z_2^*=(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)})^{\frac{1}{1-\gamma_2}}+\theta $.

综合以上讨论可知问题(A.5) 的最优解$ Z^*(T) $由(3.5)式给出, 从而$ Z^*(T) $也是问题(A.3) 的最优解.

(2) 接下来求解问题(A.4) 以确定最优的$ y $. 由对偶理论中的互补松弛条件有

(A.12) $ \begin{equation} yE\bigg[\rho(T)Z^*(T)-\int_{0}^{T}\rho(s)\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s\bigg]=yZ(0). \end{equation} $

若$ y=0 $则问题(A.2) 即为最优化问题: $ \sup\limits_{Z\geqslant0}E[U(Z)] $. 由于$ U $是严格单调递增函数, 此问题无最优解, 因此$ y>0 $, 且满足(3.8)式. 下面证明关于$ y $的方程(3.8) 存在唯一正值解.

由$ f $的表达式(3.7) 及$ f(\overline{\rho})=0 $知$ \overline{\rho} $关于$ y $严格递减, 并且$ \lim\limits_{y\to 0+}\overline{\rho}=+\infty $, $ \lim\limits_{y\to +\infty}\overline{\rho}=0 $. 对$ \forall\omega\in\Omega $, 由(3.5) 式可看出$ Z^*(T) $关于$ y $严格递减, 则$ E[\rho(T)Z^*(T)] $关于$ y $严格递减且连续. 进一步, 对$ \forall\omega\in\Omega $, 有$ \lim\limits_{y\to 0+}Z^*(T)=+\infty $, $ \lim\limits_{y\to+\infty}Z^*(T)=0 $, 于是$ \lim\limits_{y\to0+}E[\rho(T)Z^*(T)]=+\infty $, $ \lim\limits_{y\to+\infty}E[\rho(T)Z^*(T)]=0 $. 根据已知条件$ Z(0)+\int_{0}^{T}e^{-\int_{0}^{s}r_0(u){\rm d}u}(\eta(s)-\beta(s))\mu_R(s){\rm d}s>0 $及连续函数的介值定理可知存在唯一的$ y>0 $满足(3.8)式.

(3) 最后验证由(3.5) 式给出的$ Z^*(T) $是原问题(3.4) 的最优解, 其中拉格朗日乘子$ y $由(3.8) 式确定. 假设$ Z(T) $为任一非负随机变量, 且满足

$ E\bigg[\rho(T)Z(T)-\int_{0}^{T}\rho(s)\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s\bigg]\leqslant Z(0), $

则

(A.13) $ \begin{eqnarray} &&E[U(Z^*(T))]-E[U(Z(T))]{}\\ &=&E[U(Z^*(T))]-E[U(Z(T))]-yZ(0)-yE\bigg[\int_{0}^{T}\rho(s)\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s\bigg]{}\\ &&+yZ(0)+yE\bigg[\int_{0}^{T}\rho(s)\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s\bigg]{}\\ &\geqslant &E[U(Z^*(T))]-E[U(Z(T))]-yE[\rho(T)Z^*(T)]+yE[\rho(T)Z(T)]\geqslant0, \end{eqnarray} $

其中第一个不等式成立是由于$ Z^*(T) $满足(3.8)式, 而$ Z(T) $满足(A.13)式, 第二个不等式成立是因为$ Z^*(T) $是问题(A.5) 的最优解.

由引理3.1知$ M(t)\hat{=}\rho(t)Z^*(t)-\int_{0}^{t}\rho(s)\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s $为上鞅, 又(3.8)式成立, 因此$ M(t) $为鞅, 即$ M(t)=E[M(T)|{\cal F}_t] $, 于是(以下用$ E_t[\cdot] $表示条件期望$ E[\cdot|{\cal F}_t] $)

(B.1) $ \begin{eqnarray} Z^*(t)&=&\frac{1}{\rho(t)}E_t[\rho(T)Z^*(T)]-\frac{1}{\rho(t)}E_t\bigg[\int_{t}^{T}\rho(s)\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s\bigg]{}\\ &=&\frac{1}{\rho(t)}E_t\big[\rho(T)\theta {1\!\!1}_{\left\{\rho(T)<\overline{\rho}\right\}}\big] +\frac{1}{\rho(t)}E_t\bigg[\rho(T)(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)})^{\frac{1}{1-\gamma_2}} {1\!\!1}_{\left\{\rho(T)<\overline{\rho}\right\}}\bigg]{}\\ &&-\frac{1}{\rho(t)}E_t\bigg[\int_{t}^{T}\rho(s)\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s\bigg]. \end{eqnarray} $

(1) 计算式(B.1)的第一部分$ \frac{1}{\rho(t)}E_t\big[\rho(T)\theta {1\!\!1}_{\left\{\rho(T)<\overline{\rho}\right\}}\big] $. 注意到

(B.2) $ \begin{equation} {\rm log}\rho(T)\sim N\bigg({\rm log}\rho(t)-\int_{t}^{T}(r_0(s)+\frac{1}{2}\left \| \xi(s) \right \| ^2){\rm d}s, \int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s\bigg), \end{equation} $

即

(B.3) $ \begin{equation} \frac{{\rm log}\frac{\rho(T)}{\rho(t)}+\int_{t}^{T}(r_0(s)+\frac{1}{2}\left \| \xi(s) \right \| ^2){\rm d}s}{\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s}}\sim N(0, 1). \end{equation} $

设

(B.4) $ \begin{equation} d_1(t, x)=\frac{{\rm log}\frac{x}{\rho(t)}+\int_{t}^{T}(r_0(s)-\frac{1}{2}\left \| \xi(s) \right \| ^2){\rm d}s}{\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s}}, \end{equation} $

则

(B.5) $ \begin{equation} m\hat{=}d_1(t, \rho(T))+\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s}\sim N(0, 1). \end{equation} $

由于$ d_1(t, x) $关于$ x $严格递增, 则

(B.6) $ \begin{equation} {1\!\!1}_{\left\{\rho(T)<\overline{\rho}\right\}}= {1\!\!1}_{\left\{d_1(t, \rho(T))< d_1(t, \overline{\rho})\right\}}= {1\!\!1}_{\left\{m-\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s}<d_1(t, \overline{\rho})\right\}}. \end{equation} $

根据(B.4) 式和(B.5)式可得

(B.7) $ \begin{equation} \frac{\rho(T)}{\rho(t)}=e^{(m-\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s})\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s}-\int_{t}^{T}(r_0(s)-\frac{1}{2}\left \| \xi(s) \right \| ^2){\rm d}s}. \end{equation} $

由此可得

(B.8) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{\rho(t)}E_t\bigg[\rho(T)\theta {1\!\!1}_{\left\{\rho(T)<\overline{\rho}\right\}}\bigg]=\theta E_t\bigg[\frac{\rho(T)}{\rho(t)} {1\!\!1}_{\left\{m-\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s}< d_1(t, \overline{\rho})\right\}}\bigg]{}\\ &=&\theta E_t\bigg[e^{m\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s}-\int_{t}^{T}(r_0(t)-\frac{1}{2}\left \| \xi(s) \right \| ^2){\rm d}s -\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s} {1\!\!1}_{\left\{m-\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s}< d_1(t, \overline{\rho})\right\}}\bigg], {\qquad} \end{eqnarray} $

令

$ \begin{eqnarray*} u&=&m-\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s}, \\ \mbox{上式}&=&\theta e^{-\int_{t}^{T}(r_0(s)+\frac{1}{2}\left \| \xi(s) \right \| ^2){\rm d}s}e^{\frac{1}{2}\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s}\int_{-\infty}^{d_1(t, \overline{\rho})}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}{\rm d}u \\ &=&\theta e^{-\int_{t}^{T}r_0(s){\rm d}s}\Phi(d_1(t, \overline{\rho})). \end{eqnarray*} $

(2) 计算式(B.1) 的第二部分$ \frac{1}{\rho(t)}E_t\Big[\rho(T)(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)})^{\frac{1}{1-\gamma_2}}{1\!\!1}_{\left\{\rho(T)<\overline{\rho}\right\}}\Big] $. 设

(B.9) $ \begin{equation} d_2(t, x)=d_1(t, x)+\frac{\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s}}{1-\gamma_2}, \end{equation} $

则$ d_2(t, x) $关于$ x $严格递减, 根据类似(1) 中的计算可得

(B.10) $ \begin{equation} E_t\bigg[\frac{\rho(T)}{\rho(t)}\bigg(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)}\bigg)^{\frac{1}{1-\gamma_2}}{1\!\!1}_{\left\{\rho(T)<\overline{\rho}\right\}}\bigg] =\Phi(d_2(t, \overline{\rho}))e^{\Psi(t)}\bigg(\frac{B\gamma_2}{y\rho(t)}\bigg)^{\frac{1}{1-\gamma_2}}, \end{equation} $

其中

$ \Psi(t)=\frac{\gamma_2}{1-\gamma_2}\int_{t}^{T}\bigg(r_0(s)+\frac{1}{2}\left \| \xi(s) \right \| ^2\bigg){\rm d}s+\int_{t}^{T}\frac{1}{2}\bigg(\frac{\gamma_2}{1-\gamma_2}\bigg)^2\left \| \xi(s) \right \| ^2{\rm d}s. $

(3) 计算式(B.1) 中的$ \frac{1}{\rho(t)}E_t\Big[\int_{t}^{T}\rho(s)\mu_{R}(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s\Big] $. 由Fubini定理, 可得

(B.11) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{\rho(t)}E_t\bigg[\int_{t}^{T}\rho(s)\mu_{R}(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s\bigg]{}\\ &=&\int_{t}^{T}\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s))E_t\bigg[\frac{\rho(s)}{\rho(t)}\bigg]{\rm d}s=\int_{t}^{T}\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s))e^{-\int_{t}^{s}r_0(u){\rm d}u}{\rm d}s. \end{eqnarray} $

综上所述

(B.12) $ \begin{eqnarray} Z^*(t)&=&\theta e^{-\int_{t}^{T}r_0(s){\rm d}s}\Phi(d_1(t, \overline{\rho}))+e^{\Psi(t)}\bigg(\frac{B\gamma_2}{y\rho(t)}\bigg)^{\frac{1}{1-\gamma_2}}\Phi(d_2(t, \overline{\rho})){}\\ &&-\int_{t}^{T}e^{-\int_{t}^{s}r_0(u){\rm d}u}\mu_R(s)(\eta(s)-\beta(s)){\rm d}s. \end{eqnarray} $

再根据$ X^*(t)=Z^*(t)+G(t) $可知(3.9) 式为$ t $时刻的最优财富值的表达式. 接下来求最优投资与再保险策略. 令

(B.13) $ \begin{equation} {\rm d}Z^*(t)=H(t, \rho(t)){\rm d}t+\frac{\partial Z^*(t)}{\partial \rho(t)}(-\rho(t)\xi'(t){\rm d}W(t)), \end{equation} $

根据(2.7)式以及$ {\rm d}Z^*(t)={\rm d}X^*(t)-{\rm d}G(t) $, 通过比较$ {\rm d}W(t) $项可得

(B.14) $ \begin{equation} -\frac{\partial Z^*(t)}{\partial\rho(t)}\rho(t)\xi'(t)=(u^*(t))'\sigma(t). \end{equation} $

记

$ \begin{eqnarray*} \Lambda(t)&=&-\frac{\partial Z^*(t)}{\partial\rho(t)}\rho(t)=e^{\Psi(t)}\bigg(\frac{B\gamma_2}{y\rho(t)}\bigg)^{\frac{1}{1-\gamma_2}}\bigg(\frac{\phi(d_2(t, \overline{\rho}))}{\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(t) \right \|^2{\rm d}t}}+\frac{\Phi(d_2(t, \overline{\rho}))}{1-\gamma_2}\bigg) \\ && +\frac{\theta e^{-\int_{t}^{T}r_0(t){\rm d}t}}{\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(t) \right \|^2{\rm d}t}}\phi(d_1(t, \overline{\rho})), \end{eqnarray*} $

由(B.14)式即得$ u^*(t)=\sigma^{-1}(t)\xi(t)\Lambda(t) $.

最后验证$ u^*(t)=\sigma^{-1}(t)\xi(t) $的可行性, 由此说明$ u^*(t) $确实是最优策略. 由$ \sigma^{-1}(t)\xi(t) $的连续性及$ \Lambda(t) $的表达式知$ u^*(t) $在$ [0, T) $上连续. 由于

(B.15) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { } \lim\limits_{t \to T-}\bigg(d_1(t, \overline{\rho})\sqrt{\int_{t}^{T}\left \| \xi(t) \right \|^2{\rm d}t}\bigg)=\log \Big(\frac{\overline{\rho}}{\rho(T)}\Big), \\ { } \lim\limits_{t\to T-}d_2(t, \overline{\rho})=\lim\limits_{t\to T-}d_1(t, \overline{\rho})=+\infty, \lim\limits_{t\to T-}\Psi(t)=0, \end{array} \end{equation} $

从而$ \lim\limits_{t\to T-}\Lambda(t)=(\frac{B\gamma_2}{y\rho(T)})^\frac{1}{1-\gamma_2}\frac{1}{1-\gamma_2} $, 即$ u^*(t) $在$ t=T $处也连续, 因此$ u^*(t) $满足定义2.1中的条件(1) 与(2). 注意到(2.7) 为线性随机微分方程, 则$ u^*(t) $满足定义2.1中的条件(3). 再由(3.6) 式知条件(4) 也满足, 因此$ u^*(t) $是可行策略.