声道就像一根长约14–20厘米的管子, 一端是嘴唇, 另一端是声带. 吸入的空气从声带之间穿过, 再通过喉管道进入肺部, 然后从肺部返回, 通过声门(声带之间的开口)进入声带, 在声门处产生的压力使附近声道中的空气分子产生纵向振动, 这些振动使声道中的声压继续传播, 最后压力波从嘴部发出, 经由空气传到人的耳朵^{[1−5, 11]}. 人类的语音由称为音素的基本单位组成, 例如, 当我们说出单词"book"时, 我们会连续产生三个音素/b/、/u/、和/k/, 每个音素大约持续0.1秒, 音素又可以分为元音和辅音两大类, 对于元音发音的数学描述, 可以合理地忽略发音器(如舌头). 假设声道横截面面积$ A(x) $(一个关于与声门距离$ x $的函数)为产生声音的唯一因素, 规定$ x = 0 $对应声门处, $ x = l $对应嘴唇处, 其中$ l $表示声道的长度. 假设声道的形状在每个元音的产生过程中是不变的, 而声道的长度$ l $虽然因人而异, 但也可以假设它在特定音素的产生过程中是不变的. 在进行数学研究时, 我们可以忽略声道不同的弯曲度, 假设每个$ x $值处的横截面都是半径为$ r(x) $的圆形^[2], 即

(1.1) $ \begin{equation} A(x)=\pi r(x)^2. \end{equation} $

全文约定声道半径$ r(\cdot)\in W_2^2[0, l]$. 假设声音在声道中沿二维平面传播且在传播过程中没有损失, 则声道中的声音传播满足如下系统^{[1−5, 11−15]}

(1.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } A(x)\frac{\partial}{\partial x} p(x, t)+\mu \frac{\partial}{\partial t}v(x, t)=0, \quad & x\in[0, l], \quad t>0, \\ { } A(x)\frac{\partial}{\partial t}p(x, t)+c^2\mu \frac{\partial}{\partial x}v(x, t)=0, & x\in[0, l], \quad t>0, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ p(x, t) $和$ v(x, t) $分别表示在时间为$ t $时, 声道中位置$ x $处的压力和体积速度, 空气密度$ \mu $和声速$ c $在体温为$ 37^{\circ} $C时分别约为$ 1.14 \times 10^{-3} $gm/cm$ ^3 $和$ 3.5 \times 10^4 $cm/s. 全文约定$ c $和$ \mu $为已知常数. 运用从时域到频域的Fourier变换

(1.3) $ \begin{equation} P(k, x)=\int_{-\infty}^\infty p(x, t)e^{-{\rm i}ck t}{\rm d}t, \quad V(k, x)=\int_{-\infty}^\infty v(x, t)e^{-{\rm i}ck t}{\rm d}t, \end{equation} $

方程组(1.2) 转化为^{[2, 3]}

(1.4) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \pi r(x)^2P'(k, x)+{\rm i}c\mu kV(k, x)=0, \quad &x\in[0, l], \\ c\mu V'(k, x)+{\rm i}\pi k r(x)^2 P(k, x)=0, \quad &x\in[0, l], \end{array}\right. \end{equation} $

这里$ P'(k, x)=\frac{\partial P(k, x)}{\partial x} $, $ V'(k, x)=\frac{\partial V(k, x)}{\partial x} $. $ P(k, x), V(k, x) $被称为频域中的声压和体积速度. 由于$ p(x, t), v(x, t) $为实值函数, 所以

$ \begin{eqnarray*} P(-\bar{k}, x)=\overline{P(k, x)}, \quad V(-\bar{k}, x)=\overline{V(k, x)}, \end{eqnarray*} $

这里$ \overline{k} $表示$ k $的复共轭.

为了使方程(1.4) 的解具有唯一性, 人们需要两个边界条件. 对于左端的边界条件, 为了计算方便, 通常选取声门的体积速度为$ v(0, t)=\delta(t) $ ($ \delta(t) $为Dirac广义函数), 相当于^{[2, 3]}$ V(k, 0)=1 $, 或者等价地

(1.5) $ \begin{equation} P'(k, 0)=-\frac{{\rm i}c\mu k}{\pi r(0)^2}. \end{equation} $

另一个边界条件有多种选择. 文献[1−2]通过假设在嘴唇处只有向外传播的声压而获得边界条件

(1.6) $ \begin{equation} P^{\prime}(k, l)+\left[{\rm i}k+\frac{r^{\prime}(l)}{r({l})}\right] P(k, l)=0. \end{equation} $

文献[3, 5, 11]通过将声学与电路类比给出了另一种边界条件

(1.7) $ \begin{equation} P(k, l)=Z(k)V(k, l), \end{equation} $

其中$ Z(k) $为阻抗函数. 为了方便, 定义归一化的阻抗函数

(1.8) $ \begin{equation} z(k):=\frac{\pi r({l})^{2}}{c \mu} Z(k). \end{equation} $

将其及(1.7) 式代入(1.4) 式得

(1.9) $ \begin{equation} P^{\prime}(k, l)+\frac{{\rm i}k}{z(k)} P(k, l)=0. \end{equation} $

文献[5, 10]用Bessel函数$ J_{1} $与Struve函数$ {\bf H}_{1} $近似给出了$ z(k) $的表示

(1.10) $ \begin{equation} z(k)=1-\frac{J_{1}\left(2 k r(l)\right)}{k r(l)}+{\rm i} \frac{{\bf H}_{1}\left(2 k r(l)\right)}{k r(l)}. \end{equation} $

文献[3]研究了在此情形下的正反问题. 然而(1.10) 式表示下的边界条件与条件(1.6) 相差较大, 我们希望寻找一种较为统一的边界条件表达形式. 注意到, 通过将电路的组件看作是电阻$ R $和电感$ L $的并联, 归一化阻抗具有如下形式^{[3, 10−11]}

(1.11) $ \begin{equation} \frac{1}{z(k)}=\frac{1}{R}+\frac{1}{{\rm i}ck L}. \end{equation} $

如果将$ R $和$ L $看作是与频率无关的常数, 那么将(1.11) 式表达形式的$ z(k) $代入(1.9) 式得

(1.12) $ \begin{equation} P^{\prime}(k, l)+\left[\frac{{\rm i}k}{R}+\frac{1}{cL}\right] P(k, l)=0. \end{equation} $

这与边界条件(1.6) 具有类似的形式. 我们这里假设$ R $和$ L $可以是任意正常数, 特别地, 当$ R=1 $且$ L=\frac{r(l)}{cr'(l)} $时, 边界条件(1.12) 与(1.6) 式一致.

本文将研究边值问题(1.4), (1.5) 及(1.12), 并分析其正反问题. 正问题的目标是给定函数$ r(x) $, 求$ P(k, x) $和$ V(k, x) $的表达式, 并分析$ P(k, l) $和$ V(k, l) $作为$ k $的函数的性质. 反问题旨在从以下数据之一

(ⅰ) 嘴唇处的所有正频率的绝对声压(即$ |P(k, l)|, k>0 $);

(ⅱ) 嘴唇处声压函数在复平面内的极点(物理上称为共振点)及嘴巴开口半径$ r(l) $, 来重构声道半径函数$ r(x) $和边界条件参数$ L, R $.

文献[1−2]研究了具有边界条件(1.6) 形式的正反问题. 对于反问题, 文献[1−2]仅考虑了以绝对声压作为输入数据, 并且运用了较为复杂的讨论来给出了相关唯一性定理的证明和重构算法. 这是因为他们运用了非紧区间上一维Schrödinger算子的散射理论, 将紧区间[0, l]上的$ r(x) $延拓到非紧区间$ [0, \infty) $上, 此时会产生束缚态, 而束缚态的个数与延拓的方式有关. 本文将用一种与文献[1−2]不同的方式来研究相关的正反问题. 在选择归一化的阻抗函数为(1.11) 式的情形下, 我们将边值问题(1.4), (1.5) 及(1.12) 转化为一类有限区间上边界条件带有谱参数的Sturm-Liouville问题, 即所谓的Robin-Regge问题^{[9, 16]}. 这样就避免了将声道半径函数进行延拓, 并且容易看出声压函数在复平面内的极点等价于Robin-Regge问题的特征值. 本文第二节将通过Robin-Regge问题一些结果给出相关正问题分析, 第三节给出反问题的唯一性定理和对应的重构算法. 本文最后说明, 当给定的是数据(ⅱ) 且$ R\ne1 $时, 声道长度$ l $可以不用作为已知量.

本节将研究正问题. 我们将通过变换将(1.4) 式转化为一维Schrödinger方程, 同时将边界条件(1.7) 转化为Regge型边界条件, 通过一维Schrödinger方程的初值解和Robin-Regge问题的示性函数来刻画函数$ P(k, x) $和$ V(k, x) $. 为了下一节研究反问题, 我们也将进一步刻画声道散射背景下Robin-Regge问题的示性函数性质.

在(1.4) 式中消去$ V(k, x) $得

(2.1) $ \begin{equation} [r(x)^2P'(k, x)]'+k^2r(x)^2P(k, x)=0, \quad x\in[0, l], \end{equation} $

或消去$ P(k, x) $, 得到

(2.2) $ \begin{equation} [r(x)^{-2}V'(k, x)]'+k^2{r(x)^{-2}}{V(k, x)}=0, \quad x\in[0, l]. \end{equation} $

方程(2.1) 称为Webster喇叭方程. 设

(2.3) $ \begin{equation} \psi(k, x):=r(x)P(k, x), \quad q(x):=\frac{r''(x)}{r(x)}. \end{equation} $

则方程(2.1) 可以改写为

(2.4) $ \begin{equation} -\psi''+q(x)\psi=k^2\psi, \quad 0<x<l, \end{equation} $

边界条件(1.5) 和(1.12) 分别转化为

(2.5) $ \begin{equation} \psi'(k, 0)-h \psi (k, 0)=-\frac{{\rm i}kc\mu}{\pi r(0)}, \end{equation} $

(2.6) $ \begin{equation} \psi'(k, l)+({\rm i}k\alpha+\beta)\psi(k, l)=0, \end{equation} $

其中

(2.7) $ \begin{equation} h=\frac{r'(0)}{r(0)}, \quad \alpha=\frac{1}{R}, \quad \beta=\frac{1}{cL}-\frac{r'(l)}{r(l)}. \end{equation} $

显然, $ \alpha>0 $且$ h, \beta\in {\Bbb R} $.

设$ \varphi(k, x) $和$ f(k, x) $为方程(2.4) 分别满足如下初始条件下的解

(2.8) $ \begin{equation} \varphi(k, 0)=1, \quad\varphi'(k, 0)=h, \quad f(k, l)=1, \quad f'(k, l)=-(\alpha {\rm i}k+\beta). \end{equation} $

记$ [y;z]=yz'-y'z $. 容易看出如果$ y $和$ z $是方程(2.4) 的解, 则$ [y;z]$与$ x $无关. 令

(2.9) $ \begin{equation} F(k):=[\varphi(k, x);f(k, x)]=f'(k, 0)-hf(k, 0)=-\varphi(k, l)({\rm i}k\alpha+\beta)-\varphi'(k, l). \end{equation} $

该函数为如下Robin-Regge问题的示性函数^{[9, 16]}

(2.10) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} & -y''(x)+q(x)y=k^2y, \quad x\in (0, l)\\ & y'(0)-hy(0)=0, \quad y'(l)+({\rm i}k\alpha+\beta)y(l)=0. \end{array}\right. \end{equation} $

函数$ F(k) $的零点对应着Robin-Regge问题的特征值, 其渐近分布依赖于$ \alpha $与$ 1 $的大小关系, 具体如下.

命题2.1^{[9, 16]}  $ (1) $若$ \alpha>1 $, 则边值问题(2.10) 的特征值$ \left\{\lambda_{n}\right\}_{n \in {\Bbb Z}} $具有如下渐近估计

$ \lambda_{n}=\frac{\pi\left(|n|-\frac{1}{2}\right)}{l} {\rm sgn} n+\frac{\rm i}{2 l} \ln \left(\frac{\alpha+1}{\alpha-1}\right)+\frac{C_0}{n}+\frac{\gamma_{n}}{n}, $

其中$ \left\{\gamma_{n}\right\} \in l_{2} $, 且

$ C_0=\frac{1}{\pi}\left(h+\frac{1}{2}\int_0^l q(s){\rm d}s-\frac{\beta}{\alpha^{2}-1}\right). $

$ (2) $若$ 0<\alpha<1 $, 则边值问题(2.10) 的特征值$ \left\{\lambda_{n}\right\}_{n \in {\Bbb Z}_{0}} $具有如下渐近估计

$ \lambda_{n}=\frac{\pi(|n|-1)}{l} {\rm sgn} n+\frac{\rm i}{2 l} \ln \left(\frac{\alpha+1}{1-\alpha}\right)+\frac{C_0}{n}+\frac{\gamma_{n}}{n} . $

$ (3) $若$ \alpha=1 $, 则边值问题(2.10) 可能只有有限多个特征值. 如果存在无穷多个特征值$ \left\{\lambda_{n}\right\} $, 那么当$ |n| \rightarrow \infty $时, 特征值的虚部$ {\rm Im} \lambda_{n} \rightarrow \infty $.

在本文声道散射的背景下, 我们后面进一步证明$ F(k) $的零点只能分布在上半复平面上. 首先, 我们利用函数$ F(k) $刻画压力函数$ P(k, x) $和速度函数$ V(k, x) $.

定理2.1  压力函数$ P(k, x) $和速度函数$ V(k, x) $分别具有以下表达式

(2.11) $ \begin{equation} P(k, x)=-\frac{{\rm i}kc\mu f(k, x)}{\pi r(0)r(x)F(k)}, \quad x\in[0, l], \quad k\in {\Bbb C}, \end{equation} $

(2.12) $ \begin{equation} V(k, x)=-\frac{f'(k, x)r(x)-f(k, x)r'(x)}{ r(0)F(k)}, \quad x\in[0, l], \quad k\in {\Bbb C}. \end{equation} $

证  因为

$ \begin{eqnarray*} [f(k, x);f(-k, x)]=2{\rm i}\alpha k, \quad k\in{\Bbb C}, \end{eqnarray*} $

所以当$ k\ne0 $时, $ f(k, x) $和$ f(-k, x) $线性无关. 因此, 存在两个常数$ a(k) $和$ b(k) $使得

(2.13) $ \begin{equation} \psi(k, x)= a(k)f(k, x)+b(k)f(-k, x), \quad k\ne0. \end{equation} $

将(2.13) 式代入(2.6) 式, 再由(2.8) 式得, 对于任意$ k\ne0 $有$ b(k)=0 $. 所以

(2.14) $ \begin{equation} \psi(k, x)= a(k)f(k, x), \quad k\ne0. \end{equation} $

将(2.14) 代入(2.5) 式, 结合(2.9) 式得

(2.15) $ \begin{equation} a(k)=-\frac{{\rm i}k c\mu}{\pi r(0)F(k)}, \quad k\ne0, \end{equation} $

由(2.14)和(2.3) 式可知: 方程(2.11) 对于所有$ k\ne0 $成立. 接下来证明$ P(0, x)\equiv0 $和$ F(0)\ne0 $. 如果命题为真, 那么方程(2.11) 对于$ k=0 $也成立. 事实上, 方程(2.1) 意味着$ r(x)^2P'(0, x)\equiv C $, 其中$ C $是一个与$ x $无关的常数, 再由(1.5) 式可知$ P'(0, x)\equiv0 $, 结合(1.12) 式可得$ P(0, x)\equiv0 $. 另一方面, 由(2.4) 和(2.8) 式易得

(2.16) $ \begin{equation} \varphi(0, x)=\frac{r(x)}{r(0)}. \end{equation} $

因此, 由(2.9), (2.16) 和(2.7) 式可得

(2.17) $ \begin{equation} F(0)=-\varphi(0, l)\beta-\varphi'(0, l)=-\frac{r(l)}{cLr(0)}\ne0. \end{equation} $

方程(2.12) 可直接由(1.4) 式得到. 证毕.

由定理2.1可以看出, 压力函数和速度函数都与函数$ F(k) $有关, 此外, $ P(k, l) $的极点还与$ F(k) $的零点一致, 并且

(2.18) $ \begin{equation} P(k, l)=-\frac{{\rm i}kc\mu}{\pi r(0)r(l)F(k)}, \quad k\in {\Bbb C}. \end{equation} $

下面我们进一步研究$ F(k) $的性质. 由文献[9]可知, 函数$ F(k) $是一个关于$ k $的指数型整函数, 其型为$ l $, 并且在复平面上有无穷多个零点. 因为$ \overline{\varphi(k, x)}=\varphi(-\overline{k}, x) $对所有$ k\in {\Bbb C} $都成立, 则由(2.9) 式, 有

(2.19) $ \begin{equation} F(-\overline{k})=\overline{F(k)}, \quad k\in {\Bbb C}. \end{equation} $

记$ {\Bbb C}^\pm:=\{k:{\pm\rm Im}k>0\} $, $ \overline{{\Bbb C}}^\pm:={\Bbb C}^\pm\cup {\Bbb R} $.

定理2.2  对任意的$ k\in \overline{{\Bbb C}}^- $, 都有$ F(k)\ne0 $.

证  先证明对于$ k\in{\Bbb R} $, 有$ F(k)\ne0 $. 首先, $ F(0)\ne0 $已经在(2.17) 式中得到证明. 然后, 若$ F(k)=0 $在某$ 0\ne k\in {\Bbb R} $处成立, 则$ F(k) $的实部和虚部都为零. 由于当$ k\in {\Bbb R} $时, 有$ \varphi(k, l), \varphi'(k, l)\in {\Bbb R} $. 由(2.9) 式得, $ \varphi(k, l)=0=\varphi'(k, l) $, 显然这是不可能的.

接下来证明, 对于任意的$ k\in {\Bbb C}^- $, 都有$ F(k)\ne0 $. 利用反证法, 先假设$ k_0=\sigma+{\rm i}\tau\;(\tau<0) $是$ F $在$ {\Bbb C}^- $中的某个零点. 由(2.19) 式可知$ F(-\overline{k_0})=0 $. 由分部积分, 并结合(2.8) 和(2.6) 式, 计算得

$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^l [-\varphi''(k_0, x)+q(x)\varphi(k_0, x)]\varphi(-\overline{k_0}, x){\rm d}x\\ & =&\int_0^l [-\varphi''(-\overline{k_0}, x)+q(x)\varphi(-\overline{k_0}, x)]\varphi({k_0}, x){\rm d}x+2{\rm i}\sigma \alpha|\varphi(k_0, l)|^2. \end{eqnarray*} $

于是由(2.4) 式可得

(2.20) $ \begin{equation} 2\sigma\tau\int_0^l |\varphi(k_0, x)|^2dx=\sigma\alpha|\varphi(k_0, l)|^2. \end{equation} $

再由(2.20)式可知: 若$ \sigma\ne0 $, 则$ \tau>0 $. 这与$ \tau<0 $的假设相矛盾. 于是得出结论: $ \sigma=0 $, 即如果$ F(k) $在$ {\Bbb C}^- $内有零点, 则必位于负虚轴上.

现在假设存在某个$ \tau<0 $, 使得$ F({\rm i}\tau)=0 $. 注意到$ \varphi(i\tau, x) $为(2.4) 式的解且满足边界条件(2.6) 和

$ \begin{eqnarray*} \label{2.19} \varphi'({\rm i}\tau, 0)-h\varphi({\rm i}\tau, 0)=0. \end{eqnarray*} $

记$ P_\tau(x):=\varphi({\rm i}\tau, x)r(x)^{-1} $, 计算得

(2.21) $ \begin{equation} [ r(x)^2P_\tau'(x)]'=\tau^2r(x)^2P_\tau(x), \end{equation} $

(2.22) $ \begin{equation} P_\tau'(0)=0, \quad P_\tau'(l)=-\frac{R-\tau}{cLR}P_\tau(l). \end{equation} $

在(2.21) 式两边同时乘以$ \overline{P_\tau(x)} $, 再在$ (0, l) $上积分, 结合(2.22) 式得

(2.23) $ \begin{equation} \frac{(R-\tau)r(l)^2}{cLR}|P_\tau(l)|^2+\int_0^lr(x)^2\left(\tau^2|P_\tau(x)|^2+|P_\tau'(x)|^2\right){\rm d}x=0, \end{equation} $

由$ R, L>0 $, $ \tau<0 $和$ P_\tau(x)\not\equiv0 $可知上述等式不可能成立. 证毕.

本节最后运用初值解$ \varphi(k, x) $的变换算子表示来进一步刻画函数$ F(k) $. 注意到$ \varphi(k, x) $具有如下表达式^[6]

(2.24) $ \begin{equation} \varphi(k, x)=\cos kx+\int_0^xK(x, t)\cos kt{\rm d}t, \quad x\in[0, l], \end{equation} $

其中核函数$ K(x, t) $为实值函数, 且满足

(2.25) $ \begin{array}{*{20}{c}}{K_{tt}-K_{xx}+q(x)K=0, \quad 0\le |t|\le x\le l, }\\{ K(x, \pm x)=h+\frac{1}{2}\int_0^x q(s){\rm d}s. }\end{array} $

由(2.24) 式得

(2.26) $ \begin{equation} \varphi(k, l)=\cos kl+K(l, l)\frac{\sin kl}{k}-\int_0^l K_t(l, t)\frac{\sin kt}{k}{\rm d}t, \end{equation} $

(2.27) $ \begin{equation} \varphi'(k, l)=-k\sin kl+K(l, l){\cos kl}+\int_0^l K_x(l, t){\cos kt}{\rm d}t. \end{equation} $

将(2.26) 和(2.27) 式代入(2.9) 式, 得到

(2.28) $ \begin{eqnarray} {} F(k)&=&-{\rm i}k(\alpha\cos kl+i\sin kl)-{\rm i}\alpha K(l, l)\sin kl-[\beta+K(l, l)]\cos kl{\nonumber}\\ &&-\int_0^lK_x(l, t)\cos kt{\rm d}t+\left({\rm i}\alpha+\frac{\beta}{k}\right)\int_0^lK_t(l, t)\sin kt{\rm d}t \end{eqnarray} $

再将(2.28) 式改写为

(2.29) $ \begin{equation} F(k)=F_1(k)+iF_2(k), \quad k\in {\Bbb C}, \end{equation} $

其中

(2.30) $ \begin{equation} F_1(k)=k\sin kl -[\beta+K(l, l)]\cos kl-\int_0^lK_x(l, t)\cos kt{\rm d}t+\int_0^lK_t(l, t)\frac{\beta\sin kt}{k}{\rm d}t, \end{equation} $

(2.31) $ \begin{equation} F_2(k)=-\alpha\left[k\cos kl+K(l, l)\sin kl-\int_0^lK_t(l, t)\sin kt{\rm d}t\right]. \end{equation} $

因为$ K(x, t) $为实值函数, 并且$ \sin z, \cos z $在实轴上也是实值的, 所以当$ k\in {\Bbb R} $时, 函数$ F_1(k), F_2(k)\in {\Bbb R} $.

本节研究逆问题, 即从以下数据之一来重构$ r(x), R, L $: (ⅰ) $ |P(k, l)| \; (k>0) $; (ⅱ) 声压函数$ P(k, l) $的所有极点$ \{k_n\} $及嘴巴开口半径$ r(l) $.

记

(3.1) $ \begin{equation} F_0(k):=-{\rm i}(k-{\rm i}\kappa)(\alpha\cos kl+{\rm i}\sin kl), \end{equation} $

其中$ \kappa $为一个大于0的常数.

首先说明对于所有的$ k\in \overline{{\Bbb C}}^- $, 都有$ F_0(k)\ne0 $. 显然, 当$ k\in {\Bbb R}\cup {\rm i}{\Bbb R}^- $时, $ F_0(k)\ne0 $. 假设$ k^0:=\sigma_0+{\rm i}\tau_0 $, $ \tau_0<0 $是$ F_0 $的一个零点, 则有

(3.2) $ \begin{equation} e^{2{\rm i}\sigma_0l}=\frac{1-\alpha}{1+\alpha}e^{2\tau_0 l}. \end{equation} $

注意到(3.2) 式等号左边的模为$ 1 $, 又因为$ \tau_0<0 $, 所以等号右边的模小于$ 1 $, 产生矛盾.

显然存在一个常数$ C_0>0 $使得

(3.3) $ \begin{equation} | F_0(k)|\ge C_0 (|k|+1) e^{|{\rm Im}k|l}, \quad k\in \overline{{\Bbb C}}^-. \end{equation} $

由(2.28) 和(3.3) 式可知

(3.4) $ \begin{equation} F(k)=F_0(k)\left[1+O\left(\frac{1}{k}\right)\right], \quad |k|\to\infty, \quad k\in \overline{{\Bbb C}}^-. \end{equation} $

在(3.4) 式中, 令$ k=k_n^0:=2n\pi/l $且$ n\to\infty $, 结合(3.1) 式, 可得

(3.5) $ \begin{equation} \alpha=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|F(k_n^0)|}{|k_n^0|}. \end{equation} $

由(3.1) 式得

(3.6) $ \begin{equation} F_0(-\overline{k})=\overline{F_0(k)}, \quad k\in {\Bbb C}. \end{equation} $

再由(2.19) 和(3.6) 式得

(3.7) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} F(-k)F(k)=|F(k)|^2, \quad |F(k)|=|F(-k)|, \quad& k\in {\Bbb R}\\ F_0(-k)F_0(k)=|F_0(k)|^2, \quad |F_0(k)|=|F_0(-k)|, \quad &k\in {\Bbb R}. \end{array}\right. \end{equation} $

记

(3.8) $ \begin{equation} G_+(k):=\frac{F_0(- k)}{F(- k)}, \quad G_-(k):=\frac{F( k)}{F_0( k)}, \quad G(k):=\frac{|F_0(k)|^2}{|F(k)|^2}. \end{equation} $

由(3.7) 式, 有

(3.9) $ \begin{equation} G_+(k)=G(k)G_-(k), \quad k\in {\Bbb R}. \end{equation} $

根据定理2.2和上述讨论, 我们看到$ G_\pm(k) $分别在$ {{\Bbb C}}^\pm $内解析且无零点. 此外, 由(3.4) 式知, 当$ |k|\to\infty $且$ k\in \overline{{\Bbb C}}^\pm $时, $ G_\pm(k)\to1 $. 求解黎曼问题(3.9), 我们可以从$ G(k) $中唯一获得$ G_\pm(k) $, 并且有^[7]

(3.10) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } G_\pm(k)= \exp\left(\frac{1}{2\pi{\rm i}}\int_{-\infty}^\infty\frac{\ln G(s)}{s-k}{\rm d}s\right), \quad &k\in {\Bbb C}^\pm, \\ [4mm] { } G_\pm(k)= \exp\left(\frac{1}{2\pi{\rm i}}\int_{-\infty}^\infty\frac{\ln G(s)}{s-k}{\rm d}s\pm\frac{1}{2}\ln G(k)\right), \quad &k\in {\Bbb R}. \end{array}\right. \end{equation} $

由(3.8)式知

(3.11) $ \begin{equation} F(k)=\left\{\begin{array}{ll} { } F_0(k) \exp\left(\frac{1}{\pi{\rm i}}\int_{-\infty}^\infty\frac{\ln (|F_0(k)|/|F(k)|)}{s-k}{\rm d}s\right), \quad &k\in {\Bbb C}^-, \\ [4mm] { } F_0(k)\exp\left(\frac{1}{\pi{\rm i}}\int_{-\infty}^\infty\frac{\ln (|F_0(k)|/|F(k)|)}{s-k}{\rm d}s-\ln \left(\frac{|F_0(k)|}{|F(k)|}\right)\right), \ &k\in {\Bbb R}. \end{array}\right. \end{equation} $

由于$ F(k) $是一个整函数, 根据解析延拓定理^[17], 整个复平面上的$ F(k) $由$ \overline{{\Bbb C}}^- $中的$ F(k) $唯一确定. 从上面的论证中, 我们可以得出以下引理3.1.

引理3.1  $ |F(k)|\; (k>0) $唯一确定$ F(k), k\in {\Bbb C} $, 并且$ F(k) $在下半复平面的表达式由(3.11) 式给出, 其中$ F_0(k) $和$ \alpha $分别由(3.1) 和(3.5) 式得到.

利用引理3.1和文献[9]或[16]中的唯一性定理, 可以直接得到如下引理3.2. 在这里, 我们将提供另一种证明, 通过这个证明我们可以得到一种重构算法.

引理3.2  函数$ F(k)\; (k>0) $唯一地确定$ h, \alpha, \beta $和势函数$ q(x) $.

证  由题意及(2.29) 式知$ F_1(k) $和$ F_2(k) $对于$ k>0 $是已知的, 并且$ \alpha $由(3.5) 式获得. 在(2.31) 式中, 取$ k=n\pi/l $, $ n\ge1 $, 得

(3.12) $ \begin{equation} \int_0^lK_t(l, t)\sin \frac{n\pi t}{l}{\rm d}t= \frac{F_2\left(\frac{n\pi}{l}\right)}{\alpha}+(-1)^n\frac{n\pi}{l}. \end{equation} $

由于$ \{\sin (n\pi/l)\}_{n\ge1} $在$ L^2(0, l) $中是完备的, 因此, $ K_t(l, t) $被唯一确定. 在(2.31) 式中令$ k=k_n^1:=\frac{(4n+1)\pi}{2l} $且$ n\to\infty $, 得到

(3.13) $ \begin{equation} K(l, l)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{F_2(k_n^1)}{-\alpha}. \end{equation} $

在(2.30) 式中令$ k=k_n^0=2n\pi/l $且$ n\to\infty $, 得到

(3.14) $ \begin{equation} \beta=-K(l, l)-\lim\limits_{n\to\infty}{F_1(k_n^0)}. \end{equation} $

在(2.30) 式中取$ k=n\pi/l $, $ n\ge0 $, 得到

(3.15) $ \begin{equation} \int_0^l\!K_x(l, t)\cos \frac{n\pi}{l}t{\rm d}t\!=\!-F_1\!\left(\frac{n\pi}{l}\right)-[\beta+K(l, l)](-1)^n+\frac{l\beta}{n\pi}\!\int_0^l\!K_t(l, t)\sin\frac{n\pi t}{l}{\rm d}t. \end{equation} $

(3.15) 式等号右边已经由(3.12)–(3.14) 式获得. 由于$ \{\cos(n\pi/l)\}_{n\ge0} $在$ L^2(0, l) $中是完备的, 因此, $ K_x(l, t) $被唯一确定. 注意到

(3.16) $ \begin{equation} K(l, t)=K(l, l)-\int_t^lK_t(l, s){\rm d}s. \end{equation} $

于是, 我们得到了Cauchy数据$ \{K(l, t), K_x(l, t)\} $. 运用文献[12]中的逐次逼近法或者拟Newton法, 就可以唯一地重构$ q(x) $. 最后$ h $可由(2.25) 式唯一重构. 证毕.

现在我们考虑如何通过$ |P(k, l)|\; (k>0) $来确定函数$ r(x) $.

定理3.1  (1) $ |P(k, l)|\; (k>0) $唯一确定$ r(x) $以及$ L $和$ R $.

(2) $ P(k, l) $的所有极点$ \{k_n\} $及$ r(l) $唯一确定$ r(x) $以及$ L $和$ R $.

证  (1) 在(3.4) 式中令$ k=k_n^1=\frac{(4n+1)\pi}{2l} $且$ n\to\infty $, 结合(3.1) 式得

(3.17) $ \begin{equation} 1=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left|F\left(k_n^1\right)\right|}{|k_n^1|}. \end{equation} $

由(2.18) 和(3.17) 式有

(3.18) $ \begin{equation} \frac{c\mu}{\pi r(0)r(l)}=\lim\limits_{n\to\infty} |P(k_n^1, l)|. \end{equation} $

因此, 由(2.18)式, (3.18) 式和引理3.1, 我们得出结论: $ |P(k, l)|\; (k>0) $唯一确定函数$ P(k, l) $和$ F(k) $, $ k\in{\Bbb C} $. 由引理3.2知, $ h, \alpha, \beta $和$ q(x) $被唯一确定. 因为$ R=1/\alpha $, 所以$ R $被唯一确定. 因为对于某个固定的$ k $, 函数$ \varphi(k, x) $可以完全由$ q(x) $和$ h $确定, 所以由(2.16)式知, $ r(l)/r(0) $被唯一确定

(3.19) $ \begin{equation} \frac{ r(l)}{r(0)}=\varphi(0, l). \end{equation} $

再结合(3.18) 式知, $ r(0) $和$ r(l) $分别被唯一确定. 因此, $ r(x) $被唯一确定

(3.20) $ \begin{equation} r(x)=r(0)\varphi(0, x). \end{equation} $

最后来确定$ L $. 由(2.17) 式知

(3.21) $ \begin{equation} \frac{r(l)}{Lr(0)}=-cF(0). \end{equation} $

再结合(3.19) 式得$ L $被唯一确定

(3.22) $ \begin{equation} L=-\frac{\varphi(0, l)}{cF(0)}. \end{equation} $

(2) 由(2.11)式知, $ P(k) $所有的极点与$ F(k) $的零点一致. 利用Hadamard因子分解定理^[8]和定理2.2以及(2.19) 式, 我们得到

(3.23) $ \begin{eqnarray} F(k)=F(0)e^{a_1{\rm i}k}E(k), \quad E(k):=\prod\limits_{n}\left(1-\frac{k}{k_n}\right), \end{eqnarray} $

其中$ a_1\in {\Bbb R} $为常数. 由(2.28) 式有

(3.24) $ \begin{equation} F({\rm i}\tau)=\frac{(\alpha+1)\tau}{2e^{\tau l}}[1+o(1)], \quad {\tau\to-\infty}. \end{equation} $

由(3.23) 和(3.24) 式得

(3.25) $ \begin{equation} a_1=l+\lim\limits_{\tau\to-\infty}\ln E({\rm i}\tau). \end{equation} $

根据(3.17) 式有

(3.26) $ \begin{equation} F(0)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|k_n^1|}{\left|e^{a_1{\rm i}k_n^1}E(k_n^1)\right|}. \end{equation} $

由(3.23), (3.25) 和(3.26) 式得, $ F(k) $由其零点唯一确定. 再结合(1) 的证明, 我们即可完成(2) 的证明. 证毕.

注3.1  由命题2.1知, 若给定数据为嘴唇处声压函数的所有极点$ \{k_n\} $且$ R\ne1 $, 则声道的长度$ l $可以被唯一确定, 因此不用作为已知的物理量.

本节最后, 总结由数据(ⅰ) 和(ⅱ) 重构$ r(x), R, L $的算法.

算法1  由$ |P(k, l)|\ (k>0) $重构$ r(x), R, L $.

第1步  根据(3.18) 式重构$ \frac{c\mu}{\pi r(0)r(l)} $.

第2步  由(2.18)式得到$ |F(k)| $, $ k>0 $, 再由(2.19) 式得到$ |F(k)| $, $ k\in {\Bbb R} $.

第3步  根据(3.5) 式得到$ \alpha $ (即$ R $), 再由(3.1)式得到$ F_0(k) $.

第4步  由(3.11)式得到$ {\Bbb R} $上的$ F(k) $.

第5步  根据(2.29)式得到$ F_1(k) $和$ F_2(k) $, 再分别由(3.13) 和(3.14)式得到$ K(l, l) $和$ \beta $.

第6步  由(3.12) 式得到$ K_t(l, t) $, 再由(3.15) 和(3.16)式唯一地得到Cauchy数据$ \{K(l, t), $$ K_x(l, t)\} $.

第7步  利用文献[12]中的方法由$ \{K(l, t), K_x(l, t)\} $重构$ q(x) $和$ h $.

第8步  由$ q(x), h $计算$ \varphi(0, x) $, 由此得到$ r(l)/r(0) $, 再结合(3.18) 式得到$ r(0) $和$ r(l) $.

第9步  由(3.20) 式得到$ r(x) $, 由(3.22) 式重构$ L $.

算法2  由$ P(k, l) $的所有极点$ \{k_n\} $及$ r(l) $重构$ r(x), R, L $.

第1步  由(3.23), (3.25) 和(3.26) 式重构$ F(k) $.

第2步  重复算法1的步骤3–9, 得到$ r(x), R, L $.