1910年, von Kármán^[1]建立了一个由四阶偏微分方程组成的方程组. 该方程组被视为模拟弹性板或壳的非线性变形的关键工具. 在合理的假设下, von Kármán^[1]应用该方程组对发生大形变的板进行了模拟. 随后, 基于von Kármán理论的偏微分方程问题引起了工程师或数学家的极大兴趣, 参见文献[2-7].

悬索桥的甲板被视为一个狭长的矩形薄板$ \Omega=(0, \pi)\times (-\ell, \ell)\subset {{\Bbb R}} ^2 $ ($ 2\ell \ll \pi $) (图 1)是很自然的想法. 这也是Rocard^{[8, p150]}的观点. 于是Gazzola及其合作者给出了悬索桥的一些薄板模型^{[5, 6, 9, 10]}.

有些时候, 悬索桥可能会出现较大形变, 从而导致其坍塌. 比如, 在Tacoma Narrows Bridge事故中, 甲板的扭转振荡幅度可以达到几米, 这几乎与宽度的数量级相同, 见视频^[11]. 基于这种现象的出现以及von Kármán理论, Gazzola-Wang^[6]提出了以下方程来模拟发生大形变的悬索桥

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \Delta^2 u+h(y, u)=[\Phi, u]+f-\lambda u_{xx}, \quad & (x, y)\in\Omega, \\ \Delta^2\Phi=-[u, u], \quad & (x, y)\in\Omega, \\ u=u_{xx}=\Phi=\Phi_{xx}=0, \quad & (x, y)\in\{0, \pi\}\times(-\ell, \ell), \\ u_{yy}+\sigma u_{xx}=u_{yyy}+(2-\sigma)u_{xxy}=0, \quad & (x, y)\in(0, \pi)\times\{\pm\ell\}, \\ \Phi=\Phi_y=0, \quad & (x, y)\in(0, \pi)\times\{\pm\ell\}\, , \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ u $是甲板的位移, $ h(y, u) $代表吊架引起的恢复力, $ f $是外部负载, $ \lambda>0 $, $ \sigma\in(0, 1/2) $是两个常数, $ \Phi=\Phi(u) $是Airy Stress函数, $ [\cdot, \cdot] $是Monge-Ampère算子

$ [\phi, \psi]:=\phi_{xx}\psi_{yy}+\phi_{yy}\psi_{xx}-2\phi_{xy}\psi_{xy}, \qquad\forall\phi, \psi\in H^2(\Omega). $

这也被称为von Kármán括号算子^[12].

当甲板发生较大形变时, 拉伸能量也起着重要作用. 因此, 根据Berger^[2]的想法(另见文献[9, 13]), 我们考虑以下边界问题

(1.2) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } \Delta^2 u+h(y, u)+\left(P-S\int_{\Omega}u_x^2\right)u_{xx}=[\Phi, u]+f, \quad &(x, y)\in\Omega, \\ \Delta^2\Phi=-[u, u], \quad &(x, y)\in\Omega, \\ u=u_{xx}=\Phi=\Phi_{xx}=0, \quad &(x, y)\in\{0, \pi\}\times(-\ell, \ell), \\ u_{yy}+\sigma u_{xx}=u_{yyy}+(2-\sigma)u_{xxy}=0, \quad & (x, y)\in(0, \pi)\times\{\pm\ell\}, \\ \Phi=\Phi_y=0, \quad & (x, y)\in(0, \pi)\times\{\pm\ell\}\, , \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ P>0 $是预应力常数, $ S>0 $取决于甲板材料的弹性性能.

由于我们主要关注悬索桥甲板的振荡, 因此我们将问题(1.2)改写为

(1.3) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } \Delta^2 u+h(y, u)+\left(P-S\int_{\Omega}u_x^2\right)u_{xx}=[\Phi, u]+f, \quad &(x, y)\in\Omega, \\ u=u_{xx}=0, \quad &(x, y)\in\{0, \pi\}\times(-\ell, \ell), \\ u_{yy}+\sigma u_{xx}=u_{yyy}+(2-\sigma)u_{xxy}=0, \quad & (x, y)\in(0, \pi)\times\{\pm\ell\}, \, \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ \Phi $满足线性方程^[6]

(1.4) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \Delta^2\Phi=-[u, u], \quad &(x, y)\in\Omega, \\ \Phi=\Phi_{xx}=0, \quad & (x, y)\in\{0, \pi\}\times(-\ell, \ell), \\ \Phi=\Phi_y=0, \quad &(x, y)\in(0, \pi)\times\{\pm\ell\}\, . \end{array}\right. \end{eqnarray} $

本文的主要目的是考虑非线性非局部问题(1.3), 并研究其解的存在性. 内容组织如下: 在第2节中, 我们首先引入了几个Hilbert空间; 然后, 为了给出问题(1.3)的弱解的概念, 我们又引入了几个紧算子及其性质; 最后我们列出文中的主要结果: 定理2.1和定理2.2; 第3–4节分别对定理2.1和定理2.2给予了证明.

基于我们讨论的问题, 我们引入$ H^2(\Omega) $的两个子空间, 即

$ H_*^2(\Omega):=\{u\in H^2(\Omega); u=0, (x, y) \in\{0, \pi\}\times (-\ell, \ell)\}, $

$ H_{**}^2(\Omega):=\{u\in H_*^2(\Omega); u=u_y=0 , (x, y) \in (0, \pi)\times \{-\ell, \ell\}\}. $

若我们分别定义

$ (u, v)_{H_*^2}:=\int_{\Omega}\left(\Delta u\Delta v-(1-\sigma)[u, v]\right){\rm d}x{\rm d}y, \quad u, v\in H_*^2(\Omega), $

$ (u, v)_{H_{**}^2}:=\int_{\Omega}\Delta u\Delta v{\rm d}x{\rm d}y, \qquad u, v\in H_{**}^2(\Omega). $

则它们都是Hilbert空间^[6]. 于是它们的范数分别为

$ \|u\|_{H_*^2}:=\left(\int_{\Omega}\left(|\Delta u|^2-(1-\sigma)[u, u]\right){\rm d}x{\rm d}y\right)^{1/2}, \quad u\in H_*^2(\Omega), $

$ \|u\|_{H_{**}^2}:=\left(\int_{\Omega}|\Delta u|^2 {\rm d}x{\rm d}y\right)^{1/2}, \quad u\in H_{**}^2(\Omega). $

此外，我们还需要$ H^1(\Omega) $的一个子空间

$ \begin{eqnarray*} H_*^1(\Omega):=\{u\in H^1(\Omega); u=0, (x, y) \in \{0, \pi\}\times (-\ell, \ell)\}, \end{eqnarray*} $

它也是一个Hilbert空间, 内积和范数分别为

$ \begin{eqnarray*} (u, v)_{H_*^1}:=\int_{\Omega}\nabla u\nabla v {\rm d}x{\rm d}y, \qquad \|u\|_{H_*^1}:=\left(\int_{\Omega}\left|\nabla u\right|^2 {\rm d}x{\rm d}y\right)^{1/2}, \quad u, v\in H_*^1(\Omega). \end{eqnarray*} $

为了给出问题(1.3)的弱解的概念, 我们需要几个紧致算子^[6]. 对$ \forall u, $$ v\in H_*^2(\Omega), $$ \forall \phi\in H_{**}^2(\Omega) $, 定义

$ B:(H_*^2(\Omega))^2\to H_{**}^2(\Omega), \quad (B(u, v), \phi)_{H_{**}^2}=\int_{\Omega}{[u, v]\phi}\; {\rm d}x{\rm d}y; $

$ C:H_*^2(\Omega)\times H_{**}^2(\Omega)\to H_*^2(\Omega), \quad (C(u, \phi), u)_{H_*^2}=\int_{\Omega}{[v, \phi]u}\; {\rm d}x{\rm d}y; $

$ D:H_*^2(\Omega)\to H_*^2(\Omega), \quad D(u)=C(u, B(u, u)). $

算子$ D $使得我们能够定义一个泛函$ d:H_*^2(\Omega)\to {{\Bbb R}} $,

$ d(v)=\frac{1}{4}(D(v), v)_{H_*^2}\quad \forall v\in H_*^2(\Omega). $

它具有以下性质.

命题2.1^{[6, 引理4.3]}   泛函$ d $满足

(i) $ d $是一个非负数, $ d(v)=0 $当且仅当$ v=0 $, $ \forall\left( x, y \right)\in \Omega $. 并且

$ d(v)=\frac{1}{4}\|B(v, v)\|_{H_{**}^2}; $

(ii) $ d(rv)=r^4d(v), \quad \forall r\in {{\Bbb R}} , \forall v\in H_*^2(\Omega); $

(iii) $ d $在$ H_*^2(\Omega) $中是可微的, 而且

$ \langle d'(v), w\rangle=(D(v), w)_{H_*^2}, \quad \forall v, w \in H_*^2(\Omega); $

(iv) $ d $在$ H_*^2(\Omega) $上是弱连续的.

现在我们给出方程(1.3) 的弱解定义.

定义2.1   设$ f\in L^2(\Omega) $, 如果对$ \forall v\in H_*^2(\Omega) $, 都有

(2.1) $ \begin{eqnarray} (u, v)_{H_*^2}-(P-S\|u\|_{H_*^1}^2)(u, v)_{H_*^1}+(h(y, u), u)_{L_2}+(D(u), v)_{H_*^2}=(f, v)_{L_2} \end{eqnarray} $

成立, 那么我们称$ u\in H_*^2(\Omega) $是方程(1.3)的弱解.

为了方便叙述我们的主要结果, 我们给出线性问题

(2.2) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \Delta^2 u+\lambda u_{xx}=0, \quad & (x, y)\in\Omega, \\ u=u_{xx}=0, \quad & (x, y)\in\{0, \pi\}\times(-\ell, \ell), \\ u_{yy}+\sigma u_{xx}=u_{yyy}+(2-\sigma)u_{xxy}=0, \quad &(x, y)\in(0, \pi)\times\{\pm\ell\}\, \end{array}\right. \end{eqnarray} $

的谱.

命题2.2^{[6, 定理3.1]}   问题(2.2) 有一列发散的特征值

$ \lambda_1<\lambda_2\leq \cdots\leq \lambda_k\leq \cdots, $

其对应的特征函数$ \{\bar{e}_k\} $形成了$ H_*^2(\Omega) $一组完备正交基.

首先, 我们考虑$ h(y, u)\equiv 0 $时, 即

(2.3) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } \Delta^2 u+\left(P-S\int_{\Omega}u_x^2\right)u_{xx}=[\Phi, u]+f, \quad & (x, y)\in \Omega, \\ u=u_{xx}=0, \quad & (x, y)\in\{0, \pi\}\times(-\ell, \ell), \\ u_{yy}+\sigma u_{xx}=u_{yyy}+(2-\sigma)u_{xxy}=0, \quad &(x, y)\in(0, \pi)\times\{\pm\ell\}\, , \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ \Phi $是(1.4)式的唯一解.则有如下定理.

定理2.1   设$ S>0 $, $ P> 0 $, 则对所有的$ f\in L^2(\Omega) $, 问题(2.3) 有解. 而且

$ \rm (i) $如果$ P<\lambda_1 $, 那么当$ \|f\|_{L^2} $足够小时, 问题(2.3)有唯一解;

$ \rm (ii) $如果$ P\in (\lambda_k, \lambda_{k+1}] $$ (k\geq 1) $, 且$ f=0 $, 那么问题(2.3) 至少存在$ k $对非平凡解;

$ \rm (iii) $如果$ P>\lambda_1 $, 那么当$ \|f\|_{L^2} $足够小时, 问题(2.3)至少三个解.

接下来, 基于Ferrero-Gazzola^[5]的想法(另见Gazzola-Wang^[6]), 我们取

$ h(y, u)=\Upsilon(y)(ku+\delta u^3)^+, $

其中$ k, \delta>0 $, $ \Upsilon(y) $是$ (0, \pi)\times [(-\ell, -\ell+\varepsilon)\cup (\ell-\varepsilon, \ell)] $上的特征函数($ \varepsilon>0 $充分小). 则问题(1.3) 为

(2.4) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } \Delta^2 u+\Upsilon(y)(ku+\delta u^3)^++\left(P-S\int_{\Omega}u_x^2\right)u_{xx}=[\Phi, u]+f, & (x, y)\in\Omega, \\ u=u_{xx}=0, \quad & (x, y)\in\{0, \pi\}\times(-\ell, \ell), \\ u_{yy}+\sigma u_{xx}=u_{yyy}+(2-\sigma)u_{xxy}=0, \quad & (x, y)\in(0, \pi)\times\{\pm\ell\}\, , \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ \Phi $是方程(1.4)的唯一解.

假设

(2.5) $ \begin{eqnarray} \alpha:=\int_{\Omega}{\Upsilon(y)\bar{e}_1^2}{\rm d}x{\rm d}y, \qquad \bar{\lambda}:=(\alpha k+1)\lambda_1>\lambda_1. \end{eqnarray} $

则我们有如下定理.

定理2.2   设$ k, \delta, S, P> 0 $. 则对于所有的$ f\in L^2(\Omega) $, 问题(2.4)有解.而且,

$ \rm (i) $如果$ P<\lambda_1 $, 那么当$ \|f\|_{L^2} $足够小时, 问题(2.4) 有唯一解;

$ \rm (ii) $如果$ P>\lambda_1 $且$ f=0 $, 那么问题(2.4) 至少有两个解;

$ \rm (iii) $如果$ \bar{\lambda}<\lambda_2 $, $ \bar{\lambda}<\lambda<\lambda_2 $, 那么当$ \|f\|_{L^2} $足够小时, 问题(2.4)至少有三个解.

定理2.1–2.2都讨论了唯一性和多解性.问题(1.3)的解, 也就是相应能量泛函的临界点, 它描述了甲板的稳定或不稳定平衡位置.当$ p $和$ f $都很小时, 甲板只有一个可能的平衡位置.如果其中一个较大, 则存在多个平衡位置, 这可能导致崩塌. 这两个定理之间的区别在于: 在定理2.2中, 当$ \|f\|_{L^2} $更小时, 我们得出与定理2.1相同的结论, 这与事实现象相符.

根据命题2.1, 问题(2.3)的能量泛函可写为

$ J(u)=\frac{1}{2}\|u\|_{H_*^2}^2-\frac{P}{2}\|u\|_{H_*^1}^2+\frac{S}{4}\|u\|_{H_*^1}^4+d(u)-\int_{\Omega}{fu}\; {\rm d}x{\rm d}y. $

通过应用算子$ B $、$ C $、$ D $的紧性和命题2.1, 我们容易得到如下引理.

引理3.1   设$ f\in L^2(\Omega) $, 则$ u\in H_*^2(\Omega) $是问题(2.3) 的弱解当且仅当$ u $是$ J(u) $的临界点.

接下来, 我们将重点考虑$ J $的几何性和紧致性.

引理3.2   设$ S>0 $, $ P>0 $, 则对于任意的$ f\in L^2(\Omega) $, $ J $在$ H_*^2(\Omega) $上是强制的, 下有界的.此外, 它还满足Palais-Smale(PS)条件.

证   反证法.假设存在一个序列$ \{v_n\}\subset H_*^2(\Omega) $和一个正数$ M $, 使得

$ \lim\limits_{n\to\infty}\|v_n\|_{H_*^2}\to \infty, \qquad J(v_n)\leq M. $

令$ w_n=\frac{v_n}{\|v_n\|_{H_*^2}} $, 则

$ v_n=\|v_n\|_{H_*^2}w_n \mbox{ 和} \|w_n\|_{H_*^2}=1. $

由命题2.1和Hölder不等式, 我们可得

$ \begin{eqnarray*} M\geq J(v_n)&\geq& \frac{1}{2}\|v_n\|_{H_*^2}^2+\frac{S}{4}\|v_n\|_{H_*^2}^4\|w_n\|_{H_*^1}^4+\|v_n\|_{H_*^2}^4d(w_n)\\ & &-\frac{P}{2}\|v_n\|_{H_*^2}^2\|w_n\|_{H_*^1}^2-\frac{\|f\|_{L_2}}{\sqrt{\lambda_1}}\|v_n\|_{H_*^2}. \end{eqnarray*} $

于是

$ \frac{M}{\|v_n\|_{H_*^2}^2}\geq\frac{1}{2}+\frac{S}{4}\|v_n\|_{H_*^2}^2\|w_n\|_{H_*^1}^4+\|v_n\|_{H_*^2}^2d(w_n)-\frac{P}{2}\|w_n\|_{H_*^1}^2-\frac{\|f\|_{L_2}}{\|v_n\|_{H_*^2}\sqrt{\lambda_1}}. $

上式表明$ \|w_n\|_{H_*^1}\to 0 $, $ d(w_n)\to 0 $ ($ n\to \infty $).因此, 当$ n\to \infty $, 我们有

$ o(1)=\frac{M}{\|v_n\|_{H_*^2}^2}\geq \frac{1}{2}-\frac{\|f\|_{L_2}}{\|v_n\|_{H_*^2}\sqrt{\lambda_1}}\geq \frac{1}{2}+o(1), $

这导致了一个矛盾.因此, $ J $是强制的.由于$ J(v_n) $的下限仅取决于$ \|v_n\|_{H_*^2} $, 因此$ J $是有下界的.

为了证明$ J $满足(PS) 条件, 我们考虑一个序列$ \{u_n\}\subset H_*^2(\Omega) $, 使得$ J(u_n) $有界, 以及在$ H_*^2(\Omega) $的对偶空间中$ J'(u_n)\to 0 $.通过上面的证明, 我们知道$ \{u_n\} $是有界的, 因此, 存在一个子列(仍记为$ \{u_n\} $)和$ \bar{u}\in H_*^2(\Omega) $, 使得$ u_n\to \bar{u} $, 并且由弱连续性, 知$ J'(\bar{u})=0 $.此外我们有

$ \begin{eqnarray*} \langle J'(u_n), u_n\rangle &=&\|u_n\|_{H_*^2}^2+(D(u_n), u_n)_{H_*^2}+S\|u_n\|_{H_*^1}^4-P\|u_n\|_{H_*^1}^2-\int_{\Omega}{fu_n}\\ &\to &0=\langle J'(\bar{u}), \bar{u}\rangle=\|\bar{u}\|_{H_*^2}^2+(D(\bar{u}), \bar{u})_{H_*^2}+S\|\bar{u}\|_{H_*^1}^4-P\|\bar{u}\|_{H_*^1}^2-\int_{\Omega}{f\bar{u}}. \end{eqnarray*} $

利用$ D $的紧性和紧嵌入, 我们得出$ (D(u_n), u_n)_{H_*^2}\to(D(\bar{u}), \bar{u})_{H_*^2} $, $ \|u_n\|_{H_*^1}\to \|\bar{u}\|_{H_*^1} $和$ \int_{\Omega}{fu_n}\to \int_{\Omega}{f\bar{u}} $, 这也证明了$ \|u_n\|_{H_*^2}\to \|\bar{u}\|_{H_*^2} $. 又由于$ u_n $弱收敛于$ \bar{u} $, 因此$ u_n $强收敛于$ \bar{u} $.即也证明了$ J $满足(PS)条件.

引理3.2表明在$ H_*^2(\Omega) $上$ J $有一个全局最小值点.这个最小值点是$ J $的一个临界点, 即是(2.3)式的弱解.这证明了定理2.1的第一部分.

现在我们证明(i).对于任意的$ f\in L^2(\Omega) $, 若$ u $是$ J $的临界点, 则$ \langle J'(u), u\rangle=0 $.

通过Hölder不等式, 我们得到

$ \|u\|_{H_*^2}^2+4d(u)-P\|u\|_{H_*^1}^2+S\|u\|_{H_*^1}^4\leq \|f\|_{L^2}\|u\|_{L^2}. $

于是

$ \left(1-\frac{P}{\lambda_1}\right)\|u\|_{H_*^2}^2\leq \frac{\|f\|_{L^2}}{\sqrt{\lambda_1}}\|u\|_{H_*^2}, $

因此, 当$ P<\lambda_1 $时

(3.1) $ \begin{eqnarray} \|u\|_{H_*^2}\leq \frac{\sqrt{\lambda_1}}{\lambda_1-P}\|f\|_{L^2}. \end{eqnarray} $

定义

(3.2) $ \begin{eqnarray} J_0(u):=\frac{1}{2}\|u\|_{H_*^2}^2-\frac{P}{2}\|u\|_{H_*^1}^2+\frac{S}{4}\|u\|_{H_*^1}^4+d(u), \end{eqnarray} $

现在我们分析$ J_0 $的凸性性质. 设

$ Q(u):=\|u\|_{H_*^2}^2-P\|u\|_{H_*^1}^2, \quad \forall u\in H_*^2(\Omega), $

则对任意的$ u, v\in H_*^2(\Omega) $和任意的的$ t\in [0, 1] $, 可得

$ \begin{eqnarray*} Q(tu+(1-t)v)-tQ(u)-(1-t)Q(v)&=&t(1-t)\left(P\|u-v\|_{H_*^1}^2-\|u-v\|_{H_*^2}^2\right)\\ &\leq& t(1-t) \frac{P-\lambda_1}{\lambda_1}\|u-v\|_{H_*^2}^2. \end{eqnarray*} $

此外, Gazzola-Wang^[6]证明了对任意的$ u, v\in H_*^2(\Omega) $和任意的$ t\in [0, 1] $, 有

$ d(tu+(1-t)v)-td(u)-(1-t)d(v)\leq Ct(1-t)\left(\|u\|_{H_*^2}^2+\|v\|_{H_*^2}^2\right)\|u-v\|_{H_*^2}^2, $

其中$ C $与$ t, u, v $无关. 又由于\(对任意的u, v\in H_*^2(\Omega) 和任意的t\in [0, 1], \) 我们总有

$ \|tu+(1-t)v\|_{H_*^1}^4\leq t\|u\|_{H_*^1}^4+(1-t)\|v\|_{H_*^1}^4. $

综上, 我们可以得到

$ \begin{eqnarray*} &&J_0(tu+(1-t)v)-tJ_0(u)-(1-t)J_0(v)\\ &\leq & t(1-t)\left(\frac{P-\lambda_1}{2\lambda_1}+C\left(\|u\|_{H_*^2}^2+\|v\|_{H_*^2}^2\right)\right)\|u-v\|_{H_*^2}^2. \end{eqnarray*} $

取$ f $足够小, 使得

$ \|f\|_{L^2}^2<K^2:=\frac{(\lambda_1-P)^3}{4C\lambda_1^2}, $

结合(3.1)式我们有

$ \|u\|_{H_*^2}^2\leq \frac{\lambda_1-P}{4C\lambda_1}. $

设

$ r=\sqrt{\frac{\lambda_1-P}{4C\lambda_1}}, $

令

$ B_r=\{u\in H_*^2(\Omega); \|u\|_{H_*^2}\leq r\}, $

则

$ J_0(tu+(1-t)v)-tJ_0(u)-(1-t)J_0(v)\leq 0, \qquad \forall u, v\in B_r. $

若$ u\neq v $并且$ 0<t<1 $, 则上式为严格不等式.这说明$ J_0 $在$ B_r $中是严格凸的. 由于$ J(u) $等于$ J_0(u) $加上一个线性项, 因此$ J $在$ B_r $中也是严格凸的.即$ J $在$ B_r $中有且只有一个临界点. 这样就完成了(i) 的证明.

(ii) 若$ f=0 $且$ P\in (\lambda_k, \lambda_{k+1}] $($ k\geq 1 $), 则$ J $是偶泛函, 并且它的二阶导数$ J''(0) $具有Morse指数$ k $.根据文献[14, 定理5.2.23], 我们得到$ J $至少有$ k $对不同的非零临界点. 即方程(2.3) 至少存在$ k $对非平凡解.

(iii) 如果$ P>\lambda_1 $, 我们从(ii) 中知道$ J_0 $有两个极小值, 分别记为$ \pm \bar{u}\neq 0 $.如果$ f $满足$ \|f\|_{L^2} $足够小, 那么$ J(u)=J_0(u)-\int_{\Omega}{fu} $在$ \pm \bar{u} $的两个邻域中有两个局部最小值. 这些局部最小值点(我们将其记为$ u_1 $和$ u_2 $)是$ J $的两个临界点.

考虑连接$ u_1 $和$ u_2 $的连续路径集

$ \Gamma:=\left\{p\in C^0([0, 1], H_*^2(\Omega));p(0)=u_1, p(1)=u_2\right\}. $

由于泛函$ J $满足(PS) 条件, 因此, 由山路定理知道

$ \min\limits_{p\in \Gamma}\max\limits_{t\in[0, 1]}J(p(t))>\max\left\{J(u_1), J(u_2)\right\} $

是$ J $的一个临界值, 即得到$ J $的第三个临界点.于是证明了方程(2.3)至少有三个弱解.

相应于问题(2.4)的能量泛函是

$ \begin{eqnarray*} J(u)&=&\frac{1}{2}\|u\|_{H_*^2}^2-\frac{P}{2}\|u\|_{H_*^1}^2+\frac{S}{4}\|u\|_{H_*^1}^4+d(u)\\ & &+\int_{\Omega}{\Upsilon(y)\left(\frac{k}{2}(u^+)^2+\frac{\delta}{2}(u^+)^4\right)}\; {\rm d}x{\rm d}y-\int_{\Omega}{fu}\; {\rm d}x{\rm d}y. \end{eqnarray*} $

类似于引理3.1和3.2的证明, 我们知道$ J $的临界点就是(2.4)式的解, 以及对于任意$ f\in L^2(\Omega) $, 当$ P>0 $和$ S>0 $时, $ J $在$ H_*^2(\Omega) $中是强制的, 有下界的, 并且满足(PS)条件.因此$ J $在$ H_*^2(\Omega) $中有一个全局最小值, 这个最小值点是$ J $的临界点, 即方程(2.4)的弱解. 这证明了定理2.2的第一部分.

现在我们证明(i). 由于$ \int_{\Omega}{\Upsilon(y)\left(\frac{k}{2}(u^+)^2+\frac{\delta}{2}(u^+)^4\right)}{\rm d}x{\rm d}y $也是凸的, 因此经过与定理2.1(i)的相同步骤, 即可证明(i).

(ii) 若$ f=0 $, 则对于任意$ P> 0 $和$ S>0 $, $ u=0 $是一个解.在下文中, 我们表明它不是的全局最小值点.考虑函数

$ g(t):=J(te_1)=-\frac{P-\lambda_1}{2\lambda_1}t^2+\frac{k\alpha}{2}(t^+)^2+\frac{\delta(t^+)^4}{4} \int_{\Omega}{\Upsilon(y)e_1^4}+t^4d(e_1)+\frac{S}{4\lambda_1^2}t^4, \quad t\in {{\Bbb R}} , $

其中$ \bar{e}_1 $是(2.2)式的第一个特征函数, $ \alpha $定义在(2.5)式中.

由于$ P>\lambda_1 $, 若$ t<0 $, 则函数$ g(t) $写为

$ g(t)=-\frac{P-\lambda_1}{2\lambda_1}t^2+t^4d(e_1)+\frac{S}{4\lambda_1^2}t^4, $

其中$ -\frac{P-\lambda_1}{2\lambda_1}<0 $; 若$ t\geq 0 $, 则函数$ g(t) $为

$ g(t)=\left(\frac{k\alpha}{2}-\frac{P-\lambda_1}{2\lambda_1}\right)t^2+\frac{\delta t^4}{4} \int_{\Omega}{\Upsilon(y)e_1^4}+t^4d(e_1)+\frac{S}{4\lambda_1^2}t^4, $

其中

$ \begin{eqnarray*} \frac{k\alpha}{2}-\frac{P-\lambda_1}{2\lambda_1} \left\{\begin{array}{ll} \geq 0, \quad P\leq \overline{\lambda}, \\ <0, \quad P>\overline{\lambda}. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

因此, $ g $的定性图如图 2所示(左侧$ P\leq\overline{\lambda} $, 右侧$ P> \overline{\lambda} $)).容易看出, 存在$ \bar{t}<0 $使得$ g(\bar{t})<0 $.这意味着$ J(\bar{t}e_1)<0 $, 也就是说$ u=0 $不是$ J $的全局最小值. 这完成了(ii)的证明.

(iii) 首先, 设$ f=0 $, 于是

$ J_0(u)=\frac{1}{2}\|u\|_{H_*^2}^2-\frac{P}{2}\|u\|_{H_*^1}^2+\frac{S}{4}\|u\|_{H_*^1}^4+d(u)+\int_{\Omega}{\Upsilon(y)\left(\frac{k}{2}(u^+)^2+\frac{\delta}{2}(u^+)^4\right)}. $

我们再次考虑上面的函数$ g $. 由于$ P>\overline{\lambda} $, 因此, $ g(t) $可以写为

$ \begin{eqnarray*} g(t)= \left\{\begin{array}{ll} { } -\frac{P-\lambda_1}{2\lambda_1}t^2+t^4d(e_1)+\frac{S}{4\lambda_1^2}t^4, \quad& t<0, \\ { } \left(\frac{k\alpha}{2}-\frac{P-\lambda_1}{2\lambda_1}\right)t^2+\frac{\delta t^4}{4}\int_{\Omega}{\Upsilon(y)e_1^4}+t^4d(e_1)+\frac{S}{4\lambda_1^2}t^4, \quad &t\geq 0, \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

其中$ t^2 $的系数在任何情况下都是负数, 即$ g $的定性图如图 2中的右边图所示.于是函数$ g $在$ t=0 $处取得局部最大值, 这意味着映射$ t\to J_0(t\bar{e}_1) $在$ t=0 $处具有局部最大值, 并且在$ t=0 $的空心邻域中为严格负.

令$ E={\{\bar{e}_k;k\geq 2\}} $表示无穷维空间, 它是$ {\{\bar{e}_1\}} $的正交补集.由不等式

$ \lambda_2\|u\|_{H_*^1}^2\leq \|u\|_{H_*^2}^2, \qquad \forall u\in E $

以及命题2.1和$ P\leq \lambda_2 $, 我们可得到

$ J_0(u)\geq\frac{\lambda_2-P}{2\lambda_2}\|u\|_{H_*^2}^2+\frac{S}{4}\|u\|_{H_*^1}^4+d(u)+\int_{\Omega}{\Upsilon(y)\left(\frac{k}{2}(u^+)^2+\frac{\delta}{2}(u^+)^4\right)}\geq 0, \quad \forall u\in E. $

因此, 我们有两个开集

$ A^+=\left\{u\in H_*^2(\Omega);(u, \bar{e}_1)_{H_*^2}>0, J_0(u)<0\right\}, $

$ A^-=\left\{u\in H_*^2(\Omega);(u, \bar{e}_1)_{H_*^2}<0, J_0(u)<0\right\}. $

由于$ J_0 $满足(PS) 条件并且有下界, 因此$ J_0 $在$ A^+ $中有全局最小$ u^+ $, 在$ A^- $中有全局最小$ u^- $, 且$ J_0(u^{\pm})<0 $.

对$ J_0 $加上一个足够小的线性扰动, 我们仍然在$ u^+ $ (或$ u^- $)的邻域中有局部最小值. 当$ \|f\|_{L^2} $足够小时$ J(u)=J_0(u)-\int_{\Omega}{fu} $在$ u^+ $ (或$ u^- $)邻域中有局部最小值. 类似于定理2.1 (ii)中后面的证明. 我们可得方程(2.4)的第三个解. 证毕.