1910年, von Kármán^[1]建立了一个由四阶偏微分方程组成的方程组. 该方程组被视为模拟弹性板或壳的非线性变形的关键工具. 在合理的假设下, von Kármán^[1]应用该方程组对发生大形变的板进行了模拟. 随后, 基于von Kármán理论的偏微分方程问题引起了工程师或数学家的极大兴趣, 参见文献[2-7].

悬索桥的甲板被视为一个狭长的矩形薄板$\Omega=(0, \pi)\times (-\ell, \ell)\subset {{\Bbb R}} ^2$ ($2\ell \ll \pi$) (图 1)是很自然的想法. 这也是Rocard^{[8, p150]}的观点. 于是Gazzola及其合作者给出了悬索桥的一些薄板模型^{[5, 6, 9, 10]}.

有些时候, 悬索桥可能会出现较大形变, 从而导致其坍塌. 比如, 在Tacoma Narrows Bridge事故中, 甲板的扭转振荡幅度可以达到几米, 这几乎与宽度的数量级相同, 见视频^[11]. 基于这种现象的出现以及von Kármán理论, Gazzola-Wang^[6]提出了以下方程来模拟发生大形变的悬索桥

其中$u$是甲板的位移, $h(y, u)$代表吊架引起的恢复力, $f$是外部负载, $\lambda>0$, $\sigma\in(0, 1/2)$是两个常数, $\Phi=\Phi(u)$是Airy Stress函数, $[\cdot, \cdot]$是Monge-Ampère算子

这也被称为von Kármán括号算子^[12].

当甲板发生较大形变时, 拉伸能量也起着重要作用. 因此, 根据Berger^[2]的想法(另见文献[9, 13]), 我们考虑以下边界问题

其中$P>0$是预应力常数, $S>0$取决于甲板材料的弹性性能.

由于我们主要关注悬索桥甲板的振荡, 因此我们将问题(1.2)改写为

其中$\Phi$满足线性方程^[6]

本文的主要目的是考虑非线性非局部问题(1.3), 并研究其解的存在性. 内容组织如下: 在第2节中, 我们首先引入了几个Hilbert空间; 然后, 为了给出问题(1.3)的弱解的概念, 我们又引入了几个紧算子及其性质; 最后我们列出文中的主要结果: 定理2.1和定理2.2; 第3–4节分别对定理2.1和定理2.2给予了证明.

基于我们讨论的问题, 我们引入$H^2(\Omega)$的两个子空间, 即

若我们分别定义

则它们都是Hilbert空间^[6]. 于是它们的范数分别为

此外，我们还需要$H^1(\Omega)$的一个子空间

它也是一个Hilbert空间, 内积和范数分别为

为了给出问题(1.3)的弱解的概念, 我们需要几个紧致算子^[6]. 对$\forall u,$$v\in H_*^2(\Omega),$$\forall \phi\in H_{**}^2(\Omega)$, 定义

算子$D$使得我们能够定义一个泛函$d:H_*^2(\Omega)\to {{\Bbb R}}$,

它具有以下性质.

命题2.1^{[6, 引理4.3]}   泛函$d$满足

(i) $d$是一个非负数, $d(v)=0$当且仅当$v=0$, $\forall\left( x, y \right)\in \Omega$. 并且

(ii) $d(rv)=r^4d(v), \quad \forall r\in {{\Bbb R}} , \forall v\in H_*^2(\Omega);$

(iii) $d$在$H_*^2(\Omega)$中是可微的, 而且

(iv) $d$在$H_*^2(\Omega)$上是弱连续的.

现在我们给出方程(1.3) 的弱解定义.

定义2.1   设$f\in L^2(\Omega)$, 如果对$\forall v\in H_*^2(\Omega)$, 都有

成立, 那么我们称$u\in H_*^2(\Omega)$是方程(1.3)的弱解.

为了方便叙述我们的主要结果, 我们给出线性问题

的谱.

命题2.2^{[6, 定理3.1]}   问题(2.2) 有一列发散的特征值

其对应的特征函数$\{\bar{e}_k\}$形成了$H_*^2(\Omega)$一组完备正交基.

首先, 我们考虑$h(y, u)\equiv 0$时, 即

其中$\Phi$是(1.4)式的唯一解.则有如下定理.

定理2.1   设$S>0$, $P> 0$, 则对所有的$f\in L^2(\Omega)$, 问题(2.3) 有解. 而且

$\rm (i)$如果$P<\lambda_1$, 那么当$\|f\|_{L^2}$足够小时, 问题(2.3)有唯一解;

$\rm (ii)$如果$P\in (\lambda_k, \lambda_{k+1}]$$(k\geq 1)$, 且$f=0$, 那么问题(2.3) 至少存在$k$对非平凡解;

$\rm (iii)$如果$P>\lambda_1$, 那么当$\|f\|_{L^2}$足够小时, 问题(2.3)至少三个解.

接下来, 基于Ferrero-Gazzola^[5]的想法(另见Gazzola-Wang^[6]), 我们取

其中$k, \delta>0$, $\Upsilon(y)$是$(0, \pi)\times [(-\ell, -\ell+\varepsilon)\cup (\ell-\varepsilon, \ell)]$上的特征函数($\varepsilon>0$充分小). 则问题(1.3) 为

其中$\Phi$是方程(1.4)的唯一解.

假设

则我们有如下定理.

定理2.2   设$k, \delta, S, P> 0$. 则对于所有的$f\in L^2(\Omega)$, 问题(2.4)有解.而且,

$\rm (i)$如果$P<\lambda_1$, 那么当$\|f\|_{L^2}$足够小时, 问题(2.4) 有唯一解;

$\rm (ii)$如果$P>\lambda_1$且$f=0$, 那么问题(2.4) 至少有两个解;

$\rm (iii)$如果$\bar{\lambda}<\lambda_2$, $\bar{\lambda}<\lambda<\lambda_2$, 那么当$\|f\|_{L^2}$足够小时, 问题(2.4)至少有三个解.

定理2.1–2.2都讨论了唯一性和多解性.问题(1.3)的解, 也就是相应能量泛函的临界点, 它描述了甲板的稳定或不稳定平衡位置.当$p$和$f$都很小时, 甲板只有一个可能的平衡位置.如果其中一个较大, 则存在多个平衡位置, 这可能导致崩塌. 这两个定理之间的区别在于: 在定理2.2中, 当$\|f\|_{L^2}$更小时, 我们得出与定理2.1相同的结论, 这与事实现象相符.

根据命题2.1, 问题(2.3)的能量泛函可写为

通过应用算子$B$、$C$、$D$的紧性和命题2.1, 我们容易得到如下引理.

引理3.1   设$f\in L^2(\Omega)$, 则$u\in H_*^2(\Omega)$是问题(2.3) 的弱解当且仅当$u$是$J(u)$的临界点.

接下来, 我们将重点考虑$J$的几何性和紧致性.

引理3.2   设$S>0$, $P>0$, 则对于任意的$f\in L^2(\Omega)$, $J$在$H_*^2(\Omega)$上是强制的, 下有界的.此外, 它还满足Palais-Smale(PS)条件.

证   反证法.假设存在一个序列$\{v_n\}\subset H_*^2(\Omega)$和一个正数$M$, 使得

令$w_n=\frac{v_n}{\|v_n\|_{H_*^2}}$, 则

由命题2.1和Hölder不等式, 我们可得

于是

上式表明$\|w_n\|_{H_*^1}\to 0$, $d(w_n)\to 0$ ($n\to \infty$).因此, 当$n\to \infty$, 我们有

这导致了一个矛盾.因此, $J$是强制的.由于$J(v_n)$的下限仅取决于$\|v_n\|_{H_*^2}$, 因此$J$是有下界的.

为了证明$J$满足(PS) 条件, 我们考虑一个序列$\{u_n\}\subset H_*^2(\Omega)$, 使得$J(u_n)$有界, 以及在$H_*^2(\Omega)$的对偶空间中$J'(u_n)\to 0$.通过上面的证明, 我们知道$\{u_n\}$是有界的, 因此, 存在一个子列(仍记为$\{u_n\}$)和$\bar{u}\in H_*^2(\Omega)$, 使得$u_n\to \bar{u}$, 并且由弱连续性, 知$J'(\bar{u})=0$.此外我们有

利用$D$的紧性和紧嵌入, 我们得出$(D(u_n), u_n)_{H_*^2}\to(D(\bar{u}), \bar{u})_{H_*^2}$, $\|u_n\|_{H_*^1}\to \|\bar{u}\|_{H_*^1}$和$\int_{\Omega}{fu_n}\to \int_{\Omega}{f\bar{u}}$, 这也证明了$\|u_n\|_{H_*^2}\to \|\bar{u}\|_{H_*^2}$. 又由于$u_n$弱收敛于$\bar{u}$, 因此$u_n$强收敛于$\bar{u}$.即也证明了$J$满足(PS)条件.

引理3.2表明在$H_*^2(\Omega)$上$J$有一个全局最小值点.这个最小值点是$J$的一个临界点, 即是(2.3)式的弱解.这证明了定理2.1的第一部分.

现在我们证明(i).对于任意的$f\in L^2(\Omega)$, 若$u$是$J$的临界点, 则$\langle J'(u), u\rangle=0$.

通过Hölder不等式, 我们得到

于是

因此, 当$P<\lambda_1$时

定义

现在我们分析$J_0$的凸性性质. 设

则对任意的$u, v\in H_*^2(\Omega)$和任意的的$t\in [0, 1]$, 可得

此外, Gazzola-Wang^[6]证明了对任意的$u, v\in H_*^2(\Omega)$和任意的$t\in [0, 1]$, 有

其中$C$与$t, u, v$无关. 又由于$对任意的u, v\in H_*^2(\Omega) 和任意的t\in [0, 1],$ 我们总有

综上, 我们可以得到

取$f$足够小, 使得

结合(3.1)式我们有

设

令

则

若$u\neq v$并且$0<t<1$, 则上式为严格不等式.这说明$J_0$在$B_r$中是严格凸的. 由于$J(u)$等于$J_0(u)$加上一个线性项, 因此$J$在$B_r$中也是严格凸的.即$J$在$B_r$中有且只有一个临界点. 这样就完成了(i) 的证明.

(ii) 若$f=0$且$P\in (\lambda_k, \lambda_{k+1}]$($k\geq 1$), 则$J$是偶泛函, 并且它的二阶导数$J''(0)$具有Morse指数$k$.根据文献[14, 定理5.2.23], 我们得到$J$至少有$k$对不同的非零临界点. 即方程(2.3) 至少存在$k$对非平凡解.

(iii) 如果$P>\lambda_1$, 我们从(ii) 中知道$J_0$有两个极小值, 分别记为$\pm \bar{u}\neq 0$.如果$f$满足$\|f\|_{L^2}$足够小, 那么$J(u)=J_0(u)-\int_{\Omega}{fu}$在$\pm \bar{u}$的两个邻域中有两个局部最小值. 这些局部最小值点(我们将其记为$u_1$和$u_2$)是$J$的两个临界点.

考虑连接$u_1$和$u_2$的连续路径集

由于泛函$J$满足(PS) 条件, 因此, 由山路定理知道

是$J$的一个临界值, 即得到$J$的第三个临界点.于是证明了方程(2.3)至少有三个弱解.

相应于问题(2.4)的能量泛函是

类似于引理3.1和3.2的证明, 我们知道$J$的临界点就是(2.4)式的解, 以及对于任意$f\in L^2(\Omega)$, 当$P>0$和$S>0$时, $J$在$H_*^2(\Omega)$中是强制的, 有下界的, 并且满足(PS)条件.因此$J$在$H_*^2(\Omega)$中有一个全局最小值, 这个最小值点是$J$的临界点, 即方程(2.4)的弱解. 这证明了定理2.2的第一部分.

现在我们证明(i). 由于$\int_{\Omega}{\Upsilon(y)\left(\frac{k}{2}(u^+)^2+\frac{\delta}{2}(u^+)^4\right)}{\rm d}x{\rm d}y$也是凸的, 因此经过与定理2.1(i)的相同步骤, 即可证明(i).

(ii) 若$f=0$, 则对于任意$P> 0$和$S>0$, $u=0$是一个解.在下文中, 我们表明它不是的全局最小值点.考虑函数

其中$\bar{e}_1$是(2.2)式的第一个特征函数, $\alpha$定义在(2.5)式中.

由于$P>\lambda_1$, 若$t<0$, 则函数$g(t)$写为

其中$-\frac{P-\lambda_1}{2\lambda_1}<0$; 若$t\geq 0$, 则函数$g(t)$为

其中

因此, $g$的定性图如图 2所示(左侧$P\leq\overline{\lambda}$, 右侧$P> \overline{\lambda}$)).容易看出, 存在$\bar{t}<0$使得$g(\bar{t})<0$.这意味着$J(\bar{t}e_1)<0$, 也就是说$u=0$不是$J$的全局最小值. 这完成了(ii)的证明.

(iii) 首先, 设$f=0$, 于是

我们再次考虑上面的函数$g$. 由于$P>\overline{\lambda}$, 因此, $g(t)$可以写为

其中$t^2$的系数在任何情况下都是负数, 即$g$的定性图如图 2中的右边图所示.于是函数$g$在$t=0$处取得局部最大值, 这意味着映射$t\to J_0(t\bar{e}_1)$在$t=0$处具有局部最大值, 并且在$t=0$的空心邻域中为严格负.

令$E={\{\bar{e}_k;k\geq 2\}}$表示无穷维空间, 它是${\{\bar{e}_1\}}$的正交补集.由不等式

以及命题2.1和$P\leq \lambda_2$, 我们可得到

因此, 我们有两个开集

由于$J_0$满足(PS) 条件并且有下界, 因此$J_0$在$A^+$中有全局最小$u^+$, 在$A^-$中有全局最小$u^-$, 且$J_0(u^{\pm})<0$.

对$J_0$加上一个足够小的线性扰动, 我们仍然在$u^+$ (或$u^-$)的邻域中有局部最小值. 当$\|f\|_{L^2}$足够小时$J(u)=J_0(u)-\int_{\Omega}{fu}$在$u^+$ (或$u^-$)邻域中有局部最小值. 类似于定理2.1 (ii)中后面的证明. 我们可得方程(2.4)的第三个解. 证毕.