数学物理学报, 2022, 42(4): 1089-1102 doi:

论文

一类双曲平均曲率流的对称与整体解

何春蕾,, 刘子慧

安徽师范大学数学与统计学院 安徽芜湖 241002

Symmetries and Global Solutions for a Class of Hyperbolic Mean Curvature Flow

He Chunlei,, Liu Zihui

School of Mathematics and Statistics, Anhui Normal University, Anhui Wuhu 241002

通讯作者: 何春蕾, E-mail:hcl026@126.com

收稿日期: 2021-08-31  

基金资助: 安徽省自然科学基金.  2108085MA03

Received: 2021-08-31  

Fund supported: Anhui Provincial Natural Science Foundation.  2108085MA03

Abstract

In this paper, we consider a class of one dimensional hyperbolic mean curvature flow, which is related to the Lagrangian parabolic mean curvature flow. First we derive the point Lie symmetries of this flow and obtain several ordinary differential equations. The existence of solutions is investigated. Finally, the global BV solutions, the lifespan for classical solutions and global existence of smooth solutions for this hyperbolic mean curvature flow are studied in detail.

Keywords: Hyperbolic mean curvature flow ; Symmetry ; Global solution ; Blow up of solution

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本文引用格式

何春蕾, 刘子慧. 一类双曲平均曲率流的对称与整体解. 数学物理学报[J], 2022, 42(4): 1089-1102 doi:

He Chunlei, Liu Zihui. Symmetries and Global Solutions for a Class of Hyperbolic Mean Curvature Flow. Acta Mathematica Scientia[J], 2022, 42(4): 1089-1102 doi:

1 引言

本文我们考虑如下非线性发展方程的柯西问题

$ \begin{equation} \frac{\partial^2 v}{\partial t^2}=\arctan v_{xx}, \end{equation} $

初值为

$ \begin{equation} t=0:\quad v=v_0(x), \quad v_t=v_1(x), \end{equation} $

这里$ v $$ (t, x) $的函数, $ (t, x)\in{{\Bbb R}}_+\times{{\Bbb R}} $; 初值$ v_0(x), v_1(x) $是给定的光滑函数. 方程(1.1) 事实上是一维双曲平均曲率流[7], 其对应的抛物型平均曲率流为(称为Lagrangian平均曲率流)

$ \begin{equation} \frac{\partial v}{\partial t}=\sum\limits_{j=1}^n\arctan\lambda_j, \end{equation} $

这里$ \lambda_j (j=1, 2, \cdots, n) $是Hessian矩阵$ D^2v $的特征值. 对于一维情形, (1.3) 式可化为

Lagrangian型平均曲率流被很多数学家研究[1, 3-5, 25, 27-29, 32-33]. 如果$ v $是抛物平均曲率流(1.3) 的光滑解, 那么图$ (x, Dv(x, t)) $实质上是$ {{\Bbb R}} ^n\times{{\Bbb R}} ^n $中的Lagrangian子流形, 且具有经典的辛结构, 相关背景可参见文献[5, 27-28].

对方程(1.1) 两边关于$ x $作微分得到

则我们有

$ \begin{equation} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{u_{xx}}{1+u^2_{x}}. \end{equation} $

本文将主要研究方程(1.4)的对称和对称约化, 以及较为更一般形式的双曲方程(3.1)的柯西问题解的整体存在性和解的爆破问题等. 我们指出, 方程(1.4) 是具有两个互异特征根的双曲型偏微分方程, 在P. D. Lax意义下既不是线性退化的, 也不是真正非线性的, 其周期解必将在有限时间内爆破[7].

平均曲率流的研究一直备受关注, 对于理解曲面和流形结构以及在物理、图像处理等领域具有很多应用. Gage、Hamilton[8]和Grayson[10]研究平面曲线的运动, 提出(抛物)平均曲率流, 指出曲线必将在有限时间内演化为凸曲线, 并收缩到一点(通过scaling变换, 事实上是圆). 对于高维情形, Huisken等[13-14]研究超曲面的平均曲率流, 并由此证明了黎曼几何中重要的Penrose不等式. 有关平均曲率流研究进展, 可参见文献[34].

对于双曲型平均曲率流, 近些年研究非常活跃. Kong及其合作者[16-21]研究双曲型的几何流, 特别是平均曲率流, 指出该类型几何流的典型的波动特征, 这与抛物型平均曲率流大不相同. 同时, 由于初值包含速度, 因而双曲型的几何流具有潜在的用以控制流形演化的应用价值. He和Kong[11]研究由Yau[31]提出的双曲平均曲率流$ F_{tt}=H N $, 其中$ F $是欧氏空间中的嵌入子流形, $ H $是平均曲率, $ N $是单位内法向量. 方程的双曲性质、局部解以及几何量发展方程得到较为系统研究. 而对于一维情形, 即平面曲线的演化, Kong, Liu和Wang[18, 21]指出曲线可以保凸演化, 并在有限时间曲线收缩到一点, 或者会发生奇性. He, Huang和Xing [12]给出该类型曲率流的自相似解的刻画. LeFloch和Smoczyk [23]从最小势能原理出发推导出双曲型平均曲率流, 并详细研究流形保持法向运动所需条件, 进而得到一类双曲平均曲率流. 他们给出几何量发展方程、一维曲线运动方程的熵弱解以及该几何流一些性质.

最近, 不少文献研究双曲平均曲率流在多相流以及障碍问题中应用. Ginder和Svadlenka[9]利用数值计算方法求解平面曲线的双曲平均曲率流

$ \begin{equation} \gamma_{tt}=-\kappa N, \end{equation} $

其中$ \gamma $表示一族光滑曲线, $ \kappa $是曲率, $ N $是单位外法向量. 基于此, 他们尝试研究多相界面运动特点和保体积运动, 并得到一些结果. Kusumasari[22]考虑流体界面碰到障碍的运动, 而界面由双曲平均曲率流(1.5)刻画. 利用数值计算的方法, 他们考虑两种情形并给出数值模拟, 即(1) 界面碰到障碍物后紧贴在障碍物; (2) 界面碰到障碍物后发生反弹现象.

本文主要研究双曲型平均曲率流(1.4), 描述的是图(Graph)$ (x, u(t, x)) $的运动. 论文结构如下. 第二节我们给出方程(1.4) 的点李对称分析, 并得到若干约化的方程. 在第三节, 我们讨论比方程(1.4) 更一般的双曲型方程的柯西问题的整体弱解、整体光滑解和解的爆破问题.

2 对称分析和约化

本节我们讨论方程(1.4) 的对称及其约化方程. 为此, 将方程(1.4) 中的$ u $的所有导数视为变量, 因此方程(1.4) 可视为定义在流形

其中$ {X}=\left\{(x, t)\right\} $是独立变量$ (x, t) $的空间.

一般地, 考虑如下$ u $$ n $阶微分方程

这里$ x=(x^1, \dots, x^p) $是独立变量, $ \Delta $可视为从$ {X}\times{U}^{(n)} $$ {{\Bbb R}} $的一个光滑映射

而微分方程确定如下的子集

$ {M} $$ {X}\times{U}^{(n)} $的一个开子集, 且$ \Delta (x, u^{(n)})=0 $是定义在$ {M} $上的$ n $阶方程.

接下来, 我们将介绍作用在$ {M}\subset{X}\times{U}=\left\{(x, u)\right\} $上的一个单参数变换群对应的向量场的延拓. 在$ {M}\subset{X}\times{U} $上给定一个向量场

它的二阶延拓为

其中

$ \begin{eqnarray} \phi^t&=&\phi_t-\xi_tu_x+(\phi_u-\tau_t)u_t-\xi_uu_xu_t-\tau_uu_t^2, \end{eqnarray} $

$ \begin{eqnarray} \phi^x&=&\phi_x+(\phi_u-\xi_x)u_x-\tau_xu_t-\xi_uu_x^2-\tau_uu_xu_t, \end{eqnarray} $

$ \begin{eqnarray} \phi^{tt}&=&\phi_{tt}+(2\phi_{tu}-\tau_{tt})u_t-\xi_{tt}u_x+(\phi_{uu}-2\tau_{tu})u_t^2 {}\\ &&-2\xi_{tu}u_xu_t-\tau_{uu}u_t^3-\xi_{uu}u_t^2u_x+(\phi_u-2\tau_t)u_{tt} {}\\ && -2\xi_tu_{xt}-3\tau_uu_tu_{tt}-\xi_uu_xu_{tt}-2\xi_uu_tu_{xt}, \end{eqnarray} $

$ \begin{eqnarray} \phi^{xx}&=&\phi_{xx}+(2\phi_{xu}-\xi_{xx})u_x-\tau_{xx}u_t+(\phi_{uu}-2\xi_{xu})u_x^2 {}\\ &&-2\tau_{xu}u_xu_t-\xi_{uu}u_x^3-\tau_{uu}u_x^2u_t+(\phi_u-2\xi_x)u_{xx} {}\\ && -2\tau_xu_{xt}-3\xi_uu_xu_{xx}-\tau_uu_tu_{xx}-2\tau_uu_xu_{xt}. \end{eqnarray} $

当我们解出上述$ \xi(x, t, u) $, $ \tau(x, t, u) $$ \phi(x, t, u) $, 我们将得到一些向量

这些向量生成方程的单参数变换群$ {G} $的Lie代数, 要对其子代数进行分类, 则需要计算结构常数

$ \begin{equation} [{\bf v}_i, {\bf v}_j]=C^l_{ij}{\bf v}_l \end{equation} $

以及伴随表示

$ \begin{equation} {\rm Ad}(\exp(\varepsilon {\bf v}_i )){\bf v}_j={\bf v}_j-{ \varepsilon }[{\bf v}_i, {\bf v}_j]+\frac{\varepsilon^2}{2}[{\bf v}_i, [{\bf v}_i, {\bf v}_j]]-\cdots. \end{equation} $

在对$ {G} $的子代数和子群进行分类之后, 我们将得到方程的一个最优系统, 通过在这些子代数中构造不变量, 我们可以将方程简化为常微分方程或者低阶的偏微分方程[26].

方程(1.4) 可写为

$ \begin{equation} \Delta (x, t, u^{(2)})=u_{tt}(1+u_x^2)-u_{xx}=0. \end{equation} $

首先注意到方程(2.7) 的Jacobian矩阵是

显然, 上述映射的Jacobian矩阵的秩为$ 1 $, 故方程(2.7) 是局部可解的(见Xu[30]对双曲几何流的有关讨论).

设给定如下的向量场

$ \begin{equation} {\bf v}=\xi(x, t, u)\frac{\partial }{\partial x}+\tau (x, t, u)\frac{\partial }{\partial t}+\phi(x, t, u)\frac{\partial }{\partial u}, \end{equation} $

我们有

将(2.1)–(2.4) 式代入上式, 当$ pr^{(2)}{\bf v}(\Delta(x, t, u^{(2)}))=0 $时(2.7) 式成立. 我们利用方程

消去$ u_{xx} $项, 并令每个单项式的系数为$ 0 $. 全部单项式及其系数如下表所示.

  

单项式系数单项式系数
1$\phi_{tt}-\phi_{xx}=0$$u_{xt}$$2(\tau_x-\xi_t)=0$
$u_x$$-\xi_{tt}-2\phi_{xu}+\xi_{xx}=0$$u_t$$2\phi_{tu}-\tau_{tt}+\tau_{xx}=0$
$u_x^2$$-\phi_{uu}+2\xi_{xu}+\phi_{tt}=0$$u_t^2$$\phi_{uu}-2\tau_{tu}=0$
$u_x^3$$\xi_{uu}-\xi_{tt}=0$$u_t^3$$-\tau_{uu}=0$
$u_xu_{tt}$$2(\phi_x+\xi_u)=0$$u_tu_{tt}$$-2\tau_u=0$
$u_xu_t$$2\tau_{xu}-2\xi_{tu}=0$$u_{tt}$$2(\xi_x-\tau_t)=0$
$u_xu_t^2$$-\xi_{uu}=0$$u_x^2u_t$$\tau_{uu}+2\phi_{tu}-\tau_{tt}=0$
$u_xu_{xt}$$2\tau_u=0$$u_tu_{xt}$$-2\xi_u=0$
$u_x^2u_t^3$$-\tau_{uu}=0$$u_x^3u_t^2$$-\xi_{uu}=0$
$u_x^2u_t^2$$\phi_{uu}-2\tau_{tu}=0$$u_x^3u_t$$-2\xi_{tu}=0$
$u_x^2u_{tt}$$\phi_u-\tau_t=0$$u_x^3u_{tt}$0
$u_xu_tu_{tt}$$-2\tau_x=0$$u_x^2u_tu_{tt}$$-4\tau_u=0$
$u_x^2u_tu_{xt}$$-2\xi_u=0$$u_x^2u_{xt}$$-2\xi_t=0$

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从表格中不难得出

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} &\xi(x, t, u)=\xi(x), \\ &\tau(x, t, u)=\tau(t), \\ &\phi(x, t, u)=\phi(t, u), \\ &\phi_u-\tau_t=0, \\ &\xi_x-\tau_t=0. \end{array} \right. \end{equation} $

最后, 我们得到

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} &\xi=c_1x+c_2, \\ &\tau=c_1t+c_3, \\ &\phi=c_1u+c_4t+c_5, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ c_1, \cdots, c_5 $是任意常数. 然后我们将(2.10)式代入(2.8)式可得

于是, 我们得到如下向量场

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } {\bf v}_1=\frac{\partial }{\partial t}, \\ { } {\bf v}_2=\frac{\partial }{\partial x}, \\ { } {\bf v}_3=\frac{\partial }{\partial u}, \\ { } {\bf v}_4=t\frac{\partial }{\partial u}, \\ { } {\bf v}_5=x\frac{\partial }{\partial x}+t\frac{\partial }{\partial t}+u\frac{\partial }{\partial u}. \end{array} \right. \end{equation} $

而相应的单参数变换群是

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} &G_1: (x, t+\varepsilon, u), \\ &G_2: (x+\varepsilon, t, u), \\ &G_3: (x, t, u+\varepsilon), \\ &G_4: (x, t, u+\varepsilon t), \\ &G_5: ({\rm e}^{\varepsilon}x, {\rm e}^{\varepsilon}t, {\rm e}^{\varepsilon}u). \end{array} \right. \end{equation} $

因此, 如果$ u=f(x, t) $是方程(2.7) 的解, 则下面的函数也是方程(2.7) 的解.

直接计算可得到以下结构常数表

  

${\rm Lie}$${\bf v}_1$${\bf v}_2$${\bf v}_3$${\bf v}_4$${\bf v}_5$
${\bf v}_1$000${\bf v}_3$${\bf v}_1$
${\bf v}_2$0000${\bf v}_2$
${\bf v}_3$0000${\bf v}_3$
${\bf v}_4$$-{\bf v}_3$0000
${\bf v}_5$$-{\bf v}_1$$-{\bf v}_2$$-{\bf v}_3$00

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再由(2.6) 式我们得到伴随表示表如下

  

Ad${\bf v}_1$${\bf v}_2$${\bf v}_3$${\bf v}_4$${\bf v}_5$
${\bf v}_1$${\bf v}_1$${\bf v}_2$${\bf v}_3$${\bf v}_4-\varepsilon{\bf v}_3$${\bf v}_5-\varepsilon{\bf v}_1$
${\bf v}_2$${\bf v}_1$${\bf v}_2$${\bf v}_3$${\bf v}_4$${\bf v}_5-\varepsilon{\bf v}_2$
${\bf v}_3$${\bf v}_1$${\bf v}_2$${\bf v}_3$${\bf v}_4$${\bf v}_5-\varepsilon{\bf v}_3$
${\bf v}_4$${\bf v}_1+\varepsilon{\bf v}_3$${\bf v}_2$${\bf v}_3$${\bf v}_4$${\bf v}_5$
${\bf v}_5$${\rm e}^{\varepsilon}{\bf v}_1$${\rm e}^{\varepsilon}{\bf v}_2$${\rm e}^{\varepsilon}{\bf v}_3$${\bf v}_4$${\bf v}_5$

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现在我们用伴随表示表来给出向量场(2.11)子代数的分类. 考虑向量

我们首先假设$ a_5\ne 0 $, 不妨设$ a_5=1 $, 于是

再分别将$ { Ad}(\exp(a_1{\bf v}_1)) $$ {\rm Ad}(\exp((a_3-a_1a_4){\bf v}_3)) $作用于$ {\bf v} $

接下来, 我们通过$ {Ad}(\exp(a_2{\bf v}_2)) $$ {\bf v}^{(2)} $作用得

最后$ {\bf v} $在伴随表示下等价于$ {\bf v}^{(3)}=a_4{\bf v}_4+{\bf v}_5 $

因此, 在$ a_5\ne 0 $时, 由$ {\bf v} $生成的每一个一维子代数都等价于$ a_4{\bf v}_4+{\bf v}_5 $.

从而其余的一维子代数由$ a_5=0 $时的向量所张成. 若$ a_4\ne 0 $, 则不妨设$ a_4=1 $,

通过$ {Ad}(\exp(a_3{\bf v}_1)) $作用于上述向量场$ {\bf v} $

$ a_5=a_4=0 $$ a_1\ne 0 $时, 考虑$ {\bf v}={\bf v}_1+a_2{\bf v}_2+a_3{\bf v}_3 $, 则

$ a_5=a_4=a_1=0 $时, 则$ {\bf v} $等价于$ a_2{\bf v}_2+a_3{\bf v}_3 $$ {\bf v}_3 $.

综上所述, 由(2.11) 式生成一个最优系统$ {\cal S} $

现在我们讨论方程(1.4) 的解及其性质.

情况A    $ {\bf v}=a_4{\bf v}_4+{\bf v}_5=x\frac{\partial }{\partial x}+t\frac{\partial }{\partial t}+(at+u)\frac{\partial }{\partial u} $. 此处我们记$ a_4=a $. 则对应的特征方程为

从而易得不变量为$ z=\frac{x}{t} $$ h={\rm e}^{\frac{u}{t}}t^{-a} $. 于是, 不变解的形式为$ u=t\ln({t^ah}) $, $ h=h(z) $. 直接计算,

因此方程(1.4)可化简为

$ y=\frac{h^{\prime}}{h} $, 则上式化为

$ \begin{equation} \Big[(1+y^2)z^2-1\Big]y^{\prime}+a(1+y^2)=0. \end{equation} $

微分方程(2.13)可写为如下关于$ z $的Riccati方程

而该方程一般很难用初等积分法求解.

情况B   $ {\bf v}=a_1{\bf v}_1+a_2{\bf v}_2+{\bf v}_4=a_1\frac{\partial }{\partial t}+a_2\frac{\partial }{\partial x}+t\frac{\partial }{\partial u}. $$ a_1=a, a_2=1 $, 则对应的特征方程为

于是, 我们得到不变量$ z=ax-t $, $ h=2au-t^2 $以及不变解: $ u=\frac{h+t^2}{2a} $, $ h=h(z) $. 直接计算可得

因此, 方程(1.4)可化简为

$ y=h^{\prime} $, 则上述方程化为如下一阶常微分方程

$ \begin{equation} (1-a^2+\frac{1}{4}y^2)y^{\prime}+\frac{1}{2}y^2+2=0. \end{equation} $

易得该方程的通解为

这里$ C_1 $是任意常数. 一旦解出$ y $, 则可由$ y=h' $解得$ h(z)=\int y(z)dz+C_2 $, $ C_2 $是任意常数, 进而可得原方程的解.

情况C   $ {\bf v}={\bf v}_1+a_2{\bf v}_2=\frac{\partial }{\partial t}+a_2\frac{\partial }{\partial x} $. 我们记$ a_2=a $, 则对应的特征方程为

于是, 可以推出不变量为$ z=x-at $, 而不变解的形式为$ u=u(z) $. 直接计算知

因此方程(1.4)可化简为

由此, 我们有

于是

这里$ C_1, C_2, C_3 $是任意常数.

综上可知, 对于该情况, 我们可以得到双曲平均曲率流方程(1.4)的全部解.

情况D   $ {\bf v}={\bf v}_2+a_3{\bf v}_3=\frac{\partial }{\partial x}+a_3\frac{\partial }{\partial u}. $$ a_3=a $, 则对应的特征方程为

由此可得不变量为$ t $$ h=u-ax $, 而不变解的形式为$ u=h+ax $, $ h=h(t) $. 计算可得

因此方程(1.4) 可化简为$ h^{\prime\prime}(1+a^2)=0, $$ h=C_1t+C_2, $其中$ C_1, C_2 $是任意常数. 从而可得解$ u=ax+C_1t+C_2. $

3 整体解和解的爆破

本节我们将讨论方程(1.4)的整体解, 事实上, 我们将研究如下一般的方程

$ \begin{equation} u_{tt}=\big[f(u_x)\big]_x, \quad (t, x)\in [0, T)\times{{\Bbb R}}, \end{equation} $

其中$ f(z) $是定义在$ {{\Bbb R}} $上的光滑函数, 且满足:对任意的$ z\in{{\Bbb R}} $,

$ \begin{equation} f(0)=0, \quad |f(z)|\leq C_0 \;(C_0\;\mbox{是常数), } \quad f'(z)>0. \end{equation} $

我们指出条件$ f'(z)>0 $是保证方程(3.1)是双曲型的. 很显然, 当$ f'(z)=\frac{1}{1+z^2} $时, 条件(3.2)都可以满足, 而方程(3.1)回到双曲平均曲率流方程(1.4).

对于方程(3.1)的抛物形式, 即如下方程

$ \begin{equation} u_t=[f(u_x)]_x, \end{equation} $

Chou和Kwong[6]研究了方程(3.3)的光滑解以及弱解, 特别是讨论了当

时, 方程(3.3)的整体解的存在性. 我们知道, 当$ m=2 $时, 方程(3.3)事实上就是对应平面曲线缩短流的方程[8, 10].

本节考虑方程(3.1)的初值问题, 初值为

$ \begin{equation} t=0:\quad u=u_0(x), \quad u_t=u_1(x), \end{equation} $

这里$ u_0(x), u_1(x) $是定义在$ {{\Bbb R}} $上的光滑函数. 我们知道, 对于初值问题(3.1), (3.4), 光滑解是局部存在的, 即在时间区间$ [0, T) $内, 解是光滑的, 其中生命跨度$ T $是与初值有关的正常数. 但是, 即使初值充分光滑, 柯西问题(3.1), (3.4) 的解一般不会整体存在, 即当$ t\rightarrow T_- $时, 光滑解将发生爆破(此时$ |u_x| $趋于无穷大).

为讨论方便, 记$ v=u_t, \ w=u_x. $于是, 方程(3.1)可化为如下的守恒律方程组

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l}v_t=[f(w)]_x, \\ w_t=v_x.\end{array}\right. \end{equation} $

初值化为

$ \begin{equation} t=0:\quad v=u_1(x), \quad w=u'_0(x). \end{equation} $

由假设(3.2), 方程(3.1)或者(3.5) 是严格双曲型的, 其特征值为

$ \begin{equation} \lambda_-=-\lambda<\lambda_+=\lambda, \quad \lambda\doteq\sqrt{f'(w)}, \end{equation} $

对应的右特征向量为$ r_-=(-\lambda_-, 1), \ r_+=(-\lambda_+, 1). $直接计算可得

一般情况下, 由于$ f''(w) $符号未定, 故在P. D. Lax意义下, 方程(3.1)不是真正非线性的(参见文献[7]对于周期初值的讨论).

基于上述讨论, 利用一维双曲守恒律方程组的经典结果$ ^{[2]} $, 我们可以得到柯西问题(3.1), (3.4)的如下整体解存在结果.

定理3.1  在假设$ (3.2) $下, 若存在常数$ \delta_0>0 $, 使得初值$ (3.6) $的有界全变差满足

则柯西问题(3.5), (3.6)存在唯一的熵解$ v=v(t, x), w=w(t, x) $, 且关于时间熵解的全变差一致有界.

现在我们考虑方程(3.1)的经典解. 假设初值(3.4)具有如下形式

$ \begin{equation} t=0:\quad u=\varepsilon u_0(x), \quad u_x=\varepsilon u_1(x), \end{equation} $

其中$ u_0(x), u_1(x)\in{\cal C}_0^{\infty}({{\Bbb R}} ) $, $ \varepsilon>0 $是常数. 而方程(3.1)可写成

$ \begin{equation} u_{tt}-u_{xx}=F(u_x, u_{xx}), \quad F(u_x, u_{xx})\doteq\big[f'(u_x)-1\big]u_{xx}. \end{equation} $

通过对时间$ t $和函数$ f(z) $作伸缩变换, 不妨设$ f'(0)=1 $. 注意到对于双曲平均曲率流(1.4), 我们有

$ \begin{equation} F(u_x, u_{xx})=-\frac{u^2_xu_{xx}}{1+u_x^2}. \end{equation} $

我们知道, 对于柯西问题(3.9), (3.8), 光滑解一般只是局部存在, 且存在常数$ T>0 $, 当$ t\rightarrow T_- $时, 解将发生爆破. 对于生命跨度$ T $, 我们有如下结论.

定理3.2  在上述假设下, 并设存在正整数$ \alpha\geq1 $, 使得

$ \begin{equation} f''(0)=f^{(3)}(0)=\cdots =f^{(\alpha)}(0)=0, \quad f^{(1+\alpha)}(0)\neq0. \end{equation} $

则对于柯西问题$ (3.9), (3.8) $, 存在常数$ \varepsilon_0>0, $使得当$ \varepsilon\in(0, \varepsilon_0] $时, 生命跨度具有如下最优下界估计

$ \begin{equation} T\geq C \varepsilon^{-\alpha}, \end{equation} $

其中$ C $是与$ \varepsilon $无关的常数. 特别地, 对于双曲平均曲率流$ (1.4) $, 由$ (3.10) $式可知, 解的生命跨度满足

$ \begin{equation} T\geq C \varepsilon^{-2}, \end{equation} $

其中$ C $是与$ \varepsilon $无关的常数.

  注意到由假设(3.11), 有

其中$ \hat{\lambda}=((\lambda_i), i=0, 1; (\lambda_{ij}), i, j=0, 1, i+j\geq1) $. 于是利用Li和Zhou在文献[24]第8章的方法, 立得所需结论, 且生命跨度下界是最优的. 具体细节在此从略. 证毕.

现在我们给出柯西问题(3.1), (3.4)的一个整体光滑解的存在性结果, 等价地, 我们只需要考虑柯西问题(3.5)–(3.6). 引入如下的黎曼不变量

$ \begin{equation} R=v+\int_0^w\lambda_+(\xi)\, {\rm d}\xi, \quad S=v-\int_0^w\lambda_+(\xi)\, {\rm d}\xi. \end{equation} $

由(3.14)式可知

这意味着$ w $是关于$ R-S $的单调增加函数, 且

$ \begin{equation} w=w(R-S), \quad w'(R-S)=\frac{1}{2\lambda(w)}=\frac{1}{2\sqrt{f'(w)}}>0. \end{equation} $

于是, 方程(3.1)或者(3.5)可写为如下的拟线性双曲方程

$ \begin{equation} R_t-\lambda(w(R-S))R_x=0, \qquad S_t+\lambda(w(R-S)) S_x=0. \end{equation} $

方程组(3.16)相应的初值则为

$ \begin{equation} t=0:\; R=R_0(x)\doteq u_1(x)+\int_0^{u'_0(x)}\sqrt{f'(\xi)}\, {\rm d}\xi, \; S=S_0(x)\doteq u_1(x)-\int_0^{u'_0(x)}\sqrt{f'(\xi)}\, {\rm d}\xi. \end{equation} $

利用文献[15] 的方法, 我们可以证明如下的经典解存在性的结果.

定理3.3  假设初值$ R_0, S_0 $$ C^1 $模有界, 且

$ \begin{equation} \frac{\partial\lambda(R_0(b), S_0(a))}{\partial b}\leq0, \quad \frac{\partial\lambda(R_0(b), S_0(a))}{\partial a}\geq0, \quad \mbox{任意}\; a\leq b, \quad a, b\in{{\Bbb R}} . \end{equation} $

则柯西问题$ (3.16), (3.17) $存在唯一的定义在$ (t, x)\in{{\Bbb R}} ^+\times{{\Bbb R}} $上的整体$ C^1 $$ R(t, x), S(t, x) $.

注3.1  根据$ (3.15) $$ (3.17) $式, 直接计算可得

于是, 假设条件$ (3.18) $等价于

$ \begin{equation} u'_1(x)+\sqrt{f'(u'_0(x))}\, |u''_0(x)|\leq0, \quad x\in{{\Bbb R}} . \end{equation} $

  由双曲型方程的经典结果, 柯西问题(3.5), (3.6)的局部$ C^1 $解是存在的. 为得到整体$ C^1 $解, 只需要证明柯西问题(3.16), (3.17)的解的如下先验估计: 对固定的$ T>0 $, 若柯西问题(3.16), (3.17) 在区域

存在局部$ C^1 $解, 则解$ R, S $及其一阶导数$ R_x, S_x $$ C^0 $模有界.

我们引入方程(3.1), 即方程组(3.16)的特征线. 过$ x $轴上的两点$ x_{\pm} $的特征线分别定义如下

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{{\rm d}\xi_{\pm}(t, x_{\pm})}{{\rm d}\tau} =\pm\lambda(w(R(t, \xi_{\pm}(t, x_{\pm}))-S(t, \xi_{\pm}(t, x_{\pm})))), \\ t=0:\quad \xi_{\pm}=x_{\pm}.\end{array}\right. \end{equation} $

于是, 由方程组(3.16)可知, 沿着特征线$ \xi=\xi_{\pm}(t, x_{\pm}) $成立

$ \begin{equation} R(t, x)=R_0(x_-), \quad S(t, x)=S_0(x_+). \end{equation} $

假设初值$ R_0(x), S_0(x) $$ C^0 $模有界, 则解$ R, S $$ C^0 $模也有界, 即成立

$ \begin{equation} ||R||_{C^0}=||R_0||_{C^0}, \quad ||R||_{C^0}=||R_0||_{C^0}. \end{equation} $

上式意味着变量$ v, w $$ C^0 $模也有界.

为得到$ R, S $的一阶导数的估计, 我们引入辅助函数$ Y={\rm e}^{h(R, S)}R_x, $$ h(R, S) $满足

$ \begin{equation} \frac{\partial h}{\partial S}=\frac{1}{2\lambda}\lambda_S. \end{equation} $

对(3.16)式两边关于$ x $求微分

$ \begin{equation} R_{xt}-\lambda R_{xx}-\lambda_RR^2_x-\lambda_SR_xS_x=0. \end{equation} $

注意到

$ \begin{equation} Y_x={\rm e}^h\Big(R_{xx}+h_RR^2_x+h_SS_xR_x\Big), \quad Y_t={\rm e}^h\Big(R_{xt}+h_RR_tR_x+h_SS_tR_x\Big). \end{equation} $

故利用(3.25)式, (3.24)式以及方程(3.16), (3.23), 计算可得

$ \begin{equation} Y_t-\lambda Y_x=\lambda_R{\rm e}^{-h}Y^2, \end{equation} $

而相应的初值条件为$ t=0: \quad Y={\rm e}^{h(R_0(x), S_0(x))}R'_0(x). $

对于过$ (0, x_-) $的特征线$ \xi_- $, 由(3.16)式中的第一个方程可知

于是, 沿着特征$ \xi_- $, 由(3.26)式可以看出$ Y $满足如下的Riccati方程

进而可得解表达式

$ \begin{equation} Y=Y(t, \xi_-(t, x_-))=\frac{{\rm e}^{h(R_0(x_-), S_0(x_-))}R'_0(x_-)}{\Gamma(t, x_-)}, \end{equation} $

其中

注意到$ S $沿着特征线$ \xi_+ $必定保持常数, 而对于特征线$ \xi_- $上任意一点$ (t, \xi_-(t, x_-)) $, 必存在唯一的$ x_+=x_+(t, x_-)\leq x_- $, 使得$ S(t, \xi_-(t, x_-))=S_0(x_+(t, x_-)). $于是

$ \begin{eqnarray} \Gamma(t, x_-) &=&1-\int_0^t\lambda_R(R_0(x_-), S_0(x_+(\tau, x_-)))R'_0(x_-){}\\ &&\times {\rm e}^{h(R_0(x_-), S_0(x_-))-h(R_0(x_-), S(\tau, \xi_-(\tau, x_-)))}{\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

由(3.18)式的第一个假设, $ \Gamma\geq1 $, 于是我们得到函数$ Y $的一致有界性, 进而根据辅助函数$ Y $的定义得到$ R_x $的一致有界性. 完全类似的讨论可得$ S_x $$ C^0 $模的一致有界估计.

证毕.

注意到对于双曲平均曲率流(1.4), 条件(3.19)可以写为

因此, 由定理3.3我们立得如下结果.

定理3.4  假设初值$ u_0, u_1 $$ C^2 $模有界, 且满足

$ \begin{equation} (1+(u'_0(x))^2)u_1'(x)+|u''_0(x)|\leq0, \quad\mbox{任意}\; x\in{{\Bbb R}} . \end{equation} $

则柯西问题$ (1.4), (3.4) $存在唯一的定义在$ (t, x)\in{{\Bbb R}} ^+\times{{\Bbb R}} $上的整体$ C^2 $$ u(t, x) $.

最后, 定理3.2表明, 我们需要考虑方程(3.1) 或者平均曲率流方程(1.4)的弱解. 当解是光滑时, 在方程(3.1)两边乘以$ u_t $, 并作积分, 我们得到如下的能量守恒

$ \begin{equation} E(t)\doteq\int_{{{\Bbb R}} }\Big(\frac{u_t^2}{2}+F(u_x)\Big){\rm d}x=E(0), \end{equation} $

其中

因此, 我们可以考虑初值属于$ H^1 $空间时, 方程(3.1)的$ H^1 $弱解的整体存在性. 限于本文篇幅, 有关结果将在后续研究工作中给出.

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