本文我们考虑如下非线性发展方程的柯西问题

(1.1) $ \begin{equation} \frac{\partial^2 v}{\partial t^2}=\arctan v_{xx}, \end{equation} $

初值为

(1.2) $ \begin{equation} t=0:\quad v=v_0(x), \quad v_t=v_1(x), \end{equation} $

这里$ v $是$ (t, x) $的函数, $ (t, x)\in{{\Bbb R}}_+\times{{\Bbb R}} $; 初值$ v_0(x), v_1(x) $是给定的光滑函数. 方程(1.1) 事实上是一维双曲平均曲率流^[7], 其对应的抛物型平均曲率流为(称为Lagrangian平均曲率流)

(1.3) $ \begin{equation} \frac{\partial v}{\partial t}=\sum\limits_{j=1}^n\arctan\lambda_j, \end{equation} $

这里$ \lambda_j (j=1, 2, \cdots, n) $是Hessian矩阵$ D^2v $的特征值. 对于一维情形, (1.3) 式可化为

$ \frac{\partial v}{\partial t}=\arctan v_{xx}. $

Lagrangian型平均曲率流被很多数学家研究^{[1, 3-5, 25, 27-29, 32-33]}. 如果$ v $是抛物平均曲率流(1.3) 的光滑解, 那么图$ (x, Dv(x, t)) $实质上是$ {{\Bbb R}} ^n\times{{\Bbb R}} ^n $中的Lagrangian子流形, 且具有经典的辛结构, 相关背景可参见文献[5, 27-28].

对方程(1.1) 两边关于$ x $作微分得到

$ \frac{\partial^2 v_x}{\partial t^2}=\frac{v_{xxx}}{1+v^2_{xx}}. $

令

$ u=v_x, $

则我们有

(1.4) $ \begin{equation} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{u_{xx}}{1+u^2_{x}}. \end{equation} $

本文将主要研究方程(1.4)的对称和对称约化, 以及较为更一般形式的双曲方程(3.1)的柯西问题解的整体存在性和解的爆破问题等. 我们指出, 方程(1.4) 是具有两个互异特征根的双曲型偏微分方程, 在P. D. Lax意义下既不是线性退化的, 也不是真正非线性的, 其周期解必将在有限时间内爆破^[7].

平均曲率流的研究一直备受关注, 对于理解曲面和流形结构以及在物理、图像处理等领域具有很多应用. Gage、Hamilton^[8]和Grayson^[10]研究平面曲线的运动, 提出(抛物)平均曲率流, 指出曲线必将在有限时间内演化为凸曲线, 并收缩到一点(通过scaling变换, 事实上是圆). 对于高维情形, Huisken等^[13-14]研究超曲面的平均曲率流, 并由此证明了黎曼几何中重要的Penrose不等式. 有关平均曲率流研究进展, 可参见文献[34].

对于双曲型平均曲率流, 近些年研究非常活跃. Kong及其合作者^[16-21]研究双曲型的几何流, 特别是平均曲率流, 指出该类型几何流的典型的波动特征, 这与抛物型平均曲率流大不相同. 同时, 由于初值包含速度, 因而双曲型的几何流具有潜在的用以控制流形演化的应用价值. He和Kong^[11]研究由Yau^[31]提出的双曲平均曲率流$ F_{tt}=H N $, 其中$ F $是欧氏空间中的嵌入子流形, $ H $是平均曲率, $ N $是单位内法向量. 方程的双曲性质、局部解以及几何量发展方程得到较为系统研究. 而对于一维情形, 即平面曲线的演化, Kong, Liu和Wang^{[18, 21]}指出曲线可以保凸演化, 并在有限时间曲线收缩到一点, 或者会发生奇性. He, Huang和Xing ^[12]给出该类型曲率流的自相似解的刻画. LeFloch和Smoczyk ^[23]从最小势能原理出发推导出双曲型平均曲率流, 并详细研究流形保持法向运动所需条件, 进而得到一类双曲平均曲率流. 他们给出几何量发展方程、一维曲线运动方程的熵弱解以及该几何流一些性质.

最近, 不少文献研究双曲平均曲率流在多相流以及障碍问题中应用. Ginder和Svadlenka^[9]利用数值计算方法求解平面曲线的双曲平均曲率流

(1.5) $ \begin{equation} \gamma_{tt}=-\kappa N, \end{equation} $

其中$ \gamma $表示一族光滑曲线, $ \kappa $是曲率, $ N $是单位外法向量. 基于此, 他们尝试研究多相界面运动特点和保体积运动, 并得到一些结果. Kusumasari^[22]考虑流体界面碰到障碍的运动, 而界面由双曲平均曲率流(1.5)刻画. 利用数值计算的方法, 他们考虑两种情形并给出数值模拟, 即(1) 界面碰到障碍物后紧贴在障碍物; (2) 界面碰到障碍物后发生反弹现象.

本文主要研究双曲型平均曲率流(1.4), 描述的是图(Graph)$ (x, u(t, x)) $的运动. 论文结构如下. 第二节我们给出方程(1.4) 的点李对称分析, 并得到若干约化的方程. 在第三节, 我们讨论比方程(1.4) 更一般的双曲型方程的柯西问题的整体弱解、整体光滑解和解的爆破问题.

本节我们讨论方程(1.4) 的对称及其约化方程. 为此, 将方程(1.4) 中的$ u $的所有导数视为变量, 因此方程(1.4) 可视为定义在流形

$ {X}\times{U}^{(2)}=\Big\{x, t;u;u_{x}, u_{t};u_{xx}, u_{xt}, u_{tt}\Big\}, $

其中$ {X}=\left\{(x, t)\right\} $是独立变量$ (x, t) $的空间.

一般地, 考虑如下$ u $的$ n $阶微分方程

$ \Delta (x, u^{(n)})=0, $

这里$ x=(x^1, \dots, x^p) $是独立变量, $ \Delta $可视为从$ {X}\times{U}^{(n)} $到$ {{\Bbb R}} $的一个光滑映射

$ \Delta:{X}\times{U}^{(n)}\to {{\Bbb R}}, $

而微分方程确定如下的子集

$ {M}=\left\{{(x, u^{(n)}):\Delta(x, u^{(n)})=0}\right\}\subset {X}\times{U}^{(n)}. $

令$ {M} $是$ {X}\times{U}^{(n)} $的一个开子集, 且$ \Delta (x, u^{(n)})=0 $是定义在$ {M} $上的$ n $阶方程.

接下来, 我们将介绍作用在$ {M}\subset{X}\times{U}=\left\{(x, u)\right\} $上的一个单参数变换群对应的向量场的延拓. 在$ {M}\subset{X}\times{U} $上给定一个向量场

$ {\bf v}=\xi(x, t, u)\frac{\partial }{\partial x}+\tau (x, t, u)\frac{\partial }{\partial t}+\phi(x, t, u)\frac{\partial }{\partial u}, $

它的二阶延拓为

$ pr^{(2)}{\bf v}={\bf v}+\phi^x\frac{\partial }{\partial u_x}+\phi^t\frac{\partial }{\partial u_t}+\phi^{xx}\frac{\partial }{\partial u_{xx}}+\phi^{xt}\frac{\partial }{\partial u_{xt}}+\phi^{tt}\frac{\partial }{\partial u_{tt}}, $

其中

(2.1) $ \begin{eqnarray} \phi^t&=&\phi_t-\xi_tu_x+(\phi_u-\tau_t)u_t-\xi_uu_xu_t-\tau_uu_t^2, \end{eqnarray} $

(2.2) $ \begin{eqnarray} \phi^x&=&\phi_x+(\phi_u-\xi_x)u_x-\tau_xu_t-\xi_uu_x^2-\tau_uu_xu_t, \end{eqnarray} $

(2.3) $ \begin{eqnarray} \phi^{tt}&=&\phi_{tt}+(2\phi_{tu}-\tau_{tt})u_t-\xi_{tt}u_x+(\phi_{uu}-2\tau_{tu})u_t^2 {}\\ &&-2\xi_{tu}u_xu_t-\tau_{uu}u_t^3-\xi_{uu}u_t^2u_x+(\phi_u-2\tau_t)u_{tt} {}\\ && -2\xi_tu_{xt}-3\tau_uu_tu_{tt}-\xi_uu_xu_{tt}-2\xi_uu_tu_{xt}, \end{eqnarray} $

(2.4) $ \begin{eqnarray} \phi^{xx}&=&\phi_{xx}+(2\phi_{xu}-\xi_{xx})u_x-\tau_{xx}u_t+(\phi_{uu}-2\xi_{xu})u_x^2 {}\\ &&-2\tau_{xu}u_xu_t-\xi_{uu}u_x^3-\tau_{uu}u_x^2u_t+(\phi_u-2\xi_x)u_{xx} {}\\ && -2\tau_xu_{xt}-3\xi_uu_xu_{xx}-\tau_uu_tu_{xx}-2\tau_uu_xu_{xt}. \end{eqnarray} $

当我们解出上述$ \xi(x, t, u) $, $ \tau(x, t, u) $和$ \phi(x, t, u) $, 我们将得到一些向量

$ {\bf v}_1, \dots, {\bf v}_k. $

这些向量生成方程的单参数变换群$ {G} $的Lie代数, 要对其子代数进行分类, 则需要计算结构常数

(2.5) $ \begin{equation} [{\bf v}_i, {\bf v}_j]=C^l_{ij}{\bf v}_l \end{equation} $

以及伴随表示

(2.6) $ \begin{equation} {\rm Ad}(\exp(\varepsilon {\bf v}_i )){\bf v}_j={\bf v}_j-{ \varepsilon }[{\bf v}_i, {\bf v}_j]+\frac{\varepsilon^2}{2}[{\bf v}_i, [{\bf v}_i, {\bf v}_j]]-\cdots. \end{equation} $

在对$ {G} $的子代数和子群进行分类之后, 我们将得到方程的一个最优系统, 通过在这些子代数中构造不变量, 我们可以将方程简化为常微分方程或者低阶的偏微分方程^[26].

方程(1.4) 可写为

(2.7) $ \begin{equation} \Delta (x, t, u^{(2)})=u_{tt}(1+u_x^2)-u_{xx}=0. \end{equation} $

首先注意到方程(2.7) 的Jacobian矩阵是

$ {\cal J}_{\Delta}(x, t;u;u_x, u_t;u_{xx}, u_{xt}, u_{tt})=(0, 0;0;2u_xu_{tt}, 0;-1, 0, 1+u_x^2). $

显然, 上述映射的Jacobian矩阵的秩为$ 1 $, 故方程(2.7) 是局部可解的(见Xu^[30]对双曲几何流的有关讨论).

设给定如下的向量场

(2.8) $ \begin{equation} {\bf v}=\xi(x, t, u)\frac{\partial }{\partial x}+\tau (x, t, u)\frac{\partial }{\partial t}+\phi(x, t, u)\frac{\partial }{\partial u}, \end{equation} $

我们有

$ pr^{(2)}{\bf v}(\Delta(x, t, u^{(2)}))=2\phi^xu_xu_{tt}-\phi^{xx}+\phi^{tt}(1+u_x^2). $

将(2.1)–(2.4) 式代入上式, 当$ pr^{(2)}{\bf v}(\Delta(x, t, u^{(2)}))=0 $时(2.7) 式成立. 我们利用方程

$ u_{xx}=u_{tt}(1+u_x^2) $

消去$ u_{xx} $项, 并令每个单项式的系数为$ 0 $. 全部单项式及其系数如下表所示.

从表格中不难得出

(2.9) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} &\xi(x, t, u)=\xi(x), \\ &\tau(x, t, u)=\tau(t), \\ &\phi(x, t, u)=\phi(t, u), \\ &\phi_u-\tau_t=0, \\ &\xi_x-\tau_t=0. \end{array} \right. \end{equation} $

最后, 我们得到

(2.10) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} &\xi=c_1x+c_2, \\ &\tau=c_1t+c_3, \\ &\phi=c_1u+c_4t+c_5, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ c_1, \cdots, c_5 $是任意常数. 然后我们将(2.10)式代入(2.8)式可得

$ \begin{eqnarray*} {\bf v}&=&\xi(x, t, u)\frac{\partial }{\partial x}+\tau (x, t, u)\frac{\partial }{\partial t}+\phi(x, t, u)\frac{\partial }{\partial u}\\ &=&(c_1x+c_2)\frac{\partial }{\partial x}+(c_1t+c_3)\frac{\partial }{\partial t}+(c_1u+c_4t+c_5)\frac{\partial }{\partial u}\\ &=&c_1(x\frac{\partial }{\partial x}+t\frac{\partial }{\partial t}+u\frac{\partial }{\partial u})+c_2\frac{\partial }{\partial x}+c_3\frac{\partial }{\partial t}+c_4t\frac{\partial }{\partial u}+c_5\frac{\partial }{\partial u}. \end{eqnarray*} $

于是, 我们得到如下向量场

(2.11) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } {\bf v}_1=\frac{\partial }{\partial t}, \\ { } {\bf v}_2=\frac{\partial }{\partial x}, \\ { } {\bf v}_3=\frac{\partial }{\partial u}, \\ { } {\bf v}_4=t\frac{\partial }{\partial u}, \\ { } {\bf v}_5=x\frac{\partial }{\partial x}+t\frac{\partial }{\partial t}+u\frac{\partial }{\partial u}. \end{array} \right. \end{equation} $

而相应的单参数变换群是

(2.12) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} &G_1: (x, t+\varepsilon, u), \\ &G_2: (x+\varepsilon, t, u), \\ &G_3: (x, t, u+\varepsilon), \\ &G_4: (x, t, u+\varepsilon t), \\ &G_5: ({\rm e}^{\varepsilon}x, {\rm e}^{\varepsilon}t, {\rm e}^{\varepsilon}u). \end{array} \right. \end{equation} $

因此, 如果$ u=f(x, t) $是方程(2.7) 的解, 则下面的函数也是方程(2.7) 的解.

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} &u^{(1)}=f(x, t-\varepsilon), \\ &u^{(2)}=f(x-\varepsilon, t), \\ &u^{(3)}=f(x, t)+\varepsilon, \\ &u^{(4)}=f(x, t)+\varepsilon t, \\ &u^{(5)}={\rm e}^{\varepsilon}f({\rm e}^{-\varepsilon}x, {\rm e}^{-\varepsilon}t). \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

直接计算可得到以下结构常数表

再由(2.6) 式我们得到伴随表示表如下

现在我们用伴随表示表来给出向量场(2.11)子代数的分类. 考虑向量

$ {\bf v}=a_1{\bf v}_1+a_2{\bf v}_2+a_3{\bf v}_3+a_4{\bf v}_4+a_5{\bf v}_5. $

我们首先假设$ a_5\ne 0 $, 不妨设$ a_5=1 $, 于是

$ {\bf v}=a_1{\bf v}_1+a_2{\bf v}_2+a_3{\bf v}_3+a_4{\bf v}_4+{\bf v}_5. $

再分别将$ { Ad}(\exp(a_1{\bf v}_1)) $和$ {\rm Ad}(\exp((a_3-a_1a_4){\bf v}_3)) $作用于$ {\bf v} $得

$ \begin{eqnarray*} {\bf v}^{(1)}&=&{ Ad}(\exp(a_1{\bf v}_1)){\bf v}\\ &=&a_1{\bf v}_1+a_2{\bf v}_2+a_3{\bf v}_3+a_4{\bf v}_4-a_1a_4{\bf v}_3+{\bf v}_5-a_1{\bf v}_1\\ &=&a_2{\bf v}_2+(a_3-a_1a_4){\bf v}_3+a_4{\bf v}_4+{\bf v}_5, \\ {\bf v}^{(2)}&=&{Ad}(\exp((a_3-a_1a_4){\bf v}_3)){\bf v}^{(1)}\\ &=&a_2{\bf v}_2+(a_3-a_1a_4){\bf v}_3+a_4{\bf v}_4+a_5{\bf v}_5-(a_3-a_1a_4){\bf v}_3\\ &=&a_2{\bf v}_2+a_4{\bf v}_4+{\bf v}_5. \end{eqnarray*} $

接下来, 我们通过$ {Ad}(\exp(a_2{\bf v}_2)) $对$ {\bf v}^{(2)} $作用得

$ {\bf v}^{(3)}={Ad}(\exp((a_2){\bf v}_2)){\bf v}^{(2)} =a_4{\bf v}_4+{\bf v}_5. $

最后$ {\bf v} $在伴随表示下等价于$ {\bf v}^{(3)}=a_4{\bf v}_4+{\bf v}_5 $

因此, 在$ a_5\ne 0 $时, 由$ {\bf v} $生成的每一个一维子代数都等价于$ a_4{\bf v}_4+{\bf v}_5 $.

从而其余的一维子代数由$ a_5=0 $时的向量所张成. 若$ a_4\ne 0 $, 则不妨设$ a_4=1 $,

$ {\bf v}=a_1{\bf v}_1+a_2{\bf v}_2+a_3{\bf v}_3+{\bf v}_4 $

通过$ {Ad}(\exp(a_3{\bf v}_1)) $作用于上述向量场$ {\bf v} $得

$ {\bf v}^{(1)}={Ad}(\exp(a_3{\bf v}_1)){\bf v}=a_1{\bf v}_1+a_2{\bf v}_2+{\bf v}_4. $

当$ a_5=a_4=0 $且$ a_1\ne 0 $时, 考虑$ {\bf v}={\bf v}_1+a_2{\bf v}_2+a_3{\bf v}_3 $, 则

$ {\bf v}^{(1)}={Ad}(\exp(-a_3{\bf v}_4)){\bf v}={\bf v}_1+a_2{\bf v}_2 $

当$ a_5=a_4=a_1=0 $时, 则$ {\bf v} $等价于$ a_2{\bf v}_2+a_3{\bf v}_3 $或$ {\bf v}_3 $.

综上所述, 由(2.11) 式生成一个最优系统$ {\cal S} $

$ {\rm (a)} \;a_4{\bf v}_4+{\bf v}_5, \quad {\rm (b)}\; a_1{\bf v}_1+a_2{\bf v}_2+{\bf v}_4, \quad {\rm (c)}\; {\bf v}_1+a_2{\bf v}_2, {\quad} {\rm (d)}\; {\bf v}_2+a_3{\bf v}_3, {\quad} {\rm (e)}\; {\bf v}_3. $

现在我们讨论方程(1.4) 的解及其性质.

情况A    $ {\bf v}=a_4{\bf v}_4+{\bf v}_5=x\frac{\partial }{\partial x}+t\frac{\partial }{\partial t}+(at+u)\frac{\partial }{\partial u} $. 此处我们记$ a_4=a $. 则对应的特征方程为

$ \frac{{\rm d}x}{x}=\frac{{\rm d}t}{t}=\frac{{\rm d}u}{at+u}. $

从而易得不变量为$ z=\frac{x}{t} $和$ h={\rm e}^{\frac{u}{t}}t^{-a} $. 于是, 不变解的形式为$ u=t\ln({t^ah}) $, $ h=h(z) $. 直接计算,

$ u_t=\ln({t^ah})+a-\frac{x}{t}\frac{h^{\prime}}{h}, \quad u_{tt}=\frac{a}{t}+\frac{x^2}{t^3}\frac{h^{\prime\prime}h-(h^{\prime})^2}{h^2}, \quad u_x=\frac{h^{\prime}}{h}, \quad u_{xx}=\frac{h^{\prime\prime}h-{(h^{\prime})}^2}{h^2}\frac{1}{t}. $

因此方程(1.4)可化简为

$ \left(a+z^2\left(\frac{h^{\prime}}{h}\right)^{\prime}\right)\left(1+\left(\frac{h^{\prime}}{h}\right)^2\right)- \left(\frac{h^{\prime}}{h}\right)^{\prime}=0. $

令$ y=\frac{h^{\prime}}{h} $, 则上式化为

(2.13) $ \begin{equation} \Big[(1+y^2)z^2-1\Big]y^{\prime}+a(1+y^2)=0. \end{equation} $

微分方程(2.13)可写为如下关于$ z $的Riccati方程

$ \frac{{\rm d}z}{{\rm d}y}=-\frac{1}{a}\left(z^2-\frac{1}{1+y^2}\right). $

而该方程一般很难用初等积分法求解.

情况B   $ {\bf v}=a_1{\bf v}_1+a_2{\bf v}_2+{\bf v}_4=a_1\frac{\partial }{\partial t}+a_2\frac{\partial }{\partial x}+t\frac{\partial }{\partial u}. $令$ a_1=a, a_2=1 $, 则对应的特征方程为

$ \frac{{\rm d}x}{1}=\frac{{\rm d}t}{a}=\frac{{\rm d}u}{t}. $

于是, 我们得到不变量$ z=ax-t $, $ h=2au-t^2 $以及不变解: $ u=\frac{h+t^2}{2a} $, $ h=h(z) $. 直接计算可得

$ u_t=-\frac{h^{\prime}}{2a}+\frac{t}{a}, \quad u_{tt}=\frac{h^{\prime\prime}}{2a}+\frac{1}{a}, \quad u_x=\frac{ah^{\prime}}{2a}=\frac{h^{\prime}}{2}, \quad u_{xx}=\frac{ah^{\prime\prime}}{2}. $

因此, 方程(1.4)可化简为

$ \Big(1-a^2+\frac{1}{4}(h^{\prime})^2\Big)h^{\prime\prime}+\frac{1}{2}(h^{\prime})^2+2=0. $

令$ y=h^{\prime} $, 则上述方程化为如下一阶常微分方程

(2.14) $ \begin{equation} (1-a^2+\frac{1}{4}y^2)y^{\prime}+\frac{1}{2}y^2+2=0. \end{equation} $

易得该方程的通解为

$ \frac{y}{2}-a^2\arctan\Big(\frac{y}{2}\Big)+z=C_1, $

这里$ C_1 $是任意常数. 一旦解出$ y $, 则可由$ y=h' $解得$ h(z)=\int y(z)dz+C_2 $, $ C_2 $是任意常数, 进而可得原方程的解.

情况C   $ {\bf v}={\bf v}_1+a_2{\bf v}_2=\frac{\partial }{\partial t}+a_2\frac{\partial }{\partial x} $. 我们记$ a_2=a $, 则对应的特征方程为

$ \frac{{\rm d}x}{a}=\frac{{\rm d}t}{1}. $

于是, 可以推出不变量为$ z=x-at $, 而不变解的形式为$ u=u(z) $. 直接计算知

$ u_t=-au^{\prime}, \quad u_{tt}=a^2u^{\prime\prime}, \quad u_x=u^{\prime}, \quad u_{xx}=u^{\prime\prime}. $

因此方程(1.4)可化简为

$ (a^2-1)u^{\prime\prime}+a^2(u^{\prime})^2u^{\prime\prime}=0. $

由此, 我们有

$ u''=0, \quad \mbox{ 或者} \quad a^2(u')^2=1-a^2. $

于是

$ u=C_1z+C_2=C_1(x-at)+C_2, \quad \mbox{或者}\quad u=\pm\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}z+C_3=\pm\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}(x-at)+C_3, $

这里$ C_1, C_2, C_3 $是任意常数.

综上可知, 对于该情况, 我们可以得到双曲平均曲率流方程(1.4)的全部解.

情况D   $ {\bf v}={\bf v}_2+a_3{\bf v}_3=\frac{\partial }{\partial x}+a_3\frac{\partial }{\partial u}. $记$ a_3=a $, 则对应的特征方程为

$ \frac{{\rm d}x}{1}=\frac{{\rm d}u}{a}. $

由此可得不变量为$ t $和$ h=u-ax $, 而不变解的形式为$ u=h+ax $, $ h=h(t) $. 计算可得

$ u_{tt}=h^{\prime\prime}, \quad u_x=a, \quad u_{xx}=0. $

因此方程(1.4) 可化简为$ h^{\prime\prime}(1+a^2)=0, $即$ h=C_1t+C_2, $其中$ C_1, C_2 $是任意常数. 从而可得解$ u=ax+C_1t+C_2. $

本节我们将讨论方程(1.4)的整体解, 事实上, 我们将研究如下一般的方程

(3.1) $ \begin{equation} u_{tt}=\big[f(u_x)\big]_x, \quad (t, x)\in [0, T)\times{{\Bbb R}}, \end{equation} $

其中$ f(z) $是定义在$ {{\Bbb R}} $上的光滑函数, 且满足：对任意的$ z\in{{\Bbb R}} $,

(3.2) $ \begin{equation} f(0)=0, \quad |f(z)|\leq C_0 \;(C_0\;\mbox{是常数), } \quad f'(z)>0. \end{equation} $

我们指出条件$ f'(z)>0 $是保证方程(3.1)是双曲型的. 很显然, 当$ f'(z)=\frac{1}{1+z^2} $时, 条件(3.2)都可以满足, 而方程(3.1)回到双曲平均曲率流方程(1.4).

对于方程(3.1)的抛物形式, 即如下方程

(3.3) $ \begin{equation} u_t=[f(u_x)]_x, \end{equation} $

Chou和Kwong^[6]研究了方程(3.3)的光滑解以及弱解, 特别是讨论了当

$ f'(z)=\frac{1}{(1+z^2)^{m/2}}, \quad m>1 $

时, 方程(3.3)的整体解的存在性. 我们知道, 当$ m=2 $时, 方程(3.3)事实上就是对应平面曲线缩短流的方程^{[8, 10]}.

本节考虑方程(3.1)的初值问题, 初值为

(3.4) $ \begin{equation} t=0:\quad u=u_0(x), \quad u_t=u_1(x), \end{equation} $

这里$ u_0(x), u_1(x) $是定义在$ {{\Bbb R}} $上的光滑函数. 我们知道, 对于初值问题(3.1), (3.4), 光滑解是局部存在的, 即在时间区间$ [0, T) $内, 解是光滑的, 其中生命跨度$ T $是与初值有关的正常数. 但是, 即使初值充分光滑, 柯西问题(3.1), (3.4) 的解一般不会整体存在, 即当$ t\rightarrow T_- $时, 光滑解将发生爆破(此时$ |u_x| $趋于无穷大).

为讨论方便, 记$ v=u_t, \ w=u_x. $于是, 方程(3.1)可化为如下的守恒律方程组

(3.5) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l}v_t=[f(w)]_x, \\ w_t=v_x.\end{array}\right. \end{equation} $

初值化为

(3.6) $ \begin{equation} t=0:\quad v=u_1(x), \quad w=u'_0(x). \end{equation} $

由假设(3.2), 方程(3.1)或者(3.5) 是严格双曲型的, 其特征值为

(3.7) $ \begin{equation} \lambda_-=-\lambda<\lambda_+=\lambda, \quad \lambda\doteq\sqrt{f'(w)}, \end{equation} $

对应的右特征向量为$ r_-=(-\lambda_-, 1), \ r_+=(-\lambda_+, 1). $直接计算可得

$ \nabla\lambda_{\pm}\cdot r_{\pm}=\pm\frac{f''(w)}{2\sqrt{f'(w)}}. $

一般情况下, 由于$ f''(w) $符号未定, 故在P. D. Lax意义下, 方程(3.1)不是真正非线性的(参见文献[7]对于周期初值的讨论).

基于上述讨论, 利用一维双曲守恒律方程组的经典结果$ ^{[2]} $, 我们可以得到柯西问题(3.1), (3.4)的如下整体解存在结果.

定理3.1  在假设$ (3.2) $下, 若存在常数$ \delta_0>0 $, 使得初值$ (3.6) $的有界全变差满足

$ ||u'_0||_{BV}+||u_1||_{BV}\leq \delta_0, $

则柯西问题(3.5), (3.6)存在唯一的熵解$ v=v(t, x), w=w(t, x) $, 且关于时间熵解的全变差一致有界.

现在我们考虑方程(3.1)的经典解. 假设初值(3.4)具有如下形式

(3.8) $ \begin{equation} t=0:\quad u=\varepsilon u_0(x), \quad u_x=\varepsilon u_1(x), \end{equation} $

其中$ u_0(x), u_1(x)\in{\cal C}_0^{\infty}({{\Bbb R}} ) $, $ \varepsilon>0 $是常数. 而方程(3.1)可写成

(3.9) $ \begin{equation} u_{tt}-u_{xx}=F(u_x, u_{xx}), \quad F(u_x, u_{xx})\doteq\big[f'(u_x)-1\big]u_{xx}. \end{equation} $

通过对时间$ t $和函数$ f(z) $作伸缩变换, 不妨设$ f'(0)=1 $. 注意到对于双曲平均曲率流(1.4), 我们有

(3.10) $ \begin{equation} F(u_x, u_{xx})=-\frac{u^2_xu_{xx}}{1+u_x^2}. \end{equation} $

我们知道, 对于柯西问题(3.9), (3.8), 光滑解一般只是局部存在, 且存在常数$ T>0 $, 当$ t\rightarrow T_- $时, 解将发生爆破. 对于生命跨度$ T $, 我们有如下结论.

定理3.2  在上述假设下, 并设存在正整数$ \alpha\geq1 $, 使得

(3.11) $ \begin{equation} f''(0)=f^{(3)}(0)=\cdots =f^{(\alpha)}(0)=0, \quad f^{(1+\alpha)}(0)\neq0. \end{equation} $

则对于柯西问题$ (3.9), (3.8) $, 存在常数$ \varepsilon_0>0, $使得当$ \varepsilon\in(0, \varepsilon_0] $时, 生命跨度具有如下最优下界估计

(3.12) $ \begin{equation} T\geq C \varepsilon^{-\alpha}, \end{equation} $

其中$ C $是与$ \varepsilon $无关的常数. 特别地, 对于双曲平均曲率流$ (1.4) $, 由$ (3.10) $式可知, 解的生命跨度满足

(3.13) $ \begin{equation} T\geq C \varepsilon^{-2}, \end{equation} $

其中$ C $是与$ \varepsilon $无关的常数.

证  注意到由假设(3.11), 有

$ \begin{eqnarray*} F(u_x, u_{xx})&=&f''(0)u_xu_{xx}+\cdots+\frac{f^{(\alpha)}(0)}{\alpha!}u_x^{(\alpha-1)}u_{xx}+ \frac{f^{(1+\alpha)}(0)}{(1+\alpha)!}u_x^{\alpha}u_{xx}+\cdots\\ &=&O(|\hat{\lambda}|^{1+\alpha}), \end{eqnarray*} $

其中$ \hat{\lambda}=((\lambda_i), i=0, 1; (\lambda_{ij}), i, j=0, 1, i+j\geq1) $. 于是利用Li和Zhou在文献[24]第8章的方法, 立得所需结论, 且生命跨度下界是最优的. 具体细节在此从略. 证毕.

现在我们给出柯西问题(3.1), (3.4)的一个整体光滑解的存在性结果, 等价地, 我们只需要考虑柯西问题(3.5)–(3.6). 引入如下的黎曼不变量

(3.14) $ \begin{equation} R=v+\int_0^w\lambda_+(\xi)\, {\rm d}\xi, \quad S=v-\int_0^w\lambda_+(\xi)\, {\rm d}\xi. \end{equation} $

由(3.14)式可知

$ R-S=2\int_0^w\lambda_+(\xi)\, {\rm d}\xi, \quad \frac{\partial(R-S)}{\partial w}=2\lambda_+(w)>0, $

这意味着$ w $是关于$ R-S $的单调增加函数, 且

(3.15) $ \begin{equation} w=w(R-S), \quad w'(R-S)=\frac{1}{2\lambda(w)}=\frac{1}{2\sqrt{f'(w)}}>0. \end{equation} $

于是, 方程(3.1)或者(3.5)可写为如下的拟线性双曲方程

(3.16) $ \begin{equation} R_t-\lambda(w(R-S))R_x=0, \qquad S_t+\lambda(w(R-S)) S_x=0. \end{equation} $

方程组(3.16)相应的初值则为

(3.17) $ \begin{equation} t=0:\; R=R_0(x)\doteq u_1(x)+\int_0^{u'_0(x)}\sqrt{f'(\xi)}\, {\rm d}\xi, \; S=S_0(x)\doteq u_1(x)-\int_0^{u'_0(x)}\sqrt{f'(\xi)}\, {\rm d}\xi. \end{equation} $

利用文献[15] 的方法, 我们可以证明如下的经典解存在性的结果.

定理3.3  假设初值$ R_0, S_0 $的$ C^1 $模有界, 且

(3.18) $ \begin{equation} \frac{\partial\lambda(R_0(b), S_0(a))}{\partial b}\leq0, \quad \frac{\partial\lambda(R_0(b), S_0(a))}{\partial a}\geq0, \quad \mbox{任意}\; a\leq b, \quad a, b\in{{\Bbb R}} . \end{equation} $

则柯西问题$ (3.16), (3.17) $存在唯一的定义在$ (t, x)\in{{\Bbb R}} ^+\times{{\Bbb R}} $上的整体$ C^1 $解$ R(t, x), S(t, x) $.

注3.1  根据$ (3.15) $和$ (3.17) $式, 直接计算可得

$ \label{e1}\frac{\partial\lambda(R_0(b), S_0(a))}{\partial b}=\lambda'(w)w'(R_0(b)-S_0(a))R'_0(b)= \frac{u'_1(b)+\sqrt{f'(u'_0(b))}\, u''_0(b)}{4f'(w(R_0(b)-S_0(a)))}, $

$ \label{e2}\frac{\partial\lambda(R_0(b), S_0(a))}{\partial a}=\lambda'(w)w'(R_0(b)-S_0(a))(-S'_0(a))=- \frac{u'_1(a)-\sqrt{f'(u'_0(a))}\, u''_0(a)}{4f'(w(R_0(b)-S_0(a)))}. $

于是, 假设条件$ (3.18) $等价于

(3.19) $ \begin{equation} u'_1(x)+\sqrt{f'(u'_0(x))}\, |u''_0(x)|\leq0, \quad x\in{{\Bbb R}} . \end{equation} $

证  由双曲型方程的经典结果, 柯西问题(3.5), (3.6)的局部$ C^1 $解是存在的. 为得到整体$ C^1 $解, 只需要证明柯西问题(3.16), (3.17)的解的如下先验估计: 对固定的$ T>0 $, 若柯西问题(3.16), (3.17) 在区域

$ {\cal D}(T)=\Big\{(t, x)|t\in[0, T], x\in{{\Bbb R}} \Big\} $

存在局部$ C^1 $解, 则解$ R, S $及其一阶导数$ R_x, S_x $的$ C^0 $模有界.

我们引入方程(3.1), 即方程组(3.16)的特征线. 过$ x $轴上的两点$ x_{\pm} $的特征线分别定义如下

(3.20) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{{\rm d}\xi_{\pm}(t, x_{\pm})}{{\rm d}\tau} =\pm\lambda(w(R(t, \xi_{\pm}(t, x_{\pm}))-S(t, \xi_{\pm}(t, x_{\pm})))), \\ t=0:\quad \xi_{\pm}=x_{\pm}.\end{array}\right. \end{equation} $

于是, 由方程组(3.16)可知, 沿着特征线$ \xi=\xi_{\pm}(t, x_{\pm}) $成立

(3.21) $ \begin{equation} R(t, x)=R_0(x_-), \quad S(t, x)=S_0(x_+). \end{equation} $

假设初值$ R_0(x), S_0(x) $的$ C^0 $模有界, 则解$ R, S $的$ C^0 $模也有界, 即成立

(3.22) $ \begin{equation} ||R||_{C^0}=||R_0||_{C^0}, \quad ||R||_{C^0}=||R_0||_{C^0}. \end{equation} $

上式意味着变量$ v, w $的$ C^0 $模也有界.

为得到$ R, S $的一阶导数的估计, 我们引入辅助函数$ Y={\rm e}^{h(R, S)}R_x, $而$ h(R, S) $满足

(3.23) $ \begin{equation} \frac{\partial h}{\partial S}=\frac{1}{2\lambda}\lambda_S. \end{equation} $

对(3.16)式两边关于$ x $求微分

(3.24) $ \begin{equation} R_{xt}-\lambda R_{xx}-\lambda_RR^2_x-\lambda_SR_xS_x=0. \end{equation} $

注意到

(3.25) $ \begin{equation} Y_x={\rm e}^h\Big(R_{xx}+h_RR^2_x+h_SS_xR_x\Big), \quad Y_t={\rm e}^h\Big(R_{xt}+h_RR_tR_x+h_SS_tR_x\Big). \end{equation} $

故利用(3.25)式, (3.24)式以及方程(3.16), (3.23), 计算可得

$ Y_t-\lambda Y_x={\rm e}^h\Big(\lambda_RR^2_x+\lambda_SR_xS_x+h_S(S_t-\lambda S_x)R_x\Big)= \lambda_R {\rm e}^hR^2_x, $

即

(3.26) $ \begin{equation} Y_t-\lambda Y_x=\lambda_R{\rm e}^{-h}Y^2, \end{equation} $

而相应的初值条件为$ t=0: \quad Y={\rm e}^{h(R_0(x), S_0(x))}R'_0(x). $

对于过$ (0, x_-) $的特征线$ \xi_- $, 由(3.16)式中的第一个方程可知

$ R(r, x)=R_0(x_-). $

于是, 沿着特征$ \xi_- $, 由(3.26)式可以看出$ Y $满足如下的Riccati方程

$ \frac{{\rm d}Y}{{\rm d}t}\doteq Y_t-\lambda Y_x=\lambda_R(R_0(x_-), S(t, \xi_-(t, x_-))){\rm e}^{-h(R_0(x_-), S(t, \xi_-(t, x_-)))}Y^2. $

进而可得解表达式

(3.27) $ \begin{equation} Y=Y(t, \xi_-(t, x_-))=\frac{{\rm e}^{h(R_0(x_-), S_0(x_-))}R'_0(x_-)}{\Gamma(t, x_-)}, \end{equation} $

其中

$ \begin{eqnarray*} \Gamma(t, x_-)&=&1-\int_0^t\lambda_R(R_0(x_-), S(\tau, \xi_-(\tau, x_-)))R'_0(x_-) \\ &&\times {\rm e}^{h(R_0(x_-), S_0(x_-))-h(R_0(x_-), S(\tau, \xi_-(\tau, x_-)))}{\rm d}\tau. \end{eqnarray*} $

注意到$ S $沿着特征线$ \xi_+ $必定保持常数, 而对于特征线$ \xi_- $上任意一点$ (t, \xi_-(t, x_-)) $, 必存在唯一的$ x_+=x_+(t, x_-)\leq x_- $, 使得$ S(t, \xi_-(t, x_-))=S_0(x_+(t, x_-)). $于是

(3.28) $ \begin{eqnarray} \Gamma(t, x_-) &=&1-\int_0^t\lambda_R(R_0(x_-), S_0(x_+(\tau, x_-)))R'_0(x_-){}\\ &&\times {\rm e}^{h(R_0(x_-), S_0(x_-))-h(R_0(x_-), S(\tau, \xi_-(\tau, x_-)))}{\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

由(3.18)式的第一个假设, $ \Gamma\geq1 $, 于是我们得到函数$ Y $的一致有界性, 进而根据辅助函数$ Y $的定义得到$ R_x $的一致有界性. 完全类似的讨论可得$ S_x $的$ C^0 $模的一致有界估计.

证毕.

注意到对于双曲平均曲率流(1.4), 条件(3.19)可以写为

$ u_1'(x)+\frac{|u''_0(x)|}{1+(u'_0(x))^2}\leq0. $

因此, 由定理3.3我们立得如下结果.

定理3.4  假设初值$ u_0, u_1 $的$ C^2 $模有界, 且满足

(3.29) $ \begin{equation} (1+(u'_0(x))^2)u_1'(x)+|u''_0(x)|\leq0, \quad\mbox{任意}\; x\in{{\Bbb R}} . \end{equation} $

则柯西问题$ (1.4), (3.4) $存在唯一的定义在$ (t, x)\in{{\Bbb R}} ^+\times{{\Bbb R}} $上的整体$ C^2 $解$ u(t, x) $.

最后, 定理3.2表明, 我们需要考虑方程(3.1) 或者平均曲率流方程(1.4)的弱解. 当解是光滑时, 在方程(3.1)两边乘以$ u_t $, 并作积分, 我们得到如下的能量守恒

(3.30) $ \begin{equation} E(t)\doteq\int_{{{\Bbb R}} }\Big(\frac{u_t^2}{2}+F(u_x)\Big){\rm d}x=E(0), \end{equation} $

其中

$ F(z)\doteq\int_0^zf(y){\rm d}y. $

因此, 我们可以考虑初值属于$ H^1 $空间时, 方程(3.1)的$ H^1 $弱解的整体存在性. 限于本文篇幅, 有关结果将在后续研究工作中给出.