近年来, 分数阶微积分已成功地用于描述科学与工程中的各种现象, 如非马氏过程、异常扩散、经典非保守系统的混沌动力学与量子现象等^[1-6]. 分数阶量子力学最早由Laskin提出^{[5, 6]}, 根据标准量子力学中Fenyman的路径积分方法, Laskin将布朗运动的路径积分推广到Lévy路径积分, 得到了含有分数阶Riesz导数的空间分数阶Schrödinger方程^[7]. Naber利用在时间上的Caputo导数, 建立了包含Caputo导数的时间分数阶Schrödinger方程^[8]. 标准Schrödinger方程的另一个推广是分数阶时空分数Schrödinger方程^[9]. 在之前的研究中学者利用分段解法、动量表示法和Lévy路径积分法等, 求解了无限深方势阱、$ \delta $势、线性势和库仑势等局域势场下和分数维空间中的分数阶Schrödinger方程以及分数阶Schrödinger方程的参数估计^{[6, 10-16]}. 此外, Li^[17]还得到了具有电磁场和临界生长的分数阶Schrödinger方程基态的存在性, 证明了在一定条件下, 耦合分数阶非线性Schrödinger系统具有无穷多个非径向正解^[18]. 近年来, 也做了许多有关于分数阶Schrödinger方程的一些实际应用的研究, 尤其是在光学领域^[19-21].

无限深方势阱是量子力学中的一个基本问题, 在标准量子力学中是很简单的^[22]. 然而, 在分数阶量子力学中, 由于Riesz算子是非局域性, 用分段方法求解具有无限深方势阱的分数阶Schrödinger方程被认为是错误的^[23]. 由此引发了众多学者对于局域势场下的分数阶薛定谔方程求解的争论, 限制了当前分数阶量子力学研究的发展, Dong^{[24, 25]}从Lévy路径积分的角度解决了分数阶量子力学中一维无限深方势阱以及圆上粒子的问题. 事实上, 分数阶Riesz导数的非局域性在所有局部势的解上引起了相当大的争议和困难, 而Lévy路径积分法是解决这些问题的有效方法^{[24, 25]}. 在本文中, 我们考虑二维情况下的无限深方势阱, 为了求解二维无限深方势阱中的分数阶Schrödinger方程, 我们建立了Lévy路径积并研究了$ \delta $函数摄动下的二维无限深方势阱.

本文安排如下: 第二节简要回顾了Lévy路径积分和分数阶Schrödinger方程; 第三节我们用Lévy路径积分法计算在二维无限深方势阱中运动粒子的传播子; 第四节给出了二维无限深方势阱中自由粒子的波函数和能量特征值; 第五节用摄动展开法研究了自由粒子在$ \delta $函数摄动的二维无限深方势阱中运动的能量依赖格林函数. 最后一节是本文的结论.

在量子力学中, 如果一个粒子在初始时刻$ t_a $从起点$ {\bf r}_{a}=\left(x_{a}, y_{a}\right) $开始, 在$ t_b $时刻到达终点$ {\bf r}_{b}=\left(x_{b}, y_{b}\right) $, 粒子从点$ {\bf r}_{a}=\left(x_{a}, y_{a}\right) $到点$ {\bf r}_{b}=\left(x_{b}, y_{b}\right) $的概率振幅通常称为传播子, 我们可以写为$ K_L ({\bf r}_b t_b |{\bf r}_a t_a ) $, 它覆盖了从点$ {\bf r}_{a}=\left(x_{a}, y_{a}\right) $到点$ {\bf r}_{b}=\left(x_{b}, y_{b}\right) $所有路径的总和. 如果粒子在势中运动, 那么传播子可以写成^{[5, 24]}

(2.1) $ \begin{equation} K_{L}\left({\bf r}_{b} t_{b} \mid {\bf r}_{a} t_{a}\right)=\int_{{\bf r}\left(t_{a}\right)={\bf r}_{a}}^{{\bf r}\left(t_{b}\right)={\bf r}_{b}} {D{\bf r}}(\tau) \cdot \exp \left\{-\frac{\rm i}{\hbar} \int_{t_{a}}^{t_{b}} {\rm d}\tau V({\bf r}(\tau))\right\}, \end{equation} $

其中$ V({\bf r}(\tau)) $是Lévy路径中的势能, $ {\bf r}(\tau) $作为Lévy飞行路径时间$ \tau $的函数$ \int_{{\bf r}\left(t_{b}\right)={\bf r}_{b}}^{{\bf r}\left(t_{b}\right)={\bf r}_{b}} {D{\bf r}}(\tau) \cdots $是坐标空间中的路径积分测度

(2.2) $ \begin{eqnarray} \int_{{\bf r}\left(t_{b}\right)={\bf r}_{b}}^{{\bf r}\left(t_{b}\right)={\bf r}_{b}} {D{\bf r}}(\tau)&=& \lim _{N \rightarrow \infty} \int {\rm d} {\bf r}_{1} \ldots {\rm d} {\bf r}_{N-1} \hbar^{-2 N}\left(\frac{{\rm i} D_{\alpha} \varepsilon}{\hbar}\right)^{-2 N / \alpha}{} \\ & &\times \prod\limits_{j=1}^{N} L_{\alpha}\left\{\frac{1}{\hbar}\left(\frac{\hbar}{{\rm i} D_{\alpha} \varepsilon}\right)^{1 / \alpha}\left|{\bf r}_{j}-{\bf r}_{j+1}\right|\right\}, \end{eqnarray} $

在这里$ D_\alpha $是广义的分数扩散系数, 具有量纲$ [D_\alpha]=erg^{1-\alpha}\times cm^{\alpha}\times sec^{-\alpha} $. 并依赖Lévy指数$ \alpha $, $ \hbar $代表普朗克常量$ \epsilon=(t_b - t_a)/N $, $ {\bf r}_0={\bf r}_a $, $ {\bf r}_N={\bf r}_b $, $ L_\alpha $是Lévy概率分布函数, 可以用H函数表示.

当$ V({\bf r}(\tau))=0 $时, 此时表示的是自由粒子的传播子

(2.3) $ \begin{equation} K_{L}^{(0)}\left({\bf r}_{b} t_{b} \mid {\bf r}_{a} t_{a}\right)=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{2}} \int {\rm d}^{2} {\bf p} \exp \left\{\frac{{\rm i} {\bf p}\left({\bf r}_{b}-{\bf r}_{a}\right)}{\hbar}-\frac{{\rm i} D_{\alpha}|{\bf p}|^{\alpha}\left(t_{b}-t_{a}\right)}{\hbar}\right\}. \end{equation} $

(2.4) $ \begin{equation} \psi_{f}\left({\bf r}_{b}, t_{b}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} {\rm d}^{2} {\bf r}_{a} K_{L}\left({\bf r}_{b} t_{b} \mid {\bf r}_{a} t_{a}\right) \psi_{i}\left({\bf r}_{a}, t_{a}\right), \end{equation} $

$ \psi_{i}\left({\bf r}_{a}, t_{a}\right) $是初始状态的分数阶波函数$ \psi_{f}\left({\bf r}_{b}, t_{b}\right) $是最终状态的分数阶波函数. 在这个方程的帮助下, 对于分数阶量子系统, Laskin推导出了分数Schrödinger方程如下(二维情况下)^[7]

(2.5) $ \begin{equation} {\rm i}\hbar \frac{\partial \psi({\bf r}, t)}{\partial t}=H_{\alpha} \psi({\bf r}, t), \end{equation} $

(2.6) $ \begin{equation} H_{\alpha}=D_{\alpha}\left(-\hbar^{2} \Delta\right)^{\alpha / 2}+V({\bf r}, t), \end{equation} $

其中$ \left(-\hbar^{2} \Delta\right)^{\alpha / 2} $是由分数阶Riesz导数定义^[5]

(2.7) $ \begin{equation} \left(-\hbar^{2} \Delta\right)^{\alpha / 2} \psi({\bf r}, t)=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{2}} \int {\rm d}^2{\bf p} e^{{\rm i} {\bf p}{\bf r} / \hbar}|{\bf p}|^{\alpha} \varphi({\bf p}, t). \end{equation} $

空间中的波函数$ \psi({\bf r}, t) $和动量表示中的波函数$ \varphi({\bf p}, t) $通过傅立叶变换相互关联

(2.8) $ \begin{equation} \varphi({\bf p}, t)=\int {\rm d}^2{\bf r} e^{{\rm -i} {\bf p}{\bf r} / \hbar} \psi({\bf r}, t), \end{equation} $

(2.9) $ \begin{equation} \psi({\bf r}, t)=\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{2}} \int {\rm d}^2{\bf p} e^{{\rm i} {\bf p}{\bf r} / \hbar} \varphi({\bf p}, t). \end{equation} $

当$ H_{\alpha} $与时间无关时, 即$ V({\bf r}, t)=V({\bf r}) $, 通过变量分离方程(2.5)可以变为定态Schrödinger方程

(2.10) $ \begin{equation} D_{\alpha}\left(-\hbar^{2} \Delta\right)^{\alpha / 2} \varphi({\bf r})+V({\bf r}) \varphi({\bf r})=E \varphi({\bf r}), \end{equation} $

其中$ 1<\alpha \leq 2 $, $ E $表示量子系统的能量, $ \psi({\bf r}, t) $和$ \varphi({\bf r}) $通过$ \psi({\bf r}, t)=\varphi({\bf r}) \exp \{-{\rm i} E t / \hbar\} $联系在一起. 假设方程的解$ \varphi_{n}({\bf r}) $ (定态波函数)对应的能级$ E_{n} $是正交归一化, 由Fenyman的方法, 我们可以得到了分数阶量子力学的传播子$ K_{L} ({\bf r}_b t_b |{\bf r}_a t_a ) $和定态波函数$ \varphi_{n} ({\bf r}) $之间的关系^[24]

(2.11) $ \begin{equation} K_{L}\left(r_{b} t_{b} \mid r_{a} t_{a}\right)=\left\{\begin{array}{ll} { } \sum\limits_{n=1}^{\infty} \phi_{n}\left(r_{b}\right) \phi_{n}^{*}\left(r_{a}\right) \exp \left\{-{\rm i} E_{n}\left(t_{b}-t_{a}\right) / \hbar\right\}, & t_{b}>t_{a}, \\ 0, & t_{b}<t_{a}. \end{array}\right. \end{equation} $

本节中, 我们考虑在二维无限深方势阱内运动的粒子, 二维无限深方势阱$ V({\bf r}) $定义为

(3.1) $ \begin{equation} V({\bf r})=\left\{\begin{array}{ll} 0, & 0 \leq x \leq d, 0 \leq y \leq d , \\ \infty, & \mbox{其他}. \end{array}\right. \end{equation} $

在二维无限深方势阱的情况下, 粒子在从$ \left({\bf r}_{a}, t_{a}\right) $到$ \left({\bf r}_{b}, t_{b}\right) $的过程中随时可能与势阱壁发生碰撞, 这就导致了粒子在从$ \left({\bf r}_{a}, t_{a}\right) $到$ \left({\bf r}_{b}, t_{b}\right) $过程中跃迁概率幅有多种可能路径的贡献^[28]. 为了找出所有可能的路径, 我们考虑了粒子从$ \left({\bf r}_{a}, t_{a}\right) $到$ \left({\bf r}_{b}, t_{b}\right) $在$ x $方向和$ y $方向上的碰撞, 并将可能的路径分为以下两种情况^[27-28].

例1  粒子在运动过程中没有与势阱发生碰撞.

考虑粒子在从$ \left({\bf r}_{a}, t_{a}\right) $运动到$ \left({\bf r}_{b}, t_{b}\right) $的过程中没有与势阱发生碰撞, 即粒子在势阱内是自由运动, 这时自由粒子传播子为

(3.2) $ \begin{equation} K_{L}^{(0)}\left({\bf r}_{b}t_{b} \mid {\bf r}_{a} t_{a}\right)=\int \frac{{\rm d}^2 {\bf p}}{(2 \pi \hbar)^{2}} \exp \left\{\frac{{\rm i} {\bf p}\left({\bf r}_{b}-{\bf r}_{a}\right)}{\hbar}-\frac{{\rm i} D_{\alpha}|{\bf p}|^{\alpha}\left(t_{b}-t_{a}\right)}{\hbar}\right\}. \end{equation} $

例2   粒子在运动过程中与势阱发生了碰撞.

考虑粒子在从$ \left({\bf r}_{a}, t_{a}\right) $运动到$ \left({\bf r}_{b}, t_{b}\right) $的过程中与势阱发生碰撞, 为了找出所有路径的贡献, 我们要把所有可能的从$ \left({\bf r}_{a}, t_{a}\right) $运动到$ \left({\bf r}_{b}, t_{b}\right) $的过程中路径找出来, 考虑粒子在势阱内运动过程中可能与$ x $方向和$ y $方向的碰撞.

(ⅰ) 只与$ x $方向发生碰撞

由于粒子在运动过程中只与$ x $方向发生碰撞, 我们只考虑$ x $和$ t $空间构造一个扩展区域, 将空间划分为无数多个条带$ x=0, \pm d, \pm 2 d \cdots $, 考虑从固定起始点$ \left({\bf r}_{a}, t_{a}\right) $到终点$ \left({\bf r}_{b}, t_{b}\right) $的所有路径. 粒子在运动过程中与$ x $方向发生碰撞即与$ x $方向的上壁(下壁)发生碰撞或者与$ x $方向的上下壁均发生碰撞两种情况. 在这种分类中, 将它们与到达新终点$ x_{b}^{n} $和$ \tilde{x}_{b}^{n} $的两个路径进行比较, 这些新路径相对于终点$ x_{b} $相差了$ 2d $的$ n $倍.

(3.3) $ \begin{equation} \begin{array}{c} x_{b}^{n}=x_{b}+2 n d \\ \widetilde{x}_{b}^{n}=-x_{b}+2 n d(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots). \end{array} \end{equation} $

这时二维无限深方势阱内的粒子的振幅现在可以通过将所有到$ \left(x_{b}, {y}_{b}\right) $的路径相加, 同时减去所有到$ \left(\tilde{x}_{b}^{n}, {y}_{b}\right) $的路径来计算^[28]. 传播子可以写为

(3.4) $ \begin{eqnarray} K_{L}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right) &=& \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} K_{L}^{(0)}\left(x_{b}+2 n d, y_{b}, t_{b} \mid x_{a}, y_{a}, t_{a}\right){}\\ & &- \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} K_{L}^{(0)}\left(-x_{b}+2 n d, y_{b}, t_{b} \mid x_{a}, y_{a}, t_{a}\right){} \\ & =& \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m} K_{L}^{(0)}\left(x_{m}, y_{b}, t_{b} \mid x_{a}, y_{a}, t_{a}\right), \end{eqnarray} $

其中

(3.5) $ \begin{equation} x_{m}=\left\{\begin{array}{ll} m d+x_{b}, & m \mbox{ 是偶数 }, \\ (m+1) d-x_{b}, & m \mbox{ 是奇数 }. \end{array}\right. \end{equation} $

$ m $表示与$ x $方向的势壁发生碰撞的次数.

(ⅱ) 只与$ y $方向发生碰撞

当在势阱内运动的粒子只与$ y $方向发生碰撞时, 我们可以采用与上述只与$ x $方向发生碰撞情形同样的方法来分析. 这时只与$ y $方向发生碰撞的传播子为

(3.6) $ \begin{eqnarray} K_{L}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right) &=& \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} K_{L}^{(0)}\left(x_{b}, y_{b}+2 n d, t_{b} \mid x_{a}, y_{a}, t_{a}\right){}\\ &&- \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} K_{L}^{(0)}\left(x_{b}, -y_{b}+2 n d, t_{a} \mid x_{a}, y_{a}, t_{a}\right) {}\\ &=& \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^{n} K_{L}^{(0)}\left(x_{b} y_{k} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right) , \end{eqnarray} $

其中

(3.7) $ \begin{equation} y_{k}=\left\{\begin{array}{ll} k d+y_{b}, & k \mbox{ 是偶数 }, \\ (k+1) d-y_{b}, & k \mbox{ 是奇数 }. \end{array}\right. \end{equation} $

$ k $表示与$ y $方向的势壁发生碰撞的次数.

(ⅲ) 与$ x $方向和$ y $方向均发生碰撞

当粒子运动过程中与$ x $方向和$ y $方向均发生碰撞时, 当与$ x $方向$ y $方向均只发生一次碰撞时, 这时传播子为

(3.8) $\begin{aligned}K_{L}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right)= \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{2}} \int \mathrm{d}^{2} \mathbf{p} \exp \left\{-\frac{\mathrm{i} D_{\alpha}|\mathbf{p}|^{\alpha}\left(t_{b}-t_{a}\right)}{\hbar}\right\} \\ \times \exp \left\{\frac{\mathrm{i}\left[p_{x}\left(2 d-x_{b}-x_{a}\right)+p_{y}\left(2 d-y_{b}-y_{a}\right)\right]}{\hbar}\right\} .\end{aligned} $

当粒子与势阱发生碰撞的次数$ m=0, k=0 $时, 即粒子在势阱内的运动是自由粒子运动的情形.对$ m, k $分别从$ m=-\infty, k=-\infty $到$ m=\infty, k=\infty $求和, 便包含了粒子$ \left({\bf r}_{a}, t_{a}\right) $到$ \left({\bf r}_{b}, t_{b}\right) $的过程中所有可能的路径. 即在二维无限深方势阱中运动的粒子传播子可以写为

(3.9) $\begin{aligned}K_{L}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right)= \sum_{m=-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{m+k}}{(2 \pi \hbar)^{2}} \int \exp \left\{\frac{-\mathrm{i} D_{\alpha}|\mathbf{p}|^{\alpha}\left(t_{b}-t_{a}\right)}{\hbar}\right\} \\ \times \exp \left\{\frac{\mathrm{i}\left[p_{x}\left(x_{m}-x_{a}\right)+p_{y}\left(y_{k}-y_{a}\right)\right]}{\hbar}\right\} \mathrm{d}^{2} \mathbf{p} .\end{aligned} $

本节将研究在二维无限深方势阱中运动的粒子的波函数和能量本征值, 为了得到粒子在二维无限深方势阱中运动的传播子表达式. 我们将(3.5) 和(3.7) 式代入(3.9) 式, 可得

(4.1) $ \begin{aligned}K_{L}\left(\mathbf{r}_{b} t_{b} \mid \mathbf{r}_{a} t_{a}\right)= \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{2}} \int \mathrm{d}^{2} \mathbf{p} \exp \left\{\frac{-\mathrm{i} D_{\alpha}|\mathbf{p}|^{\alpha}\left(t_{b}-t_{a}\right)}{\hbar}\right\} \\ \times\left\{\sum _ { m = 2 j } \left[\sum_{n=2 l} \exp \left\{\frac{\mathrm{i}\left[p_{x}\left(2 j d+x_{b a}\right)+p_{y}\left(2 l d+y_{b a}\right)\right]}{\hbar}\right\}\right.\right.\\ \left.-\sum_{n=2 l+1} \exp \left\{\frac{\mathrm{i}\left[p_{x}\left(2 j d+x_{b a}\right)+p_{y}\left(2 l d+2 d-y_{b a}^{\prime}\right)\right]}{\hbar}\right\}\right] \\-\sum_{m=2 j+1}\left[\sum_{n=2 l} \exp \left\{\frac{\mathrm{i}\left[p_{x}\left(2 j d+2 d-x_{b a}^{\prime}\right)+p_{y}\left(2 l d+y_{b a}\right)\right]}{\hbar}\right\}\right.\\\left.-\sum_{n=2 l+1} \exp \left\{\frac{\mathrm{i}\left[p_{x}\left(2 j d+2 d-x_{b a}^{\prime}\right)+p_{y}\left(2 l d+2 d-y_{b a}^{\prime}\right)\right]}{\hbar}\right\}\right\} .\end{aligned} $

在这里为了方便计算我们令$ x_{b a}=x_{b}-x_{a} $, $ x_{b a}^{\prime}=x_{b}+x_{a} $, 其中$ l $, $ j $都是整数. 对(4.1) 式化简整理得

(4.2) $ \begin{aligned}K_{L}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right)= \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{2}} \int \mathrm{d}^{2} p \exp \left\{\frac{-\mathrm{i} D_{\alpha}|p|^{\alpha}\left(t_{b}-t_{a}\right)}{\hbar}\right\} \\ \times \sum_{j=-\infty}^{\infty} \exp \left\{\frac{2 i p_{x} j d}{\hbar}\right\}\left[\exp \left\{\frac{\mathrm{i} p_{x}\left[\left(x_{b}-d\right)-\left(x_{a}-d\right)\right]}{\hbar}\right\}\right.\\\left.-\exp \left\{\frac{\mathrm{i} p_{x}\left[-\left(x_{b}-d\right)-\left(x_{a}-d\right)\right]}{\hbar}\right\}\right] \\ \times \sum_{l=-\infty}^{\infty} \exp \left\{\frac{2 i p_{y} l d}{\hbar}\right\}\left[\exp \left\{\frac{\mathrm{i} p_{y}\left[\left(y_{b}-d\right)-\left(y_{a}-d\right)\right]}{\hbar}\right\}\right.\\\left.-\exp \left\{\frac{\mathrm{i} p_{y}\left[-\left(y_{b}-d\right)-\left(y_{a}-d\right)\right]}{\hbar}\right\}\right].\end{aligned}$

由泊松公式

(4.3) $ \begin{equation} \sum\limits_{r=-\infty}^{\infty} \exp (2 \pi {\rm i} r \mu)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\mu-n), \end{equation} $

(4.1) 式可以写作

(4.4) $ \begin{eqnarray} K_{L}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right)&=& \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{2}} \int {\rm d}^2 p \exp \left\{\frac{{\rm -i} D_{\alpha}|p|^{\alpha}\left(t_{b}-t_{a}\right)}{\hbar}\right\} {}\\ & & \times \sum\limits_{n_{1}=-\infty}^{\infty} \delta\left(\frac{p_{x} d_{1}}{\pi \hbar}-n_{1}\right) \sum\limits_{n_{2}=-\infty}^{\infty} \delta\left(\frac{p_{y} d_{2}}{\pi \hbar}-n_{2}\right) {}\\ & &\times \exp \left\{\frac{{\rm -i} p_{x}\left(x_{a}-d\right)}{\hbar}\right\} \exp \left\{\frac{{\rm -i} p_{y}\left(y_{a}-d\right)}{\hbar}\right\} {}\\ & & \times 2 {\rm i} \sin \left(\frac{p_{x}\left(x_{b}-d\right)}{\hbar}\right) 2 i \sin \left(\frac{p_{y}\left(y_{b}-d\right)}{\hbar}\right), \end{eqnarray} $

将上式化简整理得

(4.5) $ \begin{eqnarray} K_{L}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right) &=& \sum\limits_{n_{1}=-\infty}^{\infty} \sum\limits_{n_{2}=-\infty}^{\infty} \frac{{\rm i}^{2}}{{\rm d}^2} \exp \left\{\frac{{\rm -i} E_{n_{1} n_{2}}\left(t_{b}-t_{a}\right)}{\hbar}\right\} {}\\ &&\times \sin \left(\frac{\pi n_{2}\left(y_{b}-d\right)}{d}\right) \exp \left\{\frac{{\rm -i} \pi n_{1}\left(x_{a}-d\right)}{d}\right\} {}\\ && \times \sin \left(\frac{\pi n_{1}\left(x_{b}-d\right)}{d}\right) \exp \left\{\frac{{\rm -i} \pi n_{2}\left(y_{a}-d\right)}{d}\right\}, \end{eqnarray} $

其中$ E_{n_{1} n_{2}}=D_{\alpha}(\pi \hbar)^{\alpha}\left[\left(\frac{n_{1}}{d}\right)^{2}+\left(\frac{n_{2}}{d}\right)^{2}\right]^{\alpha / 2} $. 当$ n_{1}=0 $或$ n_{2}=0 $, 我们可以得到(4.5) 式为零. 因此, 可以将(4.5) 式的正负项合并起来得

(4.6) $ \begin{eqnarray} K_{L}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right)&=& \sum\limits_{n_{1}=1}^{\infty} \sum\limits_{n_{2}=1}^{\infty} \frac{4}{{\rm d}^2} \exp \left\{\frac{{\rm -i} E_{m n}\left(t_{b}-t_{a}\right)}{\hbar}\right\} {}\\ & &\times \sin \left(\frac{\pi n_{1}\left(x_{b}-d\right)}{d}\right) \sin \left(\frac{\pi n_{2}\left(y_{b}-d\right)}{d}\right) {}\\ & & \times \sin \left(\frac{\pi n_{1}\left(x_{a}-d\right)}{d}\right) \sin \left(\frac{\pi n_{2}\left(y_{a}-d\right)}{d}\right), \end{eqnarray} $

比较(4.6) 与(2.11) 式可以得到波函数

(4.7) $ \begin{equation} \psi_{n}(x, y)=\frac{2}{d} \sin \left(\frac{\pi n_{1}(x-d)}{d}\right) \sin \left(\frac{\pi n_{2}(y-d)}{d}\right), \end{equation} $

相应的能量本征值为

(4.8) $ \begin{equation} E_{n_{1} n_{2}}=D_{\alpha}(\pi \hbar)^{\alpha}\left[\left(\frac{n_{1}}{d}\right)^{2}+\left(\frac{n_{2}}{d}\right)^{2}\right]^{\alpha / 2}. \end{equation} $

当$ \alpha=2 $时, 结果与标准情况一致.

我们考虑二维无限深方势阱中一个具有$ \delta $微扰粒子. 假设有势$ W({\bf r})=V({\bf r})-\gamma \delta({\bf r}-a) $, $ \gamma>0 $, $ a>0 $, 其中$ V({\bf r}) $由(3.1)式给出, $ \delta({\bf r}-a) $是$ \delta $函数, 假设$ V({\bf r}) $对应的传播子已知, 我们采用Grosche方法计算时间序扰动展开式^{[26, 29]}

(5.1) $ \begin{eqnarray} K_{L}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right)&=& \int_{x_{a}}^{x_{b}} \int_{y_{a}}^{y_{b}} D x D y \exp \left\{-\frac{{\rm i}}{h} \int_{t_{a}}^{t_{b}} {\rm d}t[V(x, y)+\tilde{V}(x, y)]\right\} {}\\ & =& \int_{x_{a}}^{x_{b}} \int_{y_{a}}^{y_{b}} D x D y \exp \left\{-\frac{{\rm i}}{h} \int_{t_{a}}^{t_{b}} {\rm d}t V(x, y)\right\}{} \\ &&+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} \int_{x_{a}}^{x_{b}} \int_{y_{a}}^{y_{b}} D x D y\left[\int_{t_{a}}^{t_{b}} {\rm d}t \tilde{V}(x, y)\right]^{n} {}\\ & &\times \left(-\frac{{\rm i}}{h}\right)^{n} \exp \left\{-\frac{{\rm i}}{h} \int_{t_{a}}^{t_{b}} {\rm d}t V(x, y)\right\}. \end{eqnarray} $

在这里我们引入一个时间序算子$ t_{a}<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{b} $, 只有满足条件$ t_{k}>t_{k-1} $ 时, $ K_{L}\left(x_{k} y_{k} t_{k} \mid x_{k-1} y_{k-1} t_{k-1}\right) $不为零. 扰动展开式

(5.2) $ \begin{eqnarray} & &K_{L}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right){}\\ & =& K_{L}^{(V)}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{{\rm i}}{h}\right)^{n} \left[\prod\limits_{k=1}^{n} \int_{t_{a}}^{t_{k}} {\rm d}t_{k} \int_{-\infty}^{\infty} {\rm d}x_{k} \int_{-\infty}^{\infty} {\rm d}y_{k}\right] {}\\ & &\times K_{L}^{(V)}\left(x_{1} y_{1} t_{1} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right) \tilde{V}\left(x_{1}, y_{1}\right) \times \cdots \times K_{L}^{(V)}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{n} y_{n} t_{b}\right) \tilde{V}\left(x_{b}, y_{b}\right), \end{eqnarray} $

(5.2) 式中的$ K_{L}^{(V)} $是未扰动势的分数阶传播子, 并且在此我们假定它是已知的, 对于附加$ \delta $微扰的任意势$ V(x, y) $，$ W(x, y)=V(x, y)-\gamma \delta(x-a, y-a) $, 则$ \delta $微扰下任意势$ V(x, y) $的传播子表达式由下式给出

(5.3) $ \begin{eqnarray} K_{L}^{(\delta)}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right)&=& K_{L}^{(V)}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right) {}\\ &&+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{{\rm -i} \gamma}{h}\right)^{n}\int_{t_{a}}^{t_{b}} {\rm d}t_{n} \cdots \int_{t_{a}}^{t_{1}} {\rm d}t_{1} K_{L}^{(V)}\left(a, a, t_{1} \mid x_{a} y_{a} t_{a}\right){}\\ && \cdots \times K_{L}^{(V)}\left(x_{b} y_{b} t_{b} \mid a, a, t_{b}\right). \end{eqnarray} $

与能量有关的格林函数通常表示为传播子的傅里叶变换. 然而, 现在格林函数和传播子通过拉普拉斯变换(或拉普拉斯逆变换) 相关联. 未干扰系统的能量相关格林函数为^[26]

(5.4) $ \begin{equation} G^{(V)}\left({\bf r}_{b}, {\bf r}_{a} ; E\right)=\frac{{\rm i}}{\hbar} \int_{0}^{\infty}{\rm d}T e^{{\rm i} E T / \hbar} K_{L}^{(V)}\left({\bf r}_{b}, {\bf r}_{a} ; T\right). \end{equation} $

按照方程(5.4) 的相同方式, 我们采用方程(5.3) 的拉普拉斯变换, 得到了扰动系统的格林函数$ G^{(\delta)} $的表达式. 方程(5.3) 第一项的拉普拉斯变换给出了未扰动系统的格林函数. 由拉普拉斯变换的卷积定理, 我们有

(5.5) $ \begin{eqnarray} G^{(\delta)}\left(x_{b} y_{b} \mid x_{a}y_{a} ; E\right)&=& G^{(V)}\left(x_{b} y_{b} \mid x_{a}y_{a} ; E\right){}\\ &&+ \frac{G^{(V)}\left(x_{b}y_{b} \mid a, a ; E\right) G^{(V)}\left(a, a \mid x_{a}y_{a} ; E\right)}{\hbar / \gamma-G^{(V)}(a, a \mid a, a ; E)}. \end{eqnarray} $

由上面得到的未扰动系统的传播子(4.6) 式, 利用式(5.4) 可以得到相应的能量相关格林函数$ G^{(V)}\left(x_{b} y_{b} \mid x_{a} y_{a} ; E\right) $, 代入(5.5) 式得

(5.6) $ \begin{eqnarray} G^{(\delta)}\left(x_{b} y_{b} \mid x_{a} y_{a} ; E\right)&=& \frac{1}{{\rm d}^2} \sum\limits_{n_{1}=1}^{\infty} \sum\limits_{n_{2}=1}^{\infty} \frac{1}{E_{n_{1} n_{2}}-E} f\left(x_{b}, x_{a}, n_{1}\right) f\left(y_{b}, y_{a}, n_{2}\right) {}\\ & &+\frac{1}{d^{4}} \sum\limits_{n_{1}=1}^{\infty} \sum\limits_{n_{2}=1}^{\infty} \frac{1}{E_{n_{1} n_{2}}-E} f\left(x_{b}, a, n_{1}\right) f\left(y_{b}, a, n_{2}\right) {}\\ & &\times \sum\limits_{m_{1}=1}^{\infty} \sum\limits_{m_{2}=1}^{\infty} \frac{1}{E_{m_{1} m_{2}}-E} f\left(a, x_{a}, m_{1}\right) f\left(a, y_{a}, m_{2}\right) {}\\ & &\times\left[\hbar / \gamma-\sum\limits_{m_{1}=1}^{\infty} \sum\limits_{m_{2}=1}^{\infty} \frac{1}{E_{m_{1} m_{2}}-E} f\left(a, a, m_{1}\right) f\left(a, a, m_{2}\right)\right]^{-1}. \end{eqnarray} $

上式给出了$ \delta $扰动下二维无限深方势阱的能量依赖格林函数.

本文研究了二维分数阶无限深方势阱, 从Lévy路径积分出发得到了二维无限深方势阱中自由粒子的路径传播子、波函数和能量特征值, 并导出了粒子在$ \delta $函数摄动下的二维无限深方势阱内运动的能量依赖格林函数. 通过扩展传播子, 将局部势问题转化为全局势问题, 利用Lévy路径积分解决了分数阶Schrödinger方程中分数阶Riesz导数非局域性所带来的问题. 因此, Lévy路径积分法是一种解决某些一维以及高维局部势问题的有效方法, 在更复杂局部势问题上的应用有待于进一步研究.