近十余年里, 大偏差理论因其在保险金融、风险管理中的广泛应用, 逐渐成为了研究极值事件概率渐近性的重要工具, 其中经典风险模型的精细大偏差问题一直是众多学者关注的热点问题^[1-3]. 由于保险公司在实际经营中会运营多种保险业务, 其中不同类型的保险索赔还会相伴发生, 如常见的交通事故中, 人员伤亡索赔与车辆损失索赔往往是同时发生的. 于是, 为了更好地描述保险公司实际的运营情况, 越来越多的学者开始关注较为复杂的二维风险模型的精细大偏差^[4-6].

本文考虑了一类非标准二维风险模型, 设索赔额向量序列$ \{\vec{X}_k=(X_{1k}, X_{2k})^T, k\ge 1\} $与一般向量$ \vec{X}=(X_{1}, X_{2})^T $同分布, 在二维环境中, 向量$ \vec{X} $具有有限均值向量$ \vec{\mu}=(\mu_1, \mu_2)^T $, 其联合分布函数为$ F_{12} $, 联合生存函数为$ \overline {F}_{12}(x_1, x_2)={\rm P}(X_1> x_1, X_2> x_2) $. 假设两类索赔在同一时刻发生, 令索赔发生时刻为$ \tau_k, k\ge 1 $, 则相应的索赔发生时间间隔为$ \theta_1=\tau_1, \theta_k=\tau_k-\tau_{k-1}, k\ge 2 $. 若$ \{\theta_k, k\geq 1 \} $为具有有限正值均值$ 1/\lambda $和有限方差的同分布随机变量序列, 构成的计数过程$ N(t)=\sup\{n\ge 1:\tau_n\le t\} $. 因此, 到时刻$ t(\ge 0) $为止的总索赔额向量模型为

(1.1) $ \begin{equation} \vec{S}(t)=\sum\limits_{k=1}^{N(t)}{\vec{X}_k}, \; \; \; t\ge 0. \end{equation} $

若$ \{\theta_k, k\ge 1\} $与$ \{ \vec{X}_{k}, k\ge1\} $相互独立, 且$ \{\theta_k, k\ge 1\} $为独立同分布的随机变量序列, 那么模型(1.1)就是标准的二维更新模型, 在经典风险理论的研究中起到了重要作用.

我们知道在现实中(不妨以车辆损失险为例), 保险公司往往会规定若索赔次数增多将导致保费折扣降低, 于是很多小额索赔将不会报告给保险公司, 这就使得索赔发生的间隔时间被延长了. 因此, 在保险实务中, 索赔额与索赔发生的时间间隔(或索赔计数过程)之间往往是具有一定相依关系的. 随着保险业经营日趋复杂, 文献[4-6]中关于索赔额与索赔发生时间间隔的独立性假设就显得不现实了. 为解决这一问题, 众多学者提出了多种放宽索赔额与索赔发生时间间隔独立性假设的非标准更新风险模型^[7-10]. 其中, Bi和Zhang^[9]首次基于网络马氏骨架过程的思想, 提出了半马尔可夫型相依结构, 具体表达式如下

$ {\rm P}(\theta_n>t|Y_k, k\ge 1)={\rm P}(\theta_n>t|Y_{n-1}, Y_n), $

其中$ \{Y_k, k\ge1\} $是独立同分布的一维索赔额变量序列, $ \{\theta_k, k\ge 1\} $的定义如前文所述. 这就意味着索赔发生的等待时间不仅受此次索赔额的影响, 而且还受到前一次索赔额的影响. 随后, Li等^[10]提出了回归相依结构, 即对于任意给定的$ 1\le d <n $, 有

(1.2) $ \begin{equation} {\rm P}(\theta_n>t|Y_k, k\ge 1)={\rm P}(\theta_n>t|Y_{n-d}, \cdots, Y_n). \end{equation} $

显然, 这种新的相依性结构可视为半马尔可夫型相依性结构的推广. 在保险公司的实际运营中, 索赔发生的等待时间往往与已发生的数次临近索赔额大小有关, 所以这类相依结构更符合保险实务. 受此启发, 本文将上述回归相依结构推广至二维环境下, 提出了二维回归相依结构, 并在索赔额向量内部两分量间存在一定相依关系的条件下, 得到了二维风险模型(1.1) 的精细大偏差.

首先引入几类常用符号, 对于两个正值函数$ g(x) $和$ h(x) $, 若$ \limsup\limits_{x\rightarrow \infty} g(x)/ $$ h(x)\le 1 $, 则记作$ g(x)\lesssim h(x) $或$ h(x)\gtrsim g(x) $; 若$ \lim\limits_{x\rightarrow \infty}g(x)/h(x)=0 $, 则记作$ g(x)=o(h(x)); $若$ \lim\limits_{x\rightarrow \infty}g(x)/h(x)=1 $, 则记作$ g(x)\sim h(x). $对于二元正值函数$ g(x, t) $和$ h(x, t) $, 若$ \limsup\limits_{t\rightarrow \infty} $$ \sup\limits_{x\in \Delta _t} $$ g( x, t )/h( x, t )\le 1 $, 那么我们就说当$ t\rightarrow \infty $时, $ g( x, t ) \lesssim h( x, t ) $关于$ x\in \Delta_t\ne \emptyset $一致成立.

在风险理论中, 重尾分布已被广泛认为是(非寿险)个体索赔额的标准分布, 这里主要介绍两类重要的重尾分布及其基本性质. 设一维随机变量$ Y $的分布函数为$ F(x) $, 其生存函数为$ \overline {F}(x)=1-F(x)={\rm P}(Y>x)>0 $, $ x\in\mathbb{R} $. 如果存在两个常数$ \alpha $和$ \beta\; (0<\alpha\le\beta<\infty) $, 对任意的$ \upsilon\ge 1 $, 有

$ \upsilon^{-\beta}\le\liminf\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\overline{F}(\upsilon x )}{\overline{F}( x )}\le\limsup\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\overline{F}(\upsilon x)}{\overline{F}(x)}\le\upsilon^{-\alpha}, $

则称分布函数$ F $属于广义正则变尾分布族, 记作$ F\in ERV (-\alpha, -\beta). $如果

$ \lim\limits_{\upsilon\searrow 1} \liminf\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\overline{F}(\upsilon x )}{\overline{F}( x )}=\lim\limits_{\upsilon\nearrow 1} \limsup\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\overline{F}(\upsilon x)}{\overline{F}(x)}=1, $

则称分布函数$ F $属于一致变尾分布族, 记作$ F\in {\cal C}. $显然, $ ERV (-\alpha, -\beta)\subset{\cal C} $, 其证明可参看文献[11]. 由文献[12]可知, 如果$ F\in {\cal C} $, 则$ F $的上Matuszewska指数$ J_{F}^{+}<\infty $, 并且对所有$ p>J_{F}^{+} $, 有

(2.1) $ \begin{equation} x^{-p}=o( \overline{F}(x)), \; x\rightarrow \infty. \end{equation} $

同时根据文献[13]可知, 对任意$ p>J_{F}^{+} $, 都存在正常数$ C $和$ x_0 $, 使得

(2.2) $ \begin{equation} \frac{\overline{F}( x )}{\overline{F}( x\upsilon )}\le C\upsilon^p, \; x\upsilon\ge x\ge x_0. \end{equation} $

在下文中, 对任意给定的$ 1\le d<n $, 假设$ \theta_n (n\ge 1) $与$ \vec{X}_{n-d}, \cdots, \vec{X}_{n-1}, \vec{X}_{n} $相依, 且独立于$ \vec{X}_{1}, \vec{X}_{2}, $$ {\cdots, \vec{X}_{n-d-1}, \vec{X}_{n+1}, \vec{X}_{n+2}, \cdots}, $也就是说$ \vec{X}_j $只与$ \theta_j, \ldots, \theta_{j+d} $相依. 由此可知, $ \{\theta_n, n\ge 1\} $构成了一个$ d $-相依序列. 基于Li等^[10]提出的一维回归相依结构, 本文给出如下的二维相依结构假设: 对任意给定的$ 1\le d<n $, 有

(2.3) $ \begin{eqnarray} {\rm P}(\theta _k>t|\vec{X}_j, j\ge 1)=\left\{\begin{array}{ll} {\rm P}(\theta _k>t|\vec{X}_{1}, \ldots, \vec{X}_{k}), & k\le d, \\ {\rm P}(\theta _k>t|\vec{X}_{k-d}, \ldots, \vec{X}_{k}), & k>d. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

本文基于上述相依假设, 研究了模型(1.1)的精细大偏差. 文中涉及$ \theta_k $与$ \vec{X}_j $的相依关系均按(2.3)式类似定义. 为方便起见, 先列出索赔额向量$ \vec{X}_k $和计数过程$ N(t) $的若干假设.

假设2.1  存在均值有限的非负随机变量$ \theta^{\ast\ast} $, 对所有较大的$ \vec{x}=(x_{1}, x_{2})^T>\vec{0} $, 都可以使$ \theta_k $在$ ( \vec{X}_{k-d}>\vec{x}, \cdots, \vec{X}_{k}>\vec{x}) $的条件下被$ \theta^{\ast\ast} $随机控制; 也就是说, 存在某个向量$ \vec{x}_0=(x_{10}, x_{20})^T $, 使得对所有的$ \vec{x}>\vec{x}_0 $和$ t\in[ 0, \infty) $, 有

(2.4) $ \begin{equation} {\rm P}(\theta _k>t|\vec{X}_{k-d}>\vec{x}, \cdots, \vec{X}_{k}>\vec{x})\le {\rm P}( \theta^{\ast\ast}>t), \end{equation} $

其中$ \vec{x}>\vec{x}_0 $表示同时有$ x_1>x_{10} $和$ x_2>x_{20} $成立.

假设2.2  假设索赔额向量序列$ \{\vec{X}_k=(X_{1k}, X_{2k})^T, k\ge 1\} $与一般向量$ \vec{X}=(X_{1}, X_{2})^T $同分布, $ X_1 $与$ X_2 $的分布函数分别为$ F_i(i=1, 2)\in {\cal C} $, 其生存copula函数为$ \hat{C}( \cdot , \cdot ) $, 且满足

(2.5) $ \begin{equation} \hat{C}\big( \overline{F}_1( x_1), \overline{F}_2( x_2)\big) \le g_u(2)\overline{F}_1( x_1 ) \overline{F}_2(x_2), \end{equation} $

其中$ g_u(\cdot)\ge 1 $为有限正值函数.

注2.1  结合Sklar定理(参见文献[14]), 则由假设2.2可知$ \overline{F}_{12}(x_1, x_2)= \hat{C}\big(F_1(x_1), F_2(x_2)\big) $, 这也意味着$ X_1 $和$ X_2 $满足广义上象限相依(WUOD), 这是Wang等^[15]所提出的一种新型相依结构, 包含了常用的正负相依结构.

注2.2  对于$ \{N(t), t \ge 0\} $, 当$ \{\theta_n, n \ge 1\} $为$ d $ -相依序列, 应用Korchevsky和Petrov^[16]的定理4和定理6类似的证明方法, 可得

(2.6) $ \begin{equation} \frac{N(t)}{t}\rightarrow \lambda, \; a.s. \end{equation} $

和

(2.7) $ \begin{equation} \frac{{\rm E}[N(t)]}{t}\rightarrow \lambda \end{equation} $

成立, 从而有

(2.8) $ \begin{equation} \frac{N(t)-\lambda t}{t}\mathop{\rightarrow }\limits^{p}0, \; t\rightarrow \infty, \end{equation} $

其中$ \mathop{\rightarrow }\limits^{p} $表示依概率收敛.

接下来介绍我们的主要结论.

定理2.1  考虑模型(1.1), 在假设2.1和2.2满足的条件下, 若$ {\rm Var} [\theta^{\ast\ast}]<\infty $, 则对任意给定的$ \vec{\gamma}=(\gamma_1, \gamma_2)^T>\vec{0} $, 当$ t\rightarrow \infty $时, 有

(2.9) $ \begin{equation} {\rm P}\big(\vec{S}(t)-\vec{\mu} \lambda t>\vec{x}\big)\sim (\lambda t)^2\overline{F}_1(x_1)\overline{F}_2(x_2) \end{equation} $

对所有的$ \vec{x}\ge \vec{\gamma} t $一致成立, 即

(2.10) $ \begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\sup\limits_{\vec{x}\ge\vec{\gamma}t}\bigg|\frac{{\rm P}\big(\vec{S}(t)-\vec{\mu} \lambda t>\vec{x}\big)}{(\lambda t)^2\overline{F}_1(x_1)\overline{F}_2(x_2)}-1\bigg|=0. \end{equation} $

注2.3  定理2.1在索赔额向量序列与索赔发生时间间隔序列满足回归相依的条件下, 给出了总索赔额向量和的精细大偏差公式, 在一定程度上推广了文献[6]和[10]中的结论. 该定理还说明了, 无论是索赔额向量序列与索赔发生时间间隔序列之间的相依结构, 还是索赔额向量内部分量之间的相依性, 对$ \vec{S}(t) $精细大偏差的渐近性质几乎没有影响.

根据假设2.1以及二维回归相依的设定, 我们首先构造一个多元延迟计数过程. 对任意给定的$ d\ge1, $设

$ \begin{eqnarray*} \tau _{n}^{\ast \ast}=\left\{\begin{array}{ll} \theta _{1}^{\ast \ast}+\cdots +\theta _{n}^{\ast \ast}, & n\le 2d+1, \\ { } \theta _{1}^{\ast \ast}+\cdots +\theta _{2d+1}^{\ast \ast}+\sum\limits_{k=2d+2}^n{\theta _k}, & n>2d+1, \\ \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

其中$ \theta _{k}^{\ast \ast}, 1\le k\le 2d+1 $是可以被$ \theta ^{\ast\ast} $随机控制的非负随机变量, 且独立于其他所有随机变量, 并与$ ( \vec{X}_{k-d}>\vec{x}, \cdots, \vec{X}_{k}>\vec{x}) $条件下的$ \theta_k $具有相同的分布. 相应的, 多元延迟计数过程的具体表述如下

(3.1) $ \begin{equation} N(t)^{\ast\ast}=\sup\{n:\tau_{n}^{\ast\ast}\le t\}, \; \; \; t\ge 0. \end{equation} $

接下来先介绍一个与多元延迟计数过程$ \{N(t)^{\ast\ast};t\ge 0\} $相关的引理.

引理3.1  在假设2.1的条件下, 若$ {\rm Var} [\theta^{\ast\ast}]<\infty $, 则对任意$ \varepsilon>0 $, $ \vec{\gamma}>\vec{0}, $有

(3.2) $ \begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow \infty} \sup\limits_{\vec{x}\ge \vec{\gamma}t} {\rm P}\bigg(\Big| \frac{N(t)^{\ast\ast}-\lambda t}{t} \Big|>\varepsilon\bigg) =0, \end{equation} $

证  记实数$ y $的整数部分为$ \lfloor y \rfloor $. 对任意充分大的$ t $, 我们有

(3.3) $ \begin{eqnarray} {\rm P}\bigg(\Big|\frac{N^{\ast\ast}(t)-\lambda t}{t}\Big|>\varepsilon \bigg)&=&{\rm P}\Big(N^{\ast\ast }(t)>\lambda t+\varepsilon t\Big)+{\rm P}\Big(N^{\ast \ast}(t)<\lambda t-\varepsilon t\Big) \\ &\le& {\rm P}\Big(\sum\limits_{k=2d+2}^{\lfloor\lambda t+\varepsilon t\rfloor}\theta_k\le t\Big)+{\rm P}\Big((2d+1)\theta^{\ast \ast}+\sum\limits_{k=2d+2}^{\lfloor\lambda t-\varepsilon t\rfloor+1}\theta_k>t\Big). \end{eqnarray} $

在最后一步中, 我们利用了非负的随机变量$ \theta ^{\ast\ast} $对$ \theta _{k}^{\ast \ast}, 1\le k\le 2d+1 $的随机控制及独立性. 根据注2.2中(2.8) 式和部分和$ \sum\limits_{k=1}^n\theta_k $服从大数定律可知, 当$ t\rightarrow \infty $时, (3.3)式趋向于$ 0 $, 从而引理3.1得证.

引理3.2  令$ \{ \vec{X}_k;k\ge1\} $是一均值向量为$ \vec{\mu} $的独立同分布向量序列, 在假设2.2成立的条件下, 对任意给定的$ \vec{\gamma}>\vec{0} $, 有

(3.4) $ \begin{equation} {\rm P}( \vec{S}_n-n\vec{\mu }>\vec{x} ) \sim n^2\overline{F}_1(x_1) \overline{F}_2( x_2), \; n\rightarrow \infty, \end{equation} $

对所有的$ \vec{x}>\vec{\gamma }n $成立, 其中$ \vec{S}_n=\sum\limits_{k=1}^n{\vec{X}_k} $.

证  根据文献[17]中引理3的证明方法, 稍作修改后即可知引理3.2成立.

引理3.3  考虑模型(1.1), 在假设2.2成立的条件下, 对于任意的$ p>\max \{ J_{F_1}^{+}, J_{F_2}^{+} \} $, 存在一正常数$ C $ (其值可能随位置变化而不同) 使得

(3.5) $ \begin{equation} {\rm P}\Big( \sum\limits_{k=1}^n{\vec{X}_k>\vec{x}, \tau_n\le t}\Big)\le Cn^{2p+2}\overline{F}_1(x_1) \overline{F}_2(x_2){\rm P}(\tau_{n-2d-1}\le t ), \end{equation} $

对任意的$ n\ge 2d+1 $, $ t\ge 0 $, $ \vec{x}\ge 0 $成立.

证  显然, 由$ \theta_n $和$ \vec{X}_1, \vec{X}_2, \cdots, \vec{X}_{n-d-1}, $$ \vec{X}_{n+1}, \cdots $之间的独立性可知

(3.6) $ \begin{eqnarray} {\rm P}\Big( \sum\limits_{k=1}^n{\vec{X}_k>\vec{x}, \tau_n\le t}\Big) &\le&{\rm P}\Big(\bigcup\limits_{i=1}^{n}(X_{1i}>{x_1}/{n}), \bigcup\limits_{j=1}^{n}(X_{2j}>{x_2}/{n}), \tau_n\le t \Big) {}\\ &\le&\sum\limits_{1\le i, j\le n}{\rm P}\big(X_{1i}>{x_1}/{n}, X_{2j}>{x_2}/{n}, \theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n\le t \big) \\ &\le&\sum\limits_{1\le i\le n}{\rm P}\big(X_{1i}>{x_1}/{n}, X_{2i}>{x_2}/{n}, \sum\limits_{k=1}^{n}\theta_k-\theta_i\le t \big) \\ &&+\sum\limits_{1\le i\neq j\le n}{\rm P}\big(X_{1i}>{x_1}/{n}, X_{2j}>{x_2}/{n}, \sum\limits_{k=1}^{n}\theta_k-\theta_i-\theta_j\le t \big) \\ &\le &n{\rm P}(X_{1}>{x_1}/{n}, X_{2}>{x_2}/{n}){\rm P}( \tau _{n-d-1}\le t ) \\ &&+n( n-1 ) {\rm P}( X_{1}>{x_1}/{n} ) {\rm P}(X_{2}>{x_2}/{n}){\rm P}(\tau _{n-2d-1}\le t), \end{eqnarray} $

其中最后一步利用了$ \theta_i $同分布的性质. 由(2.2)式又可知, 对任意给定的$ p>\max\{J_{F_1}^{+}, J_{F_2}^{+}\} $, 存在充分大的常向量$ \vec{x}_0 $与常数$ C $, 使得对所有$ \vec{x}\ge n\vec{x}_{0} $, 有$ {\rm P}( X_i>{x_i}/{n}) \le C n^p\overline{F_i}(x_i)(i=1, 2) $ (参见文献[8]). 因此, 根据假设2.2, 我们可以得到

(3.7) $ \begin{eqnarray} {\rm P}\Big( \sum\limits_{k=1}^n{\vec{X}_k>\vec{x}, \tau_n\le t}\Big) &\le &C\Big(n^{2p+1}\overline {F}_1(x_1)\overline {F}_2(x_2){\rm P}(\tau_{n-d-1}\le t) \\ &&+n^{2p+1}( n-1 )\overline {F}_1(x_1)\overline {F}_2(x_2){\rm P}(\tau _{n-2d-1}\le t)\Big) \\ &\le& Cn^{2p+2}\overline {F}_1(x_1)\overline {F}_2(x_2){\rm P}(\tau_{n-2d-1}\le t), \end{eqnarray} $

引理3.3得证.

接下来我们开始定理2.1的证明.

证  在下文中每个极限都看成当$ t\rightarrow \infty $时, 对所有的$ \vec{x}\ge \vec{\gamma }t $一致成立. 因此, 为了证明定理2.1成立, 只需证明

(3.8) $ \begin{eqnarray} {\rm P}(\vec{S}(t)-\vec{\mu}\lambda t>\vec{x})\lesssim (\lambda t )^2\overline{F}_1(x_1) \overline{F}_2(x_2) \end{eqnarray} $

和

(3.9) $ \begin{eqnarray} {\rm P}(\vec{S}(t)-\vec{\mu}\lambda t>\vec{x} )\gtrsim (\lambda t)^2\overline{F}_1(x_1) \overline{F}_2(x_2) \end{eqnarray} $

同时成立即可.

我们首先证明渐近上界. 对任意充分小的$ 0<\varepsilon <1 $, 我们有

(3.10) $ \begin{eqnarray} {\rm P}\big(\vec{S}(t)-\vec{\mu }\lambda t>\vec{x}\big)&=&{\rm P}\big(\vec{S}(t)-\vec{\mu }\lambda t>\vec{x}, N(t)\le\lambda t+\varepsilon t\big) \\ &&+{\rm P}\big(\vec{S}(t)-\vec{\mu}\lambda t>\vec{x}, N(t)>\lambda t+\varepsilon t \big) \\ &=&:J_1(x, t)+J_2(x, t). \end{eqnarray} $

对$ x_i\ge\gamma_i t(i=1, 2) $, 记$ x_{i}^{\prime}=x_i+\mu _i\lambda t-\mu_i\lfloor \lambda t+\varepsilon t\rfloor\ge (1-{\varepsilon\mu_i}/{\gamma _i})x_i $. 因此, 由引理3.2和假设2.2可知

(3.11) $ \begin{eqnarray} J_1(x, t)&\le &{\rm P}\big(\vec{S}_{\lfloor \lambda t+\epsilon t \rfloor} -\vec{\mu }\lambda t>\vec{x}\big) \\ &=&{\rm P}\big( \vec{S}_{\lfloor \lambda t+\epsilon t \rfloor} -\vec{\mu}\lfloor \lambda t+\varepsilon t\rfloor >\vec{x}+\vec{\mu }\lambda t-\vec{\mu }\lfloor \lambda t+\varepsilon t \rfloor \big) \\ &\sim &\big(\lfloor\lambda t+\varepsilon t\rfloor\big)^2\overline{F}_1( x_{1}^{\prime})\overline{F}_2(x_{2}^{\prime}) \\ &\lesssim& \big(\lambda t+\varepsilon t\big)^2\overline{F}_1\big( ( 1-\varepsilon/\gamma)x_1 \big) \overline{F}_2\big( (1-\varepsilon/\gamma) x_2 \big). \end{eqnarray} $

利用$ F_i\in {\cal C}(i=1, 2) $这一条件以及$ {\cal C} $族的性质即有

(3.12) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{\varepsilon \downarrow 0} \limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\sup\limits_{\vec{x}\ge \vec{\gamma }t}\frac{J_1(x, t)}{(\lambda t)^2\overline{F}_1(x_1)\overline{F}_2(x_2)}\le 1. \end{eqnarray} $

由假设2.2可知, 对任意的$ p>\max \{ J_{F_1}^{+}, J_{F_2}^{+} \} $, 存在常数$ C $, 使得

(3.13) $ \begin{eqnarray} J_2(x, t)&=&\sum\limits_{n>\lambda t+\varepsilon t}{{\rm P}\big(\vec{S}(t)-\vec{\mu }\lambda t>\vec{x}, N(t)=n\big)} \\ &\le&\sum\limits_{n>\lambda t+\varepsilon t}{{\rm P}\Big(\sum\limits_{k=1}^n\vec{X}_k>\vec{x}, \tau_n\le t\Big)} \\ &\le &C\overline{F}_1(x_1) \overline{F}_2(x_2) \sum\limits_{n>\lambda t+\varepsilon t}{ n^{2p+2}{\rm P}( \tau_{n-2d-1}\le t)}, \end{eqnarray} $

其中在第三步里利用了引理3.3. 同时, 利用文献[10]中引理3.3, 我们有

(3.14) $ \begin{eqnarray} \limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\sup\limits_{\vec{x}\ge \vec{\gamma }t}\frac{J_2(x, t)}{(\lambda t)^2\overline{F}_1(x_1)\overline{F}_2(x_2)}=0, \end{eqnarray} $

由此再结合(3.12)式可得(3.8)式成立.

接下来我们证明渐近下界. 令$ S_{1n}=\sum\limits_{k=1}^{n}X_{1k} $, $ S_{2n}=\sum\limits_{k=1}^{n}X_{2k} $, $ \vec{S}_{n}=({S}_{1n}, {S}_{2n})^T $. 对任意充分小的$ 0<\varepsilon<1 $和$ \nu >1 $, 我们有

(3.15) $ \begin{eqnarray} &&{\rm P}( \vec{S}(t)-\vec{\mu }\lambda t>\vec{x} ) \\ &\ge& {\sum\limits_{\lambda t-\varepsilon t\le n\le \lambda t+\varepsilon t}}{{\rm P}( \vec{S}_n-\vec{\mu }\lambda t>\vec{x}, N(t)=n)} \\ &\ge &{\sum\limits_{\lambda t-\varepsilon t\le n\le \lambda t+\varepsilon t}}{\rm P}\big( \vec{S}_{n}-\vec{\mu}\lambda t>\vec{x}, \max\limits_{1\le i\le n} X_{1i}>\nu x_1, \max\limits_{1\le j\le n} X_{2j}>\nu x_2, N(t)=n\big). \end{eqnarray} $

根据Bonferroni不等式, 我们有

(3.16) $ \begin{eqnarray} &&{\rm P}\Big(\vec{S}_{n}-\vec{\mu}\lambda t>\vec{x}, \max\limits_{1\le i\le n} X_{1i}>\nu x_1, \max\limits_{1\le j\le n} X_{2j}>\nu x_2, N(t)=n\Big) \\ &\ge &\sum\limits_{1\le i, j\le n}{{\rm P}(S_{1n}-\mu_1\lambda t>x_1, S_{2n}-\mu _2\lambda t>x_2, X_{1i}>\nu x_1, X_{2j}>\nu x_2, N(t) =n)} \\ &&-\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j_1\ne j_2}{{\rm P}( X_{1i}>\nu x_1, X_{2j_1}>\nu x_2, X_{2j_2}>\nu x_2, N(t)= n)} \\ &&-\sum\limits_{i_1\ne i_2}\sum\limits_{j=1}^n{{\rm P}( X_{1i_1}>\nu x_1, X_{1i_2}>\nu x_1, X_{2j}>\nu x_2, N(t)=n)} \\ &=&:I_1(x, t)-I_2(x, t)-I_3(x, t). \end{eqnarray} $

令$ S_{1, i}=S_{1n}-X_{1i} $, $ S_{2, i}=S_{2n}-X_{2i} $, $ S_{1, i, j}=S_{1, n}-X_{1i}-X_{1j} $, $ S_{2, i, j}=S_{2, n}-X_{2i}-X_{2j} $. 从而可得

(3.17) $ \begin{eqnarray} &&\sum\limits_{1\le i, j\le n}{{\rm P}(S_{1n}-\mu _1\lambda t>x_1, S_{2n}-\mu _2\lambda t>x_2, X_{1i}>\nu x_1, X_{2j}>\nu x_2, N(t)=n)} \\ &=&\sum\limits_{i=1}^n{{\rm P}\Big( S_{1, i}-\mu _1\lambda t>(1-\nu) x_1, S_{2, i}-\mu_2\lambda t>(1-\nu) x_2, X_{1i}>\nu x_1, X_{2i}>\nu x_2, } N(t)=n \Big)\\ && + \sum\limits_{1\le i\ne j\le n}{\rm P}\Big(S_{1, i, j}-\mu _1\lambda t>(1-2\nu) x_1, \\ && S_{2, i, j}-\mu _2\lambda t> (1-2\nu) x_2, X_{1i}>\nu x_1, X_{2j}>\nu x_2, N(t)=n\Big) \\ &\ge &\sum\limits_{1\le i\ne j\le n}{\rm P}\big(S_{1, i, j}-\mu _1\lambda t>(1-2\nu) x_1, S_{2, i, j}-\mu _2\lambda t>(1-2\nu) x_2, \\ && N(t)=n|X_{1i}>\nu x_1, X_{2j}>\nu x_2\big){\rm P}( X_{1i}>\nu x_1){\rm P}( X_{2j}>\nu x_2) \\ &\ge& n(n-1)\overline{F}_1(\nu x_1) \overline{F}_2( \nu x_2 ) \\ &&\cdot{\rm P}\big( S_{1, 1, 2}-\mu _1\lambda t>(1-2\nu ) x_1, S_{2, 1, 2}-\mu _2\lambda t>(1-2\nu) x_2, N(t)^{\ast\ast}=n\big), \end{eqnarray} $

其中$ N(t)^{\ast\ast} $为带有(3.1)式性质的多元延迟计数过程. 选择充分小的$ \varepsilon $, 使得对$ i=1, 2 $都有$ ( 1-\varepsilon) \lambda \mu _i-\lambda \mu _i>(1-2\nu) \gamma _i $. 因此对部分和$ S_{1n} $和$ S_{2n}(n\ge 1) $应用大数定律后, 由引理3.1可得

(3.18) $ \begin{eqnarray} &&{\sum\limits_{\lambda t-\varepsilon t\le n\le \lambda t+\varepsilon t}}I_1(x, t) \\ &\ge& {\rm P} \bigg({\sum\limits_{i=3}^{\lambda t-\varepsilon t}}{X_{1i}-\mu _1\lambda t>( 1-2\nu ) x_1}, {\sum\limits_{i=3}^{\lambda t-\varepsilon t}}{X_{2i}-\mu _2\lambda t> ( 1-2\nu ) x_2}, \\ &&\Big|\frac{N(t)^{\ast\ast}-\lambda t}{t}\Big|\le \varepsilon \bigg){(\lfloor\lambda t-\varepsilon t\rfloor) (\lfloor\lambda t-\varepsilon t\rfloor-1)} \overline{F}_1(\nu x_1) \overline{F}_2(\nu x_2) \\ &\ge& \bigg({\rm P}\Big({\sum\limits_{i=3}^{\lambda t-\varepsilon t}}X_{1i}-\mu_1\lambda t>(1-2\nu)x_1, {\sum\limits_{i=3}^{\lambda t-\varepsilon t}}X_{2i}-\mu _2\lambda t>(1-2\nu)x_2\Big) \\ &&-{\rm P}\Big(\Big| \frac{N(t)^{\ast\ast}-\lambda t}{t}\Big|>\varepsilon \Big)\bigg)\cdot{\big(\lfloor\lambda t-\varepsilon t\rfloor\big)\big(\lfloor\lambda t-\varepsilon t\rfloor-1\big)} \overline{F}_1(\nu x_1)\overline{F}_2(\nu x_2). \end{eqnarray} $

结合$ F_i\in {\cal C}(i=1, 2) $以及$ {\cal C} $族的性质, 即可得

(3.19) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\lim\limits_{\nu\searrow 1}\liminf\limits_{t\rightarrow \infty}\inf\limits_{\vec{x}\ge \vec{\gamma }t}\frac{\sum\limits_{\lambda t-\varepsilon t\le n\le \lambda t+\varepsilon t}I_1( x, t)}{(\lambda t)^2\overline{F}_1(x_1)\overline{F}_2(x_2)}\ge 1. \end{eqnarray} $

对$ I_2(x, t) $, 交换求和顺序后可以得到

(3.20) $ \begin{eqnarray} &&\sum\limits_{\lambda t-\varepsilon t \le n\le \lambda t+\varepsilon t}I_2(x, t) \\ &\le &\sum\limits_{j_1=1}^{\lambda t+\varepsilon t}\sum\limits_{1\le j_2\ne j_1\le \lambda t+\varepsilon t}{\sum\limits_{\lambda t-\varepsilon t\le n\le \lambda t+\varepsilon t}}{\rm P}(N(t)=n|X_{1j_1}>\nu x_1, X_{2j_1}>\nu x_2, X_{2j_2}>\nu x_2) \\ &&\cdot\overline{F}_{12}(\nu x_1, \nu x_2)\overline{F}_2(\nu x_2) \\ &&+\sum\limits_{i=1}^{\lambda t+\varepsilon t}\sum\limits_{j_1=1}^{\lambda t+\varepsilon t}\sum\limits_{j_2=1}^{\lambda t+\varepsilon t}{\sum\limits_{\lambda t-\varepsilon t\le n\le \lambda t+\varepsilon t}}{\rm P}( N(t) =n|X_{1i}>\nu x_1, X_{2j_1}>\nu x_2, X_{2j_2}>\nu x_2) \\ &&\cdot{\rm P}( X_{1i}>\nu x_1, X_{2j_2}>\nu x_2)\cdot\overline{F}_2(\nu x_2) \\ &\le&{(\lfloor\lambda t-\varepsilon t\rfloor)^2}\overline{F}_{12}(\nu x_1, \nu x_2) \overline{F}_2(\nu x_2)+{(\lfloor\lambda t-\varepsilon t\rfloor)}\overline{F}_2(\nu x_2) \\ &&\cdot\Big((\lfloor\lambda t-\varepsilon t\rfloor)\overline{F}_{12}(\nu x_1, \nu x_2)+{(\lfloor\lambda t-\varepsilon t\rfloor)(\lfloor\lambda t-\varepsilon t\rfloor -1)}\overline{F}_1(\nu x_1)\overline{F}_2(\nu x_2 )\Big) \\ &=&o\big((\lambda t)^2\overline{F}_1(x_1)\overline{F}_2(x_2)\big). \end{eqnarray} $

由于$ \mu_i<\infty(i=1, 2) $, 故$ t\overline{F}_i(\nu x_i)\le \gamma_i^{-1}x_i\overline{F}_i(\nu x_i)\rightarrow 0 $. 因此, 结合$ F_i\in{\cal C}(i=1, 2) $, 有

(3.21) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\lim\limits_{\nu\searrow 1}\limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\sup\limits_{\vec{x}\ge \vec{\gamma }t}\frac{\sum\limits_{\lambda t-\varepsilon t\le n\le \lambda t+\varepsilon t}I_2( x, t)}{(\lambda t)^2\overline{F}_1(x_1)\overline{F}_2(x_2)}=0. \end{eqnarray} $

类似于$ I_2(x, t) $的方法处理, 对$ I_3(x, t) $也可得

(3.22) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\lim\limits_{\nu\searrow 1}\limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\sup\limits_{\vec{x}\ge \vec{\gamma }t }\frac{\sum\limits_{\lambda t-\varepsilon t\le n\le \lambda t+\varepsilon t}I_3( x, t)}{(\lambda t)^2\overline{F}_1(x_1)\overline{F}_2(x_2)}=0. \end{eqnarray} $

由(3.19)–(3.22)式即可得(3.9)式成立. 定理2.1证毕.