针对生物种群内部个体的社会结构和行为, 生态学工作者已经作了半个多世纪的研究, 对各类种群个体的等级地位次序有了丰富的一手资料, 参见综述文献[1]及其所引用的200余份文献.若需考察具有等级差异的种群的长期演化行为, 数学模型就拥有其它手段难以比拟的优势.目前, 这方面的研究成果有一些, 虽不完善但很重要, 为我们提供了等级结构种群系统的基本认知, 可参见文献[2-17].其中, 文献[2]和[3]分析种群内部竞争, 前者运用连续模型, 后者采用离散模型.文献[4]发现非极端化的等级结构有助于系统稳定.在文献[5]中, Cushing用尺度等级结构模型分析同类自食现象, 在文献[6]中处理一类年龄等级结构模型的适定性和动力学行为.文献[7]借助尺度等级模型分析因自食导致的震荡行为.文献[8-12, 15, 16]的主题是适定性与渐近行为, 文献[13]和[17]关注等级模型的数值解法, 文献[14]研究一类等级模型的平衡态与稳定性.至于等级结构种群系统的控制问题, 相关成果报道就更少了.文献[18]以捕捞强度为控制策略, 力图以最小代价让种群分布尽可能接近某种理想状态, 这是出于优化生态角度考虑的.文献[19]从可再生种群资源的最优开发角度出发, 设计了一个最优捕捞问题, 进行了细致的理论和数值分析.这两项工作都是基于单一种群环境的.由于实际生态环境中基本上都是多种群共存, 如何调控多种群等级结构系统无疑是必须考虑的问题.文献[20]在这方面作了一点初步努力, 关于两种群竞争系统的可控性与镇定问题做了探索, 发现分布式迁移可以实现种群系统状态的有效调节.

鉴于个体尺度(如身长、体重)是决定等级的主要因素之一, 本文建模时考虑基于尺度的内部等级环境.此外, 个体孕育期时滞也将纳入繁殖过程.区别于前述3项控制问题的研究工作, 本文以幼体的动态规模作为控制策略, 目标是:经过一段指定时间后, 种群的尺度(大小)分布一方面尽可能接近预先设定的理想分布, 另一方面也要求代价尽可能的小.下一节提出模型, 设定合理的参数条件; 第3第4节分别建立状态系统解的存在唯一性、解关于控制变量的连续依赖性.第5节运用法锥和共轭系统技巧导出控制问题的最小值原理, 以此为基础, 第6节证明最优策略的存在唯一性.最后一节总结全文.

本文提出并研究下列种群模型

其中$p(s, t)$表示$t$时刻种群的个体尺度分布, $g(s) = {{{\rm d}s} \over {{\rm d}t}}$为尺度增长率; ${\mu _{\rm{0}}}\left( s \right)$为自然死亡率, ${\mu _{\rm{1}}}$代表因内部竞争引起的附加死亡率, $u(t)$表示对种群幼体的投放(例如鱼苗), $\beta$表示个体的平均繁殖率; ${p_0}(s, t)$表示初始时间段里种群的个体尺度分布; $E(p)$表示种群内部环境, $\alpha$为加权系数, $0 \le \alpha < 1; {Q_T} = (0, S) \times (0, T)$, $S$为个体最大尺度, $T$为终端时间; $\tau > 0$为新生个体孕育期时长.

本文的分析需要下列假设

$(A_1)$$g \in {C^1}([0, S])$, 当$s\in [0, S)$时有$g'(s) < 0, g(S)=0$.定义$\Gamma (s) = \int_0^s \frac{{\rm d}x}{g(x)}$, $\Gamma(S) < +\infty$;

$(A_2)$${\mu _0}\left( s \right) > 0, \int_0^S {{\mu _0}\left( s \right){\rm d}s = + \infty }, \mu_0 (s)+g'(s)\ge 0$. ${\mu_{1}}(y)$非负且关于$y$严格单增; $\beta( \cdot , y)$关于$y$非增, $0 \le \beta \left( {s, y} \right) \le \overline \beta , \forall \left( {s, y} \right) \in \left[ {0, S} \right] \times {{{\Bbb R}}_ + }$, 且${\mu_{1}}(y)$和${\beta}( \cdot , y)$关于$y$满足局部Lipschitz条件, 即:对任意常数$M>0$, 存在${L_1 (M)}, {L_2 (M)}$使得:当$\left| {{y_1} - {y_2}} \right|\leq M$时有$\left| {\mu_1 ( {y_1}) - \mu_1 ({y_2})} \right| \le {L_1 (M)}\left| {{y_1} - {y_2}} \right|$, $\left| {\beta ( \cdot , {y_1}) - \beta ( \cdot , {y_2})} \right| \le {L_2 (M)}\left| {{y_1} - {y_2}} \right|$;

$(A_3)$$0 \le {p_0}(s, t) \le {M_0},$ a.e. $\left( {s, t} \right) \in \left[ {0, S} \right] \times \left[ { - \tau , 0} \right]$; $M_0$为常数;

$(A_4)$ 容许控制集为: $U=\{ u\in L^{\infty}(0, T): 0\leq u(t)\leq \bar{u}$ a.e. $t\in (0, T)\}$, $\bar{u}$为常数.

本文研究的核心问题是:如何选取投放函数$u\in U$, 使得下列泛函取值最小

其中$p^u (s, t)$表示(2.1)相应于$u$的解, ${\overline p \left( s \right)}$代表某种给定的理想分布(例如平衡态), $\sigma > 0$为单位控制成本.因此$J\left( u \right)$表示种群终态分布与理想分布的均方差与控制总成本之和.

本节作出模型的适定性分析.为了表述简便, 记$\mu (s, E(p)(s, t)){\rm{ = }}{\mu _{\rm{0}}}\left( s \right) + {\mu _1}(E(p)(s, t))$.

将$\mu_1$中的函数$p$固定为非负函数$q$后, 模型(2.1)变为线性系统.在特征线$\Gamma (s) - t = c$ ($c$为常数)上, 解的表示形式为

其中

${b}(t) = g(0)p(0, t;q)$为已知.

本节余下部分应用不动点原理证明系统(2.1)存在唯一的解.

首先在时间段$(0, \tau]$上考虑系统(2.1).定义一个子集$H$如下

其中${M} = (SM_0 \bar{\beta}+\bar{u})\Gamma{(S)}+SM_0$.

定义算子$\psi : H \to {L^\infty }([0, \tau ];{L^1}(0, S))$,

其中$p\left( {s, t;q} \right)$由(3.1)式定义.

注意${\psi q} \in H$.事实上, 利用表达式(3.1)和假设(A1)–(A4)可得

因此, ${\psi q} \in H$.

为了证明$\psi$有不动点, 需要做一些估计.由于$\Gamma(S)$即为个体最大年龄, 因此可设$\tau<\Gamma(S)$.

由(3.2)式和不等式$\left| {{e^{ - x}} - {e^{ - y}}} \right| \le \left| {x - y} \right|$ (当$x \ge 0, y \ge 0$)可得

相应地

对任意的${q_1}, {q_2} \in H$, 利用(3.1)–(3.4)式可得($C_1:=m_{1}e^{m_2}+\bar{u}$为$b(t)$的上界, $m_1$和$m_2$均为由模型参数确定的常数)

其中$C=L_1 (M)(C_1 +SM_0)$.

定理3.1  对于任意给定的$u\in U$, 种群系统(2.1)在$Q_T$上存在唯一的非负有界解$p^u$.

证  取定$\lambda > C$, 定义空间$L^{\infty }( [0, \tau];{L^1}(0, S))$上的等价范数如下

利用(3.5)式可得

再由$0 < \frac{C}{\lambda } < 1$, 知$\psi$是一个压缩映射, 故存在唯一的不动点${q^*} \in H$, 它就是系统(2.1)在$[0, S]\times [0, \tau]$上的解.再由系统(2.1)和$H$的定义知:系统(2.1)的解非负有界.重复以上推理可知:系统(2.1)在$Q_T$上有唯一的非负有界解.

令${p_i}$为系统(2.1)相应于控制变量${u_i}\left( t \right)$的解($i=1, 2$).在特征线$\Gamma (s) - t = c$上, 其表示形式为

其中

由上节分析有以下结果:对于任意给定的边界控制$u \in U$, 系统(2.1)的解$p^u ( {s, t})$满足

其中${M_T}$是一个独立于$u$的常数.

下面证明$p^u$关于$u$的一致连续性.

定理4.1  存在与${u_1}$, ${u_2}$无关的非负常数$M_1$, 使得

证  当$t \le \Gamma (s)$时, 由(4.1)–(4.2)式和假设$(A_3)$可导出

当$t > \Gamma (s)$时, 由假设$(A_2)$, (4.1)与(4.2)式可得

根据(4.2)式可知

若令$x = t - \Gamma (s)$, 则由(4.5)式知

此外, 由(4.2)式知

再由(4.3)–(4.4)式和(4.6)–(4.7)式导出

其中$C_2, C_3$为与$u$无关的常数.

最后, 由(4.8)式和Bellman不等式知:存在与${u_1}$, ${u_2}$无关的常数$M_1>0$, 使得

从而

证毕.

定理5.1  最优控制问题(2.1)–(2.2)的任一最优策略${u^*}$都具有如下结构

其中$q\left( {s, t} \right)$为下列共轭系统的解

其中${{\beta _x}}$表示函数$\beta$对第二个变量的导数.

证  令$\left( {{u^*}, {p^*}} \right)$为控制问题(2.1)–(2.2)的最优对.利用反向时间变换, 系统(5.2)解的存在唯一性可以类似于第3节得到.对任意固定的$v \in {{T}_U}\left( {{u^*}} \right)$ (表示集$U$在$u^*$处的切锥^{[21, p21, Proposition 2.3]}), 当$\varepsilon > 0$足够小时, ${u^\varepsilon }: = {u^*} + \varepsilon v \in U$.

令${p^\varepsilon }$为系统(2.1)相应于$u = {u^\varepsilon }$的解.由${{u^*}}$的最优性知

将上式变形, 并令$\varepsilon \to {0^ + }$, 可得

其中$z\left( {s, t} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} {\varepsilon ^{ - 1}}\left[ {{p^\varepsilon }\left( {s, t} \right) - {p^*}\left( {s, t} \right)} \right].$

上列极限的存在性由后面的引理5.1给出.先假定该极限存在, 推导$z\left( {s, t} \right)$满足的系统.

因为$p^\varepsilon$和$p^*$分别是系统(2.1)相应于$u^\varepsilon$和$u^*$的解, 可知$z(s, t)$满足

将系统(5.4)的第一式乘以$q\left( {s, t} \right)$, 并在${{Q_T}}$上积分, 可得

利用(5.2)式可知

然后, 由(5.5)–(5.6)式推知

由共轭系统(5.2)中的第一个方程可得

将(5.7)式代入(5.3)式中, 可知:对任意的$v \in {T _U}\left( {{u^*}} \right)$有

根据法锥的定义^{[21, p20, (2.8)式]}知

其中${N_U}\left( {{u^*}} \right)$表示集$U$在${{u^*}}$处的法锥.利用法锥元素的特征^{[21, p14, (1.38)式]}, 即得定理5.1的结论.

引理5.1  极限$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} {\varepsilon ^{ - 1}}\left[ {{p^\varepsilon }\left( {s, t} \right) - {p^*}\left( {s, t} \right)} \right]$存在.

证  记

根据模型方程(2.1), 有

其中$E\left( {\frac{1}{\varepsilon }\left[ {{p^\varepsilon } - {p^*}} \right]} \right)\left( {s, t} \right) = \alpha \int_0^s {\frac{1}{\varepsilon }\left[ {{p^\varepsilon } - {p^*}} \right]} \left( {r, t} \right){\rm d}r + \int_s^S {\frac{1}{\varepsilon }\left[ {{p^\varepsilon } - {p^*}} \right]} \left( {r, t} \right){\rm d}r$;

此外

其中$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} {b_0}\left( \varepsilon \right) = 0$.

应用(2.1), (5.4)和(5.8)–(5.9)式导出

对系统(5.10)中的前两式右端除首项外的其余部分取极限${\varepsilon \to {0^ + }}$, 应用定理4.1获得极限系统如下

其中用到了$E\left( {\frac{1}{\varepsilon }\left[ {{p^\varepsilon } - {p^*}} \right]} \right)\left( {s, t} \right)\left[ {{p^\varepsilon } - {p^*}} \right]\left( {s, t} \right) \to 0, \varepsilon \to {0^ + }.$

注意系统(5.11)是一个初始条件为零的齐次线性系统, 由其解的唯一性知$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} {w_\varepsilon } = 0$, 这意味着下列极限存在

引理证毕.

定义泛函$\varphi :{L^{\rm{1}}}\left( {0, T} \right) \to \left( { - \infty , + \infty } \right],$

引理6.1  泛函$\varphi$下半连续.

证  设$\left\{ {{u_n}} \right\} \subset U$为${L^{\rm{1}}}\left( {0, T} \right)$中的任一序列, 当$n \to \infty$时, ${{u_n} \to u}$.不失一般性, 可以假定${{u_n} \in U}$, $\forall n \ge 1$.据定理4.1知, 对任意$t \in \left( {0, T} \right)$, 当$n\rightarrow \infty$时有

由强收敛与逐点收敛的关系知:存在$\{u_n\}$的一个子序列(仍记为$\left\{ {{u_n}} \right\}$), 使得:当$n\to \infty$时

在$Q_T$上几乎处处成立.从而

利用Fatou引理^{[22, p146, Theorem 3.20]}, 得到

由此知$\varphi$下半连续, 引理证毕.

引理6.2^[23]  如果${w} \in {L^{\rm{1}}}\left( {0, T} \right)$满足

则存在$\theta \in {L^\infty }\left( {0, T} \right)$, 使得${\left\| \theta \right\|_{{L^\infty }\left( {0, T} \right)}} \le 1$, 且$- w + \alpha \theta \in {N_U}\left( u \right)$.

运用特征线方法可得下列结果(细节略去).

引理6.3  对于共轭系统(5.2), 存在一个固定的常数$M_2 > 0$, 使得:若$\left\| p_0 \right\|_{L^{1}((0, S)\times [-\tau, 0])} \le M_2$, 则对任意的$t \in \left( {0, T} \right), u, v\in U$, 都有

其中$C\left( {M_2, T} \right)$为$M_2$和$T$所构成的正的常数, 它与$u, v$无关.

定理6.1  若$\sigma^{-1}{C}\left( {M_2, T} \right)<1$, 则控制问题(2.1)–(2.2)存在唯一的解.

证  根据Ekeland变分原理^{[24, p180, Theorem A1.3.1]}知, 对任意给定的$\varepsilon > 0$, 存在${u_\varepsilon } \in U$, 使得

利用不等式(6.2)和定理5.1的证明方法可知:对任一$v \in {{T}_U}\left( {{u_{\varepsilon}}} \right)$, 都有

利用引理6.2导出:存在函数${f_\varepsilon } \in {L^\infty }\left( {0, T} \right), {\left\| {{f_\varepsilon }} \right\|_{{L^\infty }\left( {0, T} \right)}} \le 1$, 使得

因此

首先证明最优控制的唯一性.定义映射

由(6.4)式, 引理6.2与引理6.3可知

显然, 由定理的条件可知$\psi$是压缩的, 从而$\psi$存在唯一不动点${u_0} \in U$.定理5.1意味着控制问题(2.1)–(2.2)的任一解都是$\psi$的不动点.所以最优解至多有一个.

再证${u_0}$必为问题(2.1)–(2.2)的解.应用(6.3)–(6.4)式, 可得

因此

从而当$\varepsilon \to {{\rm{0}}^{\rm{ + }}}$时, ${{u_\varepsilon } \to {u_0}}$.

在(6.1)式中取极限并利用引理6.1, 得到

从而

定理证毕.

从控制理论观点看, 问题(2.1)–(2.2)是一类新的无穷维系统最优控制问题.定理6.1表明:最优解有且只有一个.定理5.1则对该解作了精细刻画, 利用共轭变量建立了反馈控制律.从生态实践观点看, 问题(2.1)–(2.2)旨在通过幼体投放优化种群分布.运用前文所得结果(5.1)–(5.2)和数值方法可以计算出具体的投放策略.