目前, 关于迁移算子的谱的存在性与迁移方程解的渐近稳定性研究有不少研究成果(参见文献[1-21]). 1974年出现了以细菌种群为背景的迁移方程, Lebowitz和Rubinow在文献[1]中提出的以细菌种群的年龄和遗传周长为特征的一类迁移方程(简称L-R模型)

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { }\frac{\partial \psi (a, l, t)}{\partial t}=-\frac{\partial \psi(a, l, t)}{\partial a} -\mu(a, l) \psi(a, l, t), \\ \psi(a, l, 0)=\psi_{0}(a, l). \end{array} \right. \end{equation} $

在文献[1]的基础上, Rotenberg在文献[2]中以细菌种群的成熟度和成熟速度为特征提出了另一类迁移方程(简称为Rotenberg模型)

(1.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } \frac {\partial\psi}{\partial t}(\mu, v, t)=\frac{\partial\psi}{\partial\mu} (\mu, v, t)-\sigma(\mu, v)\psi(\mu, v, t)+\int_a^b r(\mu, v, v')\psi(\mu, v', t){\rm {d}}v', \\ \psi (\mu, v, 0)=\psi_0(\mu, v). \end{array} \right. \end{equation} $

文献[2]讨论了相应迁移方程的Fokker-Plank的近似, 获得了其可数解.之后, 关于细菌种群增生模型解的结构性理论研究成为热门的研究课题. Latrach和Mokhtar-Kharroubi在文献[3]中研究了细菌种群增生中的L-R模型, 证明了相应的迁移算子产生正$ C_0 $半群, 并给出其$ C_0 $半群不可约的充分条件, 证明了相应的迁移算子的谱至多由有限代数重数的离散本征值构成. Boulanouar和Emamirad在文献[4]中研究了具积分边界条件的细菌种群增生的Rotenberg模型, 在最小成熟速度为$ 0 $的条件下, 证明了半群的非紧性, 得到了解的渐近展开式在边界算子为不可约的条件下, 证明了该生成半群的不可约性, 并得到了半群渐近收敛于阶为1的投影算子. Lods和Mokhtar-Kharroubi在文献[5]中研究了具非局部边界条件的L-R模型, 在最小周长为0的假设下, 获得了半群的Dyson-Phillip展开式, 得到了解的渐近展开式; 在积分边界条件下, 给出了迁移算子的谱. Jeribi在文献[6]中研究了具积分边界条件的Rotenberg模型, 给出了streaming算子的谱分析, 特别地, 在边界算子是严格正的条件下, 证明了半群是不可约的. Jeribi和Megdiche等在文献[7]中研究了一类具一般边界条件的Rotenberg模型, 证明了若边界算子是正的, 则生成的半群是不可约的, 并给出了迁移算子的谱结构. Dehici等在文献[8]中研究了具一般边界条件的Rotenberg模型, 在光滑和部分光滑的边界条件下, 详细地讨论了streaming算子的谱; 并在半平面$ \{ \lambda \in C |{\rm Re}\lambda >- \underline{\sigma} \} $上也讨论了迁移算子的离散本征值是否存在的问题, 最后还给出了迁移算子的各种本质谱.王胜华等在文献[9]中研究了$ L_p(1\leq p<\infty) $空间具积分边界条件的Rotenberg模型, 在光滑和部分光滑的边界条件下, 详细讨论了该迁移算子的谱; 并证明了相应迁移算子的离散本征值和占优本征值在某区域存在等问题.

近年来, Boulanouar等研究了$ L_1 $空间中具积分边界条件的细菌种群增生中的迁移方程^[10-12], 讨论了相应迁移半群的本质谱型, 得到了相应方程解的渐近稳定性等结果.关于更多迁移方程相应的迁移构造性理论研究与以细菌种群为背景的迁移方程解的渐近形态研究可参阅文献[13-20]. Latrach和Megdiche在文献[14]中研究了细菌种群增生中一类具最大边界条件的迁移方程, 证明了这类迁移算子产生的半群的Dyson-Phillip的第9阶余项的弱紧性, 并得到了相应迁移算子谱的存在性等结果.王胜华等人利用线性算子理论探讨了细菌种群增生中一类具部分光滑边界条件的Rotenberg模型^{[15, 16]}, 采用比较算子和预解算子等方法证明了相应迁移算子谱存在性和相应迁移方程解的渐近性等结果. Abdelmoumen等在文献[20]中研究了方程(1.2)具积分边界条件的迁移方程, 证明了$ \mid {\rm Im}\lambda\mid \parallel (\lambda-T_H)^{-1} [B(\lambda-T_H)^{-1}]^{m}\parallel (|{\rm Im} \lambda |\rightarrow + \infty ) $的有界性, 得到了相应迁移方程解的渐近稳定性. Boulanouar在文献[21]中提出一类具结构化的细菌种群模型, 在紧的积分边界条件下讨论了该迁移方程的解在一致拓扑意义下的渐近行为.对更一般边界条件情况, 上述迁移算子的谱分布情况和迁移方程解的渐近稳定性情况又将如何?无疑, 还存在有待深入研究的问题.

受文献[20, 21]的启发, 本文研究具结构化的以细菌种群成熟度和成熟的速度为特征的一类迁移方程

(1.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } \frac {\partial\psi}{\partial t}(\mu, v, t)=-h(v)\frac{\partial\psi}{\partial\mu} (\mu, v, t)-\sigma(\mu, v)\psi(\mu, v, t)\\ { } {\qquad}{\qquad}\; +\int_0^c r(\mu, v, v')\psi(\mu, v', t){\rm {d}}v', \\ \psi (0, v, t)=H\psi(a, v, t), \psi (\mu, v, 0)=\psi_0(\mu, v), \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \psi(\mu, v, t) $表示由细菌成熟度$ \mu\in[0, a] $和细菌成熟速度$ v\in[0, c], (0< c<+\infty) $在时间$ t $所构成的细菌密度函数. $ h(v) $表示细菌种群速度权重因子, 为有界可测函数. $ \sigma(\mu, v) $表示种群细胞总转变截面. $ r(\mu, v, v') $表示种群细胞从到转变率. $ H $表示有界线性算子, 在生物遗传学上, 算子$ H $又表示遗传规则.由于细菌种群在成长过程中存在多种情况产生, 故边界算子$ H $存在不同的边界条件, 本文讨论方程(1.3)所具有的边界条件如下

(1.4) $ \begin{equation} H_{\alpha, \beta}\psi(0, v, t)=\alpha \psi(1, v)+\frac{\beta}{h(v)}\int^{c}_{0}\int^{a}_{0}k(\mu', v, v') \psi(\mu', v', t){\rm {d}}\mu'{\rm {d}}v', \end{equation} $

其中$ \alpha, \beta \geq 0 $.下面, 定义空间

(1.5) $ \begin{equation} X_1=L_1(\Omega), {\quad} \Omega=[0, a]\times[0, c]=I\times J, 0<a<+\infty, 0<c<+\infty. \end{equation} $

又定义Sobolev空间

(1.6) $ \begin{equation} W=\{ \psi\in X_1 \mid h(v)\frac{\partial\psi}{\partial\mu} \in X_1 \}, {\quad} Y=L_1(J, h(v){\rm {d}}v). \end{equation} $

它们分别按范数

(1.7) $ \begin{equation} \|\psi\|_{X_1}=\int_0^a\int_0^c|\psi(\mu, v)|{\rm {d}}v {\rm {d}}\mu, \end{equation} $

(1.8) $ \begin{equation} \|\psi\|_{W}=\|\psi\|+ ||h(v)\frac{\partial\psi}{\partial\mu} ||, {\quad} \|\psi\|_{Y}=\int_0^c|\psi(v)| h(v) {\rm {d}}v. \end{equation} $

又定义边界空间为

(1.9) $ \begin{equation} X_1^0=L_1(\Gamma_0;h(v){\rm d}v)=L_1(\{0\}\times\{0, c\};h(v){\rm {d}}v); \end{equation} $

(1.10) $ \begin{equation} X_1^a=L_1(\Gamma_a;h(v){\rm d}v)=L_1(\{a\}\times\{0, c\};h(v){\rm {d}}v). \end{equation} $

它们的范数分别为

(1.11) $ \begin{equation} \|\psi\|_{X_1^0}=\int_0^c|\psi(0, v)| h(v) {\rm {d}}v, \; \|\psi\|_{X_1^a}=\int_0^c|\psi(a, v)| h(v) {\rm {d}}v. \end{equation} $

下面定义Streaming算子$ T_{H_{\alpha, \beta}} $与扰动算子B如下

(1.12) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } T_{H_{\alpha, \beta}}\psi (\mu, v) = - h(v)\frac{\partial \psi }{\partial \mu}(\mu, v) - \sigma(\mu, v)\psi (\mu, v), \\ { } D(T_{H_{\alpha, \beta}}) = \left\{\psi \in W \left |\; \psi^0=H_{\alpha, \beta}\psi^a \psi^0=\psi\mid\Gamma_0, \psi^a=\psi\mid\Gamma_a\right.\right\}. \end{array} \right. \end{equation} $

(1.13) $ \begin{equation} (B\psi)(\mu, v)=\int_0^c{r(\mu, v, v')\psi(\mu, v'){\rm {d}}v'}, D(B)=X_1. \end{equation} $

于是方程$ (1.3) $相应的迁移算子$ A_{H_{\alpha, \beta}} $可表示为

(1.14) $ \begin{equation} A_{H_{\alpha, \beta}}=T_{H_{\alpha, \beta}}+B, {\quad} D(A_{H_{\alpha, \beta}})=D(T_{H_{\alpha, \beta}}). \end{equation} $

对任意的$ \varphi\in X_1, \psi\in D(T_{H_{\alpha, \beta}}) $, 令$ \sigma_0 ={\rm {ess\; inf}}\{\sigma(\mu, v), (\mu, v)\in \Delta\} $.考虑如下方程

(1.15) $ \begin{equation} (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})\psi=\varphi, \end{equation} $

当$ {\rm Re}\lambda >-\sigma_0 $时, 则方程$ (1.15) $的解为

(1.16) $ \begin{eqnarray} \psi (\mu, v)=\psi ( 0, v){\rm {e}}^{-\frac{1}{h(v)}\int^\mu_0{(\lambda+\sigma(\mu', v)){\rm {d}}\mu'}} +\frac{1}{h(v)}\int^\mu_0{{\rm {e}}^{-\frac{1}{h(v)}\int^ {\mu}_{\mu'}{(\lambda+\sigma(\xi, v)){\rm {d}}\xi}}\varphi(\mu', v){\rm {d}}\mu'}. \end{eqnarray} $

取$ \mu =a $, 方程$ (1.16) $可化为

(1.17) $ \begin{eqnarray} \psi (a, v) =\psi(0, v){\rm {e}}^{-\frac{1}{h(v)}\int^a_0{(\lambda+\sigma(\mu', v)){\rm {d}}\mu'}} +\frac{1}{h(v)}\int^a_0{{\rm {e}}^{-\frac{1}{h(v)}\int^ {a}_{\mu'}{(\lambda+\sigma(\xi, v)){\rm {d}}\xi}}\varphi(\mu', v){\rm {d}}\mu'}. \end{eqnarray} $

根据方程$ (1.16) $与$ (1.17) $可以构造算子如下

(1.18) $ \begin{equation} P_{\lambda}:X_1^0 \rightarrow X_1^a, (P_{\lambda}f)(a, v)=f(0, v){\rm {e}}^{{-\frac{1}{h(v)}\int_0^a(\lambda +\sigma(\mu', v)){\rm {d}}\mu'}}, \end{equation} $

(1.19) $ \begin{equation} Q_{\lambda}:X_1^0 \rightarrow X_1, (Q_{\lambda}f)(\mu, v)=f(0, v){\rm {e}}^{{-\frac{1}{h(v)}\int_0^{\mu}(\lambda + \sigma (\mu', v)){\rm {d}}\mu'}}, \end{equation} $

(1.20) $ \begin{equation} D_{\lambda}:X_1 \rightarrow X_1^a, (D_\lambda f)(a, v) =\frac{1}{h(v)}\int_0^a {\rm {e}}^{{-\frac{1}{h(v)}\int_{\mu'}^a(\lambda+\sigma(\xi, v)){\rm {d}}\xi}}f(\mu', v){\rm {d}}\mu', \end{equation} $

(1.21) $ \begin{equation} E_{\lambda}:X_1 \rightarrow X_1, (E_{\lambda}f)(\mu, v) =\frac{1}{h(v)}\int_0^{\mu}{\rm {e}}^{{-\frac{1}{h(v)}\int_{\mu'}^{\mu}(\lambda+\sigma(\xi, v)){\rm {d}}\xi}}f(\mu', v){\rm {d}}\mu'. \end{equation} $

当$ \lambda $满足$ {\rm Re}\lambda >-{\sigma_0} $时, 经计算可得$ P_{\lambda}, \; Q_{\lambda}, \; D_{\lambda} $与$ E_{\lambda} $都是正的有界的, 而且可得

(1.22) $ \begin{equation} \left\|P_\lambda \right\|\leq 1, \left\|Q_\lambda\right\|\leq ({\rm Re}\lambda +{\sigma_0})^{-1}, \left\|D_\lambda\right\|\leq ({\rm Re}\lambda +{\sigma_0})^{-1}, \left\|E_\lambda\right\|\leq ({\rm Re}\lambda +{\sigma_0})^{-1}. \end{equation} $

于是根据方程$ (1.16) $与$ (1.17) $可得

(1.23) $ \begin{equation} \psi^a = P_\lambda {H_{\alpha, \beta}} \psi^a +D_\lambda\varphi, \end{equation} $

(1.24) $ \begin{equation} \psi = Q_\lambda {H_{\alpha, \beta}} \psi^0 +E_\lambda\varphi. \end{equation} $

又令

$ \lambda_0= \left\{ \begin{array}{ll}-\sigma_0, &{ } \parallel H_{\alpha, \beta} \parallel \leq 1, \\ { } -\sigma_0 + \frac{c h}{a}\log(\parallel H_{\alpha, \beta}\parallel), {\quad} &\parallel H_{\alpha, \beta} \parallel > 1, \end{array} \right. $

其中$ h \geq h(v)\geq {\rm { ess\; inf}}\{ h(v)\} >0 $.当$ {\rm Re}\lambda > {\lambda_0} $时, 可以得到$ \left\|P_\lambda H_{\alpha, \beta}\right\|< 1 $, 从而可得到算子$ (I-P_\lambda H_{\alpha, \beta})^{-1} $存在, 故可以得到

(1.25) $ \begin{equation} \psi^a =(I-P_\lambda H_{\alpha, \beta})^{-1}D_\lambda\varphi, \end{equation} $

于是可得

(1.26) $ \begin{equation} \psi =Q_\lambda H_{\alpha, \beta}(I-P_\lambda H_{\alpha, \beta})^{-1}D_\lambda\varphi+E_\lambda\varphi, \end{equation} $

故当$ {\rm Re}\lambda > {\lambda_0} $时, 可得

(1.27) $ \begin{eqnarray} \left(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}} \right)^{-1} &=&Q_\lambda H_{\alpha, \beta}(I-P_\lambda H_{\alpha, \beta})^{-1}D_\lambda+E_\lambda\\ &=&\sum\limits_{n\geq 0}Q_{\lambda}H_{\alpha, \beta}(P_{\lambda}H_{\alpha, \beta})^{n}D_{\lambda}+E_{\lambda}. \end{eqnarray} $

令$ \Gamma_\omega=\{\lambda\in {\bf C}, {\rm Re}\lambda\geq\omega > \omega (U) \}, \omega (U) $为半群$ U(t) $的谱型.

定理2.1  设算子T是Banach空间$ X_1 $上半群$ U(t) $的生成元, B为$ X_1 $上的有界算子, 令$ L(\cdot) $为一个复多项式, $ L(0)=0, L(1)\neq 0 $, 若$ (\lambda -T )^{-1}L[B(\lambda -T )^{-1}] $在$ \Gamma_\omega $上紧的, 则$ \sigma(A)\cap \Gamma_{ \omega } $由至多可数个具有限代数重数的离散点$ \lambda_k $组成.

证  根据假设, 可构造多项式

(2.1) $ \begin{equation} L(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots ++a_nx^n, \end{equation} $

其中$ n\in N^+, a_1, a_2, \cdots , a_n \in {\bf C } $.于是当$ {\rm Re}\lambda > \omega (U) $时, $ L[B(\lambda -T )^{-1}] $是正则解析函数.因此, 对任意的$ \sigma > {\rm Re}\lambda $可以得到

(2.2) $ \begin{equation} || L[B(\lambda -T )^{-1}] || \leq \frac{a_1||B||}{\sigma-\omega (U)}+\frac{a_2||B||^2}{(\sigma-\omega (U))^2} +\cdots +\frac{a_n||B||^n}{(\sigma-\omega (U))^n}. \end{equation} $

故当$ {\rm Re}\lambda \rightarrow \infty $时, $ L[B(\lambda -T )^{-1}] \rightarrow 0 $.所以可得$ \mu=a_1+a_2+\cdots +a_n=\sum\limits_{i=1}^{n}\neq 0 $不是$ L[B(\lambda -T)^{-1}] $的特征值.于是根据Smul-yan定理可得:除了一组离散的值$ \lambda_k \in \Gamma_\omega $之外, $ \mu - L[B(\lambda -T )^{-1}] $处处有界, $ (\mu - L[B(\lambda -T )^{-1}])^{-1} $在每个点$ \lambda_k $处都有一个极点.由于

(2.3) $ \begin{eqnarray} \mu - L[B(\lambda -T )^{-1}]&=&a_1 (I-[B(\lambda -T )^{-1}])+a_2 (I-[B(\lambda -T )^{-1}]^2){}\\ &&+\cdots +a_n (I-[B(\lambda -T )^{-1}]^n). \end{eqnarray} $

于是得到

(2.4) $ \begin{eqnarray} [\mu I - L(B(\lambda -T )^{-1})]^{-1}&=&[a_1 (I-[B(\lambda -T )^{-1}]) +a_2 (I-[B(\lambda -T )^{-1}]^2){}\\ &&+\cdots +a_n (I-[B(\lambda -T )^{-1}]^n)]^{-1}{}\\ &=&[ a_1 (I-[B(\lambda -T )^{-1}](a_1 I+a_2 (I+(B(\lambda -T )^{-1})) )+\cdots {}\\ &&+a_n (I+(B(\lambda -T )^{-1})+\cdots +(B(\lambda -T )^{-1})^{n-1}) )]^{-1}. \end{eqnarray} $

从而我们得到

(2.5) $ \begin{eqnarray} & &[(a_1 I+a_2 (I+(B(\lambda -T )^{-1}) )+\cdots +a_n (I+(B(\lambda -T )^{-1})\\ & &+\cdots +(B(\lambda -T )^{-1})^{n-1}))]^{-1}\cdot[ \mu I - L(B(\lambda -T )^{-1})]^{-1}\\ & =&(I-B(\lambda -T ))^{-1}. \end{eqnarray} $

又令

(2.6) $ \begin{equation} \Delta_\lambda= (\lambda -T )^{-1}[I-B(\lambda -T )^{-1}]^{-1}, A_\lambda=\lambda I-A=\lambda I-T-B. \end{equation} $

从而得到

(2.7) $ \begin{equation} A_\lambda \Delta_\lambda=(\lambda -A)(\lambda -T-B)^{-1}=I. \end{equation} $

同理我们可得$ \Delta_\lambda A_\lambda =I $.从而得到当$ {\rm Re}\lambda > \omega (U) $时, 预解式$ \Delta_\lambda= (\lambda -A )^{-1} $是解析函数, 除了一组离散值$ \lambda_k $, 由于$ \Delta_\lambda=I $的任一极点是A的特征值, 而且A对应的本征函数满足方程

(2.8) $ \begin{equation} [B(\lambda_k -T)^{-1}]\varphi=\varphi. \end{equation} $

从而可得

(2.9) $ \begin{equation} (\mu -L[B(\lambda_k -T)^{-1}])\varphi=0, \end{equation} $

即

(2.10) $ \begin{equation} (L[B(\lambda_k-T)^{-1}\mu^{-1}])\varphi=\varphi, \end{equation} $

又因为$ (\lambda -T )^{-1}L[B(\lambda_k -T)^{-1}] $在$ \Gamma_\omega $上是紧的算子, 所以$ L[B(\lambda_k -T)^{-1}\mu^{-1}] $在$ \Gamma_\omega $上也是紧的算子, 从而得到该方程的解空间是有限维的, 于是得到对应于特征值$ \lambda_k $的特征函数空间也是有限维的.

令$ \Gamma_0 =\{\lambda\in {\bf C}, {\rm Re}\lambda > \lambda_0 \} $.

定理2.2  设扰动算子B是非负正则的, $ H_{\alpha, \beta} $是有界正的边界算子, 则在区间$ \Gamma_0 $内有, $ (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}B $在$ X_1 $空间是弱紧算子.

证  对任何$ {\rm Re}\lambda > \lambda_0 $有

(2.11) $ \begin{equation} (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}B=\sum\limits_{n\geq 0}^{+\infty}Q_{\lambda}{H_{\alpha, \beta}}( P_{\lambda}H_{\alpha, \beta})^{n}D_{\lambda}B +E_{\lambda}B . \end{equation} $

根据$ Q_{\lambda}, D_{\lambda}, E_{\lambda} $的有界性知

(2.12) $ \begin{eqnarray} ||(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}B || & \leq& ||Q_{\lambda}{H_{\alpha, \beta}}(I-P_{\lambda}{H_{\alpha, \beta}})^{-1}D_{\lambda}B||+||E_{\lambda}B||\\ & \leq &||Q_{\lambda}||\cdot||H_{\alpha, \beta}||\frac{||D_{\lambda}||}{1-||P_{\lambda}H_{\alpha, \beta}||} ||B||+||E_{\lambda}||\cdot||B||\\ &\leq &\frac{1}{{\rm Re}\lambda+\sigma_0}(\frac{||H_{\alpha, \beta}||}{1-||P_{\lambda}H_{\alpha, \beta}||}+1) ||B||. \end{eqnarray} $

则对任意的$ {\rm Re}\lambda>\lambda_0+\varepsilon $, 可得

(2.13) $ \begin{equation} ||(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}B|| \leq \frac{1}{\varepsilon}(\frac{||{H_{\alpha, \beta}}||}{1-{\rm {e}}^{-\frac{a\varepsilon}{c}}||{H_{\alpha, \beta}}||}+1) ||B||. \end{equation} $

又由于$ (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}B $在区间$ \{\lambda\in {\bf C}, {\rm Re}\lambda > \lambda_0 +\varepsilon\} $内连续.下面证明算子$ Q_{\lambda}{H_{\alpha, \beta}}(I-P_{\lambda}{H_{\alpha, \beta}})^{-1}D_{\lambda}B $与$ E_{\lambda}B $都在空间$ X_1 $上是弱紧的.事实上, 对任何的$ \varphi \in X_1 $, 算子$ D_\lambda B $可表示为

(2.14) $ \begin{eqnarray} (D_\lambda B\varphi)(v)=\int^{c}_{0}\int^{a}_{0}\frac{\eta(\mu)\alpha(v)}{h(v)}{\rm {e}}^{-\frac{1}{h(v)}\int^{a}_{\mu}{(\lambda+\sigma(\xi, v)){\rm {d}}\xi}} \beta(v')\varphi(\mu, v){\rm {d}}\mu {\rm {d}}v' =L_\lambda R , \end{eqnarray} $

其中$ \eta(\cdot)\in L_\infty ([0, a];{\rm d}\mu), \alpha(\cdot)\in L_1 ([0, c];{\rm d}v) $, $ \beta(\cdot)\in L_\infty ([0, c];{\rm d}v) $, 算子$ L_\lambda $与$ R $的定义如下

(2.15) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} L_\lambda:&L_1([0, a];{\rm {d}}\mu)\rightarrow X^a_1 , \\ &{ } f\rightarrow (L_\lambda f)(v)=\int^{a}_{0}\frac{\eta(\mu)\alpha(v)}{h(v)} {\rm {e}}^{-\frac{1}{h(v)}\int^{a}_{\mu}{(\lambda+\sigma(\xi, v)){\rm {d}}\xi}}f(\mu){\rm {d}}\mu . \end{array} \right. \end{equation} $

(2.16) $ \begin{equation} R:X_1\rightarrow L_1([0, a];{\rm {d}}\mu), {\quad} f\rightarrow (Rf)(\mu)=\int^{c}_{0}\beta(v)\varphi(\mu, v) {\rm {d}}v, \end{equation} $

于是当$ h(v)\leq v $时, 对任何的有界集$ U \subseteq L_1([0, A];{\rm d}\mu) $和$ \varphi\in U $有

(2.17) $ \begin{equation} \int_E|(L_\lambda \varphi)(v)|v {\rm {d}}v\leq || \eta ||^1_\infty ||\varphi||\int_E|\alpha(v)|v{\rm {d}}v, \end{equation} $

其中$ E\subseteq [0, c] $.因为$ \int_E|\alpha(v)| {\rm {d}}v=0, $所以得到算子$ L_\lambda $在空间$ X_1 $上是弱紧的, 而算子$ R $有界, 从而算子$ D_\lambda B $在空间$ X_1 $上弱紧.同理可证明算子$ E_\lambda B $在空间$ X_1 $上弱紧.最后, 因为算子$ Q_\lambda $有界且$ {H_{\alpha, \beta}} $是有界正的, 所以得到算子$ (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}B $在$ X_1 $空间是弱紧的.

定理2.3  设扰动算子B非负正则的, 边界算子$ H_{\alpha, \beta} $是有界正的, 则区间$ \Gamma_{\alpha, \beta}= \sigma(A_{H_{\alpha, \beta}})\cap\Gamma_0 $由至多可数个具有限代数重数的离散本征值所组成, 而且对于任意的$ \psi_0 \in D (A_{H_{\alpha, \beta}}) $, 可得

(2.18) $ \begin{equation} \psi(t)=R(t)+\sum\limits^n_{j=1} {\rm {e}}^{\lambda_j t}{\rm {e}}^{ D_j t}P_j \psi_0 , \end{equation} $

其中

(2.19) $ \begin{equation} R(t)=\lim\limits_{\gamma \rightarrow +\infty }\frac{1}{2\pi {\rm i}}\int ^{\delta+{\rm i}\gamma}_{\delta- {\rm i}\gamma}{\rm {e}}^{\lambda t}(\lambda-A_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}\psi_0 {\rm {d}}\lambda, \end{equation} $

$ \delta_1<\delta<\delta_2 $，$ D_j, P_j $分别表示由$ \lambda_j (1\leq j \leq n) $对应的幂零算子.

证  根据定理$ 2.1 $可得算子$ (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}B $在$ L_1 $空间上是弱紧的, 故可得到$ [(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}B]^2 $在$ L_1 $空间上是弱紧的.因此, 考虑复多项式$ L(x)=ax^2 (x\neq 0) $, 则算子$ (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}L[(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}] $在$ \Gamma_0 $是紧的, 于是又由定理2.1可得$ \Gamma_{\alpha, \beta} $由至多可数个具有限代数重数的离散本征值所组成.不妨设

(2.20) $ \begin{equation} \sigma (A_{H_{\alpha, \beta}}) \cap \Gamma_0=\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n\}. \end{equation} $

令$ \delta_1=\sup \{{\rm Re}\lambda, \lambda\in \sigma(A_{H_{\alpha, \beta}}), {\rm Re}\lambda < \lambda_0+ \varepsilon \}, \delta_2=\min \{{\rm Re}\lambda_j, 1\leq j \leq n\} $, 则存在$ \delta (\delta_1<\delta<\delta_2) $, 当$ \psi_0 \in D(A_{H_{\alpha, \beta}}) $, 可得方程(2.18)–(2.19)成立.

定理2.4  若扰动算子B非负正则的, 当$ { }\lim\limits_{{\rm Re}\lambda\rightarrow \lambda_0} r_\sigma(P_\lambda H_{0, \beta})>1 $时, 则迁移算子$ A_{H_{\alpha, \beta}} $的谱$ \sigma(A_{H_{\alpha, \beta}}) $在带域$ \Gamma_{\alpha, \beta} $仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成.

证  根据方程(1.23)得到

(2.21) $ \begin{equation} \psi^a = P_\lambda {H_{\alpha, 0}} \psi^a +P_\lambda {H_{0, \beta}} \psi^a + D_\lambda\varphi, \end{equation} $

因为当$ \lambda > \lambda_0 $则$ I-P_\lambda {H_{0, \beta}} $有界可逆算子, 于是方程(2.21)可化为

(2.22) $ \begin{equation} \psi^a = F_\lambda \psi^a +L_\lambda\varphi, \end{equation} $

其中$ F_\lambda =(I-P_\lambda {H_{0, \beta}})^{-1} P_\lambda {H_{\alpha, 0}}, L_\lambda =(I-P_\lambda {H_{0, \beta}})^{-1} D_\lambda . $当$ \lambda > \lambda_0 > \lambda_1 $时, 有

(2.23) $ \begin{equation} (I-P_\lambda {H_{0, \beta}})^{-1} \leq (I-P_{\lambda_1} {H_{0, \beta}})^{-1}. \end{equation} $

所以得到

(2.24) $ \begin{equation} (F_\lambda)^3 = (I-P_\lambda {H_{0, \beta}})^{-1} P_\lambda {H_{0, \beta}}(F_\lambda)^2 \leq (I-P_{\lambda_1} {H_{0, \beta}})^{-1} P_{\lambda_1} {H_{0, \beta}}(F_\lambda)^2. \end{equation} $

因为$ {H_{0, \beta}} $在$ X_1 $上是弱紧的, 则$ F_\lambda $在$ X_1 $上也是弱紧的, 从而得到$ (F_\lambda)^2 $在$ X_1 $上也是弱紧的, 所以可得

(2.25) $ \begin{equation} ||(F_\lambda)^3 || \leq ||(I-P_{\lambda_1} {H_{0, \beta}})^{-1} || ||P_{\lambda_1} {H_{0, \beta}}(F_\lambda)^2||. \end{equation} $

因为当$ \lambda\rightarrow \infty $时，方程(2.25)右端趋于0, 于是可得到

(2.26) $ \begin{equation} \lim\limits_{\lambda\rightarrow \infty}\sigma_{(F_\lambda)} =0. \end{equation} $

根据谱映象定理知, $ F_\lambda $关于$ \lambda $的连续递减函数.事实上

(2.27) $ \begin{equation} \lambda\in\sigma_p(A_{H_{\alpha, \beta}})\neq \emptyset \Leftrightarrow 1\in \sigma(F_\lambda ), \end{equation} $

因此, 我们只需证明

(2.28) $ \begin{equation} \lambda\in\sigma_p(A_{H_{\alpha, \beta}})\neq \emptyset \Leftrightarrow \lim\limits_{\lambda\rightarrow \lambda_0}r_{\sigma}(F_\lambda) >1. \end{equation} $

故由文献[16]得到

(2.29) $ \begin{equation} F_\lambda \geq P_\lambda H_{0, \beta}, {\quad} \lim\limits_{\lambda\rightarrow \lambda_0}r_{\sigma}(F_\lambda)\geq \lim\limits_{\lambda\rightarrow \lambda_0}r_{\sigma}(P_\lambda H_{0, \beta}) \end{equation} $

因此, 根据$ F_\lambda $关于$ \lambda $的连续递减函数与(2.29)式知:存在$ \lambda^* > \lambda_0 $, 使得$ r_{\sigma}(F_{\lambda^*})=1 $, 从而得到$ \lambda^*\in\sigma_p(A_{H_{\alpha, \beta}})\neq \emptyset. $最后, 根据定理2.3得到迁移算子$ A_{H_{\alpha, \beta}} $的谱$ \sigma(A_{H_{\alpha, \beta}}) $在带域$ \Gamma_{\alpha, \beta} $仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成.

定理2.5  设扰动算子B非负正则的, 边界算子$ H_{\alpha, \beta} $是有界正的, 则对任意的$ \varepsilon>0 $, 存在正数M, 使得

(2.30) $ \begin{equation} ||V_{H_{\alpha, \beta}}(t)(I-P)||_X \leq M {\rm {e}}^{(\varepsilon+{\rm Re}\lambda_{n+1})t} , {\quad} t>0, \end{equation} $

其中$ P=P_1+ P_2+\cdots +P_n $是紧集$ \{\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n\} $上的投影算子.

证  对任意的$ \varepsilon> 0 $, 令$ \Gamma_{n, \varepsilon}=\{ \lambda\in {\bf C }: {\rm Re}\lambda > \beta_{n, \varepsilon} -\frac{\varepsilon}{2} \}, \beta_{n, \varepsilon}= {\rm Re}\lambda_{n+1 }+\varepsilon $, 定义函数

(2.31) $ \begin{equation} \Xi(\lambda)=(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}[B(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1} ]^m B(\lambda -A_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}(I-P)\psi. \end{equation} $

当$ \omega>\lambda_0 $, 则由定理2.2知存在$ C(\omega) $, 使得$ |{\rm Im}\lambda| || (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}B || $在区间$ \{\lambda\in {\bf C }, {\rm Re}\lambda \geq \omega , |{\rm Im}\lambda|\geq C(\omega) \} $上是有界的.又因为$ || (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}|| $在区间$ \{\lambda\in {\bf C }, {\rm Re}\lambda \geq \omega , |{\rm Im}\lambda|\geq C(\omega) \} $一致有界.于是得到

(2.32) $ \begin{eqnarray} &&|{\rm Im}\lambda| || (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1} B(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}B (\lambda -A_{H_{\alpha, \beta}})^{-1} || \\ &\leq&|{\rm Im}\lambda| ||(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}B||^2 ||(\lambda -A_{H_{\alpha, \beta}})^{-1} ||. \end{eqnarray} $

从而可得$ |{\rm Im}\lambda| || (\lambda-T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1} B(\lambda-T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}B(\lambda-A_{H_{\alpha, \beta}})^{-1} || $在区间$ \{\lambda\in {\bf C }, {\rm Re}\lambda \geq \omega, |{\rm Im}\lambda|\geq C(\omega) \} $上有界.于是存在$ \eta >0 $, 使得

(2.33) $ \begin{equation} ||\Xi(\lambda)||\leq \frac{\eta}{|Im \lambda |^{r_0}} \end{equation} $

在$ \Gamma_{n, \varepsilon} $一致成立.由于$ \Xi(\lambda) $在$ \Gamma_{n, \varepsilon} $上是解析的, 故对任意$ t\geq 0 $, 可得

(2.34) $ \begin{equation} \alpha(t)=\frac{1}{2\pi {\rm i}}\int_{\tau -{\rm i}\infty}^{\tau +{\rm i}\infty} {\rm {e}}^{\lambda t} \Xi(\lambda){\rm {d}}\lambda. \end{equation} $

由于$ \alpha(t) $是连续函数, 而且满足

(2.35) $ \begin{equation} \int_{0}^{\infty} {\rm {e}}^{-\lambda t}\alpha(t){\rm {d}}t= \Xi(\lambda), \end{equation} $

其中$ \tau > \max \{0, \beta_{n, \varepsilon} \} $.又令

$ W(t)=V_{H_{\alpha, \beta}}(t)(I-P)-\sum\limits_{k\geq 0}^{m}U_k(t). $

则对任意的$ t \geq 0 $, 可得$ W(t) $是强连续的, 故可得对任意的$ \psi \in X_1 $, 我们得到

(2.36) $ \begin{equation} W(t)(I-P)\psi=V_{H_{\alpha, \beta}}(t)(I-P)\psi-\sum\limits_{k\geq 0}^{m}U_k(t)(I-P)\psi. \end{equation} $

于是对任意的$ k\in N $, 当$ {\rm Re}\lambda > \omega(U) $时, 我们可得

(2.37) $ \begin{equation} \int_0^\infty {\rm {e}}^{-\lambda t}U_k(t)\psi {\rm {d}}t= (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}[B(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1} ]^k \psi, \end{equation} $

而且

(2.38) $ \begin{equation} || U_k(t)|| \leq {\rm {e}}^{(\omega(U)+\varepsilon)t} {M_1}^{k+1}\frac{|| B ||^k t^k}{k!} , \end{equation} $

其中$ M_1\geq 1 $.于是得到对任意的$ t \geq 0 $, 有

(2.39) $ \begin{equation} || U_k(t)|| \leq {M_1}{\rm {e}}^{(\omega(U)+\varepsilon)t}. \end{equation} $

于是由方程(2.36)和(2.37)可得

(2.40) $ \begin{eqnarray} &&\int_0^\infty {\rm {e}}^{-\lambda t}W(t)(I-P)\psi {\rm {d}}t{}\\ &=& (\lambda -A_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}(I-P)\psi-\sum _{k=0}^m (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}[B(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1} ]^k(I-P)\psi. \end{eqnarray} $

事实上, 因为

(2.41) $ \begin{equation} (\lambda -A_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}[B(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1} ]^k, \end{equation} $

则有

(2.42) $ \begin{eqnarray} \int_0^\infty {\rm {e}}^{-\lambda t}W(t)(I-P)\psi {\rm {d}}t &=&\sum _{k=m+1}^\infty (\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}[B(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1} ]^k(I-P)\psi \\ &=&(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}[B(\lambda -T_{H_{\alpha, \beta}})^{-1} ]^m B(\lambda -A_{H_{\alpha, \beta}})^{-1}(I-P)\psi. {\qquad} \end{eqnarray} $

因此

(2.43) $ \begin{equation} \Xi(\lambda)=\int_0^\infty {\rm {e}}^{-\lambda t}W(t)(I-P)\psi {\rm {d}}t. \end{equation} $

于是根据拉普拉斯积分的唯一性, 由方程(2.35)与(2.42)得到

(2.44) $ \begin{equation} W(t)(I-P)\psi=\alpha(t). \end{equation} $

从而可得

(2.45) $ \begin{eqnarray} \alpha(t)&=& \frac{1}{2\pi {\rm i}} \lim\limits_{y\rightarrow +\infty} \Big( \int_{\beta_{n, \varepsilon} -{\rm i}y}^{\beta_{n, \varepsilon} +{\rm i}y}{\rm {e}}^{-\lambda t} \Xi(\lambda){\rm {d}}\lambda \\ && + \int_{\beta_{n, \varepsilon}}^{\tau}{\rm {e}}^{(x+{\rm i}y)t} \Xi(x+{\rm i}y){\rm {d}}x - \int_{\beta_{n, \varepsilon}}^{\tau}{\rm {e}}^{(x-{\rm i}y)t} \Xi(x-{\rm i}y){\rm {d}}x \Big). \end{eqnarray} $

根据方程(2.33)与Lebesgue控制收敛定理可得

(2.46) $ \begin{equation} \lim\limits_{y\rightarrow +\infty}\int_{\beta_{n, \varepsilon}}^{\tau}{\rm {e}}^{(x+{\rm i}y)t} \Xi(x+{\rm i}y){\rm {d}}x =\lim\limits_{y\rightarrow +\infty}\int_{\beta_{n, \varepsilon}}^{\tau}{\rm {e}}^{(x-{\rm i}y)t} \Xi(x-{\rm i}y){\rm {d}}x. \end{equation} $

因此可得

(2.47) $ \begin{equation} \alpha(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\beta_{n, \varepsilon} -{\rm i}y}^{\beta_{n, \varepsilon} +{\rm i}y} {\rm {e}}^{\lambda t}\Xi(\lambda){\rm {d}}\lambda, \end{equation} $

又因为

(2.48) $ \begin{eqnarray} ||\alpha(t)||\leq \frac{1}{2\pi } {\rm {e}}^{\beta_{n, \varepsilon} t}\int_{-\infty}^{+\infty}|| \Xi(\beta_{n, \varepsilon} +{\rm i}y) ||{\rm {d}}y. \end{eqnarray} $

从而可以得到

(2.49) $ \begin{eqnarray} ||\alpha(t)||\leq \frac{\eta}{2\pi |{\rm Im}\lambda_{n+1}|^{r_0}} {\rm {e}}^{\beta_{n, \varepsilon}t}. \end{eqnarray} $

最后, 根据方程(2.35), (2.37)与(2.49)得到

(2.50) $ \begin{eqnarray} || V_{\alpha, \beta}(t)(I-P) ||&\leq & || W(t)(I-P) || + \sum\limits_{k\geq 0}^{m}U_k(t)(I-P)||\\ &\leq &\frac{\eta}{2\pi |{\rm Im}\lambda_{n+1}|^{r_0} }{\rm {e}}^{\beta_{n, \varepsilon} t} + \sum _{k=0}^m {\rm {e}}^{(\omega(U)+\varepsilon)t} {M_1}^{k+1}\frac{|| B ||^k t^k}{k!} \\ &\leq &M {\rm {e}}^{\beta_{n, \varepsilon} t}=M {\rm {e}}^{({\rm Re}\lambda_{n+1}+\varepsilon)t}, \end{eqnarray} $

其中

$ M = \sup\limits_{t\geq 0 }\bigg( \frac{\eta}{2\pi |{\rm Im}\lambda_{n+1}|^{r_0} }+ {\rm {e}}^{(\omega(U)+{\rm Re}\lambda_{n+1})t}\sum\limits_{k=0}^m {\rm {e}}^{(\omega(U)+\varepsilon)t} {M_1}^{k+1}\frac{|| B ||^k t^k}{k!}\bigg). $

定理2.5得证.