在许多物理问题, 以及天文学, 力学, 金融系统等领域, 我们经常遇到大量的非线性方程. 随着科学的不断发展, 对此类方程求出精确解问题受到人们的广泛关注. 目前已经有很多求精确解的方法^[1-7], 其中Hirota双线性方法通常被认为是求解非线性方程组孤子解的一种简便而直接的方法. 近期, 马文秀教授提出了Hirota $ N $ -孤子条件, 用于检验微分方程的$ N $ -孤子解的存在性并将此方法应用于多个微分方程中, 其中包括(1+1) 维的广义KdV方程、高阶KdV方程以及(2+1)维的KdV方程、Kadomtsev-Petviashvili方程、Hirota-Satsuma-Ito方程和B-type Kadomtsev-Petviashvili方程等重要的微分方程^[8-12]. Lump波解、呼吸波解在光学介质、等离子体和浅水波等非线性领域中都有广泛研究^[13-15]. 上世纪70年代, Ablowitz和Satsuma两人提出长波极限思想, 用于求出非线性微分方程的有理解^{[16, 17]}. 目前人们更关注lump解、呼吸波解以及它们之间的相互作用解^[18-22]. 贺劲松课题组利用Kadomtsev-Petviashvili簇的约化方法获得了多个微分方程的双域二维怪波解^[23-25]. 该课题组在利用长波极限思想研究呼吸波解、怪波解方面也做出了突出贡献^[26]. 基于长波极限思想该文考虑了$ (3+1) $ -维Hirota方程^{[27, 28]}

(1.1) $ \begin{align} u_{ty}-u_{xxxy}-3(u_{x}u_{y})_{x}-3u_{xx}+3u_{zz}=0, \end{align} $

该方程是由KdV方程推广而得到, 可用于描述等离子体物理和流体力学中的非线性波. 对方程(1.1)人们已做了大量的工作. 在文献[27, 28]中得到了两个共振多波解, 孤立波解、呼吸波解和流氓波解. 文献[29]中, 得到了两种维数约化$ z=y $和$ z=t $情况下的lump解. 对于维数约化$ z=x $情况的讨论较少, 只在文献[30]中, 讨论了$ z=x $情况下的lump解和可积性. 对于$ z=x $约化下, 方程(1.1)的高阶lump解, 半有理解还没有被讨论. 该文主要目的是利用长波极限方法构造方程(1.1) 在维数约化$ z=x $情况下的呼吸波解、lump波解和半有理解.

方程(1.1)在维数约化$ z=x $情况下, 化为

(2.1) $ \begin{align} u_{ty}-u_{xxxy}-3u_{xx}u_{y}-3u_{x}u_{xy}=0, \end{align} $

为便于求出方程(2.1)的双线性形式, 对方程(2.1)中的变量$ u $做变换

$ u(x, y, t)=\gamma y+v(x, y, t), $

其中$ \gamma $是任意常数^[30], 则方程(2.1)转化为

(2.2) $ \begin{align} v_{ty}-v_{xxxy}-3v_{xx}u_{y}-3v_{x}v_{xy}-3\gamma v_{xx}=0. \end{align} $

为了将上式转化成合适的$ P $ -多项式, 从而进一步获得其双线性形式, 考虑如下的变换

(2.3) $ \begin{align} v=c(t)q_{x}, \end{align} $

其中$ c(t) $是待定的自由函数. 将(2.3)式代入(2.2)式, 并关于$ x $积分一次, 取$ c(t)=1 $, 可得到

(2.4) $ \begin{align} E(q)=q_{yt}-q_{xxxy}-3q_{2x}q_{2xy}-3\gamma q_{2x}=0. \end{align} $

根据贝尔多项式相关理论, (2.4)式可以写成如下$ P $ -多项式形式

(2.5) $ \begin{align} E(q)=P_{yt}(q)+P_{xxxy}(q)-3\gamma P_{2x}(Q)=0. \end{align} $

进一步, 在下面的变换下

$ q=2(\ln f)\leftrightarrow v=c(t)q_{x}=2(\ln f)_{x}, $

可以得到方程(2.2)的双线性表示形式为

(2.6) $ \begin{align} {\cal D}(D_{t}, D_{x}, D_{y})\equiv(D_{t}D_{y}-D_{x}^{3} D_{y}-3\gamma D_{x}^2)f\cdot f=0. \end{align} $

这一节, 先利用Hirota直接方法给出方程(1.1)的$ N $ -阶孤子解, 再对$ N $ -阶孤子解中的参数做某种约束获得$ n $ -阶呼吸波解. 利用经典的Hirota直接方法可以给出(2.6)式的$ N $ -阶孤子解表达式为

(3.1) $ \begin{equation} v=2(\ln f_{N})_{x}, \end{equation} $

其中

(3.2) $ \begin{equation} f_{N}=\sum\limits_{\rho=0, 1}{\rm exp} \bigg(\sum\limits_{j=1}^{N}\rho_{j}\eta_{j}+\sum\limits_{1\leq j<i\leq N}^{N}\rho_{i}\rho_{j}A_{ij}\bigg), \end{equation} $

$ e^{A_{ij}}=\frac{-3\nu_{i}\nu_{j}(\mu_{i}-\mu_{j})(\mu_{i}\nu_{i}-\mu_{j}\nu_{j})+3\gamma(\nu_{i}-\nu_{j})^{2}}{-3\nu_{i}\nu_{j}(\mu_{i}+\mu_{j})(\mu_{i}\nu_{i}+\mu_{j}\nu_{j})+3\gamma(\nu_{i}-\nu_{j})^{2}}, $

(3.3) $ \begin{equation} \eta_{j}=\mu_{j}(x+\nu_{j}y+(\mu_{j}^2+\frac{3\gamma}{\nu_{j}^{2}})t)+\eta_{j}^{0}, \end{equation} $

$ \mu_{j}, \nu_{j} $是自由参数, $ \eta_{j}^{0} $是相位常量, 而$ \sum\limits_{\rho=0, 1} $表示当$ \rho_{i}, \rho_{j} $$ (i, j=0, 1, 2, \cdots , N) $取遍$ 0, 1 $时所有可能的组合之和.

由文献[20]中所述, 对(3.2)和(3.3)式中取如下的参数约束, 可以获得方程(1.1)的$ n $ -阶呼吸波解

(3.4) $ \begin{equation} N=2n, \quad\mu_{j}^{*}=\mu_{j+1}, \quad\nu_{j}^{*}=\mu_{j+1}, \quad\eta_{j}^{*}=\eta_{j+1}. \end{equation} $

下面取定适当参数来刻画$ N=2 $时的$ 1 $ -阶呼吸波解, 取

(3.5) $ \begin{equation} \gamma=\frac{1}{3}, \quad\mu_{1}^{*}=\mu_{2}=-{\rm i}, \quad\nu_{1}^{*}=\mu_{2}=0.5-0.5{\rm i}, \quad\eta_{1}^{0}=\eta_{2}^{0}, \end{equation} $

则(3.2)式中$ f_{2} $可以相应地写成

(3.6) $ \begin{eqnarray} f_{2}&=&1+2\sinh(3t-0.5y)\cos(-x-0.5y+4t){}\\ &&+2\cosh(0.5y+3t)\cos(-x-0.5y+4t)- 2\sinh(6t+y)+2\cosh(6t+y). \end{eqnarray} $

图 1刻画了方程(1.1)的呼吸波解在参数选择(3.5)式下的物理学特征. 从图 1不难发现, $ 1 $ -阶呼吸波解沿$ x $轴方向是周期性传播, 而$ y $轴方向是局域的. 图 1(c)刻画了$ t=0 $时分别在$ y=-3, y=0, y=3 $时沿$ x $轴的传播特征.

本节, 利用长波极限方法获得方程(1.1)的高阶lump波解. 对(3.2)式中的相位参数取$ \exp(\eta_{j}^{0})=-1, (1\leq j\leq N) $, 并让$ \mu_{j}\rightarrow 0 $时, 可获得方程(1.1) 的高阶lump波解如下

(4.1) $ \begin{equation} u=\gamma y+3(\ln f_{N})_{x}, \end{equation} $

其中

(4.2) $ \begin{eqnarray} f_{N}&=&\prod\limits_{i=1}^{N}\theta_{i}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i, j}^{N}A_{ij}\prod\limits_{\rho\ne i, j}^{N}\theta_{\rho}+\cdots{}\\ &&+\frac{1}{M!2^{M}}\times\sum\limits_{i, j, \cdots, m, l}^{N} \mathop{ \overbrace{A_{ij}A_{k\rho}\cdots A_{ml}}}\limits^M \times\prod\limits_{q\ne i, j, \cdots, m, l}\theta_{q}+\cdots, \end{eqnarray} $

且

(4.3) $ \begin{equation} \theta_{i}=x+\frac{3\gamma}{\nu_{i}}t+\nu_{i}y, \quad A_{ij}=\frac{2\nu_{i}\nu_{j}(\nu_{i}+\nu_{j})}{\gamma(\nu_{i}-\nu_{j})^2}, \quad \gamma\ne0. \end{equation} $

值得注意的是为获得非奇异的lump波解, 参数$ \nu_{i} $之间满足$ \nu_{i}^{*}=\nu_{n+i} $$ (i=1, 2, \cdots, n), $并且要求是虚数.

为获得$ 1 $ -阶lump波解, 选取$ n=1, N=2 $, 则(4.2)式可以写成

(4.4) $ \begin{equation} f_{2}=\theta_{1}\theta_{2}+A_{12}, \end{equation} $

其中

$ \theta_{i}=x+\nu_{i}y+\frac{3\gamma}{\nu_{i}}, \quad i=1, 2, $

(4.5) $ \begin{equation} A_{12}=\frac{2\nu_{1}\nu_{2}(\nu_{1}+\nu_{2})}{\gamma((\nu_{1}-\nu_{2})^2)}. \end{equation} $

在(4.5)式中对$ \nu_{1}, \nu_{2} $选取如下共轭形式

(4.6) $ \begin{equation} \nu_{1}=\nu_{2}^{*}=\sigma_{R}+\sigma_{I}{\rm i}, \end{equation} $

则可以获得$ 1 $ -阶lump波解为

(4.7) $ \begin{equation} v(x, y, t)=2(\ln f_{2})_{x}, \end{equation} $

其中

(4.8) $ \begin{eqnarray} f_{2}&=&x^2+(\sigma_{R}^{2}+\sigma_{I}^2)y^2+\frac{9\gamma^2}{(\sigma_{R}^{2}+\sigma_{I}^2)}t^2+2\sigma_{I}xy+\frac{6\gamma(\sigma_{R}^{2}-\sigma_{I}^2)}{(\sigma_{R}^{2}+\sigma_{I}^2)}yt\\ &&+\frac{6\gamma\sigma_{R}}{(\sigma_{R}^{2}+\sigma_{I}^2)}xt-\frac{\sigma_{R}(\sigma_{R}^{2}+\sigma_{I}^2)}{\gamma\sigma_{I}^2}, \end{eqnarray} $

$ \sigma_{R}, \sigma_{I} $是任意实参数. 显然从$ f_{2} $的表示式可以看出, 求lump波解的方法与其他求lump波解的方法一样, 都是利用二次正定函数. 进一步, 可以得出$ 1 $ -阶lump波解移动的路径为

(4.9) $ \begin{equation} x(t)=\frac{-6\gamma\sigma_{R}t}{(\sigma_{R}^{2}+\sigma_{I}^2)}, \quad y(t)=\frac{3\gamma t}{(\sigma_{R}^{2}+\sigma_{I}^2)}, \end{equation} $

即$ 1 $ -阶lump波解沿着如下直线传播

(4.10) $ \begin{equation} y=-\frac{x}{2\sigma_{R}}. \end{equation} $

图 2刻画了方程(1.1)的$ 1 $ -阶lump波解在适当参数下的物理学特征. 图 2(c)表示lump波随时间演化的过程, 即沿着蓝色直线$ y=-\frac{x}{2} $移动. 不难发现, 随着时间的演化lump波始终保持不变.

当$ n=2, N=4 $时可以获得$ 2 $ -阶lump波解, (4.2)式可以改写成如下形式

(4.11) $ \begin{eqnarray} f_{4}&=&\theta_{1}\theta_{2}\theta_{3}\theta_{4}+A_{12}\theta_{3}\theta_{4}+A_{13}\theta_{2}\theta_{4}+A_{14}\theta_{2}\theta_{3}+A_{23}\theta_{1}\theta_{4}{}\\ &&+A_{24}\theta_{1}\theta_{3}+A_{34}\theta_{1}\theta_{2}+A_{12}A_{34}+A_{13}A_{24}+A_{14}A_{23}, \end{eqnarray} $

其中

(4.12) $ \begin{equation} \theta_{i}=x+\frac{3\gamma}{\nu_{i}}t+\nu_{i}y, \quad A_{ij}=\frac{2\nu_{i}\nu_{j}(\nu_{i}+\nu_{j})}{\gamma(\nu_{i}-\nu_{j})^2}, \quad \gamma\ne0, \end{equation} $

取

$ \nu_{1}=\sigma_{R}+\sigma_{I}{\rm i}, \nu_{2}=\omega_{R}+\omega_{I}{\rm i}, $

从而有

$ \nu_{1}=\nu_{3}^{*}=\sigma_{R}+\sigma_{I}{\rm i}, \nu_{2}=\nu_{4}^{*}=\omega_{R}+\omega_{I}{\rm i}, $

其中$ \sigma_{R}, \sigma_{I}, \omega_{R}, \omega_{I} $均是实参数.

图 3刻画了方程(1.1)的$ 2 $ -阶lump波在适当参数下的物理学特征. 从图 3可以验证, 随着时间的演化, $ 2 $ -阶lump波的波峰和形状一直保持相对稳定.

这一节, 对(3.2)式中的部分指数函数取长波极限从而获得方程(1.1)的半有理解. 即在(3.2)式中取$ \eta_{k}^{0}=j\pi, (1\leq k\leq 2i, 0<2i<N) $, 并令$ \mu_{j}\to0 $, 以及$ \nu_{k}=\nu_{i+k}^{*} $$ (1\leq k\leq 2i, 0<2i<N) $. 下面获得两类半有理解.

首先我们研究$ 1 $ -阶lump波解和单孤子解的混合解. 根据上面的描述, 参数的选取为$ N=3 $, $ \eta_{1}^0=\eta_{2}^0={\rm i}\pi, $并在(3.2)式中令$ \mu_{1}, \mu_{2}\to 0, $则可得

(5.1) $ \begin{equation} f=(\theta_{1}\theta_{2}+A_{12})+(\theta_{1}\theta_{2}+A_{12}+A_{13}\theta_{2}+A_{23}\theta_{1}+A_{12}A_{23})e^{\eta_{3}}, \end{equation} $

其中

(5.2) $ \begin{equation} A_{i3}=\frac{2\nu_{i}\nu_{3}\mu_{3}(\nu_{i}+\nu_{3})}{-\nu_{i}\mu_{3}^4+\gamma(\nu_{i}-\nu_{3})^2}, \quad i=1, 2, \end{equation} $

$ \eta_{3} $以及$ \theta_{1}, \theta_{2}, A_{12} $分别由(3.3)式, (4.5)式给出. 令

$ \nu_{1}=\sigma_{R}+\sigma_{I}{\rm i}, \nu_{2}=\nu_{1}^{*}, $

其中$ \sigma_{R}, \sigma_{I}, \nu_{3}, \mu_{3} $都是实常数. 将(5.1)式代入(3.1)式可得到其相应的半有理解.

图 4表示的是$ 1 $ -阶lump波解与单孤子解之间的混合解在适当参数下的物理学特征. 从三个不同时间的图像可知, 在某一时刻$ 1 $ -阶lump解和单孤子解会进行碰撞, 之后又各自恢复原来的振幅和形状.

接下来我们研究2-阶lump解和单孤子解的混合解. 为此, 参数的选取为$ N=5, $$ \eta_{1}^0=\eta_{2}^0=\eta_{3}^0=\eta_{4}^0={\rm i}\pi, $并在(3.2)式中令$ \mu_{i}\to 0 $$ (i=1, 2, 3, 4), $则可得

(5.3) $ \begin{eqnarray} f&=&(\theta_{1}\theta_{2}\theta_{3}\theta_{4}+A_{12}\theta_{3}\theta_{4}+A_{13}\theta_{2}\theta_{4}+A_{14}\theta_{2}\theta_{3}+A_{23}\theta_{1}\theta_{4}+ A_{24}\theta_{1}\theta_{3} +A_{34}\theta_{1}\theta_{2}+A_{12}A_{34}\\ &&+A_{13}A_{24}+A_{14}A_{23})+e^{\eta_{5}}[\theta_{1}\theta_{2}\theta_{3}\theta_{4}+A_{45}\theta_{1}\theta_{2}\theta_{3}+A_{35}\theta_{1}\theta_{2}\theta_{4}+A_{25}\theta_{1}\theta_{3}\theta_{4}\\ &&+A_{15}\theta_{2}\theta_{3}\theta_{4}+(A_{35}A_{45}+A_{34})\theta_{1}\theta_{2}+(A_{25}A_{45}+A_{24})\theta_{1}\theta_{3}+(A_{25}A_{35}+A_{23})\theta_{1}\theta_{4}\\ &&+(A_{15}A_{45}+A_{14})\theta_{2}\theta_{3}+(A_{15}A_{35}+A_{13})\theta_{2}\theta_{4}+(A_{15}A_{25}+A_{12})\theta_{3}\theta_{4}+(A_{25}A_{35}A_{45}\\ &&+A_{23}A_{45}+A_{25}A_{34}+A_{24}A_{35})\theta_{1}+(A_{15}A_{35}A_{45}+A_{14}A_{35}+A_{13}A_{45}+A_{15}A_{34})\theta_{2}\\ &&+(A_{15}A_{25}A_{45}+A_{14}A_{25}+A_{15}A_{24}+A_{12}A_{45})\theta_{3}+(A_{15}A_{25}A_{35}+A_{15}A_{23}+A_{13}A_{25}\\ &&+A_{12}A_{35})\theta_{4}+A_{12}A_{34}+A_{13}A_{24}+A_{14}A_{23}+A_{12}A_{35}A_{45}+A_{13}A_{25}A_{45}\\ &&+A_{14}A_{25}A_{35}+A_{15}A_{24}A_{35}+A_{15}A_{25}A_{34}+A_{15}A_{23}A_{45}+A_{15}A_{25}A_{35}A_{45}], \end{eqnarray} $

其中

(5.4) $ \begin{equation} A_{i5}=\frac{2\nu_{i}\nu_{5}(\nu_{i}+\nu_{5})}{-\nu_{i}\mu_{5}^4+\gamma(\nu_{i}-\nu_{5})^2}, \quad i=1, 2, 3, 4, \end{equation} $

且

$ \nu_{1}=\nu_{3}^{*}=\sigma_{R}+\sigma_{I}{\rm i}, \nu_{2}=\nu_{4}^{*}=\omega_{R}+\omega_{I}{\rm i}, $

其中$ \sigma_{R}, \sigma_{I}, \omega_{R}, \omega_{I} $以及$ \nu_{5}, \mu_{5} $均是任意实参数. 将(5.3)式代入(3.1)式可得到其相应的半有理解.

图 5表示的是$ 2 $ -阶lump波解与单孤子解之间的混合解在适当参数下的物理学特征. 从三个不同时间的图像可知, 在某一时刻$ 2 $ -阶lump解和单孤子解会进行碰撞, 之后又各自恢复原来的振幅和形状.

该文研究了$ (3+1) $ -维Hirota方程在维数约化$ z=x $下的精确解. 首先我们利用贝尔多项式得出了双线性形式, 然后利用Hirota直接方法得到了$ N $ -孤子解表达式, 以$ N $ -孤子解为基础得出了在$ x $方向上具有周期性, $ y $方向上局域的呼吸波解. 然后利用长波极限方法分别得出了lump波解和半有理解. 半有理解讨论了$ 1 $ -阶lump波解和$ 2 $ -阶lump波解分别和单孤子解的混合解. 对所有得到的解都用Maple软件进行了几何模拟. 希望文中所得到的结果能有助于解释物理学或工程领域的某些非线性现象. 此外, 将来可以考虑对方程(2.1)做与文中类似的变换, 比如$ u(x, y, t)=\gamma x+v(x, y, t) $, 给出新解, 另外写一篇论文.