近些年来, 随着天体物理学、化学和生物科学等诸多学科的发展, 涌现出了大量的二阶非线性椭圆方程. 含有非局部项的椭圆方程作为一类特殊的方程, 受到了数学家的广泛关注. Chen等^[1]运用对称山路引理研究了具有凹凸非线性$p$-Kirchhoff型椭圆问题

无穷多解的存在性. Yan等^[2]运用不动点指标理论得到了一类非局部椭圆边值问题

多个正解的存在性. Lu等^[3]运用不动点指标理论研究了一类非局部椭圆边值问题

正解的存在性, 其中

受上述文献的启发, 本文研究拟线性椭圆方程组边值问题

无穷多解的存在性, 其中$M(s)=s^{k}, k>0, N\geq3, p>1, p(k+1)<q\leq d<p^{\ast}$ (当$p<N$时, $p^{\ast}=\frac{pN}{N-p}$; 当$p=N$时, $p^{\ast}=+\infty$), $\lambda, \mu>0, \sigma\in{{\Bbb R}} ^{N}$.

在本文中, 我们做如下假设:

(H1) $V(x)\in L^\infty ({{\Bbb R}} ^N)$且存在常数$V_0, V_1>0$使得对于任意$x\in {{\Bbb R}} ^N$有$V_0\leq V(x)\leq V_1$;

(H2) $F(x, u, v)\in C^{1}({{\Bbb R}} ^{N}\times{{\Bbb R}} ^{2})$是度为$d$的正齐次函数, 即对任意$(x, u, v)\in{{\Bbb R}} ^{N}\times {{\Bbb R}} ^{2}, t>0$有$F(x, tu, tv)=t^{d}F(x, u, v)$; $F_{u}(x, u, v)$关于变量$u$是奇函数, 关于变量$v$是偶函数; $F_{v}(x, u, v)$关于变量$u$是偶函数, 关于变量$v$是奇函数. 此外, 存在常数$c_{0}>0$使得对于任意$(x, u, v), (x, \xi, \eta)\in{{\Bbb R}} ^{N}\times{{\Bbb R}} ^{2}$有

及

注1.1  若$F(x, u, v)=|u|^{\alpha}|v|^{\beta}, \alpha, \beta>1, \alpha+\beta=d$则函数$F(x, u, v)$满足假设条件$\rm (H2)$.

设$E\equiv W^{1, p}({{\Bbb R}} ^{N})$为通常的Sobolev空间, 其上的范数为

由Sobolev嵌入不等式(参见文献[4])知: 当$1<p<N, p\leq r\leq p^{*}=\frac{Np}{N-p}$时, 存在常数$S_{r}>0$使得

当$p=N, m\geq N$时, 存在常数$S_{m}>0$使得

构造积空间$X=E\times E$, 其上的范数定义为

则$X$对此范数构成一自反的Banach空间.

定义2.1  设$(u, v)\in X$, 如果对于任意的$(\varphi, \psi)\in X$, 有

成立, 则称函数$(u, v)$是问题(1.1)的弱解.

设$J: X\rightarrow {{\Bbb R}}$是问题(1.1)所对应的能量泛函, 其具体定义为

其中$m=p(k+1).$易见, $J\in C^1(X, {{\Bbb R}} )$且对于任意的$(\varphi, \psi)\in X$有

引理2.1  设条件$\rm (H1)–(H2)$成立. 若$\{(u_{n}, v_{n})\}$是泛函$J$在$X$中的$(PS)_c$序列, 则$\{(u_{n}, v_{n})\}$在$X$中有界.

证  设$\{(u_{n}, v_{n})\}$是泛函$J$在$X$中的$(PS)_c$序列, 则当$n\to \infty$时$J(u_{n}, v_{n})\rightarrow c$, $J'(u_{n}, v_{n})\rightarrow 0$. 任意取定$\theta \in {{\Bbb R}}$, 使得$p(k+1)<\theta<q\leq d$, 则当$n$足够大时, 有

其中$m=p(k+1)$. 由于$1<m<\theta$, 从而$\{(u_{n}, v_{n})\}$在$X$中有界. 证毕.

设序列$\{(u_{n}, v_{n})\}$是泛函$J$在$X$中的$(PS)_c$序列, 由引理2.1知序列$\{(u_{n}, v_{n})\}$在$X$中有界, 从而存在一正数$M_0 >0$使得$\|(u_n, v_n)\| \leq M_0 .$又由于$X$是自反的Banach空间, 从而存在$\{(u_n, v_n)\}$的一个子列(不妨仍记为$\{(u_n, v_n)\}$), 在$X$中弱收敛于元$(u, v)\in X$. 由文献[5]知

类似于文献[6]中引理2.3的证明可得如下引理:

引理2.2  设$\rm (H1)–(H2)$成立且$p<q\leq d$. 若$\{(u_{n}, v_{n})\}$是泛函$J$在$X$中的$(PS)$序列且满足(2.5)式, 对于足够小的$\epsilon>0,$存在$r_{0}>1$使得当$r>r_{0}$时, 有

因此, 有

引理2.3  假定条件$\rm (H1)–(H2)$成立. 令$\{(u_{n}, v_{n})\}$是泛函$J$在$X$中的$(PS)$序列且满足(2.5)式, 则以下结论成立:

$\rm (ⅰ)$对于每个足够小的$\varepsilon>0,$存在$r_{0}>1$使得当$r>r_{0}$时, 有

$\rm (ⅱ)$$(u, v)\in X$是泛函$J$的一个临界点.

证  (ⅰ) 对任意的$r>1$, 令函数$\eta_{r}=\eta_{r}(|x|)\in C^{1}({{\Bbb R}} ^{N})$使得

并且

由于$\{(u_{n}, v_{n})\}$在$X$中有界, 从而$\{(\eta_{r}u_{n}, \eta_{r}v_{n})\}$在$X$中有界. 因此当$n\rightarrow \infty$时, 有

其中

这里

因此由(2.7)式可知, 当$n$足够大时有

设$\Omega_{r}=B^{c}_{r}\setminus\overline{B^{c}_{2r}}$, 对任何$n\in N$, 当$r\rightarrow \infty$时, 有

又由于$\|u_n\|_E \leq M_0, \|v_n\|_E \leq M_0$, 根据(2.14)–(2.23)式, 存在常数$r_{0}>1$, 使得当$r>r_{0}$时(2.10)式成立. 从而当$r>r_{0}$时, 有

由(2.5)和(2.24)式, 可得

由于在$L^{p}(B_{2r})$中$u_{n}\rightarrow u, v_{n}\rightarrow v,$因此有

根据(2.24)和(2.26)式可得

因此由Brezis-Lieb引理^[7]即得(2.11)式成立.

(ⅱ) 根据(2.5)式可知, 当$n\rightarrow \infty$时有

由(ⅰ)的证明, 当$n\rightarrow \infty$时, 有

从而可得

以及

从而, 由(2.28)–(2.30)式及在$X^{*}$中$J'(u_{n}, v_{n})\rightarrow 0(n\rightarrow0)$, 可得

由于$C^{\infty}_{0}({{\Bbb R}} ^{N})\times C^{\infty}_{0}({{\Bbb R}} ^{N})$在$X$中是稠密的, 从而$J'(u, v)(\varphi, \psi)=0, \forall(\psi, \varphi)\in X$. 因此, $(u, v)$是$J$在$X$中的一个临界点. 证毕.

引理2.4  假设$\rm (H1)–(H2)$成立. 若$\{(u_{n}, v_{n})\}$是泛函$J$在$X$中的$(PS)$序列且满足(2.5) 式, 则在$X$中有$(u_{n}, v_{n})\rightarrow (u, v)$, 即泛函$J$在$X$中满足$(PS)$条件.

证  由于在$X^{*}$中$J'(u_{n}, v_{n})\rightarrow 0, n\rightarrow \infty$且$(u, v)$是$J$的临界点, 从而

对(2.31)式, (2.32)式两边取极限, 得

由(1.2)式和引理2.3的证明可知

从而, 根据(2.8)式, (2.27)式及(2.32)–(2.34)式, 可得

对(2.35)式, (2.36)式应用于Brezis-Lieb引理可得

因此, 根据(2.11)式和(2.37)式可知序列${(u_{n}, v_{n})}$在空间$X$中收敛. 从而, 泛函$J$在$X$满足$(PS)$条件. 证毕.

引理3.1^[4]  设$X$是无穷维实Banach空间, 泛函$I\in C^{1}(X, {{\Bbb R}} )$满足$(PS)$条件的偶泛函, 且有$I(0)=0$. 若$X=U\oplus V$ (其中$U$是有限维), 且泛函$I$满足

$\rm (ⅰ)$存在常数$\rho, \alpha>0$, 使得当$z\in \partial B_{\rho}\cap V$时, 有$I(z)\geq\alpha;$

$\rm (ⅱ)$对于空间$X$的任意一个有限维子空间$X_{0}\subset X,$存在正常数$R=R(X_{0}),$使得任意的$z\in X_{0}\setminus B_{R}$, 有$I(z)\leq 0$, 其中

则$I$有无穷多个临界点.

本文的主要结论为:

定理3.1  如果条件(H1)–(H2) 成立, 则问题(1.1)存在无穷多个非负弱解$(u_{n}, v_{n})\in X$且当$n\to \infty$时$J(u_n, v_n)\to \infty$.

证  由泛函$J$的表达式(2.3)式知$J$是$X$上的偶泛函, 且有$J(0, 0)=0.$由引理2.4知泛函$J$满足$(PS)$条件. 接下来将我们证明如果$\rm (H1)–(H2)$成立, 则泛函$J$满足引理3.1的条件(ⅰ)和(ⅱ).

由(1.2)式和Sobolev嵌入不等式(2.1)和(2.2)可得

其中$C_{1}>0$且$\|(u, v)\|=\rho=\{1, (2mC_{1})^{\frac{1}{m-t}}\}.$因此, 泛函$J$满足引理3.1的条件(ⅰ).

接下来我们证明泛函$J$满足引理3.1的条件(ⅱ).

设$X_{0}$是空间$X$的任意有限维子空间, 则$X_{0}$上的所有范数等价. 因此, 存在常数$\gamma>0$使得

从而, 当$\sigma\geq0$时, 有

其中$\lambda_{0}=\min\{\lambda, \mu\}>0.$由于$m<q,$从而由(3.3)式知: 存在$R_{0}>\rho,$使得当$R>R_{0},$$\|(u, v)\|\geq R$时, 有$J(u, v)<0$. 即泛函$J$满足引理3.1的条件(ⅱ).

由引理3.1可得: 问题$(1.1)$存在无穷多个解$(u_n, v_n)\in X$且当$n\rightarrow \infty$时, $J(u_{n}, v_{n})\rightarrow \infty.$因为$J(u_{n}, v_{n})=J(|u_{n}|, |v_{n}|)$, 从而$J'(-u_{n}, -v_{n})=-J'(u_{n}, v_{n})$, 所以可以认为$u_{n}, v_{n}$均为非负函数. 证毕.