近几年, 差分方程被广泛地应用于计算机科学、经济学、生物学等研究领域^[1-4], 大量的学者对相关的差分方程问题进行了研究, 其中差分方程解的存在性是研究内容中一个重点, 例如: 周期解的存在性、同宿轨、多解及正解的存在性等^[5-11]. 对于微分方程解的存在性的研究, 他们主要使用临界点理论、上下解方法和不动点定理等对微分方程解的存在性进行研究, 详细的研究内容可见文献[5, 6, 12-14]. 在本文中, 我们主要运用临界点理论研究一类具有参数的高阶差分方程边值问题多解存在性.

为了方便读者, 首先我们给出研究问题所需一些符号. 设$ {\Bbb Z} $表示整数集, $ {\Bbb R} $表示实数集, $ a, b\in {\Bbb Z} $, $ {\Bbb Z}(a, b)=\{a, a+1\ldots, b\} $, $ (a\leq b) $.

本文考虑如下具有参数的$ 2n $阶差分方程边值问题

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \Delta^{n}(p(k)\Delta^{n} u(k-n))+\lambda(-1)^{n+1} f(k, u(k))=0, k\in{\Bbb Z}(1, T), \\ u(0)=u(-1)=\cdots=u(1-n)=0, \Delta^{n}u(T)=\Delta^{n-1}u(T)=\cdots=\Delta u(T)=0, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中$ T $和$ n $是正整数, 并且满足$ T>n $, $ \lambda $是一个正实参数. 对任意的$ k\in{\Bbb Z}(1, T) $, $ f(k, \cdot):{\Bbb R}\rightarrow {\Bbb R} $是连续函数, 并且$ p(k)>0 $. $ \Delta $表示向前差分算子, 定义为$ \Delta u(k)=u(k+1)-u(k) $, $ \Delta^{n} u(k)=\Delta(\Delta^{n-1}u(k)) $.

2003年, 郭志明和庾建设在文献[11] 中首次利用临界点理论(环绕定理)研究如下非线性差分方程周期解、次调和解的存在性

(1.2) $ \begin{equation} \Delta^{2} u(k-1)+f(k, u(k))=0 , k\in{\Bbb Z}, \end{equation} $

其中对任意的$ k\in{\Bbb Z} $, $ f(k, \cdot)\in C({\Bbb R}, {\Bbb R}) $, 且$ f(k, \cdot)=f(k+m, \cdot) $, $ m $是正整数.

随后, 更多的学者运用临界点理论研究不同类型的差分方程问题^[15-17]. 然而, 带有参数的边值问题(1.1) 解的存在性的研究成果特别少. 2010年, 周展在文献[6] 中首次利用环绕定理证明了如下周期差分方程

(1.3) $ \begin{eqnarray} \Delta^{n}(p(k)\Delta^{n} u(k-n))+(-1)^{n+1} f(k, u(k))=0, k\in{\Bbb Z} \end{eqnarray} $

至少存在两个非平凡周期解. 2018年, 梅鹏和周展在文献[8] 中考虑了如下具有$ 2n $阶$ p $拉普拉斯算子方程

$ \begin{eqnarray*} &&\Delta^{n}(r(k-n)\phi_{p}(\Delta^{n}u(k-n)))\\ &=& (-1)^{n}f(k, u(k+\tau), \cdots, u(k+1), u(k), u(k-1), \cdots, u(k-\tau)), k\in{\Bbb Z} \end{eqnarray*} $

的周期解和次调和解的存在性.

在本文中, 我们主要考虑了问题(1.1) 在非周期的情形下非平凡解的存在性问题. 当非线性项$ f(k, \cdot) $在满足特定的条件(2.9) 时, 我们运用文献[18] 中的临界点理论得到了差分方程边值问题(1.1) 至少存在无穷多个非平凡解. 最后, 我们用一个实例来说明我们的结论是正确的. 我们注意到在文献[6] 中, 作者考虑了差分方程(1.3) 为周期的情形, 得到了该方程存在两个非平凡周期解. 而在本文中, 我们进一步研究了差分方程(1.3) 是依赖参数的非周期的情形, 证明了当参数$ \lambda\in\left(\frac{p(T)}{2B}, \frac{1}{2A}\right) $ (见定理2.1)时, 边值问题(1.1) 存在无穷多个非平凡解, 该研究内容补充了文献[6] 中相关理论.

为了证明我们的主要结论, 我们首先给出边值问题(1.1) 的变分框架和相关的引理.

考虑$ T $ -维实Banach空间

$ \begin{eqnarray*} \label{eqexpmuts} S&=&\Big\{u:[1-n, T+n]\rightarrow {\Bbb R}\ \rm{满足}\ u(0)=u(-1)=\cdots=u(1-n)=0, \\ &&\Delta^{n}u(T)=\Delta^{n-1}u(T)=\cdots=\Delta u(T)=0\Big\}, \end{eqnarray*} $

定义相应的范数为

(2.1) $ \begin{eqnarray} \|u\|=\bigg(\sum^{T}_{k=1}(|u(k)|^{2}\bigg)^{\frac{1}{2}}. \end{eqnarray} $

我们可以定义$ S $上另外一个等价范数如下

(2.2) $ \begin{eqnarray} \|u\|_{\infty}=\max\limits_{k\in{\Bbb Z}(1, T)}\{|u(k)|\}. \end{eqnarray} $

设$ E $是一个自反的实Banach空间, 泛函$ I_{\lambda}:E\rightarrow {\Bbb R} $满足下面的结构假设:

(H1) 假设$ \lambda $是一个正实参数. 设$ I_{\lambda}:=\Phi(u)-\lambda\Psi(u) $, $ \forall u\in E $, 其中$ \Phi, \Psi\in C^{1}(E, {\Bbb R}) $, $ \Phi $是强制的, 即$ \lim\limits_{\| u\|\rightarrow \infty}\Phi(u)=+\infty $.

任给$ r>\inf_{E}\Phi $, 令

$ \varphi(r)=\inf\limits_{v\in\Phi^{-1}(-\infty, r)} \frac{\sup\limits_{v\in\Phi^{-1}(-\infty, r)}\Psi(v) -\Psi(u)}{r-\Phi(u)} $

和

$ \gamma=\liminf\limits_{r\rightarrow +\infty}\varphi(r), \;\;\delta=\liminf\limits_{r\rightarrow ({{\inf\limits}_{E}}\Phi)^{+}}\varphi(r). $

显然, $ \gamma\geq 0 $, $ \delta\geq 0 $. 当$ \gamma=0 $或者$ \delta=0 $时, 记$ \frac{1}{\gamma} $或$ \frac{1}{\delta} $为$ +\infty $. 我们主要结论将用到下面的引理:

引理2.1  ^[18]假设$ \rm (H1) $成立, 则下列结论成立

$ \rm (a) $对任给$ r>\inf_{E}\Phi $, 任意的$ \lambda\in\left(0, \frac{1}{\varphi(r)}\right) $, 泛函$ I_{\lambda}=\Phi(u)-\lambda\Psi(u) $在$ u\in\Phi^{-1}(-\infty, r) $上有一个全局最小点, 它是$ I_{\lambda} $在$ E $中局部极小临界点.

$ \rm (b) $如果$ \gamma<+\infty $, 对任意的$ \lambda\in(0, \frac{1}{\gamma}) $, 则下列两个结论二者选一:

$ \rm (b1) $$ I_{\lambda} $存在一个全局最小点, 或者

$ \rm (b2) $存在$ I_{\lambda} $的一个临界点(局部极小点)序列$ \{u_{n}\} $使得$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\Phi(u_{n})=+\infty $.

下面给出问题(1.1) 的变分框架.

对任意$ u\in S $, 令

(2.3) $ \begin{eqnarray} \Phi(u)=\frac{1}{2}\sum\limits^{T}_{k=1}p(k)(\Delta^{n} u(k-n))^{2}, \Psi(u)=\sum^{T}_{k=1}F(k, u(k)) , I_{\lambda}(u)=\Phi(u)-\lambda\Psi(u), \end{eqnarray} $

其中$ F(k, \xi)=\int_{0}^{\xi}f(k, s){\rm d}s. $显然, $ I_{\lambda}\in C^{1}(S, {\Bbb R}) $, 直接计算$ I_{\lambda} $对$ u(k) $偏导数, 得

(2.4) $ \begin{equation} \frac{\partial I_{\lambda}(u)}{\partial u(k)}=(-1)^{n}\Delta^{n}(p(k)\Delta^{n} u(k-n))-\lambda f(k, u(k)), k\in{\Bbb Z}(1, T). \end{equation} $

从上式看出, 若$ u $是泛函$ I_{\lambda} $在$ S $上的临界点当且仅当

$ \begin{eqnarray*} \Delta^{n}(p(k)\Delta^{n} u(k-n))+\lambda(-1)^{n+1} f(k, u(k))=0, k\in{\Bbb Z}(1, T). \end{eqnarray*} $

假设$ F(k, \cdot) $满足下列条件:

(H2) $ F(k, \cdot)\in C^{1}({\Bbb R}, {\Bbb R}) $且$ F(k, 0)=0 $, $ F(0, \cdot)=0 $, $ \forall k\in{\Bbb Z}(1, T) $;

(H3) $ B=\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty} \frac{F(k, \xi)}{\xi^{2}} $, $ \forall k\in{\Bbb Z}(1, T) $.

令

(2.5) $ \begin{equation} p_{\ast}=\min\limits _{k\in{\Bbb Z}(1, T)}\{p(k)\}. \end{equation} $

下面我们给出文中的主要定理.

定理2.1  假设条件$ \rm (H2), (H3) $满足且存在两个实数序列$ \{a_{j}\}, \{c_{j}\} $, 其中$ \lim\limits_{j\rightarrow +\infty}c_{j}=+\infty $, 使得

(2.6) $ \begin{equation} |a_{j}|<c_{j}, \end{equation} $

(2.7) $ \begin{equation} A<\frac{B}{p(T)}, \end{equation} $

其中$ A=\liminf\limits_{j\rightarrow +\infty} \frac{\sum\limits^{T}_{k=1} \max\limits_{|u(k)| \leq c_{j}}F(k, u(k))- F(T, a_{j})}{2\alpha c_{j}^{2}-p(T)a_{j}^{2}} $.

则对每一个$ \lambda\in\left(\frac{p(T)}{2B}, \frac{1}{2A}\right) $, 问题(1.1) 存在一个无界无穷解序列.

证  我们注意到

$ \begin{eqnarray*} \Phi(u)&=&\frac{1}{2}\sum\limits^{T}_{k=1}p(k)(\Delta^{n} u(k-n))^{2}\\ &\geq&\frac{p_{\ast}}{2}\sum\limits^{T}_{k=1}(\Delta^{n-1} u(k+1-n)-\Delta^{n-1} u(k-n))^{2}\\ &\geq&\frac{p_{\ast}}{2}(C^{T+1}x, x), \end{eqnarray*} $

其中$ x=(\Delta^{n-1}u(1-n), \Delta^{n-1}u(2-n), \cdots, \Delta^{n-1}u(T+1-n))^{tr} $, $ C^{i} $为$ (i\times i) $对称矩阵

$ C^{i}=\left(\begin{array}{ccccccc} 1&-1&0&\cdots&0&0 \\ -1&2&-1&\cdots&0&0 \\ 0&-1&2&\cdots&0&0 \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&\cdots&-1&2&-1 \\ 0&0&\cdots&0&-1&1 \\ \end{array}\right). $

显然, $ 0 $是$ C^{i} $的一个特征值, 对任意的$ \eta=(v, v, \cdots, v)^{tr}\in{\Bbb R}^{i} $是对应于$ 0 $的特征向量, 这里, $ v\neq0 $. 令$ 0<\lambda_{(i, 1)}\leq\lambda_{(i, 2)}\leq\cdots\leq\lambda_{(i, i-1)} $是$ C^{i} $的其它特征值, 于是

$ \begin{eqnarray*} \Phi(u)\geq\frac{p_{\ast}}{2}\lambda_{(T+1, 1)}x\cdot x^{tr}. \end{eqnarray*} $

进一步

$ \begin{eqnarray*} x\cdot x^{tr}&=&\sum\limits^{T+1}_{k=1}\left(\Delta^{n-2} u(k+1-n)-\Delta^{n-2} u(k-n)\right)^{2}\\ &\geq&\lambda_{(T+2, 1)}\sum\limits^{T+2}_{k=1}(\Delta^{n-2} u(k-n))^{2}\\ &=&\lambda_{(T+2, 1)}\sum\limits^{T+2}_{k=1}\left(\Delta^{n-3} u(k+1-n)-\Delta^{n-3} u(k-n)\right)^{2}\\ &\geq&\lambda_{(T+2, 1)}\cdot\lambda_{(T+3, 1)}\sum\limits^{T+3}_{k=1}(\Delta^{n-3} u(k-n))^{2}\\ &\geq&\lambda_{(T+2, 1)}\cdot\lambda_{(T+3, 1)}\cdots\lambda_{(T+n, 1)}\|u\|^{2}, \end{eqnarray*} $

设$ \alpha=\frac{p_{\ast}}{2}\lambda_{(T+1, 1)}\cdot\lambda_{(T+2, 1)}\cdots\lambda_{(T+n, 1)}\leq2^{2n-1}p_{\ast} $, 因此

$ \begin{eqnarray*} \Phi(u)\geq \alpha\|u\|^{2}. \end{eqnarray*} $

当$ \|u\|\rightarrow \infty $时, $ \Phi(u)\rightarrow \infty $, 即$ \Phi(u) $在$ S $上是强制的. 容易验证(H1) 的其它条件也成立的.

我们使用引理2.1中的$ \rm (b2) $证明我们的主要结论. 取$ \lambda\in\left(\frac{p(T)}{2B}, \frac{1}{2A}\right) $, 假设$ \gamma<+\infty $. 令$ r_{j}=\alpha c_{j}^{2} $, $ j\in Z $. 如果$ \|u\|\leq (\frac{r_{j}}{\alpha})^{\frac{1}{2}} $, 对于任意的$ k\in{\Bbb Z}(1, T) $, 我们有$ |u(k)|\leq\max\limits _{k\in{\Bbb Z}(1, T)}\{|u(k)|\}\leq \|u\|\leq c_{j} $, 由此可得

(2.8) $ \begin{eqnarray} \varphi(r_{j})&\leq&\inf\limits_{\|u\|\leq (\frac{r_{j}}{\alpha})^{1/2}}\frac{\sup\limits_{(\|u\|\leq\frac{r_{j}}{\alpha})^{1/2}} \sum\limits^{T}_{k=1}F(k, u(k)) -\sum\limits^{T}_{k=1} F(k, u(k))}{r_{j}-\Phi(u)}{}\\ &\leq&\inf\limits_{\|u\|\leq(\frac{r_{j}}{\alpha})^{1/2}}\frac{\sum\limits^{T}_{k=1} \max\limits_{|u(k)| \leq c_{j}}F(k, u(k)) -\sum\limits^{T}_{k=1} F(k, u(k))}{\alpha c_{j}^{2}-\Phi(u)}. \end{eqnarray} $

对任意的$ k\in{\Bbb Z}(1-n, T-1) $, 取$ (g_{j})(k)=0 $, $ (g_{j})(T)=(g_{j})(T+1)=\cdots=(g_{j})(T+n)=a_{j} $. 显然, $ g_{j}\in S $且$ \Phi(g_{j})=\frac{p(T)a_{j}^{2}}{2} $. 从(2.6) 式, 得到$ \|g_{j}\|=|a_{j}|\leq (\frac{r_{j}}{\alpha})^{\frac{1}{2}} $, 代入(2.8)式有

$ \varphi(r_{j})\leq 2\frac{\sum\limits^{T}_{k=1} \max\limits_{|u(k)| \leq c_{j}}F(k, u(k))- F(T, a_{j})}{2\alpha c_{j}^{2}-p(T)a_{j}^{2}}. $

因此, $ \gamma\leq\liminf\limits_{j\rightarrow \infty}\varphi(r_{j}) \leq 2A<+\infty $.

下面, 我们只需验证$ I_{\lambda} $是无下界的. 由(H3), 存在一个正实序列$ \{d_{j}\} $满足$ \lim\limits_{j\rightarrow \infty}d_{j}=+\infty $且有

(2.9) $ \begin{equation} B=\lim\limits_{j\rightarrow +\infty} \frac{F(k, d_{j}) }{d_{j}^{2}}, \forall k\in{\Bbb Z}(1, T). \end{equation} $

首先, 假设$ B=+\infty $, 那么存在$ M>\frac{p(T)}{2\lambda} $和$ \nu_{M}\in {\Bbb Z} $, 当$ \forall j>\nu_{M} $时, 有

$ F(k, d_{j})\geq Md_{j}^{2}. $

在$ S $上取一个序列$ \{s_{j}\} $满足: 对任意的$ k\in{\Bbb Z}(1, T-1) $, 取$ (s_{j})(k)=0 $, $ (s_{j})(T)=d_{j} $. 于是

$ I_{\lambda}(s_{j})=\Phi(s_{j})-\lambda\Psi(s_{j}) =\frac{p(T)d_{j}^{2}}{2}- \lambda F(T, d_{j}) <(\frac{p(T)}{2}-\lambda M)d_{j}^{2}, n>\nu_{M}. $

从上式看出, $ \lim\limits_{j\rightarrow +\infty}I_{\lambda}(s_{j})=-\infty $.

接下来, 我们假设$ B<+\infty $. 因为$ \lambda>\frac{p(T)}{2B} $, 从(2.9) 式, 令$ \varepsilon>0 $且$ \varepsilon<B-\frac{p(T)}{2\lambda} $, 一定存在$ \nu_{\varepsilon}\in {\Bbb Z} $使得

$ F(k, d_{j})\geq (B-\varepsilon)d_{j}^{2}, \forall j>\nu_{\varepsilon}. $

在$ S $中仍取上面的序列$ \{s_{j}\} $, 我们有

$ I_{\lambda}(s_{j})<\left(\frac{p(T)}{2}-\lambda (B-\varepsilon)\right)d_{j}^{2}, j>\nu_{\varepsilon}. $

显然, $ \lim\limits_{j\rightarrow +\infty}I_{\lambda}(s_{j})=-\infty $.

因此, 由引理$ 2.1 $中$ \rm (b2) $, 存在$ I_{\lambda} $的一个临界点(局部极小点)序列$ \{u_{n}\} $使得$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\Phi(u_{n})=+\infty $. 证毕.

由定理2.1, 我们可以得到如下推论.

推论2.1  假设条件$ \rm (H2) $和$ \rm (H3) $成立, 且

(2.10) $ \begin{eqnarray} A=\liminf\limits_{t\rightarrow +\infty} \frac{\sum\limits^{T}_{k=1} \max\limits_{|\xi|\leq t}F(k, \xi)}{t^{2}}<\frac{2\alpha B}{p(T)}, \end{eqnarray} $

则对每一个$ \lambda\in\left(\frac{p(T)}{2B}, \frac{\alpha}{A}\right) $, 问题(1.1) 存在一个无界无穷解序列.

证  令$ \{c_{j}\} $是一个实序列且$ \lim\limits_{j\rightarrow \infty}c_{j}=+\infty $, 使得

(2.11) $ \begin{eqnarray} A=\lim\limits_{j\rightarrow +\infty} \frac{\sum\limits^{T}_{k=1} \max\limits_{|\xi|\leq c_{j}}F(k, \xi)}{c_{j}^{2}}. \end{eqnarray} $

在(2.7) 式中, 对任意的$ j\in {\Bbb Z} $, 令$ a_{j}=0 $, 再结合条件(H3), (2.10)和(2.11)式, 我们能使用定理2.1推得结论. 证毕.

最后, 我们给出一个例子说明我们的主要结论.

例2.1  考虑边值问题(1.1), 给定函数如下: 对任意的$ k\in{\Bbb Z}(1, T) $, 有

(2.12) $ \begin{eqnarray} f(k, u)=f(u) =2u\left(1+\varepsilon+\cos(2\ln|u|+1)-\varepsilon \sin(2\ln|u|+1)\right). \end{eqnarray} $

令

$ F(u)=|u|^{2}\left(1+\varepsilon+ \cos(2\varepsilon\ln|u|+1)\right). $

显然, $ F(u) $是$ {\Bbb R} $上偶函数, 并且在$ [0, +\infty) $上是单调增加的, 容易验证$ F(u) $满足条件$ \rm (H1) $和$ \rm (H2) $, 于是

$ \max\limits_{|u|\leq t}F(u)=|t|^{2}\left(1+\varepsilon+ \cos(2\varepsilon\ln|t|+1)\right). $

计算下面极限

$ \begin{eqnarray*} A&=&\liminf\limits_{t\rightarrow +\infty} \frac{\sum\limits^{T}_{k=1} \max\limits_{|u|\leq t}F(k, u)}{t^{2}} =\liminf\limits_{t\rightarrow +\infty} \frac{\sum\limits^{T}_{k=1}|t|^{2}\left(1+\varepsilon+ \cos(2\varepsilon\ln|t|+1)\right)}{t^{2}}\\ &=&T\liminf\limits_{t\rightarrow +\infty}\left(1+\varepsilon+ \cos(2\varepsilon\ln|t|+1)\right) =T\varepsilon \end{eqnarray*} $

和

$ B=\limsup\limits_{u\rightarrow +\infty} \frac{F(k, u)}{u^{2}} =\limsup\limits_{u\rightarrow +\infty} (1+\varepsilon+ \cos(2\varepsilon\ln|u|+1)) =2+\varepsilon. $

令$ T=3 $, 对任意的$ k\in{\Bbb Z}(1, 3) $, $ p(k)=1 $, 取充分小的$ \varepsilon>0 $, 总有$ \frac{1}{4+2\varepsilon}< \frac{\alpha}{3\varepsilon} $, 因此, 对任每一个$ \lambda\in\left(\frac{1}{4+2\varepsilon}, \frac{\alpha}{3\varepsilon}\right) $, 由推论2.1, 问题(1.1) 存在一个无界无穷解序列.