设$\mu$是${{\Bbb R}}$上具有紧支撑的Borel概率测度, 如果存在${{\Bbb R}}$上的离散子集$\Lambda$使得

成为空间$L^2(\mu)$上的规范正交基, 此时称$\mu$为谱测度, 集合$\Lambda$为测度$\mu$的一组谱, 也说$(\mu, \Lambda)$为谱对.

对于具有紧支撑的Borel概率测度是否为谱测度一直是调和分析研究的基本问题之一, 大量的研究谱测度的工作始于1974年Fuglede^[1]提出的著名的谱集猜想. 关于奇异测度的谱分析, 最早是Jorgensen和Pedersen在文献[2]中提出，他们指出Cantor型测度$\mu_{2k}$为谱测度, 并且对于任意$k\in{\mathbb N}^+$, 集合

成为$\mu_{2k}$的一组谱, 这里$\mu_{2k}$是由迭代函数系$\{\tau_0(x) = x/2k, \, \tau_2(x) = (x+k)/2k\}$所生成的自相似测度. 受Jorgensen和Pedersen的结果启发, 越来越多的研究者致力于奇异测度的谱分析和谱的结构研究, 感兴趣的读者可参阅文献[2-14].

关于自相似测度$\mu_{2k}$的谱性, Jorgensen等人发现, 存在奇数$p$使得集合$p\Lambda_0$仍是$\mu_{2k}$的谱(参见文献[2, 5]). 这里$p\Lambda_0$相比$\Lambda_0$更加松散, 即从直观上来说$\mu_{2k}$存在更加稀疏的谱$p\Lambda_0$. 上述奇怪的现象引出了奇异测度的谱特征值问题:

对于给定的谱测度的一组谱, 刻画实数$p$, 使得$p\Lambda$仍成为测度$\mu$的一组谱.

如果$\Lambda$和$p\Lambda$都是$\mu$的一组谱, 一般称集合$p\Lambda$为测度$\mu$的乘积谱, 也称为标度谱.

近年来, 许多研究者都致力于奇异测度的谱特征值的研究, 尤其关于自相似测度$\mu_{2k}$和$\mu_4$的谱特征值问题研究, 引起了很多研究者的注意. 2018年, Dutkay等研究者在文献[15, 16]中利用同余方程的性质, 证明了对于任意大于3的素数$p$和自然数$k$, 集合$p^k\Lambda_0$仍然是Cantor测度$\mu_4$的一组谱. 2011年, Jorgensen等人在文献[7]中考虑了自相似测度$\mu_{2k}$, 通过极大循环的刻画, 他们指出$p\Lambda_0$为$\mu_{2k}$的一组谱如果$p$为奇数且满足$p<2(2k-1)/\pi$. 最近, 李建林推广了这个结果, 他在文献[17]中证明了当$p\in2{\mathbb N}+1\setminus(2k-1){\mathbb N}$且$p<(2k)^2(2k-1)$时, 集合$p\Lambda_0$也可以成为$\mu_{2k}$的谱. 文献[18, 19]也对连续数字集所生成的自相似测度的谱特征值问题做了研究. 更多结果参见文献[20-22]. 受上述研究结果的启发, 本文将进一步考虑自相似测度的谱特征值问题.

设$q$为大于或等于3的整数, 数字集$D = \{0, a, b\}\subset{\mathbb N}$, 其中$a, b$互素. 定义迭代函数系统如下

由Hutchinson^{[20, 21]}的著名结果知, 存在唯一的Borel概率测度$\mu_{q, D}$, 使得对于任意Borel集$E\subset {{\Bbb R}}$, 下面不变方程成立

一般称测度$\mu_{q, D}$为自相似测度, 其吸引子为分形集且满足下面方程

这里$T(q, D)$称为由数字集$D$和压缩比$q$所生成的自相似集, 因为它满足下面迭代式

记$\# E$为集合$E$中所含元素的个数, $\delta_e$表示点$e$上的Dirac测度, 又记$\delta_E = \frac{1}{\# E}\sum\limits_{d\in E}\delta_e$, 则测度$\mu_{q, D}$可以表示成下面无穷卷积的形式:

上述无穷卷积收敛为弱收敛意义下收敛.

由文献[12, 13]知, 自相似测度$\mu_{q, D}$为谱测度当且仅当$q$被3整除且$\{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3$. 因此在本文中总假设$q = 3k$($k\in{\mathbb N}^+$)和$D = \{0, ka, kb\}$, 其中$\{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3$. 为了记号方便, 记$\mu_{k, a, b}$为自相似测度$\mu_{q, D}$. 注意到若$C = \{0, 1, 2\}$, 则$((3k)^{-1}D, C)$构成了和谐对. 这里和谐对是指集合$C$为离散测度$\delta_{(3k)^{-1}D}$的一组谱, 它也等价于下面矩阵为酉阵

Jorgensen和Pedersen在文献[2]中证明了, 如果$((3k)^{-1}D, C)$构成和谐对, 那么集合

是空间$L^2(\mu_{k, a, b})$中的一组无穷正交系. 随后, Dai, He和Lai进一步得到集合$\Lambda(3k, C)$还是自相似测度$\mu_{k, a, b}$的一组谱^[4]. 本文将主要刻画整数$p$, 使得$p\Lambda(3k, C)$构成测度$\mu_{k, a, b}$的乘积谱. 注意到如果可数集$\Lambda$是$\mu_{k, a, b}$的谱, 那么$-\Lambda$也是$\mu_{k, a, b}$的谱, 因此下文仅考虑$p\in{\mathbb N}^+$.

设$\mu$为${{\Bbb R}}$上的Borel概率测度, 其傅里叶变化定义如下

因此对于任意正整数$k\geq1$, 由(1.1)式所定义好的自相似测度$\mu_{k, a, b}$, 其中$D = \{0, ka, kb\}$且$\{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3$, 其傅里叶变换直接计算得

这里面罩函数定义如下

更进一步, 通过迭代式(2.1), 测度$\mu_{k, a, b}$的傅里叶变换可变形为下面无穷乘积形式

记${\cal Z}(M_D)$表示面罩函数$M_D$的实数根的全体, 直接计算可得

因此

对于任意$\lambda\neq\lambda'\in{{\Bbb R}}$, 正交性

意味着$\lambda-\lambda'\in{\cal Z}(\widehat{\mu}_{k, a, b})$. 从而离散集$\Lambda\subset{{\Bbb R}}$, $E(\Lambda) = \{e^{-2\pi {\rm i}\lambda x}:\lambda\in\Lambda\}$成为$L^2(\mu_{k, a, b})$中正交集当且仅当

此时也称$\Lambda$为测度$\mu_{k, a, b}$的一个双零集.

对于任意正整数$k\geq1$, 记$D = \{0, ka, kb\}$且满足$\{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3$. 若$C = \{0, 1, 2\}$, 则$((3k)^{-1}D, C)$构成和谐对, 并且(1.4)式定义好的可数集$\Lambda(3k, C)$为测度$\mu_{k, a, b}$的一组谱. 注意到集合$p\Lambda(3k, C)$可改写为

从而$p\Lambda(3k, C)$为$\mu_{k, a, b}$的乘积谱当且仅当$\Lambda(3k, pC)$为$\mu_{k, a, b}$的一组谱, 其中$pC = \{0, p, 2p\}$. 如文献[4]所述, 如果$((3k)^{-1}D, pC)$构成和谐对, 则整数$p$必满足下面方程

从而$\gcd(p, 3) = 1$. 下面的引理是由Strichartz^[22]最先给出, 该结果将在本文结果的证明中起到关键作用.

引理2.1  设$q\geq2$, $D$, $C$均为整数的有限子集且$0\in D\cap C$. 如果$(q^{-1}D, C)$构成和谐对且$M_{q^{-1}D}(x)$的零点都不落在吸引子$T(q, C)$内, 则$\Lambda(q, C)$是$\mu_{q, D}$的一组谱, 这里

定理2.1   设$k\geq1$为正整数, $\{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3$且$\mu_{k, a, b}$如(1.1)式所定义. 若$\gcd(p, 3) = 1$且满足$1\le p<\frac{3k-1}{2}$, 则$p\Lambda(3k, C)$为测度$\mu_{k, a, b}$的乘积谱, 其中$\Lambda(3k, C)$由(1.4)式所给出.

证  对于任意$k\geq1$, 直接计算可得

另一方面

因此当$1\le p<\frac{3k-1}{2}$时, 有${\cal Z}(M_{(3k)^{-1}D})\cap T(3k, pC) = \emptyset$. 从而由引理2.1得, $\Lambda(3k, pC)$为测度$\mu_{k, a, b}$的一组谱, 即$p\Lambda(3k, C)$为$\mu_{k, a, b}$的乘积谱.

极大循环的概念有助于刻画整数$p$, 使得集合$p\Lambda(3k, C)$为$\mu_{k, a, b}$的乘积谱.

定义2.1^[5]   设$k$, $p$均为正整数且满足$\gcd(p, 3) = 1$. 称集合$\{x_0, x_1, \ldots, x_{l-1}\}\subset{{\Bbb R}}$是关于数字集$pC = \{0, p, 2p\}$且长度为$l$的极大循环, 如果存在$\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{l-1}\in pC$使得

(i) $x_0 = \frac{x_{l-1}+\alpha_{l-1}}{3k}$和$x_i = \frac{x_{i-1}+\alpha_{i-1}}{3k}$, $1\leq i\le l-1$;

(ii) 当$0\le i\leq l-1$时, $|M_D(x_i)| = 1$, 其中$D = \{0, ka, kb\}$且$\{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3$.

特别地, 称$x_i(0\le i\le l-1)$为关于数字集$pC$的极大循环点.

Łaba和Wang在文献[3]中得到下面重要的结果.

引理2.2   设$k\geq1$是正整数, $\mu_{k, a, b}$是由(1.1)式定义好的自相似测度, 其中$\{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3$. 如果$p\in{\mathbb N}$且满足$\gcd(p, 3) = 1$, 则$p\Lambda(3k, C)$为测度$\mu_{k, a, b}$的乘积谱当且仅当关于数字集$pC$的极大循环仅只含有平凡极大循环$\{0\}$, 其中$\Lambda(3k, C)$由(1.4)式给出.

注2.1   当$k\geq1$为正整数, 如果$p\in(3k-1){\mathbb N}$或者$p\in\frac{3k-1}{2}{\mathbb N}\subset{\mathbb N}$, 则由引理2.2知: $p\Lambda(3k, C)$将不会是$\mu_{k, a, b}$的一组谱. 事实上当$p\in(3k-1){\mathbb N}$时, 令$x_0 = \frac{p}{3k-1}$, 则$\frac{x_0+p}{3k} = x_0$. 当$p\in\frac{3k-1}{2}{\mathbb N}\subset{\mathbb N}$时, 又令$x_0 = \frac{2p}{3k-1}$, 同样可得$\frac{x_0+2p}{3k} = x_0$. 特别地, $x_0 = \frac{p}{3k-1}\, \rm{或者}\, \frac{2p}{3k-1}\in{\mathbb N}$且满足$|M_D(x_0)| = 1$. 因此$\left\{\frac{p}{3k-1}\right\}$或者$\left\{\frac{2p}{3k-1}\right\}$构成了关于数字集$pC$的非平凡极大循环. 这也就是说$\Lambda(3k, pC)$不是$\mu_{k, a, b}$的一组谱.

注意到当$p\Lambda(3k, C)$为测度$\mu_{k, a, b}$的乘积谱时, 则$p$满足$p\in{\mathbb N}\setminus\frac{3k-1}{2}{\mathbb N}$且$\gcd(p, 3) = 1$.

受Dutkay和Kraus在文献[16]中的启发, 本节首先给出关于数字集$pC = \{0, p, 2p\}$的非平凡极大循环的结构.

引理3.1   设$k$, $p$都为正整数且满足$\gcd(p, 3) = 1$, 则

这里

是由迭代函数系统$\{\tau_0(x) = \frac{x}{3k}, \tau_1(x) = \frac{x+p}{3k}, \tau_2(x) = \frac{x+2p}{3k}\}$所生成的吸引子. 特别地, 如果$S$是关于数字集$pC$的非平凡的极大循环, 则$S\subseteq T(3k, pC)\cap{\mathbb Z}\setminus\{0\}$.

证  设$x_0$为任意关于数字集$pC = \{0, p, 2p\}$的极大循环点, 又设$S = \{x_0, x_1, \ldots, x_{l-1}\}$是任意含$x_0$的极大循环, 从而存在$\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{l-1}\in pC$使得下面等式成立

由$|M_D(x_0)| = 1$知$x_0\in{\mathbb Z}$, 这里$D = \{0, ka, kb\}$且$\{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3$. 更进一步可得

令上面等式迭代到无穷, 我们可得$x_0$存在以$3k$为底的标准分解. 所以$x_0\in T(3k, pC)$, 即$x_0\in T(3k, pC)\cap{\mathbb Z}$.

另一方面, 对于任意$x_0\in T(3k, pC)\cap{\mathbb Z}$, 由$T(3k, pC) = \cup_{i = 1}^3\tau_i(T(3k, pC))$可知, 存在$x_{-1}\in T(3k, pC)$和$\alpha_0\in pC$使得$x_0 = \frac{x_{-1}+\alpha_0}{3k}$, 因此$x_{-1} = 3kx_0-\alpha_0\in{\mathbb Z}\setminus\{0\}$. 类似地, 对于任意$j\geq1$, 一定存在$x_{-1}, x_{-2}, \ldots\in T(3k, pC)\cap{\mathbb Z}\setminus\{0\}$以及$\alpha_1, \alpha_2, \ldots\in pC$使得$x_{-j} = \frac{x_{-j-1}+\alpha_j}{3k}$成立. 注意到集合$T(3k, pC)\cap{\mathbb Z}$为有限集, 所以存在整数$m<l$, 使得$x_{-m} = x_{-l}$, 这也即是说$\{x_{-m}, x_{-m-1}, \ldots, x_{-l+1}\}$构成了一个极大循环. 接下来我们将断言该极大循环是从$x_0$开始.

首先注意到$x_{-m+1} = \frac{x_{-m}+\alpha_{m-1}}{3k}\in{\mathbb Z}$以及$x_{-l+1} = \frac{x_{-l}+\alpha_{l-1}}{3k}\in{\mathbb Z}$, 由于$x_{-m} = x_{-l}$, 所以$x_{-m} = 3kx_{-m+1}-\alpha_{m-1} = 3kx_{-l+1}-\alpha_{l-1}$, 从而$\alpha_{l-1}-\alpha_{m-1}$可以被$3k$整除. 又因为$\alpha_{l-1}-\alpha_{m-1}\in\{-2p, -p, 0, p, 2p\}$以及$\gcd(p, 3) = 1$, 所以$\alpha_{l-1} = \alpha_{m-1}$且$x_{-m+1} = x_{-l+1}$. 这样根据归纳证明可得$x_0$必为上述极大循环的起点, 即$x_0$为极大循环点.

最后, 设$S$是关于数字集$pC = \{0, p, 2p\}$的非平凡的极大循环, 则$S\subseteq T(3k, pC)\cap{\mathbb Z}$. 如果$0\in S$, 则由条件$\gcd(p, 3) = 1$知, $x_1 = \frac{0+0}{3k} = 0$或$x_1 = \frac{0+p}{3k}\not\in{\mathbb Z}$或$x_1 = \frac{0+2p}{3k}\not\in{\mathbb Z}$. 从而$S = \{0\}$, 这与$S$为非平凡的极大循环矛盾, 所以$S\subseteq T(3k, pC)\cap{\mathbb Z}\setminus\{0\}$.

基于以上准备, 本文首先得到以下结果.

定理3.1   设$k\geq1$是正整数, $p\in{\mathbb N}\setminus\frac{3k-1}{2}{\mathbb N}$, $\gcd(p, 3) = 1$且$p>\frac{3k-1}{2}$, $\mu_{k, a, b}$是由(1.1)式定义好的自相似测度, 这里$D = \{0, ka, kb\}$以及$\{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3$. 如果$-1\pmod p, \, -2\pmod p, \, \ldots, \, -\frac{3k-3}{2}\pmod p$或$2\pmod p, \, 3\pmod p, \, \ldots, \, \frac{3k-1}{2}\pmod p$中至少存在一个属于$G_p$, 则$p\Lambda(3k, C)$为测度$\mu_{k, a, b}$的乘积谱, 其中$\Lambda(3k, C)$由(1.4)式中定义好且

证  我们用反证法证明$p\Lambda(3k, C)$为测度$\mu_{k, a, b}$的乘积谱. 如若不然, 则存在一个关于数字集$pC$的非平凡极大循环$S = \{x_0, x_1, \ldots, x_{l-1}\}$以及$c_0, c_1, \ldots, c_{l-1}\in pC$使得下式成立

由引理3.1, 直接计算可得

从而对于任意$1\le i\le l$, 可得

更进一步, 对于任意$n\in{\mathbb N}^+$, 存在$s\in{\mathbb N}$以及$0\leq r<l-1$使得$n = sl+r$, 从而$(3k)^nx_0\equiv x_{l-r} \pmod {p}$. 特别地, 我们记$x_l: = x_0$. 如果$-1\pmod p, \, -2\pmod p, \, \ldots, \, -\frac{3k-3}{2}\pmod p$中至少存在一个属于$G_p$, 不妨设$c\in\{-1, -2, \ldots, -\frac{3k-3}{2}\}$, 则存在$n\in{\mathbb N}^+$, 使得$(3k)^n\equiv c \pmod {p}$成立. 因而一定存在$j\in\{0, 1, \ldots, l-1\}$满足

注意到条件假设$p\in{\mathbb N}\setminus\frac{3k-1}{2}{\mathbb N}$且$\gcd(p, 3) = 1$, 所以由引理3.1知, 对于任意$i\in\{0, 1, \ldots, l-1\}$, 我们有$0<x_i\leq\frac{2p}{3k-1}$. 特别地, $0<x_j<\frac{2p}{3k-1}$. 另一方面, 由于$0<x_0<\frac{2p}{3k-1}$, 所以$0>cx_0>-p$, 从而$x_j = cx_0+p$. 又$c\geq-\frac{3k-3}{2}$, 所以

这即是意味着$x_j>\frac{2p}{3k-1}$. 矛盾！所以$p\Lambda(3k, C)$为测度$\mu_{k, a, b}$的乘积谱.

对于第二种情形, 如果$c\in\{2, 3, \ldots, \frac{3k-1}{2}\}$, 注意到上一部分证明过程中, $x_0$可以取非平凡极大循环中的任意元素, 从而存在$j\in\{0, 1, \ldots, l-1\}$使得非平凡极大循环中任意点$x_i\, (i\in\{0, 1, \ldots, l-1\})$满足

设$x_N$为非平凡极大循环中最大元. 因为$0<x_N<\frac{2p}{3k-1}$, 所以$0<cx_N<p$, 从而$x_j = cx_N>x_N$, 这就与假设$x_N$为非平凡极大循环中最大元矛盾. 从而$p\Lambda(3k, C)$为测度$\mu_{k, a, b}$的乘积谱, 所以定理3.1得证.

设$p$为自然数, 记${\mathbb Z}_p$为模$p$同余类群, ${\mathbb Z}_p^*$为${\mathbb Z}_p$中去掉零元的乘法群, 借助上述记号, 首先给出下面定义.

定义3.1   设$a, p\geq2$为正整数且满足$\gcd(a, p) = 1$. 记$G_p$为${\mathbb Z}_p^*$中由元素$a$所生成的子群, 即

若$a\in {\mathbb Z}_p^*$, 称方程

成立的最小正整数$x$为元素$a\pmod p$的阶, 记为${\rm ord}_{p}(a)$.

由同余关系的性质知, $a\pmod p$的阶存在当且仅当$\gcd(a, p) = 1$. 并且容易验证, 同余式(3.3)成立与否依赖于$x$是否为${\rm ord}_{p}(a)$的倍数, 即下面的引理.

引理3.2   设$m$为正整数, $a, p$均为大于2的正整数且满足$\gcd(a, p) = 1$, 则$a^m\equiv 1 \pmod p$成立当且仅当${\rm ord}_{p}(a)\mid m$.

下面结果精确刻画了整数$p$, 使得$p\Lambda(3k, C)$为测度$\mu_{k, a, b}$的乘积谱.

定理3.2   设$k\geq1$是正整数, $p\in{\mathbb N}\setminus\frac{3k-1}{2}{\mathbb N}$且$\gcd(p, 3) = 1$, $\mu_{k, a, b}$是由(1.1)式定义好的自相似测度, 其中$D = \{0, ka, kb\}$以及$\{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3$. 记$p$的标准素数分解为$p_1^{s_1}p_2^{s_2}\cdots p_n^{s_n}$, 则下面命题成立:

(i) 如果$\gcd(k, p) = p_{i_1}^{r_1}p_{i_2}^{r_2}\cdots p_{i_m}^{r_m}>1$, 则$p'\Lambda(3k, C)$为测度$\mu_{k, a, b}$的乘积谱, 这里$p' = p_{i_1}^{l_1}p_{i_2}^{l_2}\cdots p_{i_m}^{l_m}$且$l_i\geq0, \, (i = 1, 2, \ldots, m)$;

(ii) 记$P = \{p_j:\, p_j\in\{p_1, p_2, \ldots, p_n\}\, {\rm{且}}\, \gcd(k, p_j) = 1\}$, 如果

则$p\Lambda(3k, C)$为测度$\mu_{k, a, b}$的乘积谱, 这里$r_0 = \lfloor\frac{\ln\frac{2p}{3k-1}}{\ln 3k}\rfloor+1$;

(iii) 若$\gcd(k, p) = 1$且存在$i_0\in\{1, 2, \ldots, n\}$使得${\rm ord}_{p_{i_0}}(3k)$为偶数, 则对于任意$n\geq1$, $p^n\Lambda(3k, C)$构成测度$\mu_{k, a, b}$的乘积谱.

这里${\rm ord}_{p_j}(3k)$如定义3.1所定义, 记号$\lfloor x\rfloor$表示实数$x$的整数部分.

证  注意到$k = 1$总是平凡的, 因此在下文的证明中总假设$k\geq2$.

(i) 设$p_1^{s_1}p_2^{s_2}\cdots p_n^{s_n}$为正整数$p$的标准素数分解, 这里$p_1<p_2<\cdots<p_n$均为素数, 且对于所有的$1\le j\le n$, 有$s_j>0$. 记$d = \gcd(p, k)>1$, 则$d$必然有下面标准的素数分解

这里对于任意$1\le j\le m$, 有$1\leq i_j\leq n$及$1\leq r_j\leq s_{i_j}$. 令

其中$l_j\geq0$, $1\le j\le m$. 下面我们断言$\Lambda(3k, p'C)$为$\mu_{k, a, b}$的一组谱. 事实上, 如果$S = \{x_0, x_1, \ldots, x_{l-1}\}$是关于数字集$p'C$的一个非平凡极大循环, 由引理3.1可知, 对于每一个$0\le i\le l-1$, 有$x_i\in {\mathbb Z}\setminus\{0\}$, 并且存在$c_0, c_1, \ldots, c_{l-1}\in p'C$使得下式成立

从而

这即是意味着$p'\mid ((3k)^l-1)x_0$. 类似地, 对于任意$1\le i\le l-1$, 有$p'\mid ((3k)^l-1)x_i$. 不失一般性, 对于任意$1\le j\le m$, 设$l_j>0$. 因为$p_{i_j}$为$k$与$p'$的素因子, 所以$p_{i_j}\mid (3k)^l$, 从而对于任意$1\le j\le m$, 有$p_{i_j}\nmid((3k)^l-1)$, 这即是意味着$p'\nmid((3k)^l-1)$, 因此对于任意$0\le i\le l-1$, 有$p'\mid x_i$. 另一方面, 因为$S\subseteq T(3k, p'C)\subseteq[0, \frac{2p'}{3k-1}]$, 所以对于任意$1\leq i\leq l-1$, 有$x_i\le \frac{2p'}{3k-1}<p'$. 从而对于所有$0\le i\le l-1$, 容易得到$x_i$不能被$p'$整除. 矛盾! 所以不存在关于数字集$p'C$的非平凡极大循环. 这样由引理2.2知, $p'\Lambda(3k, C)$为$\mu_{k, a, b}$的乘积谱, 所以(i)得证.

(ii) 由定理2.1知, 我们只需要考虑$p>\frac{3k-1}{2}$. 接下来我们用反证法证明(ii)成立. 设$p\Lambda(3k, C)$不是$\mu_{k, a, b}$的乘积谱, 从而存在关于数字集$pC$的非平凡极大循环$S = \{x_0, x_1,$$\ldots, x_{l-1}\}$以及$c_0, c_1, \ldots, c_{l-1}\in pC$使得下式成立

类似地, 对于任意$0\le i\le l-1$, 由引理3.2可得

根据条件假设, 令$p_{j_0}\in P$且满足$\gcd(p_{j_0}, k) = 1$, 则$(3k)^l\equiv 1 \pmod {p_{j_0}}$. 如若不然, 则$(3k)^l-1$不能被$p_{j_0}$整除, 从而由(3.6)式可得: 所有极大循环点$x_i$都能被$p$整除. 另一方面, 由引理3.1可知: 所有极大循环点$x_i$满足$x_i\le \frac{2p}{3k-1}<p$, 即$p$不能整除$x_i$, 矛盾! 这也即是说$(3k)^l\equiv 1 \pmod {p_{j_0}}$. 故而由引理3.2可得

另外, 根据条件$\gcd(p_{j}, k) = 1$以及$\gcd(p, 3) = 1$可得, 对于每一个$p_j\in P$, 有$\gcd(3k, p_j) = 1$, 这即是说${\rm ord}_{p_{j}}(3k)$存在. 因此

接下来, 我们将考虑集合$(T(3k, pC)\cap {\mathbb Z})\setminus\{0\}$中所含元素个数, 首先, 引理3.1意味着

记

因为

所以$N(p)\le \lfloor \frac{2p}{3k-1}\rfloor$. 对于任意$r\in{\mathbb N}^{+}$, 又记

则$T(3k, C)$可以被分解成下面形式

这里$\sigma = \sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_r\in\Theta_3^r$以及

注意到$T(3k, pC) = pT(3k, C)$, 所以对于任意$r\in{\mathbb N}^{+}$, 有$T(3k, pC)\subseteq p\cup_{\sigma\in\Theta_3^r}T_{\sigma}$. 又因为集合$[0, \frac{2p}{(3k)^r(3k-1)}]$中非零整数的个数为$\lfloor\frac{2p}{(3k)^r(3k-1)}\rfloor$. 从而对于任意$r\in{\mathbb N}^{+}$有

这样我们就得到了$N(p)$的一个上界. 下面我们将给出$N(p)$另一个更精细的上界. 对于任意$r\in{\mathbb N}^{+}$有

注意到上面等式成立当且仅当$\frac{2p}{(3k)^r(3k-1)} = 1$, 从而$r = \frac{\ln{\frac{2p}{3k-1}}}{\ln{3k}}$. 令

因为$p>\frac{3k-1}{2}$且$r<r_0$, 所以$\lfloor\frac{2p}{(3k)^{r_0}(3k-1)}\rfloor = 0$. 从而,

因此$l>3^{r_0}-1\ge N(p)$. 但由引理3.1知$N(p)\geq l$, 故而存在矛盾. 这即是说明对于数字集$pC$, 不存在非平凡的极大循环, 于是$p\Lambda(3k, C)$就构成了$\mu_{k, a, b}$的一组乘积谱, 即(ii)得证.

(iii) 对于任意$n\geq1$, 我们注意到$p^n$与$3k$互素, 所以${\rm ord}_{p^n}(3k)$存在. 接下来我们断言对于所有$n\geq1$, ${\rm ord}_{p^n}(3k)$为偶数. 事实上, 记$d = {\rm ord}_{p^n}(3k)$, 则$(3k)^d-1$能被$p^n$所整除. 从而对于每一个$i\in\{1, 2, \ldots, n\}$, $(3k)^d-1$能被$p_i$整除. 特别地, $(3k)^d-1$能被$p_{i_0}$整除. 由假设知${\rm ord}_{p_{i_0}}(3k)$为偶数, 结合引理3.2知, $d$必能被${\rm ord}_{p_{i_0}}(3k)$整除. 这样对所有$n\geq1$, ${\rm ord}_{p^n}(3k)$均为偶数. 注意到同余方程$x^2\equiv 1 \pmod{p^n}$要么没有解, 要么有两个解. 如果$d$为偶数, 则$((3k)^{\frac{d}{2}})^2\equiv 1 \pmod{p^n}$, 从而$(3k)^{\frac{d}{2}}\equiv \pm1 \pmod{p^n}$. 又因为$(3k)^{\frac{d}{2}}\not\equiv 1 \pmod{p^n}$, 所以$(3k)^{\frac{d}{2}}\equiv -1 \pmod{p^n}$. 这样由定理3.1知, 对于每一个$n\geq1$, $p^n\Lambda(3k, C)$均为$\mu_{k, a, b}$的乘积谱. 于是我们完成了整个定理的证明.

最后, 我们将给出本文主要结果应用的一个例子.

例3.1  设$k = 4$, 若$\mu_{12, a, b}$是由(1.1)式确定的自相似测度. 如果$1\le p<66$, $p\in{\mathbb N}\setminus 11{\mathbb N}$以及$\gcd(p, 3) = 1$, 则$p\Lambda(12, C)$为$\mu_{12, a, b}$的乘积谱除$p = 26$及$52$外, 这里$C = \{0, 1, 2\}$, $\Lambda(12, C)$由(1.4)式给出.

证  首先由定理2.1知, 当$p = 1, 2, 4, 5$时, $p\Lambda(12, C)$为为$\mu_{12, a, b}$的乘积谱. 因此只需要考虑$7\le p< 66$, $p\in{\mathbb N}\setminus 11{\mathbb N}$且$\gcd(p, 3) = 1$. 由定理3.2的(i)可得, 对于任意$1\leq n\leq6$, $2^n\Lambda(12, C)$均为$\mu_{12, a, b}$的乘积谱. 记

则对于任意$p\in P_1\cup P_2$有$\gcd(p, k) = 1$. 直接计算可得, 当$p\in P_1$时, ${\rm ord}_{p}(12)$为偶数; 当$p\in P_2$时, ${\rm ord}_{p}(12)>2$. 从而由定理3.2的(ii)与(iii)知: 如果$p\in P_1\cup P_2$, 则$p\Lambda(12, C)$均为$\mu_{12, a, b}$的乘积谱. 注意到${\rm ord}_{5}(12) = 4$, 所以由定理3.2的(iii)知: 对于任意$p\in P_3 = \{10, 20, 25, 40, 50\}$, $p\Lambda(12, C)$为$\mu_{12, a, b}$为$\mu_{12, a, b}$的乘积谱. 类似地, 因为${\rm ord}_{7}(12) = 6$, 所以对于任意$p\in P_4 = \{14, 28, 35, 49, 56\}$, $p\Lambda(12, C)$为$\mu_{12, a, b}$的乘积谱. 注意到

从而再由定理3.2的(ii)可知: 如果$p\in P_5$, 则$p\Lambda(12, C)$为$\mu_{12, a, b}$的乘积谱.