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数学物理学报, 2022, 42(3): 705-715 doi:

论文

三个数字集生成的自相似测度的乘积谱

李海雄,, 吴新林, 丁道新

湖北第二师范学院数学与经济学院 & 湖北第二师范学院大数据建模与智能计算研究所 武汉 430205

Multiple Spectra of Self-Similar Measures with Three Digits

Li Haixiong,, Wu Xinlin, Ding Daoxin

School of Mathematics and Economics Bigdata Modeling and Intelligent Computing Institute, Hubei University of Education, Wuhan 430205

通讯作者: 吴新林

收稿日期: 2021-04-28  

基金资助: 国家自然科学基金.  11401189
湖北省自然科学基金.  2019CFB782

Received: 2021-04-28  

Fund supported: the NSFC.  11401189
the NSF of Hubei.  2019CFB782

作者简介 About authors

李海雄,E-mail:haixiongli80@163.com , E-mail:haixiongli80@163.com

Abstract

It is well known that the self-similar measure μk,a,b defined by

μk,a,b()=132i=0μk,a,b(3k()ki)
is a spectral measure with a spectrum
Λ(3k,C)={finitej=0(3k)jcj:cjC={0,1,2}}.
In this paper, by applying the properties of congruences and the order of elements in the finite group, we obtain some conditions on the integer p such that the set pΛ(3k,C) is also a spectrum for μk,a,b. Moreover, an example is given to explain our theory.

Keywords: Self-similar measure ; Spectral measures ; Spectral eigenvalue ; Multiple spectrum

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本文引用格式

李海雄, 吴新林, 丁道新. 三个数字集生成的自相似测度的乘积谱. 数学物理学报[J], 2022, 42(3): 705-715 doi:

Li Haixiong, Wu Xinlin, Ding Daoxin. Multiple Spectra of Self-Similar Measures with Three Digits. Acta Mathematica Scientia[J], 2022, 42(3): 705-715 doi:

1 引言

μR上具有紧支撑的Borel概率测度, 如果存在R上的离散子集Λ使得

E(Λ):={e2πiλx:λΛ}

成为空间L2(μ)上的规范正交基, 此时称μ为谱测度, 集合Λ为测度μ的一组谱, 也说(μ,Λ)为谱对.

对于具有紧支撑的Borel概率测度是否为谱测度一直是调和分析研究的基本问题之一, 大量的研究谱测度的工作始于1974年Fuglede[1]提出的著名的谱集猜想. 关于奇异测度的谱分析, 最早是Jorgensen和Pedersen在文献[2]中提出,他们指出Cantor型测度μ2k为谱测度, 并且对于任意kN+, 集合

Λ0={nj=0(2k)jaj|aj{0,1},nN}

成为μ2k的一组谱, 这里μ2k是由迭代函数系{τ0(x)=x/2k,τ2(x)=(x+k)/2k}所生成的自相似测度. 受Jorgensen和Pedersen的结果启发, 越来越多的研究者致力于奇异测度的谱分析和谱的结构研究, 感兴趣的读者可参阅文献[2-14].

关于自相似测度μ2k的谱性, Jorgensen等人发现, 存在奇数p使得集合pΛ0仍是μ2k的谱(参见文献[2, 5]). 这里pΛ0相比Λ0更加松散, 即从直观上来说μ2k存在更加稀疏的谱pΛ0. 上述奇怪的现象引出了奇异测度的谱特征值问题:

对于给定的谱测度的一组谱, 刻画实数p, 使得pΛ仍成为测度μ的一组谱.

如果ΛpΛ都是μ的一组谱, 一般称集合pΛ为测度μ的乘积谱, 也称为标度谱.

近年来, 许多研究者都致力于奇异测度的谱特征值的研究, 尤其关于自相似测度μ2kμ4的谱特征值问题研究, 引起了很多研究者的注意. 2018年, Dutkay等研究者在文献[15, 16]中利用同余方程的性质, 证明了对于任意大于3的素数p和自然数k, 集合pkΛ0仍然是Cantor测度μ4的一组谱. 2011年, Jorgensen等人在文献[7]中考虑了自相似测度μ2k, 通过极大循环的刻画, 他们指出pΛ0μ2k的一组谱如果p为奇数且满足p<2(2k1)/π. 最近, 李建林推广了这个结果, 他在文献[17]中证明了当p2N+1(2k1)Np<(2k)2(2k1)时, 集合pΛ0也可以成为μ2k的谱. 文献[18, 19]也对连续数字集所生成的自相似测度的谱特征值问题做了研究. 更多结果参见文献[20-22]. 受上述研究结果的启发, 本文将进一步考虑自相似测度的谱特征值问题.

q为大于或等于3的整数, 数字集D={0,a,b}N, 其中a,b互素. 定义迭代函数系统如下

τ0(x)=xq, τ1(x)=x+aq, τ2(x)=x+bq,  xR.

由Hutchinson[20, 21]的著名结果知, 存在唯一的Borel概率测度μq,D, 使得对于任意Borel集ER, 下面不变方程成立

μq,D=13(μq,D(τ10(E))+μq,D(τ11(E))+μq,D(τ12(E))).
(1.1)

一般称测度μq,D为自相似测度, 其吸引子为分形集且满足下面方程

T(q,D)={n=1qndn:dnD}:=n=1qnD,
(1.2)

这里T(q,D)称为由数字集D和压缩比q所生成的自相似集, 因为它满足下面迭代式

T(q,D)=τ0(T(q,D))τ1(T(q,D))τ2(T(q,D)).

#E为集合E中所含元素的个数, δe表示点e上的Dirac测度, 又记δE=1#EdEδe, 则测度μq,D可以表示成下面无穷卷积的形式:

μq,D=δq1Dδq2Dδq3D,
(1.3)

上述无穷卷积收敛为弱收敛意义下收敛.

由文献[12, 13]知, 自相似测度μq,D为谱测度当且仅当q被3整除且 \{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3 . 因此在本文中总假设 q = 3k ( k\in{\mathbb N}^+ ) D = \{0, ka, kb\} , 其中 \{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3 . 为了记号方便, 记 \mu_{k, a, b} 为自相似测度 \mu_{q, D} . 注意到若 C = \{0, 1, 2\} , 则 ((3k)^{-1}D, C) 构成了和谐对. 这里和谐对是指集合 C 为离散测度 \delta_{(3k)^{-1}D} 的一组谱, 它也等价于下面矩阵为酉阵

H: = \left[\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-2\pi {\rm i} \frac{dc}{3k}}\right]_{d\in D, c\in C}.

Jorgensen和Pedersen在文献[2]中证明了, 如果 ((3k)^{-1}D, C) 构成和谐对, 那么集合

\begin{equation} \Lambda(3k, C) = \left\{\sum\limits_{j = 0}^{n}(3k)^jc_j:c_j\in\{0, 1, 2\}\, , n\in{\mathbb N} \right\} \end{equation}
(1.4)

是空间 L^2(\mu_{k, a, b}) 中的一组无穷正交系. 随后, Dai, He和Lai进一步得到集合 \Lambda(3k, C) 还是自相似测度 \mu_{k, a, b} 的一组谱[4]. 本文将主要刻画整数 p , 使得 p\Lambda(3k, C) 构成测度 \mu_{k, a, b} 的乘积谱. 注意到如果可数集 \Lambda \mu_{k, a, b} 的谱, 那么 -\Lambda 也是 \mu_{k, a, b} 的谱, 因此下文仅考虑 p\in{\mathbb N}^+ .

2 预备知识

\mu {{\Bbb R}} 上的Borel概率测度, 其傅里叶变化定义如下

\widehat{\mu}(\xi) = \int e^{-2\pi {\rm i}\xi x }{\rm{d}}\mu(x).

因此对于任意正整数 k\geq1 , 由(1.1)式所定义好的自相似测度 \mu_{k, a, b} , 其中 D = \{0, ka, kb\} \{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3 , 其傅里叶变换直接计算得

\begin{equation} \widehat{\mu}_{k, a, b}(\xi) = M_D\left(\frac{\xi}{3k}\right)\widehat{\mu}_{k, a, b}\left(\frac{\xi}{3k}\right), \ \ \xi\in{{\Bbb R}} , \end{equation}
(2.1)

这里面罩函数定义如下

M_D(\xi) = \frac{1}{3}\left(1+e^{-2\pi {\rm i} ka \xi}+e^{-2\pi {\rm i} kb \xi}\right), \ \ \xi\in{{\Bbb R}} .

更进一步, 通过迭代式(2.1), 测度 \mu_{k, a, b} 的傅里叶变换可变形为下面无穷乘积形式

\widehat{\mu}_{k, a, b}(\xi) = \prod\limits_{n = 1}^{\infty}M_D\left(\frac{\xi}{(3k)^n}\right).

{\cal Z}(M_D) 表示面罩函数 M_D 的实数根的全体, 直接计算可得

{\cal Z}(M_D): = \{\xi\in{{\Bbb R}} \, :\, M_D(\xi) = 0\} = \frac{{\mathbb Z}\setminus 3{\mathbb Z}}{3k}.

因此

\begin{equation} {\cal Z}(\widehat{\mu}_{k, a, b}): = \{\xi\in{{\Bbb R}} \, :\, \widehat{\mu}_{k, a, b}(\xi) = 0\} = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty}(3k)^n{\cal Z}(M_D) = \bigcup\limits_{n = 0}^{\infty}(3k)^n\left({\mathbb Z}\setminus3{\mathbb Z}\right). \end{equation}
(2.2)

对于任意 \lambda\neq\lambda'\in{{\Bbb R}} , 正交性

0 = \langle e^{-2\pi {\rm i}\lambda x}, e^{-2\pi {\rm i}\lambda' x}\rangle_{L^2(\mu_{k, a, b})} = \int e^{-2\pi {\rm i}(\lambda-\lambda') x}d\mu_{k, a, b}(x) = \widehat{\mu}_{k, a, b}(\lambda-\lambda')

意味着 \lambda-\lambda'\in{\cal Z}(\widehat{\mu}_{k, a, b}) . 从而离散集 \Lambda\subset{{\Bbb R}} , E(\Lambda) = \{e^{-2\pi {\rm i}\lambda x}:\lambda\in\Lambda\} 成为 L^2(\mu_{k, a, b}) 中正交集当且仅当

\begin{equation} (\Lambda-\Lambda)\setminus\{0\}\subseteq{\cal Z}{\left(\widehat{\mu}_{k, a, b}\right)}. \end{equation}
(2.3)

此时也称 \Lambda 为测度 \mu_{k, a, b} 的一个双零集.

对于任意正整数 k\geq1 , 记 D = \{0, ka, kb\} 且满足 \{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3 . C = \{0, 1, 2\} , 则 ((3k)^{-1}D, C) 构成和谐对, 并且(1.4)式定义好的可数集 \Lambda(3k, C) 为测度 \mu_{k, a, b} 的一组谱. 注意到集合 p\Lambda(3k, C) 可改写为

\begin{eqnarray} p\Lambda(3k, C)& = &p\left\{\sum\limits_{j = 0}^{n}(3k)^jc_j:c_j\in\{0, 1, 2\}, \, n\in{\mathbb N} \right\} {}\\ & = &\left\{\sum\limits_{j = 0}^{n}(3k)^jc'_j:c'_j\in\{0, p, 2p\}, \, n\in{\mathbb N} \right\}: = \Lambda(3k, pC). \end{eqnarray}
(2.4)

从而 p\Lambda(3k, C) \mu_{k, a, b} 的乘积谱当且仅当 \Lambda(3k, pC) \mu_{k, a, b} 的一组谱, 其中 pC = \{0, p, 2p\} . 如文献[4]所述, 如果 ((3k)^{-1}D, pC) 构成和谐对, 则整数 p 必满足下面方程

1+e^{-2\pi {\rm i}\frac{pa}{3}}+e^{-2\pi {\rm i}\frac{2pb}{3}} = 0.

从而 \gcd(p, 3) = 1 . 下面的引理是由Strichartz[22]最先给出, 该结果将在本文结果的证明中起到关键作用.

引理2.1  设 q\geq2 , D , C 均为整数的有限子集且 0\in D\cap C . 如果 (q^{-1}D, C) 构成和谐对且 M_{q^{-1}D}(x) 的零点都不落在吸引子 T(q, C) 内, 则 \Lambda(q, C) \mu_{q, D} 的一组谱, 这里

\begin{equation} T(q, C) = \left\{\sum\limits_{n = 1}^{\infty}q^{-n}c_n:c_n\in C \right\}, \ \ \Lambda(q, C) = \left\{\sum\limits_{k = 0}^{n}q^k c_k:c_k\in C, \, n\ge1 \right\}. \end{equation}
(2.5)

定理2.1   设 k\geq1 为正整数, \{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3 \mu_{k, a, b} 如(1.1)式所定义. 若 \gcd(p, 3) = 1 且满足 1\le p<\frac{3k-1}{2} , 则 p\Lambda(3k, C) 为测度 \mu_{k, a, b} 的乘积谱, 其中 \Lambda(3k, C) 由(1.4)式所给出.

  对于任意 k\geq1 , 直接计算可得

{\cal Z}(M_{(3k)^{-1}D}) = 3k{\cal Z}(M_{D}) = {\mathbb Z}\setminus3{\mathbb Z} = \left((3{\mathbb Z}+1)\cup(3{\mathbb Z}+2)\right).

另一方面

T(3k, pC) = \left\{\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(3k)^{-n}c_n:c_n\in pC\right\} = p\left\{\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(3k)^{-n}c_n:c_n\in \{0, 1, 2\}\right\}\subset\left[0, \frac{2p}{3k-1}\right].

因此当 1\le p<\frac{3k-1}{2} 时, 有 {\cal Z}(M_{(3k)^{-1}D})\cap T(3k, pC) = \emptyset . 从而由引理2.1得, \Lambda(3k, pC) 为测度 \mu_{k, a, b} 的一组谱, 即 p\Lambda(3k, C) \mu_{k, a, b} 的乘积谱.

极大循环的概念有助于刻画整数 p , 使得集合 p\Lambda(3k, C) \mu_{k, a, b} 的乘积谱.

定义2.1[5]   设 k , p 均为正整数且满足 \gcd(p, 3) = 1 . 称集合 \{x_0, x_1, \ldots, x_{l-1}\}\subset{{\Bbb R}} 是关于数字集 pC = \{0, p, 2p\} 且长度为 l 的极大循环, 如果存在 \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{l-1}\in pC 使得

(i) x_0 = \frac{x_{l-1}+\alpha_{l-1}}{3k} x_i = \frac{x_{i-1}+\alpha_{i-1}}{3k} , 1\leq i\le l-1 ;

(ii) 当 0\le i\leq l-1 时, |M_D(x_i)| = 1 , 其中 D = \{0, ka, kb\} \{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3 .

特别地, 称 x_i(0\le i\le l-1) 为关于数字集 pC 的极大循环点.

Łaba和Wang在文献[3]中得到下面重要的结果.

引理2.2   设 k\geq1 是正整数, \mu_{k, a, b} 是由(1.1)式定义好的自相似测度, 其中 \{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3 . 如果 p\in{\mathbb N} 且满足 \gcd(p, 3) = 1 , 则 p\Lambda(3k, C) 为测度 \mu_{k, a, b} 的乘积谱当且仅当关于数字集 pC 的极大循环仅只含有平凡极大循环 \{0\} , 其中 \Lambda(3k, C) 由(1.4)式给出.

注2.1   当 k\geq1 为正整数, 如果 p\in(3k-1){\mathbb N} 或者 p\in\frac{3k-1}{2}{\mathbb N}\subset{\mathbb N} , 则由引理2.2知: p\Lambda(3k, C) 将不会是 \mu_{k, a, b} 的一组谱. 事实上当 p\in(3k-1){\mathbb N} 时, 令 x_0 = \frac{p}{3k-1} , 则 \frac{x_0+p}{3k} = x_0 . p\in\frac{3k-1}{2}{\mathbb N}\subset{\mathbb N} 时, 又令 x_0 = \frac{2p}{3k-1} , 同样可得 \frac{x_0+2p}{3k} = x_0 . 特别地, x_0 = \frac{p}{3k-1}\, \rm{或者}\, \frac{2p}{3k-1}\in{\mathbb N} 且满足 |M_D(x_0)| = 1 . 因此 \left\{\frac{p}{3k-1}\right\} 或者 \left\{\frac{2p}{3k-1}\right\} 构成了关于数字集 pC 的非平凡极大循环. 这也就是说 \Lambda(3k, pC) 不是 \mu_{k, a, b} 的一组谱.

注意到当 p\Lambda(3k, C) 为测度 \mu_{k, a, b} 的乘积谱时, 则 p 满足 p\in{\mathbb N}\setminus\frac{3k-1}{2}{\mathbb N} \gcd(p, 3) = 1 .

3 主要定理及其证明

受Dutkay和Kraus在文献[16]中的启发, 本节首先给出关于数字集 pC = \{0, p, 2p\} 的非平凡极大循环的结构.

引理3.1   设 k , p 都为正整数且满足 \gcd(p, 3) = 1 , 则

\{x_0: x_0 {\rm{为关于数字集}}pC {\rm{的极大循环点}}\} = T(3k, pC)\cap{\mathbb Z},

这里

\begin{equation} T(3k, pC) = \left\{\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(3k)^{-n}c_n:c_n\in pC\right\} \end{equation}
(3.1)

是由迭代函数系统 \{\tau_0(x) = \frac{x}{3k}, \tau_1(x) = \frac{x+p}{3k}, \tau_2(x) = \frac{x+2p}{3k}\} 所生成的吸引子. 特别地, 如果 S 是关于数字集 pC 的非平凡的极大循环, 则 S\subseteq T(3k, pC)\cap{\mathbb Z}\setminus\{0\} .

  设 x_0 为任意关于数字集 pC = \{0, p, 2p\} 的极大循环点, 又设 S = \{x_0, x_1, \ldots, x_{l-1}\} 是任意含 x_0 的极大循环, 从而存在 \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{l-1}\in pC 使得下面等式成立

x_1 = \frac{x_{0}+\alpha_{0}}{3k}, \ x_2 = \frac{x_{1}+\alpha_{1}}{3k}, \ \ldots, \ x_{l-1} = \frac{x_{l-2}+\alpha_{l-2}}{3k}, \ x_0 = \frac{x_{l-1}+\alpha_{l-1}}{3k}.

|M_D(x_0)| = 1 x_0\in{\mathbb Z} , 这里 D = \{0, ka, kb\} \{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3 . 更进一步可得

x_0 = \frac{x_{l-1}+\alpha_{l-1}}{3k} = \frac{x_{l-2}}{(3k)^2}+\frac{\alpha_{l-2}}{(3k)^2}+\frac{\alpha_{l-1}}{3k} = \cdots = \frac{x_{0}}{(3k)^l}+\frac{\alpha_{0}}{(3k)^l}+\frac{\alpha_{1}}{(3k)^{l-1}}+\cdots+\frac{\alpha_{l-1}}{3k}.

令上面等式迭代到无穷, 我们可得 x_0 存在以 3k 为底的标准分解. 所以 x_0\in T(3k, pC) , 即 x_0\in T(3k, pC)\cap{\mathbb Z} .

另一方面, 对于任意 x_0\in T(3k, pC)\cap{\mathbb Z} , 由 T(3k, pC) = \cup_{i = 1}^3\tau_i(T(3k, pC)) 可知, 存在 x_{-1}\in T(3k, pC) \alpha_0\in pC 使得 x_0 = \frac{x_{-1}+\alpha_0}{3k} , 因此 x_{-1} = 3kx_0-\alpha_0\in{\mathbb Z}\setminus\{0\} . 类似地, 对于任意 j\geq1 , 一定存在 x_{-1}, x_{-2}, \ldots\in T(3k, pC)\cap{\mathbb Z}\setminus\{0\} 以及 \alpha_1, \alpha_2, \ldots\in pC 使得 x_{-j} = \frac{x_{-j-1}+\alpha_j}{3k} 成立. 注意到集合 T(3k, pC)\cap{\mathbb Z} 为有限集, 所以存在整数 m<l , 使得 x_{-m} = x_{-l} , 这也即是说 \{x_{-m}, x_{-m-1}, \ldots, x_{-l+1}\} 构成了一个极大循环. 接下来我们将断言该极大循环是从 x_0 开始.

首先注意到 x_{-m+1} = \frac{x_{-m}+\alpha_{m-1}}{3k}\in{\mathbb Z} 以及 x_{-l+1} = \frac{x_{-l}+\alpha_{l-1}}{3k}\in{\mathbb Z} , 由于 x_{-m} = x_{-l} , 所以 x_{-m} = 3kx_{-m+1}-\alpha_{m-1} = 3kx_{-l+1}-\alpha_{l-1} , 从而 \alpha_{l-1}-\alpha_{m-1} 可以被 3k 整除. 又因为 \alpha_{l-1}-\alpha_{m-1}\in\{-2p, -p, 0, p, 2p\} 以及 \gcd(p, 3) = 1 , 所以 \alpha_{l-1} = \alpha_{m-1} x_{-m+1} = x_{-l+1} . 这样根据归纳证明可得 x_0 必为上述极大循环的起点, 即 x_0 为极大循环点.

最后, 设 S 是关于数字集 pC = \{0, p, 2p\} 的非平凡的极大循环, 则 S\subseteq T(3k, pC)\cap{\mathbb Z} . 如果 0\in S , 则由条件 \gcd(p, 3) = 1 知, x_1 = \frac{0+0}{3k} = 0 x_1 = \frac{0+p}{3k}\not\in{\mathbb Z} x_1 = \frac{0+2p}{3k}\not\in{\mathbb Z} . 从而 S = \{0\} , 这与 S 为非平凡的极大循环矛盾, 所以 S\subseteq T(3k, pC)\cap{\mathbb Z}\setminus\{0\} .

基于以上准备, 本文首先得到以下结果.

定理3.1   设 k\geq1 是正整数, p\in{\mathbb N}\setminus\frac{3k-1}{2}{\mathbb N} , \gcd(p, 3) = 1 p>\frac{3k-1}{2} , \mu_{k, a, b} 是由(1.1)式定义好的自相似测度, 这里 D = \{0, ka, kb\} 以及 \{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3 . 如果 -1\pmod p, \, -2\pmod p, \, \ldots, \, -\frac{3k-3}{2}\pmod p 2\pmod p, \, 3\pmod p, \, \ldots, \, \frac{3k-1}{2}\pmod p 中至少存在一个属于 G_p , 则 p\Lambda(3k, C) 为测度 \mu_{k, a, b} 的乘积谱, 其中 \Lambda(3k, C) 由(1.4)式中定义好且

G_p: = \{(3k)^n\pmod p:\, n\in{\mathbb N}\}.

  我们用反证法证明 p\Lambda(3k, C) 为测度 \mu_{k, a, b} 的乘积谱. 如若不然, 则存在一个关于数字集 pC 的非平凡极大循环 S = \{x_0, x_1, \ldots, x_{l-1}\} 以及 c_0, c_1, \ldots, c_{l-1}\in pC 使得下式成立

\frac{x_0+c_0}{3k} = x_1, \, \, \frac{x_1+c_1}{3k} = x_2, \, \, \ldots, \, \, \frac{x_{l-1}+c_{l-1}}{3k} = x_0.

由引理3.1, 直接计算可得

x_0 = \frac{x_{l-1}+c_{l-1}}{3k} = \frac{x_{l-2}}{(3k)^2}+\frac{c_{l-2}}{(3k)^2}+\frac{c_{l-1}}{3k} = \cdots = \frac{x_{0}}{(3k)^l}+\frac{c_{0}}{(3k)^l}+\frac{c_{1}}{(3k)^{l-1}}+\cdots+\frac{c_{l-1}}{3k}.

从而对于任意 1\le i\le l , 可得

\begin{equation} (3k)^ix_0\equiv x_{l-i} \pmod {p}. \end{equation}
(3.2)

更进一步, 对于任意 n\in{\mathbb N}^+ , 存在 s\in{\mathbb N} 以及 0\leq r<l-1 使得 n = sl+r , 从而 (3k)^nx_0\equiv x_{l-r} \pmod {p} . 特别地, 我们记 x_l: = x_0 . 如果 -1\pmod p, \, -2\pmod p, \, \ldots, \, -\frac{3k-3}{2}\pmod p 中至少存在一个属于 G_p , 不妨设 c\in\{-1, -2, \ldots, -\frac{3k-3}{2}\} , 则存在 n\in{\mathbb N}^+ , 使得 (3k)^n\equiv c \pmod {p} 成立. 因而一定存在 j\in\{0, 1, \ldots, l-1\} 满足

cx_0\equiv x_{j} \pmod {p}.

注意到条件假设 p\in{\mathbb N}\setminus\frac{3k-1}{2}{\mathbb N} \gcd(p, 3) = 1 , 所以由引理3.1知, 对于任意 i\in\{0, 1, \ldots, l-1\} , 我们有 0<x_i\leq\frac{2p}{3k-1} . 特别地, 0<x_j<\frac{2p}{3k-1} . 另一方面, 由于 0<x_0<\frac{2p}{3k-1} , 所以 0>cx_0>-p , 从而 x_j = cx_0+p . c\geq-\frac{3k-3}{2} , 所以

x_j = cx_0+p>c\frac{2p}{3k-1}+p = \frac{p(2c+3k-1)}{3k-1}\geq\frac{2p}{3k-1}.

这即是意味着 x_j>\frac{2p}{3k-1} . 矛盾!所以 p\Lambda(3k, C) 为测度 \mu_{k, a, b} 的乘积谱.

对于第二种情形, 如果 c\in\{2, 3, \ldots, \frac{3k-1}{2}\} , 注意到上一部分证明过程中, x_0 可以取非平凡极大循环中的任意元素, 从而存在 j\in\{0, 1, \ldots, l-1\} 使得非平凡极大循环中任意点 x_i\, (i\in\{0, 1, \ldots, l-1\}) 满足

cx_i\equiv x_{j} \pmod {p}.

x_N 为非平凡极大循环中最大元. 因为 0<x_N<\frac{2p}{3k-1} , 所以 0<cx_N<p , 从而 x_j = cx_N>x_N , 这就与假设 x_N 为非平凡极大循环中最大元矛盾. 从而 p\Lambda(3k, C) 为测度 \mu_{k, a, b} 的乘积谱, 所以定理3.1得证.

p 为自然数, 记 {\mathbb Z}_p 为模 p 同余类群, {\mathbb Z}_p^* {\mathbb Z}_p 中去掉零元的乘法群, 借助上述记号, 首先给出下面定义.

定义3.1   设 a, p\geq2 为正整数且满足 \gcd(a, p) = 1 . G_p {\mathbb Z}_p^* 中由元素 a 所生成的子群, 即

G_p = \{a^n\pmod p:\, n = 0, 1, 2, \ldots\}.

a\in {\mathbb Z}_p^* , 称方程

\begin{equation} a^x\equiv 1 \pmod p \end{equation}
(3.3)

成立的最小正整数 x 为元素 a\pmod p 的阶, 记为 {\rm ord}_{p}(a) .

由同余关系的性质知, a\pmod p 的阶存在当且仅当 \gcd(a, p) = 1 . 并且容易验证, 同余式(3.3)成立与否依赖于 x 是否为 {\rm ord}_{p}(a) 的倍数, 即下面的引理.

引理3.2   设 m 为正整数, a, p 均为大于2的正整数且满足 \gcd(a, p) = 1 , 则 a^m\equiv 1 \pmod p 成立当且仅当 {\rm ord}_{p}(a)\mid m .

下面结果精确刻画了整数 p , 使得 p\Lambda(3k, C) 为测度 \mu_{k, a, b} 的乘积谱.

定理3.2   设 k\geq1 是正整数, p\in{\mathbb N}\setminus\frac{3k-1}{2}{\mathbb N} \gcd(p, 3) = 1 , \mu_{k, a, b} 是由(1.1)式定义好的自相似测度, 其中 D = \{0, ka, kb\} 以及 \{a, b\}\equiv\{1, 2\}\pmod 3 . p 的标准素数分解为 p_1^{s_1}p_2^{s_2}\cdots p_n^{s_n} , 则下面命题成立:

(i) 如果 \gcd(k, p) = p_{i_1}^{r_1}p_{i_2}^{r_2}\cdots p_{i_m}^{r_m}>1 , 则 p'\Lambda(3k, C) 为测度 \mu_{k, a, b} 的乘积谱, 这里 p' = p_{i_1}^{l_1}p_{i_2}^{l_2}\cdots p_{i_m}^{l_m} l_i\geq0, \, (i = 1, 2, \ldots, m) ;

(ii) 记 P = \{p_j:\, p_j\in\{p_1, p_2, \ldots, p_n\}\, {\rm{且}}\, \gcd(k, p_j) = 1\} , 如果

\min{\{\rm{ord}}_{p_{j}}(3k): p_j\in P\}>3^{r_0}-1,

p\Lambda(3k, C) 为测度 \mu_{k, a, b} 的乘积谱, 这里 r_0 = \lfloor\frac{\ln\frac{2p}{3k-1}}{\ln 3k}\rfloor+1 ;

(iii) 若 \gcd(k, p) = 1 且存在 i_0\in\{1, 2, \ldots, n\} 使得 {\rm ord}_{p_{i_0}}(3k) 为偶数, 则对于任意 n\geq1 , p^n\Lambda(3k, C) 构成测度 \mu_{k, a, b} 的乘积谱.

这里 {\rm ord}_{p_j}(3k) 如定义3.1所定义, 记号 \lfloor x\rfloor 表示实数 x 的整数部分.

  注意到 k = 1 总是平凡的, 因此在下文的证明中总假设 k\geq2 .

(i) 设 p_1^{s_1}p_2^{s_2}\cdots p_n^{s_n} 为正整数 p 的标准素数分解, 这里 p_1<p_2<\cdots<p_n 均为素数, 且对于所有的 1\le j\le n , 有 s_j>0 . d = \gcd(p, k)>1 , 则 d 必然有下面标准的素数分解

\begin{equation} d = p_{i_1}^{r_1}p_{i_2}^{r_2}\cdots p_{i_m}^{r_m}, \end{equation}
(3.4)

这里对于任意 1\le j\le m , 有 1\leq i_j\leq n 1\leq r_j\leq s_{i_j} .

p' = p_{i_1}^{l_1}p_{i_2}^{l_2}\cdots p_{i_m}^{l_m},

其中 l_j\geq0 , 1\le j\le m . 下面我们断言 \Lambda(3k, p'C) \mu_{k, a, b} 的一组谱. 事实上, 如果 S = \{x_0, x_1, \ldots, x_{l-1}\} 是关于数字集 p'C 的一个非平凡极大循环, 由引理3.1可知, 对于每一个 0\le i\le l-1 , 有 x_i\in {\mathbb Z}\setminus\{0\} , 并且存在 c_0, c_1, \ldots, c_{l-1}\in p'C 使得下式成立

\frac{x_0+c_0}{3k} = x_1, \, \, \frac{x_1+c_1}{3k} = x_2, \, \, \ldots, \, \, \frac{x_{l-1}+c_{l-1}}{3k} = x_0.

从而

\begin{equation} x_0 = \frac{1}{(3k)^l-1}\left(c_0+3kc_1+\cdots+(3k)^{l-1}c_{l-1}\right). \end{equation}
(3.5)

这即是意味着 p'\mid ((3k)^l-1)x_0 . 类似地, 对于任意 1\le i\le l-1 , 有 p'\mid ((3k)^l-1)x_i . 不失一般性, 对于任意 1\le j\le m , 设 l_j>0 . 因为 p_{i_j} k p' 的素因子, 所以 p_{i_j}\mid (3k)^l , 从而对于任意 1\le j\le m , 有 p_{i_j}\nmid((3k)^l-1) , 这即是意味着 p'\nmid((3k)^l-1) , 因此对于任意 0\le i\le l-1 , 有 p'\mid x_i . 另一方面, 因为 S\subseteq T(3k, p'C)\subseteq[0, \frac{2p'}{3k-1}] , 所以对于任意 1\leq i\leq l-1 , 有 x_i\le \frac{2p'}{3k-1}<p' . 从而对于所有 0\le i\le l-1 , 容易得到 x_i 不能被 p' 整除. 矛盾! 所以不存在关于数字集 p'C 的非平凡极大循环. 这样由引理2.2知, p'\Lambda(3k, C) \mu_{k, a, b} 的乘积谱, 所以(i)得证.

(ii) 由定理2.1知, 我们只需要考虑 p>\frac{3k-1}{2} . 接下来我们用反证法证明(ii)成立. 设 p\Lambda(3k, C) 不是 \mu_{k, a, b} 的乘积谱, 从而存在关于数字集 pC 的非平凡极大循环 S = \{x_0, x_1, \ldots, x_{l-1}\} 以及 c_0, c_1, \ldots, c_{l-1}\in pC 使得下式成立

\frac{x_0+c_0}{3k} = x_1, \, \, \frac{x_1+c_1}{3k} = x_2, \, \, \ldots, \, \, \frac{x_{l-1}+c_{l-1}}{3k} = x_0.

类似地, 对于任意 0\le i\le l-1 , 由引理3.2可得

\begin{equation} (3k)^lx_i\equiv x_i \pmod {p}. \end{equation}
(3.6)

根据条件假设, 令 p_{j_0}\in P 且满足 \gcd(p_{j_0}, k) = 1 , 则 (3k)^l\equiv 1 \pmod {p_{j_0}} . 如若不然, 则 (3k)^l-1 不能被 p_{j_0} 整除, 从而由(3.6)式可得: 所有极大循环点 x_i 都能被 p 整除. 另一方面, 由引理3.1可知: 所有极大循环点 x_i 满足 x_i\le \frac{2p}{3k-1}<p , 即 p 不能整除 x_i , 矛盾! 这也即是说 (3k)^l\equiv 1 \pmod {p_{j_0}} . 故而由引理3.2可得

l\ge{\rm ord}_{p_{j_0}}(3k).

另外, 根据条件 \gcd(p_{j}, k) = 1 以及 \gcd(p, 3) = 1 可得, 对于每一个 p_j\in P , 有 \gcd(3k, p_j) = 1 , 这即是说 {\rm ord}_{p_{j}}(3k) 存在. 因此

l\ge {\rm ord}_{p_{j_0}}(3k)\ge \min\{{\rm ord}_{p_j}(3k):p_j\in P\}.

接下来, 我们将考虑集合 (T(3k, pC)\cap {\mathbb Z})\setminus\{0\} 中所含元素个数, 首先, 引理3.1意味着

\begin{equation} S\subseteq (T(3k, pC)\cap {\mathbb Z})\setminus\{0\}. \end{equation}
(3.7)

N(p) = \#(T(3k, pC)\cap{\mathbb Z})\setminus\{0\}.

因为

T(3k, pC) = \left\{\sum\limits_{n = 1}^{\infty}p(3k)^{-n}c_n:c_n\in C \right\}\subseteq \left[0, \frac{2p}{3k-1}\right],

所以 N(p)\le \lfloor \frac{2p}{3k-1}\rfloor . 对于任意 r\in{\mathbb N}^{+} , 又记

\Theta_3^r = \{\sigma_1\sigma_2\cdots \sigma_r:\, \sigma_j\in C, 1\le j\le r\}.

T(3k, C) 可以被分解成下面形式

T(3k, C) = \bigcup\limits_{\sigma\in\Theta_3^r}T_{\sigma},

这里 \sigma = \sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_r\in\Theta_3^r 以及

\begin{eqnarray*} T_{\sigma}& = &\left\{\frac{\sigma_1}{3k}+\frac{\sigma_2}{(3k)^2}+\cdots+\frac{\sigma_r}{(3k)^r}+\sum\limits_{j = r+1}^{\infty}\frac{\sigma_j}{(3k)^j}:\sigma_j\in C, \ j\geq1\right\} \\ &\subseteq &\left[\frac{\sigma_1}{3k}+\frac{\sigma_2}{(3k)^2}+\cdots+\frac{\sigma_r}{(3k)^r}, \frac{\sigma_1}{3k}+\frac{\sigma_2}{(3k)^2}+\cdots+\frac{\sigma_r}{(3k)^r}+\frac{2}{(3k)^r(3k-1)}\right]\\ & = & \frac{\sigma_1}{3k}+\frac{\sigma_2}{(3k)^2}+\cdots+\frac{\sigma_r}{(3k)^r}+\left[0, \frac{2}{(3k)^r(3k-1)}\right]. \end{eqnarray*}

注意到 T(3k, pC) = pT(3k, C) , 所以对于任意 r\in{\mathbb N}^{+} , 有 T(3k, pC)\subseteq p\cup_{\sigma\in\Theta_3^r}T_{\sigma} . 又因为集合 [0, \frac{2p}{(3k)^r(3k-1)}] 中非零整数的个数为 \lfloor\frac{2p}{(3k)^r(3k-1)}\rfloor . 从而对于任意 r\in{\mathbb N}^{+}

\begin{eqnarray*} N(p) &\le& \left\lfloor\frac{2p}{(3k)^r(3k-1)}\right\rfloor+(3^r-1)\left(\left\lfloor\frac{2p}{(3k)^r(3k-1)}\right\rfloor+1\right)\\ & = &3^r\left\lfloor\frac{2p}{(3k)^r(3k-1)}\right\rfloor+3^r-1 \\ &\le& 3^r\frac{2p}{(3k)^r(3k-1)}+3^r-1 \\ & = & \frac{2p}{{k}^r(3k-1)}+3^r-1. \end{eqnarray*}

这样我们就得到了 N(p) 的一个上界. 下面我们将给出 N(p) 另一个更精细的上界. 对于任意 r\in{\mathbb N}^{+}

\frac{2p}{{k}^r(3k-1)}+3^r-1\ge 2\sqrt{\frac{2p3^r}{{k}^r(3k-1)}}-1.

注意到上面等式成立当且仅当 \frac{2p}{(3k)^r(3k-1)} = 1 , 从而 r = \frac{\ln{\frac{2p}{3k-1}}}{\ln{3k}} .

r_0 = \left\lfloor\frac{\ln{\frac{2p}{3k-1}}}{\ln{3k}}\right\rfloor+1.

因为 p>\frac{3k-1}{2} r<r_0 , 所以 \lfloor\frac{2p}{(3k)^{r_0}(3k-1)}\rfloor = 0 . 从而,

\begin{equation} N(p)\le 3^{r_0}\left\lfloor\frac{2p}{(3k)^{r_0}(3k-1)}\right\rfloor+3^{r_0}-1 = 3^{r_0}-1. \end{equation}
(3.8)

因此 l>3^{r_0}-1\ge N(p) . 但由引理3.1知 N(p)\geq l , 故而存在矛盾. 这即是说明对于数字集 pC , 不存在非平凡的极大循环, 于是 p\Lambda(3k, C) 就构成了 \mu_{k, a, b} 的一组乘积谱, 即(ii)得证.

(iii) 对于任意 n\geq1 , 我们注意到 p^n 3k 互素, 所以 {\rm ord}_{p^n}(3k) 存在. 接下来我们断言对于所有 n\geq1 , {\rm ord}_{p^n}(3k) 为偶数. 事实上, 记 d = {\rm ord}_{p^n}(3k) , 则 (3k)^d-1 能被 p^n 所整除. 从而对于每一个 i\in\{1, 2, \ldots, n\} , (3k)^d-1 能被 p_i 整除. 特别地, (3k)^d-1 能被 p_{i_0} 整除. 由假设知 {\rm ord}_{p_{i_0}}(3k) 为偶数, 结合引理3.2知, d 必能被 {\rm ord}_{p_{i_0}}(3k) 整除. 这样对所有 n\geq1 , {\rm ord}_{p^n}(3k) 均为偶数. 注意到同余方程 x^2\equiv 1 \pmod{p^n} 要么没有解, 要么有两个解. 如果 d 为偶数, 则 ((3k)^{\frac{d}{2}})^2\equiv 1 \pmod{p^n} , 从而 (3k)^{\frac{d}{2}}\equiv \pm1 \pmod{p^n} . 又因为 (3k)^{\frac{d}{2}}\not\equiv 1 \pmod{p^n} , 所以 (3k)^{\frac{d}{2}}\equiv -1 \pmod{p^n} . 这样由定理3.1知, 对于每一个 n\geq1 , p^n\Lambda(3k, C) 均为 \mu_{k, a, b} 的乘积谱. 于是我们完成了整个定理的证明.

最后, 我们将给出本文主要结果应用的一个例子.

例3.1  设 k = 4 , 若 \mu_{12, a, b} 是由(1.1)式确定的自相似测度. 如果 1\le p<66 , p\in{\mathbb N}\setminus 11{\mathbb N} 以及 \gcd(p, 3) = 1 , 则 p\Lambda(12, C) \mu_{12, a, b} 的乘积谱除 p = 26 52 外, 这里 C = \{0, 1, 2\} , \Lambda(12, C) 由(1.4)式给出.

  首先由定理2.1知, 当 p = 1, 2, 4, 5 时, p\Lambda(12, C) 为为 \mu_{12, a, b} 的乘积谱. 因此只需要考虑 7\le p< 66 , p\in{\mathbb N}\setminus 11{\mathbb N} \gcd(p, 3) = 1 . 由定理3.2的(i)可得, 对于任意 1\leq n\leq6 , 2^n\Lambda(12, C) 均为 \mu_{12, a, b} 的乘积谱. 记

P_1 = \{7, 13, 19, 29, 65\}, {\qquad} P_2 = \{17, 23, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61\}.

则对于任意 p\in P_1\cup P_2 \gcd(p, k) = 1 . 直接计算可得, 当 p\in P_1 时, {\rm ord}_{p}(12) 为偶数; 当 p\in P_2 时, {\rm ord}_{p}(12)>2 . 从而由定理3.2的(ii)与(iii)知: 如果 p\in P_1\cup P_2 , 则 p\Lambda(12, C) 均为 \mu_{12, a, b} 的乘积谱. 注意到 {\rm ord}_{5}(12) = 4 , 所以由定理3.2的(iii)知: 对于任意 p\in P_3 = \{10, 20, 25, 40, 50\} , p\Lambda(12, C) \mu_{12, a, b} \mu_{12, a, b} 的乘积谱. 类似地, 因为 {\rm ord}_{7}(12) = 6 , 所以对于任意 p\in P_4 = \{14, 28, 35, 49, 56\} , p\Lambda(12, C) \mu_{12, a, b} 的乘积谱. 注意到

P_5 = \{34, 38, 46, 58, 62\} = \{2\times 17, 2\times 19, 2\times 23, 2\times 29, 2\times 31\}.

从而再由定理3.2的(ii)可知: 如果 p\in P_5 , 则 p\Lambda(12, C) \mu_{12, a, b} 的乘积谱.

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