Hilbert空间中框架概念, 是基概念的推广, 由Duffin和Schaeffer^[1]于1952年在研究非调和Fourier级数时首次引入. 设$ {\cal H} $是Hilbert空间, 序列$ \{f_{i}\}_{i\in \bf N}\subset {\cal H} $称为$ {\cal H} $的框架, 如果存在常数$ 0<A_{1}\leq B_{1}<\infty $, 使得

$ A_{1}\|f\|^{2}\leq\sum\limits_{i\in\bf N}|\langle f, f_{i}\rangle|^{2}\leq B_{1}\|f\|^{2}, \ \ \forall f\in{\cal H} $

成立. 他们仅对框架展开初步探讨. 直到1986年Daubechies^[2]等突破性的研究才引起学者对框架的关注和兴趣. 如今框架成为众多应用领域不可替代的工具, 已被广泛应用于图像处理^[3]、压缩感知^[4]、神经网络^[5]、量化测度^[6]等领域. 有关框架的研究成果十分丰富^[7-9].

2006年, 孙文昌教授^[10]对当时已有的几种框架概念比如子空间框架、伪框架、有界拟投影等进行了统一处理, 从而引入了Hilbert空间$ {\cal H} $中的广义框架概念(详见定义2.1). 这不但发展和丰富了框架理论, 而且具有重要的学术价值和理论意义. 近年来, 关于广义框架的研究工作相当丰富, 如文献[11-17] 及其参考文献.

2011年, Christensen和Laugesen^[8]首次引入近似对偶框架概念, 由于它们比经典对偶框架更容易构造, 并且可以导出几乎完美的重构, 近似对偶框架的研究比较活跃, 如文献[18-20]. 特别地, 2014年, Khosravi等将近似对偶概念推广到广义框架. 文献[21]中, 作者通过在两个Fusion框架的重构和分析算子直接插入一个有界算子$ Q $构造对偶Fusion框架. 受对偶Fusion框架定义的启发, 本文研究$ Q $-(近似)对偶广义框架, 首先, 我们引入了$ Q $-(近似)对偶广义框架的概念, 接着讨论$ Q $-近似对偶广义框架与$ Q $-对偶广义框架之间的关系, 得到了$ Q $-对偶广义框架的性质, 给出了$ Q $-(近似)对偶广义框架的刻画. 最后, 利用$ Q $-近似对偶广义框架给出一广义框架接近另一广义框架的一些等价条件, 举例说明等价条件中的条件是必须的.

本文组成如下: 第二节列出通篇用到的基本记号, 基本知识和已有结果; 第三节给出$ Q $-(近似)对偶广义框架的概念与性质; 第四节利用$ Q $-(近似)对偶广义框架给出广义框架接近的若干等价条件.

本部分主要回顾下文所用到的一些记号、概念和基本性质(详见文献[10, 15-18]). 采用如下记号: $ \cal{H}, \, {\cal V} $表示复可分Hilbert空间, $ J $表示整数集$ {\mathbb Z} $的子集, $ \{{\cal V}_j\}_{j\in J} $表示$ {\cal V} $的一列闭子空间, $ L({\cal H}, \, {\cal V}_{j}) $表示由$ \cal{H} $到$ {\cal V}_{j} $的所有有界线性算子的集合, 特别地, 若对于任意$ j\in J $, 有$ {\cal V}_{j} = \cal{H} $, 则记$ L({\cal H}, \, {\cal V}_{j}) $为$ L(\cal{H}) $, $ I_{\cal{H}} $表示$ \cal{H} $的恒等算子. Ker$ Q $表示算子$ Q $的核.

定义2.1^[10]   给定算子列$ \Lambda = \{\Lambda_{j}\in L({\cal H}, \, {\cal V}_{j}):j\in J\} $, 若存在常数$ 0<A\leq B<\infty $, 使得

(2.1) $ \begin{equation} A\|f\|^{2}\leq\sum\limits_{j\in J}\|\Lambda_{j}f\|^{2}\leq B\|f\|^{2}, \forall f\in {\cal H}, \end{equation} $

则称$ \Lambda $为$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_j:j\in J\} $的广义框架, $ A $和$ B $分别称为广义框架的下界和上界. 若(2.1) 式仅对右半不等式成立, 则称$ \Lambda $为$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_j:j\in J\} $的广义$ \rm{Bessel} $序列; 若(2.1) 式中$ A = B $, 则称$ \Lambda $为$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_j:j\in J\} $的紧广义框架; 若(2.1) 式中$ A = B = 1 $, 则称$ \Lambda $为$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_j:j\in J\} $的$ \rm{Parseval} $广义框架.

线性空间$ l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}) $定义如下

$ l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}) = \bigg\{ \{g_{j}\}_{j\in J}: g_{j}\in {\cal V}_{j}, \sum\limits_{j\in J}\|g_{j}\|^{2}<\infty\bigg\}, $

并在其上定义内积

$ \langle \{f_{j}\}_{j\in J}, \, \{g_{j}\}_{j\in J}\rangle = \sum\limits_{j\in J}\langle f_{j}, \, g_{j}\rangle, $

则易证$ l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}) $是复可分Hilbert空间. 设$ \{e_{j, k}\}_{j\in J, k\in{\cal K}_{j}} $为$ {\cal V}_j $的标准正交基, $ {\cal K}_{j}\subseteq{\mathbb Z} $, 定义

$ \tilde{e}_{j, k} = \{\delta_{ji}e_{ik}\}_{i\in J, j\in J, k\in{\cal K}_{j}}, $

其中$ \delta_{ji} $是Kronecker符号，那么$ \{\tilde{e}_{j, k}\}_{j\in J, k\in{\cal K}_{j}} $是$ l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}) $的标准正交基^[16].

假设$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_j:j\in J\} $的广义框架, 显然它为广义Bessel序列, 从而算子

$ T: l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})\rightarrow {\cal H}, \ \ T(\{f_{j}\}_{j\in J}) = \sum\limits_{j\in J} \Lambda_{j}^{\ast}f_{j} $

是线性有界的, 称其为$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的重构算子; 它的共轭算子

$ T^{\ast}: {\cal H}\rightarrow l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}), \ \ T^{\ast}f = \{\Lambda_{j}f\}_{j\in J} $

称为$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的分析算子; 称有界算子

$ S: {\cal H}\rightarrow {\cal H}, \ \ Sf = TT^{\ast}f = \sum\limits_{j\in J} \Lambda_{j}^{\ast}\Lambda_{j}f $

称为广义框架$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的框架算子. $ S $是正的、自伴可逆算子^[15].

定义2.2^[10]   设$ \{\Lambda_{j}\in L({\cal H}, \, {\cal V}_{j}):j\in J\} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_j:j\in J\} $的广义框架, 若存在$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_j:j\in J\} $的广义框架$ \{\Gamma_{j}\in L({\cal H}, \, {\cal V}_{j}):j\in J\} $, 使得对任意$ f\in {\cal H} $, 有$ f = \sum\limits_{j\in J} \Gamma_{j}^{\ast}\Lambda_{j}f, $则称$ \{\Gamma_{j}\in L({\cal H}, \, {\cal V}_{j}):j\in J\} $为$ \{\Lambda_{j}\in L({\cal H}, \, {\cal V}_{j}):j\in J\} $的对偶广义框架. 令$ \widetilde{\Lambda}_{j} = \Lambda_{j}S^{-1} $, 则$ \{\widetilde{\Lambda}_{j}\}_{j\in J} $也是$ {\cal H} $关于$ \{V_{j}:j\in J\} $的广义框架, 称为$ \{\Lambda_{j}\in L({\cal H}, \, {\cal V}_{j}):j\in J\} $的典则对偶广义框架.

定义2.3^[18]   设$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $分别是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义$ \rm{Bessel} $序列, $ T_{\Lambda} $与$ T_{\Gamma} $分别是其重构算子. 若$ \|I_{{\cal H}}-T_{\Gamma}T_{\Lambda}^{\ast}\|<1 $或$ \|I_{{\cal H}}-T_{\Lambda}T_{\Gamma}^{\ast}\|<1 $, 则称$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的近似对偶框架.

定义2.4^[13]   若序列$ \{\Lambda_{j}\in L({\cal H}, \, {\cal V}_j):j\in J\} $满足下面两个条件:

$ \rm{(1)} $$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是广义完备的, 即：$ \{f\in{\cal H}: \Lambda_{j}f = 0, \forall j\in J\} = \{0\} $;

$ \rm{(2)} $存在常数$ 0<A\leq B<\infty $, 使得对任意有限子集$ J_{1}\subset J, g_{j}\in {\cal V}_j, j\in J_{1} $, 有

$ A\sum\limits_{j\in J_{1}}\|g_{j}\|^{2}\leq \bigg\|\sum\limits_{j\in J_{1}}\Lambda_{j}^{\ast}g_{j} \bigg\|\leq B\sum\limits_{j\in J_{1}}\|g_{j}\|^{2}, $

则称$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $为$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_j:j\in J\} $的广义$ \rm{Riesz} $基, 其中$ A $和$ B $分别称为$ \rm{Riesz} $下界与$ \rm{Riesz} $上界.

本文主要结果的证明用到下列三个引理.

引理2.1^[18]    序列$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}\}_{j\in J} $界为$ A, B $广义框架当且仅当

$ \rm{(1)} $$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $在$ {\cal H} $上广义完备;

$ \rm{(2)} $重构算子$ T_{\Lambda} $在$ l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}) $有意义, 对每个$ \{g_{j}\}_{j\in J}\in (\rm{Ker}T_{\Lambda})^{\perp} $, 有

$ A\sum\limits_{j\in J}\|g_{j}\|^{2}\leq\left\|T_{\Lambda}\{g_{j}\}_{j\in J}\right\|\leq B\sum\limits_{j\in J}\|g_{j}\|^{2}. $

引理2.2^[14]    序列$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}\}_{j\in J} $广义框架当且仅当其重构算子$ T_{\Lambda}: l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})\rightarrow {\cal H} $是线性有界到上的.

引理2.3^[15]    $ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}\}_{j\in J} $广义框架, $ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $有唯一广义对偶框架当且仅当$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_j:j\in J\} $的广义$ \rm{Riesz} $基.

首先给出$ Q $-(近似)对偶广义框架的概念.

定义3.1   设$ \Lambda = \{\Lambda_{j}\in L({\cal H}, \, {\cal V}_{j}):j\in J\} $和$ \Gamma = \{\Gamma_{j}\in L({\cal H}, \, {\cal V}_{j}):j\in J\} $分别是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义Bessel序列, $ T_{\Lambda} $与$ T_{\Gamma} $分别是其重构算子.

$ \rm{(i)} $若存在算子$ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $满足$ T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast} = I_{{\cal H}} $, 则称$ \Gamma $是$ \Lambda $的$ Q $-对偶广义框架.

$ \rm{(ii)} $若存在算子$ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $满足$ \|I_{{\cal H}}-T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}\|<1 $, 则称$ \Gamma $是$ \Lambda $的$ Q $-近似对偶广义框架.

由定义3.1易知, 广义框架$ \Lambda $的每一个$ Q $-对偶也是其一个$ Q $-近似对偶; 若$ \Gamma $是$ \Lambda $的$ Q $-(近似)对偶框架, 则$ \Lambda $是$ \Gamma $的$ Q^{\ast} $-(近似)对偶广义框架. 特别地, 若$ Q = I_{{\cal H}} $, 则$ Q $-(近似)对偶就是通常所说的(近似)对偶. 再由定义3.1, 若$ \Gamma $是$ \Lambda $的$ Q $-近似对偶广义框架, 则$ T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast} $与$ T_{\Lambda}Q^{\ast}T_{\Gamma}^{\ast} $均是可逆的. 事实上

$ \|I_{\cal H}-T_{\Lambda}Q^{\ast}T_{\Gamma}^{\ast}\| = \|(I_{\cal H}-T_{\Lambda}Q^{\ast}T_{\Gamma}^{\ast})^{\ast}\| = \|I_{\cal H}-T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}\|<1. $

定理3.1   设$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义$ \rm{Bessel} $序列, 下列叙述等价:

$ \rm{(i)} $对于某些$ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $, $ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $有$ Q $-对偶广义框架.

$ \rm{(ii)} $对于某些$ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $, $ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $有$ Q $-近似对偶广义框架.

$ \rm{(iii)} $$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义框架.

$ \rm{(iv)} $对于某些$ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $, $ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是自身的$ Q $-对偶广义框架.

$ \rm{(v)} $对于某些$ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $, $ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是自身的$ Q $-近似对偶广义框架.

证  (i)$ \Rightarrow $(ii). 显然. 因为每一个$ Q $-对偶均是$ Q $-近似对偶.

(ii) $ \Rightarrow $(iii). 设$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $一个$ Q $-近似对偶广义框架, 它们的重构算子分别为$ T_{\Gamma} $与$ T_{\Lambda} $. 由定义3.1知, $ \|I_{{\cal H}}-T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}\|<1 $, 易知算子$ T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast} $是可逆的. 对任意$ f\in{\cal H} $, 有

$ \begin{eqnarray*} \|f\|& = &\left\|(T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast})^{-1}(T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast})f\right\| \\&\leq&\left\|(T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast})^{-1}\right\|\left\|T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}f\right\| \\&\leq&\left\|(T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast})^{-1}\right\| \bigg(\sup\limits_{g\in_{{\cal H}}, \|g\| = 1}\left|\langle T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}f, \, g\rangle\right|\bigg)\\ & = &\left\|(T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast})^{-1}\right\| \bigg(\sup\limits_{g\in_{{\cal H}}, \|g\| = 1}\left|\langle QT_{\Lambda}^{\ast}f, \, T_{\Gamma}^{\ast}g\rangle\right|\bigg) \\& = &\left\|(T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast})^{-1}\right\| \bigg(\sup\limits_{g\in_{{\cal H}}, \|g\| = 1}\left|\langle Q(\{\Lambda_{j}f\}_{j\in J}), \, T_{\Gamma}^{\ast}g\rangle\right|\bigg) \\&\leq& \|(T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast})^{-1}\|Q\|\|\{\Lambda_{j}f\}_{j\in J}\|\|T_{\Gamma}^{\ast}\|\\ &\leq&\sqrt{B}\|(T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast})^{-1}\|\|Q\| \bigg(\sum\limits_{j\in J}\|\Lambda_{j}f\|^{2}\bigg)^{\frac{1}{2}}, \end{eqnarray*} $

其中$ B $为$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的上界. 由此可得

$ \frac{1}{B\|(T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast})^{-1}\|^{2}\|Q\|^{2}}\|f\|^{2}\leq \sum\limits_{j\in J}\|\Lambda_{j}f\|^{2}, \ \ \forall f\in{\cal H}. $

(iii) $ \Rightarrow $(iv). 若$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义框架, $ \{\widetilde{\Lambda}_{j}\}_{j\in J} $是其典则对偶广义框架, 令$ Q = T_{\tilde{\Lambda}}^{\ast}T_{\tilde{\Lambda}} $, 容易验证$ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $, 且对任意$ f\in{\cal H} $, 有

$ T_{\Lambda}QT_{\Lambda}^{\ast}f = T_{\Lambda}T_{\tilde{\Lambda}}^{\ast} T_{\tilde{\Lambda}}T_{\Lambda}^{\ast}f = T_{\Lambda}T_{\tilde{\Lambda}}^{\ast}S_{\Lambda}^{-1}\bigg (\sum\limits_{j\in J}\Lambda_{j}^{\ast}\Lambda_{j}f\bigg) = \sum\limits_{j\in J}\Lambda_{j}^{\ast}\Lambda_{j}S_{\Lambda}^{-1}f = f, $

即$ T_{\Lambda}QT_{\Lambda}^{\ast} = I_{{\cal H}} $.

(iv) $ \Rightarrow $(i). 显然. 由(ii) 等价于(iv) 可得到(ii) 等价于(v).

下述定理讨论$ Q $-近似对偶广义框架与$ Q $-对偶广义框架之间的关系.

定理3.2   设$ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $. 广义$ \rm{Bessel} $序列$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-近似对偶广义框架当且仅当存在$ {\cal H} $上有界算子$ W $满足$ \|I_{{\cal H}}-W\|<1 $使得$ \{\Gamma_{j}W^{-1}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-对偶广义框架.

证  必要性.   设$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-近似对偶广义框架, 重构算子分别为$ T_{\Gamma} $与$ T_{\Lambda} $. 由定义3.1知, $ \|I_{{\cal H}}-T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}\|<1 $. 令$ W = T_{\Lambda}Q^{\ast}T_{\Gamma}^{\ast} $, 则$ W $是$ {\cal H} $上有界算子且

$ \|I_{{\cal H}}-W\| = \|I_{{\cal H}}-W^{\ast}\| = \|I_{{\cal H}}-T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}\|<1, $

易知$ W, W^{\ast} $均是可逆的. 下面证明$ \{\Gamma_{j}W^{-1}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $- 对偶广义框架. 记$ \Delta_{j} = \Gamma_{j}W^{-1}, j\in J $, 易知$ \{\Delta_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $上广义Bessel序列. 对任意$ f\in{\cal H} $, 有

$ T_{\Delta}QT_{\Lambda}^{\ast}f = (W^{-1})^{\ast}T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}f = (W^{\ast})^{-1}T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}f = (T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast})^{-1}T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}f = f, $

即$ T_{\Delta}QT_{\Lambda}^{\ast} = I_{{\cal H}} $. 再由定义3.1知, $ \{\Gamma_{j}W^{-1}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-对偶广义框架.

充分性. 设存在$ {\cal H} $上有界算子$ W $满足$ \|I_{{\cal H}}-W\|<1 $, 由

$ \|I_{{\cal H}}-W^{\ast}\| = \|I_{{\cal H}}-W\|<1, $

易知$ W, W^{\ast} $均是可逆的. 记$ \Delta_{j} = \Gamma_{j}W^{-1}, j\in J $且$ \{\Gamma_{j}W^{-1}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-对偶广义框架. 容易计算

$ \begin{eqnarray*} \|I_{{\cal H}}-T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}\|& = &\|I_{{\cal H}} -W^{\ast}(W^{\ast})^{-1}T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}\|\\& = &\|I_{{\cal H}} -W^{\ast}(W^{-1})^{\ast}T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}\|\\& = &\|I_{{\cal H}} -W^{\ast}T_{\Delta}QT_{\Lambda}^{\ast}\|\\ & = &\|I_{{\cal H}}-W^{\ast}\| = \|I_{{\cal H}}-W\|<1. \end{eqnarray*} $

故$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-近似对偶广义框架.

设$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义框架, $ \Omega_{d}^{\Lambda} $ ($ \Omega_{ad}^{\Lambda} $) 表示$ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $构成的集合, 满足存在$ {\cal H} $中的广义Bessel序列$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $使得$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-对偶广义框架($ Q $-近似对偶广义框架).

定理3.3  设$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义框架, $ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $. 则

$ \rm{(i)} $设$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-对偶广义框架, 若算子$ R\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $满足$ \|Q-R\|<\frac{1}{\sqrt{B_{\Lambda}B_{\Gamma}}} $, 其中$ B_{\Lambda}, B_{\Gamma} $分别为$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的上界. 则$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ R $-近似对偶广义框架.

$ \rm{(ii)} $$ \Omega_{d}^{\Lambda} $是非空集合且$ \Omega_{d}^{\Lambda} = \Omega_{ad}^{\Lambda} $. 更多地, $ \Omega_{d}^{\Lambda} $是$ L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $的一个开子集.

证  (i) 由定义3.1, 仅仅需要证明$ \|I_{{\cal H}}-T_{\Gamma}RT_{\Lambda}^{\ast}\|<1 $即可. 注意到$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-对偶广义框架, 则$ T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast} = I_{{\cal H}} $.

$ \|I_{{\cal H}}-T_{\Gamma}RT_{\Lambda}^{\ast}\| = \|T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}-T_{\Gamma}RT_{\Lambda}^{\ast}\| = \|T_{\Gamma}(Q-R)T_{\Lambda}^{\ast}\|\leq\|Q-R\|\sqrt{B_{\Lambda}B_{\Gamma}}<1. $

(ii) 由对偶广义框架及$ Q $-对偶广义框架的定义可知, $ I_{{\cal H}}\in\Omega_{d}^{\Lambda} $. 再由$ Q $-对偶广义框架及$ Q $-近似对偶广义框架的定义可知, $ \Omega_{d}^{\Lambda}\subseteq\Omega_{ad}^{\Lambda} $. 设$ Q\in\Omega_{ad}^{\Lambda} $, 则存在一广义Bessel序列$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $, 使得$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-近似对偶广义框架. 因此由定理3.2, 存在$ {\cal H} $上的可逆算子$ W $使得$ \{\Gamma_{j}W^{-1}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-对偶广义框架. 由此可得$ Q\in\Omega_{d}^{\Lambda} $, 因此, $ \Omega_{ad}^{\Lambda}\subseteq\Omega_{d}^{\Lambda} $. 下面证明$ \Omega_{d}^{\Lambda} $是$ L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $的一个开子集. 设$ Q\in\Omega_{d}^{\Lambda} $, $ \{\Gamma_{j}W^{-1}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-对偶广义框架. 若$ N_{r}(Q) $表示$ Q $的半径$ r: = \frac{1}{\sqrt{B_{\Lambda}B_{\Gamma}}} $的邻域, 其中$ B_{\Lambda}, B_{\Gamma} $分别为$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的上界. 由(i) 的证明可知, $ N_{r}(Q)\subseteq\Omega_{d}^{\Lambda} = \Omega_{ad}^{\Lambda} $, 这说明$ \Omega_{d}^{\Lambda} $在$ L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $中是开集.

下面给出$ Q $-(近似)对偶广义框架的刻画, 首先给出一个引理.

引理3.1   设$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义框架, $ T_{\Lambda} $是其重构算子. $ \{\tilde{e}_{j, k}\}_{j\in J, k\in{\cal K}_{j}} $是$ l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}) $的标准正交基. $ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $在$ {\cal H} $上的对偶广义框架当且仅当$ \Gamma_{j}^{\ast}e_{j, k} = U\tilde{e}_{j, k}, (j\in J, k\in{\cal K}_{j}) $, 其中$ U: l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})\rightarrow {\cal H} $是$ T_{\Lambda}^{\ast} $的线性有界左逆算子. 更多地, $ U $是$ T_{\Lambda}^{\ast} $的线性有界左逆算子当且仅当

$ U = S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}+V(I_{{\cal H}}-T_{\Lambda}^{\ast}S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}), $

其中$ V: l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})\rightarrow {\cal H} $为线性有界算子, $ S_{\Lambda} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的框架算子.

证  一方面, 设$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $在$ {\cal H} $上的对偶广义框架, $ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的重构算子为$ T_{\Gamma} $, 由定义, 知$ T_{\Gamma}T_{\Lambda}^{\ast} = I_{{\cal H}} $. 又

$ T_{\Gamma}\tilde{e}_{j, k} = T_{\Gamma}(\{\delta_{j, i}e_{i, k}\}_{i\in J}) = \sum\limits_{i\in J}\Gamma_{i}^{\ast}\delta_{j, i}e_{i, k} = \Gamma_{j}^{\ast}e_{j, k}. $

取$ U = T_{\Gamma} $, 且$ U: l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})\rightarrow {\cal H} $是$ T_{\Lambda}^{\ast} $的线性有界左逆算子.

另一方面, 设$ U: l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})\rightarrow {\cal H} $是$ T_{\Lambda}^{\ast} $的线性有界左逆算子, 且$ \Gamma_{j}^{\ast}e_{j, k} = U\tilde{e}_{j, k} $$ (j\in J, k\in{\cal K}_{j}) $. 对任意$ f\in{\cal H} $, 有

$ \begin{eqnarray*} f& = &UT_{\Lambda}^{\ast}f = U(\{\Lambda_{j}f\}_{j\in J}) = U\bigg(\sum\limits_{j\in J}\sum\limits_{k\in{\cal K}_{j}}\langle\Lambda_{j}f, \, e_{j, k}\rangle \tilde{e}_{j, k}\bigg)\\ & = &\sum\limits_{j\in J}\sum\limits_{k\in{\cal K}_{j}}\langle\Lambda_{j}f, \, e_{j, k}\rangle U\tilde{e}_{j, k} = \sum\limits_{j\in J}\sum\limits_{k\in{\cal K}_{j}}\langle\Lambda_{j}f, \, e_{j, k}\rangle \Gamma_{j}^{\ast}e_{j, k}\\ & = &\sum\limits_{j\in J}\Gamma_{j}^{\ast}\sum\limits_{k\in{\cal K}_{j}}\langle\Lambda_{j}f, \, e_{j, k}\rangle e_{j, k} = \sum\limits_{j\in J}\Gamma_{j}^{\ast}\Lambda_{j}f. \end{eqnarray*} $

易知$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义Bessel序列. 故$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $在$ {\cal H} $上的对偶广义框架. 更多地, 设$ U $是$ T_{\Lambda}^{\ast} $的线性有界左逆算子. 令$ V = U $, 则

$ \begin{eqnarray*} S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}+V(I_{{\cal H}}-T_{\Lambda}^{\ast}S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda})& = &S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}+U-UT_{\Lambda}^{\ast}S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}\\& = & S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}+U-S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda} = U. \end{eqnarray*} $

反之, 设$ U = S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}+V(I_{{\cal H}}-T_{\Lambda}^{\ast}S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}), $则

$ \begin{eqnarray*} UT_{\Lambda}^{\ast}& = &(S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}+V(I_{{\cal H}} -T_{\Lambda}^{\ast}S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}))T_{\Lambda}^{\ast}\\& = & S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}T_{\Lambda}^{\ast}+VT_{\Lambda}^{\ast} -VT_{\Lambda}^{\ast}S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}T_{\Lambda}^{\ast} = I_{{\cal H}}. \end{eqnarray*} $

即$ U $是$ T_{\Lambda}^{\ast} $的线性有界左逆算子.

由引理3.1, 易得到下面结果

定理3.4   设$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义框架, $ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $. $ {\cal H} $上的广义$ \rm{Bessel} $序列$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的一个$ Q $-对偶当且仅当存在算子$ V\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}), {\cal H}) $, 使得

$ T_{\Gamma}Q = S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}+V(I_{{\cal H}} -T_{\Lambda}^{\ast}S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}), $

其中$ S_{\Lambda} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的框架算子, $ T_{\Lambda}, T_{\Gamma} $分别为$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的重构算子.

定理3.5   设$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义框架, $ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $. $ {\cal H} $上的广义$ \rm{Bessel} $序列$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的一个$ Q $-近似对偶当且仅当存在算子$ V\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}), {\cal H}) $及算子$ W\in L({\cal H}) $满足$ \|I_{{\cal H}}-W\|<1 $, 使得

$ T_{\Gamma}Q = W^{\ast}(S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}+V(I_{{\cal H}} -T_{\Lambda}^{\ast}S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda})), $

其中$ S_{\Lambda} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的框架算子, $ T_{\Lambda}, T_{\Gamma} $分别为$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的重构算子.

证  若广义Bessel序列$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的一个$ Q $-近似对偶, 由定义3.1可知

$ \|I_{{\cal H}}-T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast}\|<1. $

故$ T_{\Gamma}Q $为$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的一个近似对偶广义框架的重构算子. 由定理3.2, $ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的一个$ Q $-近似对偶当且仅当

$ (W^{-1})^{\ast}T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast} = (W^{\ast})^{-1}T_{\Gamma}QT_{\Lambda}^{\ast} = I_{{\cal H}}, $

其中有界可逆算子$ W $满足$ \|I_{{\cal H}}-W\|<1 $. 进而$ (W^{\ast})^{-1}T_{\Gamma}Q $为$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的一个对偶广义框架的重构算子. 再由定理3.4, 有

$ (W^{\ast})^{-1}T_{\Gamma}Q = S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}+V(I_{{\cal H}} -T_{\Lambda}^{\ast}S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}), $

即

$ T_{\Gamma}Q = W^{\ast}(S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}+V(I_{{\cal H}} -T_{\Lambda}^{\ast}S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda})), $

其中$ S_{\Lambda} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的框架算子, $ T_{\Lambda}, T_{\Gamma} $分别为$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $和$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的重构算子.

作为定理3.5的直接推论, 有

推论3.1   设$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义框架. 广义$ \rm{Bessel} $序列$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的一个近似对偶当且仅当存在算子$ V\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}), {\cal H}) $及算子$ W\in L({\cal H}) $满足$ \|I_{{\cal H}}-W\|<1 $, 使得

$ T_{\Gamma} = W^{\ast}(S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda}+V(I_{{\cal H}} -T_{\Lambda}^{\ast}S_{\Lambda}^{-1}T_{\Lambda})), $

其中$ S_{\Lambda} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的框架算子, $ T_{\Lambda}, T_{\Gamma} $分别为$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $和$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的重构算子.

本节利用$ Q $-(近似)对偶广义框架给出广义框架接近的若干等价条件. 下面给出广义框架接近的概念.

定义4.1   设$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $分别是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义框架, $ T_{\Lambda} $与$ T_{\Gamma} $分别是其重构算子. 若存在常数$ \lambda\geq0 $, 使得对任意$ \{q_{j}\}_{j\in J}\in l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}) $, 有

(4.1) $ \begin{equation} \|(T_{\Gamma}-T_{\Lambda})\{q_{j}\}_{j\in J}\|\leq\lambda\|T_{\Lambda}\{q_{j}\}_{j\in J}\|, \end{equation} $

则称$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $接近$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $. 相应地, 满足(4.1) 式中的$ \lambda $的下确界称为广义框架$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $到广义框架$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的接近界, 用$ C(\Gamma, \, \Lambda) $表示.

定义4.2   设$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $和$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $分别是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义框架. 如果存在线性有界可逆算子$ U: {\cal H}\rightarrow {\cal H} $, 使$ \Lambda_{j}U = \Gamma_{j}, j\in J $, 则称$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $和$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ U $等价; 如果存在线性有界算子$ U: {\cal H}\rightarrow {\cal H} $, 使$ \Lambda_{j}U = \Gamma_{j}, j\in J $, 则称$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $和$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ U $部分等价.

定理4.1   设$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $和$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $分别是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义框架, $ T_{\Lambda} $与$ T_{\Gamma} $分别是其重构算子. 下列叙述等价:

$ \rm{(i)} $$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $接近$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $且$ C(\Gamma, \, \Lambda)<1 $.

$ \rm{(ii)} $$ \rm{Ker}T_{\Lambda} $ = $ \rm{Ker}T_{\Gamma} $, 若$ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $, 则$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的每一个$ Q $-对偶广义框架都是$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-近似对偶广义框架.

$ \rm{(iii)} $$ \rm{Ker}T_{\Lambda} $ = $ \rm{Ker}T_{\Gamma} $, 存在一算子$ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $与$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的一$ Q $-对偶广义框架, 其也是$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-近似对偶广义框架.

$ \rm{(iv)} $$ \rm{Ker}T_{\Lambda} $ = $ \rm{Ker}T_{\Gamma} $, $ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的每一个对偶广义框架均是$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的一近似对偶广义框架.

$ \rm{(v)} $$ \rm{Ker}T_{\Lambda} $ = $ \rm{Ker}T_{\Gamma} $, 存在$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的一个对偶广义框架是$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的一近似对偶广义框架.

$ \rm{(vi)} $$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是部分等价, 则$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的每一个对偶广义框架均是$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的一近似对偶广义框架.

$ \rm{(vii)} $$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $等价, 则$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的每一个对偶广义框架均是$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的一近似对偶广义框架.

证  (i)$ \Rightarrow $(ii). 若$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $接近$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $且$ C(\Gamma, \, \Lambda)<1 $. 则存在$ K<1 $, 使得对任意$ \{q_{j}\}_{j\in J}\in l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}) $, 有

(4.2) $ \begin{equation} \|(T_{\Gamma}-T_{\Lambda})\{q_{j}\}_{j\in J}\|\leq K\|T_{\Lambda}\{q_{j}\}_{j\in J}\|. \end{equation} $

如果$ \{q_{j}\}_{j\in J}\in $ Ker$ T_{\Lambda} $, 那么(4.2) 式意味着

$ \|T_{\Gamma}\{q_{j}\}_{j\in J}\|\leq K\|T_{\Lambda}\{q_{j}\}_{j\in J}\| = 0. $

因此$ \{q_{j}\}_{j\in J}\in $ Ker$ T_{\Gamma} $且Ker$ T_{\Lambda}\subseteq $ Ker$ T_{\Gamma} $. 如果$ \{q_{j}\}_{j\in J}\in $ Ker$ T_{\Gamma} $, 那么(4.2) 式意味着

$ \|T_{\Lambda}\{q_{j}\}_{j\in J}\|\leq K\|T_{\Lambda}\{q_{j}\}_{j\in J}\|. $

注意到$ K<1 $, 可以得到$ \{q_{j}\}_{j\in J}\in $ Ker$ T_{\Lambda} $. 故Ker$ T_{\Gamma}\subseteq $ Ker$ T_{\Lambda} $. 综上可知Ker$ T_{\Lambda} $ = Ker$ T_{\Gamma} $.

假设$ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $, $ \{\Theta_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的一$ Q $-对偶广义框架. 对任意$ f\in{\cal H} $, 在(4.2) 式中令$ \{q_{j}\}_{j\in J}: = Q^{\ast}T_{\Theta}^{\ast}f $, 可以得到

(4.3) $ \begin{equation} \|T_{\Gamma}Q^{\ast}T_{\Theta}^{\ast}f-T_{\Lambda}Q^{\ast}T_{\Theta}^{\ast}f\|\leq K\|T_{\Lambda}Q^{\ast}T_{\Theta}^{\ast}f\|. \end{equation} $

$ \{\Theta_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-对偶广义框架等价于$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Theta_{j}\}_{j\in J} $的$ Q^{\ast} $-对偶广义框架. 故

$ T_{\Lambda}Q^{\ast}T_{\Theta}^{\ast} = I_{{\cal H}}. $

(4.3) 式可以变形为

(4.4) $ \begin{equation} \|T_{\Gamma}Q^{\ast}T_{\Theta}^{\ast}-I_{{\cal H}}\|\leq K<1, \end{equation} $

即$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Theta_{j}\}_{j\in J} $的$ Q^{\ast} $-近似对偶广义框架, 等价于$ \{\Theta_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的一$ Q $-近似对偶广义框架.

(ii) $ \Rightarrow $(iii). 因为$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义框架, 其典则对偶广义框架$ \{\widetilde{\Lambda}_{j}\}_{j\in J} $存在. 取$ Q = I_{l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})} $, $ \{\widetilde{\Lambda}_{j}\}_{j\in J} $作为$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-对偶广义框架.

(iii) $ \Rightarrow $(i). 记M = Ker$ T_{\Lambda} $ = Ker$ T_{\Gamma} $, 定义算子$ W^{\ast}(W\rm{的伴随算子}):{\cal H}\rightarrow {\cal H} $如下

$ W^{\ast}\bigg(\sum\limits_{j\in J} \Lambda_{j}^{\ast}g_{j}\bigg) = \sum\limits_{j\in J} \Gamma_{j}^{\ast}g_{j}, \forall\{g_{j}\}_{j\in J}\in l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}). $

则算子$ W^{\ast} $是有意义的. 事实上, 由于$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义框架, 由引理2.1可知, 对每个$ \{g_{j}\}_{j\in J}\in M^{\perp} $, 有

(4.5) $ \begin{equation} A_{1}\sum\limits_{j\in J}\|g_{j}\|^{2}\leq\left\|T_{\Lambda}\{g_{j}\}_{j\in J}\right\|, \end{equation} $

其中$ A_{1} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的下界. 对任意$ g = \{g_{j}\}_{j\in J}\in l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}) $, $ P_{M^{\perp}} $为$ l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}) $到$ M^{\perp} $的正交投影, $ d = \{d_{j}\}_{j\in J} = P_{M^{\perp}}g $, 有

$ \begin{eqnarray*} \bigg\|W^{\ast}\bigg(\sum\limits_{j\in J} \Lambda_{j}^{\ast}g_{j}\bigg)\bigg\|^{2}& = &\bigg\|W^{\ast}\bigg(\sum\limits_{j\in J} \Lambda_{j}^{\ast}d_{j}\bigg)\bigg\|^{2} = \bigg\|\sum\limits_{j\in J} \Gamma_{j}^{\ast}d_{j}\bigg\|^{2}\\ &\leq &B_{2}\sum\limits_{j\in J}\|d_{j}\|^{2}\leq\frac{B_{2}}{A_{1}}\bigg\|\sum\limits_{j\in J} \Lambda_{j}^{\ast}d_{j}\bigg\|^{2} = \frac{B_{2}}{A_{1}}\bigg\|\sum\limits_{j\in J} \Lambda_{j}^{\ast}g_{j}\bigg\|^{2}, \end{eqnarray*} $

其中$ B_{2} $是$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的上界. 由引理2.2可知, 广义框架$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的重构算子$ T_{\Lambda}, T_{\Gamma} $均是到上的. 再由Ker$ T_{\Lambda} $ = Ker$ T_{\Gamma} $可知: 若$ \sum\limits_{j\in J} \Lambda_{j}^{\ast}g_{j} = \sum\limits_{j\in J} \Lambda_{j}^{\ast}f_{j} $, $ \{f_{j}\}_{j\in J}, \{g_{j}\}_{j\in J}\in l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}) $, 有

$ W^{\ast}\bigg(\sum\limits_{j\in J} \Lambda_{j}^{\ast}g_{j}\bigg) = W^{\ast}\bigg(\sum\limits_{j\in J} \Lambda_{j}^{\ast}f_{j}\bigg). $

因此存在算子$ W\in L({\cal H}) $, 使得对任意$ j\in J $, $ \Gamma_{j} = \Lambda_{j}W $. 设$ \{\Delta_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-对偶广义框架, 也是$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-近似对偶广义框架. 因此, $ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\Delta_{j}\}_{j\in J} $的$ Q^{\ast} $-对偶广义框架.

$ \begin{eqnarray*} \|I_{{\cal H}}-W\|& = &\|I_{{\cal H}}-W^{\ast}\|\\& = &\|I_{{\cal H}}-W^{\ast}T_{\Lambda}Q^{\ast}T_{\Delta}^{\ast}\| \\& = &\|I_{{\cal H}}-T_{\Gamma}Q^{\ast}T_{\Delta}^{\ast}\| = \|I_{{\cal H}}-T_{\Delta}QT_{\Gamma}^{\ast}\|<1. \end{eqnarray*} $

对任意$ \{q_{j}\}_{j\in J}\in l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J}) $, 有

$ \begin{eqnarray*} \|T_{\Gamma}\{q_{j}\}_{j\in J}-T_{\Lambda}\{q_{j}\}_{j\in J}\|& = & \|W^{\ast}T_{\Lambda}\{q_{j}\}_{j\in J}-T_{\Lambda}\{q_{j}\}_{j\in J}\|\\& = & \|(W^{\ast}-I_{{\cal H}})T_{\Lambda}\{q_{j}\}_{j\in J}\|\\&\leq& \|W^{\ast}-I_{{\cal H}}\|\|T_{\Lambda}\{q_{j}\}_{j\in J}\|\\& = &\|I_{{\cal H}}-W\|\|T_{\Lambda}\{q_{j}\}_{j\in J}\|. \end{eqnarray*} $

上述关系显示了$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $接近$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $且$ C(\Gamma, \, \Lambda)\leq\|I_{{\cal H}}-W\|<1 $.

此时我们已经证明(i), (ii), (iii) 之间相互等价. 下面证明其他叙述等价:

(ii) $ \Rightarrow $(iv). 在(ii) 中取$ Q: = I_{l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})} $, (iv) 显然成立.

(iv) $ \Rightarrow $(v). 广义框架$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $至少存在一个对偶广义框架(典则对偶广义框架).

(v) $ \Rightarrow $(iii). 在(v) 中取$ Q: = I_{l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})} $, (iii) 显然成立.

(iv) $ \Rightarrow $(vi). 由(iii)$ \Rightarrow $(i) 的证明过程可知: 条件Ker$ T_{\Lambda} $ = Ker$ T_{\Gamma} $可以得到存在算子$ W\in L({\cal H}) $, 使得对任意$ j\in J $, $ \Gamma_{j} = \Lambda_{j}W $. 这意味着$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是部分等价.

(vi) $ \Rightarrow $(vii). 利用类似于(iii)$ \Rightarrow $(i) 的证明过程可知: 取$ Q: = I_{l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})} $, 可以得到$ \|I_{{\cal H}}-W\|<1 $, 由此可得算子$ W $可逆. 即$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $等价.

(vii) $ \Rightarrow $(iv). $ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $等价, 也即是存在可逆算子$ W\in L({\cal H}) $, 使得对任意$ j\in J $, $ \Gamma_{j} = \Lambda_{j}W $. 可以得到Ker$ T_{\Lambda} $ = Ker$ T_{\Gamma} $.

例4.1   设$ {\cal H} = {\mathbb C}^{2} $, $ \{e_{1}, \, e_{2}\} $是其标准正交基, 若$ \{x_{j}\}_{j = 1}^{3} = \{\frac{e_{1}}{2}, \, e_{1}, \, e_{2}\}, \{y_{j}\}_{j = 1}^{3} = \{e_{1}, \, \frac{e_{1}}{2}, \, e_{2}\} $. 定义线性泛函$ \Lambda_{j}(\cdot) = \langle\cdot, \, x_{j}\rangle, \Gamma_{j}(\cdot) = \langle\cdot, \, y_{j}\rangle, j = 1, 2, 3 $, 容易得到$ \{\Gamma_{j}\}_{j = 1}^{3} $和$ \{\Lambda_{j}\}_{j = 1}^{3} $均是$ {\cal H} $的广义框架且$ \Lambda_{j}^{\ast}(a) = ax_{j}, \Gamma_{j}^{\ast}(a) = ay_{j}, a\in{\mathbb C} $. 对任意$ x\in{\cal H} $, 有

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{j = 1}^{3}\Lambda_{j}^{\ast}\Gamma_{j}x& = & \langle x, \, y_{1}\rangle x_{1}+\langle x, \, y_{2}\rangle x_{2}+\langle x, \, y_{3}\rangle x_{3}\\& = &\langle x, \, e_{1}\rangle \frac{e_{1}}{2}+\langle x, \, \frac{e_{1}}{2}\rangle e_{1}+\langle x, \, e_{2}\rangle e_{2}\\& = & \langle x, \, e_{1}\rangle e_{1}+\langle x, \, e_{2}\rangle e_{2} = x. \end{eqnarray*} $

即$ \{\Gamma_{j}\}_{j = 1}^{3} $是$ \{\Lambda_{j}\}_{j = 1}^{3} $的一个广义对偶框架, $ \{\Gamma_{j}\}_{j = 1}^{3} $也是$ \{\Lambda_{j}\}_{j = 1}^{3} $的一个近似广义对偶框架. 因为Ker$ T_{\Lambda}\neq $ Ker$ T_{\Gamma} $, $ \{\Gamma_{j}\}_{j = 1}^{3} $不能满足$ C(\Gamma, \, \Lambda)<1 $地接近$ \{\Lambda_{j}\}_{j = 1}^{3} $. 这意味着在定理$ \rm{4.1} $中条件Ker$ T_{\Lambda} = $ Ker$ T_{\Gamma} $是不可少的. 若$ \{x_{j}\}_{j = 1}^{2} = \{e_{1}, \, e_{2}\}, \{y_{j}\}_{j = 1}^{2} = \{2e_{1}, \, 2e_{2}\} $. 定义线性泛函$ \Lambda_{j}(\cdot) = \langle\cdot, \, x_{j}\rangle, \Gamma_{j}(\cdot) = \langle\cdot, \, y_{j}\rangle, j = 1, 2 $, 容易得到$ \{\Gamma_{j}\}_{j = 1}^{2} $和$ \{\Lambda_{j}\}_{j = 1}^{2} $均是$ {\cal H} $的广义框架且Ker$ T_{\Lambda} = $ Ker$ T_{\Gamma} $, 但$ \{\Gamma_{j}\}_{j = 1}^{2} $不能满足$ C(\Gamma, \, \Lambda)<1 $地接近$ \{\Lambda_{j}\}_{j = 1}^{2} $. 这意味着在定理$ \rm{4.1} $中条件存在$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的一个对偶广义框架是$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的一近似对偶广义框架也是必需的.

对于广义Riesz基, 有下述定理.

定理4.2   设$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $分别是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义$ \rm{Riesz} $基与广义框架. 下列叙述等价:

$ \rm{(i)} $$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $接近$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $且$ C(\Gamma, \, \Lambda)<1 $.

$ \rm{(ii)} $$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\widetilde{\Lambda}_{j}\}_{j\in J} $的一个近似对偶广义框架.

$ \rm{(iii)} $若算子$ Q\in L(l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})) $, 则$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的每一个$ Q $-对偶广义框架是$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $的

一个$ Q $-近似对偶广义框架.

$ \rm{(iv)} $$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $部分等价, $ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\widetilde{\Lambda}_{j}\}_{j\in J} $的一近似对偶广义框架.

$ \rm{(v)} $$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $等价, $ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\widetilde{\Lambda}_{j}\}_{j\in J} $的一近似对偶广义框架.

证  (ii)$ \Rightarrow $(iv). 假设$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $是$ \{\widetilde{\Lambda}_{j}\}_{j\in J} $的一个近似对偶广义框架. 利用定理3.2, 存在$ {\cal H} $上有界可逆算子$ W $满足使得$ \{\Gamma_{j}W^{-1}\}_{j\in J} $是$ \{\widetilde{\Lambda}_{j}\}_{j\in J} $的对偶广义框架. 由于$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $是$ {\cal H} $关于$ \{{\cal V}_{j}:j\in J\} $的广义Riesz基, 根据引理2.3, $ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $有唯一的广义对偶框架$ \{\widetilde{\Lambda}_{j}\}_{j\in J} $. 由此可以得到对所有$ j\in J $, 有$ \Gamma_{j}W^{-1} = \Lambda_{j} $. 即$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $与$ \{\Gamma_{j}\}_{j\in J} $部分等价.

(iii) $ \Rightarrow $(ii). 取$ Q: = I_{l^2(\{{\cal V}_j\}_{j\in J})} $, 考虑$ \{\widetilde{\Lambda}_{j}\}_{j\in J} $作为$ \{\Lambda_{j}\}_{j\in J} $的$ Q $-对偶广义框架.

其他叙述等价可以由定理4.1直接得到.