Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

数学物理学报, 2022, 42(3): 661-670 doi:

论文

一类边界条件含谱参数的微分算子

孙康, 高云兰,

内蒙古工业大学理学院 呼和浩特 010051

A Class of Differential Operators with Eigenparameter Dependent Boundary Conditions

Sun Kang, Gao Yunlan,

College of Sciences, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051

通讯作者: 高云兰, E-mail: Yunlangao20141201@imut.edu.cn

收稿日期: 2021-05-20  

基金资助: 国家自然科学基金.  11661059
内蒙古自然科学基金.  2017MS(LH)0103

Received: 2021-05-20  

Fund supported: the NSFC.  11661059
the NSF of Inner Mongolia.  2017MS(LH)0103

Abstract

In this paper, A class of third-order differential operators with transition conditions and two boundary conditions containing spectral parameters is studied, and the analytical method is used to do two aspects of work. First, by constructing a new space and a new operator, the eigenvalues of the problem and the operator are connected so that the eigenvalues of the original problem are consistent with the eigenvalues of the new operator. Second, the properties of the eigenvalues of the original problem are studied, and the conclusion that the spectrum of the original problem has only point spectrum is given.

Keywords: Differential operator ; Boundary condition ; Transition condition ; Eigenvalues

PDF (355KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

孙康, 高云兰. 一类边界条件含谱参数的微分算子. 数学物理学报[J], 2022, 42(3): 661-670 doi:

Sun Kang, Gao Yunlan. A Class of Differential Operators with Eigenparameter Dependent Boundary Conditions. Acta Mathematica Scientia[J], 2022, 42(3): 661-670 doi:

1 引言

众所周知, 三阶微分方程起源于应用数学和物理学的许多不同领域中, 如带有固定或变化横截面的屈曲梁的挠度、三层梁、地球引力吹积的涨潮等. 因此, 对于三阶微分算子边值问题的研究越来越受到了人们广泛的关注, 从正则的到具有转移条件的, 再到一个边界条件中含有谱参数的情形, 都有一些相应的研究结论. 如: 2019年, 牛天在其硕士论文[1]中得到了三阶正则微分算子自伴边界条件标准型的完全描述, 同时, 利用亏指数理论将正则情况推广到奇异情况, 最后研究了实耦合型自伴边界条件下三阶正则微分算子特征值关于问题的依赖性. 同年, Uǧurlu在文献[2]中考虑了三阶正则微分表达式分别同分离, 实耦合和复耦合边界条件所产生的边值问题, 验证了问题的自伴性以及问题的特征值对条件中给定参数的依赖性. Uǧurlu在文献[3]中考虑的是具有转移条件的情形, 证明了该类算子特征值是实的, 同时给出特征值关于给定参数的微分表达式. 在上述文献的基础上, 我们研究了几类三阶微分算子, 其中包括一个边界条件中含有谱参数的情形, 具有转移条件且一个边界条件中含有谱参数的情形.

本文拟讨论一类具有转移条件且两个边界条件带有谱参数的三阶微分算子. 类似于文献[4-6]的方法, 根据给定问题构造新空间和新算子, 使得新空间上新算子的特征值和原问题的特征值是一致的; 然后证明新算子定义域的稠密性, 新算子的对称性, 进而证明该算子的自伴性, 从而推出特征值是实的. 最后研究了所考虑问题的特征值的性质, 得到问题的谱只有点谱.

本文考虑三阶微分方程

ly=1w(iy(3)+qy)=λy,xJ,
(1.1)

其中J=[a,c)(c,b], <a<c<b<, 其中qw是实值连续函数, w(x)几乎处处大于零, λC是谱参数. 对应的边界条件为

l1y=(α1λ+β1)y(a)(α2λ+β2)y[2](a)=0,
(1.2)

l2y=(i+tanγ)y[1](a)(1+itanγ)y[1](b)=0,
(1.3)

l3y=(α3λ+β3)y(b)(α4λ+β4)y[2](b)=0,
(1.4)

其中αi,βi,γ均属于R (i=1,2).

转移条件为

l4y=y(c+)α11y(c)+α12y[2](c)=0,
(1.5)

l5y=y[1](c+)y[1](c)=0,
(1.6)

l6y=y[2](c+)β11y(c)+β12y[2](c)=0,
(1.7)

其中拟导数定义为

y[0]=y,y[1]=1+i2y,y[2]=iyiqy,
(1.8)

y[0],y[1],y[2]AC[J]lyL2w(J).

假设

ρ1=α2β1α1β2>0,ρ2=α3β4α4β3>0,θ=α12β11α11β12>0,

为了更方便的考虑边值问题(1.1)–(1.7), 在H1=L2w上定义内积如下

[f(x),g(x)]1=caf1(x)ˉg1(x)w1(x)dx+bcf2(x)ˉg2(x)w2(x)dx,
(1.9)

其中f(x)={f1(x),x[a,c)f2(x),x(c,b],g(x)={g1(x),x[a,c)g2(x),x(c,b],w(x)={w1(x),x[a,c)w2(x),x(c,b],易证(H1,[,]1)是Hilbert空间.

H=H1Cρ1Cρ2, 对于任意的F=(f(x),h,r)T,G=(g(x),k,s)T,h,r,k,s均为复数, 在H内定义内积如下

[F,G]=[f(x),g(x)]1+1ρ1hˉk+1ρ2rˉs,
(1.10)

显然H是一个Hilbert空间. 定义算子A如下

A(fα1f(a)α2f[2](a)α3f(b)α4f[2](b))=(w1{if(3)+qf}β1f(a)+β2f[2](a)β3f(b)+β4f[2](b)),

D(A)={(f(x),h,r)TH|f1(x),f[1]1(x),f[2]1(x)AC[a,c);f2(x),f[1]2(x),f[2]2(x)AC(c,b],l(f)H1,li(f)=0(i=2,4,5,6),h=α1f(a)α2f[2](a),r=α3f(b)α4f[2](b).},

显然有如下结论.

定理1.1  问题(1.1)(1.7)的特征值与算子A的特征值一致, 且特征函数是算子A的相应的特征函数的第一个分量.

根据文献[3], 有拉格朗日恒等式

[Ly,z]1[y,Lz]1=[yˉz]|ca+[yˉz]|bc+,
(1.11)

并有[yˉz]|t2t1=[yˉz](t2)[yˉz](t1), 其中

[yz]=yz[2]y[2]z+iy[1]z[1],
(1.12)

此处y[r]yr(r=0,1,2)阶拟导数, 见定义(1.8).

2 主要结论

定理2.1  算子A的定义域D(A)H中稠密.

  假设D(A)H中按内积(1.9)–(1.10)是不稠密的, 那么一定存在一个非零元素FH, 对于GD(A), 有[F,G]=0. 其中F=(f(x),h,r)T,G=(g(x),k,s)T.

C0表示如下函数集合

φ(x)={φ1(x),x[a,c),φ2(x),x(c,b],

其中φ1(x)C0[a,c),φ2(x)C0(c,b], 显然C0{0}{0}D(A).

U=(u(x),0,0)TC0{0}{0}, 则FU. 根据内积定义有下列式子成立

[F,U]=caf1(x)ˉu1(x)w1(x)dx+bcf2(x)ˉu2(x)w2(x)dx=0,

又知ˉC0=H1, 故f1(x)=0,f2(x)=0, 即f(x)=0.

G=(g(x),k,s)TD(A), 有

[F,G]=[f(x),g(x)]1+1ρ1h(ˉk)+1ρ2r(ˉs)=1ρ1h(ˉk)+1ρ2r(ˉs)=0,

由于k,s是任意选取的, 故h=0,r=0. 于是F=(f(x),h,r)T=(0,0,0)T, 这与最初的假设矛盾, 综上D(A)H中是稠密的.

定理2.2  线性算子A是对称的.

  对于F,GD(A),

F=(f(x),α1f(a)α2f[2](a),α3f(b)α4f[2](b))T,

G=(g(x),α1g(a)α2g[2](a),α3g(b)α4g[2](b))T,

A的定义, 知

AF=(lf(x),β2f[2](a)β1f(a),β4f[2](b)β3f(b))T,

AG=(lg(x),β2g[2](a)β1g(a),β4g[2](b)β3g(b))T,

[AF,G]=[lf(x),g(x)]1+1ρ1(β2f[2](a)β1f(a))(α1ˉg(a)α2ˉg[2](a))+1ρ2(β4f[2](b)β3f(b))(α3ˉg(b)α4ˉg[2](b)),
(2.1)

[F,AG]=[f(x),lg(x)]1+1ρ1(α1f(a)α2f[2](a))(β2ˉg[2](a)β1ˉg(a))+1ρ2(α3f(b)α4f[2](b))(β4ˉg[2](b)β3ˉg(b)),
(2.2)

根据拉格朗日恒等式、边界条件以及转移条件, 有下式成立

[AF,G][F,AG]=f(c)ˉg[2](c)f[2](c)ˉg(c)(f(c)ˉg[2](c)f[2](c)ˉg(c))=0,

因此[AF,G]=[F,AG], 故算子A是对称的.

定理2.3   线性算子A是自伴的.

  由于A是对称的, 要证AH中是自伴的, 只需要证明: 若对于任意的F=(f(x),α1f(a)α2f[2](a),α3f(b)α4f[2](b))TD(A), 有若: [AF,V]=[F,U]成立, 则VD(A)AV=U (其中V=(v(x),m1,m2)T,U=(u(x),n1,n2)T).

要证如上结论成立, 即要证明如下七条成立:

(1) v1(x),v[1]1(x),v[2]1(x)AC[a,c),v2(x),v[1]2(x),v[2]2(x)AC(c,b],lv(x)H1;

(2) m1=α1v(a)α2v[2](a);

(3) m2=α3v(b)α4v[2](b);

(4) l2v=l4v=l5v=l6v=0;

(5) u(x)=lv(x);

(6) n1=β2u[2](a)β1u(a);

(7) n2=β4u[2](b)β3u(b);

具体证明过程如下: 对于任意的F=(f(x),0,0)D(A), 有[AF,V]=[F,U], 根据内积的定义, 这时

[AF,V]=[lf(x),v(x)]1,[F,U]=[f(x),u(x)]1,

[lf(x),v(x)]1=[f(x),u(x)]1,由标准的Sturm-Liouville理论可知v(x)D(l), 故(1)成立.

因为算子A的对称性, 所以有[lf(x),v(x)]1=[f(x),lv(x)]1, 又根据(1)中的证明有[lf(x),v(x)]1=[f(x),u(x)]1, 综上所述(5)得证.

对于任意的FD(A), 方程[AF,V]=[F,U], 有下式成立

[lf(x),v(x)]1+1ρ1(β2f[2](a)β1f(a))ˉm1+1ρ2(β4f[2](b)β3f(b))ˉm2,=[f(x),u(x)]1+1ρ1(α1f(a)α2f[2](a))ˉn1+1ρ2(α3f(b)α4f[2](b))ˉn2,

再由(5)可知

[lf(x),v(x)]1[f(x),lv(x)]1=1ρ1[(α1f(a)α2f[2](a))ˉn1(β2f[2](a)β1f(a))ˉm1]+1ρ2[(α3f(b)α4f[2](b))ˉn2(β4f[2](b)β3f(b))ˉm2],
(2.3)

又由算子A的对称性, 有

[lf(x),v(x)]1[f(x),lv(x)]1=f[2](a)ˉv(a)f(a)ˉv[2](a)+f(b)ˉv[2](b)f[2](b)ˉv(b),
(2.4)

(2.3)=(2.4),根据Naimark Patching Lemma, 存在这样的F=(f(x),α1f(a)α2f[2](a),α3f(b)α4f[2](b))TD(A), 使得

f(a)=f[1](a)=f[2](a)=f(c)=f[1](c)=f[2](c)=f(c+)=f[1](c+)=f[2](c+)=0,

有下式成立

f(b)ˉv[2](b)f[2](b)ˉv(b)=1ρ2[(α3f(b)α4f[2](b))ˉn2(β4f[2](b)β3f(b))ˉm2],

即有n2=β4v[2](b)β3v(b),m2=α3v(b)α4v[2](b), (3)(7) 成立, 利用同样的方法我们可得(2)和(6).

现在只需证明(4)成立. 由(1.11)和(1.12)式可知

[lf(x),v(x)]1[f(x),lv(x)]1=f(b)ˉv[2](b)f[2](b)ˉv(b)+if[1](b)ˉv[1](b)+f[2](a)ˉv(a)f(a)ˉv[2](a)if[1](a)ˉv[1](a)+f(c)ˉv[2](c)f[2](c)ˉv(c)+if[1](c)ˉv[1](c)+f[2](c+)ˉv(c+)f(c+)ˉv[2](c+)if[1](c+)ˉv[1](c+),
(2.5)

结合(2.4)和(2.5)式可得

if[1](b)ˉv[1](b)if[1](a)ˉv[1](a)+f(c)ˉv[2](c)f[2](c)ˉv(c)+if[1](c)ˉv[1](c)+f[2](c+)ˉv(c+)f(c+)ˉv[2](c+)if[1](c+)ˉv[1](c+)=0,
(2.6)

根据Naimark Patching Lemma, 存在这样的F=(f(x),α1f(a)α2f[2](a),α3f(b)α4f[2](b))TD(A), 使得f(c)=f[1](c)=f[2](c)=f(c+)=f[1](c+)=f[2](c+)=0,f[1](a)=(i+tanγ),f[1](b)=1+itanγ代入(2.6)式中, 可得l2(v)=0, 同理可证, l4(v)=l5(v)=l6(v)=0, 故线性算子AH中是自伴的.

定理2.4   问题(1.1)(1.7)的所有特征值及相应的特征函数均是实的.

  由于原问题的特征值与算子A的特征值是一致的, 且自共轭算子A的特征值是实的, 故该推论成立.

注2.1   问题(1.1)–(1.7)的所有特征值是实的, 如果λ1,λ2是两个不同的特征值, 那么问题所对应的特征函数f(x),g(x)在如下定义的内积的意义下是正交的

caf1(x)ˉg1(x)w1(x)dx+1ρ1(α1f(a)α2f[2](a))(α1ˉg(a)α2ˉg[2](a))+bcf2(x)ˉg2(x)w2(x)dx+1ρ2(α3f(b)α4f[2](b))(α3ˉg(b)α4ˉg[2](b))=0.

3 特征值的性质

引理3.1  令实值函数q(x)[a,b]上是连续的, fi(λ)(i=1,2,3)是给定的整函数, 对于λC, 方程iu(3)(x)+q(x)u(x)=λw(x)u(x),x[a,c)(c,b], 满足初始条件u(a)=f1(λ),u[1](a)=f2(λ),u[2](a)=f3(λ) (或u(b)=f1(λ),u[1](b)=f2(λ),u[2](b)=f3(λ))的解u=u(x,λ)存在且唯一, 并对于每一个固定的x[a,b],u(x,λ)λ的整函数.

  在常微分方程中由解的存在唯一性, 我们可得到该结论.

φ1(x,λ),χ1(x,λ),ψ1(x,λ)分别是方程

iy(3)+qy=λwy,x[a,c),

满足初始条件

φ1(a,λ)=1,φ[1]1(a,λ)=0,φ[2]1(a,λ)=0,χ1(a,λ)=0,χ[1]1(a,λ)=1,χ[2]1(a,λ)=0,ψ1(a,λ)=0,ψ[1]1(a,λ)=0,ψ[2]1(a,λ)=1

的线性无关解.

它的朗斯基行列式独立于变量x,记为ω1(λ),

ω1(λ)=|φ1(a,λ)χ1(a,λ)ψ1(a,λ)φ[1]1(a,λ)χ[1]1(a,λ)ψ[1]1(a,λ)φ[2]1(a,λ)χ[2]1(a,λ)ψ[2]1(a,λ)|=1.

φ2(x,λ),χ2(x,λ),ψ2(x,λ)是方程

iy(3)+qy=λwy,x(c,b],

满足条件(1.5)–(1.7)的解, 函数φ2(x,λ), χ2(x,λ), ψ2(x,λ)的朗斯基行列式独立于变量x, 记为ω2(λ), 则

ω2(λ)=|φ2(c+,λ)χ2(c+,λ)ψ2(c+,λ)φ[1]2(c+,λ)χ[1]2(c+,λ)ψ[1]2(c+,λ)φ[2]2(c+,λ)χ[2]2(c+,λ)ψ[2]2(c+,λ)|=θω1(λ),

因此, φ2(x,λ),χ2(x,λ),ψ2(x,λ)(c,b]上是线性无关的. 现在区间J=[a,c)(c,b]上定义函数

φ(x,λ)={φ1(x,λ),x[a,c),φ2(x,λ),x(c,b],χ(x,λ)={χ1(x,λ),x[a,c),χ2(x,λ),x(c,b],ψ(x,λ)={ψ1(x,λ),x[a,c),ψ2(x,λ),x(c,b],

φ(x,λ),χ(x,λ),ψ(x,λ)是方程ly=λyJ=[a,c)(c,b]上满足转移条件的线性无关的解.

引理3.2[7]   设u(x,λ)={u1(x,λ),x[a,c),u2(x,λ),x(c,b]是方程ly=λy的任意一个解, 则它可以表示为

u(x,λ)={c1φ1(x,λ)+c2χ1(x,λ)+c3ψ1(x,λ),x[a,c),c4φ2(x,λ)+c5χ2(x,λ)+c6ψ2(x,λ),x(c,b],

其中ciC(i=1,2,6).u(x,λ)满足转移条件, 则c1=c4,c2=c5,c3=c6.

下面令

Φ1(x,λ)=(φ1(x,λ)χ1(x,λ)ψ1(x,λ)φ[1]1(x,λ)χ[1]1(x,λ)ψ[1]1(x,λ)φ[2]1(x,λ)χ[2]1(x,λ)ψ[2]1(x,λ)),x[a,c),

Φ2(x,λ)=(φ2(x,λ)χ2(x,λ)ψ2(x,λ)φ[1]2(x,λ)χ[1]1(x,λ)ψ[1]2(x,λ)φ[2]2(x,λ)χ[2]2(x,λ)ψ[2]2(x,λ)),x(c,b],

其中Φ1(x,λ)Φ2(x,λ)c点处的值分别由左右极限定义, 设

Φ(x,λ)={Φ1(x,λ),x[a,c),Φ2(x,λ),x(c,b],

其中

Φ1(c,λ)=Φ(c,λ),Φ2(c,λ)=Φ(c+,λ),

对于任意的x[a,c)(c,b],Φ(x,λ)是关于λ的整函数.

现将边值问题的边界条件写为矩阵形式, 则

AλY(a)+BλY(b)=0,Y(x)=(y(x),y[1](x),y[2](x))T,

其中

Aλ=((α1λ+β1)0(α2λ+β2)0i+tanθ0000),

Bλ=(0000(1+itanθ)0(α3λ+β3)0(α4λ+β4)).

定理3.1   复数λ是问题(1.1)(1.7)的特征值, 当且仅当λ满足

det(Aλ+BλΦ(b,λ))=0.

  必要性.   λ是问题(1.1)–(1.7) 的特征值, y(x)是相应的特征函数, 根据引理3.2知: 存在不全为零的c1,c2,c3, 使得

y(x,λ)={c1φ1(x,λ)+c2χ1(x,λ)+c3ψ1(x,λ),x[a,c),c1φ2(x,λ)+c2χ2(x,λ)+c3ψ2(x,λ),x(c,b].

y(x,λ)带入边界条件AλY(a)+BλY(b)=0, 可得

Aλ(c1c2c3)+Bλ(c1φ2(b,λ)+c2χ2(b,λ)+c3ψ2(b,λ)c1φ[1]2(b,λ)+c2χ[1]2(b,λ)+c3ψ[1]2(b,λ)c1φ[2]2(b,λ)+c2χ[2]2(b,λ)+c3ψ[2]2(b,λ))=0,

[Aλ+Bλ(φ2(b,λ)χ2(b,λ)ψ2(b,λ)φ[1]2(b,λ)χ[1]2(b,λ)ψ[1]2(b,λ)φ[2]2(b,λ)χ[2]2(b,λ)ψ[2]2(b,λ))](c1c2c3)=0,

由于c1,c2,c3不全为零. 因此det(Aλ+BλΦ(b,λ))=0.

充分性.  若det(Aλ+BλΦ(b,λ))=0, 则关于c1,c2,c3的齐次方程组

(Aλ+BλΦ(b,λ))(c1c2c3)=0

有非零解(c1,c2,c2)T.

y(x,λ)={c1φ1(x,λ)+c2χ1(x,λ)+c3ψ1(x,λ),x[a,c),c1φ2(x,λ)+c2χ2(x,λ)+c3ψ2(x,λ),x(c,b],

则上式是方程ly=λy满足条件(1.2)–(1.7) 的非零解, 故λ是问题(1.1)–(1.7) 的特征值.

定理3.2   问题(1.1)(1.7)最多有可数个实的特征值, 并且没有有限值的聚点.

  由定理3.1知(1.1)–(1.7) 的特征值是函数det (Aλ+BλΦ(b,λ))=0的零点. 已知函数Φ(b,λ)是关于λ的整函数, 又由注2.1知问题(1.1)–(1.7)的特征值为实的, 即任何复数μ不是问题(1.1)–(1.7) 的特征值, 说明整函数det (Aλ+BλΦ(b,λ))不恒为零, 故根据整函数的零点分布定理, 我们得到问题(1.1)–(1.7)最多有可数个实的特征值, 并且没有有限值的聚点.

定理3.3   算子A仅有点谱, 即

σ(A)=σP(A).

  只需证明, 若λ不是算子A的特征值, 则λρ(A). 由于算子A是自伴算子, 故仅考虑λ为实数的情况.

下面讨论方程(Aλ)U=F, 其中U=(u(x),α1u(a)α2u[2](a),α3u(b)α4u[2](b))D(A),F=(f(x),h,r)TH, 由于A的定义, 将问题分成初值问题

{(lλ)u(x)=f(x),u(c+)=α11u(c)α12u[2](c),u[1](c+)=u[1](c),u[2](c+)=β11u(c)β12u[2](c)
(3.1)

及方程组

{h=(β1u(a)β2u[2](a))λ(α1u(a)α2u[2](a))=0,r=(β3u(b)β4u[2](b))λ(α3u(b)α4u[2](b))=0,(i+tanγ)u[1](a)(1+itanγ)u[1](b)=0
(3.2)

两部分.

由引理3.2以及常微分方程通解的结构知问题(3.1)的通解形式如下

u(x,λ)={c1φ1(x,λ)+c2χ1(x,λ)+c3ψ1(x,λ)+k1(x,λ),x[a,c),c1φ2(x,λ)+c2χ2(x,λ)+c3ψ2(x,λ)+k2(x,λ),x(c,b],
(3.3)

其中k(x,λ)={k1(x,λ),x[a,c),k2(x,λ),x(c,b]为问题(3.1)的一个特解. (c1,c2,c3)C,φ1,φ2,χ1,χ2,ψ1,ψ2是上面所定义的. 将通解(3.3)代入方程组(3.2)中, 整理得如下三式

c1(β1+λα1)c3(β2+λα2)=k[2]1(a)(β2+λα2)+k1(a)(β1+λα1),
(3.4)

c1[(β3+λα3)φ2(b)(β4+λα4)φ[2]2(b)]+c2[(β3+λα3)χ2(b)(β4+λα4)χ[2]2(b)]+c3[(β3+λα3)ψ2(b)(β4+λα4)ψ[2]2(b)]=k[2]2(b)(β4+λα4)k2(b)(β3+λα3),
(3.5)

φ[1]2(b)c1(i+tanγ1+itanγχ[1]2(b))c2+ψ[1]2(b)c3=k[1]2(b)+i+tanγ1+itanγk[1]1(a),
(3.6)

联立(3.4)–(3.6)式, 可得关于未知数c1,c2,c3的三元一次方程组的系数行列式恰好为

11+itanγdet

因为 \lambda 不是算子 A 的特征值, 由定理3.1知: det ( A_{\lambda}+B_{\lambda}\Phi (b, \lambda))\neq 0 , 因此 c_{1} , c_{2} , c_{3} 是唯一确定的, 从而 u 也是唯一确定的.

由以上论述证明了 (A-\lambda I)^{-1} 定义在全空间 H 上, 又由 A H 上是自共轭算子及由闭图像定理知 (A-\lambda I)^{-1} 是有界的, 说明 \lambda\in \rho(A) .

参考文献

牛天. 三阶微分算子自伴边界条件的标准型以及特征值对问题依赖性的研究[D]. 内蒙古: 内蒙古大学, 2019

[本文引用: 1]

Niu T. Canonical Forms for Third Order Self-Adjoint Boundary Conditions and Dependence of Eigenvalue on the Problem[D]. Inner Mongolia: Inner Mongolia University, 2019

[本文引用: 1]

Uǧurlu E .

Regular third-order boundary value problems

Appl Math Comput, 2019, 343, 247- 257

[本文引用: 1]

Uǧurlu E .

Third-order boundary value transmission problems

Turk J Math, 2019, 43, 1518- 1532

DOI:10.3906/mat-1812-36      [本文引用: 2]

罗佩芳, 黄赞.

一类两个边界带谱参数的Sturm-Liouville算子Ⅲ

广州航海学院学报, 2018, 26 (1): 70- 72

DOI:10.3969/j.issn.1009-8526.2018.01.019      [本文引用: 1]

Luo P F , Huang Z .

A class of Sturm-Liouville operators with spectral parameter in two boundary conditions Ⅲ

Journal of Guangzhou Maritime College, 2018, 26 (1): 70- 72

DOI:10.3969/j.issn.1009-8526.2018.01.019      [本文引用: 1]

Li K , Bai Y L , Wang W Y , et al.

Self-adjoint realization of a class of third-order differential operators with an eigenparameter contained in the boundary conditions

J Appl Anal Comput, 2020, 10 (6): 2631- 2643

姚斯琴, 孙炯.

边界条件中带有谱参数的不连续Sturm-Liouville算子的特征值问题

应用数学, 2012, 25 (1): 12- 19

URL     [本文引用: 1]

Yao S Q , Sun J .

Sturm-Liouville operators with transmission conditions and eigenparameter-dependent boundary conditions

Mathematica Applicata, 2012, 25 (1): 12- 19

URL     [本文引用: 1]

王爱平. 关于Weidmann猜想及具有转移条件微分算子的研究[D]. 内蒙古: 内蒙古大学, 2006

[本文引用: 1]

Wang A P. Research on Weidmann Conjecture and Differential Operators with Transition Conditions[D]. Inner Mongolia: Inner Mongolia University, 2006

[本文引用: 1]

Yakubov S, Yakubov Y. Differential-Operator Equations. Ordinary and Partial Differential Equations. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2000

Hao X L , Zhang M Z , Sun J , Zettl A .

Characterization of domains of self-adjoint ordinary differential operators of any order, even or odd

Electron J Qual Theo, 2017, 2017 (61): 1- 19

Zhang M Z , Li K .

Dependence of eigenvalues of Sturm-Liouville problems with eigenparameter dependent boundary conditions

Appl Math Comput, 2020, 378, 12514

李昆, 郑召文.

一类具有转移条件的Sturm-Liouville方程的谱性质

数学物理学报, 2015, 35A (5): 910- 926

DOI:10.3969/j.issn.1003-3998.2015.05.008     

Li K , Zheng Z W .

Spectral properties for Sturm-Liouville equations with transmission conditions

Acta Math Sci, 2015, 35A (5): 910- 926

DOI:10.3969/j.issn.1003-3998.2015.05.008     

赵迎春, 孙炯, 姚斯琴, .

一类内部具有不连续性的不定Sturm-Liouville算子的非实特征值问题

数学物理学报, 2021, 41A (6): 1643- 1656

DOI:10.3969/j.issn.1003-3998.2021.06.007     

Zhao Y C , Sun J , Yao S Q , et al.

Non-real eigenvalues of a class of indefinite Sturm-Liouville operators with discontinuity at interior points

Acta Math Sci, 2021, 41A (6): 1643- 1656

DOI:10.3969/j.issn.1003-3998.2021.06.007     

孙龙洁, 郝晓玲, 牛天.

具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式

数学物理学报, 2020, 40A (2): 340- 351

DOI:10.3969/j.issn.1003-3998.2020.02.007     

Sun L J , Hao X L , Niu T .

Inequalities among eigenvalues of left-definite Sturm-Liouville problems with periodic coefficients

Acta Math Sci, 2020, 40A (2): 340- 351

DOI:10.3969/j.issn.1003-3998.2020.02.007     

/