一类非凸约束优化问题的近似最优性条件及其混合型对偶
Approximate Optimality Conditions and Mixed Type Duality for a Class of Non-Convex Optimization Problems
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收稿日期: 2021-08-12
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Received: 2021-08-12
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By using the properties of the Fréchet subdifferentials, we first introduce a new constraint qualification and then establish some approximate optimality conditions for the non-convex constrained optimization problem with objective function and/or constraint function being α-convex function. Moreover, some results for the weak duality, strong duality and converse-like duality theorems between this non-convex optimization problem and its mixed type dual problem are also given.
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王娇浪, 方东辉.
Wang Jiaolang, Fang Donghui.
1 引言
由于许多的实际问题都可以看成或转化为一个约束优化问题, 因此, 约束优化问题的研究受到了学者们的高度重视. 特别地, 许多学者研究了如下经典的凸约束优化问题
注意到, 上述结论都是在假设目标函数和约束函数是凸函数的情形下得到的, 而这些凸性假设在一定程度上限制了约束优化问题在实际生活中的应用. 因此, 如何在函数不具有凸性的情形下建立约束优化问题的最优解或近似解的特征刻画就成为了最优化理论中的一个热点问题. 近年来, 部分学者对非凸约束优化问题进行了研究, 并得到了一系列有意义的结论[10-15]. 特别地, 文献[10] 在目标函数为
受上述文献的启发, 本文首先引入一类新的非凸约束优化问题, 即目标函数和约束函数为
2 记号与定义
设
设集合
设
设
定义函数
由定义可知, Young-Fenchel不等式和Young等式成立, 即
定义集合
令
注意到, 当
定义2.1[15] 令
则称函数
引理2.2[15] 令
引理2.3[9] 设
引理2.4[16] 令
3 近似最优性条件
设
定义3.1 令
则称系统
定义3.2 令
下述定理分别建立了问题
定理3.3 令
证 设
故
因此
由于
由于
又
从而由系统
定理3.4 令
则
证 设存在
由
因此, 由Cauchy-Schwarz不等式可得
由于
显然,
注意到, 对任意的
因此
下例说明当
例3.5 令
从而由定义2.1可知
显然, 当
若
定义3.6 令
则称系统
类似定理3.3和定理3.4的证明, 我们可得如下定理.
定理3.7 令
令
推论3.8 令
注3.9 为建立问题
其中
4 混合型近似对偶定理
令
其中, Lagrange函数
记
定义4.1 令
则称
定理4.2 令
证 任取
故存在
由
又因为
注意到, 对任意的
即
因此(4.1) 式成立.
定理4.3 令
证 设
由于
同时, 由
从而由(3.4), (4.4)–(4.6) 式可得
注意到,
与(4.3) 式矛盾, 故
定理4.4 令
证 设
故
当
记
推论4.5 令
推论4.6 令
推论4.7 令
证 设
故
当
记
推论4.8 令
类似定理4.3和推论4.7的证明, 我们可得以下结论.
推论4.9 令
推论4.10 令
则
参考文献
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