$\mathbb{R}^n$ 中的广义逆Bonnesen型不等式
The General Inverse Bonnesen-Style Inequalities in $\mathbb{R}^n$
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收稿日期: 2021-08-4
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Received: 2021-08-4
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作者简介 About authors
董旭,E-mail:
张燕,E-mail:
王星星,E-mail:
The isoperimetric problem plays an important role in integral geometry. In this paper we mainly investigate the inverse form of the isoperimetric inequality, i.e. the general inverse Bonnesen-type inequalities. The upper bounds of several new general isoperimetric genus are obtained. Futhermore, as corollaries, we get a series of classical inverse Bonnesen-type inequalities in the plane. Finally, the best estimate between the results of three upper bounds is given.
Keywords:
本文引用格式
董旭, 张燕, 曾春娜, 王星星.
Dong Xu, Zhang Yan, Zeng Chunna, Wang Xingxing.
1 引言
等周问题(Isoperimetric problem) 是几何学中经典的核心问题之一. 由著名数学家Beynoulli于1679年提出, 但其起源可追溯到古希腊时期, 直到19世纪Steiner才直观地提出等周不等式解的存在性; 1870年Weierstrass利用变分法首次对等周不等式进行了完整的证明; 1902年Hurwitz运用Green定理和Fourier级数开创性地给出等周不等式的纯分析形式的证明, 并减弱了曲线光滑性这一条件; 随后, 数学家们又给出了诸多证明方法把等周不等式进行推广与加强, 如欧氏平面中关于两凸域混合面积的Minkowski不等式等.
经典等周不等式描述如下: 平面上所有给定周长
等号成立当且仅当
平面上域
等周亏格刻画了半径为
设
其中
1)
2)
上述几何不等式称为关于一域
命题1.2 设
等号成立当且仅当
设
等号成立当且仅当
或许数学家们更感兴趣的是高维欧氏空间
其中
在积分几何中, 逆向几何不等式的研究非常有意义且难度更大, 一个自然的问题是: 如何获得域
其中
等周亏格的上界估计仍然是凸几何分析与积分几何中一个重要问题. 但我们发现相比于下界估计, 一域的上界估计结果寥寥无几, 目前仅有的结果为
命题1.3 设
等号成立当且仅当
基于此, 本文主要考虑如何将平面等周亏格的上界估计推广到更复杂的高维欧氏空间. 本文第3部分获得了
2 预备知识
设
设
对于两凸体
记
(2.1)式中系数
为
当
3 $ {{\Bbb R}} ^n $ 中的广义逆Bonnesen型不等式
定理3.1 设
当
证 通过Aleksandrov-Fenchel不等式[20]
注意到该不等式等号成立的条件一般是未知的, 但在某些情况下是已知的: 若
当
即
对上式分别取
又
根据混合体积的单调性, 得
故
根据(2.2)式, 则
联立(3.2)–(3.4)式得
当
特别地, 当
推论3.1[7] 设
当
定理3.2 设
当
证 由定理3.1, 有
则
故
即
当
特别地, 令
推论3.2 设
当
定理3.3 设
当
证 由定理3.1, 有
则
故
即
当
推论3.3 设
当
定理3.4 设
当
证 由定理3.1, 有
得
从而有
联立可得
当
推论3.4[7] 设
当
定理3.5 设
当
证 由定理3.1, 有
可得
故
当
推论3.5[7] 设
当
定理3.6 设
当
证 由定理3.1, 有
得
故
当
推论3.6[7] 设
当
4 广义逆Bonnesen型不等式之间的关系
定理4.1 设
且
证 由定理3.1可得
不等号两边同时乘以
又根据定理3.1, 则
于是
则
推论4.1 设
则
参考文献
平面Bonnesen型不等式
DOI:10.3321/j.issn:0583-1431.2007.06.023
Plane Bonnesen type inequality
DOI:10.3321/j.issn:0583-1431.2007.06.023
The isoperimetric inequality
DOI:10.1090/S0002-9904-1978-14553-4 [本文引用: 1]
The Bonnesen isoperimetric inequality in a surface of constant curvature
Geometric inequalities from the viewpoint of integral geometry
从积分几何观点看几何不等式
Geometric inequalities from integral geometry point of view
两平面凸域的对称混合等周不等式
The symmetric mixed isoperimetric inequality of two planar convex domains
On Bonnesen-style symmetric mixed isohomothetic inequality in R2
Geometric inequalities and inclusion measures of convex bodies
Eineobere Grenze f "ur das isoperimetrische Defizit ebener Kurven
Integral representation of quermassintegrals and Bonnesen-style inequalities
A refined reverse isoperimetric inequality in the plane
On Bonnesen-style Aleksandrov-Fenchel inequalities in Rn
DOI:10.4134/BKMS.b160317 [本文引用: 1]
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