等周问题(Isoperimetric problem) 是几何学中经典的核心问题之一. 由著名数学家Beynoulli于1679年提出, 但其起源可追溯到古希腊时期, 直到19世纪Steiner才直观地提出等周不等式解的存在性; 1870年Weierstrass利用变分法首次对等周不等式进行了完整的证明; 1902年Hurwitz运用Green定理和Fourier级数开创性地给出等周不等式的纯分析形式的证明, 并减弱了曲线光滑性这一条件; 随后, 数学家们又给出了诸多证明方法把等周不等式进行推广与加强, 如欧氏平面中关于两凸域混合面积的Minkowski不等式等.

经典等周不等式描述如下: 平面上所有给定周长$ L $的简单闭曲线中, 圆周所围成的面积是最大的. 具体表述如下:

命题1.1^[1-3]  设$ K $为欧氏平面$ {{\Bbb R}} ^2 $中可求长的简单闭曲线$ {\rm \Gamma} $围成的域, 其面积、周长分别为$ A $、$ L $, 则

$ \begin{eqnarray*} A\le\frac{L^2}{4\pi}, \end{eqnarray*} $

等号成立当且仅当$ K $为圆盘.

平面上域$ K $的等周亏格定义为

$ \begin{eqnarray*} \Delta_2(K) = L^2-4\pi A. \end{eqnarray*} $

等周亏格刻画了半径为$ \frac{L}{2\pi} $的圆盘与面积、周长分别为$ A $、$ L $的域$ K $的偏离程度.

随着积分学和变分学的不断发展, 数学家们已经不再止步于对经典等周不等式的探索. 1920年前后, Bonnesen给出了一系列关于等周亏格的下界估计^[4-6]:

设$ K $是$ {{\Bbb R}} ^2 $中可求长的简单闭曲线$ \Gamma $围成的域, 则

$ \begin{eqnarray*} \Delta_2(K)\ge U_K, \end{eqnarray*} $

其中

1) $ U_K $非负;

2) $ U_K = 0 $当且仅当$ K $为圆盘.

上述几何不等式称为关于一域$ K $的Bonnesen型不等式. 其中最著名的结论如下:

命题1.2   设$ K $为$ {{\Bbb R}} ^2 $中可求长的简单闭曲线$ \Gamma $所围成的域, 其面积、周长分别为$ A $、$ L $, $ r_K $与$ R_K $分别为$ K $的最大内接圆半径与最小外接圆半径, 则

$ \Delta_2(K) = L^2-4\pi A\ge\pi^2(R_K-r_K)^2. $

等号成立当且仅当$ K $为圆盘.

在包含测度的理论下, 周家足、任德麟等几何学者证明了一系列在$ {{\Bbb R}} ^2 $中新的Bonnesen型不等式^[7-10]:

设$ K $为$ {{\Bbb R}} ^2 $中可求长的简单闭曲线$ \Gamma $所围成的域, 其面积、周长分别为$ A $、$ L $, $ r_K $与$ R_K $分别为$ K $的最大内接圆半径与最小外接圆半径, $ r_K\le r\le R_K $, 则

$ L^2-4\pi A\ge A^2\left(\frac{1}{R_K}-\frac{1}{r_K}\right)^2; $

$ L^2-4\pi A\ge L^2\left(\frac{R_K-r_K}{R_K+r_K}\right)^2; $

$ L^2-4\pi A\ge A^2\left(\frac{1}{R_K}-\frac{1}{r}\right)^2; $

$ L^2-4\pi A\ge L^2\left(\frac{r-R_K}{r+R_K}\right)^2; $

$ L^2-4\pi A\ge A^2\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_K}\right)^2; $

$ L^2-4\pi A\ge L^2\left(\frac{r_K-r}{r_K+r}\right)^2. $

等号成立当且仅当$ K $为圆盘.

或许数学家们更感兴趣的是高维欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中凸体$ K $的等周亏格下界估计

$ \begin{eqnarray*} {\rm \Delta}_n\left(K\right) = A^n-n^n\omega_nV^{n-1}\ge U_K, \end{eqnarray*} $

其中$ U_K $非负, $ U_K $ = 0当且仅当$ K $为圆盘. $ \omega_n $为$ {{\Bbb R}} ^n $中单位球体积, 且

$ \begin{eqnarray*} \omega_n = \frac{2\pi^\frac{n}{2}}{n{ \Gamma}\left(\frac{n}{2}\right)}, \end{eqnarray*} $

$ {\rm \Gamma} $为Gamma函数.

在积分几何中, 逆向几何不等式的研究非常有意义且难度更大, 一个自然的问题是: 如何获得域$ K $的等周亏格上界估计, 即是否存在不变量$ B_K $, 使得

$ \begin{eqnarray*} \Delta_2(K) = L^2-4\pi A\le B_K, \end{eqnarray*} $

其中$ B_K $非负, $ B_K = 0 $当且仅当$ K $为圆盘.

等周亏格的上界估计仍然是凸几何分析与积分几何中一个重要问题. 但我们发现相比于下界估计, 一域的上界估计结果寥寥无几, 目前仅有的结果为$ {{\Bbb R}} ^2 $中极为特殊的卵形域情形, 一般域或高维空间的上界估计结果少之甚少, 且研究进展相当缓慢.

1933年, Bottema提出了以下等周亏格上界估计^[11-15]:

命题1.3   设$ K $为$ {{\Bbb R}} ^2 $中光滑的严格凸域, 边界$ \partial K $的曲率$ \rho\ge0 $, 其周长、面积为$ L $、$ A $, $ \rho_m $和$ \rho_M $分别为$ \partial K $的最小曲率半径和最大曲率半径, 则

$ \begin{eqnarray*} L^2-4\pi A\le\pi^2\left(\rho_M-\rho_m\right)^2, \end{eqnarray*} $

等号成立当且仅当$ K $为圆盘.

基于此, 本文主要考虑如何将平面等周亏格的上界估计推广到更复杂的高维欧氏空间. 本文第3部分获得了$ K $关于$ E $的相对均质积分$ W_i\left(K, E\right) $、相对内半径$ r\left(K, E\right) $和相对外半径$ R\left(K, E\right) $表示的广义逆Bonnesen型不等式(定理3.2, 定理3.3, 定理3.4, 定理3.5, 定理3.6); 作为推论, 当$ E = B $时我们获得了文献[7]中更为一般的逆Bonnesen型不等式(推论3.1, 推论3.4, 推论3.5, 推论3.6); 第4部分给出了三个广义逆Bonnesen型不等式间的最佳估计.

设$ K $为$ {{\Bbb R}} ^n $中一凸体, 体积记为$ V\left(K\right) $. 令$ \omega_n $表示$ {{\Bbb R}} ^n $中单位球$ B $的体积, 凸体$ K $和$ E $的Minkowski和定义为$ K+E = \left\{x+y:x\in K, y\in E\right\} $, 凸体$ K $和实数$ t $的Minkowski数乘定义为$ tK = \left\{tx:x\in K, t\in \mathbb R\right\} $.

设$ K_1 $, $ K_2 $, $ \cdots $, $ K_m $是$ {{\Bbb R}} ^n $中凸体, $ \lambda_i\ge0 $, $ i = 1, \cdots, m $, 则$ \lambda_1K_1+\lambda_2K_2+\cdots+\lambda_mK_m $的体积是关于$ \lambda_1 $, $ \lambda_2 $, $ \cdots $, $ \lambda_m $有关的$ n $阶齐次多项式, 即

$ \begin{eqnarray*} V\left(\lambda_1K_1+\lambda_2K_2+\cdots+\lambda_mK_m\right) = \sum\limits_{i_1, \cdots{, i}_n}{V\left(K_{i_1}, K_{i_2}, \cdots, K_{i_n}\right)\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_n}}, \end{eqnarray*} $

其中系数$ V\left(K_{i_1}, K_{i_2}, \cdots, K_{i_n}\right) $称为$ K_{i_1} $, $ K_{i_2} $, $ \cdots $, $ K_{i_n} $的混合体积^[16-18]. 混合体积一个非常重要的性质就是它的Minkowski线性, 即

$ \begin{eqnarray*} V\left(\alpha K+\beta L, K_2, \cdots, K_n\right) = \alpha V(K, K_2, \cdots, K_n)+\beta V(L, K_2, \cdots, K_n). \end{eqnarray*} $

对于两凸体$ K $和$ E $, 称Minkowski和$ K+tE $为$ K $相对于$ E $的距离为$ t $的外平行体. 著名的相对Steiner公式本质上就是外平行体$ K+tE $的体积关于$ t $的$ n $阶多项式, 即

(2.1) $ \begin{equation} V\left(K+tE\right) = \sum\limits_{i = 0}^{n}\Bigg(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\Bigg)W_i\left(K, E\right)t^i. \end{equation} $

记

$ \begin{eqnarray*} V_i\left(K, E\right) = V\left(\underbrace{K, \cdots, K}_{n-i}, \underbrace{E, \cdots, E}_i\right), \end{eqnarray*} $

(2.1)式中系数

(2.2) $ \begin{equation} W_i\left(K, E\right) = V_i\left(K, E\right), \ \ i = 0, 1, \cdots, n \end{equation} $

为$ K $关于$ E $的相对均质积分.

$ K $关于$ E $的相对内半径$ r\left(K, E\right) $和相对外半径$ R\left(K, E\right) $分别定义如下

$ r\left(K;E\right) = \sup\left\{{r}:\exists {x}\in{{\Bbb R}} ^n, {x+rE}\subset {K}\right\}, $

$ R\left(K;E\right) = \inf\left\{{R}:\exists {x}\in{{\Bbb R}} ^n, {K}\subset {x+RE}\right\}. $

当$ E = B $时, (2.1)式为经典的Steiner多项式^[19], 此时$ W_i\left(K, E\right) $为$ K $的经典$ i $阶均质积分, 简记为$ W_i\left(K\right) $. 且$ r\left(K, E\right) = r\left(K\right) $为$ K $的内切圆半径, $ R\left(K, E\right) = R\left(K\right) $为$ K $的外切圆半径.

定理3.1   设$ K $, $ E $为欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中的两个凸体, $ W_i\left(K, E\right) $为$ K $关于$ E $的相对均质积分, 则

(3.1) $ \begin{eqnarray} r\left(K, E\right)&\le&\frac{W_0\left(K, E\right)}{W_1\left(K, E\right)}\le\sqrt{\frac{W_{0}\left(K, E\right)}{W_{2}\left(K, E\right)}}\le\frac{W_1\left(K, E\right)}{W_2\left(K, E\right)} \le\cdots\le\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_i\left(K, E\right)}{}\\ &\le&\sqrt{\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}}\le\frac{W_i\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}\le\cdots\le\frac{W_{n-1}\left(K, E\right)}{W_n\left(K, E\right)}\le R\left(K, E\right), \end{eqnarray} $

当$ E $是单位球, $ K $是一个球时不等式等号成立.

证  通过Aleksandrov-Fenchel不等式^[20]

$ V\left(K_1, K_2, K_3, \cdots, K_n\right)^2\geq V\left(K_1, K_1, K_3, \cdots, K_n\right)V\left(K_2, K_2, K_3, \cdots, K_n\right), $

注意到该不等式等号成立的条件一般是未知的, 但在某些情况下是已知的: 若$ K_3, \cdots, K_n $是光滑凸体, 则不等式等号成立当且仅当$ K_1 $与$ K_2 $位似. 取上述不等式的特殊情况: $ K_1 = K_2 = \cdots = K_{n-i} = K; K_{n-i+1} = \cdots = K_n = E $, 则

$ W_i^2\left(K, E\right){-W}_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\geq0, $

当$ K $与$ E $位似时等号成立. 上式可变形为

$ \frac{W_{i-1}^2\left(K, E\right)}{W_i^2\left(K, E\right)}\le\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}\ ;\ \frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}\le\frac{W_i^2\left(K, E\right)}{W_{i+1}^2\left(K, E\right)}. $

即

$ \frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_i\left(K, E\right)}\le\sqrt{\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}}\le\frac{W_i\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}. $

对上式分别取$ i = 1, \cdots, n-1 $, 则

(3.2) $ \begin{eqnarray} \frac{W_0\left(K, E\right)}{W_1\left(K, E\right)}&\le&\sqrt{\frac{W_{0}\left(K, E\right)}{W_{2}\left(K, E\right)}}\le\frac{W_1\left(K, E\right)}{W_2\left(K, E\right)} \le\cdots\le\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_i\left(K, E\right)}{}\\ &\le&\sqrt{\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}}\le\frac{W_i\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}\le\cdots\le\frac{W_{n-1}\left(K, E\right)}{W_n\left(K, E\right)}. \end{eqnarray} $

又

$ r\left(K, E\right)E\subseteq K\subseteq R\left(K, E\right)E. $

根据混合体积的单调性, 得

$ V_0\left(K, E\right) = V\left(K\right) = V\left(K, K\right)\geq V_1\left(K, r\left(K, E\right)E\right) = r\left(K, E\right)V_1\left(K, E\right), $

$ V_{n-1}\left(K, E\right)\le V_{n-1}\left(R\left(K, E\right)E, E\right) = R\left(K, E\right)V_{n-1}\left(E, E\right) = R\left(K, E\right)V_n\left(K, E\right). $

故

$ r\left(K, E\right)\le\frac{V_0\left(K, E\right)}{V_1\left(K, E\right)}, $

$ \frac{V_{n-1}\left(K, E\right)}{V_n\left(K, E\right)}\le R\left(K, E\right). $

根据(2.2)式, 则

(3.3) $ \begin{equation} r\left(K, E\right)\le\frac{W_0\left(K, E\right)}{W_1\left(K, E\right)}, \end{equation} $

(3.4) $ \begin{equation} \frac{W_{n-1}\left(K, E\right)}{W_n\left(K, E\right)}\le R\left(K, E\right). \end{equation} $

联立(3.2)–(3.4)式得

$ \begin{eqnarray*} r\left(K, E\right)&\le&\frac{W_0\left(K, E\right)}{W_1\left(K, E\right)}\le\sqrt{\frac{W_{0}\left(K, E\right)}{W_{2}\left(K, E\right)}}\le\frac{W_1\left(K, E\right)}{W_2\left(K, E\right)} \le\cdots\le\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_i\left(K, E\right)}\\ &\le&\sqrt{\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}}\le\frac{W_i\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}\le\cdots\le\frac{W_{n-1}\left(K, E\right)}{W_n\left(K, E\right)}\le R\left(K, E\right), \\ \end{eqnarray*} $

当$ E $是单位球, $ K $是一个球时等号成立.

特别地, 当$ n = 2 $, 令$ E = B $时有$ W_0\left(K, E\right) = A $, $ W_1\left(K, E\right) = \frac{L}{2} $, $ W_2\left(K, E\right) = \pi $, 则文献[7]中结果为定理3.1的直接推论.

推论3.1^[7]   设$ K $是$ {{\Bbb R}} ^2 $中的凸体, 周长为$ L $, 面积为$ A $, 则

$ r_K\le\frac{2A}{L}\le\sqrt{\frac{A}{\pi}}\le\frac{L}{2\pi}\le R_K, $

当$ K $为圆盘时不等式等号成立.

定理3.2   设$ K $、$ E $为欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中的两凸体, $ W_i\left(K, E\right) $为$ K $关于$ E $的相对均质积分, $ 1\le i\le n-1 $, 则

(3.5) $ \begin{equation} W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\le W_{i+1}^2\left(K, E\right)\left(R^2\left(K, E\right)-\frac{W_{i-1}^2\left(K, E\right)}{W_i^2\left(K, E\right)}\right), \end{equation} $

当$ E $是单位球, $ K $是一个球时不等式等号成立.

证  由定理3.1, 有

$ r\left(K, E\right)\le\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_i\left(K, E\right)}\le\sqrt{\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}}\le\frac{W_i\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}\le R\left(K, E\right). $

则

$ \frac{W_i^2\left(K, E\right)}{W_{i+1}^2\left(K, E\right)}-\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}\le R^2\left(K, E\right)-\frac {W_{i-1}^2\left(K, E\right)}{W_{i}^2\left(K, E\right)}. $

故

$ \frac{W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}^2\left(K, E\right)}\le R^2\left(K, E\right)-\frac {W_{i-1}^2\left(K, E\right)}{W_{i}^2\left(K, E\right)}. $

即

$ W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\le W_{i+1}^2\left(K, E\right)\left(R^2\left(K, E\right)-\frac{W_{i-1}^2\left(K, E\right)}{W_i^2\left(K, E\right)}\right). $

当$ E $是单位球, $ K $是一个球时不等式等号成立.

特别地, 令$ n = 2 $, 当$ E = B $时有$ W_0\left(K, E\right) = A $, $ W_1\left(K, E\right) = \frac{L}{2} $, $ W_2\left(K, E\right) = \pi $, 则

推论3.2   设$ K $是$ {{\Bbb R}} ^2 $中的凸体, 其周长为$ L $, 面积为$ A $, 则

$ L^2-4\pi A\le4\pi^2\left(R_K^2-\frac{4A^2}{L^2}\right), $

当$ K $为圆盘时不等式等号成立.

定理3.3   设$ K $、$ E $为欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中的两凸体, $ W_i\left(K, E\right) $为$ K $关于$ E $的相对均质积分, $ 1\le i\le n-1 $, 则

(3.6) $ \begin{eqnarray} &&W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right){}\\ &\le&\frac{W_i^2\left(K, E\right)}{W_{i-1}\left(K, E\right)}(\frac{W_i^2\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}-W_{i+1}\left(K, E\right)r^2\left(K, E\right)), \end{eqnarray} $

当$ E $是单位球, $ K $是一个球时不等式等号成立.

证  由定理3.1, 有

$ r\left(K, E\right)\le\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_i\left(K, E\right)}\le\sqrt{\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}}\le\frac{W_i\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}\le R\left(K, E\right), $

则

$ \frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}-\frac{W_{i-1}^2\left(K, E\right)}{W_i^2\left(K, E\right)}\le\frac{W_i^2\left(K, E\right)}{W_{i+1}^2\left(K, E\right)}-r^2\left(K, E\right), $

故

$ \frac{W_{i-1}\left(K, E\right)\left(W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\right)}{W_i^2\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)}\le\frac{W_i^2\left(K, E\right)}{W_{i+1}^2\left(K, E\right)}-r^2\left(K, E\right), $

即

$ \begin{eqnarray*} &&W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\\ &\le&\frac{W_i^2\left(K, E\right)}{W_{i-1}\left(K, E\right)} \bigg(\frac{W_i^2\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}-W_{i+1}\left(K, E\right)r^2\left(K, E\right)\bigg). \end{eqnarray*} $

当$ E $是单位球, $ K $是一个球时不等式等号成立.

推论3.3   设$ K $是$ {{\Bbb R}} ^2 $中的凸体, 其周长为$ L $, 面积为$ A $, 则

$ L^2-4\pi A\le\frac{L^2}{4A}\left(\frac{L^2}{4\pi^2}-\pi r_K^2\right), $

当$ K $为圆盘时不等式等号成立.

定理3.4   设$ K $、$ E $为欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中的两凸体, $ W_i\left(K, E\right) $为$ K $关于$ E $的相对均质积分, $ 1\le i\le n-1 $, 则

(3.7) $ \begin{equation} W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\le\frac{W_i^2\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)}{W_{i-1}\left(K, E\right)}\left(R^2\left(K, E\right)-r^2\left(K, E\right)\right), \end{equation} $

当$ E $是单位球, $ K $是一个球时不等式等号成立.

证  由定理3.1, 有

$ r\left(K, E\right)\le\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_i\left(K, E\right)}\le\sqrt{\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}}\le R\left(K, E\right), $

得

$ W_{i-1}\left(K, E\right)\le R^2\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right), $

$ W_{i-1}\left(K, E\right)\geq r\left(K, E\right)W_i\left(K, E\right). $

从而有

$ W_i^2\left(K, E\right)\le\frac{W_i^2\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)R^2\left(K, E\right)\ \ \ \ }{W_{i-1}\left(K, E\right)}, $

$ W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\geq\frac{W_i^2\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)r^2\left(K, E\right)\ \ \ \ }{W_{i-1}\left(K, E\right)}. $

联立可得

$ W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\le\frac{W_i^2\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)}{W_{i-1}\left(K, E\right)}\left(R^2\left(K, E\right)-r^2\left(K, E\right)\right). $

当$ E $是单位球, $ K $是一个球时不等式等号成立.

推论3.4^[7]   设$ K $是$ {{\Bbb R}} ^2 $中的凸体, 其周长为$ L $, 面积为$ A $, 则

$ L^2-4\pi A\le\frac{\pi L^2}{A}\left(R_K^2-r_K^2\right), $

当$ K $为圆盘时不等式等号成立.

定理3.5   设$ K $、$ E $为欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中的两凸体, $ W_i\left(K, E\right) $为$ K $关于$ E $的相对均质积分, $ 1\le i\le n-1 $, 则

(3.8) $ \begin{equation} W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\le W_{i+1}^2\left(K, E\right)\left(R^2\left(K, E\right)-r^2\left(K, E\right)\right), \end{equation} $

当$ E $是单位球, $ K $是一个球时不等式等号成立.

证  由定理3.1, 有

$ r\left(K, E\right)\le\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_i\left(K, E\right)}\le\sqrt{\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}}\le\frac{W_i\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}\le R\left(K, E\right), $

可得

$ \frac{W_i^2\left(K, E\right)}{W_{i+1}^2\left(K, E\right)}-\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}\le R^2\left(K, E\right)-r^2\left(K, E\right), $

故

$ W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\le W_{i+1}^2\left(K, E\right)\left(R^2\left(K, E\right)-r^2\left(K, E\right)\right). $

当$ E $是单位球, $ K $是一个球时不等式等号成立.

推论3.5^[7]   设$ K $是$ {{\Bbb R}} ^2 $中的凸体, 其周长为$ L $, 面积为$ A $, 则

$ L^2-4\pi A\le4\pi^2\left(R_K^2-r_K^2\right), $

当$ K $为圆盘时不等式等号成立.

定理3.6   设$ K $、$ E $为欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中的两凸体, $ W_i\left(K, E\right) $为$ K $关于$ E $的相对均质积分, $ 1\le i\le n-1 $, 则

(3.9) $ \begin{equation} W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\le W_i\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\left(R\left(K, E\right)-r\left(K, E\right)\right), \end{equation} $

当$ E $是单位球, $ K $是一个球时不等式等号成立.

证  由定理3.1, 有

$ r\left(K, E\right)\le\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_i\left(K, E\right)}\le\frac{W_i\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}\le R\left(K, E\right), $

得

$ \frac{W_i\left(K, E\right)}{W_{i+1}\left(K, E\right)}-\frac{W_{i-1}\left(K, E\right)}{W_i\left(K, E\right)}\le R\left(K, E\right)-r\left(K, E\right), $

故

$ W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\le W_i\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\left(R\left(K, E\right)-r\left(K, E\right)\right). $

当$ E $是单位球, $ K $是一个球时不等式等号成立.

推论3.6^[7]   设$ K $是$ {{\Bbb R}} ^2 $中的凸体, 其周长为$ L $, 面积为$ A $, 则

$ L^2-4\pi A\le2\pi L\left(R_K-r_K\right), $

当$ K $为圆盘时不等式等号成立.

定理4.1   设$ K $, $ E $为欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中的两凸体, $ W_i\left(K, E\right) $为$ K $关于$ E $的相对均质积分, $ 1\le i\le n-1 $, 则

$ W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\le W_i\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\left(R\left(K, E\right)-r\left(K, E\right)\right) = B_1, $

$ W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\le W_{i+1}^2\left(K, E\right)\left(R^2\left(K, E\right)-r^2\left(K, E\right)\right) = B_2, $

$ \begin{eqnarray*} &&W_i^2\left(K, E\right)-W_{i-1}\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\\ &\le&\frac{W_i^2\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)}{W_{i-1}\left(K, E\right)}\left(R^2\left(K, E\right)-r^2\left(K, E\right)\right) = B_3, \end{eqnarray*} $

且$ B_1\le B_2\le B_3. $当$ E $是单位球, $ K $是一个球时不等式等号成立.

证  由定理3.1可得

$ \frac{W_i^2\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)}{W_{i-1}\left(K, E\right)}\ge W_{i+1}^2\left(K, E\right). $

不等号两边同时乘以$ \left(R^2\left(K, E\right)-r^2\left(K, E\right)\right) $, 有

$ \frac{W_i^2\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)}{W_{i-1}\left(K, E\right)}\left(R^2\left(K, E\right)-r^2\left(K, E\right)\right)\geq W_{i+1}^2\left(K, E\right)\left(R^2\left(K, E\right)-r^2\left(K, E\right)\right). $

又根据定理3.1, 则

$ \left(R\left(K, E\right)+r\left(K, E\right)\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\geq W_i\left(K, E\right). $

于是

$ W_{i+1}^2\left(K, E\right)\left(R^2\left(K, E\right)-r^2\left(K, E\right)\right)\geq W_i\left(K, E\right)W_{i+1}\left(K, E\right)\left(R\left(K, E\right)-r\left(K, E\right)\right). $

则$ B_1\le B_2\le B_3. $当$ E $是单位球, $ K $是一个球时不等式等号成立.

推论4.1   设$ K $是$ {{\Bbb R}} ^2 $中的凸体, 其周长为$ L $, 面积为$ A $, 设

$ L^2-4\pi A\le2\pi L\left(R_K-r_K\right) = B_1^\prime, $

$ L^2-4\pi A\le4\pi^2\left(R_K^2-r_K^2\right) = B_2^\prime, $

$ L^2-4\pi A\le\frac{\pi L^2}{A}\left(R_K^2-r_K^2\right) = B_3^\prime, $

则$ B_1^\prime\le B_2^\prime\le B_3^\prime. $当$ K $为圆盘时不等式等号成立.