1957年De Finetti^[1]首次把分红策略引入到保险风险模型中, 并证明了在其所研究的离散风险模型中最优分红策略是一边界分红策略. 自此, 一大批学者开始研究带有红利支付的风险模型, 如Claramunt等^[2] 研究了一类带边界分红策略的离散时间风险模型的累积分红问题; Jeanblanc-Picque和Shiryaev^[3]在边界分红策略的基础上将分红策略中"超出部分当做分红"修改为"超出部分按一定比例分红"后, 证明了盈余过程为Brownian运动风险模型时, 最优分红策略为阈值分红策略; 文献[4-6] 在各种不同模型下研究了最优再保险和分红问题; 更多关于分红问题的研究参见文献[7-10].

近年来, 有关复合二项风险模型中的随机分红问题得到了许多学者的关注. 例如, Tan和Yang在文献[11]中考虑了具有随机分红策略的复合二项风险模型, 得到了直到破产前盈余的概率函数和破产概率的渐近估计; Bao^[12]研究了具有随机分红的期望折现惩罚函数, 得到了期望折现惩罚函数所满足的瑕疵更新方程; 作为Tan和Yang^[11]的推广, Landriault^[13]提出一个多层随机分红策略, 并利用广义Lundberg基本方程的根和差分方程理论研究了期望折现惩罚函数和分红总量的期望现值; He和Yang^[14]在一类离散相依风险模型下对分红策略进行了推广, 以某种随机分红策略来对股权人和保单持有人都进行随机分红, 推导出了期望折现惩罚函数的递推公式.

经典的风险模型建立的前提是要假设索赔风险独立同分布, 但这只是为了方便数学上的处理, 而在一些重大事故造成的大额索赔中, 如机动车事故中经常会产生不同类型的索赔: 车辆的损失、人员伤亡等; 在地震、洪水等灾害中往往有很多风险发生, 有些可以直接处理, 有一些却需要经过一定时间后才能解决, 而且有些风险的发生会延迟, 如洪水过后一般会引发一些传染病, 这些传染病经过一段时间才会发生. 由此, 相依风险模型在风险理论中逐渐发展起来. 例如, Yuen和Guo^[15] 首先考虑了一种包含主索赔和副索赔的时间相依索赔结构, 且假定每次主索赔必然引起副索赔, 副索赔可能与主索赔同一时刻发生, 也可能推迟到下一时刻发生, 并在该模型下研究了破产概率问题; Xiao和Guo^[16]研究了具有延迟索赔的复合二项模型中破产前盈余和破产赤字的联合分布; Xie和Zhou^[17]研究了具有延迟索赔和随机利率模型的期望折现分红问题; Li和Wu^[18]研究了具有延迟索赔的复合二项模型中的期望惩罚函数问题; Yuen等^[19]研究了具有延迟索赔和随机分红策略的期望惩罚函数问题; Liu和Zhang^[20]在一类具有延迟索赔和随机分红策略的离散风险模型下研究了期望折现分红问题; Liu等人^[21]研究了一类具有延迟索赔和随机分红策略的离散交叉风险模型, 给出了Gerber-Shiu折现惩罚函数的瑕疵更新方程和递推公式.

在传统的保险风险模型中, 常假定单位时间内收取的保费额为1, 该假设过于理想化, 与实际保险经营情况并不相符. 为了让模型更加符合实际, 许多学者开始研究带有随机保费收入的风险模型. 例如, Yang和Zhang^[22]研究了具有随机保费收入的更新风险过程, 得出期望惩罚函数所满足的瑕疵更新方程; Bao和Liu^[23]研究了具有随机保费收入和延迟索赔的复合二项风险模型, 给出了破产前盈余和破产赤字联合分布的递推公式; Gao和Wu^[24]研究了具有延迟索赔和随机保费收入的离散风险模型中的期望惩罚函数问题; Zhou等人^[25]在具有随机保费收入、延迟索赔和边界分红策略的复合二项风险模型下研究了期望折现分红量问题; Deng等人^[26]在具有延迟索赔、随机保费收入和马氏调节随机利率模型下得到了一类广义期望惩罚函数的解析表示.

虽然已有很多文献对具有随机分红的风险模型展开了研究, 但是绝大部分文献都是去计算期望惩罚函数等破产精算量. 除了Landriault^[13]及Liu和Zhang^[20]之外, 很少有文章直接去计算直到破产前的期望累积折现随机分红量. 本文在Liu和Zhang^[20]的模型中进一步考虑了随机保费收入模型, 且利用不同于Landriault^[13]及Liu和Zhang^[20]的方法推导得到了保险公司直至破产前的期望累积折现分红量满足的差分方程及其解, 并通过一些数值例子展示了相关参数对期望累积折现分红量的影响.

考虑一类带有相依索赔的复合二项风险模型, 假设保险公司单位时间$ (t-1, t] $$ (t=1, 2, \cdots) $内收取的保费额是常值$ 1 $, 索赔次数是一个计数过程, 在任一单位时间区间$ (t-1, t] $$ (t=1, 2, \cdots) $内, 发生主索赔的概率为$ q $, 没有发生主索赔的概率为$ p=1-q $, 而且不同时段发生主索赔相互独立. 每次主索赔引起一次副索赔, 副索赔与主索赔同期发生概率为$ \theta $, 延迟到下一期概率为$ 1-\theta $. 设$ \{\xi_k, k=1, 2, \cdots\} $是一列相互独立且同服从参数为$ q $的$ 0-1 $分布, 表示第$ k $期是否发生主索赔; $ \{\eta_k, k=1, 2, \cdots\} $是一列相互独立且同服从参数为$ \theta $的$ 0-1 $分布, 表示第$ k $期副索赔是否与主索赔同期发生. 用$ \{X_k, k=1, 2, \cdots\} $表示第$ k $期主索赔量, 且$ X_i $的概率分布律为$ f_X(m)=P(X=m) $, 对应的概率母函数记为$ \widetilde{f}_X(s)=\sum\limits_{m=1}^{\infty}f_X(m)s^m $. 相应的, 用$ \{Y_k, k=1, 2, \cdots\} $表示第$ k $期副索赔量, 且$ Y_i $的概率分布为$ g_Y(n)=P(Y=n) $, 相应的概率母函数记为$ \widetilde{g}_Y(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}g_Y(n)s^n $. 于是, 直到$ k $期末所发生的总主索赔量和总副索赔量如下:

$ S_t^X=\sum\limits_{k=1}^{t} \xi_k X_{k}, {\quad} t=1, 2, \cdots, $

$ S_1^Y=\xi_1 \eta_1 Y_1, S_t^Y=\sum\limits_{k=1}^{t} \xi_k \eta_k Y_{k}+\sum\limits_{k=2}^{t} \xi_{k-1} (1-\eta_{k-1}) Y_{k-1}, {\quad} t=2, 3, \cdots. $

从而保险公司在$ t $时刻的盈余过程$ U(t) $可表示为$ S(t)=u+t-S_t^X-S_t^Y, $其中$ u $是保险公司在初始时刻所具有的初始资产.

下面介绍带延迟索赔、随机分红和随机保费收入的复合二项风险模型. 假定保费收入和分红都是在期初发生, 而每次的索赔都是在期末发生. 当保险公司在某一时刻$ k=0, 1, \cdots $的盈余大于或等于预先设定的某个分红临界值$ b (b= 1, 2, \cdots) $时, 假定保险公司在该时刻以概率$ q_1 $分发一个单位的红利, 不分发红利的概率为$ p_1=1-q_1 $. 则保险公司在时刻$ k $的分红量可表示为$ \zeta_k I_{\{U(k)\geq b\}} $, 其中$ I_A $表示集合$ A $的示性函数, $ \{\zeta_k, k=0, 1, \cdots\} $相互独立, 服从参数为$ q_1 $的$ 0-1 $分布. 此外, 假设单位时间$ (k-1, k] $内的保费收入为$ M_k, k=1, 2, \cdots $, 服从参数为$ q_0 $的$ 0-1 $分布, 并记$ p_0=1-q_0 $. 于是, 带延迟索赔、随机分红和随机保费收入的复合二项风险模型可以表示为

(2.1) $ \begin{eqnarray} U(t)=u+\sum\limits_{k=1}^{t} M_k -S_t^X-S_t^Y-\sum\limits_{k=1}^{t} \zeta_{k-1} I_{\{U(k-1)\geq b\}}. \end{eqnarray} $

记$ \mu_X=\sum\limits_{m=1}^{\infty} m f_X(m) $, $ \mu_Y=\sum\limits_{m=1}^{\infty} m g_Y(m) $. 因此, 可假定$ q_0>q(\mu_X+\mu_Y) $来确保满足安全载荷条件.

定义模型(2.1)的破产时刻为$ T=\inf\{t\geq 1: U(t)<0\} $, 约定$ \inf(\emptyset)=+\infty $, 若保险公司不发生破产, 则$ T=+\infty $. 于是, 从0时刻开始直到破产前的累积折现分红量为

$ D=\sum\limits_{k=0}^T v^k \zeta_kI_{\{U(k)\geq b \} }, $

其中$ 0<v<1 $是折现因子. 本文研究从0时刻开始直到破产前的期望累积折现分红量为

$ V(u, b)=E(D|U(0)=u). $

为了获得期望累积折现分红量的递推公式, 我们需要考虑主索赔所引起的副索赔发生延期的情形. 为此, 我们定义了一个辅助风险过程

(3.1) $ \begin{eqnarray} U^{\ast}(t)=u+\sum\limits_{k=1}^{t}M_k -S_t^X-S_t^Y-\sum\limits_{k=1}^{t} \zeta_{k-1} I_{\{U(k-1)\geq b\}}-YI_{\{t\geq 1\}}, \end{eqnarray} $

其中, $ I_A $是关于事件$ A $的示性函数, $ Y $是一个与$ \{Y_k, k=1, 2, \cdots\} $同分布的随机变量, 且与变量$ X_i , Y_j (\forall i, j) $相互独立.

对给定的$ b (b=1, 2, \cdots) $, 当$ U(t)=0, 1, \cdots, b-1 $时, 当期不支付分红; 当$ U(t)=b, b+1, \cdots $时, 当期以概率$ q_1 $分发1单位的红利. 根据当期的保费收入、索赔和分红情况, 对时刻1利用全概率公式可得下列关系式.

当$ u=0, 1, \cdots, b-1 $时

(3.2) $ \begin{eqnarray} V(u, b)&=&v\bigg\{p_0pV(u, b)+q_0pV(u+1, b)+p_0q\theta\sum\limits_{m+n\leq u}V(u-m-n, b)f_X(m)g_Y(n) \\ &&+q_0q\theta\sum\limits_{m+n\leq u+1}V(u+1-m-n, b)f_X(m)g_Y(n)\\ &&+p_0q(1-\theta)\sum\limits_{m=1}^{u}V^\ast(u-m, b)f_X(m) \\ &&+q_0q(1-\theta)\sum\limits_{m=1}^{u+1}V^{\ast}(u+1-m, b)f_X(m)\bigg\}, \end{eqnarray} $

(3.3) $ \begin{eqnarray} V^{\ast}(0, b)&=&vq_0pV(0, b)g_Y(1), \end{eqnarray} $

(3.4) $ \begin{eqnarray} V^{\ast}(u, b)&=&v\bigg\{p_0p\sum\limits_{n=1}^{u}V(u-n, b)g_Y(n)+q_0p\sum\limits_{n=1}^{u+1}V(u+1-n, b)g_Y(n) \\ &&+p_0q\theta\sum\limits_{m+n+l\leq u}V(u-m-n-l, b)f_X(m)g_Y(n)g_Y(l) \\ &&+q_0q\theta\sum\limits_{m+n+l\leq u+1}V(u+1-m-n-l, b)f_X(m)g_Y(n)g_Y(l) \\ &&+p_0q(1-\theta)\sum\limits_{m+l\leq u}V^\ast(u-m-l, b)f_X(m)g_Y(l) \\ &&+q_0q(1-\theta)\sum\limits_{m+l \leq u+1}V^{\ast}(u+1-m-l, b)f_X(m)g_Y(l)\bigg\}, u=1, 2, \cdots, b-1. {\qquad} \end{eqnarray} $

当$ u=b, b+1, \cdots $时

(3.5) $ \begin{eqnarray} V(u, b)&=&vq_1+ v\bigg\{p_0p[p_1V(u, b)+q_1V(u-1, b)]+q_0p[p_1V(u+1, b)+q_1V(u, b)]\\ &&+p_0q\theta\bigg[p_1\sum\limits_{m+n\leq u}V(u-m-n, b)f_X(m)g_Y(n)\\ &&+q_1\sum\limits_{m+n\leq u-1}V(u-m-n-1, b)f_X(m)g_Y(n)\bigg]\\ &&+q_0q\theta\bigg[p_1\sum\limits_{m+n\leq u+1}V(u+1-m-n, b)f_X(m)g_Y(n)\\ &&+q_1\sum\limits_{m+n\leq u}V(u-m-n, b)f_X(m)g_Y(n)\bigg] \\ &&+p_0q(1-\theta)\bigg[p_1\sum\limits_{m=1}^{u}V^\ast(u-m, b)f_X(m)+q_1\sum\limits_{m=1}^{u-1}V^\ast(u-1-m, b)f_X(m)\bigg] \\ &&+q_0q(1-\theta)\bigg[p_1\sum\limits_{m=1}^{u+1}V^{\ast}(u+1-m, b)f_X(m)+q_1\sum\limits_{m=1}^{u}V^{\ast}(u-m, b)f_X(m)\bigg] \bigg\}, {\qquad} \end{eqnarray} $

(3.6) $ \begin{eqnarray} V^{\ast}(u, b)&=&vq_1+v\bigg\{p_0p \bigg[p_1\sum\limits_{n=1}^{u}V(u-n, b)g_Y(n)+q_1\sum\limits_{n=1}^{u-1}V(u-n-1, b)g_Y(n)\bigg] \\ &&+q_0p\bigg[p_1\sum\limits_{n=1}^{u+1}V(u+1-n, b)g_Y(n)+q_1\sum\limits_{n=1}^{u}V(u-n, b)g_Y(n)\bigg] \\ &&+p_0q\theta\bigg[p_1\sum\limits_{m+n+l\leq u}V(u-m-n-l, b)f_X(m)g_Y(n)g_Y(l) \\ &&+q_1\sum\limits_{m+n+l\leq u-1}V(u-m-n-l-1, b)f_X(m)g_Y(n)g_Y(l)\bigg] \\ && + q_0q\theta\bigg[p_1\sum\limits_{m+n+l\leq u+1}V(u-m-n, b)f_X(m)g_Y(n)g_Y(l) \\ & &+ q_1\sum\limits_{m+n+l\leq u}V(u-m-n-1, b)f_X(m)g_Y(n)g_Y(l)\bigg] \\ && +p_0q(1-\theta)\bigg[p_1\sum\limits_{m+l\leq u}V^\ast(u-m, b)f_X(m)g_Y(l) \\ &&+q_1\sum\limits_{m+l\leq u-1}V^\ast(u-m-1, b)f_X(m)g_Y(l)\bigg] \\ &&+q_0q(1-\theta)\bigg[p_1\sum\limits_{m+l \leq u+1}V^{\ast}(u+1-m, b)f_X(m)g_Y(l) \\ &&+q_1\sum\limits_{m+l \leq u}V^{\ast}(u-m, b)f_X(m)g_Y(l)\bigg]\bigg\}. \end{eqnarray} $

取$ h_X(m)=p_0f_X(m)+q_0f_X(m+1), f_X(0)=0, m=0, 1, 2, \cdots, $则(3.2)和(3.5)式可写成

(3.7) $ \begin{eqnarray} V(u, b)&=&v\bigg\{p_0pV(u, b)+q_0pV(u+1, b)+q\theta\sum\limits_{m+n\leq u}V(u-m-n, b)h_X(m)g_Y(n) \\ && +q(1-\theta)\sum\limits_{m=0}^{u}V^{\ast}(u-m, b)h_X(m)\bigg\}, {\quad} u=0, 1, 2, \cdots, b-1, \end{eqnarray} $

(3.8) $ \begin{eqnarray} V(u, b)&=&vq_1+v\bigg\{p_0p[p_1V(u, b)+q_1V(u+1, b)]+q_0p[p_1V(u+1, b)+q_1V(u, b)] \\ &&+qp_1\theta\sum\limits_{m+n\leq u}V(u-m-n, b)h_X(m)g_Y(n)\\ &&+qq_1\theta\sum\limits_{m+n\leq u-1}V(u-m-n-1, b)h_X(m)g_Y(n) \\ &&+q p_1(1-\theta)\sum\limits_{m=0}^{u}V^\ast(u-m, b)h_X(m)\\ &&+qq_1(1-\theta)\sum\limits_{m=0}^{u-1}V^\ast(u-1-m, b)h_X(m) \bigg\}, {\quad} u=b, b+1, \cdots. \end{eqnarray} $

联立等式(3.2)-(3.6)可得

(3.9) $ \begin{eqnarray} V^{\ast}(u, b)=\sum\limits_{n=1}^{u}V(u-m, b)g_Y(m), \end{eqnarray} $

这个结果也可以从辅助风险模型的定义得到, 即

$ \begin{eqnarray*} V^{\ast}(u, b)=E[V(u-Y, b)]=\sum\limits_{n=1}^{u}V(u-m, b)g_Y(m). \end{eqnarray*} $

把等式(3.9) 代入等式(3.7), 得

(3.10) $ \begin{eqnarray} V(0, b)&=&vp_0pV(0, b)+vq_0pV(1, b) +v^2q_0^2pq(1-\theta)V(0, b)f_X(1)g_Y(1), \end{eqnarray} $

(3.11) $ \begin{eqnarray} V(u, b)&=&vp_0pV(u, b)+vq_0pV(u+1, b)\\ &&+vq\sum\limits_{m+n\leq u}V(u-m-n, b)h_X(m)g_Y(n) , u=1, 2, \cdots, b+1. \end{eqnarray} $

把等式(3.9) 代入等式(3.8), 得

(3.12) $ \begin{eqnarray} V(u, b)&=&vq_1+vp_0p[p_1V(u, b)+q_1V(u-1, b)]+vq_0p[p_1V(u+1, b)+q_1V(u, b)]\\ &&+vqp_1\sum\limits_{m+n\leq u}V(u-m-n, b)h_X(m)g_Y(n) \\ &&+vqq_1\sum\limits_{m+n\leq u-1}V(u-1-m-n, b)h_X(m)g_Y(n) , {\quad} u=b, b-1, \cdots. \end{eqnarray} $

为了获得$ V(u, b) $的显示表达式, 定义一个新函数$ w(u) $满足如下的差分方程

(3.13) $ \begin{eqnarray} w(0)&=&vp_0pw(0)+vq_0pw(1)+v^2q_0^2pq(1-\theta)w(0)f_X(1)g_Y(1), \end{eqnarray} $

(3.14) $ \begin{eqnarray} w(u)&=&vp_0pw(u)+vq_0pw(u+1)+vq\sum\limits_{m+n\leq u}w(u-m-n)h_X(m)g_Y(n), \\ &&\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad u=1, 2, \cdots, b-1. \end{eqnarray} $

(3.15) $ \begin{eqnarray} w(u)&=&vq_1+vp_0p[p_1w(u)+q_1w(u-1)]+vq_0p[p_1w(u+1)+q_1w(u)] \\ && +vqp_1\sum\limits_{m+n\leq u}w(u-m-n)h_X(m)g_Y(n) \\ && +vqq_1\sum\limits_{m+n\leq u-1}w(u-1-m-n)h_X(m)g_Y(n) , {\quad} u=b, b+1, \cdots. \end{eqnarray} $

在等式(3.13)、(3.14) 和(3.15) 的两边同乘$ s^{u+1} $, 然后对$ u $从0到$ \infty $进行求和, 可以得到下面的式子

(3.16) $ \begin{eqnarray} s\widetilde{w}(s)&=&vp(p_0p_1+q_0q_1)s\widetilde{w}(s)+vp_0pq_1s^2\widetilde{w}(s)+vq_0pp_1(\widetilde{w}(s)-w(0))\\ &&+vqp_1s\widetilde{w}(s)\widetilde{h}_X(s)\widetilde{g }_Y(s)+vqq_1s^2\widetilde{w}(s)\widetilde{h}_X(s)\widetilde{g}_Y(s) \\ &&+\sum\limits_{u=0}^{b-1}\bigg[vp_0pw(u)+vq_0pw(u+1)+vq\sum\limits_{m+n\leq u}w(u-m-n)h_X(m)g_Y(n)\\ &&-vp_0p[p_1w(u)+q_1w(u-1)]-vq_0p[p_1w(u+1)+q_1w(u)] \\ &&-vqp_1\sum\limits_{m+n\leq u}w(u-m-n)h_X(m)g_Y(n)\\ &&-vqq_1\sum\limits_{m+n\leq u-1}w(u-1-m-n)h_X(m)g_Y(n) \bigg] s^{u+1}\\ &&+\sum\limits_{u=b}^{\infty}vq_1s^{u+1}+v^2q_0^2pq(1-\theta)f_X(1)g_Y(1)w(0)-vqh_X(0)g_Y(0)w(0). \end{eqnarray} $

对(3.16) 式进行移项化简得

(3.17) $ \begin{eqnarray} \widetilde{G}(s) \widetilde{w}(s)=\widetilde{H}(s), \end{eqnarray} $

其中

$ \begin{eqnarray*} \widetilde{G}(s)&=&vp_0pq_1s^2+[vp(p_0p_1+q_0q_1)-1]s+vq_0pp_1+[vqp_1s+vqq_1s^2]\widetilde{h}_X(s) \widetilde{g}_Y(s)\\ \widetilde{H}(s)&=& vq_0pp_1w(0)-\sum\limits_{u=0}^{b-1}N(u)s^{u+1}-vq_1\frac{s^{b+1}}{1-s}-v^2q_0^2pq(1-\theta)f_X(1)g_Y(1)w(0), \\ N(u)&=&vp(p_0q_1-q_0q_1)w(u)+vq_0pq_1w(u+1)-vp_0pq_1w(u-1)\\ &&+vqq_1\sum\limits_{m+n= u}w(u-m-n)h_X(m)g_Y(n). \end{eqnarray*} $

为计算方便，记$ a_1=vp_0pq_1, a_2=vp(p_0p_1+q_0q_1)-1, a_3=vq_0pp_1, a_4=vqp_1, a_5=vqq_1 $, 则有

(3.18) $ \begin{eqnarray} \widetilde{G}(s)=a_1s^2+a_2s+a_3+(a_4s+a_5s^2)\widetilde{h}_X(s)\widetilde{g}_Y(s). \end{eqnarray} $

定义$ g_k, h_k $分别为(3.17) 式中$ \widetilde{G}(s) $展开式中$ s^k $的系数和$ \widetilde{H}(s) $展开式中$ s^k $的系数, 则有

$ \begin{eqnarray*} &&g_0 =a_3, \nonumber\\ & &g_1=a_2+a_4h_X(0)g_Y(0)=a_2, \nonumber\\ &&g_2=a_1+a_4\sum\limits_{i=0}^1h_X(i)g_Y(1-i)+a_5h_X(0)g_Y(0)=a_1+a_4h_X(0)g_Y(1), \nonumber\\ & & g_k=a_4\sum\limits_{i=0}^{k-1}h_X(i)g_Y(k-1-i)+a_5\sum\limits_{i=0}^{k-2}h_X(i)g_Y(k-2-i), k=3, 4, \cdots, \nonumber\\ &&h_0=vq_0pp_1w(0)-v^2q_0pq(1-\theta)f_X(1)g_Y(1)w(0), \nonumber\\ & &h_k=-N(k-1), k=1, 2, \cdots, b, \nonumber\\ &&h_k=-vq_1, k=b+1, b+2, \cdots. \end{eqnarray*} $

易知, $ \widetilde{G}(s) $, $ \widetilde{H}(s) $分别为$ g_k, h_k $的母函数. 根据母函数的性质, 通过比较(3.17) 式两边展开式中$ s^k $的系数, 可得

(3.19) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{j=0}^{k} w(j)g_{k-j}=h_k, {\quad} k=0, 1, 2, \cdots. \end{eqnarray} $

由于$ g_0=vq_0pp_1>0 $, 我们可以得到如下主要结论:

定理1   对任意给定的分红边界$ b=1, 2, \cdots $, 直到破产前的期望累积折现分红量$ V(u, b) $满足如下的差分方程

(3.20) $ \begin{eqnarray} V(u, b)=\frac{1}{g_0}\bigg[h_u-\sum\limits_{j=0}^{u-1}g_{u-j}V(j, b)\bigg], {\quad} u=1, 2, \cdots. \end{eqnarray} $

为了可以利用定理1的关系式来计算期望累积折现分红量的值, 我们需要确定$ V(0, b) $的初始值, 即$ w(0) $. 对于$ k=0, 1, 2, \cdots $, 定理1中的$ h_k $包含了$ w(u), u=0, 1, \cdots, \min(k, b) $, 因此我们需要求出$ w(0), w(1), \cdots, w(b) $的所有值, 以便可以利用定理1的结论. 将$ u=0, 1, \cdots, b-1 $分别代入(3.13)、(3.14) 和(3.15) 式中, 我们可以得到$ b $个与$ w(0), w(1), \cdots, w(b) $有关的方程. 但为了求出这$ b+1 $个未知数, 我们仍需得到另一个与它们有关的方程. 从(3.18) 式注意到$ \widetilde{G}(0)=a_3=vq_0pp_1>0 $, $ \widetilde{G}(1)=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=v-1<0 $, 且$ \widetilde{G}''(s)>0 (\forall 0<s<1) $, 由此可知, 在(0, 1) 内存在唯一的$ \rho $使得$ \widetilde{G}(\rho)=0 $.

由(3.17) 式可知$ \widetilde{H}(\rho)=0 $, 即

(3.21) $ \begin{eqnarray} vq_0pp_1w(0)-\sum\limits_{u=0}^{b-1}N(u)\rho^{u+1}-vq_1\frac{\rho^{b+1}}{1-\rho}-v^2q_0^2pq(1-\theta)f_X(1)g_Y(1)w(0)=0, \end{eqnarray} $

这就获得了所需要的另一个方程.

在这一部分, 我们用几个数值例子来阐述说明第3节的结论, 并讨论初始资本和折现因子对期望累积折现分红量的影响. 本节假设主索赔$ \{X_k, k=1, 2, \cdots\} $服从一个多项式分布$ f(x)=\beta (1-\beta)^{x-1}, 0<\beta<1, x=1, 2, \cdots, $副索赔$ \{Y_k, k=1, 2, \cdots\} $服从一个多项式分布$ g(y)=\gamma(1-\gamma)^{y-1}, 0<\gamma<1, y=1, 2, \cdots, $$ h(x)=p_0 f(x)+q_0 f(x+1), x=0, 1, 2, \cdots, $故对于它们的母函数有

(4.1) $ \begin{eqnarray} && \widetilde{f}(s)=\frac{\beta s}{1-(1-\beta)s}, \widetilde{h}(s)=\frac{\beta(q_0+p_0s)}{1-(1-\beta)s}. \end{eqnarray} $

在表 1中, 令$ b=3 $, 有保费收入的概率$ q_0=0.8 $, 发生索赔的概率$ q=0.1 $, 随机分红概率$ q_1=0.1 $, 主副索赔同期发生的概率$ \theta=0.6 $, $ \beta=0.7 $, $ \gamma=0.6 $, 利用上述数据可以得到$ \rho $, $ g_u $和$ h_u $的值, 进而得到$ V(u, b) $的初始值, 再将其代入定理1的关系式就可得到$ V(u, b) $的值. 从表 1可以分析得到, 期望累积折现分红总量$ V(u, b) $是关于初始资产$ u $和折现因子$ v $的增函数, 这与实际相符合.

在表 2中, 令$ b=8, v=0.93 $, 有保费收入的概率$ q_0=0.9 $, 发生索赔的概率$ q=0.2 $, 随机分红概率$ q_1=0.2 $, 取$ \theta=0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 $, $ \beta=\gamma=1 $, 从表 2可知期望累积折现分红总量$ V(u, b) $是关于$ \theta $的一个减函数, 说明延迟索赔有助于提高期望累积折现分红量.

在表 3中, 令$ v=0.93 $, 有保费收入的概率$ q_0=0.9 $, 发生索赔的概率$ q=0.2 $, 随机分红概率$ q_1=0.2 $, 取$ \theta=0.5 $, $ \beta=0.7 $, $ \gamma=0.8 $, 表 3说明在满足安全负荷的条件下, 期望累积折现分红总量$ V(u, b) $是关于$ b $的一个减函数.

该文在经典的复合二项风险模型的基础上, 进一步考虑了具有随机保费收入、延迟索赔和随机分红策略等因素的离散风险模型, 推导得到了保险公司直至破产前的期望累积折现随机分红量所满足的差分方程、递推公式及初值. 值得注意的是, 除了文献[13]和[20]外, 很少有文献去计算直到破产前的期望累积折现随机分红总量. 该文推广了文献[20]的模型, 且利用不同于文献[13]和[20]的方法得到了直到破产前的期望累积折现随机分红总量的相关结果.

另一方面, 该文假定每一期的随机保费收入服从独立同分布的两点分布. 而在实际中, 每一期的保费收入未必是独立同分布的, 前后之间会存在一定的相依关系. 因此, 可以进一步考虑将具有马尔科夫性质的随机保费收入引入到该文模型中研究相应的问题, 然而该问题在求解初值方面将存在较大的困难.