假设$\{W_t, 0\leq t\leq T\}$和$\{B_t, 0\leq t\leq T\}$是分别取值在${\mathbb R}^l$和${\mathbb R}^m$上两个独立的标准布朗运动, $\{N_t, 0\leq t\leq T\}$是独立于$\{W_t, 0\leq t\leq T\}$和$\{B_t, 0\leq t\leq T\}$的一个泊松过程, 且它们定义在同一个概率空间$(\Omega, {\cal F}, P)$.令${\cal N}$是一个$P$零测集, 对任意$t\in[0, T]$, 定义${\cal F}_t={\cal F}_t^{W, N}\vee{\cal F}_{t, T}^B.$对任给过程$\{\alpha_t\}$, 我们定义${\cal F}_{s, t}^\alpha=\sigma\{\alpha_r-\alpha_s; s\leq r\leq t\}\vee{\cal N}$, ${\cal F}_t^\alpha={\cal F}_{0, t}^\alpha.$注意${\cal F}_t, t\geq 0$不是一个流.

令$\xi\in L^2(\Omega, {\mathbb R}^d)$且关于${\cal F}_T$可测, 考虑超前带跳倒向耦合随机微分方程(ABDSDEs):

其中${{\mathord{{{\rm{d}}}}}} B_s$为倒向Itô积分, ${{\mathord{{{\rm{d}}}}}} W_s$和${{\mathord{{{\rm{d}}}}}}\hat{N}_s$为正向Itô积分, $\hat{N}(t)=N(t)-\lambda t$是一个均值为零的泊松过程. ${{\mathord{{{\rm{d}}}}}} B_s^n$表示$\dot{B}_s^n\overrightarrow{{{\mathord{{{\rm{d}}}}}} s}$, 其中$\dot{B}_s^n$表示$B^n$的分段导数, $\overrightarrow{{{\mathord{{{\rm{d}}}}}} s}$表示关于Lebesgue测度的倒向积分, 即

假设:

(B1) $f: {\mathbb R}_+\times {\mathbb R}^d\times {\mathbb R}^{d\times l}\times{\mathbb R}^d \times {\mathbb R}^d\times {\mathbb R}^{d\times l}\times{\mathbb R}^d\rightarrow {\mathbb R}^d$是一个有界可测函数.

(B2) 对$\forall$$(s, Y_s^1, Z_s^1, U_s^1, Y_{s+\mu(s)}^1, Z_{s+\nu(s)}^1, U_{s+\delta(s)}^1), (s, Y_s^2, Z_s^2, U_s^2, Y_{s+\mu(s)}^2, Z_{s+\nu(s)}^2, U_{s+\delta(s)}^2)$$\in{\mathbb R}_+\times {\mathbb R}^d\times {\mathbb R}^{d\times l}\times{\mathbb R}^d \times {\mathbb R}^d\times {\mathbb R}^{d\times l}\times{\mathbb R}^d$和$T>0$, $\exists$$C>0$满足

其中$\rho$为定义在从${\mathbb R}_+$到${\mathbb R}_+$上的一个非降连续凹函数, 并满足$\rho(0)=0$和

$\mu(\cdot):[0, T]\rightarrow {\mathbb R}^+\backslash\{0\}$, $\nu(\cdot):[0, T]\rightarrow {\mathbb R}^+\backslash\{0\}$和$\delta(\cdot):[0, T]\rightarrow {\mathbb R}^+\backslash\{0\}$都是连续函数, 且使得:

(i) $\forall$$t\in[0, T]$, $\exists$$K\geq 0$满足

(ii) $\forall$$t\in[0, T]$和非负可积函数${\cal J}(\cdot)$, $\exists$$L\geq 0$满足

令$g(\cdot)=(g_{i, j}(\cdot))\in C_b^2({\mathbb R}^d, {\mathbb R}^{d\times m})$, 并定义$gg': {\mathbb R}^d\rightarrow {\mathbb R}^d$为

(B3) 假设$yg(y), y^3g(y)\in C_b^1({\mathbb R}^d)$.

对$n\geq 1$, 定义$B$的线性插值$B^n$为

对$\forall$$p\in {\mathbb N}$, $L_{{\cal F}}^2([0, T];{\mathbb R}^p)$表示$p$维联合可测随机过程$\{\phi_t;t\in[0, T]\}$的集合, 且满足

(a1) ${\mathbb E}[\int_0^T|\phi_t|^2{{\mathord{{{\rm{d}}}}}} t]<\infty$,

(a2) 对$t\in[0, T]$, $\phi_t$关于${\cal F}_t$几乎处处可测.

类似地, 我们用$S_{{\cal F}}^2([0, T];{\mathbb R}^p)$表示$p$维连续随机过程的集合, 且满足

(b1) ${\mathbb E}[\sup\limits_{0\leq t\leq T}|\phi_t|^2]<\infty$,

(b2) $\forall$$t\in[0, T]$, $\phi_t$关于${\cal F}_t$可测.

在上述假设条件下, 结合文献[15], 方程(1.1)解的存在唯一性可以直接得到.假设$(Y, Z, U)$和$(Y^n, Z^n, U^n)$是方程(1.1)的解, 由文献[14, 15]可得$(Y, Z, U), (Y^n, Z^n, U^n)\in S_{{\cal F}}^2([0, T];{\mathbb R}^d)\times L_{{\cal F}}^2([0, T];{\mathbb R}^{d\times l})\times L_{{\cal F}}^2([0, T];{\mathbb R}^d)$.

线性倒向随机微分方程由Bismut在1973年第一次提出, 非线性倒向随机微分方程由Pardoux和Peng在1990年研究控制问题时创立^[6].近年来, 倒向随机微分方程被广泛关注, Pardoux和Peng在1994年研究了倒向耦合随机微分方程^[7]. Ma和Zhang在2002年首次研究倒向耦合随机微分方程的欧拉逼近^[5]. Hu, Anis和Zhang在2015年给出倒向耦合随机微分方程(BDSDE)的Wong-Zakai逼近^[3].在2009年, Peng和Yang研究超前倒向耦合随机微分方程, 在这个方程中, 生成子不仅包括现在时刻的状态还包括未来时刻的状态.之后, 超前倒向耦合随机微分方程被很多专家学者从各个方面进行研究^{[2, 4, 9-11, 15, 16]}.现在超前带跳倒向耦合随机微分方程已经被广泛应用于金融和控制问题.一个自然的问题是能否将Hu, Anis和Zhang的结果推广到非Lipschitz系数超前带跳倒向耦合随机微分方程?这是本文的研究动机.因此我们的目的是研究非Lipschitz条件下超前带跳倒向耦合随机微分方程的Wong-Zakai逼近.简单地说, 证明在$L^2$意义下$(Y^n, Z^n, U^n)$收敛于$(Y, Z, U)$.

与文献[3]相比, 本文的主要创新点如下:一是将文献[3]的结果推广到带跳的情形, 即方程(1.1)中$U$不等于0;二是将文献[3]中的生成子$f$关于$y$由Lipschitz条件推广到非Lipschitz条件, 即$f$满足$\rm (H2)$; 三是将文献[3]中倒向耦合随机微分方程推广到超前倒向耦合随机微分方程, 即方程(1.1)含有超前项.

本文的结构如下:在第二部分, 我们通过引理2.1–2.3给出解的一些先验估计, 接着通过引理2.1–2.3和引理2.4–2.5给出定理2.1的证明.由于引理2.4和2.5的证明非常复杂, 因此将在定理2.1之后分别进行证明.

在整篇论文中, $C$表示与$n$无关的正常数.

为了证明简单, 我们假设$d=m=l=1$, 即均是一维随机变量, 多维证明过程类似.

引理2.1  假设(B1)成立, 则存在一个常数$C$满足

其中$C$与$n$无关.

证  利用Itô公式, 可得

对$\forall$$s\in[\frac{k}{2^n}, \frac{k+1}{2^n}]$, 令$s^+=\frac{k+2}{2^n}$, $s^-=\frac{k-1}{2^n}$.由$f$的有界性和Young不等式可知, $\exists$$C>0$使得

注意到$2\int_t^TY_s^ng(Y_s^n){{\mathord{{{\rm{d}}}}}} B_s^n$可以分解为

由于$A_1$是随机积分, 因此${\mathbb E}[A_1]=0$.由(1.1)式可得

由$f$的有界性, 得

其中

由$g$的有界性和Cauchy-Schwarz不等式, 得

其中$C$是与$n$无关的常数.

对$A_{2, 3}$, 由全期望公式和鞅的性质, 可得

类似地

由(2.6)–(2.9)式得

其中$C$与$n$无关.

接下来我们处理$A_3$, 由$g'$的有界性和(1.1)式可得

其中$\eta\in[0, 1]$.

对$A_{3, 1}$, 由$f$的有界性和Young不等式, 得

类似地, 由$g$的有界性, 得

由$Y_{s^+}^n$和$\dot{B}_s^n$的独立性, Cauchy-Schwarz不等式, Young不等式和Itô等距, 可得

由(2.12)–(2.15)式, 可得

通过(2.2), (2.3), (2.10)和(2.16)式, 得

由Gronwall不等式可知结论成立.引理2.1得证.

引理2.2  存在一个常数$C$满足

证  我们证明(2.18)式, (2.19)式的证明类似.

由Cauchy-Schwarz不等式, (2.18)和(2.19)式可得

引理2.2得证.

引理2.3  令$\xi\in L^4(\Omega;{\mathbb R}^d)$, 在$\rm (B1)$, $\rm (B2)$和$\rm (B3)$假设下, 则存在一个常数$C$满足

其中$C$与$n$无关.

证  由Itô公式, 得

因为$B_5^n$和$B_6^n$都是负的, 所以

由$f$的有界性和Young不等式, 得

令$F(y)=4y^3g(y)$.由(2.19)式和假设$\rm (B3)$, 得

对(2.25)式两端取期望, 可得

其中$C$是与$n$无关的常数.通过Gronwall不等式, 可得

上式和(2.24)式可以进一步推出

由Burkholder不等式, 假设$\rm (B3)$和(2.19)式, 得

和

对(2.25)式两端取上确界可得

接下来, 我们证明

由Itô公式, 可得

于是

由$f$的有界性, 得

由Itô等距和Young不等式可得

和

为了估计${\mathbb E}[(\int_0^TY_s^ng(Y_s^n){{\mathord{{{\rm{d}}}}}} B_s^n)^2]$, 令$h_t^n=\int_t^TY_s^ng(Y_s^n){{\mathord{{{\rm{d}}}}}} B_s^n$, 由链式法则可得

注意到$\int_t^Th_{s^+}^nY_{s^+}^ng(Y_{s^+}^n){{\mathord{{{\rm{d}}}}}} B_s^n$是随机积分, 于是${\mathbb E}[\int_t^Th_{s^+}^nY_{s^+}^ng(Y_{s^+}^n){{\mathord{{{\rm{d}}}}}} B_s^n]=0$.进一步, 由Cauchy-Schwarz不等式, 得

现在我们处理(2.40)左边最后一项.由Cauchy-Schwarz不等式, 得

对(2.40)式两端取期望, 由(2.41)和(2.42)式, 可得

于是

由(2.36)–(2.38)和(2.43)式, 可得

引理2.3证毕.

接下来给出本文的主要定理.

定理2.1  令${\mathbb E}[|\xi|^4]<\infty$, 在$\rm (B1)$, $\rm (B2)$和$\rm (B3)$假设下, 则

证  由Itô公式可得

对$D_2^n$, 可写为

由随机积分定义可知${\mathbb E}[K]=0$.对${\mathbb E}[F]$和${\mathbb E}[G]$, 我们仍想得到它们的估计.然而, 这两个引理的证明非常复杂, 因此我们先给出主要定理的证明, 接下来再给出引理2.4和引理2.5的证明.

对(2.46)式两端取期望, 可得

我们将对$\lambda$取值进行分类讨论:当$\lambda\geq1$时, 我们按照下述步骤进行定理2.1的证明; 当$0<\lambda<1$时, 令$\lambda=\frac{1}{\theta}, \theta>1$, 对(2.48)式左右两侧同乘以$\theta$, 此时与$\lambda>1$情况类似.

对上式中的第一项, 由Young不等式, 得

由假设$\rm (B2)$, 得

于是

把上式带入(2.48)式, 结合引理2.4和引理2.5, 对$\forall$$\delta<\frac{1}{2}$, 得

由假设$\rm (B2)$中(ⅱ)可得

利用(2.18)和(2.19)式, 在上式中用$s$来代替$s^+$, 有

整理(2.50)式可得

利用$gg'$和$g$的Lipschitz连续性, 由(2.51)式可得

注意到(2.52)式第二项和第三项均非负, 则

首先, 对上式左右两边取上确界

再对上式左右两边取上极限

因此

利用Fubini定理, Fatou引理和$\rho$的性质可得

若定义$\psi(T)=\overline{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}}\sup\limits_{0\leq t\leq T}{\mathbb E}[(Y_t^n-Y_t)^2]$, 则(2.53)式可改写为

进一步, 通过常微分方程的比较定理可得

定理2.1证明完成.

下面将给出定理证明过程中用到的两个引理及证明.

引理2.4  对任意$\delta<\frac{1}{2}$, 在定理$2.1$的假设下, 则

证  由(1.1)式中$Y^n$和$Y$的定义, 得

显然

由全期望公式和鞅的性质可得

接下来估计$F_1$.

对$F_{13}$, 由$B_s^n$的定义可得

由全期望公式可得

对(2.61)式两端取期望可得

其中序列$\{(B_{\frac{k+2}{2^n}}-B_{\frac{k+1}{2^n}})^2-\frac{1}{2^n}, k\geq 0\}$是一个鞅.

对(2.60)式中$F_{11}$, 对$\forall$$\eta\in[0, 1]$得

对$F_{11, 1}$和$F_{11, 2}$, 由$g, g', f$的有界性可得

对$F_{11, 3}$, 由$g, g'$的有界性和Itô等距可得

类似地

由(2.65)–(2.68)式可得

类似地, 对$F_{12}$, 有

与(2.65)–(2.68)式类似, 可得

因此

从(2.63), (2.69)和(2.72)式可得

现在估计$F_2$.

对$F_{23}$, 我们将区间$[t, T]$分割为一些小区间$[\frac{k}{2^n}, \frac{k+1}{2^n}]$的和, 得

由全期望公式和鞅的性质可得

对$F_{23, 2}$, 有

故

$F_{21}$可改写为

对$F_{21, 1}$, 由$g, g', f$的有界性可得

类似, 可得

由Hölder不等式和Itô等距, 可得

由(2.79)–(2.84)式可得

现在估计$F_{22}$.

对$F_{22, 1}$, 由$f$的有界性可得

下面这两个不等式将会在下文中经常用到

对$\forall$$\delta>0$和$p\geq 1$, $\exists$$C_{p, \delta}$满足

于是

由Hölder不等式, Fubini定理和Itô等距可得

由(2.86)–(2.91)式可得

因此

由(2.57)–(2.59), (2.73)和(2.94)式完成了引理2.4的证明.

引理2.5  对任意$\delta<\frac{1}{2}$, 在定理$2.1$的假设下, 得

证  注意到$G$可改写为

由$g', f$的有界性和引理2.2, 可得

$G_2$可写为

利用$g'$的Lipschitz连续性, 得

由Hölder不等式和(2.88)式, (2.89)式可得

类似地

类似可得

由(2.100)–(2.103)式可得

对$G_{22}$, 有

类似地, 可得

于是

对$G_{23}$, 我们将区间$[t, T]$分割为一些小区间$[\frac{k}{2^n}, \frac{k+1}{2^n}]$的和, 有

由全期望公式和鞅的性质可得

由(2.104), (2.107)和(2.109)式可得

首先

对$G_{31}$, 由$g'$的Lipschitz连续性, 得

对$G_{31, 11}$, 由$f$的有界性和Itô等距可得

由(2.88)式, (2.89)式, Itô等距和$|\dot{B}_s^n|$关于${\cal F}_s$可测得, 可得

对$G_{31, 14}$, 由(2.88)式, (2.89)式, Fubini定理和Itô等距可得

由(2.115)–(2.118)式可推出

对$G_{31, 2}$, 有

通过(2.115)式的处理方法得

对$G_{31, 22}$, 由Fubini定理, $g$的有界性和Itô等距可得

与(2.118)式类似, 可得

类似地

对$G_{31, 24}$, 有

与(2.118)式方法类似可得

由(2.121)–(2.127)式可推出

最后估计${\mathbb E}[G_{31, 3}]$, 注意到

对$G_{31, 31}$, 由(2.88)式, (2.89)式, Fubini定理和Itô等距可得

由Itô等距和$|Y_s^n-Y_s|$, $|\dot{B}_s^n|$都是关于${\cal F}_s$可测的, 得

对$G_{31, 34}$, 有

其中

因此

对$G_{31, 32}$, 有

对上式中第二项, 有

从(2.131)–(2.135)式可得

由(2.130)–(2.136)式得

于是

对$G_4$, 有

其中

对$G_{41}$, 有

对$G_{41, 1}$, 有

对$G_{41, 11}$, 有

对$G_{41, 12}$, 有

对$G_{41, 14}$, 有

对$G_{41, 13}$, 有

于是

对$G_{41, 2}$, 有

与(2.142)式处理方法相似, 可得

对$G_{41, 22}$, 有

对$G_{41, 25}$, 有

其中

故

类似地

因此

对$G_{41, 3}$, 有

对$G_{41, 31}$, 可得

对$G_{41, 34}$, 有

对$G_{41, 33}$, 有

对$G_{41, 32}$, 有

于是

利用(2.97), (2.110), (2.139)和(2.165)式, 可得引理2.5成立.