本文中, 我们研究了如下带反周期边界条件的二阶Duffing方程解的存在性和多重性

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} -u''=f(t, u(t)), & t\in(0, \pi) , \\ u(0)=-u(\pi), \; \; u'(0)=-u'(\pi), & \\ \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ f:(0, \pi)\times{{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}} $是满足一定增长性条件的Carathéodory函数. 方程(1.1)最简单的模型起源于力学上单摆运动的振荡方程.

近几十年来, 如下带周期边界条件的二阶Duffing方程

(1.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} -u''=f(t, u(t)), & t\in(0, \pi) , \\ u(0)=u(\pi), \; \; u'(0)=u'(\pi) & \\ \end{array} \right. \end{equation} $

以及二阶Hamiltonian系统

(1.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} -u''=\nabla F(t, u(t)), & t\in[0, T] , \\ u(0)=u(T), u'(0)=u'(T) & \\ \end{array} \right. \end{equation} $

受到了广泛的关注, 其中$ F:[0, T]\times{{\Bbb R}} ^N\rightarrow {{\Bbb R}} $, 且$ F\in C^1 $. 在势函数$ f(t, x) $或$ F(t, x) $满足一定的假设前提下, 通过不同的非线性分析的方法得到了一系列的存在性和多重性结果, 如: 度理论、极小极大方法、Morse理论, 等等, 参见文献[1-5].

反周期解在刻画微分方程解的行为方面起着重要作用. 在最近几十年里, 始于Okochi^[6]的开创性工作, 非线性微分方程的反周期解已经被大量的研究. 大量学者又通过上下解方法、单调迭代技巧、不动点定理、拓扑度的延拓性方法等对反周期问题进行了广泛深入的研究, 参见文献[7-14]. 据我们所知, 除了Tian和Henderson运用变分方法来研究脉冲系统和二阶梯度系统的反周期解的存在性外^{[15, 16]}, 很少有人采用变分方法来研究类似问题(1.1). 在文献[15]中, 他们运用Iannizzotto^[17]的非光滑临界点定理证明了脉冲系统三个解的存在性; 在文献[15]中, 他们运用极小对偶作用原理得到了带共振梯度系统解的存在性.

本文中, 我们先定义一个Hilbert空间$ {\cal H} $ (见第2节), 再在$ {\cal H} $上建立变分原理，然后运用极小作用原理^[1], 局部环绕定理^[4]以及山路定理^[2]来证明方程(1.1)反周期解的存在性和多重性. 为了使用变分方法, 需要使得变分原理所有条件均满足. 为此, 我们需要对作用空间进行适当的修正.

第2节中, 我们将介绍问题(1.1)的变分原理. 主要结论的证明将在第3节给出.

在下文中, $ \|\cdot\|_p $表示$ L^p $ -范数($ 1\leq p\leq\infty $). $ H^1(0, \pi) $为常见的Hilbert空间, 且满足内积

$ \langle u, v\rangle=\int_0^{\pi}(uv+u'v'){\rm d}t, \quad \forall u, v\in H^1(0, \pi). $

令$ {\cal H}=\{u\in H^1(0, \pi): u(0)=-u(\pi)\} $, 容易验证$ {\cal H} $为$ H^1(0, \pi) $的一闭子空间. 因此, $ {\cal H} $拥有由$ H^1(0, \pi) $诱导的内积

$ \langle u, v\rangle=\int_0^{\pi}(uv+u'v'){\rm d}t, \quad \forall u, v\in{\cal H} $

以及范数

$ \|u\|_0=\bigg(\int_0^{\pi}[|u(t)|^2+|u'(t)|^2]{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}. $

显然, 对所有的$ p\geq1 $, $ {\cal H} $都是紧嵌入到$ L^p(0, \pi) $的. 而且, 我们有

引理2.1   若$ u\in {\cal H} $, 则$ \|u\|_{\infty}\leq\frac{1}{2}\pi^{\frac{1}{2}}(\int_0^{\pi}|u'(t)|^2{\rm d}t)^{\frac{1}{2}} $. 而且, $ {\cal H} $是紧嵌入到$ C([0, \pi]) $的.

证   由文献[3, Theorem 8.2], 对$ u\in{\cal H} $, 有$ u(t)=u(0)+\int_0^tu'(s){\rm d}s $, $ u(t)=u(\pi)-\int_t^{\pi}u'(s){\rm d}s $. 由Hölder不等式, 有

$ \begin{eqnarray*} u(t)&=&\frac{1}{2}\bigg[u(0)+u(\pi)+\int_0^tu'(s){\rm d}s-\int_t^{\pi}u'(s){\rm d}s\bigg]\\ &\leq&\frac{1}{2}\int_0^{\pi}|u'(s)|{\rm d}s\leq\frac{1}{2}\pi^{\frac{1}{2}}\bigg(\int_0^{\pi}|u'(t)|^2{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}. \end{eqnarray*} $

另一方面, 令$ B $为$ {\cal H} $中单位球, 对$ u\in B $, 有

$ |u(t)-u(s)|=\bigg|\int_s^t u'(\tau){\rm d}\tau\bigg|\leq\|u'\|_2|t-s|^{\frac{1}{2}}\leq|t-s|^{\frac{1}{2}}, \quad \forall t, s\in(0, \pi). $

故由Ascoli-Arzelà定理, $ B $在$ C([0, \pi]) $中有一个紧闭包.

由引理2.1, 以及不等式

$ \int_0^{\pi}|u(t)|^2{\rm d}t\leq\pi\|u\|_{\infty}^2\leq\frac{\pi^2}{4}\int_0^{\pi}|u'(t)|^2{\rm d}t, $

可得$ {\cal H} $中范数$ \|\cdot\|_0 $等价于如下范数

$ \|u\|=\bigg(\int_0^{\pi}|u'(t)|^2{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}. $

问题(1.1)的能量泛函定义为

$ \varphi(u)=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}|u'(t)|^2{\rm d}t-\int_0^{\pi}F(t, u(t)){\rm d}t, $

其中$ F(t, x)=\int_0^xf(t, s){\rm d}s $.

显然, $ \varphi\in C^1({\cal H}, {{\Bbb R}} ) $且

$ \langle\varphi'(u), v\rangle=\int_0^{\pi}u'(t)v'(t){\rm d}t-\int_0^{\pi}f(t, u(t))v(t){\rm d}t, \quad \forall v\in{\cal H}. $

引理2.2  若$ \varphi'(u)=0 $, 则$ u $为问题(1.1)的一个弱解.

证   若

(2.1) $ \begin{equation} 0=\langle\varphi'(u), v\rangle=\int_0^{\pi}u'(t)v'(t){\rm d}t-\int_0^{\pi}[f(t, u(t))]v(t){\rm d}t=0 \end{equation} $

对所有的$ v\in{\cal H} $成立, 则对所有的$ v\in C_c^{\infty}((0, \pi)) $成立($ C_c^{\infty}((0, \pi))\subset {\cal H} $). 由弱导数的定义, 有$ u\in H^2(0, \pi) $. 再由嵌入定理, 有$ u\in C^1([0, \pi]) $. 分部积分可得

$ \int_0^{\pi}[-u''(t)-f(t, u(t))]v(t){\rm d}t+u'(0)v(0)-u'(\pi)v(\pi)=0, \quad \forall v\in {\cal H}. $

故$ -u''(t)=f(t, u(t)) $在$ [0, \pi] $上几乎处处成立, 且$ u'(0)v(0)=u'(\pi)v(\pi) $. 因为$ u, v\in{\cal H} $, 可得$ u(0)=-u(\pi) $以及$ u'(0)=-u'(\pi) $. 故$ u $为问题(1.1)的一个解

注2.1   若$ f\in C((0, \pi)\times{{\Bbb R}} ) $, 在$ (0, \pi) $上有$ -u''(t)=f(t, u(t)) $.

计算可得

引理2.3   Sturm-Liouville问题

(2.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} -u''=\lambda u(t), \ \ t\in(0, \pi), & \\ u(0)=-u(\pi), u'(0)=-u'(\pi) & \\ \end{array} \right. \end{equation} $

有一个非平凡解当且仅当$ \lambda=(2n+1)^2 $, 其中$ n\in{\Bbb N} $.

设

$ V=\bigg\{\sum\limits_{j=0}^ma_j\cos(2j+1)t+b_j\sin(2j+1)t: a_j\in{{\Bbb R}} , \ b_j\in{{\Bbb R}} \bigg\} $

以及其正交补空间

$ W=\bigg\{u\in{\cal H}: \int_0^{\pi}u(t)\sin(2j+1)t{\rm d}t=\int_0^{\pi}u(t)\cos(2j+1)t{\rm d}t=0, \ j=0, 1, \cdots, m\bigg\}. $

则$ {\cal H}=V\oplus W $. 而且, 可以验证

(2.3) $ \begin{equation} (2m+1)^2\int_0^{\pi}|u(t)|^2{\rm d}t\geq\int_0^{\pi}|u'(t)|^2{\rm d}t\geq\int_0^{\pi}|u(t)|^2{\rm d}t, \quad \forall u\in V, \end{equation} $

(2.4) $ \begin{equation} \int_0^{\pi}|u'(t)|^2{\rm d}t\geq(2m+3)^2\int_0^{\pi}|u(t)|^2{\rm d}t, \quad \forall u\in W, \end{equation} $

这里我们用到

(2.5) $ \begin{equation} \int_0^{\pi}\cos(2m+1)t\sin(2n+1)t{\rm d}t=0, \; \forall m, n\in{\Bbb N}, \end{equation} $

(2.6) $ \begin{equation} \int_0^{\pi}\cos^2(2m+1)t{\rm d}t=\frac{\pi}{2}, \quad\int_0^{\pi}\sin^2(2m+1)t{\rm d}t=\frac{\pi}{2}, \ \forall m\in{\Bbb N}. \end{equation} $

下面给出我们的主要结论以及证明.

定理3.1   设$ f(t, x) $满足如下条件:

$ (f_0) $对几乎所有的$ t\in(0, \pi) $和所有的$ x\in{{\Bbb R}} $, 存在$ a\in L^{\infty}((0, \pi)) $和$ b\in L_{+}^{\infty}((0, \pi)) $使得

(3.1) $ \begin{equation} |f(t, x)|\leq a(t)+b(t)|x|^{\alpha}, \quad \alpha\in(0, 1). \end{equation} $

问题(1.1)在$ {\cal H} $中至少存在一个解.

注3.1   设$ f(t, x)=\sin t|x|^{\frac{1}{2}} $, 显然满足假设$ (f_0) $.

证   首先, $ \varphi $在$ {\cal H} $上是弱半连续的. 事实上, 假设$ u_n\rightharpoonup u $在$ {\cal H} $中弱收敛, 由嵌入定理可得$ u_n\rightarrow u $在$ C((0, \pi)) $中强收敛. 改写$ \varphi $为

$ \begin{eqnarray*} \varphi(u)=\frac{1}{2}\|u\|^2-\int_0^{\pi}F(t, u(t)){\rm d}t. \end{eqnarray*} $

显然, 由Banach空间中范数函数的弱半连续性, 可得$ \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\|u_n\|^2\leq\|u\|^2 $. 另一方面, 由$ u_n\rightarrow u $在$ C((0, \pi)) $中收敛以及$ F\in C((0, \pi)) $, 可得当$ n\rightarrow \infty $时, 有

$ \begin{eqnarray*} \int_0^{\pi}F(t, u_n(t)){\rm d}t\rightarrow \int_0^{\pi}F(t, u(t)){\rm d}t. \end{eqnarray*} $

因此, $ \varphi $在$ {\cal H} $上是弱半连续的.

接下来, 我们说明$ \varphi $在$ {\cal H} $上是强制的. 事实上, 由条件$ (f_0) $以及引理2.1, 有

$ \begin{eqnarray*} \varphi(u)&\geq&\frac{1}{2}\|u\|^2-\int_0^{\pi}[|a(t)||u(t)|+b(t)|u(t)|^{\alpha+1}]{\rm d}t \\ &\geq&\frac{1}{2}\|u\|^2-\|a\|_{\infty}\|u\|-c\|b\|_{\infty}\|u\|^{\alpha+1}. \end{eqnarray*} $

故, $ \varphi $在$ {\cal H} $上是强制的. 进而, 泛函$ \varphi $在$ {\cal H} $至少有一个临界点, 由引理2.2可得该定理的结论.

定理3.2   假设$ f(t, x) $满足条件$ (f_0) $以及

$ (f_1) $存在$ R>0 $使得$ \frac{2n+1}{2}|x|^2\leq F(t, x)\leq\frac{2n+3}{2}|x|^2 $, 对所有的$ |x|\leq R $以及几乎处处的$ t\in(0, \pi) $成立,

则问题(1.1) 至少有2个解.

注3.2   设$ F(t, x)=\left\{ \begin{array}{ll} (n+1)|x|^2, & |x|\leq R , \\ (n+1)R^{\frac{1}{2}}|x|^{\frac{3}{2}}, & |x|\geq R , \end{array} \right. $显然满足上述定理的假设.

证   由定理3.1的证明, 我们知道$ \varphi $是强制的, 故$ \varphi $满足Palais-Smale条件. 令$ {\cal H}=V\oplus W $, $ V $和$ W $的定义见第2节, 其中$ V $为有限子空间. 由引理2.1, 若$ \|u\|\leq2(\pi)^{-\frac{1}{2}}R $, 则可得$ |u|\leq\|u\|_{\infty}\leq\frac{1}{2}(\pi)^{\frac{1}{2}}\|u\|\leq R $. 由条件$ (f_1) $, 可知

(3.2) $ \begin{equation} \varphi(u)\leq\frac{1}{2}\|u\|^2-\frac{2n+1}{2}\int_0^{\pi}|u(t)|^2{\rm d}t\leq0 \end{equation} $

对所有满足$ \|u\|\leq2(\pi)^{-\frac{1}{2}}R $的$ u\in V $成立, 且

$ \begin{eqnarray*} \varphi(u)\geq\frac{1}{2}\|u\|^2-\frac{2n+3}{2}\int_0^{\pi}|u(t)|^2{\rm d}t\geq0 \end{eqnarray*} $

对所有满足$ \|u\|\leq2(\pi)^{-\frac{1}{2}}R $的$ u\in W $成立.

当$ \inf\limits_{{\cal H}}\varphi<0 $时, 可由文献[4, Theorem 4]和本文引理2.2得证.

当$ \inf\limits_{{\cal H}}\varphi\geq0 $时, 由(3.2) 式, 有$ \varphi(u)=\inf\limits_{{\cal H}}\varphi=0 $对所有满足$ \|u\|\leq2(\pi)^{-\frac{1}{2}}R $的$ u\in V $成立. 这意味着所有满足$ \|u\|\leq2(\pi)^{-\frac{1}{2}}R $的$ u\in V $都是$ \varphi $的临界点. 再由引理2.2可知: 所有这些$ u $都是问题(1.1) 的解. 定理3.2得证.

定理3.3   若$ f(t, x) $满足如下条件:

$ (f_2) $存在$ a_1, a_2>0 $和$ p\in(1, +\infty) $, 使得$ |f(t, x)|\leq a_1+a_2|x|^p $对几乎处处的$ t\in(0, \pi) $和$ t\in{{\Bbb R}} $成立;

$ (f_3) $$ \lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(t, x)}{x}=0 $对几乎处处的$ t\in(0, \pi) $一直成立;

$ (f_4) $$ \lim\limits_{|x|\rightarrow \infty}\frac{F(t, x)}{|x|^2}=+\infty $对几乎所有$ t\in(0, \pi) $一致成立;

$ (f_5) $存在$ C>0 $, 使得$ H(t, x)\leq H(t, y)+C $对所有的$ t\in(0, \pi) $以及$ 0<x<y $或$ y<x<0 $成立, 其中$ H(t, x)=xf(t, x)-2F(t, x) $.

则问题(1.1) 至少有一个非平凡解.

注3.3   设$ f(t, x)=x^3 $, 显然满足上述定理的假设.

证   证明分为两步.

第1步   山路定理几何结构验证. 由条件$ (f_2) $和$ (f_3) $, 对所有的$ \varepsilon>0 $, 存在$ c>0 $使得对所有的$ x\in{{\Bbb R}} $和几乎处处的$ t\in(0, \pi) $, 有

(3.3) $ \begin{equation} |f(t, x)|\leq\varepsilon|x|+c|x|^{p}. \end{equation} $

因此, 由(3.3)式可得

$ \begin{eqnarray*} \varphi(u)\geq\frac{1}{2}\|u\|^2-\frac{\varepsilon}{2}\|u\|_2^2-c\|u\|_{p+1}^{p+1} \geq(\frac{1}{2}-\frac{\varepsilon}{2})\|u\|^2-c\|u\|^{p+1}. \end{eqnarray*} $

取$ \varepsilon<1 $以及充分小的$ \|u\|=\rho>0 $, 可得对某个$ \alpha>0 $, 当$ \|u\|=\rho $时有$ \varphi(u)\geq\alpha $.

另一方面, 条件$ (f_2) $和$ (f_4) $蕴含着对任一$ M>0 $, 存在$ c>0 $使得

(3.4) $ \begin{equation} F(t, x)\geq M|x|^2-c, \quad \mbox{对几乎处处的}\ t\in(0, \pi)\ \mbox{和所有的}\ x>0. \end{equation} $

选定$ e\in{\cal H} $满足在$ (0, \pi) $上几乎处处有$ e\geq0 $ (如可取$ e=c\sin x $, $ c\in{{\Bbb R}} _{+} $). 由(3.4) 式有

$ \varphi(se)=\frac{s^2}{2}\|e||^2-\int_0^{\pi}F(t, se){\rm d}x \leq t^2(\frac{\|e\|^2}{2}-M\|e\|_2^2)+c\pi. $

取$ M=\frac{\|e\|^2}{2\|e\|_2^2}+1 $, 则$ \lim\limits_{s\rightarrow +\infty}\varphi(se)=-\infty $.

第2步   验证$ \varphi $满足Palais-Smale条件. 假设$ \{u_n\}\subset{\cal H} $为一Palais-Smale序列, 即

(3.5) $ \begin{equation} \varphi(u_n)\ \mbox{有界, 且当 }\ n\rightarrow \infty\ \mbox{时}\; \; \varphi'(u_n)\rightarrow0. \end{equation} $

如果$ \{u_n\} $在$ {\cal H} $中的有界性已得, 通过标准方法, 我们便可得到$ \{u_n\} $拥有一个我们需要的收敛子序列. 因此, 我们只需要证明$ \{u_n\}\subset{\cal H} $的有界性.

反证法. 假设$ u_n $无界, 选取子序列, 仍记为$ u_n $, 使得当$ n\rightarrow \infty $时, 有$ \|u_n\|\rightarrow +\infty $. 令$ v_n=\frac{u_n}{\|u_n\|} $, then $ \|v_n\|=1 $. 适当抽取子序列, 可得存在某个$ v\in{\cal H} $, 使得

(3.6) $ \begin{equation} v_n\rightharpoonup v\ \mbox{in}\ {\cal H}, \quad v_n\rightarrow v\ \mbox{in}\ C([0, \pi]). \end{equation} $

令$ \Omega=\{t\in(0, \pi): v(t)\neq0\} $, 如果$ \Omega\neq\emptyset $, 则对$ t\in\Omega $有当$ n\rightarrow \infty $时$ |u_n(t)|\rightarrow +\infty $. 由条件$ (f_3) $, 有

(3.7) $ \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{F(t, u_n(t))}{u_n^2(t)}(v_n(t))^2=+\infty, \quad \forall\ t\in\Omega. \end{equation} $

由(3.5)式, (3.7)式和Fatou引理, 可得

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}&=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\|u_n\|^2}(\frac{1}{2}\|u_n\|^2-\varphi(u_n)) \\ &=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_0^{\pi}\frac{F(t, u_n(t))}{\|u_n\|^2}{\rm d}t \\ &=&\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{\Omega}\frac{F(t, u_n(t))}{u_n^2(t)}(v_n(t))^2{\rm d}t \\ &\geq&\int_{\Omega}\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{F(t, u_n(t))}{u_n^2(t)}(v_n(t))^2{\rm d}t. \end{eqnarray*} $

因此, $ \Omega $是一零测集. 故, 在$ (0, \pi) $上几乎处处有$ v\equiv0 $.

接下来, 我们取$ t_n\in[0, 1] $使得$ \varphi(s_nu_n)=\max\limits_{s\in[0, 1]} \varphi(su_n) $, 则有

$ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}s}\varphi(su_n)|_{s=s_n}=s_n\|u_n\|^2-\int_0^{\pi}f(t, s_nu_n(t))u_n(t){\rm d}t=0. \end{equation} $

故, 由(3.8) 式, 有

$ \begin{eqnarray*} \langle\varphi(s_nu_n), s_nu_n\rangle=s_n\frac{\rm d}{{\rm d}s}\varphi(su_n)|_{s=s_n}=0. \end{eqnarray*} $

因此, 由条件$ (f_5) $, 可得

$ \begin{eqnarray*} 2\varphi(su_n)&\leq&2\varphi(s_nu_n)-\langle\varphi(s_nu_n), s_nu_n\rangle \\ &=&\int_0^{\pi}[s_nu_n(t)f(t, s_nu_n(t))-2F(t, s_nu_n(t))]{\rm d}t \\ &\leq&\int_0^{\pi}[u_n(t)f(t, u_n(t))-2F(t, u_n(t))+C]{\rm d}t \\ &=&2\varphi(u_n)-\langle\varphi(u_n), u_n\rangle+C\pi. \end{eqnarray*} $

由于在$ (0, \pi) $上几乎处处有$ v_n\rightarrow 0 $, 故对所有的$ k\geq0 $, 有

$ \begin{eqnarray*} 2\varphi(kv_n)=k^2-2\int_0^{\pi}f(t, kv_n(t)){\rm d}t=k^2+o(1). \end{eqnarray*} $

因此, 对充分大的$ n $和$ k $, 我们得到了矛盾. 故$ u_n $是有界的.

综上所述, 泛函$ \varphi $满足山路定理的几何结构且Palais-Smale条件成立, 运用山路定理可得存在临界点$ u\in{\cal H} $满足$ \varphi(u)\geq\alpha>0=\varphi(0) $, 再由引理2.2, $ u $为一非平凡解.