周期解是微分方程解的研究中的重要问题之一. 近些年来, 很多学者致力于微分方程周期解的存在性研究. 关于周期解的存在性问题, 主要的研究方法有不动点定理^[1-3], 拓扑度理论^[4-6], 分岔理论^[7-9], Melnikov方法^{[10, 11]}, 上下解方法^{[12, 13]}, 等. 但是对于微分方程周期解的存在唯一性的研究却相对较少.

近些年, 关于微分方程周期解的存在唯一性问题, 一个重要的方法就是将微分方程看作线性化扰动, 从而把问题分解为研究线性系统平凡解的非退化性问题和研究该系统在扰动下周期解是如何出现的. 1964年, Lasota和Opial^[14]研究了一维二阶线性微分方程

其中$a\in L^{1}({\Bbb S}_{T})$是一个$T$ -周期函数, ${\mathbb S}_{T}={{\Bbb R}} /T{\Bbb Z}$, 给出了方程(1.1) 仅有平凡周期解$x\equiv0$的条件, 即非退化性条件. 之后, 1989年, Fonda和Mawhin^[15]利用方程(1.1) 的非退化结果研究了一类二阶半线性微分方程

周期解的存在性, 其中$f:[0, T]\times {{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}}$是一个Carathéodory函数且满足半线性条件, 即$m_{1}(t)\leq\frac{f(t, x)}{x}\leq m_{2}(t)$, $m_{1}, m_{2}\in L^{1}({{\Bbb R}} )$是两个$T$ -周期函数. 2005年, Ortega和章梅荣^[16]利用方程(1.1) 的非退化性结果研究了一类二阶超线性微分方程(称为Landesman-Lazer型方程)

其中$\sigma \in (1, \infty)$, $[x]_{+}=\max\{x, 0\}$, $s$是一个常数, $e\in L^{1}({{\Bbb R}} )$是一个$T$ -周期函数且满足$\int^T_0 e(t){\rm d}t=0$, 并给出了方程(1.2) 周期解的存在唯一性条件. 2009年, 李伟和章梅荣^[17]研究了四阶线性微分方程

在周期边值条件下的非退化性, 随后利用方程(1.3) 的非退化性和拓扑度理论, 研究了一类四阶超线性微分方程(Landesman-Lazer型方程)周期解的存在唯一性.

以上都是关于偶数阶微分方程的非退化性研究, 而对于奇数阶微分方程的研究相对较少. 因此在前人研究成果的基础上, 本文中, 我们考虑三阶线性微分方程

的非退化性, 其中$a_1, a_2\in {{\Bbb R}}$, $a_0(t)\in L^{1}({\Bbb S}_{T})$. 随后, 在第3部分, 我们利用方程(1.4) 的非退化性, 讨论了下列半线性微分方程

周期解的存在性, 其中$p\in {{\Bbb R}} , h\in C({{\Bbb R}} \times{{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} )$关于$t$是一个$T$ -周期函数. 在第4部分, 我们利用方程(1.4) 的非退化性, 讨论了下列超线性微分方程

周期解的存在唯一性, 其中$s\in \mathbb R$, $\widetilde{h}\in\widetilde{L}({\Bbb S}_{T})$, $f\in C(\mathbb R, {{\Bbb R}} )$是一个单调函数且当$x\rightarrow \infty$时, 非线性项$f(x)$呈超线性增长, 参数$s$是$s-\widetilde{h}(t)$的均值.

我们给出一些记号. $h(t)$是Lebesgue空间$L^{1}({\Bbb S}_{T})$中的$T$ -周期函数, ${\Bbb S}_{T}={{\Bbb R}} /T{\Bbb Z}$, $h(t)$的均值$\overline{h}(t)=\frac{1}{T}\int^T_0 h(t){\rm d}t$. $L^{1}({\Bbb S}_{T})$可以被分解为$L^{1}({\Bbb S}_{T})={{\Bbb R}} \oplus \widetilde{L}^{1}({\Bbb S}_{T})$, 其中$\widetilde{L}^{1}({\Bbb S}_{T})=\{h\in \widetilde{L}^{1}({\Bbb S}_{T}):\overline{h}=0\}$, ${{\Bbb R}}$是$L^{1}({\Bbb S}_{T})$里的常值函数. 类似地, Hilbert空间$H^{3}({\Bbb S}_{T})$可以被分解为$H^{3}({\Bbb S}_{T})={{\Bbb R}} \oplus \widetilde{H}^{3}({\Bbb S}_{T})$, 其中$\widetilde{H}^{3}({\Bbb S}_{T})=H^{3}({\Bbb S}_{T})\cap \widetilde{L}^{1}({\Bbb S}_{T})$. 函数$a_{0}(t)$的正部和负部分别记为$a_{0_{+}}(t)=\max\{a_{0}(t), 0\}$, $a_{0_{-}}(t)=-\min\{a_{0}(t), 0\}$且$\|a_0\|:=\max |a_0(t)|$.

本节我们利用Wirtinger不等式得给出方程(1.4) 的非退化性条件. 首先, 我们给出Wirtinger不等式.

引理2.1^[18]   令$x\in \widetilde{H}^{M}(S_{T})$, 则有

其中$C_{M}:=(\frac{T}{2\pi})^{2M}$是最优常数值.

定理2.1  设$\overline{a}_{0}>0$, 对于$a_{0}(t)\in L^{\infty}({\Bbb S}_{T})$, 如果

成立, 则方程(1.4) 是非退化的.

证   反证法. 假设方程(1.4) 有一个非平凡解, 设为$x\in {H}^{3}({\Bbb S}_{T})$. 令$x:=\bar{x}+\widetilde{x}$, 则$\widetilde{x}=x-\bar{x}\in \widetilde{H}^{3}({\Bbb S}_{T})$. 事实上

把$x=\bar{x}+\widetilde{x}$代入方程(1.4), 我们有

方程(2.3) 两边同时在$[0, T]$上积分, 则我们得

由于$\tilde{x}$是$T$ -周期的, 所以有

又因为$\bar{a}_{0}\neq 0$, 可得

方程(2.3) 两边同乘$\bar{x}-\widetilde{x}(t)$, 有

上式在$[0, T]$上积分, 并由$\widetilde{x}(t)$的$T$ -周期性, 我们有

因为$\int^T_0\widetilde{x}(t)\widetilde{x}'''(t){\rm d}t=0$, $\int^T_0\widetilde{x}(t)\widetilde{x}'(t){\rm d}t=0$, 方程(2.5) 可转化为

由于$\bar{a}_{0}>0$, 利用Wirtinger不等式, 有

将$a_{2}\int^T_0\widetilde{x}(t)\widetilde{x}''(t){\rm d}t=-a_{2}\int^T_0|\widetilde{x}'(t)|^{2}{\rm d}t$和上式代入(2.6) 式, 我们得

由(2.2)式, 可得$\int^T_0|\widetilde{x}'(t)|^{2}{\rm d}t=0$, 因此$\widetilde{x}$是常数. 又因为$\widetilde{x}\in\widetilde{H}^{3}({\Bbb S}_{T})$, 所以$\widetilde{x}\equiv0$. 此时

综上所述, 我们得到$x=0$, 与假设矛盾. 故方程(1.4) 仅有零解. 证毕.

本节利用方程(1.4) 的非退化性, 我们讨论半线性微分方程(1.5) 周期解的存在性. 假设右极限存在, 我们令

并且存在$a, b>0$使得对$t\in [0, T]$有$|h(t, x)|\leq a|x|+b$成立.

考虑三阶微分方程

其中对所有的$k>0, (x, x', x'')\in {{\Bbb R}} ^{3}$有$g(kx, kx', kx'')=kg(x, x', x'')$. 假设

引理3.1^[19]  设下面条件成立

${\rm (H_{1})}$

除$x=0$外没有$T$ -周期解;

${\rm (H_{2})}$存在$r>0$使得deg$(\widetilde{g}, B(0, r), 0)\neq0$, 其中

若存在$C_{0}>0$使得$\|\varphi^{*}\|<C_{0}$, 则方程(3.1) 至少存在一个$T$ -周期解.

利用引理3.1和方程(1.4) 的非退化性, 我们得到下列结论.

定理3.1   假设$\|a_{0}\|(\frac{T}{2\pi})^{2}+a_{2}<0$成立, 且存在常数$c_{0}>0$使得$\|\varphi\|<c_{0}$, 则方程(1.5) 至少存在一个$T$ -周期解.

证   比较方程(1.5) 和(3.1), 有

易知

且

考虑线性方程

由定理2.1知: 当$\bar{a}_{0}>0$, $\|a_{0}\|(\frac{T}{2\pi})^{2}+a_{2}<0$成立时, 方程(3.2) 是非退化的, 因此条件${\rm (H_1)}$成立. 另外, $\widetilde{g}(x)=g(x, 0, 0)=px$, 因此有$\deg (\widetilde{g}(x), B(0, r), r)\neq0$, 条件${\rm (H_2)}$成立. 由引理3.1可知, 方程(1.5) 至少存在一个$T$ -周期解. 证毕.

本节利用方程(1.4) 的非退化性, 我们研究超线性微分方程(1.6) 周期解的存在唯一性. 事实上, 对方程(1.6) 在$[0, T]$上积分, 我们有

因为$x(t)$是$T$ -周期的, 可得

从而有

考虑三阶微分方程

其中$a_{1}, a_{2}$是实常数, $g:{{\Bbb R}} \times {{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}}$对$t$来说是$T$ -周期的连续函数, 即对所有$t$和$y$有$g(t+T, y)=g(t, y)$.

定义可测函数

易知$\mu_{+}, \mu_{-}:{{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}} \cup\{-\infty, \infty\}$. 令

引理4.1^[20]  假设$g(t, y)$在$y\geq0$时有下界, 在$y\leq0$时有上界, 且下列条件成立

$(a_{1})$方程$L_{y}=0$的解是常数;

$(a_{2})$存在$\alpha_{1}, \beta_{1}$使得对所有$(t, y)\in {{\Bbb R}} \times{{\Bbb R}}$, 有$|g(t, y)|\leq g(t, y)+\alpha_{1}|y|+\beta_{1}$;

$(a_{3})$$\int^T_0\mu_{-}(t){\rm d}t<\int^T_0q(t){\rm d}t<\int^T_0\mu_{+}(t){\rm d}t$.

则存在常数$\varepsilon>0$使得在$\alpha_{1}\leq \varepsilon$成立的情况下, 方程(1.6) 至少有一个$T$ -周期解.

首先我们介绍方程(1.6) 周期解的存在性情况.

命题4.1   假设下面条件成立

$(b_1)$$f:{{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}}$且在$x\geq0$时$f(x)$有下界, 在$x\leq0$时$f(x)$有上界, $s\in {\rm int} \Re(f)$;

$(b_2)$存在非负常数$\alpha$, $\beta$使得$|f(x)|\leq f(x)+\alpha |x|+\beta$成立.

令$a_2<0$, 则存在常数$\alpha_0>0$使得在$\alpha\leq \alpha_0$成立的情况下, 方程(1.6) 至少有一个$T$ -周期解.

证   比较方程(1.6) 和(4.2), 有

易知$(a_2)$成立, 并且由(4.1) 式可知条件$(a_3)$成立.下面只需证明$(a_1)$成立即可. 假设$x(t)$是齐次线性微分方程的一个$T$ -周期解, 有

方程(4.3) 两边同乘$x(t)$并在$[0, T]$上积分, 有

则我们有

又因为

所以有

由$a_2<0$, 有$\int^T_0 (x'(t))^{2}{\rm d}t=0$, 因此可得$x'(t)\equiv0$, 从而$x(t)\equiv c$, $c$为常数. 因此条件$(a_1)$成立. 由引理4.1可知, 存在正常数$\alpha_0$且满足$\alpha_0\geq \alpha$, 使得方程(1.6) 至少有一个$T$ -周期解. 证毕.

接下来, 我们考虑方程(1.6) 周期解的唯一性. 给出如下定义.

定义4.1   给定$\sigma\in [1, \infty)$, $A, B\in [0, \infty)$, 我们称$f$属于${\cal C}(\sigma;A, B)$如果对于每个$x_1, x_2\in {{\Bbb R}}$且$x_1\neq x_2$, 有

成立.

命题4.2   假设$f\in {\cal C}(\sigma;A, B)$是非减函数, $s\in\Re(f)$满足

其中$M(\sigma, n):=-\frac{a_2}{(\frac{T}{2\pi})^{2}}$, 则方程(1.6) 至多有一个$T$ -周期解.

证   设$x_1(t)$, $x_2(t)$是方程(1.6) 的两个不同的$T$ -周期解, 有

方程(4.6) 在$[0, T]$上积分, 有

即

令$x(t):=x_{1}(t)-x_{2}(t)$, 则$x(t)\not\equiv0$, 从而有

令$I:=\{t\in {{\Bbb R}} :x(t)\neq0\}$, 则$I$是${{\Bbb R}}$上的非空开集, 对所有的$t\in I$, 定义函数

易知$a_0(t)\in C(I)$. 又$f(x)$是非减函数, 则有$a_0(t)\geq0$. 对所有$t\in I$, 由(4.4) 式可得

其中$C$是常数且$C\geq0$. 由(4.8) 式, 有

从而有$\|a_0\|_{\sigma}\leq((As+B)T)^{\frac{1}{\sigma}}$. 由(4.5) 可得, $\|a_0\|_{\sigma}<M(\sigma, n)$. 若$\bar{a}_0>0$, 由定理2.1, 有$x(t)\equiv0$, 这与假设$x_1\neq x_2$矛盾. 因此$\bar{a}_0=0$. 又因为$a_0(t)\geq0$, 则有$a_0(t)\equiv0$, 所以有

方程(4.9) 两边同乘$x(t)$并在$[0, T]$上积分, 有

因为$a_2<0$, 所以有$\int^T_0 (x'(t))^{2}{\rm d}t=0$, 可得$x'(t)\equiv0$. 又由$x(t)$是连续的, 因此$x(t)=\widetilde{x}(t)+\bar{x}\equiv C'$, 其中$C'$是常数. 接下来只需证明$C'\equiv0$. 利用反证法, 设$C'\neq0$. 不妨设$C'>0$, 有$x_2=x_1+C'$. 因为$f$是非减函数, 有$f(x_1)<f(x_2)$. 从而$\int^T_0 f(x_1(t)){\rm d}t<\int^T_0 f(x_2(t)){\rm d}t$, 这与方程(4.7) 矛盾. 同理当$C'<0$时也可得出矛盾. 所以有$C'\equiv0$, 从而$x(t)\equiv0$. 证毕.

定理4.1   假设下面条件成立

$(c_1)$$f:{{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}}$且在$x\geq0$时$f(x)$有下界, 在$x\leq0$时$f(x)$有上界;

$(c_2)$存在非负常数$\alpha$, $\beta$使得$|f(x)|\leq f(x )+\alpha |x|+\beta$成立;

$(c_3)$$f\in {\cal C}(\sigma;A, B)$严格递增, $s\in\Re(f)$且满足(4.5).

则存在常数$\alpha_0>0$使得在$\alpha\leq\alpha_0$成立的情况下, 方程(1.6) 有且只有一个$T$ - 周期解.

证   由命题4.1和4.2, 我们可得定理4.1. 证毕.

接下来, 给出一个例子来阐明我们的结论.

例4.1   考虑下面方程

比较方程(4.10) 和(1.6), 有$a_2=-2<0$, $f(x)=\exp(x)\in {\cal C}(1;1, 0)$, $\Re(f)=(0, \infty)$, $T=\frac{\pi}{2}$. 此外, 有$|\exp(x)|\leq \exp(x)+1$, 这里$\alpha=0$, $\beta=1$. $s=As+B<32$满足(4.5)式. 由定理4.1, 方程(4.10) 仅有一个周期为$\frac{\pi}{2}$的周期解.