本文研究下面一类含有Hardy位势的非线性Schrödinger-Poisson方程

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} -\Delta u + V(x)u + \lambda \phi(x) u =|u|^{p-1} u, \ x \in {{\Bbb R}} ^3, \\ { } -\Delta \phi = u^{2}, \ \lim\limits_{|x| \to +\infty}\phi(x)=0, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ p \in (\frac{7}{3}, 5) $, $ V(x)= \omega - \frac{\beta}{|x|^2} $, $ \omega\in {{\Bbb R}} $, $ \lambda, \beta >0 $都是参数.

2004年, Mugnai等^[1]从半导体理论的物理背景中推导出了方程(1.1), 其中的位势函数$ V(x) $和$ \phi(x) $分别表示电位势和有效位势, 非线性项$ |u|^{p-1} u $表示离子间的相互作用. 2006年, Ruiz^[2]应用约束变分方法研究了当$ V(x)\equiv 1 $, $ p \in (1, 5) $时, 问题(1.1)的径向对称解的存在性. 此后，国内外学者在关于$ V(x) $和指标$ p $的各种条件下, 对问题(1.1)解的存在性及其性态作了大量研究, 参见文献[3-9].

如果$ u\in H^1({{\Bbb R}} ^3) $, 则Poisson方程$ -\Delta \phi=u^2, \; \phi\in D^{1, 2}({{\Bbb R}} ^3) $存在唯一解, 记为$ \phi_{u}(x) $, 且

(1.2) $ \begin{equation} \phi_u(x)=\frac{1}{4\pi}(|x|^{-1}\ast |u|^2)=\frac{1}{4\pi}\int_{{{\Bbb R}} ^3}\frac{u^2(y)}{|x-y|}{\rm d}y. \end{equation} $

因此可以将问题(1.1)改写成如下含有非局部项$ \phi_{u}(x) $的形式

(1.3) $ \begin{equation} -\Delta u + (\omega - \frac{\beta}{|x|^2})u +\lambda \phi_{u}(x) u=|u|^{p-1} u, \ u\in H^1({{\Bbb R}} ^3). \end{equation} $

方程(1.3)对应的能量泛函$ I: H^1({{\Bbb R}} ^3)\to {{\Bbb R}} $定义为

(1.4) $ \begin{equation} I(u)=\frac{1}{2} \int_{{{\Bbb R}} ^3} |\nabla u|^2{\rm d}x + \frac{\omega}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^3} u^2{\rm d}x- \frac{\beta}{2} \int_{{{\Bbb R}} ^3} \frac{u^2}{|x|^2}{\rm d}x +\frac{\lambda}{4} \int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_u u^2{\rm d}x - \frac{1}{p+1} \int_{{{\Bbb R}} ^3} |u|^{p+1}{\rm d}x. \end{equation} $

根据Hardy不等式

(1.5) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^3}\frac{u^2}{|x|^2}{\rm d}x\leq 4\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\nabla u|^2{\rm d}x, \ \forall \ u\in H^1({{\Bbb R}} ^3), \end{equation} $

有$ I\in C^1(H^1({{\Bbb R}} ^3), {{\Bbb R}} ) $. 因此, 泛函$ I $的非零临界点是方程(1.3)的非平凡解. 该文称一个函数$ u $为方程(1.3)的正规化解是指, $ u $不仅是泛函$ I $的非零临界点, 并且$ \|u\|_{2} $等于预先给定的值, 这里$ \| \cdot \|_{s} $ ($ 1\leq s<\infty $) 表示Lebesgue空间$ L^s({{\Bbb R}} ^3) $的范数.

令$ H $表示Sobolev空间$ H^1({{\Bbb R}} ^3) $的径向对称函数构成的子空间, 该空间是一个Hilbert空间, 我们定义其上的内积为

$ \langle u, v \rangle_{H}: =\int _{{{\Bbb R}} ^{3} } \left ( \nabla u \cdot \nabla v + uv\right ){\rm d}x, $

范数为该内积的诱导范数, 即

$ \|u\|:= \langle u, u \rangle^{\frac{1}{2} } = \bigg[\int_{{{\Bbb R}} ^3} (|\nabla u|^2+u^2){\rm d}x\bigg]^{\frac{1}{2}}. $

接下来将通过研究泛函$ F:H\to {{\Bbb R}} $,

(1.6) $ \begin{equation} F(u)=\frac{1}{2} \int_{{{\Bbb R}} ^3} |\nabla u|^2{\rm d}x- \frac{\beta}{2} \int_{{{\Bbb R}} ^3} \frac{u^2}{|x|^2}{\rm d}x + \frac{\lambda}{4} \int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_u u^2{\rm d}x - \frac{1}{p+1} \int_{{{\Bbb R}} ^3} |u|^{p+1}{\rm d}x, \end{equation} $

在约束集合

$ S(c)=\{u \in H: \|u\|_2^2 = c, c>0\} $

上的临界点的存在性来得到方程(1.3)的正规化解. 如果$ u_c $为限制泛函$ F|_{S(c)} $的一个临界点, 那么存在对应的Lagrange乘子$ \omega_c $使得当$ \omega=\omega_c $时, $ u_c $是方程(1.3)的正规化解. 因此, 我们简称$ (u_c, \omega_c) $是方程(1.3)的一组正规化解.

为了研究方程(1.1)正规化解的多重性, 受Bartsch和De Valeriola^[10]的启发, 我们利用喷泉定理的思想定义了一个极小极大值序列$ \gamma_n(c) $, 见引理2.3, 然后证明这些极小极大值是限制泛函$ F|_{S(c)} $的临界值, 从而得到了方程正规化解的多重性结果.

本文的主要结论如下:

定理1.1  如果$ \lambda>0 $, $ p \in (\frac{7}{3}, 5) $, $ \beta\in (0, \frac{1}{4}-\frac{1}{2(p+1)}) $, 则存在常数$ c_0=c_0(\lambda, \beta, p)>0 $使得对任意的$ c \in (0, c_0) $, 方程(1.3)存在无穷多组正规化解$ (u_c^{(n)}, \omega_c^{(n)}) \in S(c) \times (0, +\infty) $, 其中$ n \in {\Bbb N} $.

注1.1  如果$ \omega>0 $是一个固定的参数, 并且$ \beta\in (0, \frac{1}{4}) $, $ p\in (3, 5) $, 则我们应用山路定理或者Nehari流形方法可以证明方程(1.3)存在径向对称解$ u $, 但是我们不知道$ \|u\|_{L^2({{\Bbb R}} ^3)} $的取值. 在定理1.1的条件中, $ \beta\in (0, \frac{1}{4}-\frac{1}{2(p+1)}) $的限制条件比$ \beta\in (0, \frac{1}{4}) $要强, 主要是为了保证极小极大值序列$ \gamma_n(c) $有正的下界, 见引理2.2和引理2.3.

本文中为了表达式简洁起见, 对于$ u\in H $, 我们定义下列泛函

$ A(u)=\int_{{{\Bbb R}} ^3} |\nabla u|^2{\rm d}x, \quad B(u)=\int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_u u^2{\rm d}x, $

$ C(u)=\int_{{{\Bbb R}} ^3} \frac{u^2}{|x|^2}{\rm d}x, \quad D(u)=\int_{{{\Bbb R}} ^3} |u|^{p+1}{\rm d}x, \quad E(u)=\int_{{{\Bbb R}} ^3} u^2{\rm d}x. $

取定$ \{V_n\} \subset H $是一列单调递增的有限维线性子空间, 使得$ \bigcup\limits_{n=1}^\infty V_n $在$ H $中是稠密的. 记$ V_n^{\bot} $是$ V_n $在空间$ H $中的正交补空间.

引理2.1   如果$ p \in (1, 5) $, 则当$ n \to \infty $时, 有

(2.1) $ \begin{equation} \mu_n:=\inf\limits_{u\in V_{n-1}^{\bot}}\frac{ \|u\|^2 }{\|u\|_{p+1}^2} =\inf\limits_{u\in V_{n-1}^{\bot}}\frac{\int_{{{\Bbb R}} ^3} (|\nabla u|^2 +|u|^2){\rm d}x }{(\int_{{{\Bbb R}} ^3} |u|^{p+1}{\rm d}x)^{\frac{2}{p+1}}} \to \infty. \end{equation} $

证   反证法. 假设存在常数$ 0<a<\infty $使得对任意的$ n \in {\Bbb N} $有$ \mu_n\leq a $. 根据$ \mu_n $的定义, 存在$ u_n \in V_{n-1}^{\bot} $, 且$ \|u_n\|_{p+1}=1 $, 使得$ \mu_n\leq\|u_n\|^2\leq \mu_n+\frac{1}{n}\leq a+1 $.

由$ \bigcup\limits_{n=1}^\infty V_n $在$ H $中稠密, 我们断言对于任意的$ v \in H $, 存在$ v_n \in V_{n-1} $使得$ v_n \to v $强收敛于$ H $.

这是因为根据稠密性我们可以知道, 存在$ \left \{ \tilde{v}_{n} \right \}_{n=1}^{\infty } \subset \bigcup\limits_{n=1}^\infty V_n $, 使得$ \tilde{v}_{n} \to v $强收敛于$ H $. 对每个正整数$ n $, 存在正整数$ k(n) $, 使得$ \tilde{v}_{n} \in V_{k(n)} $. 下面讨论数列$ k(n), n=1, 2, \cdots . $

(1) 如果$ \left \{ k(n): n=1, 2, \cdots \right \} $是有界的, 即对所有的$ n=1, 2, \cdots $, 假设$ k(n)\le k_{0} < + \infty $, 其中$ k_{0} $是一个正整数.

由于$ \left \{ V_{n} \right \} $是单调递增的有限维子空间, 即$ V_{1} \subset V_{2} \subset \cdots $, 所以对于任意的$ n=1, 2, \cdots $, 有$ V_{k\left ( n \right )} \subset V_{k_{0} } $. 再由上面的式子$ \tilde{v}_{n} \in V_{k(n)} $可知, 对于任意的$ n=1, 2, \cdots $, 都有$ \tilde{v}_{n} \in V_{k_{0}} $, 所以$ \tilde{v}_{k_{0}+n} \in V_{k_{0}}\subset V_{k_{0}+\left ( n-1 \right ) } $, 从而对于任意的$ n=1, 2, \cdots $, 有$ \tilde{v}_{k_{0}+n} \in V_{\left ( k_{0}+ n\right )-1 } $并且$ \tilde{v}_{k_{0}+n} \stackrel{n}{\longrightarrow} v $强收敛于$ H $.

(2) 如果$ \left \{ k(n): n=1, 2, \cdots \right \} $是无界的, 则存在$ \left \{ k(n)\right \} $的子列, 仍记为$ \left \{ k(n)\right \} $, 满足

$ k(1)<k(2)<k(3)<\cdots <k(n) \stackrel{n}{\longrightarrow} + \infty. $

令$ v_{k(n)+1} = \tilde{v}_{n} $, 则由上面的式子$ \tilde{v}_{n} \in V_{k(n)} $可知, 对于任意的$ n=1, 2, \cdots $, 有$ v_{k(n)+1} \in V_{k(n)} $并且$ v_{k(n)+1} \stackrel{n}{\longrightarrow} v $强收敛于$ H $.

断言得证.

接下来, 根据$ H $中内积的表示式, 有$ \langle u_n, v_n \rangle_H=0 $, 并且

$ |\langle u_n, v \rangle_H| \le |\langle u_n, v-v_n \rangle_H|+|\langle u_n, v_n \rangle_H| \le \|u_n\|\|v-v_n\|\stackrel{n}{\longrightarrow} 0. $

因此$ u_n\rightharpoonup 0 $弱收敛于$ H $. 由嵌入$ H\hookrightarrow L^q({{\Bbb R}} ^3), 2<q<6 $是紧的, 有$ \|u_n\|_{p+1}\stackrel{n}{\longrightarrow} 0 $, 这与$ \|u_n\|_{p+1}=1 $矛盾. 引理得证.

对于$ p \in (1, 5) $, $ c>0 $以及任意的$ n \in {\Bbb N} $, 定义

$ \rho_n:=L^{-\frac{2}{p-1}} \cdot \mu_n^{\frac{p+1}{p-1}}, $

其中$ L:=\max\limits_{x>0}\frac{(x^2+c)^{\frac{p+1}{2}}}{x^{p+1}+c^{\frac{p+1}{2}}}\in (0, \infty) $, 则当$ n\to \infty $时有$ \rho_n \to \infty $. 令

(2.2) $ \begin{equation} B_n:=\{u\in V_{n-1}^{\bot} \cap S(c):\|\nabla u\|_2^2=\rho_n\}, \end{equation} $

(2.3) $ \begin{equation} b_n:=\inf\limits_{u \in B_n}F(u). \end{equation} $

引理2.2  如果$ \lambda>0 $, $ p \in (1, 5) $, $ \beta\in (0, \frac{1}{4}-\frac{1}{2(p+1)}) $, 则存在正整数$ N_1 $使得当$ n\geq N_1 $时, 都有$ b_n\geq 1 $.

证   为了证明该引理的结论, 我们将证明$ b_n \stackrel{n}{\longrightarrow} \infty $. 对任意的$ u \in B_n $, 根据$ \mu_n $的定义, 有

$ (\frac{1}{\mu_n})^{\frac{p+1}{2}}=\max\limits_{u\in V_{n-1}^{\bot}}\frac{\|u\|_{p+1}^{p+1}}{(\|\nabla u\|_2^2 +c)^{\frac{p+1}{2}}}, $

从而

$ \begin{eqnarray*} (\frac{1}{\mu_n})^{\frac{p+1}{2}} \cdot (\|\nabla u\|_2^2 +c)^{\frac{p+1}{2}}&= &(\|\nabla u\|_2^2 +c)^{\frac{p+1}{2}}\cdot \max\limits_{u\in V_{n-1}^{\bot}}\frac{\|u\|_{p+1}^{p+1}}{(\|\nabla u\|_2^2 +c)^{\frac{p+1}{2}}}\\ &\geq& (\|\nabla u\|_2^2 +c)^{\frac{p+1}{2}}\cdot \frac{\|u\|_{p+1}^{p+1}}{(\|\nabla u\|_2^2 +c)^{\frac{p+1}{2}}}\\ &=&\|u\|_{p+1}^{p+1}. \end{eqnarray*} $

由于

$ L=\max\limits_{x>0}\frac{(x^2+c)^{\frac{p+1}{2}}}{x^{p+1}+c^{\frac{p+1}{2}}} \geq \frac{(\|\nabla u\|_2^2+c)^{\frac{p+1}{2}}}{\|\nabla u\|_2^{p+1}+c^{\frac{p+1}{2}}}, $

所以

$ L \cdot (\|\nabla u\|_2^{p+1}+c^{\frac{p+1}{2}}) \geq (\|\nabla u\|_2^2+c)^{\frac{p+1}{2}}. $

注意到由$ \rho_n $的定义及$ u \in B_n $可以得到$ \frac{L}{\mu_n^{\frac{p+1}{2}}}\|\nabla u\|_2^{p+1}=\rho_n $, 因此对任意的$ u \in B_n $, 由Hardy不等式有

$ \begin{eqnarray*} F(u)&=&\frac{1}{2} \int_{{{\Bbb R}} ^3} |\nabla u|^2{\rm d}x - \frac{\beta}{2} \int_{{{\Bbb R}} ^3} \frac{u^2}{|x|^2}{\rm d}x +\frac{\lambda}{4} \int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_u u^2{\rm d}x - \frac{1}{p+1} \int_{{{\Bbb R}} ^3} |u|^{p+1}{\rm d}x\\ &\geq &\frac{1}{2} \int_{{{\Bbb R}} ^3} |\nabla u|^2{\rm d}x- \frac{\beta}{2} \int_{{{\Bbb R}} ^3} \frac{u^2}{|x|^2}{\rm d}x- \frac{1}{p+1} \int_{{{\Bbb R}} ^3} |u|^{p+1}{\rm d}x\\ &\geq &\frac{1}{2} \int_{{{\Bbb R}} ^3} |\nabla u|^2{\rm d}x- \frac{\beta}{2} \cdot 4\int_{{{\Bbb R}} ^3} |\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{1}{p+1} \cdot \frac{1}{\mu_n^{\frac{p+1}{2}}}(\|\nabla u\|_2^2+c)^\frac{p+1}{2}\\ &\geq& (\frac{1}{2}-2\beta)\|\nabla u\|_2^2-\frac{1}{p+1} \cdot \rho_n-\frac{1}{p+1} \cdot \frac{L}{\mu_n^{\frac{p+1}{2}}} \cdot c^{\frac{p+1}{2}}\\ &=& (\frac{1}{2}-2\beta-\frac{1}{p+1})\rho_n-\frac{1}{p+1} \cdot \frac{L}{\mu_n^{\frac{p+1}{2}}} \cdot c^{\frac{p+1}{2}}. \end{eqnarray*} $

由于$ p \in (1, 5) $, $ \beta\in (0, \frac{1}{4}-\frac{1}{2(p+1)}) $, 所以$ \frac{1}{2}-2\beta-\frac{1}{p+1}>0 $. 再由引理2.1得$ b_n \stackrel{n}{\longrightarrow} \infty $.

接下来, 我们将利用喷泉定理的思想定义一个极小极大值序列$ \{\gamma_n(c)\} $. 为此, 我们首先建立如下映射

(2.4) $ \begin{equation} \kappa:H \times {{\Bbb R}} \to H, (u, \theta) \mapsto \kappa(u, \theta)(x):={\rm e}^{\frac{3}{2}\theta}u({\rm e}^{\theta}x). \end{equation} $

则对于任意的$ \theta \in {{\Bbb R}} $, 当$ u \in S(c) $时有$ \kappa(u, \theta) \in S(c) $, 且

$ A(\kappa(u, \theta))={\rm e}^{2\theta}A(u), \;B(\kappa(u, \theta))={\rm e}^{\theta}B(u), $

$ C(\kappa(u, \theta))={\rm e}^{2\theta}C(u), \;D(\kappa(u, \theta))={\rm e}^{\frac{3(p-1)}{2}\theta}D(u). $

因此

$ F(\kappa(u, \theta)) =\frac{1}{2}{\rm e}^{2\theta}A(u)+\frac{\lambda}{4}{\rm e}^{\theta}B(u)-\frac{\beta}{2}{\rm e}^{2\theta}C(u)-\frac{1}{p+1}{\rm e}^{\frac{3(p-1)}{2}\theta}D(u). $

对于$ p \in (\frac{7}{3}, 5) $可得

(2.5) $ \begin{equation} \mbox{当}\ \theta \to -\infty\ \mbox{时}, \;A(\kappa(u, \theta)) \to 0, \;F(\kappa(u, \theta)) \to 0, \end{equation} $

(2.6) $ \begin{equation} \mbox{当}\ \theta \to +\infty\ \mbox{时}, \;A(\kappa(u, \theta)) \to +\infty, \;F(\kappa(u, \theta)) \to -\infty. \end{equation} $

由$ V_n $是有限维空间, 我们断言对任意的$ n \in {\Bbb N} $及$ u\in S(c)\cap V_n $, 存在$ \theta_n>0 $使得映射

(2.7) $ \begin{equation} \bar{g}_n:[0, 1]\times (S(c)\cap V_n) \to S(c), \; \bar{g}_n(t, u)=\kappa(u, (2t-1)\theta_n) \end{equation} $

满足

(2.8) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} A(\bar{g}_n(0, u))<\rho_n, &A(\bar{g}_n(1, u))>\rho_n, \\ F(\bar{g}_n(0, u))<b_n, {\quad} &F(\bar{g}_n(1, u))<b_n. \end{array}\right. \end{equation} $

这是因为当$ t=0 $时，$ \bar{g}_n\left ( 0, u \right ) =k(u, -\theta _{n} ) $, 取$ \theta _{n} \to +\infty $, 则$ -\theta _{n}\to-\infty $. 因此, 根据(2.5)和(2.6)式, 可得

$ A(\bar{g}_n(0, u))=A(k(u, -\theta _{n} )) \to 0 \; \mbox{且} \; F(\bar{g}_n(0, u))=F(k(u, -\theta _{n} )) \to 0. $

而我们知道当$ n\to \infty $时, $ \rho_n \to +\infty $且$ b_n \to +\infty $. 所以, 存在$ \theta_n>0 $使得$ A(\bar{g}_n(0, u))<\rho_n $且$ F(\bar{g}_n(0, u))<b_n $.

当$ t=1 $时, $ \bar{g}_n\left ( 1, u \right ) =k(u, \theta _{n} ) $, 同样取$ \theta _{n} \to +\infty $, 则根据(2.6)式, 可得

$ F(\bar{g}_n(1, u))=F(k(u, \theta _{n} )) \to -\infty. $

再由$ n\to \infty $时$ b_n \to +\infty $可知: 存在$ \theta_n>0 $使得$ F(\bar{g}_n(1, u))<b_n $.

另外, 我们已知$ V_{n} $是有限维空间并且$ V_{n}\subset H $, 则对任意的$ u \in S(c)\cap V_{n} $, 我们有

$ \int _{{{\Bbb R}} ^{3} }u^{2}{\rm d}x=c>0. $

又有限维空间中所有范数是等价的, 所以

$ A(u)=\int _{{{\Bbb R}} ^{3} }\left | \nabla u \right | ^{2}{\rm d}x \ge C_{1} \int _{{{\Bbb R}} ^{3} } u ^{2}{\rm d}x = C_{1}\cdot c \triangleq C_{2}>0 , $

从而

$ A(\bar{g}_n(1, u))=A(k(u, \theta _{n} ))={\rm e}^{2\theta _{n}}A(u)\ge C_{2}\cdot {\rm e}^{2\theta _{n}}. $

我们令$ C_{2}\cdot {\rm e}^{2\theta _{n}}=2\rho _{n} $, 可得$ A(\bar{g}_n(1, u)) \ge C_{2}\cdot {\rm e}^{2\theta _{n}} > \rho _{n} $, 并且可以推得$ \theta _{n} = \frac{1}{2} \ln{\frac{2\rho _{n}}{C_{2} } } > 0 $. 由此可见: 存在$ \theta_n>0 $使得$ A(\bar{g}_n(1, u))>\rho _{n} $. 断言得证.

接下来定义

(2.9) $ \begin{eqnarray} \Gamma_n:& =\Big\{&g:[0, 1]\times (S(c)\cap V_n) \to S(c)| \; g \; 是关于 u 的连续奇函数, 且 {}\\ && g(0, u)=\bar{g}_n(0, u), \; g(1, u)=\bar{g}_n(1, u) \ , \forall \ u\in S(c)\cap V_n\Big\}. \end{eqnarray} $

由于

$ \begin{eqnarray*} \bar{g}_n(t, -u)&=&\kappa(-u, (2t-1)\theta_n)={\rm e}^{\frac{3(2t-1)}{2}\theta_n}\cdot[-u( {\rm e}^{(2t-1)\theta_n}x)]\\ &=&-{\rm e}^{\frac{3(2t-1)}{2}\theta_n}\cdot u( {\rm e}^{(2t-1)\theta_n}x) =-\kappa(u, (2t-1)\theta_n)=-\bar{g}_n(t, u), \end{eqnarray*} $

所以$ \bar{g}_n \in \Gamma_n $. 再由文献[10]的引理2.3可得: 对任意的$ g \in \Gamma_n $, 存在$ (t, u)\in [0, 1] \times (S(c)\cap V_n) $使得$ g(t, u)\in B_n $, 其中$ B_n $是(2.2)式中定义的. 因此, 我们有如下引理成立.

引理2.3  如果$ \lambda>0 $, $ p \in (\frac{7}{3}, 5) $, $ \beta\in (0, \frac{1}{4}-\frac{1}{2(p+1)}) $, 则对任意的$ n \in {\Bbb N} $, 有

$ \gamma_n(c):=\inf\limits_{g \in \Gamma_n}\max\limits_{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n} F(g(t, u)) \ge b_n. $

为了找到限制泛函$ F|_{S(c)} $的Palsis-Smale序列, 我们将应用Jeanjean^[11]的方法, 引入如下的辅助函数

$ \tilde{F}:S(c) \times {{\Bbb R}} \to {{\Bbb R}} , (u, \theta) \mapsto F(\kappa(u, \theta)), $

其中$ \kappa(u, \theta) $是(2.4)式中给定的, 以及集合

$ \tilde{\Gamma}_n:=\Big\{\tilde{g}:[0, 1]\times(S(c)\cap V_n) \to S(c) \times {{\Bbb R}} | \; \tilde{g} \; 是关于 u 的连续奇函数, 并使得 \kappa\circ\tilde{g} \in \Gamma_n\Big\} , $

则对任意的$ g\in \Gamma_n $有$ \tilde{g}:=(g, 0) \in \tilde{\Gamma}_n $.

定义

$ \tilde{\gamma}_n(c):=\inf\limits_{\tilde{g} \in \tilde{\Gamma}_n}\max\limits_{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n} \tilde{F}(\tilde{g}(t, u)), $

则有$ \tilde{\gamma}_n(c)=\gamma_n(c) $. 实际上, 建立如下映射

$ \varphi:\Gamma_n \to \tilde{\Gamma}_n, \;g \mapsto \varphi(g):=(g, 0), $

$ \psi:\tilde{\Gamma}_n \to \Gamma_n, \;\tilde{g} \mapsto \psi(\tilde{g}):=\kappa\circ\tilde{g}, $

我们可以得到

$ \tilde{F}(\varphi(g))=\tilde{F}[(g, 0)]=F[\kappa(g, 0)]=F(g), $

$ F(\kappa\circ\tilde{g})=F[\kappa(g, 0)]=\tilde{F}[(g, 0)]=\tilde{F}(\tilde{g}). $

因此对任意的$ g\in \Gamma_n $有

$ \tilde{\gamma}_n(c)=\inf\limits_{\tilde{g} \in \tilde{\Gamma}_n}\max\limits_{{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n}}\tilde{F}(\tilde{g}(t, u)) \le \max\limits_{{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n}} \tilde{F}(\varphi(g))=\max\limits_{{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n}}F(g), $

从而$ \tilde{\gamma}_n(c) \le \gamma_n(c) $. 另一方面, 对任意的$ \tilde{g}\in \tilde{\Gamma}_n $有

$ \gamma_n(c)=\inf\limits_{g \in \Gamma_n}\max\limits_{{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n}}F(g(t, u)) \le \max\limits_{{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n}}F(\kappa\circ\tilde{g})=\max\limits_{ {t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n}}\tilde{F}(\tilde{g}), $

从而$ \tilde{\gamma}_n(c) \ge \gamma_n(c) $.

定义$ E:=H\times{{\Bbb R}} $, 其范数为$ \| \cdot \|_E^2=\| \cdot \|^2+\| \cdot \|_{{{\Bbb R}} }^2 $, 记$ E^{-1} $为空间$ E $的对偶空间. 由文献[11]的引理2.3可得

引理2.4   令$ \varepsilon>0 $, 假设$ \tilde{g}_0 \in \tilde{\Gamma}_n $满足$ \max\limits_{{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n}}\tilde{F}(\tilde{g}_0(t, u)) \le \tilde{\gamma}_n(c)+\varepsilon $, 则存在$ (u_0, \theta_0)\in S(c)\times {{\Bbb R}} $使得

$ \rm (1) $$ \tilde{F}(u_0, \theta_0) \in [\tilde{\gamma}_n(c)-\varepsilon, \tilde{\gamma}_n(c)+\varepsilon] $;

$ \rm (2) $$ \min\limits_{{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n}}\|(u_0, \theta_0)-\tilde{g}_k(t, u) \|_E \le \sqrt{\varepsilon} $;

$ \rm (3) $$ \|\tilde{F}'| _{S(c)\times{{\Bbb R}} }(u_0, \theta_0)\|\le 2\sqrt{\varepsilon} $, 即对任意的$ z\in\tilde{T}_{(u_0, \theta_0)} $有

$ |\langle\tilde{F}'(u_0, \theta_0), z\rangle_ {E^{-1}\times E}| \le 2\sqrt{\varepsilon}\|z\|_E, $

其中$ \tilde{T}_{(u_0, \theta_0)}:= \{(z_1, z_2)\in E, \langle u_0, z_1\rangle_{L^2}=0\} $.

接下来我们将证明, 对于任意的$ n \in {\Bbb N} $, 限制泛函$ F|_{S(c)} $在能量水平$ \gamma_n(c) $都存在一个有界的Palsis-Smale序列.

引理2.5  如果$ \lambda>0 $, $ p \in (\frac{7}{3}, 5) $, $ \beta\in (0, \frac{1}{4}-\frac{1}{2(p+1)}) $, 则对任意给定的$ c>0 $, 存在序列$ \{u_k^{(n)}\}_{k=1}^{\infty} \subset S(c) $, 使得当$ k \to \infty $时满足

(2.10) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} F(u_k^{(n)}) \to \gamma_n(c), \\ F'| _{S(c)}(u_k^{(n)}) \to 0, \\ Q(u_k^{(n)}) \to 0, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ Q(u)=A(u)+\frac{\lambda}{4}B(u)-\beta C(u)-\frac{3(p-1)}{2(p+1)}D(u) $. 并且, 序列$ \{\|u_k^{(n)}\|\} $是有界的.

证   由于$ \gamma_n(c)=\inf\limits_{g \in \Gamma_n}\max\limits_{{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n}}F(g(t, u)) $, 则对任意的$ k \in {\Bbb N} $, 存在$ g_k \in \Gamma_n $, 使得

$ \max\limits_{{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n}}F(g_k(t, u))\le \gamma_n(c)+\frac{1}{k}. $

由于$ \tilde{\gamma}_n(c)=\gamma_n(c) $, 所以$ \tilde{g}_k=(g_k, 0) \in \tilde{\Gamma}_n $满足

$ \max\limits_{{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n}}\tilde{F}(\tilde{g}_k(t, u))\le \tilde{\gamma}_n(c)+\frac{1}{k}. $

根据引理2.4可知: 存在一个序列$ \{(u_k, \theta_k)\} \subset S(c)\times {{\Bbb R}} $, 使得

(ⅰ) $ \tilde{F}(u_k, \theta_k) \in [\gamma_n(c)-\frac{1}{k}, \gamma_n(c)+\frac{1}{k}] $;

(ⅱ) $ \min\limits_{{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n}}\|(u_k, \theta_k)-(g_k(t, u), 0)\|_E \le \frac{1}{\sqrt{k}} $;

(ⅲ) $ \|{\tilde{F}'| _{S(c)\times{{\Bbb R}} }}(u_k, \theta_k)\|\le \frac{2}{\sqrt{k}} $, 即对任意的$ z\in\tilde{T}_{(u_k, \theta_k)} $有

$ |\langle \tilde{F}'(u_k, \theta_k), z \rangle_{E^{-1}\times E}|\le \frac{2}{\sqrt{k}}\|z\|_E, $

其中$ \tilde{T}_{(u_k, \theta_k)}:=\{(z_1, z_2)\in E, \langle u_k, z_1\rangle_{L^2}=0\} $.

对于任意的$ k \in {\Bbb N} $, 令$ v_k^{(n)}=\kappa(u_k, \theta_k) $, 由(2.4)式知$ v_k^{(n)} \in S(c) $. 下面我们证明$ v_k^{(n)} $满足(2.10)式. 首先, 因为$ F(v_k^{(n)})=F(\kappa(u_k, \theta_k))=\tilde{F}(u_k, \theta_k) $, 所以由(ⅰ)可得

$ F(v_k^{(n)}) \in [\gamma_n(c)-\frac{1}{k}, \gamma_n(c)+\frac{1}{k}]\Longrightarrow F(v_k^{(n)}) \stackrel{k}{\longrightarrow} \gamma_n(c). $

由于$ \tilde{F}(u_k, \theta_k)=F(\kappa(u_k, \theta_k)) $, 而

$ \begin{eqnarray*} \tilde{F}'(u_k, \theta_k) &=&\bigg(\frac{\rm d}{{\rm d}u_k}F(\kappa(u_k, \theta_k)), \frac{\rm d}{{\rm d}\theta_k}F(\kappa(u_k, \theta_k))\bigg)\\ &=&\bigg(\frac{\rm d}{{\rm d}u_k}F(\kappa(u_k, \theta_k)), {\rm e}^{2\theta_k}A(u_k)+\frac{\lambda}{4}{\rm e}^{\theta_k}B(u_k)\\ &&-\beta {\rm e}^{2\theta_k}C(u_k)-\frac{3(p-1)}{2(p+1)}{\rm e}^{\frac{3(p-1)}{2}\theta_k}D(u_k)\bigg)\\ &=&\bigg(\frac{\rm d}{{\rm d}u_k}F(\kappa(u_k, \theta_k)), Q(\kappa(u_k, \theta_k))\bigg), \end{eqnarray*} $

所以

$ Q(v_k^{(n)})=Q(\kappa(u_k, \theta_k))=\langle \tilde{F}'(u_k, \theta_k), (0, 1)\rangle_{E^{-1}\times E}, $

其中$ (0, 1)\in \tilde{T}_{u_k, \theta_k} $. 根据(ⅲ)有

$ |\langle \tilde{F}'(u_k, \theta_k), (0, 1)\rangle_{E^{-1}\times E}|\le \frac{2}{\sqrt{k}}, $

从而可得$ Q(v_k^{(n)}) \stackrel{k}{\longrightarrow} 0. $

接下来证明$ F'| _{S(c)}(v_k^{(n)}) \stackrel{k}{\longrightarrow} 0 $, 只需证明对任意充分大的$ k \in {\Bbb N} $以及任意的$ \omega \in T_{v_k^{(n)}} $, 有

$ |\langle F'(v_k^{(n)}), \omega \rangle_{H^{-1}\times H}|\le \frac{4}{\sqrt{k}}\|\omega\|, $

其中$ T_{v_k^{(n)}}:=\{\omega \in H, (v_k^{(n)}, \omega)_{L^2}=0\}. $对于$ \omega \in T_{v_k^{(n)}} $, 令$ \tilde{\omega}=\kappa(\omega, -\theta_k) $, 则

$ 0=(v_k^{(n)}, \omega)_{L^2}=({\rm e}^{\frac{3}{2}\theta_k}u_k({\rm e}^{\theta_k}x), \omega)_{L^2}=(u_k, {\rm e}^{-\frac{3}{2}\theta_k}\omega({\rm e}^{-\theta_k}x))_{L^2}=(u_k, \tilde{\omega})_{L^2}, $

所以$ (\tilde{\omega}, 0)\in \tilde{T}_{(u_k, \theta_k)} $. 根据(ⅱ)有

$ |\theta_k|=|\theta_k-0| \le \min\limits_{{t \in [0, 1]\atop u \in S(c)\cap V_n}}\|(u_k, \theta_k)-(g_k(t, u), 0)\|_E \le \frac{1}{\sqrt{k}}, $

所以, 当$ k \in {\Bbb N} $充分大时, 有

$ \|(\tilde{\omega}, 0)\|_E^2=\|\tilde{\omega}\|^2=\int_{{{\Bbb R}} ^3} |\omega(x)|^2{\rm d}x+{\rm e}^{-2\theta_k}\int_{{{\Bbb R}} ^3} |\nabla \omega(x)|^2{\rm d}x\le4\|\omega\|^2. $

再根据(ⅲ)有

$ \begin{eqnarray*} &&|\langle F'(v_k^{(n)}), \omega \rangle_{H^{-1}\times H}|\\ &=&\bigg|\int_{{{\Bbb R}} ^3} \nabla v_k^{(n)}\cdot\nabla \omega{\rm d}x - \beta\int_{{{\Bbb R}} ^3} \frac{v_k^{(n)}}{|x|^2}\omega{\rm d}x +\lambda\int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_{v_k^{(n)}} v_k^{(n)}\omega{\rm d}x -\int_{{{\Bbb R}} ^3} |v_k^{(n)}|^{p-1}v_k^{(n)}\omega{\rm d}x\bigg| \\ &=&\bigg|{\rm e}^{2\theta_k}\int_{{{\Bbb R}} ^3} \nabla u_k \cdot\nabla \tilde{\omega}{\rm d}x - {\rm e}^{2\theta_k}\beta\int_{{{\Bbb R}} ^3} \frac{u_k}{|x|^2}\tilde{\omega}{\rm d}x \\ && +{\rm e}^{\theta_k}\lambda\int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_{u_k} u_k\tilde{\omega}{\rm d}x -{\rm e}^{\frac{3(p-1)}{2}\theta_k}\int_{{{\Bbb R}} ^3} |u_k|^{p-1}u_k\tilde{\omega}{\rm d}x\bigg| \\ &=&|\langle \tilde{F}'(u_k, \theta_k), (\tilde{\omega}, 0) \rangle_{E^{-1}\times E}| \\ &\le&\frac{2}{\sqrt{k}}\cdot\|(\tilde{\omega}, 0)\|_E \le \frac{4}{\sqrt{k}}\|\omega\|. \end{eqnarray*} $

最后证明$ \{\|v_k^{(n)}\|\} $是有界的. 由$ F(v_k^{(n)}) \stackrel{k}{\longrightarrow} \gamma_n(c) $, $ Q(v_k^{(n)}) \stackrel{k}{\longrightarrow} 0 $及Hardy不等式有

$ \begin{eqnarray*} \gamma_n(c)+o(1)&=&F(v_k^{(n)})-\frac{2}{3(p-1)}Q(v_k^{(n)})\\ &=&\frac{3p-7}{6(p-1)}A(v_k^{(n)})+\frac{3p-5}{3(p-1)}\cdot\frac{\lambda}{4}B(v_k^{(n)})-\frac{3p-7}{6(p-1)}\cdot \beta C(v_k^{(n)})\\ & \ge& \frac{3p-7}{6(p-1)}A(v_k^{(n)})+\frac{3p-5}{3(p-1)}\cdot\frac{\lambda}{4}B(v_k^{(n)})-\frac{3p-7}{6(p-1)}\cdot 4\beta A(v_k^{(n)})\\ &=&(1-4\beta)\cdot\frac{3p-7}{6(p-1)}A(v_k^{(n)})+\frac{3p-5}{3(p-1)}\cdot\frac{\lambda}{4}B(v_k^{(n)}). \end{eqnarray*} $

由$ p \in (\frac{7}{3}, 5) $, $ \beta\in (0, \frac{1}{4}-\frac{1}{2(p+1)}) $, 可得$ 1-4\beta>0 $, $ \frac{3p-7}{6(p-1)}>0 $以及$ \frac{3p-5}{3(p-1)}>0 $, 再由上述不等式得$ \{A(v_k^{(n)})\} $有界, 又因为$ v_k^{(n)} \in S(c) $, 所以$ \|v_k^{(n)}\|^2=\|\nabla v_k^{(n)}\|_2^2+\|v_k^{(n)}\|_2^2 $是有界的.

我们首先考虑方程(1.3)的无穷多组弱解的存在性.

引理3.1   如果引理2.5的条件成立, $ \{u_k^{(n)}\}_{k=1}^{\infty} \subset S(c) $满足(2.10)式. 则当$ n\geq N_1 $时, 其中正整数$ N_1 $由引理2.2给出, 存在$ (u_c^{(n)}, \omega_c^{(n)})\in H\backslash\{0\}\times {{\Bbb R}} $使得$ (u_c^{(n)}, \omega_c^{(n)}) $是方程(1.3)的一组弱解, 即$ (u_c^{(n)}, \omega_c^{(n)}) $满足下列方程

(3.1) $ \begin{equation} -\Delta u_c^{(n)} + \omega_c^{(n)}u_c^{(n)}- \frac{\beta}{|x|^2}u_c^{(n)} + \lambda \phi_{u_c^{(n)}}u_c^{(n)} - |u_c^{(n)}|^{p-1}u_c^{(n)}=0. \end{equation} $

证   由引理2.5知$ \{u_k^{(n)}\}_{k=1}^{\infty} $是$ H $中的有界列, 所以存在$ \{u_k^{(n)}\} $的子列, 仍记为$ \{u_k^{(n)}\} $, 以及$ u_c^{(n)}\in H $使得$ u_k^{(n)}\stackrel{k}{\rightharpoonup} u_c^{(n)} $弱收敛于$ H $. 假设$ u_c^{(n)}=0 $, 由嵌入$ H\hookrightarrow L^q({{\Bbb R}} ^3), 2<q<6 $是紧的, 有$ D(u_k^{(n)})=o(1) $. 再由$ Q(u_k^{(n)})=o(1) $和Hardy不等式可得

(3.2) $ \begin{eqnarray} F(u_k^{(n)})&=&Q(u_k^{(n)})-\frac{1}{2}A(u_k^{(n)})+\frac{\beta}{2}C(u_k^{(n)})+\frac{3p-5}{2(p+1)}D(u_k^{(n)}){}\\ &\leq &(-\frac{1}{2}+2\beta)A(u_k^{(n)})+o(1)\leq o(1). \end{eqnarray} $

另一方面, 由(2.10)式, 引理2.3及引理2.2可得: 当$ n\geq N_1 $时, 有

(3.3) $ \begin{equation} F(u_k^{(n)})\stackrel{k}{\longrightarrow} \gamma_n(c)\geq b_n\geq 1. \end{equation} $

这与(3.2)式矛盾. 因此$ u_c^{(n)}\neq 0 $.

由(2.10)式知$ \|F'| _{S(c)}(u_k^{(n)})\|_{H^{-1}}=o(1) $, 根据文献[12, 引理3]可得: 对任意的$ \varphi \in H $有

(3.4) $ \begin{eqnarray} o(1)&=&\langle F'(u_k^{(n)})-\langle F'(u_k^{(n)}), u_k^{(n)} \rangle u_k^{(n)}, \varphi \rangle{}\\ &=&\int_{{{\Bbb R}} ^3} \nabla u_k^{(n)}\cdot\nabla \varphi{\rm d}x - \beta \int_{{{\Bbb R}} ^3}\frac{u_k^{(n)}}{|x|^2}\varphi{\rm d}x +\lambda\int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_{u_k^{(n)}} u_k^{(n)}\varphi{\rm d}x{}\\ && -\int_{{{\Bbb R}} ^3} |u_k^{(n)}|^{p-1}u_k^{(n)}\varphi{\rm d}x+\omega_k^{(n)}\cdot \int_{{{\Bbb R}} ^3}u_k^{(n)}\varphi{\rm d}x, \end{eqnarray} $

其中

$ \omega_k^{(n)}=-\bigg[\int_{{{\Bbb R}} ^3} |\nabla u_k^{(n)}|^2{\rm d}x + \lambda \int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_{u_k^{(n)}} (u_k^{(n)})^2{\rm d}x- \beta \int_{{{\Bbb R}} ^3} \frac{(u_k^{(n)})^2}{|x|^2}{\rm d}x - \int_{{{\Bbb R}} ^3} |u_k^{(n)}|^{p+1}{\rm d}x \bigg]. $

由$ \{u_k^{(n)}\} $在$ H $中是有界序列知$ \{\omega_k^{(n)}\} $是有界数列, 所以存在$ \{\omega_k^{(n)}\} $的子列, 仍记为$ \{\omega_k^{(n)}\} $, 以及$ \omega_c^{(n)} \in {{\Bbb R}} $使得$ \omega_k^{(n)} \stackrel{k}{\longrightarrow} \omega_c^{(n)} $. 再由$ u_k^{(n)}\stackrel{k}{\rightharpoonup} u_c^{(n)} $弱收敛于$ H $和(3.4) 式可得

(3.5) $ \begin{eqnarray} &&\int_{{{\Bbb R}} ^3} \nabla u_c^{(n)} \cdot \nabla \varphi{\rm d}x + \lambda \int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_{u_c^{(n)}} u_c^{(n)} \varphi{\rm d}x - \beta \int_{{{\Bbb R}} ^3} \frac{u_c^{(n)} \varphi}{|x|^2}{\rm d}x {}\\ &&- \int_{{{\Bbb R}} ^3} |u_c^{(n)}|^{p-1}u_c^{(n)}\varphi{\rm d}x+\omega_c^{(n)}\int_{{{\Bbb R}} ^3} u_c^{(n)} \varphi{\rm d}x=0, \end{eqnarray} $

所以$ (u_c^{(n)}, \omega_c^{(n)}) $满足方程(3.1).

下面我们证明本文的主要结论, 即定理1.1.

证   设$ \{u_k^{(n)}\}_{k=1}^{\infty} $, $ u_c^{(n)} $及$ \omega_c^{(n)} $是由引理3.1给出的. 我们首先证明: 存在大于零的常数$ c_0=c_0(\lambda, \beta, p) $, 使得当$ E(u_c^{(n)}) \in (0, c_0) $时, 有$ \omega_c^{(n)}>0 $.

由方程(3.1)可得下列Pohozaev型恒等式

(3.6) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^3} |\nabla u_c^{(n)}|^2{\rm d}x + \frac{3\omega_c^{(n)}}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^3} |u_c^{(n)}|^2{\rm d}x +\frac{5\lambda}{4} \int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_{u_c^{(n)}} |u_c^{(n)}|^2{\rm d}x {}\\ &&- \frac{\beta}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^3} \frac{|u_c^{(n)}|^2}{|x|^2}{\rm d}x - \frac{3}{p+1} \int_{{{\Bbb R}} ^3} |u_c^{(n)}|^{p+1}{\rm d}x=0. \end{eqnarray} $

在方程(3.1)两边乘以$ u_c^{(n)} $作分部积分, 可得

(3.7) $ \begin{eqnarray} &&\int_{{{\Bbb R}} ^3} |\nabla u_c^{(n)}|^2{\rm d}x + \omega_c^{(n)}\int_{{{\Bbb R}} ^3} |u_c^{(n)}|^2{\rm d}x +\lambda\int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_{u_c^{(n)}} |u_c^{(n)}|^2{\rm d}x{} \\ && - \beta\int_{{{\Bbb R}} ^3} \frac{|u_c^{(n)}|^2}{|x|^2}{\rm d}x - \int_{{{\Bbb R}} ^3} |u_c^{(n)}|^{p+1}{\rm d}x=0. \end{eqnarray} $

计算$ (3.7) \times \frac{-3}{p+1}+(3.6) $得

(3.8) $ \begin{eqnarray} && \frac{p-5}{2(p+1)}A(u_c^{(n)})+\frac{3(p-1)}{2(p+1)}\omega_c^{(n)} E(u_c^{(n)}){}\\ && +\frac{5p-7}{4(p+1)}\cdot\lambda B(u_c^{(n)})-\frac{p-5}{2(p+1)}\cdot\beta C(u_c^{(n)})=0. \end{eqnarray} $

根据Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式, 有

(3.9) $ \begin{equation} B(u)\leq C\|u\|_{12/5}^4\leq CA(u)^{\frac{1}{2}}E(u)^{\frac{3}{2}}, \ \forall \ u\in H^1({{\Bbb R}} ^3). \end{equation} $

由(3.8)和(3.9)式得

(3.10) $ \begin{eqnarray} -\frac{3(p-1)}{2(p+1)}\omega_c^{(n)} E(u_c^{(n)})&\leq &(1-4\beta)\frac{p-5}{2(p+1)}A(u_c^{(n)})+\frac{5p-7}{4(p+1)}\cdot\lambda B(u_c^{(n)}){}\\ &\leq& (1-4\beta)\frac{p-5}{2(p+1)}A(u_c^{(n)})+C(p)\lambda A(u_c^{(n)})^{\frac{1}{2}}E(u_c^{(n)})^{\frac{3}{2}}{}\\ &=&A(u_c^{(n)})^{\frac{1}{2}} \bigg[(1-4\beta)\frac{p-5}{2(p+1)}A(u_c^{(n)})^{\frac{1}{2}}+C(p)\lambda E(u_c^{(n)})^{\frac{3}{2}}\bigg].{\qquad} \end{eqnarray} $

计算$ (3.7)\times \frac{3}{2}-(3.6) $得

(3.11) $ \begin{equation} A(u_c^{(n)})+\frac{\lambda}{4}B(u_c^{(n)})-\beta C(u_c^{(n)})-\frac{3(p-1)}{2(p+1)}D(u_c^{(n)})=0, \end{equation} $

再由Gagliardo-Nirenberg不等式和Hardy不等式可得

(3.12) $ \begin{equation} A(u_c^{(n)})\geq (1-4\beta)C(p)E(u_c^{(n)})^{\frac{p-5}{3p-7}}. \end{equation} $

结合(3.10)和(3.12)式, 我们可以推出: 存在$ c_0=c_0(\lambda, \beta, p)>0 $使得当$ E(u_c^{(n)})\in (0, c_0) $时, (3.10)式右端严格小于零, 因此有$ \omega_c^{(n)}>0 $.

接下来我们证明: $ \|u_k^{(n)}-u_c^{(n)}\| \stackrel{k}{\longrightarrow} 0 $. 因为$ \{u_k^{(n)}\}_{k=1}^{\infty} \subset S(c) $, 且$ u_k^{(n)}\rightharpoonup u_c^{(n)} $弱收敛于$ H $, 则$ u_k^{(n)}\rightharpoonup u_c^{(n)} $弱收敛于$ L^2({{\Bbb R}} ^3) $. 由范数的弱下半连续性得

$ E(u_c^{(n)})\leq \liminf\limits_{k\to\infty}E(u_k^{(n)})=c<c_0. $

又因为$ u_c^{(n)}\neq 0 $, 则$ E(u_c^{(n)})>0 $, 于是$ E(u_c^{(n)})\in (0, c_0) $, 根据前面的证明知$ \omega_c^{(n)}>0 $. 再由$ \beta\in (0, \frac{1}{4}-\frac{1}{2(p+1)}) $及Hardy不等式, 我们可以在$ H $中定义如下等价范数

$ \|u\|_\beta^2=\int_{{{\Bbb R}} ^3} [|\nabla u|^2 -\beta\frac{u^2}{|x|^2} +\omega_c^{(n)}u^2]{\rm d}x. $

所以下面我们只需证明$ \|u_k^{(n)}\|_\beta\stackrel{k}\rightarrow \|u_c^{(n)}\|_\beta $.

由(3.7)式有

(3.13) $ \begin{equation} \|u_c^{(n)}\|_\beta^2 +\lambda\int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_{u_c^{(n)}} |u_c^{(n)}|^2{\rm d}x - \int_{{{\Bbb R}} ^3} |u_c^{(n)}|^{p+1}{\rm d}x=0. \end{equation} $

由引理2.5知$ \|F'| _{S(c)}(u_k^{(n)})\|_{H^{-1}}=o(1) $以及$ \{u_k^{(n)}\} $是$ H $中的有界列, 根据(3.4)式得

(3.14) $ \begin{eqnarray} o(1)&= &\langle F'| _{S(c)}(u_k^{(n)}), u_k^{(n)} \rangle{}\\ & =&\langle F'(u_k^{(n)})-\langle F'(u_k^{(n)}), u_k^{(n)} \rangle u_k^{(n)}, u_k^{(n)} \rangle {}\\ &=&\|u_k^{(n)}\|_\beta^2+(\omega_k^{(n)}-\omega_c^{(n)})\int_{{{\Bbb R}} ^3}|u_k^{(n)}|^2{\rm d}x +\lambda\int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_{u_k^{(n)}} |u_k^{(n)}|^2{\rm d}x - \int_{{{\Bbb R}} ^3} |u_k^{(n)}|^{p+1}{\rm d}x.{\qquad} \end{eqnarray} $

由嵌入$ H\hookrightarrow L^q({{\Bbb R}} ^3), \; 2<q<6 $是紧的, 有

(3.15) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_{u_k^{(n)}}|u_k^{(n)}|^2{\rm d}x\stackrel{k}\rightarrow \int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_{u_c^{(n)}} |u_c^{(n)}|^2{\rm d}x, \ \int_{{{\Bbb R}} ^3} |u_k^{(n)}|^{p+1}{\rm d}x\stackrel{k}\rightarrow \int_{{{\Bbb R}} ^3} |u_c^{(n)}|^{p+1}{\rm d}x. \end{equation} $

再由$ |\omega_k^{(n)}-\omega_c^{(n)}|\stackrel{k}\rightarrow 0 $以及$ \{u_k^{(n)}\} $是$ H $中的有界列, 有

(3.16) $ \begin{equation} (\omega_k^{(n)}-\omega_c^{(n)})\int_{{{\Bbb R}} ^3}|u_k^{(n)}|^2{\rm d}x\stackrel{k}\rightarrow 0. \end{equation} $

把(3.15)和(3.16)式代入(3.14)式, 得

(3.17) $ \begin{equation} \|u_k^{(n)}\|_\beta^2+\lambda\int_{{{\Bbb R}} ^3} \phi_{u_c^{(n)}} (u_c^{(n)})^2{\rm d}x - \int_{{{\Bbb R}} ^3} |u_c^{(n)}|^{p+1}{\rm d}x=o(1). \end{equation} $

因此结合(3.13) 和(3.17) 式得$ \|u_k^{(n)}\|_\beta\stackrel{k}\rightarrow \|u_c^{(n)}\|_\beta $. 定理得证.