考虑如下高阶Camassa-Holm型方程

其中整数$k\geq 2$, 常数$b \in {{\Bbb R}} .$方程(1.1) 的物理背景可见Grayshan和Himonas^[12]. 如果$k=1$, $b=2$, 方程(1.1) 变为Camassa-Holm方程^[2]. 当$k=1$, $b=3$, 方程(1.1) 转化为Degasperis-Procesi方程^[9]. 当$k=2$, $b=3$, 方程(1.1) 变为Novikov方程^[23].

近年来, 许多学者研究了方程(1.1) 的动力学性质. Himonas和Thompson^[18]研究了方程(1.1) 的两种性质: 持续性和唯一延拓性. Grayshan和Himonas ^[12]研究了方程(1.1) 的孤立波解. 应用Galerkin近似方法, Himonas和Holliman ^[16]讨论了方程(1.1) 在Sobolev空间中的局部适定性. 假设初值具有紧支集, 文献[17]研究了方程(1.1) 的解在无穷远处的渐近行为. Anco等^[1]在一定假设下讨论了方程(1.1) 的一类孤立子解. 利用Lie对称性分析, Wei等^[26]给出了方程(1.1) 的一些守恒律. 文献[15]讨论了方程(1.1) 的位势紧性和长时间行为. 方程(1.1)解的详细渐近描述在文献[13]中给出. 与方程(1.1) 有关的其他结果, 参见文献[3-8, 10, 11, 14, 19-22, 24, 25, 27, 29].

对于任意整数$k\geq 2$和常数$b \in {{\Bbb R}}$, 考察方程(1.1) 整体弱解的存在性是比较困难的. 我们考虑如下方程

这里常数$k\geq2$, 方程(1.2) 是方程(1.1) 的一种特殊形式.

受文献[4, 28] 启发, 我们将研究方程(1.2) 的整体弱解. 如果初值不满足符号条件, 文献[4, 28]在空间$H^1({{\Bbb R}} )$中研究了经典Camasa-Holm方程整体弱解的存在性. 假设初值不满足符号条件, 我们将证明方程(1.2) 整体弱解的存在性. 本文的主要贡献是建立了方程(1.2) 粘性问题解的高阶可积性估计. 这个高阶估计不同于文献[4, 28] 中的高阶估计. 本文主要的研究方法来自文献[4, 28].

文章的第二节给出相关引理. 第三节给出本文的主要结果及其证明.

考虑方程(1.2) 的初值问题

问题(2.1) 等价于如下问题

这里$\Lambda^{-2}=(1-\partial_x^2)^{-1}$. 由方程(1.2) 得

即$\int_{{{\Bbb R}} }\left(u^{2}+u_{x}^{2}\right) {\rm d}x=\int_{{{\Bbb R}} }\left(u_{0}^{2}+u_{0 x}^{2}\right) {\rm d}x.$

参考文献[4, 28] 对整体弱解的定义, 我们给出如下定义.

定义2.1  一个连续函数$u:[0, \infty) \times {{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}}$称为问题(2.1) 或(2.2) 的整体弱解, 如果以下条件满足:

$\rm (i)$$u \in C([0, \infty) \times{{\Bbb R}} ) \cap L^{\infty}\left([0, \infty) ; H^{1}({{\Bbb R}} )\right);$

$\rm (ii)$$\|u(t, .)\|_{H^{1}({{\Bbb R}} )} \leq\left\|u_{0}\right\|_{H^{1}({{\Bbb R}} )};$

$\rm (iii)$$u=u(t, x)$在分布意义下满足方程(2.1).

定义算子

引入光滑算子$\phi_{\varepsilon}(x)=\varepsilon^{-\frac{1}{4}} \phi\big(\varepsilon^{-\frac{1}{4}} x\big);$$0<\varepsilon<1, u_{\varepsilon, 0}=\phi_{\varepsilon} * u_{0}$, $u_{\varepsilon, 0} \in C^{\infty},$$u_{0} \in H^{s}, s>0$ ($*$代表卷积). 为了研究方程(1.2) 整体弱解的存在性, 我们讨论如下粘性近似问题

这里

对(2.3)式关于变量$x$求导数, 令$p_{\varepsilon}(t, x)= \frac{\partial u_{\varepsilon}(t, x)}{\partial x}$, 我们得到

在下面的讨论中, 我们用$c$表示与参数$\varepsilon$无关的任何正常数.

引理2.1  假设$u_{0}(x)\in H^{s}({{\Bbb R}} ),$常数$\sigma \geq 2,$则柯西问题(2.3) 有唯一解$u_{\varepsilon} \in$$C\big([0, \infty) ;$$H^{\sigma}({{\Bbb R}} )\big)$且

或

证   根据文献[5]的结论, 我们知道问题(2.3) 存在唯一解$u_\varepsilon(t, x)\in C([0, \infty); H^\sigma({{\Bbb R}} )),$使用(2.3)式, 我们有

上式对$t$积分便得到(2.6) 式成立.

引理2.2  假设$u_{0}(x)\in H^{1}({{\Bbb R}} ),$则存在正常数$c=c(\left\|u_{0}\right\|_{H^{1}({{\Bbb R}} )})$使得

证   我们有

以及

使用(2.4), (2.11)和(2.12)式, 函数$B_\varepsilon(t, x)$和Tonelli定理, 我们有

和

事实上, 我们得到

和

这样我们推导出了(2.7)和(2.8) 式. 类似地, 使用(2.4), (2.5), (2.11) 和(2.12) 式有

于是我们证明了(2.9)和(2.10) 式成立.

引理2.3   若$0<t<T$, 则存在正常数$c_0=c_0 (\left\| u_0 \right\|_{H^1({{\Bbb R}} )}, \left\| \frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial x} \right\|_{L^\infty})$使得

证   为了便于书写, 我们记$u=u_{\varepsilon},$$Q=Q_{\varepsilon}(t, x)$. 由方程(2.5), 我们有

因为

则

由此可得

又因为

我们有

使用H$\ddot{\rm o}$lder不等式和(2.15) 式得

使用(2.16) 式和Gronwall不等式, 我们推知(2.14) 式成立.

引理2.4   假设$k\geq 2$为奇数, 设$u_{\varepsilon}=u_{\varepsilon}(t, x)$是方程(2.3) 的唯一解. 对任意$t>0$, 则存在正常数$c=c(\|u_{0}\|_{H^{1}({{\Bbb R}} )})$使得

证   因$\|u_{\varepsilon}(t, x)\| \leq c$, $\|Q_{\varepsilon}(t, x) \|\leq c,$$k-1$是偶数, 则

假设$H=H(t)$满足

于是知$H=H(t)$是方程(2.17) 的一个上解. 使用文献[28] 中相同的方法分析, 我们得

引理2.4得证.

引理2.5  存在序列$\left\{\varepsilon_{j}\right\}_{j \in {\Bbb N}}(\varepsilon_{j}\rightarrow0)$, 函数$u \in L^{\infty}\left([0, \infty) ; H^{1}({{\Bbb R}} )\right) \cap H^{1}([0, T] \times {{\Bbb R}} )$使得

证   对任意$T>0$, 使用引理2.1和(2.3) 式, 有

因为$\left\{u_{\varepsilon}\right\}$在空间$L^{\infty}\left([0, \infty) ; H^{1}({{\Bbb R}} )\right) \cap H^{1}([0, T] \times{{\Bbb R}} )$一致有界, 则(2.19) 式成立. 对于任意$0 \leq s$, $t \leq T$, 我们有

因$\left\{u_{\varepsilon}\right\}$在空间$L^{\infty}\left([0, T] ; H^{1}({{\Bbb R}} )\right)$一致有界且$H^{1}({{\Bbb R}} ) \subset L_{\rm loc}^{\infty} \subset L_{\rm loc}^{2}({{\Bbb R}} )$. 由文献[4]中的引理5得到(2.20) 式成立.

引理2.6   假设$u_{0}(x)\in H^{1}({{\Bbb R}} )$, 则序列$\{Q_{\varepsilon}(t, x)\}_\varepsilon$在空间$W_{\rm loc}^{1, 1}([0, \infty) \times{{\Bbb R}} )$一致有界. 特别地, 存在序列$\left\{\varepsilon_{j}\right\}_{j \in N} \rightarrow0$, 函数$Q\in L^{\infty}([0, T);W^{1, \infty}({{\Bbb R}} ))$和$1<r<\infty$使得

证   为了书写方便, 记$u=u_{\varepsilon}(t, x)$, $p=p_{\varepsilon}(t, x)$. 使用(2.5)式有

使用引理2.2, (2.4)和(2.21) 式有

以及

从而有

注意到

和

我们得到

于是有

使用(2.4)和(2.12) 式得

进一步得

因为

于是有

使用引理2.1–2.3和(2.4) 式得

使用(2.23), (2.24), (2.26)–(2.29) 式和引理2.2, 我们推导出$\{{Q_{\varepsilon}}\}_{\varepsilon}$在空间$W^{1, 1}_{{\rm loc}}([0, \infty)\times {{\Bbb R}} )$有界. 结合文献[24]中引理3.3得(2.22)式.

后续的讨论中, 我们使用上横线来表示空间$L^{r}[(0, \infty) \times{{\Bbb R}} )$$(1<r<2k)$中的上极限.

引理2.7   存在序列$\left\{\varepsilon_{j}\right\}_{j \in N}, \varepsilon_{j} \rightarrow 0,$函数$p \in L_{{\rm loc}}^{r}([0, \infty) \times{{\Bbb R}} ))$和$\overline{p^{2}}\in L_{{\rm loc}}^{r_1}([0, \infty) \times{{\Bbb R}} )),$如果$1<r<2k, 1<r_1<k$, 则

此外, 对任意$(t, x) \in[0, \infty) \times{{\Bbb R}}$有

和

证   由引理2.5知(2.30)和(2.31) 式成立. 结合引理2.5和(2.30) 式, 我们得到(2.33) 式成立.

我们用$\left\{u_{\varepsilon_{j}}\right\}_{j \in N}, \left\{p_{\varepsilon_{j}}\right\}_{j \in N},$$\left\{Q_{\varepsilon_{j}}\right\}_{j \in N}$表示$\left\{u_{\varepsilon}\right\}_{\varepsilon>0}, \left\{p_{\varepsilon}\right\}_{\varepsilon>0},$$\left\{Q_{\varepsilon}\right\}_{\varepsilon>0}$. 假设$G \in C^{1}({{\Bbb R}} )$为任意凸函数, $G^{\prime}$有界且在${{\Bbb R}}$上Lipschitz连续, 利用(2.30) 式, 我们有

由(2.5) 式可得

引理2.8   假设凸函数$G \in C^{1}({{\Bbb R}} )$, $G^{\prime}$有界且Lipschitz连续. 在分布意义下, 则

这里$\overline{pG(p)}$和$\overline{G^{\prime}(p) p^{2}}$表示$p_{\varepsilon} G(p_\varepsilon)$和$G^{\prime}(p_\varepsilon) p_{\varepsilon}^{2}$在空间$L_{\mbox{loc}}^{r_1}([0, \infty) \times {{\Bbb R}} )$($1<r_1<k$) 中的上极限.

证   应用引理2.5–2.7, 在(2.34) 式中令$\varepsilon \rightarrow 0$, 即得(2.35) 式.

注2.1   我们有

令$\eta_{+}:=\eta_{\chi[0, +\infty)}(\eta), \eta_{-}:=\eta_{\chi(-\infty, 0]}(\eta)$, ($\eta \in{{\Bbb R}}$). 由引理2.4得

引理2.9   对任意$t \geq 0, x \in {{\Bbb R}}$, 在分布意义下, 则

证   使用引理2.5–2.7, 在(2.5) 式中令$\varepsilon \rightarrow 0$, 即得(2.38)式.

引理2.10  假设凸函数$G \in C^{1}({{\Bbb R}} )$, $G^{\prime}\in L^{\infty}({{\Bbb R}} )$. 对任意$T>0,$在分布意义下, 有

证   假设$\left\{w_{\delta}\right\}_{\delta}$是定义在$(-\infty, \infty)$上的光滑函数。令$p_{\delta}(t, x):=\left(p(t, .) * w_{\delta}\right)(x)$($*$表示变量$x$的卷积), 那么

且

因凸函数$G \in C^{1}({{\Bbb R}} )$, $G^{\prime}\in L^{\infty}({{\Bbb R}} ),$在(2.40)和(2.41) 式中令$\delta \rightarrow 0$, 即证.

按照文献[4, 28] 的思路, 我们将证明$p_{\varepsilon}^2$是强收敛的.

引理2.11^[28]  若$u_{0} \in H^{1}({{\Bbb R}} ),$则

引理2.12^[28]  若$u_{0} \in H^{1}({{\Bbb R}} )$, $M>0$, 则

这里

且$G_M^+(\rho)=G_M(\rho)\chi_{[0, +\infty)}(\rho)$, $G_M^{-}(\rho)=G_M(\rho)\chi_{(-\infty, 0]}(\rho)$, $\rho\in(-\infty, \infty).$

引理2.13^[28]  假设$M>0,$$G_M(\rho)$满足(2.44) 式, 则

引理2.14  若$u_{0} \in H^{1}({{\Bbb R}} ),$奇数$k\geq 2$, 对任意$t>0$, 则有

证   对任意$T>0,$假设$M>0$充分大, 由(2.35) 式减去(2.39) 式并结合$G_{M}^{+}$, 可得

注意到$G_{M}^{+}$是增函数, 则有

使用引理2.13知

结合(2.36)和(2.37)式, 在空间$\Omega_{M}=(\frac{2}{M-c}, \infty)\times{{\Bbb R}}$中, 我们能找到一个足够大的正常数$M$使得

且

由(2.46)–(2.50) 式得

对(2.51) 式在$(\frac{2}{M-c}, t) \times{{\Bbb R}}$积分得

令$M \rightarrow \infty$, 应用引理2.12, 即得引理2.14的证明.

引理2.15   假设$u_{0} \in H^{1}({{\Bbb R}} ),$则

证   假设常数$M$充分大, 使用引理2.8、2.10和$G_{M}^{-},$我们推导出

因为$-M \leq\left(G_{M}^{-}\right)^{\prime} \leq 0,$则

使用注2.1和引理2.13有

使用(2.53)和(2.54) 式得

对(2.55) 式在$(0, t) \times{{\Bbb R}}$积分, 我们有

使用引理2.14有

使用(2.56)、(2.57) 式和注2.1有

使用等式$M(M+p)^{2}-Mp(M+p)=M^{2}(M+p),$便完成引理2.15的证明.

引理2.16   假设$u_0\in H^1({{\Bbb R}} )$, 则下式在$[0, \infty) \times(-\infty, \infty)$几乎处处成立

证   使用引理2.14和2.15, 我们有

事实上, 从引理2.6可知, 存在一个正常数$W$使得

应用注2.1和引理2.13有

因为函数$G \rightarrow G_{+}+\left(G_{M}^{\prime}\right)^{\prime}(\rho)$是凸的, 则

由(2.59) 式得

让$M$充分大, 我们有

由(2.58)和(2.60) 式得

使用Gronwall不等式, 我们有

使用Fatou引理, 注2.1和(2.32)式, 令$M \rightarrow \infty$, 则

于是便知引理2.16成立.

定理3.1   假设$u_{0}(x) \in H^{1}({{\Bbb R}} ),$那么柯西问题(2.1) 或(2.2) 至少存在一个整体弱解$u(t, x)$且满足如下性质:

$\rm (a)$存在正常数$c=c(\|u_{0}\|_{H^{1}({{\Bbb R}} )}$使得

$\rm (b)$存在依赖$\left\|u_{0}\right\|_{H^{1}({{\Bbb R}} )}$, $T$和$k$的正常数$c_0$, 使得

证   (a) 和(b) 可由引理2.3和2.4直接得到, 由引理2.16, 在空间$L^2_{{\rm loc}}([0, \infty)\times{{\Bbb R}} )$中, 我们有

于是, 我们知道$u$是问题(2.2) 的一个整体弱解(在定义2.1意义下).