本文研究如下带有对数非线性项的Kirchhoff方程

多解的存在性, 其中$a, b$为正常数, $p\in(4, 6)$, $V(x)\in {\cal C}({{\Bbb R}} ^{3}, {{\Bbb R}})$为位势函数, 且$\inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} ^{3}}V(x) > 0$. 早在1883年, 作为D'Alembert波方程的延伸, Kirchhoff^[1]首次提出了如下的Kirchhoff模型

随后, Lions^[2]利用泛函分析的方法导出了如下Kirchhoff方程

该模型用来描述横向振动引起的弹性弦的弦长变化, 其中$u$表示位移, $f$表示外力, $b$表示初始张力, $a$与弦的固有性质有关^[3-6], 而问题(1.1) 则与方程(1.2) 对应的稳态相关.

定义空间

并且在$H$中引入内积

则$H$为Hilbert空间, 并且$H$上的范数为

方程(1.1) 对应的能量泛函$I: H({{\Bbb R}} ^{3})\to {{\Bbb R}}$如下

近年来, 许多学者对下面的非线性Kirchhoff方程

进行了大量的研究, 其中$\Omega\subset{{\Bbb R}} ^{N}$是一个有界光滑区域, 且$a, b > 0$. 利用传统的变分方法, Li, Li和Shi^[7]证明了方程(1.4) 正解的存在性, Hu和Lu^[8]证明了方程(1.4) 正解的多重性, 随后Sun和Zhang^[9]证明了方程(1.4) 含有基态解, 等等. 当$V(x)=0$时, 问题(1.4) 简化为如下方程

Zhang和Perera^[10]利用临界点理论和下降流不变集方法得到了问题(1.5) 在$f(x, u)$满足Ambrosetti-Rabinowitz条件时变号解的存在性. 在文献[11] 中, Shuai结合约束变分法和形变引理, 证明了当$f(x, u)=f(u)$满足Nehari型单调条件时, 问题(1.5) 有一个最小能量变号解. 当$V(x)\neq0$且为径向函数时, Deng, Peng和Shuai^[12]证明了在${{\Bbb R}} ^3$中方程(1.4)具有变号解.

另一方面, 在方程(1.1) 中令$a=1$, $b=0$, 则得到如下${{\Bbb R}} ^N$中的Schrödinger方程

我们知道在方程(1.6) 中, 当$p=2$时存在$u\in H^1 ({{{\Bbb R}} ^N})$使得$\int_{{{\Bbb R}} ^N} u^2 \log u^2 {\rm d}x =-\infty$. 由此导致方程(1.6)对应的能量泛函在$H^1 ({{\Bbb R}} ^N)$中没有很好的定义, 传统的变分方法不再适用. 为了克服这一困难, Shuai^[13]通过定义方向导数, 借助约束极小化方法证明了$p=2$时问题(1.6) 的正解及变号解的存在性. 同时, 其他的学者也应用了不同的方法来克服Schrödinger方程(1.6) 中由对数非线性项$u\log u^2$所带来的问题, 具体参看文献[14-19]. 随后, Wen, Tang和Chen^[20]研究了${{\Bbb R}} ^3$中有界光滑区域上方程(1.1)变号解的存在性.

受上述工作的启发, 本文考虑问题(1.1) 在不同位势条件下正解或变号解的存在性. 由于对数非线性项$|u|^{p-2}u\log u^{2}$符号不定且也不满足文献[11] 中的Nehari型单调条件, 因此处理一般非线性项的方法不再适用于方程(1.1). 另外, 非局部项$\big(\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | \nabla u \right |^{2}{\rm d}x\big)\Delta u$的出现, 由于${{\Bbb R}} ^3$的无界性而缺乏紧性, 这些都为我们的研究带来了困难. 这里我们需要指出的是, 对于$q\in (p, 2^{\ast})$, 我们有

因此对于任意$\epsilon > 0$, 存在$C_{\epsilon} > 0$使得下面的不等式成立

由上式和文献[21, Lemma 3.10], 我们可以得出$I \in {\cal C}^{1}(H, {{\Bbb R}})$, 并且

泛函$I$的临界点即为方程$(1.1)$的弱解. 若$u\in H({{\Bbb R}} ^3)$是方程$(1.1)$的解且$u^{\pm}\neq0$, $u$就是方程$(1.1)$的一个变号解, 这里$u^{+}(x)=\mbox{max}\left \{ u(x), 0 \right \}, \ u^{-}(x)=\mbox{min}\left \{ u(x), 0 \right \}$.

那么, 对于任意$u\in H$, 我们有

介于此, 我们定义Nehari流形${\cal N}$和变号Nehari流形${\cal M}$如下

本文要考虑方程$(1.1)$的正解与变号解的存在性问题, 即可转化为研究如下Nehari流形上的极小化问题

本文的主要结果如下:

定理1.1  如果存在$u\in {\cal N}$使得$I(u)=c$, 那么$u$是方程$(1.1)$的一个正解; 如果存在$u\in {\cal M}$使得$I(u)=m$, 那么$u$是方程$(1.1)$的一个变号解并且带有两个节点域.

若可以证明极小化问题(1.9) 可达, 则可得到方程(1.1) 正解和变号解的存在性. 由于位势函数$V(x)$有不同的类型, 本文仅考虑如下两种情况:

$(V_{1})$$\lim\limits_{\left | x \right | \to \infty}V(x)=+\infty$.

$(V_{2})$$V(x)$关于每一个变量$x_{1}, x_{2}, x_{3}$是$1$ -周期的.

通过下面的定理, 我们给出极小化问题(1.9) 在$(V_{1})$, $(V_{2})$条件下的可达情况, 即

定理1.2  若$V$满足$(V_{1})$, 则$c$和$m$可达; 若$V$满足$(V_{2})$, 则$c$可达.

本文的结构如下: 在第2节中, 我们证明了一些重要的引理; 随后, 在第3节中利用形变引理与度理论证明了定理1.1; 最后, 在第4节中借助集中紧引理和含有对数非线性项$\left | u\right |^{p}{\rm log}u^{2}$的Brézis-Lieb引理证明了定理1.2.

为了后文叙述的准确性, 我们定义$L^{s}({{\Bbb R}} ^{3}) \ (1\leq s < +\infty)$是通常的Lebesgue空间, 其上的范数为

本节给出证明主要定理所需要的一些重要引理.

引理2.1   对任意$u\in H$且$u^{\pm}\neq0$, 存在正常数$(s_{0}, \ t_{0})$使得$s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-} \in {\cal M}$.

证   对任意$s, t\in(0, +\infty)$, 定义函数

由(1.8) 式得

在(2.1) 式中令$t=s$, 则

容易得到: 对于$0 < s < 1$足够小时, 有$g(s, s) > 0$; 而当$s > 1$足够大时, 有$g(s, s) < 0$. 类似可得: 当$0 < t < 1$足够小, 有$h(t, t) > 0$; 当$t > 1$足够大, 有$h(t, t) < 0$.

因此, 存在$0 < r < R$使得

由(2.1)–(2.3) 式, 有

根据Miranda定理(参见文献[22]) 知存在$r < s_{0}, t_{0} < R$使得$g(s_{0}, t_{0})=h(s_{0}, t_{0})=0$, 即$s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-}\in {\cal M}$.

引理2.2   对于任意$u\in {\cal M}$, 当$(s, t)\in(0, \infty)\times(0, \infty)$且$(s, t)\neq(1, 1)$时, 有$I(su^{+}+tu^{-}) < I(u)$成立.

证   记$\Omega^{+}= \{ x\in {{\Bbb R}} ^{3}: u(x)\ge 0\}, \Omega^{-}= \{ x\in {{\Bbb R}} ^{3}: u(x) < 0\}.$因此, 对任意$s, t > 0$, 我们有

结合(1.3) 和(1.8) 式, 我们有

由(2.4) 式可得

由$u\in{\cal M}$, 可得

定义函数$f(x)=2(1-x^{p})+px^{p}{\rm log}x^{2}$, 其中$x\in(0, 1)\cup(1, +\infty)$. 通过计算, 可得${f}'(x)=p^{2}x^{p-1}{\rm log}x^{2}$, 即当$x\in(0, 1)$时, ${f}'(x) < 0$; 而$x\in(1, +\infty)$时, ${f}'(x) > 0$. 因此, 当$x\in(0, 1)\cup(1, +\infty)$时, 有

同时, 我们知道当$a > 0$且$a\neq 1$时, 函数$h(x)=\frac{1-a^{x}}{x}$在$(0, +\infty)$上是单调递减的. 因此, 结合(2.5) 式得

于是

因此, 当$(s, t)\in(0, \infty)\times(0, \infty)$且$(s, t)\neq(1, 1)$时, 有$I(su^{+}+tu^{-}) < I(u)$成立.

由引理2.1和引理2.2, 我们可以得到以下推论.

推论2.1   对任意$u\in H$且$u^{\pm}\neq0$, 存在唯一的正常数$(s_{0}, \ t_{0})$使得$s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-} \in {\cal M}$.

证   $(s_0, t_0)$的存在性已由引理2.1证得, 此处只需证明其唯一性. 假设存在两个正常数$(s_{1}, t_{1})$, $(s_{2}, t_{2})$且$s_{1}\ne s_{2}$, $t_{1}\ne t_{2}$, 使得$g(s_{1}, t_{1})=g(s_{2}, t_{2})=0, h(s_{1}, t_{1})=h(s_{2}, t_{2})=0$. 因此, 令$s=\frac{s_{2}}{s_{1}}$, 则$s\neq 1$, 令$t=\frac{t_{2}}{t_{1}}$, 则$t\neq 1$, 那么由引理2.2可得

同样地, 有

(2.6) 式与(2.7) 式相互矛盾, 因此$(s_{0}, t_{0})$是唯一的.

引理2.3   对任意的$u\in H$且$u\neq 0$, 存在唯一的$t_{0} > 0$使得$t_{0}u\in {\cal N}$.

证   首先证明$t_{0}$的存在性. 对任意$t\in(0, +\infty)$, 定义函数$g(t)=\left \langle {I}'(tu), tu \right \rangle$, 则有

结合(1.7) 式可得

如果$\left \langle {I}'(u), u \right \rangle=0$, 那么$t_{0}=1$, 因此我们只需考虑当$\left \langle {I}'(u), u \right \rangle\neq 0$时$t_{0}$的存在性. 因为$4 < p < 6$, 由Sobolev嵌入定理可知存在常数$C > 0$使得$\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u \right |^{p}{\rm d}x\le C\left \| u \right \|^{p} < +\infty$. 通过计算可得$\lim\limits_{t \to 0^{+}}t^{p}{\rm log}t^{2}=0$, 因此$\lim\limits_{t \to 0^{+}}g(t)=0$. 那么当$0 < t < 1$且足够小时, 有$g(t) > 0$. 又$\lim\limits_{t \to +\infty }t^{p}{\rm log}t^{2}=+\infty$, 当$t > 1$且足够大时, $g(t) < 0$. 又因为$g(t)$是连续的, 于是存在$t_{0} > 0$使得$g(t_{0})=0$. 与推论2.1的证明类似, 我们可以得到$t_{0}$的唯一性.

引理2.4   假设存在$u\in H$且$u^{\pm}\neq 0$使得$\left \langle {I}'(u), u^{\pm} \right \rangle \leq 0$, 则在推论2.1中得到的唯一正常数$(s_{0}, \ t_{0})$满足$0 < s_{0}, t_{0} \leq 1$.

证   由推论2.1可知, 存在唯一的正常数$(s_{0}, t_{0})$使得$s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-}\in {\cal M}$. 假设$s_{0}\geq t_{0} > 0$, 由$s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-}\in {\cal M}$得

因此可得

由$\left \langle {I}'(u), u^{+} \right \rangle\leq 0$得

上式两边同乘以$-s_{0}^{p}$得

结合(2.8) 和(2.9) 式可得

若$s_{0} > 1$, 则上式的右边是正数, 而左边是负数, 矛盾, 故$s_{0}\leq 1$; 同理可得$t_{0}\leq 1$.

在本节中, 我们主要应用形变引理证明$c$和$m$的可达元均是泛函$I$的临界点.

定理1.1的证明   假设$\tilde{u}=\tilde{u}^{+}+\tilde{u}^{-}\in {\cal M}$且$I(\tilde{u})=m$, 由引理2.2有对于$(s, t)\in {{\Bbb R}} _{+}\times {{\Bbb R}} _{+}$且$(s, t)\ne(1, 1)$,

我们利用反证法来证明. 假设${I}'(\tilde{u})\ne 0$, 那么存在$\delta > 0$和$\theta > 0$使得

我们定义$D: =(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})\times (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$, 由引理2.2有

对于$\varepsilon : = \min\left \{ (m-\tilde{m})/2, \theta \delta /8 \right \}$和$S_{\delta}: =B(\tilde{u}, \delta)$, 通过文献[21, Lemma 2.2]知存在$\eta\in{\cal C}([0, 1]\times H({{\Bbb R}} ^{3}), H({{\Bbb R}} ^{3}))$使得

(ⅰ) 当$v\notin I^{-1}([m-2\varepsilon, m+2\varepsilon])\cap S_{2\delta}$时, 有$\eta(1, v)=v$;

(ⅱ) $\eta(1, I^{m+\varepsilon}\cap S_{\delta}) \subset I^{m-\varepsilon }$;

(ⅲ) $I(\eta(1, v))\le I(v), \ \forall v\in H({{\Bbb R}} ^{3})$.

由引理2.2和(ⅲ), 我们有

由引理2.2我们可以得到: 对于$s, t > 0$有$I(s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-})\le I(\tilde{u})=m$, 从(ⅱ) 可得

因此, 由(3.2) 和(3.3) 式可得

下面我们证明$\eta(1, g(D))\cap {\cal M}\ne \emptyset$, 这与$m$的定义相矛盾. 定义$g(s, t)=s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-}$, 令$\gamma (s, t): =\eta(1, g(s, t))$,

和

由$\tilde{u}\in {\cal M}$, 通过推论2.1可知存在唯一正常数$(s, t)=(1, 1)$使得$s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-}\in {\cal M}$. 此外, $s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-}\in {\cal M}$等价于$(s, t)$是下列方程的解

因此, 方程(3.5) 在$D$中有唯一解$(s, t)=(1, 1)$. 通过拓扑度理论, 可得${\rm deg}(\Psi_{1}, D, 0)=1$. 由(3.1) 式和(ⅰ) 可得在$\partial D$上有$\gamma =g$. 故我们可以得到

这意味着存在$(s_{0}, t_{0})\in D$使得$\Psi_{2}(s_{0}, t_{0})=0$, 即$\eta (1, g(s_{0}, t_{0}))=\gamma(s_{0}, t_{0})\in {\cal M}$. 这与(3.4) 式相矛盾, 因此${I}'(\tilde{u})=0$. 所以$m$的可达元是泛函$I$的临界点. 类似地, 我们也可以证明$c$的可达元是泛函$I$的临界点.

下面证明$u$有两个节点域. 假设$u$有两个以上的节点域, 令$u=u_1 +u_2 +u_3, u_i \neq 0$, $i=1, 2, 3$, 其中$u_1 > 0, u_2 < 0$, $D_1 =\left\{x\in {{\Bbb R}} ^3\ \big|\ u_1 > 0\right\}$, $D_2 =\left\{x\in {{\Bbb R}} ^3\ \big|\ u_2 < 0\right\}$, $D_1 \cap D_2 =\emptyset$, $u_1 \big|_{{{\Bbb R}} ^3\setminus D_1 }=0$, $u_2 \big|_{{{\Bbb R}} ^3\setminus D_2 }=0$, $u_3 \big|_{D_1 \cup D_2 }=0$. 又令$v: =u_{1}+u_{2}$, 我们有$v^{+}=u_{1}$和$v^{-}=u_{2}$, 即$v^{\pm} \neq 0$. 通过推论2.1知存在唯一的正数$(s_{v}, t_{v})$使得$s_{v}v^{+}+t_{v}v^{-}\in {\cal M}$, 即$s_{v}u_{1}+t_{v}u_{2}\in {\cal M}$且$I(s_{v}u_{1}+t_{v}u_{2})\geq m$.

此外, 我们已知$\langle {I}'(u), u_{i} \rangle=0$, $i=1, 2, 3$, 即有

因此$\left \langle {I}'(v), v^{+} \right \rangle=-b\left | \nabla v^{+} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}$. 同样地, $\left \langle {I}'(v), v^{-} \right \rangle=-b\left | \nabla v^{-} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}$, 故$\left \langle {I}'(v), v^{\pm} \right \rangle < 0$, 由引理2.4知$0 < s_{v}, \ t_{v} < 1$.

因此

又因为

因此

另外

结合(3.6) 和(3.7) 式可得

由此导出矛盾, 因此$u_{3}=0$即$u$只有两个节点域.

最后, 假设$u\in {\cal N}$满足$I(u)=c$, 下证$u > 0$. 因为$u$为${\cal N}$上的极小元, 则$|u|$也是约束在${\cal N}$上的极小元, 故可假设$u\ge0$. 由强极值原理(参见文献[23])可得$u(x) > 0$.

本节中, 我们首先证明含有对数非线性项$\left |u \right |^{p}{\rm log}u^{2}$的Brézis-Lieb引理.

引理4.1  假设$\{u_{n}\}$是$H^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$空间中的有界序列, 则存在$\{u_{n}\}$的子列, 仍记为$\{u_{n}\}$以及$u \in H^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$, 使得$u_{n}\to u$, a.e. $x\in{{\Bbb R}} ^3$, 且有

为了证明引理4.1, 我们需要如下的引理4.2和引理4.3.

引理4.2^{[24, Theorem 2, Example (b)]}  假设$j: {{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}}$是连续的凸函数且$j(0)=0$. 令$f_{n}=f+g_{n}: {{{\Bbb R}}^{\mathit{N}}} \rightarrow {{\Bbb R}}$是一个可测函数列. 当$j$与$f_n$满足以下条件:

$\rm (i)$$g_{n}\to 0\ \mbox{a.e.}\ x\in{{\Bbb R}} ^N$,

$\rm (ii)$$j(Mf)\in L^{1}({{{\Bbb R}}^{\mathit{N}}})$对任意实数$M$都成立,

$\rm (iii)$存在$k > 1$使得$\{j(kg_{n})-kj(g_{n})\}$在$L^{1}({{{\Bbb R}}^{\mathit{N}}})$上一致有界, 则

引理4.3  假设$f(x)$是一个凸函数且$f(0)=0$, 则当$0\leq x\leq y$时有$f(y-x)\le f(y)-f(x)$成立.

证   定义函数$g(y)=f(y)-f(x)-f(y-x)$, 显然$g(x)=0$. 经过计算有: ${g}'(y)={f}'(y)-{f}'(y-x)$. 由$f(x)$是凸函数, 可知${f}''(x)\geq 0$, 即${f}'(x)$是增函数. 因此有${g}'(y)={f}'(y)-{f}'(y-x)\geq 0,$故$g(y)$是增函数, 则有$g(y)=f(y)-f(x)-f(y-x)\geq g(x)=0,$因此结论成立.

引理4.1的证明   定义函数

和

通过计算可知函数$A(s)$, $B(s)$在$(0, +\infty)$上是正的凸的增函数, 并且有$A(0)=0, \ B(0)=0$. 而且存在$C_{q} > 0$使得

因为$\{u _{n}\}$在空间$H^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$上有界, 因此由Sobolev嵌入定理及(4.3) 式可知

即$\left \{ B\left (\left | u_{n}\right | \right) \right \}$在空间$L^{1}\big({{\Bbb R}} ^{3}\big)$上是有界的. 又因为

因此$\left \{ \left | u_{n}\right |^{p}{\rm log}u^{2}_{n} \right \}$在空间$L^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$上有界, 及$A(|u_{n}|)=B(|u_{n}|)-|u_{n}|^{p}{\rm log}u_{n}^{2}$, 可得

即$\left \{A\big(\left |u_{n}\right |\big)\right\}$在$L^{1}\big({{\Bbb R}} ^{3}\big)$中有界. 由Fatou引理, 我们有

因此, $A(u), B(u)$在空间$L^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$上有界.

因为$s^{p}{\rm log}s^{2}=B\left (s\right)-A\left (s \right)$, 因此我们只需对函数$A$和$B$应用引理4.2就可以得到我们所需的结论. 下面我们验证函数$A$, $B$满足引理4.2的三个条件.

令引理4.2中的$f_{n}=u_{n}, \ f=u, \ g_{n}=u_{n}-u$, 由$u_{n}\to u$在${{\Bbb R}} ^{3}$中几乎处处成立可知$g_{n}=u_{n}-u \to 0$在${{\Bbb R}} ^{3}$中几乎处处成立, 即函数$A$, $B$满足引理4.2中条件(ⅰ).

对于任意实数$M$, 由(4.2) 式得

由$A(|u|)\in L^{1}\big({{\Bbb R}} ^{3}\big)$上有界可知$A(Mu)\in L^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$. 又由(4.3) 式有

即$B(Mu)\in L^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$. 因此函数$A$, $B$满足引理4.2中条件(ⅱ).

又由(4.2) 式我们有

即

由引理4.3有$A(u_{n}-u)\le A(u_{n})-A(u)$, 又因为$\{A(u_{n})\}, \ A(u)$在$L^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$中有界, 因此$\{A(u_{n}-u)\}$在$L^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$中有界, 故$\{A(2(u_{n}-u))-2A(u_{n}-u)\}$在$L^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$中有界.

类似地, 由(4.3) 式有

对(4.4) 式, 结合引理4.3以及$B(u)$在$L^1 ({{\Bbb R}} ^3)$中的有界性, 可以得到$\{B(2(u_{n}-u))-2B(u_{n}-u)\}$在$L^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$中有界. 从而当$k=2$时, 函数$A$, $B$满足引理4.2中的条件(ⅲ).

因此由引理4.2的结论可知

即(4.1) 式成立, 引理4.1得证.

在证明定理1.2之前, 我们还需要下面的引理.

引理4.4   对于任意$|u|\ge 1$, 当$q\in(p, 6)$时, 有$|u|^{p}{\rm log}u^{2}\le C|u|^{q}$成立, 其中$C$为正常数.

证   取$\delta > 0$且足够大时, 即当$|u|\in [1, \delta]$时, 我们有${\rm log}u^{2}\le C, \ |u|^{p}\le |u|^{q}$, 即$|u|^{p}{\rm log}u^{2}\le C|u|^{q}$. 又因为对任意的$\delta_{1} > 0$, $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{{\rm log}x}{x^{\delta_{1}}}=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1}{\delta_{1} x^{\delta_{1}}}=0$一致成立. 因此, 当$|u|\in (\delta, +\infty)$时, 有${\rm log}u^{2}\le (u^{2})^{\delta_{1}}$, 取$\delta_{1} =\frac{q-p}{2} > 0$, 从而我们有${\rm log}u^{2}\le |u|^{q-p}$, 即$|u|^{p}{\rm log}u^{2}\le |u|^{q}$. 综上, 有$|u|^{p}{\rm log}u^{2}\le C|u|^{q}$成立.

引理4.5  假设函数$V$满足条件$(V_{1})$, 则$c > 0$和$m > 0$是可达的.

证   我们首先证明$m > 0$是可达的. 假设$\{u_{n}\}\subset {\cal M}$是$m$的一个极小化序列, 即当$n\rightarrow +\infty$有$I(u_{n})\to m.$通过计算有$\left \langle {I}'(u_{n}), u_{n}\right \rangle =\left \langle {I}'(u_{n}), u_{n}^{+}\right \rangle +\left \langle {I}'(u_{n}), u_{n}^{-}\right \rangle=0$, 即$J(u_{n})=0$.

结合(1.3) 和(1.8) 式有

从而

即$\left \{ u_{n}\right \}$在空间$H({{\Bbb R}} ^{3})$中有界, 从而$\left \{ u_{n}\right \}$在空间$H^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$中有界. 因此存在子列, 仍记为$\left \{ u_{n}\right \}$, 以及$u\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$使得当$n \rightarrow \infty$时有

由$\left \{ u_{n}\right \}\subset {\cal M}$及(1.8) 式, 对任意$q \in (p, 6)$, 有

又由引理4.4得

由文献[25, Lemma 2.3]知: 当条件$(V_{1})$满足时, $H \hookrightarrow L^{s}({{\Bbb R}} ^{3})(2\leq s < 6)$是紧的. 因此, 存在常数$C > 0$使得

因此$u^{\pm}\neq 0$.

此外, 通过Sobolev嵌入定理及(4.5) 式有

即

假设当$n\to \infty$时有$\left \| u_{n} \right \|\to 0$, 那么由(4.7) 式可得$\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{n} \right |^{q}{\rm d}x \to 0$. 由紧嵌入可得$\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u\right |^{q}{\rm d}x=0$, 这与(4.6) 式矛盾, 即假设不成立. 因此我们可知

通过(1.8) 式和文献[21, Lemma A.1], 以及范数的弱下半连续性, Fatou引理及Lebegue控制收敛定理有

由此可得

类似地

结合(1.8) 式, 即有$\left \langle {I}'(u), u^{\pm}\right \rangle \leq 0$. 由引理2.4可知存在$s_{0}, t_{0}\in(0, 1]$使得$\tilde{u}=s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-} \in {\cal M}$. 因此

这意味着$s_{0}=t_{0}=1$, 即$\tilde{u}=u\in{\cal M}$且满足$I(u)=m$. 类似可证$c > 0$可达.

引理4.6  假设函数$V$满足条件$(V_{2})$, 则$c > 0$可达.

证   假设$\{u_{n}\}\subset {\cal N}$是$c$的一个极小化序列, 即当$n \rightarrow +\infty$有$I(u_{n})\to c.$

因此

类似引理4.5的证明, 可知$\left \{ u_{n}\right \}$在空间$H^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$中有界且$\|u_n \|$不为0.

因此我们有如下的结论: 存在$\left \{ x_{n}\right \}\subset {{\Bbb R}} ^{3}$使得

其中$B_{1}(y)=\left \{ z\in {{\Bbb R}} ^{3}: \left | y-z \right | < 1 \right \}$.

下面用反证法来证明该结论. 假设$\lim\limits_{n\to \infty}\sup\limits_{y \in {{\Bbb R}} ^{3}}\int_{B_{1}(y)}\left | u_{n}\right |^{p}{\rm d}x=0$. 由集中紧引理(参见文献[21, Theorem 1.34] 或[26])可知: 对任意$s \in (4, 6)$, 在空间$L^{s}({{\Bbb R}} ^{3})$中有$u_{n}\to 0$. 此外, 因为$\left \{ u_{n}\right \}\subset {\cal N}$, 对于任意$p < q < 6$有

因此, 存在$C > 0$使得

与假设矛盾. 因此(4.10) 式成立.

注意到对于任意序列$x_{n}\in {{\Bbb R}} ^{3}$, 我们有$\left \{ u_{n}(\cdot +x_{n})\right \}$仍然是$c$的一个有界极小化序列. 记$v_{n}: =u_{n}(\cdot+x_{n})$, 从而存在子列仍记为$\{v_{n}\}$以及$v \in H^{1}({{\Bbb R}} ^{3})\setminus \left \{ 0 \right \}$使得当$n\rightarrow \infty$时, 有

下面, 我们证明$J(v)=0$且$I(v)=c$. 首先, 假设$J(v) < 0$. 通过引理2.4, 存在$0 < t_{0} < 1$使得$t_{0}v \in {\cal N}$. 由$c$的定义和范数的弱下半连续性, 有

由此导出矛盾. 另一方面, 若假设$J(v) > 0$, 由引理4.1有

又由$v_{n}\rightharpoonup v$在$H^{1}({{\Bbb R}} ^{3})$以及文献[21, Lemma 1.32], 可得

联立(4.11)–(4.14) 式, 我们可以得到

结合$J(v) > 0$可知: 当$n$充分大时, 有$J(v_{n}-v) < 0$. 类似可得: 存在$0 < t_{0} < 1$使得$t_{0}(v_{n}-v)\in {\cal N}$, 因此$I[t_{0}(v_{n}-v)]\geq c$. 所以

进一步, 由(4.12) 和(4.13) 式可得

因为$\left \| v \right \|^{2} > 0$, $\left | \nabla v\right |_{2}^{4} > 0$及$\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v \right |^{p}{\rm d}x > 0$, 由此上式不成立得到矛盾. 所以$J(v)=0$, 即$v \in {\cal N}$. 同时, 由范数的弱下半连续性有

这意味着$I(v)=c$且有$v\in {\cal N}$, 即引理得证.