本文研究如下带有对数非线性项的Kirchhoff方程

(1.1) $ \begin{equation} -\Big(a+b\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | \nabla u \right |^{2}{\rm d}x\Big)\Delta u+V(x)u=|u|^{p-2}u{\rm log}u^{2}, \ \ \ x\in {{\Bbb R}} ^3 \end{equation} $

多解的存在性, 其中$ a, b $为正常数, $ p\in(4, 6) $, $ V(x)\in {\cal C}({{\Bbb R}} ^{3}, {{\Bbb R}}) $为位势函数, 且$ \inf\limits_{x\in{{\Bbb R}} ^{3}}V(x) > 0 $. 早在1883年, 作为D'Alembert波方程的延伸, Kirchhoff^[1]首次提出了如下的Kirchhoff模型

$ \rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\Big(\frac{P_0}{h}+\frac{E}{2L}\int^{L}_0 \left|\frac{\partial u}{\partial x}\right|^2 {\rm d}x\Big)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0. $

随后, Lions^[2]利用泛函分析的方法导出了如下Kirchhoff方程

(1.2) $ \begin{equation} u_{tt}-\Big(a+b \int_{\Omega}|\nabla u|^2 {\rm d}x\Big)\Delta u=f(x, u), \end{equation} $

该模型用来描述横向振动引起的弹性弦的弦长变化, 其中$ u $表示位移, $ f $表示外力, $ b $表示初始张力, $ a $与弦的固有性质有关^[3-6], 而问题(1.1) 则与方程(1.2) 对应的稳态相关.

定义空间

$ H: =\Big\{ u\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{3}):\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}V(x)u^{2}{\rm d}x< +\infty \Big\}\subset H^1 ({{\Bbb R}} ^3), $

并且在$ H $中引入内积

$ \langle u, v\rangle= \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(a\nabla u \nabla v+V(x)uv){\rm d}x, \ \forall u, v \in H, $

则$ H $为Hilbert空间, 并且$ H $上的范数为

$ \left \| u \right \|^{2}:=\langle u, u\rangle=\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(a\left | \nabla u \right |^{2}+V(x)u^{2}){\rm d}x. $

方程(1.1) 对应的能量泛函$ I: H({{\Bbb R}} ^{3})\to {{\Bbb R}} $如下

(1.3) $ \begin{eqnarray} I(u)&=&\frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(a\left | \nabla u \right |^{2}+V(x)u^{2}){\rm d}x+\frac{b}{4} \Big(\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | \nabla u \right |^{2}{\rm d}x\Big)^{2} {}\\ & &+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u \right |^{p}{\rm d}x -\frac{1}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left |u\right |^{p}{\rm log}u^{2}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

近年来, 许多学者对下面的非线性Kirchhoff方程

(1.4) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} -\Big(a+b \int_{\Omega}\left| \nabla u \right|^{2}{\rm d}x\Big)\Delta u+V(x)u=f(x, u), & x\in\Omega, \\ u=0, & x\in\partial\Omega \end{array}\right. \end{equation} $

进行了大量的研究, 其中$ \Omega\subset{{\Bbb R}} ^{N} $是一个有界光滑区域, 且$ a, b > 0 $. 利用传统的变分方法, Li, Li和Shi^[7]证明了方程(1.4) 正解的存在性, Hu和Lu^[8]证明了方程(1.4) 正解的多重性, 随后Sun和Zhang^[9]证明了方程(1.4) 含有基态解, 等等. 当$ V(x)=0 $时, 问题(1.4) 简化为如下方程

(1.5) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} -\Big(a+b \int_{\Omega}\left| \nabla u \right|^{2}{\rm d}x\Big)\Delta u=f(x, u), & x\in\Omega, \\ u=0, & x\in\partial\Omega. \end{array}\right. \end{equation} $

Zhang和Perera^[10]利用临界点理论和下降流不变集方法得到了问题(1.5) 在$ f(x, u) $满足Ambrosetti-Rabinowitz条件时变号解的存在性. 在文献[11] 中, Shuai结合约束变分法和形变引理, 证明了当$ f(x, u)=f(u) $满足Nehari型单调条件时, 问题(1.5) 有一个最小能量变号解. 当$ V(x)\neq0 $且为径向函数时, Deng, Peng和Shuai^[12]证明了在$ {{\Bbb R}} ^3 $中方程(1.4)具有变号解.

另一方面, 在方程(1.1) 中令$ a=1 $, $ b=0 $, 则得到如下$ {{\Bbb R}} ^N $中的Schrödinger方程

(1.6) $ \begin{equation} -\Delta u+V(x)u=\left | u \right |^{p-2}u {\rm log}u^{2}, \ x \in {{\Bbb R}} ^{N}. \end{equation} $

我们知道在方程(1.6) 中, 当$ p=2 $时存在$ u\in H^1 ({{{\Bbb R}} ^N}) $使得$ \int_{{{\Bbb R}} ^N} u^2 \log u^2 {\rm d}x =-\infty $. 由此导致方程(1.6)对应的能量泛函在$ H^1 ({{\Bbb R}} ^N) $中没有很好的定义, 传统的变分方法不再适用. 为了克服这一困难, Shuai^[13]通过定义方向导数, 借助约束极小化方法证明了$ p=2 $时问题(1.6) 的正解及变号解的存在性. 同时, 其他的学者也应用了不同的方法来克服Schrödinger方程(1.6) 中由对数非线性项$ u\log u^2 $所带来的问题, 具体参看文献[14-19]. 随后, Wen, Tang和Chen^[20]研究了$ {{\Bbb R}} ^3 $中有界光滑区域上方程(1.1)变号解的存在性.

受上述工作的启发, 本文考虑问题(1.1) 在不同位势条件下正解或变号解的存在性. 由于对数非线性项$ |u|^{p-2}u\log u^{2} $符号不定且也不满足文献[11] 中的Nehari型单调条件, 因此处理一般非线性项的方法不再适用于方程(1.1). 另外, 非局部项$ \big(\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | \nabla u \right |^{2}{\rm d}x\big)\Delta u $的出现, 由于$ {{\Bbb R}} ^3 $的无界性而缺乏紧性, 这些都为我们的研究带来了困难. 这里我们需要指出的是, 对于$ q\in (p, 2^{\ast}) $, 我们有

$ \lim\limits_{t \to 0}\frac{t^{p-1}{\rm log}t^{2}}{t}=0, \ \lim\limits_{t \to \infty}\frac{t^{p-1}{\rm log}t^{2}}{t^{q-1}}=0. $

因此对于任意$ \epsilon > 0 $, 存在$ C_{\epsilon} > 0 $使得下面的不等式成立

$ \left | t \right |^{p-1}\left | {\rm log}t^{2} \right |\le \epsilon \left | t \right |+C_{\epsilon}| t |^{q-1}, \ \forall \ t\in {{\Bbb R}} \setminus \{ 0 \}. $

由上式和文献[21, Lemma 3.10], 我们可以得出$ I \in {\cal C}^{1}(H, {{\Bbb R}}) $, 并且

$ \begin{eqnarray*} && \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(a\nabla u\nabla \varphi +V(x)u\varphi ){\rm d}x+b\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | \nabla u \right |^{2}{\rm d}x\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla u\nabla \varphi {\rm d}x\\ &=&\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|u|^{p-2}u\varphi {\rm log}u^{2}{\rm d}x, \quad \forall u, \varphi \in H^{1}({{\Bbb R}} ^{3}). \end{eqnarray*} $

泛函$ I $的临界点即为方程$ (1.1) $的弱解. 若$ u\in H({{\Bbb R}} ^3) $是方程$ (1.1) $的解且$ u^{\pm}\neq0 $, $ u $就是方程$ (1.1) $的一个变号解, 这里$ u^{+}(x)=\mbox{max}\left \{ u(x), 0 \right \}, \ u^{-}(x)=\mbox{min}\left \{ u(x), 0 \right \} $.

那么, 对于任意$ u\in H $, 我们有

(1.7) $ \begin{equation} J(u):=\left \langle{I}'(u), u \right \rangle=\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(a\left | \nabla u \right |^{2}+V(x)u^{2}){\rm d}x+b \Big(\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | \nabla u \right |^{2}{\rm d}x\Big)^{2}-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|u| ^{p}{\rm log}u^{2}{\rm d}x, \end{equation} $

(1.8) $ \begin{eqnarray} \left \langle {I}'(u), u^{\pm} \right \rangle & = &\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}[a\left | \nabla u^{\pm }\right |^{2}+V(x)\left | u^{\pm}\right |^{2}]{\rm d}x+b\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | \nabla u \right |^{2}{\rm d}x\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | \nabla u^{\pm} \right |^{2}{\rm d}x \\ &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u^{\pm } \right |^{p}{\rm log}\left | u^{\pm } \right |^{2}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

介于此, 我们定义Nehari流形$ {\cal N} $和变号Nehari流形$ {\cal M} $如下

$ {\cal N}:=\left \{ u\in H\setminus \left \{0\right \} \mid J(u)=0 \right \}, $

$ {\cal M}:=\{ u\in H, \ u^{\pm}\ne 0 \mid \langle {I}'(u), u^{+} \rangle =\langle {I}'(u), u^{-}\rangle=0 \}. $

本文要考虑方程$ (1.1) $的正解与变号解的存在性问题, 即可转化为研究如下Nehari流形上的极小化问题

(1.9) $ \begin{equation} c:=\inf\limits_{u\in{\cal N}}I(u), \quad m:=\inf\limits_{u\in {\cal M}}I(u). \end{equation} $

本文的主要结果如下:

定理1.1  如果存在$ u\in {\cal N} $使得$ I(u)=c $, 那么$ u $是方程$ (1.1) $的一个正解; 如果存在$ u\in {\cal M} $使得$ I(u)=m $, 那么$ u $是方程$ (1.1) $的一个变号解并且带有两个节点域.

若可以证明极小化问题(1.9) 可达, 则可得到方程(1.1) 正解和变号解的存在性. 由于位势函数$ V(x) $有不同的类型, 本文仅考虑如下两种情况:

$ (V_{1}) $$ \lim\limits_{\left | x \right | \to \infty}V(x)=+\infty $.

$ (V_{2}) $$ V(x) $关于每一个变量$ x_{1}, x_{2}, x_{3} $是$ 1 $ -周期的.

通过下面的定理, 我们给出极小化问题(1.9) 在$ (V_{1}) $, $ (V_{2}) $条件下的可达情况, 即

定理1.2  若$ V $满足$ (V_{1}) $, 则$ c $和$ m $可达; 若$ V $满足$ (V_{2}) $, 则$ c $可达.

本文的结构如下: 在第2节中, 我们证明了一些重要的引理; 随后, 在第3节中利用形变引理与度理论证明了定理1.1; 最后, 在第4节中借助集中紧引理和含有对数非线性项$ \left | u\right |^{p}{\rm log}u^{2} $的Brézis-Lieb引理证明了定理1.2.

为了后文叙述的准确性, 我们定义$ L^{s}({{\Bbb R}} ^{3}) \ (1\leq s < +\infty) $是通常的Lebesgue空间, 其上的范数为

$ \left | u \right |_{s}=\Big(\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u \right |^{s}{\rm d}x\Big)^{\frac{1}{s}}. $

本节给出证明主要定理所需要的一些重要引理.

引理2.1   对任意$ u\in H $且$ u^{\pm}\neq0 $, 存在正常数$ (s_{0}, \ t_{0}) $使得$ s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-} \in {\cal M} $.

证   对任意$ s, t\in(0, +\infty) $, 定义函数

$ g(s, t)=\langle {I}'(su^{+}+tu^{-}), su^{+}\rangle, \ h(s, t)=\langle {I}'(su^{+}+tu^{-}), tu^{-}\rangle. $

由(1.8) 式得

(2.1) $ \begin{equation} g(s, t)=s^{2}\left \| u^{+} \right \|^{2}+bs^{4}\left | \nabla u^{+} \right |_{2}^{4}+bs^{2}t^{2}\left | \nabla u^{+} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u^{-} \right |_{2}^{2}-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | su^{+}\right |^{p}{\rm log}(su^{+})^{2}{\rm d}x, \end{equation} $

(2.2) $ \begin{equation} h(s, t)=t^{2}\left \| u^{-} \right \|^{2}+bt^{4}\left | \nabla u^{-} \right |_{2}^{4}+bs^{2}t^{2}\left | \nabla u^{+} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u^{-} \right |_{2}^{2} -\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | tu^{-} \right |^{p}{\rm log}(tu^{-})^{2}{\rm d}x. \end{equation} $

在(2.1) 式中令$ t=s $, 则

$ \begin{eqnarray*} g(s, s)&={}&s^{2} \| u^{+}\|^{2}+bs^{4} |\nabla u^{+} |_{2}^{4}+bs^{4}| \nabla u^{+}|_{2}^{2}| \nabla u^{-}|_{2}^{2}-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|su^{+}|^{p}{\rm log}(su^{+})^{2}{\rm d}x\\ & ={}&s^{2}\| u^{+}\|^{2}+bs^{4}|\nabla u^{+}|_{2}^{4}+bs^{4}| \nabla u^{+}|_{2}^{2}| \nabla u^{-}|_{2}^{2}-s^{p} \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|u^{+}|^{p}{\rm log}(u^{+})^{2}{\rm d}x\\ &&-s^{p}{\rm log}s^{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|u^{+}|^{p}{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

容易得到: 对于$ 0 < s < 1 $足够小时, 有$ g(s, s) > 0 $; 而当$ s > 1 $足够大时, 有$ g(s, s) < 0 $. 类似可得: 当$ 0 < t < 1 $足够小, 有$ h(t, t) > 0 $; 当$ t > 1 $足够大, 有$ h(t, t) < 0 $.

因此, 存在$ 0 < r < R $使得

(2.3) $ \begin{equation} g(r, r)>0, \ h(r, r)>0;\ g(R, R)<0, \ h(R, R)<0. \end{equation} $

由(2.1)–(2.3) 式, 有

$ g(r, t)>0, \ g(R, t)<0, \quad \forall \ t \in [r, R], $

$ h(s, r)>0, \ h(s, R)<0, \quad \forall \ s \in [r, R]. $

根据Miranda定理(参见文献[22]) 知存在$ r < s_{0}, t_{0} < R $使得$ g(s_{0}, t_{0})=h(s_{0}, t_{0})=0 $, 即$ s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-}\in {\cal M} $.

引理2.2   对于任意$ u\in {\cal M} $, 当$ (s, t)\in(0, \infty)\times(0, \infty) $且$ (s, t)\neq(1, 1) $时, 有$ I(su^{+}+tu^{-}) < I(u) $成立.

证   记$ \Omega^{+}= \{ x\in {{\Bbb R}} ^{3}: u(x)\ge 0\}, \Omega^{-}= \{ x\in {{\Bbb R}} ^{3}: u(x) < 0\}. $因此, 对任意$ s, t > 0 $, 我们有

(2.4) $ \begin{eqnarray} &&\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | su^{+}+tu^{-} \right |^{p}{\rm log}(su^{+}+tu^{-})^{2}{\rm d}x \\ &=&\int_{\Omega^{+}}\left | su^{+}+tu^{-} \right |^{p}{\rm log}(su^{+}+tu^{-})^{2}{\rm d}x+\int_{\Omega^{-}}\left | su^{+}+tu^{-} \right |^{p}{\rm log}(su^{+}+tu^{-})^{2}{\rm d}x \\ &=&\int_{\Omega ^{+}}\left | su^{+}\right |^{p}{\rm log}(su^{+})^{2}{\rm d}x+\int_{\Omega ^{-}}\left | tu^{-} \right |^{p}{\rm log}(tu^{-})^{2}{\rm d}x \\ &=& \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}[\left | su^{+}\right |^{p}{\rm log}(su^{+})^{2}+ \left | tu^{-} \right |^{p}{\rm log}(tu^{-})^{2}]{\rm d}x. \end{eqnarray} $

结合(1.3) 和(1.8) 式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} &&I(u)-I(su^{+}+tu^{-})\\ &=&\frac{1}{2}(\left \| u \right \|^{2}-\left \| su^{+}+tu^{-} \right \|^{2})+\frac{b}{4}(\left | \nabla u \right |_{2}^{4}-\left | \nabla (su^{+}+tu^{-}) \right |_{2}^{4})\\ &&+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}[\left | u \right |^{p}-\left | su^{+}+tu^{-} \right |^{p}]{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}[\left | u \right |^{p}{\rm log}u^{2}-\left | su^{+}+tu^{-} \right |^{p}{\rm log}(su^{+}+tu^{-})^{2}]{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

由(2.4) 式可得

$ \begin{eqnarray*} &&I(u)-I(su^{+}+tu^{-})\\ &={}& \frac{1-s^{2}}{2}\left \| u^{+}\right \|^{2}+\frac{1-t^{2}}{2}\left \| u^{-}\right \|^{2}+\frac{b(1-s^{4})}{4}\left | \nabla u^{+}\right |_{2}^{4}+\frac{b(1-t^{4})}{4}\left | \nabla u^{-}\right |_{2}^{4}\\ &&+\frac{b(1-s^{2}t^{2})}{2}\left | \nabla u^{+} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u^{-}\right |_{2}^{2}+\frac{2}{p^{2} }\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}[\left | u^{+}\right |^{p}-\left | su^{+}\right |^{p}+ \left | u^{-}\right |^{p}-\left | tu^{-}\right |^{p}]{\rm d}x\\ &&-\frac{1}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}[\left | u^{+}\right |^{p}{\rm log}(u^{+})^{2}-\left | su^{+}\right |^{p}{\rm log}(u^{+})^{2}-\left | su^{+}\right |^{p}{\rm log}s^{2}]{\rm d}x \\ &&-\frac{1}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}[\left | u^{-}\right |^{p}{\rm log}(u^{-})^{2}-\left | tu^{-}\right |^{p}{\rm log}(u^{-})^{2}-\left | tu^{-}\right |^{p}{\rm log}t^{2}]{\rm d}x \\ &={}&\frac{1-s^{p}}{p}\left \langle {I}'(u), u^{+}\right \rangle+\frac{1-t^{p}}{p}\left \langle {I}'(u), u^{-}\right \rangle+(\frac{1-s^{2}}{2}-\frac{1-s^{p}}{p})\left \| u^{+}\right \|^{2}\\ &&+(\frac{1-t^{2}}{2}-\frac{1-t^{p}}{p})\left \| u^{-}\right \|^{2}+b[(\frac{1-s^{4}}{4}-\frac{1-s^{p}}{p})\left | \nabla u^{+}\right |_{2}^{4}\\ &&+(\frac{1-t^{4}}{4}-\frac{1-t^{p}}{p})\left | \nabla u^{-} \right |_{2}^{4}+(\frac{1-s^{2}t^{2}}{2}-\frac{1-s^{p}}{p}-\frac{1-t^{p}}{p})\left | \nabla u^{+} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u^{-}\right |_{2}^{2}]\\ &&+\frac{2(1-s^{p})+ps^{p}{\rm log}s^{2}}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u^{+}\right |^{p}{\rm d}x+\frac{2(1-t^{p})+pt^{p}{\rm log}t^{2}}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u^{-}\right |^{p}{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

由$ u\in{\cal M} $, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&I(u)-I(su^{+}+tu^{-})\\ &={}&(\frac{1-s^{2}}{2}-\frac{1-s^{p}}{p})\left \| u^{+}\right \|^{2}+(\frac{1-t^{2}}{2}-\frac{1-t^{p}}{p})\left \| u^{-}\right \|^{2} +b[(\frac{1-s^{4}}{4}-\frac{1-s^{p}}{p})\left | \nabla u^{+}\right |_{2}^{4}\\ &&+(\frac{1-t^{4}}{4}-\frac{1-t^{p}}{p})\left | \nabla u^{-} \right |_{2}^{4} +(\frac{1-s^{2}t^{2}}{2}-\frac{1-s^{p}}{p}-\frac{1-t^{p}}{p})\left | \nabla u^{+} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u^{-}\right |_{2}^{2}]\\ &&+\frac{2(1-s^{p})+ps^{p}{\rm log}s^{2}}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u^{+}\right |^{p}{\rm d}x +\frac{2(1-t^{p})+pt^{p}{\rm log}t^{2}}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u^{-}\right |^{p}{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

定义函数$ f(x)=2(1-x^{p})+px^{p}{\rm log}x^{2} $, 其中$ x\in(0, 1)\cup(1, +\infty) $. 通过计算, 可得$ {f}'(x)=p^{2}x^{p-1}{\rm log}x^{2} $, 即当$ x\in(0, 1) $时, $ {f}'(x) < 0 $; 而$ x\in(1, +\infty) $时, $ {f}'(x) > 0 $. 因此, 当$ x\in(0, 1)\cup(1, +\infty) $时, 有

(2.5) $ \begin{equation} f(x)=2(1-x^{p})+px^{p}{\rm log}x^{2}>0. \end{equation} $

同时, 我们知道当$ a > 0 $且$ a\neq 1 $时, 函数$ h(x)=\frac{1-a^{x}}{x} $在$ (0, +\infty) $上是单调递减的. 因此, 结合(2.5) 式得

$ \begin{eqnarray*} I(u)-I(su^{+}+tu^{-})&>&b(\frac{1-s^{2}t^{2}}{2}-\frac{1-s^{p}}{p}-\frac{1-t^{p}}{p})\left | \nabla u^{+}\right|_{2}^{2}\left | \nabla u^{-}\right |_{2}^{2}\\ &=&b\left[\frac{(s^{2}-t^{2})^{2}}{4}+(\frac{1-s^{4}}{4}-\frac{1-s^{p}}{p})\!+\!(\frac{1-t^{4}}{4}-\frac{1-t^{p}}{p})\right]\left |\nabla u^{+}\right|_{2}^{2}\left |\nabla u^{-}\right |_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

于是

$ \begin{eqnarray*} I(su^{+}+tu^{-})&<{}&I(su^{+}+tu^{-})+b\left[\frac{(s^{2}-t^{2})^{2}}{4}+(\frac{1-s^{4}}{4}-\frac{1-s^{p}}{p})\right.\\ & &+\left.(\frac{1-t^{4}}{4}-\frac{1-t^{p}}{p})\right]\left | \nabla u^{+} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u^{-}\right |_{2}^{2} <{}I(u). \end{eqnarray*} $

因此, 当$ (s, t)\in(0, \infty)\times(0, \infty) $且$ (s, t)\neq(1, 1) $时, 有$ I(su^{+}+tu^{-}) < I(u) $成立.

由引理2.1和引理2.2, 我们可以得到以下推论.

推论2.1   对任意$ u\in H $且$ u^{\pm}\neq0 $, 存在唯一的正常数$ (s_{0}, \ t_{0}) $使得$ s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-} \in {\cal M} $.

证   $ (s_0, t_0) $的存在性已由引理2.1证得, 此处只需证明其唯一性. 假设存在两个正常数$ (s_{1}, t_{1}) $, $ (s_{2}, t_{2}) $且$ s_{1}\ne s_{2} $, $ t_{1}\ne t_{2} $, 使得$ g(s_{1}, t_{1})=g(s_{2}, t_{2})=0, h(s_{1}, t_{1})=h(s_{2}, t_{2})=0 $. 因此, 令$ s=\frac{s_{2}}{s_{1}} $, 则$ s\neq 1 $, 令$ t=\frac{t_{2}}{t_{1}} $, 则$ t\neq 1 $, 那么由引理2.2可得

(2.6) $ \begin{equation} I(s_{2}u^{+}+t_{2}u^{-})=I(s(s_{1}u^{+})+t(t_{1}u^{-}))<I(s_{1}u^{+}+t_{1}u^{-}). \end{equation} $

同样地, 有

(2.7) $ \begin{equation} I(s_{2}u^{+}+t_{2}u^{-})>I(s_{1}u^{+}+t_{1}u^{-}). \end{equation} $

(2.6) 式与(2.7) 式相互矛盾, 因此$ (s_{0}, t_{0}) $是唯一的.

引理2.3   对任意的$ u\in H $且$ u\neq 0 $, 存在唯一的$ t_{0} > 0 $使得$ t_{0}u\in {\cal N} $.

证   首先证明$ t_{0} $的存在性. 对任意$ t\in(0, +\infty) $, 定义函数$ g(t)=\left \langle {I}'(tu), tu \right \rangle $, 则有

$ \begin{eqnarray*} g(t) = \left \langle {I}'(tu), tu \right \rangle & =& \left \| tu \right \|^{2}+b\left | \nabla (tu) \right |_{2}^{4}-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}} \left | tu \right |^{p}{\rm log} (tu)^{2}{\rm d}x\\ &=&t^{2}\left \| u \right \|^{2}+bt^{4}\left | \nabla u \right |_{2}^{4}-|t|^{p}{\rm log} t^{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|u|^{p}{\rm d}x-|t|^{p}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|u|^{p}{\rm log}u^{2}{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

结合(1.7) 式可得

$ g(t)=t^p \langle I'(u), u\rangle +(t^2 -t^p )\|u\|^2 +b(t^4 -t^p )|\nabla u|^4_2 -t^p \log t^2 \int_{{{\Bbb R}} ^3}|u|^p {\rm d}x\ . $

如果$ \left \langle {I}'(u), u \right \rangle=0 $, 那么$ t_{0}=1 $, 因此我们只需考虑当$ \left \langle {I}'(u), u \right \rangle\neq 0 $时$ t_{0} $的存在性. 因为$ 4 < p < 6 $, 由Sobolev嵌入定理可知存在常数$ C > 0 $使得$ \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u \right |^{p}{\rm d}x\le C\left \| u \right \|^{p} < +\infty $. 通过计算可得$ \lim\limits_{t \to 0^{+}}t^{p}{\rm log}t^{2}=0 $, 因此$ \lim\limits_{t \to 0^{+}}g(t)=0 $. 那么当$ 0 < t < 1 $且足够小时, 有$ g(t) > 0 $. 又$ \lim\limits_{t \to +\infty }t^{p}{\rm log}t^{2}=+\infty $, 当$ t > 1 $且足够大时, $ g(t) < 0 $. 又因为$ g(t) $是连续的, 于是存在$ t_{0} > 0 $使得$ g(t_{0})=0 $. 与推论2.1的证明类似, 我们可以得到$ t_{0} $的唯一性.

引理2.4   假设存在$ u\in H $且$ u^{\pm}\neq 0 $使得$ \left \langle {I}'(u), u^{\pm} \right \rangle \leq 0 $, 则在推论2.1中得到的唯一正常数$ (s_{0}, \ t_{0}) $满足$ 0 < s_{0}, t_{0} \leq 1 $.

证   由推论2.1可知, 存在唯一的正常数$ (s_{0}, t_{0}) $使得$ s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-}\in {\cal M} $. 假设$ s_{0}\geq t_{0} > 0 $, 由$ s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-}\in {\cal M} $得

$ \begin{eqnarray*} \langle {I}'(s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-}), s_{0}u^{+} \rangle& ={}& s_{0}^{2}\| u^{+}\|^{2}+bs_{0}^{4}\left | \nabla u^{+} \right |_{2}^{4}+bs_{0}^{2}t_{0}^{2}| \nabla u^{+}|_{2}^{2}| \nabla u^{-}|_{2}^{2}\\ &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | s_{0}u^{+}\right |^{p}{\rm log}(s_{0}u^{+})^{2}{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

因此可得

(2.8) $ \begin{eqnarray} \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|s_{0}u^{+}|^{p}{\rm log}(s_{0}u^{+})^{2}{\rm d}x & = s_{0}^{2}\left \| u^{+} \right \|^{2}+bs_{0}^{4}| \nabla u^{+} |_{2}^{4}+bs_{0}^{2}t_{0}^{2}| \nabla u^{+} |_{2}^{2}| \nabla u^{-} |_{2}^{2}\\ &\le s_{0}^{2}\left \| u^{+} \right \|^{2}+bs_{0}^{4} | \nabla u^{+}|_{2}^{4}+bs_{0}^{4}| \nabla u^{+} |_{2}^{2}| \nabla u^{-}|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

由$ \left \langle {I}'(u), u^{+} \right \rangle\leq 0 $得

$ \begin{eqnarray*} \left \| u^{+} \right \|^{2}+b | \nabla u^{+} |_{2}^{4}+b| \nabla u^{+}|_{2}^{2}| \nabla u^{-}|_{2}^{2} \le \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|u^{+}|^{p}{\rm log}(u^{+})^{2}{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

上式两边同乘以$ -s_{0}^{p} $得

(2.9) $ \begin{equation} -s_{0}^{p}\left \| u^{+} \right \|^{2}-bs_{0}^{p}| \nabla u^{+} |_{2}^{4}-bs_{0}^{p} | \nabla u^{+} |_{2}^{2}| \nabla u^{-} |_{2}^{2} \ge -s_{0}^{p}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|u^{+}|^{p}{\rm log}(u^{+})^{2}{\rm d}x. \end{equation} $

结合(2.8) 和(2.9) 式可得

$ \begin{eqnarray*} (s_{0}^{2}-s_{0}^{p})\left \| u \right \|^{2} +b(s_{0}^{4}-s_{0}^{p})| \nabla u^{+} |_{2}^{4}+b(s_{0}^{4}-s_{0}^{p}) | \nabla u^{+} |_{2}^{2} | \nabla u^{-} |_{2}^{2} \ge s_{0}^{p}{\rm log}s_{0}^{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|u^{+}|^{p}{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

若$ s_{0} > 1 $, 则上式的右边是正数, 而左边是负数, 矛盾, 故$ s_{0}\leq 1 $; 同理可得$ t_{0}\leq 1 $.

在本节中, 我们主要应用形变引理证明$ c $和$ m $的可达元均是泛函$ I $的临界点.

定理1.1的证明   假设$ \tilde{u}=\tilde{u}^{+}+\tilde{u}^{-}\in {\cal M} $且$ I(\tilde{u})=m $, 由引理2.2有对于$ (s, t)\in {{\Bbb R}} _{+}\times {{\Bbb R}} _{+} $且$ (s, t)\ne(1, 1) $,

$ \begin{eqnarray*} I(s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-})<I(\tilde{u}^{+}+\tilde{u}^{-})=I(\tilde{u})=m. \end{eqnarray*} $

我们利用反证法来证明. 假设$ {I}'(\tilde{u})\ne 0 $, 那么存在$ \delta > 0 $和$ \theta > 0 $使得

$ \begin{eqnarray*} \left \|{I}'(\tilde{u})\right \|\ge \theta , \ \forall \left \| v-\tilde{u} \right \|\le 3\delta, v\in H({{\Bbb R}} ^{3}). \end{eqnarray*} $

我们定义$ D: =(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})\times (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) $, 由引理2.2有

(3.1) $ \begin{equation} \tilde{m} :=\max\limits_{(s, t)\in \partial D }I(s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-}) <m. \end{equation} $

对于$ \varepsilon : = \min\left \{ (m-\tilde{m})/2, \theta \delta /8 \right \} $和$ S_{\delta}: =B(\tilde{u}, \delta) $, 通过文献[21, Lemma 2.2]知存在$ \eta\in{\cal C}([0, 1]\times H({{\Bbb R}} ^{3}), H({{\Bbb R}} ^{3})) $使得

(ⅰ) 当$ v\notin I^{-1}([m-2\varepsilon, m+2\varepsilon])\cap S_{2\delta} $时, 有$ \eta(1, v)=v $;

(ⅱ) $ \eta(1, I^{m+\varepsilon}\cap S_{\delta}) \subset I^{m-\varepsilon } $;

(ⅲ) $ I(\eta(1, v))\le I(v), \ \forall v\in H({{\Bbb R}} ^{3}) $.

由引理2.2和(ⅲ), 我们有

(3.2) $ \begin{eqnarray} I(\eta(1, s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-})) &\le &I(s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-})\\ &<&I(\tilde{u})=m, \ \forall s, t>0, \ \left | s-1 \right |^{2}+\left | t-1 \right |^{2}\ge \delta ^{2}/\left \| \tilde{u} \right \|^{2}.{} \end{eqnarray} $

由引理2.2我们可以得到: 对于$ s, t > 0 $有$ I(s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-})\le I(\tilde{u})=m $, 从(ⅱ) 可得

(3.3) $ \begin{equation} I(\eta(1, s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-}))\le m-\varepsilon , \quad \forall s, t\ge 0, \ \left | s-1 \right |^{2}+\left | t-1 \right |^{2}< \delta ^{2}/\left \| \tilde{u} \right \|^{2}. \end{equation} $

因此, 由(3.2) 和(3.3) 式可得

(3.4) $ \begin{equation} \max\limits_{(s, t)\in \overline{D} } I(\eta(1, s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-}))<m. \end{equation} $

下面我们证明$ \eta(1, g(D))\cap {\cal M}\ne \emptyset $, 这与$ m $的定义相矛盾. 定义$ g(s, t)=s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-} $, 令$ \gamma (s, t): =\eta(1, g(s, t)) $,

$ \Psi_{1}(s, t):=(\left \langle {I}'(g(s, t)), \tilde{u}^{+}\right \rangle, \left \langle {I}'(g(s, t)), \tilde{u}^{-}\right \rangle) $

和

$ \Psi_{2}(s, t):=(\frac{1}{s}\left \langle {I}'(\gamma(s, t)), \gamma^{+}(s, t)\right \rangle , \frac{1}{t}\left \langle {I}'(\gamma(s, t)), \gamma^{-}(s, t)\right \rangle ). $

由$ \tilde{u}\in {\cal M} $, 通过推论2.1可知存在唯一正常数$ (s, t)=(1, 1) $使得$ s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-}\in {\cal M} $. 此外, $ s\tilde{u}^{+}+t\tilde{u}^{-}\in {\cal M} $等价于$ (s, t) $是下列方程的解

(3.5) $ \begin{equation} \Psi_{1}(s, t)=(0, 0). \end{equation} $

因此, 方程(3.5) 在$ D $中有唯一解$ (s, t)=(1, 1) $. 通过拓扑度理论, 可得$ {\rm deg}(\Psi_{1}, D, 0)=1 $. 由(3.1) 式和(ⅰ) 可得在$ \partial D $上有$ \gamma =g $. 故我们可以得到

$ {\rm deg} (\Psi_{2}, D, 0)={\rm deg} (\Psi_{1}, D, 0)=1, $

这意味着存在$ (s_{0}, t_{0})\in D $使得$ \Psi_{2}(s_{0}, t_{0})=0 $, 即$ \eta (1, g(s_{0}, t_{0}))=\gamma(s_{0}, t_{0})\in {\cal M} $. 这与(3.4) 式相矛盾, 因此$ {I}'(\tilde{u})=0 $. 所以$ m $的可达元是泛函$ I $的临界点. 类似地, 我们也可以证明$ c $的可达元是泛函$ I $的临界点.

下面证明$ u $有两个节点域. 假设$ u $有两个以上的节点域, 令$ u=u_1 +u_2 +u_3, u_i \neq 0 $, $ i=1, 2, 3 $, 其中$ u_1 > 0, u_2 < 0 $, $ D_1 =\left\{x\in {{\Bbb R}} ^3\ \big|\ u_1 > 0\right\} $, $ D_2 =\left\{x\in {{\Bbb R}} ^3\ \big|\ u_2 < 0\right\} $, $ D_1 \cap D_2 =\emptyset $, $ u_1 \big|_{{{\Bbb R}} ^3\setminus D_1 }=0 $, $ u_2 \big|_{{{\Bbb R}} ^3\setminus D_2 }=0 $, $ u_3 \big|_{D_1 \cup D_2 }=0 $. 又令$ v: =u_{1}+u_{2} $, 我们有$ v^{+}=u_{1} $和$ v^{-}=u_{2} $, 即$ v^{\pm} \neq 0 $. 通过推论2.1知存在唯一的正数$ (s_{v}, t_{v}) $使得$ s_{v}v^{+}+t_{v}v^{-}\in {\cal M} $, 即$ s_{v}u_{1}+t_{v}u_{2}\in {\cal M} $且$ I(s_{v}u_{1}+t_{v}u_{2})\geq m $.

此外, 我们已知$ \langle {I}'(u), u_{i} \rangle=0 $, $ i=1, 2, 3 $, 即有

$ \begin{eqnarray*} \langle {I}'(u), u_{1} \rangle &={}& \langle {I}'(v+u_{3}), u_{1} \rangle \\ &={}&\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(a\nabla v\nabla u_{1}+V(x)vu_{1}){\rm d}x+b\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | \nabla v\right |^{2}{\rm d}x\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla v\nabla u_{1}{\rm d}x\\ &&+b\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | \nabla u_{3}\right |^{2}{\rm d}x\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla v\nabla u_{1}{\rm d}x-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v\right |^{p-2}vu_{1}{\rm log}v^{2}{\rm d}x\\ &={}&\left \langle {I}'(v), u_{1} \right \rangle+b\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2} ={} 0. \end{eqnarray*} $

因此$ \left \langle {I}'(v), v^{+} \right \rangle=-b\left | \nabla v^{+} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2} $. 同样地, $ \left \langle {I}'(v), v^{-} \right \rangle=-b\left | \nabla v^{-} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2} $, 故$ \left \langle {I}'(v), v^{\pm} \right \rangle < 0 $, 由引理2.4知$ 0 < s_{v}, \ t_{v} < 1 $.

因此

$ \begin{eqnarray*} I(s_{v}u_{1}+t_{v}u_{2})&={}& I(s_{v}u_{1}+t_{v}u_{2})-\frac{1}{p}\langle {I}'(s_{v}u_{1}+t_{v}u_{2}), s_{v}u_{1}+t_{v}u_{2} \rangle \\ &={}&(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})[s_{v}^{2}\| u_{1} \|^{2}+t_{v}^{2}\| u_{2} \|^{2}]+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})[s_{v}^{4}|\nabla u_{1} |_{2}^{4}+t_{v}^{4}|\nabla u_{2} |_{2}^{4}\\ &&+2s_{v}^{2}t_{v}^{2}|\nabla u_{1} |_{2}^{2}|\nabla u_{2} |_{2}^{2}]+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | s_{v}u_{1}+t_{v}u_{2} \right |^{p}{\rm d}x \\ &< {}&(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})[\| u_{1} \|^{2}+\| u_{2} \|^{2}]+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})[|\nabla u_{1} |_{2}^{4}+|\nabla u_{2} |_{2}^{4}+2|\nabla u_{1} |_{2}^{2}|\nabla u_{2} |_{2}^{2}] \\ &&+ \frac{2}{p^{2}}(\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{1}\right |^{p}{\rm d}x+\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{2}\right |^{p}{\rm d}x). \end{eqnarray*} $

又因为

$ \begin{eqnarray*} I(u_{1})-\frac{1}{p}\left \langle {I}'(u) , u_{1} \right \rangle &={}&I(u_{1})-\frac{1}{p}[\left \| u_{1} \right \|^{2}+b|\nabla u_{1}|_{2}^{4}+b\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}\\ &&+b\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{1} \right |^{p}{\rm log}u_{1}^{2}{\rm d}x]\\ &={}&(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| u_{1}\right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{1} \right |^{p}{\rm d}x\\ &&-\frac{b}{p}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}-\frac{b}{p}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}, \end{eqnarray*} $

因此

(3.6) $ \begin{eqnarray} I(s_{v}u_{1}+t_{v}u_{2})&<{}&I(u_{1})-\frac{1}{p}\left \langle {I}'(u), u_{1} \right \rangle+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}\\ &&+I(u_{2})-\frac{1}{p}\left \langle {I}'(u), u_{2} \right \rangle+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}\\ &&+2b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}\\ &={}&I(u_{1})+I(u_{2})+\frac{b}{2}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}\\ &&+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

另外

(3.7) $ \begin{eqnarray} 0=\frac{1}{p}\langle {I}'(u), u_{3} \rangle & = {}&\frac{1}{p}\left \| u_{3} \right \|^{2}+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{4}+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}\\ &&-\frac{1}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{3} \right |^{p}{\rm log}u_{3}^{2}{\rm d}x\\ & <{}&\frac{1}{2}\left \| u_{3} \right \|^{2}+\frac{b}{4}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{3} \right |^{p}{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{3} \right |^{p}{\rm log}u_{3}^{2}{\rm d}x\\ && +\frac{b}{p}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}\\ &={}&I(u_{3})+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

结合(3.6) 和(3.7) 式可得

$ \begin{eqnarray*} m\le I(s_{v}u_{1}+t_{v}u_{2})&<{}&I(u_{1})+I(u_{2})+\frac{b}{2}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}\\ &&+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}+I(u_{3})+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}+\frac{b}{p}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}\\ &<{}& I(u_{1})+I(u_{2})+I(u_{3})+ \frac{b}{2}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}+ \frac{b}{2}\left | \nabla u_{1} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}\\ &&+\frac{b}{2}\left | \nabla u_{2} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{3} \right |_{2}^{2}\\ &={}&I(u)=m. \end{eqnarray*} $

由此导出矛盾, 因此$ u_{3}=0 $即$ u $只有两个节点域.

最后, 假设$ u\in {\cal N} $满足$ I(u)=c $, 下证$ u > 0 $. 因为$ u $为$ {\cal N} $上的极小元, 则$ |u| $也是约束在$ {\cal N} $上的极小元, 故可假设$ u\ge0 $. 由强极值原理(参见文献[23])可得$ u(x) > 0 $.

本节中, 我们首先证明含有对数非线性项$ \left |u \right |^{p}{\rm log}u^{2} $的Brézis-Lieb引理.

引理4.1  假设$ \{u_{n}\} $是$ H^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $空间中的有界序列, 则存在$ \{u_{n}\} $的子列, 仍记为$ \{u_{n}\} $以及$ u \in H^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $, 使得$ u_{n}\to u $, a.e. $ x\in{{\Bbb R}} ^3 $, 且有

(4.1) $ \begin{equation} \lim\limits_{n \to \infty}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}[\left | u_{n} \right |^{p}{\rm log}u^{2} _{n}-\left | u _{n}-u\right |^{p} {\rm log}\left | u _{n}-u \right |^{2}]{\rm d}x=\int_{{{\Bbb R}} ^{3} }\left | u \right | ^{p} {\rm log}u^{2}{\rm d}x. \end{equation} $

为了证明引理4.1, 我们需要如下的引理4.2和引理4.3.

引理4.2^{[24, Theorem 2, Example (b)]}  假设$ j: {{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}} $是连续的凸函数且$ j(0)=0 $. 令$ f_{n}=f+g_{n}: {{{\Bbb R}}^{\mathit{N}}} \rightarrow {{\Bbb R}} $是一个可测函数列. 当$ j $与$ f_n $满足以下条件:

$ \rm (i) $$ g_{n}\to 0\ \mbox{a.e.}\ x\in{{\Bbb R}} ^N $,

$ \rm (ii) $$ j(Mf)\in L^{1}({{{\Bbb R}}^{\mathit{N}}}) $对任意实数$ M $都成立,

$ \rm (iii) $存在$ k > 1 $使得$ \{j(kg_{n})-kj(g_{n})\} $在$ L^{1}({{{\Bbb R}}^{\mathit{N}}}) $上一致有界, 则

$ \lim\limits_{n \to \infty}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\left | j(f+g_{n})-j(g_{n})-j(f)\right |{\rm d}x=0. $

引理4.3  假设$ f(x) $是一个凸函数且$ f(0)=0 $, 则当$ 0\leq x\leq y $时有$ f(y-x)\le f(y)-f(x) $成立.

证   定义函数$ g(y)=f(y)-f(x)-f(y-x) $, 显然$ g(x)=0 $. 经过计算有: $ {g}'(y)={f}'(y)-{f}'(y-x) $. 由$ f(x) $是凸函数, 可知$ {f}''(x)\geq 0 $, 即$ {f}'(x) $是增函数. 因此有$ {g}'(y)={f}'(y)-{f}'(y-x)\geq 0, $故$ g(y) $是增函数, 则有$ g(y)=f(y)-f(x)-f(y-x)\geq g(x)=0, $因此结论成立.

引理4.1的证明   定义函数

$ A\left ( s \right ):= \left\{\begin{array}{ll} -s^{p}{\rm log}s^{2}, &\ 0\le s\le e^{-3}, \\ 3s^{p}+4e^{-3}s^{p-1}-e^{-3p}, & \ s\ge e^{-3} \end{array}\right. $

和

$ B(s):=s^{p}{\rm log}s^{2}+A(s). $

通过计算可知函数$ A(s) $, $ B(s) $在$ (0, +\infty) $上是正的凸的增函数, 并且有$ A(0)=0, \ B(0)=0 $. 而且存在$ C_{q} > 0 $使得

(4.2) $ \begin{equation} A\left ( 2s \right ) \le 2^{p}A\left ( s \right ), \end{equation} $

(4.3) $ \begin{equation} \left | B\left ( s \right ) \right | \le C_{q}\left | s \right |^{q}, \ \forall \ q\in \left ( p, 6 \right ). \end{equation} $

因为$ \{u _{n}\} $在空间$ H^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $上有界, 因此由Sobolev嵌入定理及(4.3) 式可知

$ \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|B(|u_{n}|)|{\rm d}x \le C_{q}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|u_{n}|^{q}{\rm d}x\le C\|u_{n} \|^{q}\leq C, $

即$ \left \{ B\left (\left | u_{n}\right | \right) \right \} $在空间$ L^{1}\big({{\Bbb R}} ^{3}\big) $上是有界的. 又因为

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{n} \right |^{p}\left | {\rm log}u_{n}^{2} \right |{\rm d}x \le \epsilon\int_{{{\Bbb R}} ^{3}} \left | u_{n} \right |^{2} {\rm d}x+C_{\epsilon}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}| u_{n} |^{q}{\rm d}x \le C_{1} \left \|u_{n} \right \|^{2} +C_{2}\left \| u_{n} \right \|^{q} \le C, \end{eqnarray*} $

因此$ \left \{ \left | u_{n}\right |^{p}{\rm log}u^{2}_{n} \right \} $在空间$ L^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $上有界, 及$ A(|u_{n}|)=B(|u_{n}|)-|u_{n}|^{p}{\rm log}u_{n}^{2} $, 可得

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|A(|u_{n}|)|{\rm d}x=\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\Big(|B(|u_{n}|)-|u_{n}|^{p}{\rm log}u_{n}^{2}|\Big){\rm d}x \le\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|B(|u_{n}|)|{\rm d}x+\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|u_{n}|^{p}|{\rm log}u_{n}^{2}|{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

即$ \left \{A\big(\left |u_{n}\right |\big)\right\} $在$ L^{1}\big({{\Bbb R}} ^{3}\big) $中有界. 由Fatou引理, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}} ^{3}} A\left ( \left | u \right | \right ) {\rm d}x\le \liminf\limits_{n \to \infty}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}A(\left | u_{n} \right | ){\rm d}x, \quad \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}^{} B\left ( \left | u \right | \right ) {\rm d}x\le \liminf\limits_{n \to \infty}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}} B\left ( \left | u_{n}\right | \right ){\rm d}x. \end{eqnarray*} $

因此, $ A(u), B(u) $在空间$ L^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $上有界.

因为$ s^{p}{\rm log}s^{2}=B\left (s\right)-A\left (s \right) $, 因此我们只需对函数$ A $和$ B $应用引理4.2就可以得到我们所需的结论. 下面我们验证函数$ A $, $ B $满足引理4.2的三个条件.

令引理4.2中的$ f_{n}=u_{n}, \ f=u, \ g_{n}=u_{n}-u $, 由$ u_{n}\to u $在$ {{\Bbb R}} ^{3} $中几乎处处成立可知$ g_{n}=u_{n}-u \to 0 $在$ {{\Bbb R}} ^{3} $中几乎处处成立, 即函数$ A $, $ B $满足引理4.2中条件(ⅰ).

对于任意实数$ M $, 由(4.2) 式得

$ \begin{eqnarray*} A(Mu)= A(2\cdot \frac{M}{2}u) \le 2^{p}A(\frac{M}{2}u) \le \cdots \le C_{n}A(\frac{M}{2^{n}}u)\le\widetilde{C_{n}}A(u). \end{eqnarray*} $

由$ A(|u|)\in L^{1}\big({{\Bbb R}} ^{3}\big) $上有界可知$ A(Mu)\in L^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $. 又由(4.3) 式有

$ \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|B(Mu)|{\rm d}x \le \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}C_{q}M^{q}|u|^{q}{\rm d}x \le \liminf\limits_{n \to \infty}C_{q}M^{q}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|u_{n}|^{q}{\rm d}x \le \liminf\limits_{n \to \infty}CM^{q}\|u_{n}\|^{q}\le C, $

即$ B(Mu)\in L^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $. 因此函数$ A $, $ B $满足引理4.2中条件(ⅱ).

又由(4.2) 式我们有

$ \begin{eqnarray*} -2^{p}A(u_{n}-u)&\le& -2A(u_{n}-u)\le A(2(u_{n}-u))-2A(u_{n}-u)\\ &\le& 2^{p}A(u_{n}-u)-2A(u_{n}-u)\le 2^{p}A(u_{n}-u), \end{eqnarray*} $

即

$ |A(2(u_n -u))-2A(u_n -u)|\le 2^p A(u_n -u). $

由引理4.3有$ A(u_{n}-u)\le A(u_{n})-A(u) $, 又因为$ \{A(u_{n})\}, \ A(u) $在$ L^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $中有界, 因此$ \{A(u_{n}-u)\} $在$ L^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $中有界, 故$ \{A(2(u_{n}-u))-2A(u_{n}-u)\} $在$ L^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $中有界.

类似地, 由(4.3) 式有

(4.4) $ \begin{equation} |B(2(u_n -u))-2B(u_n -u)|\le C(|u_{n}|^{q}+|u|^{q})+2B(u_{n}-u). \end{equation} $

对(4.4) 式, 结合引理4.3以及$ B(u) $在$ L^1 ({{\Bbb R}} ^3) $中的有界性, 可以得到$ \{B(2(u_{n}-u))-2B(u_{n}-u)\} $在$ L^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $中有界. 从而当$ k=2 $时, 函数$ A $, $ B $满足引理4.2中的条件(ⅲ).

因此由引理4.2的结论可知

$ \lim\limits_{n\to \infty} \int_{{{\Bbb R}} ^{3}} |A(|u_{n}| )-A( |u_{n}-u|)-A(|u|)|{\rm d}x=0, $

$ \lim\limits_{n\to \infty} \int_{\mathbb{R^{\mathit{3}}}}^{} |B(|u_{n}| )-B( |u_{n}-u|)-B(|u|)|{\rm d}x=0, $

即(4.1) 式成立, 引理4.1得证.

在证明定理1.2之前, 我们还需要下面的引理.

引理4.4   对于任意$ |u|\ge 1 $, 当$ q\in(p, 6) $时, 有$ |u|^{p}{\rm log}u^{2}\le C|u|^{q} $成立, 其中$ C $为正常数.

证   取$ \delta > 0 $且足够大时, 即当$ |u|\in [1, \delta] $时, 我们有$ {\rm log}u^{2}\le C, \ |u|^{p}\le |u|^{q} $, 即$ |u|^{p}{\rm log}u^{2}\le C|u|^{q} $. 又因为对任意的$ \delta_{1} > 0 $, $ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{{\rm log}x}{x^{\delta_{1}}}=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1}{\delta_{1} x^{\delta_{1}}}=0 $一致成立. 因此, 当$ |u|\in (\delta, +\infty) $时, 有$ {\rm log}u^{2}\le (u^{2})^{\delta_{1}} $, 取$ \delta_{1} =\frac{q-p}{2} > 0 $, 从而我们有$ {\rm log}u^{2}\le |u|^{q-p} $, 即$ |u|^{p}{\rm log}u^{2}\le |u|^{q} $. 综上, 有$ |u|^{p}{\rm log}u^{2}\le C|u|^{q} $成立.

引理4.5  假设函数$ V $满足条件$ (V_{1}) $, 则$ c > 0 $和$ m > 0 $是可达的.

证   我们首先证明$ m > 0 $是可达的. 假设$ \{u_{n}\}\subset {\cal M} $是$ m $的一个极小化序列, 即当$ n\rightarrow +\infty $有$ I(u_{n})\to m. $通过计算有$ \left \langle {I}'(u_{n}), u_{n}\right \rangle =\left \langle {I}'(u_{n}), u_{n}^{+}\right \rangle +\left \langle {I}'(u_{n}), u_{n}^{-}\right \rangle=0 $, 即$ J(u_{n})=0 $.

结合(1.3) 和(1.8) 式有

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty}I(u_{n})&=&\lim\limits_{n \to \infty} \left[I(u_n )-\frac{1}{p}J(u_n )\right]\\ &=&\lim\limits_{n \to \infty} [(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| u_{n}\right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla u_{n} \right|_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{n}\right |^{p}{\rm d}x]=m, \end{eqnarray*} $

从而

$ (\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| u_{n}\right \|^{2} \le (\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| u_{n}\right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla u_{n} \right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{n}\right |^{p}{\rm d}x= m+o(1), $

即$ \left \{ u_{n}\right \} $在空间$ H({{\Bbb R}} ^{3}) $中有界, 从而$ \left \{ u_{n}\right \} $在空间$ H^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $中有界. 因此存在子列, 仍记为$ \left \{ u_{n}\right \} $, 以及$ u\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $使得当$ n \rightarrow \infty $时有

$ \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{l} u_{n}\rightharpoonup u\quad \mbox{于}\ H^{1}({{\Bbb R}} ^{3}), \\ u_{n}\to u\quad \mbox{于}\ L_{{\rm loc}}^{s}({{\Bbb R}} ^{3}), \ s \in (2, 6), \\ u_{n}\to u\quad \mbox{a.e.}\ x\in{{\Bbb R}} ^{3}. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

由$ \left \{ u_{n}\right \}\subset {\cal M} $及(1.8) 式, 对任意$ q \in (p, 6) $, 有

$ \begin{eqnarray*} \left \| u_{n}^{\pm}\right \|^{2}\le \left \| u_{n}^{\pm }\right \|^{2}+b\left | \nabla u_{n}\right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{n}^{\pm }\right |_{2}^{2}=\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{n}^{\pm} \right |^{p}{\rm log}|u_{n}^{\pm }|^{2}{\rm d}x \le \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\left | u_{n}^{\pm }\right |^{p}{\rm log}|u_{n}^{\pm}|^{2})^{+}{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

又由引理4.4得

(4.5) $ \begin{equation} \left \| u_{n}^{\pm}\right \|^{2}\le \left \| u_{n}^{\pm }\right \|^{2}+b\left | \nabla u_{n}\right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{n}^{\pm }\right |_{2}^{2}\le \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\left | u_{n}^{\pm} \right |^{p}{\rm log}|u_{n}^{\pm }|^{2})^{+}{\rm d}x \le C_{q}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{n}^{\pm} \right |^{q}{\rm d}x. \end{equation} $

由文献[25, Lemma 2.3]知: 当条件$ (V_{1}) $满足时, $ H \hookrightarrow L^{s}({{\Bbb R}} ^{3})(2\leq s < 6) $是紧的. 因此, 存在常数$ C > 0 $使得

(4.6) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u^{\pm} \right |^{q}{\rm d}x \ge C>0. \end{equation} $

因此$ u^{\pm}\neq 0 $.

此外, 通过Sobolev嵌入定理及(4.5) 式有

(4.7) $ \begin{equation} \left \| u_{n}\right \|^{2}\le \left \| u_{n} \right \|^{2}+b\left | \nabla u_{n}\right |_{2}^{4}\le \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\left |u_{n} \right |^{p}{\rm log}u_{n}^{2})^{+}{\rm d}x\le C_{q}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{n} \right |^{q}{\rm d}x \leq C\left \| u_{n} \right \|^{q}, \end{equation} $

即

(4.8) $ \begin{equation} \left \| u_{n}\right \|\ge C>0. \end{equation} $

假设当$ n\to \infty $时有$ \left \| u_{n} \right \|\to 0 $, 那么由(4.7) 式可得$ \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{n} \right |^{q}{\rm d}x \to 0 $. 由紧嵌入可得$ \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u\right |^{q}{\rm d}x=0 $, 这与(4.6) 式矛盾, 即假设不成立. 因此我们可知

$ m=\lim\limits_{n \to \infty}\left[(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| u_{n}\right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla u_{n}\right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{n}\right |^{p}{\rm d}x\right]\ge C>0. $

通过(1.8) 式和文献[21, Lemma A.1], 以及范数的弱下半连续性, Fatou引理及Lebegue控制收敛定理有

$ \begin{eqnarray*} &&\left \| u^{+} \right \|^{2}+b\left | \nabla u \right |_{2}^{2}\left | \nabla u^{+}\right |_{2}^{2}-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\left | u^{+} \right |^{p}{\rm log}|u^{+}|^{2})^{-}{\rm d}x \\ &\le& \liminf\limits_{n\to \infty}[\left \| u_{n}^{+}\right \|^{2}+b\left | \nabla u_{n} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u_{n}^{+}\right |_{2}^{2}-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\left | u_{n}^{+}\right |^{p}{\rm log}|u_{n}^{+}|^{2})^{-}{\rm d}x]\\ &=&\liminf\limits_{n\to \infty}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\left | u_{n}^{+}\right |^{p}{\rm log}|u_{n}^{+}|^{2})^{+}{\rm d}x\\ &=&\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\left | u^{+}\right |^{p}{\rm log}|u^{+}|^{2})^{+}{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

由此可得

$ \left \| u^{+}\right \|^{2}+b\left | \nabla u \right |_{2}^{2}\left | \nabla u^{+}\right |_{2}^{2} \le \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u^{+}\right |^{p}{\rm log}|u^{+}|^{2}{\rm d}x. $

类似地

$ \left \| u^{-}\right \|^{2}+b\left | \nabla u \right |_{2}^{2}\left | \nabla u^{-}\right |_{2}^{2} \le \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u^{-}\right |^{p}{\rm log}|u^{\pm}|^{2}{\rm d}x. $

结合(1.8) 式, 即有$ \left \langle {I}'(u), u^{\pm}\right \rangle \leq 0 $. 由引理2.4可知存在$ s_{0}, t_{0}\in(0, 1] $使得$ \tilde{u}=s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-} \in {\cal M} $. 因此

(4.9) $ \begin{eqnarray} m\le I(\tilde{u})&={}&(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| \tilde{u} \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla \tilde{u} \right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | \tilde{u}\right |^{p}{\rm d}x \\ &={}&(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-} \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla (s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-}) \right |_{2}^{4}\\ &&+ \frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left |s_{0}u^{+}+t_{0}u^{-} \right |^{p}{\rm d}x\\ &={}&(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})(s_{0}^{2}\left \| u^{+} \right \|^{2}+t_{0}^{2}\left \| u^{-} \right \|^{2})+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})(s_{0}^{4}\left | \nabla u^{+} \right |_{2}^{4}+t_{0}^{4}\left | \nabla u^{-} \right |_{2}^{4}\\ &&+2s_{0}^{2}t_{0}^{2}\left | \nabla u^{+} \right |_{2}^{2}\left | \nabla u^{-} \right |_{2}^{2})+\frac{2}{p^{2}}(s_{0}^{p}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u^{+} \right |^{p}{\rm d}x+t_{0}^{p}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u^{-} \right |^{p}{\rm d}x)\\ & \le {}&(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| u \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla u \right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u \right |^{p}{\rm d}x\\ & \le {}&\liminf\limits_{n\to \infty }\left[ (\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| u_{n} \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p}) \left | \nabla u_{n} \right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{n}\right|^{p}{\rm d}x\right]\\ & ={}&\liminf\limits_{n\to \infty }I(u_{n})=m, \end{eqnarray} $

这意味着$ s_{0}=t_{0}=1 $, 即$ \tilde{u}=u\in{\cal M} $且满足$ I(u)=m $. 类似可证$ c > 0 $可达.

引理4.6  假设函数$ V $满足条件$ (V_{2}) $, 则$ c > 0 $可达.

证   假设$ \{u_{n}\}\subset {\cal N} $是$ c $的一个极小化序列, 即当$ n \rightarrow +\infty $有$ I(u_{n})\to c. $

因此

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty}I(u_{n})=\lim\limits_{n \to \infty}\left[(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| u_{n} \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla u_{n}\right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|u_{n}|^{p}{\rm d}x\right]=c. \end{eqnarray*} $

类似引理4.5的证明, 可知$ \left \{ u_{n}\right \} $在空间$ H^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $中有界且$ \|u_n \| $不为0.

因此我们有如下的结论: 存在$ \left \{ x_{n}\right \}\subset {{\Bbb R}} ^{3} $使得

(4.10) $ \begin{equation} \liminf\limits_{n\to \infty }\int_{B_{1}(x_{n})}\left | u_{n}\right |^{p}{\rm d}x>0, \end{equation} $

其中$ B_{1}(y)=\left \{ z\in {{\Bbb R}} ^{3}: \left | y-z \right | < 1 \right \} $.

下面用反证法来证明该结论. 假设$ \lim\limits_{n\to \infty}\sup\limits_{y \in {{\Bbb R}} ^{3}}\int_{B_{1}(y)}\left | u_{n}\right |^{p}{\rm d}x=0 $. 由集中紧引理(参见文献[21, Theorem 1.34] 或[26])可知: 对任意$ s \in (4, 6) $, 在空间$ L^{s}({{\Bbb R}} ^{3}) $中有$ u_{n}\to 0 $. 此外, 因为$ \left \{ u_{n}\right \}\subset {\cal N} $, 对于任意$ p < q < 6 $有

$ \left \| u_{n} \right \|^{2} \le \left \| u_{n} \right \|^{2}+b\left | \nabla u_{n} \right |_{2}^{4}=\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{n}\right |^{p}{\rm log}u_{n}^{2}{\rm d}x \le \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\left | u_{n}\right |^{p}{\rm log}u_{n}^{2})^{+}{\rm d}x \le C_{q}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{n}\right |^{q}{\rm d}x. $

因此, 存在$ C > 0 $使得

$ \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | u_{n}\right |^{q}{\rm d}x\ge C>0, $

与假设矛盾. 因此(4.10) 式成立.

注意到对于任意序列$ x_{n}\in {{\Bbb R}} ^{3} $, 我们有$ \left \{ u_{n}(\cdot +x_{n})\right \} $仍然是$ c $的一个有界极小化序列. 记$ v_{n}: =u_{n}(\cdot+x_{n}) $, 从而存在子列仍记为$ \{v_{n}\} $以及$ v \in H^{1}({{\Bbb R}} ^{3})\setminus \left \{ 0 \right \} $使得当$ n\rightarrow \infty $时, 有

$ \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{l} v_{n}\rightharpoonup v \quad \mbox{于}\ H^{1}({{\Bbb R}} ^{3}), \\ v_{n}\to v\quad \mbox{于}\ L_{{\rm loc}}^{s}({{\Bbb R}} ^{3}), \ \ s\in(2, 6), \\ v_{n}\to v\quad \mbox{a.e.}\ \ x\in{{\Bbb R}} ^{3}. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

下面, 我们证明$ J(v)=0 $且$ I(v)=c $. 首先, 假设$ J(v) < 0 $. 通过引理2.4, 存在$ 0 < t_{0} < 1 $使得$ t_{0}v \in {\cal N} $. 由$ c $的定义和范数的弱下半连续性, 有

$ \begin{eqnarray*} c\le I(t_{0}v) & =& (\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| t_{0}v \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla (t_{0}v) \right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}} \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | t_{0}v \right |^{p}{\rm d}x \\ &=&(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})t_{0}^{2}\left \|v \right \|^{2}+bt_{0}^{4}(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla v\right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}t_{0}^{p}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left |v \right |^{p}{\rm d}x\\ &<&(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \|v \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla v \right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}} \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left |v \right |^{p}{\rm d}x\\ &\le& \liminf\limits_{n\to \infty}\left[(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \|v_{n} \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla v_{n}\right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}} \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v_{n}\right |^{p}{\rm d}x\right] = c, \end{eqnarray*} $

由此导出矛盾. 另一方面, 若假设$ J(v) > 0 $, 由引理4.1有

(4.11) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^{3}} \left | v_{n} \right |^{p}{\rm log}v^{2}_{n}{\rm d}x=\int_{{{\Bbb R}} ^{3} }\left | v _{n}-v\right |^{p} {\rm log}\left | v _{n}-v \right |^{2}{\rm d}x+\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v \right | ^{p} {\rm log}v^{2}{\rm d}x+o(1). \end{equation} $

又由$ v_{n}\rightharpoonup v $在$ H^{1}({{\Bbb R}} ^{3}) $以及文献[21, Lemma 1.32], 可得

(4.12) $ \begin{equation} | \nabla v_{n}|_{2}^{2}= | \nabla (v_{n}-v)|_{2}^{2}+| \nabla v|_{2}^{2}+o(1), \end{equation} $

(4.13) $ \begin{equation} | \nabla v_{n}|_{2}^{4}= | \nabla (v_{n}-v)|_{2}^{4}+| \nabla v|_{2}^{4}+2| \nabla (v_{n}-v)|_{2}^{2}| \nabla v|_{2}^{2}+o(1), \end{equation} $

(4.14) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v_{n}\right |^{2}{\rm d}x=\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v_{n}-v\right |^{2}{\rm d}x+\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v\right |^{2}{\rm d}x+o(1). \end{equation} $

联立(4.11)–(4.14) 式, 我们可以得到

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty}[J(v_{n})-J(v_{n}-v)-J(v)]=\lim\limits_{n \to \infty}[-J(v_{n}-v)-J(v)]=\lim\limits_{n \to \infty}2| \nabla (v_{n}-v)|_{2}^{2}| \nabla v|_{2}^{2}\geq 0. \end{eqnarray*} $

结合$ J(v) > 0 $可知: 当$ n $充分大时, 有$ J(v_{n}-v) < 0 $. 类似可得: 存在$ 0 < t_{0} < 1 $使得$ t_{0}(v_{n}-v)\in {\cal N} $, 因此$ I[t_{0}(v_{n}-v)]\geq c $. 所以

$ \begin{eqnarray*} c&\le {}&\liminf\limits_{n\to \infty}I[t_{0}(v_{n}-v)]\\ & =&\liminf\limits_{n\to \infty}\left[(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \|t_{0}(v_{n}-v) \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla t_{0}(v_{n}-v) \right |_{2}^{4}\right. +\left.\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | t_{0}(v_{n}-v)\right |^{p}{\rm d}x\right] \\ & ={}&\liminf\limits_{n\to \infty}\left[t_{0}^{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| v_{n}-v \right \|^{2}+t_{0}^{4}b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla (v_{n}-v) \right |_{2}^{4}\right. \left.+t_{0}^{p}\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v_{n}-v\right |^{p}{\rm d}x\right]\\ &< {}&\liminf\limits_{n\to \infty}\left[(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| v_{n}-v \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla (v_{n}-v) \right |_{2}^{4}\right. +\left.\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v_{n}-v\right |^{p}{\rm d}x \right]. \end{eqnarray*} $

进一步, 由(4.12) 和(4.13) 式可得

$ \begin{eqnarray*} c&\le &\liminf\limits_{n\to \infty}I[t_{0}(v_{n}-v)]\\ & <&\liminf\limits_{n\to \infty}\left[(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})(\left \| v_{n}\right \|^{2}-\left \| v \right \|^{2})+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\right.(\left |\nabla v_{n}\right |_{2}^{4}-\left |\nabla v\right |_{2}^{4}\\ & & -2|\nabla (v_{n}-v) |_{2}^{2}|\nabla v|_{2}^{2})+\left.\frac{2}{p^{2}}(\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v_{n} \right |^{p}{\rm d}x-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v \right |^{p}{\rm d}x)\right]\\ &\leq{}&\liminf\limits_{n\to \infty}\left[(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})(\left \| v_{n}\right \|^{2}-\left \| v \right \|^{2})+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\right.(\left |\nabla v_{n}\right |_{2}^{4}-\left |\nabla v\right |_{2}^{4})\\ && +\frac{2}{p^{2}}(\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v_{n} \right |^{p}{\rm d}x-\left.\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v \right |^{p}{\rm d}x)\right]\\ & ={}&\liminf\limits_{n\to \infty}\left[(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| v_{n} \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla v_{n} \right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v_{n}\right |^{p}{\rm d}x\right.\\ & &-(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| v \right \|^{2}-b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla v \right |_{2}^{4}-\left.\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v\right |^{p}{\rm d}x\right] \\ &={}& c-\left[(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| v \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla v \right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v\right |^{p}{\rm d}x\right]. \end{eqnarray*} $

因为$ \left \| v \right \|^{2} > 0 $, $ \left | \nabla v\right |_{2}^{4} > 0 $及$ \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v \right |^{p}{\rm d}x > 0 $, 由此上式不成立得到矛盾. 所以$ J(v)=0 $, 即$ v \in {\cal N} $. 同时, 由范数的弱下半连续性有

$ \begin{eqnarray*} c\le I(v) & =&(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| v \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla v \right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v \right | ^{p}{\rm d}x\\ &\le& \liminf\limits_{n\to \infty }\left[(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\left \| v_{n} \right \|^{2}+b(\frac{1}{4}-\frac{1}{p})\left | \nabla v_{n} \right |_{2}^{4}+\frac{2}{p^{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\left | v_{n}\right |^{p}{\rm d}x\right]\\ & = &\liminf\limits_{n\to \infty }I(v_{n}) \\ & = &c, \end{eqnarray*} $

这意味着$ I(v)=c $且有$ v\in {\cal N} $, 即引理得证.