向量均衡在投资决策、优化控制和管理科学等多个领域有着广泛的应用, 是应用数学研究的热点问题之一. 解的最优性条件和对偶定理是向量均衡问题研究的两个核心内容. 次微分和次梯度是刻画非光滑向量均衡问题的有力工具^[1], 例如: 文献[2]借助Studniarski导数, 获得了向量均衡问题弱有效解的最优性条件; 文献[3]以Contingent导数为工具, 探讨了向量均衡问题Henig有效解、全局有效解和超有效解的最优性结果; 文献[4]利用Michel-Penot次微分, 得到了向量均衡问题Henig有效解和超有效解的最优性理论; 在Asplund空间中, 文献[5]给出了Mordukhovich次微分形式下近似拟弱有效解、近似拟Henig有效解和近似拟全局有效解的最优性必要条件; 文献[6-8]讨论了由Clarke次微分刻画的向量均衡问题的最优性定理. 近似次微分^[9]是一类重要的非光滑分析工具, 它是Clarke次微分的精细化, 有许多良好的性质. 有关近似次微分形式下向量均衡问题弱有效解的最优性条件参见文献[10]. 本文将以近似次微分为工具, 研究一类约束向量均衡问题(Constrained Vector Equilibrium Problem) (CVEP) 关于近似解的最优性条件.

在实际问题中, 利用数值算法所得的解大多是近似解, 因此, 研究向量均衡问题的近似解有重要的理论价值和实际意义. 此外, 函数的凸性及其推广在建立向量均衡问题最优性充分条件中起到了至关重要的作用. 文献[10]引入了一种广义不变凸函数的概念, 并在其假设下, 给出了向量均衡问题弱有效解的最优性充分条件. 文献[11]在伪凸和拟凸函数假设下, 讨论了向量均衡问题有效解的最优性条件. 本文将引入一种更弱的广义凸函数, 称之为近似伪拟type-Ⅰ函数, 并在其假设下, 探究问题(CVEP) 近似拟弱有效解的最优性条件.

众所周知, 对偶是最优化理论研究的核心内容之一^[12]. 文献[13]和[14]分别建立了混合向量均衡问题有效解和近似有效解的对偶定理. 文献[15]利用锥的拟相对内部定理, 研究了向量均衡问题有效解的对偶定理. Mond-Weir对偶是一类经典的对偶模型^[16], 文献[17]讨论了向量均衡问题全局有效解的Mond-Weir型对偶定理. 值得注意的是, 目前有关向量均衡问题近似解对偶理论的研究相对较少. 本文将引入问题(CVEP) 的近似Mond-Weir对偶模型, 并建立其与原问题关于近似拟弱有效解的对偶理论.

文章的安排如下: 第2节, 给出本文后续用到的一些符号、定义和引理; 第3节, 利用近似次微分, 在引入的近似伪拟type-Ⅰ函数假设下, 建立问题(CVEP) 近似拟弱有效解的最优性条件; 第4节, 引入问题(CVEP) 的广义近似Mond-Weir对偶模型, 建立其与原问题关于近似拟弱有效解的对偶理论.

令${{\Bbb R}} ^{n}$为$n$维Euclid空间, $E$是${{\Bbb R}} ^{n}$中的一个非空子集, ${\rm int}(E)$, $cl(E)$和$co(E)$分别表示集合$E$的内部, 闭包和凸包. 用${\Bbb B}({\bar{x}}, r)$表示以$\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$为心, 以$r>0$为半径的开球, $\|\cdot\|$表示范数. 对任意的$x, y\in {{\Bbb R}} ^{n}$, $x$和$y$之间的内积表示为$\langle x, y\rangle$. 记

令$C\subset {{\Bbb R}} ^{m}$是一个点、闭凸锥, $C$的对偶锥定义为^[18]

引理2.1^[2]  令$C\subset{{\Bbb R}} ^{m}$是一个的点、闭凸锥, 则有

(ⅰ) 若$\lambda\in C^{*}\backslash\{0\},$$y\in {\rm int}C,$则有$\langle \lambda, y\rangle>0;$

(ⅱ) 若$\lambda\in {\rm int}C^{*},$$y\in C\backslash\{0\},$则有$\langle \lambda, y\rangle>0.$

令$K\subset{{\Bbb R}} ^{n}$是一个非空子集, $K$在点$\bar{x}\in K$处的Clarke切锥和法锥分别定义为^[18]

若$K$为凸集, $K$在点$\bar{x}$处的Clarke法锥^[18]可表示为

令映射$F:{{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{m}$. 称$F$在$\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$处为局部Lipschitz的, 若存在常数$L>0$和$r>0$使得

若对任意的$x\in {{\Bbb R}} ^{n}$, 映射$F$在$x$处均为局部Lipschitz的, 则称$F$为局部Lipschitz映射. 特别对于实值局部Lipschitz函数$f: {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}}$ (${{\Bbb R}}$表示实数集), $f$在$\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$处沿着方向$d\in {{\Bbb R}} ^{n}$的Clarke广义方向导数^[18], 定义为

$f$在$\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$处的Clarke次微分^[18], 记为

下面给出局部Lipschitz函数在Clarke次微分形式下的链式法则.

引理2.2^[18]  若$F: {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{m}$ 在 $\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$ 处是局部 Lipschitz 的, $f: {{\Bbb R}} ^{m}\rightarrow {{\Bbb R}}$ 在 $F(\bar{x})$ 处是局部 Lipschitz 的, 则有

由于(2.1)式中含有闭包和凸包的运算, 这意味着利用(2.1)式不能直接得到经典的Fermat准则, 即: $0\in \partial^{C} (f\circ F)(\bar{x})$. 为此, Ioffe^[9]引入了近似次微分 (Approximate subdifferential) 的概念: 令 $f: {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}}$ 在 $\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$ 处是局部 Lipschitz 函数, $f$ 在 $\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$ 处沿着方向 $d\in {{\Bbb R}} ^{n}$ 的下Dini 方向导数^[6], 定义为

$f$在$\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$处的下$Dini$次微分^[6], 记

设$\Gamma$是${{\Bbb R}} ^{n}$的一个闭子空间, 定义

令$\digamma$表示${{\Bbb R}} ^{n}$中子空间的集合, 则$f$在$\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$处的近似次微分^[6], 定义为

令$K\subset {{\Bbb R}} ^{n}$是一个非空闭子集, $K$在点$x\in K$处的近似法锥^[6], 记为

其中, $d_{K}:{{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}}$表示空间${{\Bbb R}} ^{n}$中一点到$K$的距离函数, 具体为

令$K\subset{{\Bbb R}} ^{n}$是一个非空子集, $\delta_{K}$表示$K$上的指示函数, 定义为

若$K$是闭集, 则$\delta_{K}(x)$是下半连续函数^[10].

近似次微分有如下性质.

引理2.3^{[9, 19]}  令$K\subset {{\Bbb R}} ^{n}$是一个非空子集, $x\in {{\Bbb R}} ^{n}$, $f: {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}}$是一个局部Lipschitz函数, $g: {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}}$是一个下半连续函数. 则

(ⅰ) 对任意的$t>0,$$\partial^{A} f(tx)\subset t\partial^{A}f(x);$

(ⅱ) $\partial^{A}(f+g)(x)\subset \partial^{A} f(x)+\partial^{A} g(x);$

(ⅲ) $\partial^{A}f(x)\subset \partial^{C} f(x);$

(ⅳ) $N_{C}(x; K )=cl(co(N_{A}(x; K))),$$\forall x\in K$;

(ⅴ) 若$K$是闭集, 则有$N_{A}(x; K)=\partial^{A}\delta_{K}(x);$

(ⅵ) 若$x$是$g$的局部最小值点, 则有$0\in \partial^{A}g(x).$

文献[19]指出, 在强紧Lipschitz映射下, 近似次微分有和Clarke次微分类似的链式法则.

引理2.4^[19]  令$F: {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{m}$在$\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$处是强紧Lipschitz的, $f: {{\Bbb R}} ^{m}\rightarrow {{\Bbb R}}$在$F(\bar{x})$处是局部Lipschitz的, 则

引理2.5^[19]  令$\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$, 映射$F, G: {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{m}$.

(ⅰ) 若$F$在$\bar{x}$处是强紧Lipschitz的, 则$F$在$\bar{x}$处是局部Lipschitz的;

(ⅱ) 若$F$和$G$在$\bar{x}$处都是强紧Lipschitz的, 则$F+G$在$\bar{x}$处是强紧Lipschitz的;

(ⅲ) 在有限维空间中, $F$是强紧Lipschitz的当且仅当$F$是局部Lipschitz的.

Gerstewitz函数是一类重要的非线性标量化函数^[20], 它被证明是刻画向量优化的一种有效工具. 下面给出Gerstewitz函数的概念和一些重要的性质.

引理2.6^[20]  令$C\subset {{\Bbb R}} ^{m}$是一个点、闭凸锥, $\bar{e}\in {\rm int}C\neq\emptyset$, Gerstewitz函数$\Psi_{\bar{e}}:{{\Bbb R}} ^{m}\rightarrow {{\Bbb R}}$定义为

则函数$\Psi_{\bar{e}}$是连续的和局部Lipschitz的.

引理2.7^{[10, 20]}  令$C\subset {{\Bbb R}} ^{m}$是一个点、闭凸锥, $\bar{e}\in {\rm int}C$, 函数$\Psi_{\bar{e}}:{{\Bbb R}} ^{m}\rightarrow {{\Bbb R}}$. 则有

(ⅰ) $\Psi_{\bar{e}}(y)\leq t\Leftrightarrow y\in t\bar{e}-C.$

(ⅱ) $\Psi_{\bar{e}}(y)\geq t\Leftrightarrow y\notin t\bar{e}-{\rm int}C;$

(ⅲ) $\partial^{C}\Psi_{\bar{e}}(y)=\{\lambda\in C^{*}: \langle \lambda , y\rangle=\Psi_{\bar{e}}(y)\};$

(ⅳ) $\partial^{C}\Psi_{\bar{e}}(y)\subset C^{*}\backslash\{0\}.$

令$K\subset {{\Bbb R}} ^{n}$为非空闭凸子集, $C\subset {{\Bbb R}} ^{m}$, $D\subset {{\Bbb R}} ^{l}$是点、闭凸锥, $F:K\times K\rightarrow {{\Bbb R}} ^{m},$$G:K\rightarrow {{\Bbb R}} ^{l}$均是向量值映射. 考虑如下的约束向量均衡问题:

其中

本文约定$F(\bar{x}, \bar{x})=0$. 对$\bar{x}\in \Omega$, 定义

定义2.1  令$\varepsilon\geq0$, $\bar{e}\in {\rm int}C$. 称$\bar{x}\in \Omega$是问题(CVEP) 的$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解, 若

下面给出一个近似拟弱有效解的例子.

例2.1  令$K={{\Bbb R}} ,$$C=D={{\Bbb R}} ^{2}_{+},$${\rm int}C={{\Bbb R}} ^{2}_{++},$$F: {{\Bbb R}} \times {{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}} ^{2}$定义为

取$\varepsilon=1,$$\bar{e}=(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})\in {\rm int}C$, $\bar{x}=0$. 计算得到$\Omega={{\Bbb R}}$, 且对任意的$x\in \Omega$, 由于

因此, $\bar{x}=0$是该问题的一个$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解.

本节首先在近似次微分下, 建立了问题(CVEP) 近似拟弱有效解的最优性必要条件. 其次, 引入了一种广义凸性的概念, 并在其假设下, 建立了问题(CVEP) 近似拟弱有效解的最优性充分条件.

定理3.1  在问题(CVEP) 中, 令$\varepsilon\geq0,$$(\bar{e}\times \hat{e})\in {\rm int}(C\times D)$, $\bar{x}\in \Omega$, 映射$F_{\bar{x}}$和$G$在$\bar{x}$处是强紧Lipschitz的. 若$\bar{x}$是问题(CVEP) 的$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解, 则存在$(\bar{\lambda}, \bar{\mu})\in (C^{*}\times D^{*})\backslash\{(0, 0)\}$使得

其中$\bar{\lambda }\circ F_{\bar{x}}(\cdot):=\langle \bar{\lambda}, F_{\bar{x}}(\cdot)\rangle$, ${\Bbb B}$表示${{\Bbb R}} ^{n}$中的闭单位球.

证  先证(3.1)式成立. 若$\bar{x}$是问题(CVEP) 的$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解, 则有

对任意的$x\in \Omega$, 则有$x\in K$且$G(x)\in -D$, 故有

由引理2.7(ⅱ), 得到

令$H(x)=(F_{\bar{x}}(x)+\varepsilon\|x-\bar{x}\|\bar{e}, G(x))$, 则有

特别地, 有

注意到$F(\bar{x}, \bar{x})=0,$且$(0, G(\bar{x}))\in-(C\times D),$根据引理2.7(ⅰ), 可得到

由(3.4)式, 故有

再结合(3.3)式, 得到

这意味着$\bar{x}$是函数$\Psi_{(\bar{e}\times \hat{e})}\circ H(x)$在$K$上的最小值点, 则$\bar{x}$也是函数$\Psi_{(\bar{e}\times \hat{e})}\circ H(x)+\delta_{K}(x)$在${{\Bbb R}} ^{n}$上的最小值点. 根据引理2.3 (ⅵ) 和(ⅱ), 得到

已知$K$是闭集, 根据引理2.3(ⅴ), 得到

从(3.5)式, 故有

已知映射$F_{\bar{x}}$和$G$是强紧Lipschitz的, $\|\cdot-\bar{x}\|$是局部Lipschitz的, 由引理2.4, 则$F_{\bar{x}}(\cdot)+\|\cdot-\bar{x}\|$是强紧Lipschitz的, 因此映射$H$是强紧Lipschitz的. 又因为函数$\Psi_{(\bar{e}\times \hat{e})}$是局部Lipschitz的, 根据引理2.3(ⅱ), 所以有

故存在$\bar{\Lambda}\in\partial^{A} \Psi_{(\bar{e}\times \hat{e})}(H(\bar{x}))$使得

令$\bar{\Lambda}=(\bar{\lambda}, \bar{\mu})\in\partial^{A} \Psi_{(\bar{e}\times \hat{e})}(H(\bar{x})),$则有

通过引理2.3(ⅲ) 和引理2.7(ⅳ), 得到

由此得到$(\bar{\lambda}, \bar{\mu})\in (C^{*}\times D^{*})\backslash\{(0, 0)\}.$由于$H(x)=(F_{\bar{x}}(x)+\varepsilon\|x-\bar{x}\|\bar{e}, G(x))$, 结合(3.6)式, 则有

再由引理2.3(ⅲ) 和(ⅳ), 可得

因此有

下证(3.2)式成立. 由于

由引理2.7(ⅳ), 可得

故有

因此(3.2) 式也成立.

下面给出近似伪拟type-Ⅰ函数的概念, 并在其假设下, 建立问题(CVEP) 的最优性充分条件.

定义3.1  令$\varepsilon\geq0$, 函数$f, g: {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}} .$称函数$(f, g)$在$\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$处是$\varepsilon$ -伪拟type-Ⅰ的, 若对任意的$\xi\in\partial^{C} f(\bar{x})$, $\eta\in\partial^{C} g(\bar{x})$使得

注3.1  若$\varepsilon=0,$$g=0$, 则$\varepsilon$ -伪拟type-Ⅰ函数退化为文献[14]中的伪凸函数, 也即是: 称函数$f$在$\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$处是伪凸的, 若对任意的$\xi\in\partial^{C} f(\bar{x})$使得

下面的例3.1一方面说明了近似伪拟type-Ⅰ函数的存在性, 另一方面也指出: 伪拟type-Ⅰ函数不一定是伪凸函数.

例3.1  令$K={{\Bbb R}} _{+}$. 函数$f, g: K\rightarrow {{\Bbb R}}$分别定义为

取$\varepsilon=1,$$\bar{x}=0$. 计算可得$\partial^{C} f(0)=[-1, 2]$, $\partial^{C} g(0)=\{-1\}$. 因此, 对任意的$\xi\in \partial^{C} f(0)$, $\eta\in \partial^{C} g(0)$, 由于

并且

因此, 函数$(f, g)$在$\bar{x}=0$处是$1$ -伪拟type-Ⅰ的. 此外, 若取$2=\xi\in \partial^{C} f(0)$, 对任意的$x\in(2, +\infty)$得到

然而

因此, 函数$f$在$\bar{x}=0$处不是伪凸的.

定理3.2  在问题(CVEP), 令$\varepsilon\geq0,$$\bar{e}\in {\rm int}C,$$\bar{x}\in K,$映射$F_{\bar{x}}$和$G$在$\bar{x}$处均是强紧Lipschitz的, 且存在$\bar{\lambda}\in C^{*}\backslash\{0\}$, $\bar{\mu}\in D^{*}$使得(3.1) 和(3.2) 式成立. 若函数$(\bar{\lambda}\circ F_{\bar{x}}, \bar{\mu}\circ G)$在$\bar{x}$处是$\langle\bar{\lambda}, \bar{e}\rangle\varepsilon$ -伪拟type-Ⅰ的, 则$\bar{x}$是问题(CVEP) 的$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解.

证  由(3.1) 式, 可知存在$\bar{\xi}\in \partial^{A}(\bar{\lambda}\circ F_{\bar{x}}(\bar{x})),$$\bar{\eta}\in\partial^{A}(\bar{\mu}\circ G(\bar{x})),$$\rho\in N_{C}(\bar{x}; K),$$b\in {\Bbb B}$使得

对任意的$x\in K$, 则有

注意到$K$是凸集, 故有

从(3.7)式可知

因为$b\in {\Bbb B},$所以$\|b\|=1$, 且有

由(3.8)式, 可得

假设$\bar{x}$不是问题(CVEP) 的$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解, 则存在$\hat{x}\in \Omega$使得

由于$\bar{\lambda}\in C^{*}\backslash\{0\}$, 根据引理2.1, 可得

此即是

注意到$F(\bar{x}, \bar{x})=0,$则有

另一方面, 因为$\hat{x}\in \Omega$, 所以有$G(\hat{x})\in -D$. 由于$\bar{\mu}\in D^{*}$, 则有$\langle \bar{\mu}, G(\hat{x})\rangle\leq0$. 再结合(3.2)式, 可得到

由于$\bar{\xi}\in \partial^{A}(\bar{\lambda}\circ F_{\bar{x}}(\bar{x})),$$\bar{\eta}\in\partial^{A}(\bar{\mu}\circ G(\bar{x})),$由引理2.3(ⅲ), 得到$\bar{\xi}\in \partial^{C}(\bar{\lambda}\circ F_{\bar{x}}(\bar{x})),$$\bar{\eta}\in\partial^{C}(\bar{\mu}\circ G(\bar{x}))$. 已知函数$(\bar{\lambda}\circ F_{\bar{x}}, \bar{\mu}\circ G)$在$\bar{x}$处是$\langle\bar{\lambda}, \bar{e}\rangle\varepsilon$ -伪拟type-Ⅰ的, 故有

因此

这与(3.9)式矛盾. 因此$\bar{x}$是问题(CVEP) 的$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解.

本节引入问题(CVEP) 的广义近似Mond-Weir对偶模型, 并讨论其与原问题关于近似拟弱有效解的对偶定理. 本节总假设$\varepsilon\geq0$, $\bar{e}\in {\rm int}C$, $K\subset {{\Bbb R}} ^{n}$为非空子集, $\bar{x}\in K$.

令$F_{\bar{x}}:K\rightarrow {{\Bbb R}} ^{m},$$G:K\rightarrow {{\Bbb R}} ^{l}$是向量值映射, 考虑如下的$\varepsilon$-Mond-Weir对偶问题$\mbox{(DVEP)}^{\varepsilon}$:

记问题$\mbox{(DVEP)}^{\varepsilon}$的可行域为$\Phi_{D},$定义为

定义4.1  称$(\bar{v}, \bar{\lambda}, \bar{\mu})\in \Phi_{D}$是对偶问题$\mbox{(DVEP)}^{\varepsilon}$的$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解. 若

下面引入两种广义凸函数的概念, 并在这两种广义凸性假设下, 建立问题(CVEP) 的对偶定理.

定义4.2  令$r\in {{\Bbb R}}$且$r\neq 0$, 函数$f: {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}} .$

(ⅰ) 称函数$f$在$\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$处是拟-$r$-凸的, 若对任意的$\xi\in\partial^{A} f(\bar{x})$使得

(ⅱ) 称函数$f$在$\bar{x}\in {{\Bbb R}} ^{n}$处是$\varepsilon$ -严格拟-$r$-凸的, 若对任意的$\xi\in\partial^{A} f(\bar{x})$使得

下面是一个近似严格拟-$r$-凸函数的例子.

例4.1  令$K={{\Bbb R}} _{+}$, $r\in {{\Bbb R}}$且$r\neq 0$, 函数$f: K\rightarrow {{\Bbb R}}$定义为

取$\varepsilon=\frac{1}{4},$$\bar{x}=0$. 计算可得$\partial^{A} f(0)=[-1, -\frac{2}{3}]$. 对任意的$x\in K$且$x\neq \bar{x}$, 由于

已知任意的$r\in {{\Bbb R}}$且$r\neq 0$, 则得到

并且对任意的$\xi\in\partial^{A} f(0)$, 有

因此, 函数$f$在$\bar{x}=0$处是$\frac{1}{4}$ -严格拟-$r$-凸的.

下面首先建立问题(CVEP) 和对偶问题$\mbox{(DVEP)}^{\varepsilon}$关于近似拟弱有效解的弱对偶定理.

定理4.1(弱对偶)  令$r\in {{\Bbb R}}$且$r\neq 0$, $(v, \lambda, \mu)\in \Phi_{D}$. 若函数$(\lambda\circ F_{\bar{x}})$在$v\in K$处是$\langle\lambda, \bar{e}\rangle\varepsilon$ -严格拟-$r$- 凸的, 函数$(\mu\circ G)$在$v\in K$处是拟-$r$-凸的, 则有

证  已知$(v, \lambda, \mu)\in \Phi_{D}$, 则有

故存在$\xi\in \partial^{A}(\lambda \circ F_{\bar{x}})(v)$, $\eta\in \partial(\mu\circ G)(v)$, $\rho\in N_{C}(v; K)$和$b\in {\Bbb B}$使得

对任意的$x\in \Omega$, 则有$x\in K$. 故得到

由于$K$是凸集, 则有

因此

因为$b\in {\Bbb B},$所以$\|b\|=1,$且有

这意味着

假设(4.1)式不成立, 则存在$\hat{x}\in \Omega$使得

由于$\lambda\in C^{*}\backslash \{0\}$, 通过引理2.1, 得到

也即是

由于$r\in {{\Bbb R}}$且$r\neq 0$, 可得

因为函数$(\lambda\circ F_{\bar{x}})$在$v\in K$处是$\langle\lambda, \bar{e}\rangle\varepsilon$ -严格拟- $r$ -凸的, 且$\xi\in \partial^{A}(\lambda \circ F_{\bar{x}})(v)$, 所以有

此外, 由于$\hat{x}\in \Omega$, 则有$G(\hat{x})\in -D$. 已知$G(v)\in D$, 并且$\mu\in D^{*}$, 故得到

因此有

注意到$\eta\in \partial^{A}(\mu\circ G)(v)$, 并且$(\mu\circ G)$在$v\in K$处是拟-$r$-凸的, 故有

结合(4.3)和(4.4)式, 得到

这与(4.2)式矛盾, 因此(4.1)式成立.

定理4.2 (强对偶)  令$r\in {{\Bbb R}}$, $r\neq 0$, $\bar{x}\in \Omega$是问题(CVEP) 的$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解, 且存在$\bar{\lambda}\in C^{*}\backslash \{0\}, \bar{\mu}\in D^{*}$使得(3.1)和(3.2)式成立. 若函数$(\bar{\lambda}\circ F_{\bar{x}})$在$\bar{x}$处是$\langle\bar{\lambda}, \bar{e}\rangle\varepsilon$ -严格拟-$r$-凸的, 函数$(\bar{\mu}\circ G)$在$\bar{x}$处是拟-$r$-凸的, 则$(\bar{x}, \bar{\lambda}, \bar{\mu})$是对偶问题$\mbox{(DVEP)}^{\varepsilon}$的$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解.

证  若$\bar{x}\in \Omega$是问题(CVEP) 的$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解, 且存在$\bar{\lambda}\in C^{*}\backslash \{0\}, \bar{\mu}\in D^{*}$使得(3.1) 和(3.2) 式成立, 则有

由于函数$(\bar{\lambda}\circ F_{\bar{x}})$在$\bar{x}$处是$\langle\bar{\lambda}, \bar{e}\rangle\varepsilon$ -严格拟-$r$-凸的, 函数$(\bar{\mu}\circ G)$在$\bar{x}$处是拟-$r$-凸的, 根据定理4.1弱对偶定理的证明, 则对任意的$(x, \lambda, \mu)\in \Phi_{D}$, 得到

因此, $(\bar{x}, \bar{\lambda}, \bar{\mu})$是对偶问题$\mbox{(DVEP)}^{\varepsilon}$ -拟弱有效解.

定理4.3(逆对偶)  令$r\in {{\Bbb R}}$, $r\neq 0$, $\bar{v}\in K$且存在$\bar{\lambda}\in C^{*}\backslash \{0\}, \bar{\mu}\in D^{*}$使得$(\bar{v}, \bar{\lambda}, \bar{\mu})\in \Phi_{D}$. 若函数$(\bar{\lambda}\circ F_{\bar{x}})$在$\bar{v}$处是$\langle\bar{\lambda}, \bar{e}\rangle\varepsilon$ -严格拟-$r$-凸的, 函数$(\bar{\mu}\circ G)$在$\bar{v}$处是拟-$r$-凸的, 则$\bar{v}$是问题(CVEP) 的$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解.

证  假设$\bar{v}$不是问题(CVEP) 的$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解, 则存在$\hat{x}\in \Omega$使得

且

由于$\bar{\lambda}\in C^{*}\backslash\{0\}$, 由引理2.1, 因此

注意到$F(\bar{v}, \bar{v})=0,$因此

已知$r\in {{\Bbb R}}$且$r\neq 0$, 故可得

因为函数$(\bar{\lambda}\circ F_{\bar{v}})$在$\bar{v}\in K$处是$\langle\bar{\lambda}, \bar{e}\rangle\varepsilon$ -严格拟-$r$-凸的, 所以对任意的$\xi\in \partial^{A}(\bar{\lambda} \circ F_{\bar{v}})(\bar{v})$使得

此外, 已知$(\bar{v}, \bar{\lambda}, \bar{\mu})\in \Phi_{D}$, 故有$G(\bar{v})\in D$. 由于$\bar{\mu}\in D^{*}$, 再结合(4.5)式, 因此有

故对任意的$r\in {{\Bbb R}}$且$r\neq 0$, 得到

又因为函数$(\bar{\mu}\circ G)$在$\bar{v}\in K$处是拟-$r$-凸的, 所以对任意的$\eta\in \partial^{A}(\bar{\mu}\circ G)(\bar{v})$使得

从(4.6)和(4.7)式可知: 对任意的$\xi\in \partial^{A}(\bar{\lambda} \circ F_{\bar{v}})(\bar{v})$和任意的$\eta\in \partial^{A}(\bar{\mu}\circ G)(\bar{v})$有

另一方面, 由于$(\bar{v}, \bar{\lambda}, \bar{\mu})\in \Phi_{D}$, 得到

故存在$\bar{\xi}\in \partial^{A}(\bar{\lambda} \circ F_{\bar{v}})(\bar{v})$, $\bar{\eta}\in \partial^{A}(\bar{\mu}\circ G)(\bar{v})$, $\rho\in N_{C}(\bar{v}; K)$和$b\in {\Bbb B}$使得

因此

由于$K$是凸集, 所以

故得到

因为$b\in {\Bbb B},$所以$\|b\|=1.$故有$\langle b, \hat{x}-\bar{v}\rangle\leq \|\hat{x}-\bar{v}\|$. 则可得

这与(4.8)式矛盾, 因此$\bar{v}$是问题(CVEP) 的$\varepsilon \bar{e}$ -拟弱有效解.

本文首先利用Gerstewitz函数, 结合近似次微分形式的连式法则, 获得了一类约束向量均衡问题(CVEP) 近似拟弱有效解的最优性必要条件. 其次, 引入近似伪拟type-Ⅰ函数的概念, 并在其假设下, 给出了问题(CVEP) 近似拟弱有效解的最优性充分条件. 最后, 引入问题(CVEP) 的广义近似Mond-Weir对偶模型$\mbox{(DVEP)}^{\varepsilon}$, 并在一种称之为近似严格拟-$r$-凸性条件下, 获得了对偶问题$\mbox{(DVEP)}^{\varepsilon}$与问题(CVEP) 间关于近似拟弱有效解的弱、强和逆对偶定理.