众所周知, 在等仿射微分几何中, 仿射球的分类是十分有意义且重要的问题, 参见文献[11]的第3章. 在过去的几十年内, 仿射球的研究吸引了众多几何学家. 特别地, 具有平行Fubini-Pick形式(也称cubic形式) 的仿射超曲面是一类仿射球^[1]. Bokan, Nomizu和Simon^[1]最早研究了这个课题, 之后有众多学者对具有平行(关于Blaschke-Berwald度量的Levi-Civita联络) Fubini-Pick形式的仿射超曲面进行了广泛研究. 对于这类仿射曲面的分类, Magid和Nomizu^[17]研究了非退化的情形, Li和Penn^[13]研究了局部强凸的情形. Dillen和Vrancken^[5], Dillen, Vrancken和Yaprak^[6]分别对3维和4维具有平行Fubini-Pick形式的局部强凸仿射超曲面进行了分类. 随后, Hu, Li, Simon和Vrancken^[7]分类了7维及以下此类仿射超曲面并给出了一些仿射球的新例子. 最终, Hu, Li和Vrancken^[8]于2011年完全解决了具有平行Fubini-Pick形式的局部强凸仿射超曲面的分类问题.

在中心仿射微分几何中, Cheng, Hu和Moruz^[4]完成了具有平行(关于中心仿射度量的Levi-Civita联络) Fubini-Pick形式的局部强凸中心仿射超曲面的分类. 另一方面, Liu和Wang^[16]解决了具有平行迹为零的cubic形式的中心仿射曲面的分类问题. 在局部强凸中心仿射超曲面上, Cheng和Hu^[3]通过一个最优不等式将离差张量和Tchebychev向量场的协变微分的模长联系起来, 并应用文献[4]的结果完全分类了具有平行迹为零的离差张量的局部强凸中心仿射超曲面.

设$ f $是定义在区域$ \Omega\;(\subset {\mathbb R}^n) $上的一个光滑严格凸函数, 考虑$ f $的graph浸入超曲面

$ M^n:=\{(x, f(x))\;|\; x\in\Omega\}, $

并选取

$ Y =(0, \cdots, 0, 1)^t\in {\mathbb R}^{n+1} $

作为它的Calabi仿射法矢. 该文把具有Calabi法矢的graph浸入称为Calabi超曲面. 如果一个Calabi超曲面具有平坦Calabi度量和平行(关于Levi-Civita联络) Fubini-Pick形式, 则称其为典范Calabi超曲面. Xu和Li^[19]不仅找到了一类新的典范Calabi超曲面$ Q(c_1, c_2, \cdots, c_r;n) $, 而且分类了具有非负李奇曲率的Calabi完备的Tchebychev仿射Kähler超曲面. 最近, Xu和Lei^[20]对$ {\mathbb R}^{n+1} $中典范Calabi超曲面以及2, 3维具有平行Fubini-Pick形式的Calabi超曲面进行了分类.

定理1.1^[20]  设$ f $是定义在区域$ \Omega (\subset {\mathbb R}^3) $上的光滑严格凸函数. 如果$ f $的graph $ M=\{(x, f(x)) \;| \;x\in\Omega\} $具有平行cubic形式, 则$ M $ Calabi仿射等价于下列超曲面的一个开部分:

(1) 椭圆抛物面; 或

(2) 超曲面$ Q(c_1, \cdots, c_r;3), 1\leq r\leq 3 $; 或

(3) 超曲面

$ x_4=-\frac{1}{2c^2}\ln\left(x_1^2-(x_2^2+x_3^2)\right), $

其中常数$ -2c^2 $是$ M $的数量曲率.

Calabi仿射等价和超曲面$ Q(c_1, \cdots, c_r;3) $的定义分别见下文定义2.1和例子2.1.

运用类似与等仿射几何^[5-8]和中心仿射几何^[4]的方法, 该文把定理1.1的分类结果推广到4维Calabi超曲面并且解决了情况$ {\mathfrak C}_{n-1}(n\geq3) $. 主要定理叙述如下:

定理1.2  设$ f $是定义在区域$ \Omega (\subset {\mathbb R}^4) $上的光滑严格凸函数. 如果$ f $的graph $ M=\{(x, f(x)) | x\in\Omega\} $具有平行cubic形式, 则$ M $ Calabi仿射等价于下列超曲面的一个开部分$ : $

(1) 椭圆抛物面; 或

(2) 超曲面$ Q(c_1, \cdots, c_r;4), 1\leq r\leq 4; $或

(3) 超曲面

$ x_5=-\frac{1}{\mu_1^2}\ln{x_1}+\frac{1}{R}\ln(x_2^2-(x_3^2+x_4^2)); \; \mbox{或} $

(4) 超曲面

$ x_5=\frac{x_1^2}{2}+\frac{1}{R}\ln(x_2^2-(x_3^2+x_4^2));\; \mbox{或} $

(5) 超曲面

$ x_5=\frac{3}{R}\ln(x_1^2-(x_2^2+x_3^2+x_4^2)). $

其中$ R $是超曲面$ M $的数量曲率, (3) 中的常数$ \mu_1 $与Pick不变量$ J $和数量曲率的关系为$ \mu_1^2=12J+\frac{7}{2}R $.

注1.1  关于Calabi度量$ G=\sum \frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}{\rm d}x_i{\rm d}x_j $的体积泛函的欧拉-拉格朗日方程是下面的四阶偏微分方程(参见文献[12]或[14]):

(1.1) $ \begin{equation} \Delta \ln \det\left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\right)=0, \end{equation} $

其中$ \Delta $是Calabi度量的拉普拉斯算子. 由方程(1.1) 的解定义的graph超曲面$ M^n $被称为仿射极值超曲面. 定理1.2中的超曲面既是欧氏完备又是Calabi完备的Tchebychev仿射Kähler超曲面, 因此它们也是完备的仿射极值超曲面.

在这一小节, 我们将回顾Calabi几何的基本知识(参见文献[2, 18]或[12, 3.3.4节]). 设$ f $是定义在区域$ \Omega\;(\subset {\mathbb R}^n) $上的一个光滑严格凸函数, 考虑$ f $的graph超曲面

(2.1) $ \begin{equation} M^n:=\{(x, f(x))\;|\; x\in\Omega\}. \end{equation} $

在超曲面(2.1) 上选取常向量

$ Y=(0, \cdots, 0, 1)^t\in {\mathbb R}^{n+1} $

作为它的相对法矢, 也称为Calabi法化. 相应的相对几何称为Calabi几何, 因此它是一种特殊的相对几何.

关于丛分解$ {\mathbb R}^{n+1}=x_*TM^n\oplus {\mathbb R}\cdot Y $, 位置向量$ x=(x_1, \cdots, x_n, f(x_1, \cdots, x_n)) $满足下面的Gauss方程

(2.2) $ \begin{equation} x_{ij}=(0, \cdots, 0, \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j})= \sum c_{ij}^k x_*\frac{\partial }{\partial x_k}+f_{ij}Y, \end{equation} $

其中普通微分诱导的仿射联络系数$ c_{ij}^k\equiv0 $. 因此超曲面(2.1) 上的相对度量

$ G=\sum \frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}{\rm d}x_i{\rm d}x_j, $

也被称为Calabi度量. 度量$ G $的Christoffel符号为

$ \Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum f^{kl}f_{ijl}. $

如果没有特别说明我们约定

$ f_{ijk}=\frac{\partial^3f}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}, \quad (f^{kl})=(f_{ij})^{-1}. $

因此Gauss结构方程重新表示为

(2.3) $ \begin{equation} x_{, ij}=\sum A_{ij}^kx_*\frac{\partial }{\partial x_k}+G_{ij}Y. \end{equation} $

Fubini-Pick形式(也被称为cubic形式) $ A_{ijk} $和Weingarten张量$ B_{ij} $分别满足

(2.4) $ \begin{equation} A_{ijk}=\sum A_{ij}^lG_{kl}=-\frac{1}{2}f_{ijk}, \quad B_{ij}=0, \end{equation} $

上式说明$ A_{ijk} $关于下指标是全对称的. 切向量场

(2.5) $ \begin{equation} T:=\frac{1}{n}\sum G^{kl}G^{ij}A_{ijk}\frac{\partial}{\partial x_l}=-\frac{1}{2n}\sum f^{kl}f^{ij}f_{ijk}\frac{\partial}{\partial x_l} \end{equation} $

被称为超曲面$ M^n $上的Tchebychev向量场, 并且$ M^n $上的Pick不变量定义为

(2.6) $ \begin{equation} J:=\frac{1}{n(n-1)}\sum G^{il}G^{jp}G^{kq}A_{ijk}A_{lpq}=\frac{1}{4n(n-1)}\sum f^{il}f^{jp}f^{kq}f_{ijk}f_{lpq}. \end{equation} $

如果超曲面$ M^n $的Tchebychev向量场关于Calabi度量$ G $是平行的, 则称$ M^n $是一个Tchebychev仿射Kähler超曲面^[10]. 超曲面的Gauss方程和Codazzi方程分别为

(2.7) $ \begin{equation} R_{ijkl}=\sum f^{mh}(A_{jkm}A_{hil}-A_{ikm}A_{hjl}), \end{equation} $

(2.8) $ \begin{equation} A_{ijk, l}=A_{ijl, k}. \end{equation} $

从方程(2.7) 得到李奇张量

(2.9) $ \begin{equation} R_{ik}=\sum f^{jl}f^{mh}(A_{jkm}A_{hil}-A_{ikm}A_{hjl}). \end{equation} $

因此, 数量曲率满足

(2.10) $ \begin{equation} R=n(n-1)J-n^2|T|^2. \end{equation} $

利用李奇恒等式

(2.11) $ \begin{equation} A_{ijk, lm}-A_{ijk, m l}=\sum A_{rjk}R_{rilm}+\sum A_{irk}R_{rjlm}+\sum A_{ij r}R_{rklm}, \end{equation} $

由(2.7)和(2.8)式, 可得下面两个公式.

引理2.1^[19]  对于一个Calabi超曲面, 下面的两个公式成立:

(2.12) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\Delta|T|^2=\sum T_{i, j}^2+\sum T_{i}T_{j, ji}+\sum R_{ij}T_{i}T_{j}, \end{equation} $

(2.13) $ \begin{equation} \frac{n(n-1)}{2}\Delta J =\sum(A_{ijk, l})^2+\sum A_{ijk}A_{lli, jk}+\sum(R_{ijkl})^2+\sum R_{ij}A_{ipq}A_{jpq}. \end{equation} $

设$ A(n+1) $是$ {\mathbb R}^{n+1} $中的仿射变换群, 则此群可以表示为一般线性群和$ {\mathbb R}^{n+1} $中所有平移的半直积, 即: $ A(n+1)=GL(n+1)\ltimes {\mathbb R}^{n+1} $. 定义

(2.14) $ \begin{equation} SA(n+1)=\{(M, b)\in A(n+1)=GL(n+1)\ltimes {\mathbb R}^{n+1}; M(Y)=Y\}, \end{equation} $

其中$ Y=(0, \cdots, 0, 1)^t $是Calabi仿射法矢. 则子群$ SA(n+1) $包含了所有下列类型的变换$ \phi (\in SA(n+1)) $:

(2.15) $ \begin{eqnarray} X:&=&(X^j, X^{n+1})^t\equiv(X^1, \cdots, X^n, X^{n+1})^t \\ &\mapsto& \phi(X):= \left(\begin{array}{ccc} a^i_j\; &0\\a^{n+1}_j\; &1 \end{array}\right) X+b, \quad \forall\, X\in {\mathbb R}^{n+1}, \end{eqnarray} $

其中$ (a^i_j)\in A(n) $, $ a^{n+1}_j $ ($ j=1, \cdots, n $) 为$ n $个常数, $ b (\in {\mathbb R}^{n+1}) $是常向量. 显然当群$ SA(n+1) $作用到超曲面上时, 超曲面的Calabi度量$ G $是不变的. 或者等价地, 利用群$ SA(n+1) $诱导的作用, 我们对严格凸函数定义下面的映射:

$ f\mapsto (x_i, f(x_i))\mapsto( \tilde x_i, \tilde f( \tilde x_i)):=\phi(x_i, f(x_i))\mapsto \phi(f):= \tilde f, \quad\forall\, \phi\in SA(n+1). $

定义2.1^[19]  给定两个定义在区域$ \Omega, \tilde\Omega (\subset {\mathbb R}^n) $上的超曲面$ (x_i, f(x_i)) $和$ ( \tilde x_i, \tilde f( \tilde x_i)) $, 如果这两个超曲面只相差一个仿射变换$ \phi\in SA(n+1) $, 则称这两个超曲面是Calabi仿射等价的.

相应地, 关于光滑函数有:

定义2.2^[19]  给定两个定义在区域$ \Omega, \tilde\Omega (\subset {\mathbb R}^n) $上的光滑函数$ f $和$ \tilde f $, 以及一个仿射变换$ \varphi\in A(n) $. 如果存在常数$ a^{n+1}_1, \cdots, a^{n+1}_n, b^{n+1}\in {\mathbb R} $使得$ \varphi(\Omega)= \tilde\Omega $以及

(2.16) $ \begin{equation} \tilde f( \varphi(x)) =f(x)+\sum a^{n+1}_j x_j+b^{n+1}, \quad \forall x=(x_1, \cdots, x_n)\in\Omega, \end{equation} $

则称光滑函数$ f $和$ \tilde f $关于$ \varphi $是仿射等价的.

显然, 上面两个定义是相互等价的.

Xu和Li^[19]找到了一类新的典范Calabi超曲面, 并记为$ Q(c_1, c_2, \cdots, c_r;n) $, 也可参见文献[20].

例2.1^{[19, 20]}  给定维数$ n $和常数$ 1\leq r\leq n $, 定义区域

$ \Omega_{r, n}=\{(x_1, \cdots, x_n)\in {\mathbb R}^n; x_1>0, \cdots, x_r>0\}, $

则对于任意正数$ c_1, \cdots, c_r(1\leq r\leq n) $, 定义Calabi超曲面的图函数

(2.17) $ \begin{eqnarray} f(x_1, \cdots, x_n):=-\sum\limits_{i=1}^r c_i\ln x_i+\frac12\sum\limits_{j=r+1}^n x_j^2, \qquad (x_1, \cdots, x_n)\in\Omega_{r, n}. \end{eqnarray} $

本小节首先回顾由Ejiri引入的典型单位正交基. 设$ p\in M^n $并且令$ U_pM^n=\{v\in T_pM^n | G(v, v)=1\} $. 在$ U_pM^n $上定义函数$ F(v)=A(v, v, v) $, 其中$ A $是Fubini-Pick形式. 由于$ M^n $是局部强凸的, 故$ U_pM^n $是紧致的. 因此存在向量$ e_1\in U_pM^n $, 使得$ F(v) $在$ e_1 $处达到绝对的极大值$ \mu_1 $, 并且有下面的引理.

引理3.1^[11]  在$ T_pM^n $上存在一组单位正交基$ \{e_1, \cdots, e_n\} $使得下面性质成立:

(1) $ A(e_1, e_i, e_j)=\mu_i\delta_{ij} $, $ 1\leq i, j\leq n $.

(2) 当$ i\geq2 $, $ \mu_1\geq2\mu_i $. 如果$ \mu_1=2\mu_i $, 则$ A(e_i, e_i, e_i)=0 $.

引理3.2^[20]  设$ M^n $是一个具有平行Fubini-Pick形式的Calabi超曲面, 则对任意的点$ p\in M^n $, 存在$ T_pM^n $上一组单位正交基$ \{e_j\}_{1\leq j\leq n} $ (如果必要可以重排顺序)满足$ A(e_1, e_j)=\mu_je_{j} $, 并且存在一个数$ i (0\leq i\leq n) $, 使得

$ \mu_2=\mu_3=\cdots=\mu_i=\frac{1}{2}\mu_1;\quad \mu_{i+1}=\cdots=\mu_n=0. $

因此, 对于一个具有平行Fubini-Pick形式的Calabi超曲面, 需要解决以下$ (n+1) $种情况:

情况$ {\mathfrak C}_0. $$ \mu_1=0 $.

情况$ {\mathfrak C}_1. $$ \mu_1>0;\mu_2=\mu_3=\cdots=\mu_n=0. $

情况$ {\mathfrak C}_i. $$ \mu_2=\mu_3=\cdots=\mu_i=\frac{1}{2}\mu_1>0;\quad \mu_{i+1}=\cdots=\mu_n=0, \quad \;\; 2\leq i\leq n-1. $

情况$ {\mathfrak C}_n. $$ \mu_2=\mu_3=\cdots=\mu_n= \frac{1}{2}\mu_1>0. $

在流形上一点处考虑问题时, 我们总是假设所选基底满足引理3.1. 关于情况$ {\mathfrak C}_0 $和$ {\mathfrak C}_n $, 文献[20]中已经有如下结果:

引理3.3^[20]  如果情况$ {\mathfrak C}_0 $发生, 则$ M^n $是椭圆抛物面的一个开部分.

引理3.4^[20]  情况$ {\mathfrak C}_n $不发生.

受文献[20]中情况$ {\mathfrak C}_{2} $以及文献[4]中情况$ {\mathfrak B} $的启发, 本小节将解决情况 $ {\mathfrak C}_{n-1}(n\geq3) $.

定理3.1  如果情况$ {\mathfrak C}_{n-1}(n\geq3) $发生, 则$ M^n $ Calabi仿射等价于超曲面

$ x_{n+1}=\frac{(n-1)(n-2)}{2R}\ln\left(x_1^2-(x_2^2+\cdots+x_n^2)\right) $

的一个开部分, 其中$ R $是$ M^n $的数量曲率.

证  这个定理的证明分为两部分.

第一步: 证明黎曼流形$ M^n $局部等距于黎曼乘积$ {\mathbb R}\times H^{n-1}(-2\mu^2) $, 其中$ H^{n-1}(-2\mu^2) $是截曲率为常数$ -2\mu^2 $的双曲空间, 且$ -2\mu^2=\frac{R}{(n-1)(n-2)} $.

在第一步的证明过程中, 如果没有特别说明, 我们对指标有如下约定:

$ 2\leq i, j, k, \cdots\leq n-1;\qquad 1\leq \alpha, \beta, \gamma, \cdots\leq n. $

由$ A_{1ii}=\frac{1}{2}A_{111} $和引理3.1可得$ A_{iii}=0 $. 通过文献[20]中引理4.3的证明可知$ A_{ijk}=0 $. 利用(2.7)式, 李奇恒等式(2.11) 以及$ \nabla A=0 $我们有

(3.1) $ \begin{eqnarray} 0=A_{iin, 1n}-A_{iin, n1}&=&2\sum A_{ni\alpha}R_{\alpha i1n}+\sum A_{ii\alpha}R_{\alpha n1n}{} \\ &=&2\sum A_{nij}R_{ji1n}+2A_{nin}R_{ni1n}+A_{1ii}R_{1n1n}{} \\ &=&2\mu_iA^2_{nni}. \end{eqnarray} $

因此

(3.2) $ \begin{equation} A_{nni}=0. \end{equation} $

同理

(3.3) $ \begin{eqnarray} 0=A_{iii, 1i}-A_{iii, i1}&=&3\sum A_{ii\alpha}R_{\alpha i1i} =3A_{ii1}R_{1i1i}+3A_{iin}R_{ni1i}{} \\ &=&3\mu_i(A_{nii}^2-\mu_i^2). \end{eqnarray} $

故

(3.4) $ \begin{equation} A_{nii}^2=\mu_i^2\neq0. \end{equation} $

对于任意的$ i\neq j $, 由(2.7)式, 李奇恒等式(2.11) 以及$ \nabla A=0 $可得

(3.5) $ \begin{eqnarray} 0=A_{iij, 1i}-A_{iij, i1}&=&2\sum A_{ij\alpha}R_{\alpha i1i}+\sum A_{ii\alpha}R_{\alpha j1i}\qquad {} \\ &=&2A_{ijn}R_{ni1i}+A_{ii1}R_{1j1i}+A_{iin}R_{nj1i}{} \\ &=&(2\mu_i+\mu_j)A_{nii}A_{nij}. \end{eqnarray} $

再结合(3.4) 式可知

(3.6) $ \begin{equation} A_{nij}=0, \quad \mbox{当}\ i\neq j. \end{equation} $

最后, 由$ \nabla A=0 $, 李奇恒等式(2.11), (3.2) 以及(3.6) 式可得

(3.7) $ \begin{eqnarray} 0=A_{1in, in}-A_{1in, ni}&=&\sum A_{ni\alpha}R_{\alpha 1in}+A_{1ii}R_{inin} {} \\ &=&A_{nii}R_{i1in}+A_{1ii}R_{inin} {} \\ &=&\mu_iA_{nii}(2A_{nii}-A_{nnn}). \end{eqnarray} $

再结合(3.4) 式可知

(3.8) $ \begin{equation} A_{nnn}=2A_{nii}. \end{equation} $

不失一般性, 由(3.4)和(3.8)式, 不妨假设$ A_{nnn}=\mu_1, \; \mu:=A_{nii}=A_{1ii}=\mu_i $, 并且令

$ \tilde e_1=\frac{\sqrt{2}}{2}(e_1+e_n), \qquad \tilde e_n=\frac{\sqrt{2}}{2}(-e_1+e_n), $

则$ \{\tilde e_1, e_2 , \cdots, e_{n-1} , \tilde e_n\} $构成了$ T_pM^n $上一组新的单位正交基. 在这组基下, Fubini-Pick形式$ A $表示如下:

(3.9) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} A(\tilde e_1, \tilde e_1)=\sqrt{2}\mu\tilde e_1;\;\; A(\tilde e_1, e_i)=\sqrt{2}\mu e_i;\;\; A(\tilde e_1, \tilde e_n)=\sqrt{2}\mu\tilde e_n; \\ A(e_i, e_i)= \sqrt 2 \mu \tilde e_1;\;\;\; A(e_i, e_j)=0\; (i<j);\;\; A(e_i, \tilde e_n)=0; \\ A(\tilde e_n, \tilde e_n)=\sqrt 2 \mu \tilde e_1. \end{array} \right. \end{equation} $

将上述新基底沿着过点$ p $的测地线平行移动(关于Levi-Civita联络$ \nabla $), 这样就把单位正交基$ \{\tilde e_1, e_2 , \cdots, e_{n-1} , \tilde e_n\} $扩充到$ p $点的一个法邻域$ U_p $上, 构成一个局部的单位正交标架场$ \{E_1, E_2 , \cdots, E_n\} $, 并且在$ U_p $上的每一点都有下列关系:

(3.10) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} A(E_1, E_1)=\sqrt{2}\mu E_1;\;\; A(E_1, E_i)=\sqrt{2}\mu E_i;\;A(E_1, E_n)=\sqrt{2}\mu E_n; \\ A(E_i, E_i)=\sqrt 2 \mu E_1;\;\;\; A(E_i, E_j)=0\; (i<j);\;\; A(E_i, E_n)=0; \\ A(E_n, E_n)=\sqrt 2 \mu E_1. \end{array} \right. \end{equation} $

单位正交标架场$ \{E_\alpha\} $的Levi-Civita联络形式记为$ \omega^\beta_\alpha $. 由

$ \sum A_{11i, \alpha}\omega^\alpha=dA_{11i}-2\sum A_{\alpha 1i}\omega^\alpha_1-\sum A_{11\alpha}\omega^\alpha_i $

和$ \nabla A=0 $可得

(3.11) $ \begin{equation} \omega^1_i=0, \quad 2\leq i\leq n. \end{equation} $

(3.11) 式说明$ E_1 $是关于Levi-Civita联络平行向量场. 借助于(3.10) 式可得$ M^n $的截面曲率为

(3.12) $ \begin{equation} R_{pqpq}=\sum A^2_{pq\alpha}-\sum A_{pp\alpha}A_{qq\alpha}=-2\mu^2=const, \qquad 2\leq p\neq q\leq n. \end{equation} $

引理3.5  通过以上的计算可得

(1) $ \nabla E_1= 0 $;

(2) $ \langle\nabla_{E_i} E_j , E_1 \rangle= 0, \forall 2\leq i, j\leq n $.

由上述引理可知$ {\cal D}_1:=\{ {\mathbb R} E_1 \} $和$ {\cal D}_2:=span \{E_2, \cdots, E_n \} $是全测地的. 再结合de Rham分解定理^[9], 黎曼流形$ (M^n, G) $局部上等距于黎曼乘积$ {\Bbb R} \times H^{n-1}(-2\mu^2) $, 其中$ H^{n-1}(-2\mu^2) $是截曲率为常数$ -2\mu^2 $的双曲空间, 并且局部向量场$ E_1 $与$ {\Bbb R} $相切, $ {\cal D}_2 $与$ H^{n-1}(-2\mu^2) $相切.

第二步: 通过解Gauss方程得到$ M^n $的graph浸入函数.

把$ {\mathbb R}^{n+1} $中$ M^n $的位置向量记为$ x=(x_1, \cdots, x_n, x_{n+1})^t $, 为了使方程表达简洁, 令$ c=\sqrt{2}\mu $. 由$ H^{n-1}(-2\mu^2) $的标准参数化可知, 在$ M^n $上存在一个局部坐标系$ (y_1, \cdots, y_n ) $, 使得度量表示为

$ G=\;({\rm d}y_1)^2+({\rm d}y_2)^2+\sinh^2(c y_2)({\rm d}y_3)^2 +\sum\limits_{i=4}^n \sinh^2(c y_2)\cos^2(c y_3)\cdots\cos^2(c y_{i-1})({\rm d}y_i)^2. $

因此$ E_1=\frac{\partial x}{\partial y_1} $, $ E_2=\frac{\partial x}{\partial y_2} $, $ E_3=\sinh^{-1}(c y_2)\frac{\partial x}{\partial y_3} $,

$ E_i=\sinh^{-1}(c y_2)\cos^{-1}(c y_3) \cdots\cos^{-1}(c y_{i-1})\frac{\partial x}{\partial y_i}, \; \; 4\leq i\leq n $

构成了一组局部的单位正交基. 假定

$ E_2=\frac{\partial x}{\partial y_2}, \sinh(c y_2)E_3=\frac{\partial x}{\partial y_3}, \sinh(c y_2)\cos(c y_3)\cdots \cos(c y_{i-1})E_i=\frac{\partial x}{\partial y_i}, \quad 4\leq i\leq n. $

根据Fubini-Pick形式$ A $的定义, 直接计算可得位置向量$ x $满足下面的Gauss方程, 其中$ Y=(0, \cdots, 0, 1)^t $,

(3.13) $ \begin{equation} \frac{\partial^2 x}{\partial y_1\partial y_1}=c\frac{\partial x}{\partial y_1}+Y, \end{equation} $

(3.14) $ \begin{equation} \frac{\partial^2 x}{\partial y_1\partial y_i}=c\frac{\partial x}{\partial y_i}, \qquad 2\leq i\leq n, \end{equation} $

(3.15) $ \begin{equation} \frac{\partial^2 x}{\partial y_2\partial y_2}=c \frac{\partial x}{\partial y_1}+Y, \end{equation} $

(3.16) $ \begin{equation} \frac{\partial^2 x}{\partial y_2\partial y_i}=c\coth(cy_2)\frac{\partial x}{\partial y_i }, \qquad 3\leq i\leq n, \end{equation} $

(3.17) $ \begin{equation} \frac{\partial^2 x}{\partial y_3\partial y_3}=c\sinh^2(cy_2)\frac{\partial x}{\partial y_1}-c\sinh(cy_2)\cosh(cy_2)\frac{\partial x}{\partial y_2}+\sinh^2(cy_2)Y, \end{equation} $

(3.18) $ \begin{equation} \frac{\partial^2 x}{\partial y_j\partial y_i}=-c\tan(cy_j)\frac{\partial x}{\partial y_i}, \qquad 3\leq j<i\leq n, \end{equation} $

(3.19) $ \begin{eqnarray} \frac{\partial^2 x}{\partial y_i\partial y_i}&=&c\sinh^2(cy_2)\cos^2(cy_3) \cdots\cos^2(cy_{i-1})\frac{\partial x}{\partial y_1} {} \\ && -c\sinh(cy_2)\cosh(cy_2)\cos^2(cy_3)\cdots \cos^2(cy_{i-1})\frac{\partial x}{\partial y_2} {} \\ &&+c\sin(cy_3)\cos(cy_3)\cos^2(cy_4)\cdots \cos^2(cy_{i-1})\frac{\partial x}{\partial y_3}{} \\ &&+\cdots+c\sin(cy_{i-2})\cos(cy_{i-2}) \cos^2(cy_{i-1})\frac{\partial x}{\partial y_{i-2}}{} \\ &&+c\sin(cy_{i-1})\cos(cy_{i-1})\frac{\partial x}{\partial y_{i-1}}{} \\ &&+\sinh^2(cy_2)\cos^2(cy_3)\cdots\cos^2(cy_{i-1})Y, \qquad4\leq i\leq n. \end{eqnarray} $

为求解上述方程组, 首先考虑齐次的情形. 类似于文献[20]中情况$ {\mathfrak C}_{2} $的证明过程, 利用第二数学归纳法可知齐次方程组的通解为

(3.20) $ \begin{eqnarray} x&=& A_1+ A_2 e^{cy_1}\cosh(cy_2)+ A_3 e^{cy_1}\sinh(cy_2)\sin(cy_3){} \\ &&+\sum\limits_{i=4}^n A_i e^{cy_1}\sinh(cy_2)\cos(cy_3)\cdots\cos(cy_{i-1})\sin(cy_{i}){} \\ & &+A_{n+1}e^{cy_1}\sinh(cy_2)\cos(cy_3)\cdots\cos(cy_{n-1})\cos(cy_{n}) , \end{eqnarray} $

其中$ A_i (1\leq i\leq n+1) $是常向量. 另一方面, 直接计算可知

$ \bar x =\left(0, \cdots, 0, -\frac{y_1}{c}\right)^t $

是方程组(3.13)–(3.19) 的一个特解.

由于$ M^n $是非退化的超曲面, 故$ x-A_1 $充满仿射空间$ {\mathbb R}^{n+1} $. 因此$ A_2, \cdots, A_{n+1} $和$ (0, \cdots, 0, 1) $是线性无关的, 从而存在一个仿射变换$ \phi\in SA(n+1) $使得

$ \begin{eqnarray*} &A_1=(0, \cdots, 0)^t, \; A_2=(1, 0, \cdots, 0)^t, \; A_3=(0, 1, 0, \cdots, 0)^t, \\ &\cdots, A_n =(0, \cdots, 0, 1, 0, 0)^t, \; A_{n+1}=(0, \cdots, 0, 1, 0)^t. \end{eqnarray*} $

因此在相差一个仿射变换$ \phi\in SA(n+1) $的情况下, 位置向量$ x $可以表示为

(3.21) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} x_1=e^{cy_1}\cosh(cy_2), \\ x_2=e^{cy_1}\sinh(cy_2)\sin(cy_3), \\ x_3=e^{cy_1}\sinh(cy_2)\cos(cy_3)\sin(cy_4), \\ x_i=e^{cy_1}\sinh(cy_2)\cos(cy_3)\cos(cy_4)\cdots\cos(cy_{i}) \sin(cy_{i+1}), \quad 4\leq i\leq n-1, \\ x_n=e^{cy_1}\sinh(cy_2)\cos(cy_3)\cos(cy_4)\cdots\cos(cy_n), \\ { } x_{n+1}=-\frac{y_1}{c}. \end{array} \right. \end{equation} $

综上所述, 在相差一个仿射变换$ \phi\in SA(n+1) $的情况下, $ M^n $局部上是函数

$ x_{n+1}=-\frac{1}{2c^2}\ln(x_1^2-(x_2^2+\cdots+x_n^2)) $

的graph超曲面的一个开部分, 其中$ -c^2=\frac{R}{(n-1)(n-2)} $. 定理3.1证毕.

下面只考虑四维具有平行Fubini-Pick形式的Calabi超曲面的分类问题. 结合引理3.3, 引理3.4和定理3.1, 接下来只需要解决情况$ {\mathfrak C}_1 $和情况$ {\mathfrak C}_2 $即可. 在本节和下一节将会依次讨论这两种情况, 最终完成定理1.2的证明.

引理4.1  如果情况$ {\mathfrak C}_1 $发生, 则$ M^4 $ Calabi仿射等价于超曲面$ Q(c_1, \cdots, c_r;4), \; 1\leq r\leq 4 $; 或超曲面

$ x_5=-\frac{1}{\mu_1^2}\ln{x_1}+\frac{1}{R}\ln(x_2^2-(x_3^2+x_4^2)) $

的一个开部分, 其中$ R $是超曲面$ M^4 $的数量曲率, 且$ \mu_1 $为一个满足

$ \mu_1^2\geq -R \quad \mbox{和}\quad\mu_1^2=12 J+\frac{7}{2}R $

的常数.

证  由于$ \mu_2=\mu_3=\mu_4 $, 则可以重新选取一个单位向量$ e_2 $, 使得函数$ F $限制到$ \{e_1^\perp\}\bigcap U_pM^4 $上在$ e_2 $方向取得极大值$ A_{222} (\geq0) $. 通过引理3.1, 可得$ A_{223}=A_{224}=A_{234}=0 $, $ A_{222}\geq2A_{233} $以及$ A_{222}\geq2A_{244} $. 因此有如下表示:

(4.1) $ \begin{eqnarray} &&A(e_1, e_i)=\mu_ie_i, \;\quad\;A(e_2, e_j)=\lambda_{j-1}e_j, \quad i\geq1, j\geq2; {} \\ &&A(e_3, e_3)=\lambda_2e_2+v_1e_3+v_2e_4;\;\;A(e_3, e_4)=v_2e_3+v_3e_4 ; \\ &&A(e_4, e_4)=\lambda_3e_2+v_3e_3+u_1e_4.{} \end{eqnarray} $

情况$ {\mathfrak C}_{1-1} $. $ \lambda_1=A_{222}=0 $.

由$ A_{222}=0 $, 可得$ A_{333}=A_{444}=0 $. 结合文献[20]中引理4.3的证明, 易得

$ A(e_i, e_j, e_k)=0, \quad 2\leq i, j, k\leq 4. $

通过直接计算可知超曲面$ M^4 $的李奇曲率为

$ R_{ij}=0, \quad 1\leq i, j\leq 4. $

将上式代入(2.13) 式可得$ R_{ijkl}(p)=0 $. 由于$ p $是超曲面上的任意一点, 所以$ M^4 $是平坦的. 再结合$ \nabla A=0 $和文献[20]中的定理1.3可知: $ M^4 $ Calabi仿射等价于超曲面$ Q(c_1;4) $的一个开部分.

情况$ {\mathfrak C}_{1-2} $. $ \lambda_1=A_{222}>0 $.

我们可以分为下列三种子情况:

情况$ {\mathfrak C}_{1-2-1} $. $ \lambda_2=\lambda_3=0 $.

情况$ {\mathfrak C}_{1-2-2} $. $ \lambda_2=\lambda_3=\frac{1}{2}\lambda_1 $.

情况$ {\mathfrak C}_{1-2-3} $. $ \lambda_2=\frac{1}{2}\lambda_1, \lambda_3=0 $.

接下来对上述3种情形分别讨论.

情况$ {\mathfrak C}_{1-2-1} $. 由于$ \lambda_2=\lambda_3 $, 则可以重新选取一个单位向量$ e_3 $, 使得函数$ F $限制到$ \{e_1^\perp\}\bigcap\{e_2^\perp\}\bigcap U_pM^4 $上在$ e_3 $方向取得极大值$ A_{333} (\geq0) $. 因此可得$ A_{334}=0 $和$ A_{333}\geq2A_{344} $, 故得到如下表示:

(4.2) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} A(e_1, e_i)=\mu_ie_i, {\quad} 1\leq i\leq 4;\;\;A(e_2, e_2)=\lambda_1e_2; \;\;A(e_2, e_3)=A(e_2, e_4)=0; \\ A(e_3, e_3)=v_1e_3;\;\;A(e_3, e_4)=v_3e_4 ;\;\;A(e_4, e_4)=v_3e_3+u_1e_4. \end{array} \end{equation} $

通过直接计算

(4.3) $ \begin{equation} \begin{array}{l} R_{33}=R_{44}=v_3(v_3-v_1), \\ R_{11}=R_{12}=R_{13}=R_{14}=R_{22}=R_{23}=R_{24}=R_{34}=0. \end{array} \end{equation} $

由$ \nabla A=0 $, (2.12)和(2.13) 式可得

(4.4) $ \begin{equation} 0=\frac{1}{16}v_3(v_3-v_1)[(v_1+v_3)^2+u_1^2], \end{equation} $

(4.5) $ \begin{equation} 0 =\sum (R_{ijkl})^2+v_3(v_3-v_1)(v_1^2+3v_3^2+u_1^2). \end{equation} $

结合条件$ v_1\geq 2v_3 $, (4.4)和(4.5)式, 易得$ v_3=0 $. 代入(4.5)式可得$ R_{ijkl}(p)=0 $. 由于$ p $为$ M^4 $上的任意一点, 故超曲面是平坦的. 结合$ \nabla A=0 $和文献[20]中的定理1.3, 并注意到关系$ v_1\geq u_1 $, 可以得到下面的分类结果:

1. 若$ v_1=0 $, $ u_1=0 $, 则$ M^4 $ Calabi仿射等价于超曲面$ Q(c_1, c_2;4) $的一个开部分;

2. 若$ v_1\neq0 $, $ u_1=0 $, 则$ M^4 $ Calabi仿射等价于超曲面$ Q(c_1, c_2, c_3;4) $的一个开部分;

3. 若$ v_1\neq0 $, $ u_1\neq0 $, 则$ M^4 $ Calabi仿射等价于超曲面$ Q(c_1, c_2, c_3, c_4;4) $的一个开部分.

情况$ {\mathfrak C}_{1-2-2} $. 由引理3.1可得$ A_{333}=A_{444}=0 $. 由文献[20]中引理4.3的证明可知

$ A(e_i, e_j, e_k)=0, \quad 3\leq i, j, k\leq 4. $

故有

(4.6) $ \begin{equation} A(e_2, e_2)=\lambda_1 e_2, \quad A(e_2, e_3)=\frac{1}{2}\lambda_1 e_3, \quad A(e_3, e_3)=\frac{1}{2}\lambda_1 e_2. \end{equation} $

由$ \nabla A=0 $可得: 关于Levi-Civita联络的曲率算子$ R $和Fubini-Pick张量$ A $满足

(4.7) $ \begin{equation} R(e_2, e_3)(A(e_3, e_3))=2A(R(e_2, e_3)e_3, e_3). \end{equation} $

计算(4.7)式的两端

$ \begin{eqnarray*} \mbox{左边}& = &\frac{1}{2}\lambda_1R(e_2, e_3)e_2= \frac{1}{2}\lambda_1\sum R_{k223}e_k= \frac{1}{8}\lambda_1^3e_3, \\ \mbox{右边} &= & 2\sum A(R_{k323}e_k, e_3)= -\frac{1}{2}\lambda_1^2A(e_2, e_3)= -\frac{1}{4}\lambda_1^3e_3. \end{eqnarray*} $

可得$ \lambda_1=0 $. 则与假设矛盾, 此情形不发生.

情况$ {\mathfrak C}_{1-2-3} $. 在此情况下, 由引理3.1可得$ A_{333}=0 $. 故有如下表达:

(4.8) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} A(e_1, e_i)=\mu_ie_i, {\quad} 1\leq i\leq 4;\;\;A(e_2, e_2)=\lambda_1e_2; \;\;A(e_2, e_3)=\lambda_2e_3;\;\; A(e_2, e_4)=0; {\nonumber} \\ A(e_3, e_3)=\lambda_2e_2+v_2e_4;\;\;A(e_3, e_4)=v_2e_3+v_3e_4 ;\;\;A(e_4, e_4)=v_3e_3+u_1e_4. \end{array} \end{equation} $

利用$ \nabla A=0 $和李奇恒等式(2.11) 可得

$ \begin{eqnarray*} 0&=&A_{334, 24}-A_{334, 42}=2\sum A_{p34}R_{p324}+\sum A_{33p}R_{p424}=2\lambda_2v_3^2, \\ 0&=&A_{333, 23}-A_{333, 32}=3\sum A_{33p}R_{p323}=3\lambda_2(v_2^2-\lambda_2^2), \\ 0&=&A_{234, 34}-A_{234, 43}=\sum A_{p34}R_{p234}+\sum A_{24p}R_{p334}+\sum A_{23p}R_{p434}\\ &=&\lambda_2(2v_2^2+2v_3^2-v_2u_1). \end{eqnarray*} $

因此

$ v_3=0, \quad v_2^2=\lambda_2^2, \quad u_1=2v_2. $

不失一般性, 可以假设$ v_2=\lambda_2 $, 并且令

(4.9) $ \begin{equation} \tilde e_2:=\frac{\sqrt 2}{2}(e_2+e_4), \quad \tilde e_4 :=\frac{\sqrt 2}{2}(-e_2+e_4), \end{equation} $

则$ \{e_1, \tilde e_2 , e_3 , \tilde e_4\} $构成$ T_pM^4 $上一组新的单位正交基, 并且Fubini-Pick形式$ A $在新基底下有如下表示:

(4.10) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} A(e_1, e_1)=\mu_1e_1;\; A(e_1, \tilde e_2)=0;\; A(e_1, e_3)=0;\; A(e_1, \tilde e_4)=0; \\ A(\tilde e_2, \tilde e_2)= \sqrt 2 \lambda_2 \tilde e_2;\; A(\tilde e_2, e_3)=\sqrt 2 \lambda_2 e_3;\; A(\tilde e_2, \tilde e_4)= \sqrt 2 \lambda_2 \tilde e_4;\\ A(e_3, e_3)=\sqrt 2 \lambda_2 \tilde e_2;\;\; A( e_3, \tilde e_4)=0; \\ A(\tilde e_4, \tilde e_4)=\sqrt 2 \lambda_2 \tilde e_2. \end{array} \right. \end{equation} $

将上述新基底沿着过点$ p $的测地线平行移动(关于Levi-Civita联络$ \nabla $), 这样就把单位正交基$ \{e_1, \tilde e_2, e_3, \tilde e_4\} $扩充到$ p $点的一个法邻域$ U_p $上, 构成一个局部的单位正交标架场$ \{E_1, E_2, E_3, $$ E_4\} $, 并且下列关系在$ U_p $上的每一点都成立:

(4.11) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} A(E_1, E_1)=\mu_1E_1;\; A(E_1, E_i)=0, \quad 2\leq i\leq 4;\\ A(E_2, E_i)= \sqrt 2 \lambda_2 E_i, \quad2\leq i\leq 4; \\ A(E_3, E_3)=\sqrt 2 \lambda_2 E_2;\;\; A( E_3, E_4)=0; \\ A(E_4, E_4)=\sqrt 2 \lambda_2 E_2. \end{array} \right. \end{equation} $

记单位正交标架场$ \{E_i\} $的联络形式为$ \omega^j_i $. 由$ \nabla A=0 $和

$ A_{11i, j}\omega^j=dA_{11i}-2\sum A_{j1i}\omega^j_1 -\sum A_{11j}\omega^j_i $

可得

(4.12) $ \begin{equation} \omega^1_i=0, \quad i>1 . \end{equation} $

同理, 由

$ A_{22i, j}\omega^j=dA_{22i}-2\sum A_{j2i}\omega^j_2-\sum A_{22j}\omega^j_i $

可得

(4.13) $ \begin{equation} \omega^2_i=0, \quad i>2. \end{equation} $

则(4.11)和(4.12) 式说明向量场$ E_1 $和$ E_2 $关于Levi-Civita联络是平行的. 因此

(4.14) $ \begin{equation} R_{3434}=-2\lambda_2^2=\frac{1}{2}R=const. \end{equation} $

由de Rham分解定理可知, 黎曼流形$ (M^4, G) $局部上等距于黎曼乘积$ {\Bbb R} \times {\Bbb R} \times H^2(-2\lambda_2^2) $, 其中$ H^2(-2\lambda_2^2) $是截曲率为常数$ -2\lambda_2^2 $的双曲空间. 经过类似于文献[20]中情况$ {\mathfrak C}_2 $的计算, 最终可得在相差一个仿射变换$ \phi\in SA(5) $的情况下, $ M^4 $局部上是函数

(4.15) $ \begin{equation} x_5=-\frac{1}{\mu_1^2}\ln{x_1}-\frac{1}{4\lambda_2^2} \ln(x_2^2-(x_3^2+x_4^2)) \end{equation} $

的graph超曲面的一个开部分, 其中$ -4\lambda_2^2 $是$ M^4 $的数量曲率并且$ \mu_1 $是一个满足

$ \mu_1\geq 2\lambda_2 \quad \mbox{和} \quad \mu_1^2 =12 J+\frac{7}{2}R $

的常数. 引理4.1证毕.

引理5.1  如果情况$ {\mathfrak C}_2 $发生, 则$ M^4 $ Calabi仿射等价于超曲面

$ x_5=-\frac{1}{\mu_1^2}\ln{x_1}+\frac{1}{R}\ln(x_2^2-(x_3^2+x_4^2)) $

或

$ x_5=\frac{x_1^2}{2}+\frac{1}{R}\ln(x_2^2-(x_3^2+x_4^2)) $

的一个开部分, 其中$ R $是超曲面$ M^4 $的数量曲率, 且$ \mu_1 $为一个满足条件

$ \mu_1^2\leq -R \quad \mbox{和} \quad \mu_1^2=12 J+\frac{7}{2}R $

的常数.

证  结合条件$ \mu_1=2\mu_2>0 $以及引理3.1, 可得$ A_{222}=0 $. 由于$ \mu_3=\mu_4 $, 则可以重新选取单位向量$ e_3 $使得函数$ F $限制到$ \{e_1^\perp\}\bigcap\{e_2^\perp\}\bigcap U_pM^4 $上在$ e_3 $方向达到极大值$ A_{333} (\geq0) $. 接着还可以选取单位向量$ e_4 $使得$ A_{111}\geq A_{333}\geq A_{444}\geq 0 $, 此外还有$ A_{334}=0 $和$ A_{333}\geq2A_{344} $. 故有如下表达:

(5.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} A(e_1, e_i)=\mu_ie_i, \ 1\leq i\leq 4;\;\; A(e_2, e_2)=\mu_2e_1+\delta_1e_3+\delta_2e_4;\\ A(e_2, e_3)=\delta_1e_2+\delta_3e_3+\delta_4e_4;\;\;A(e_2, e_4)= \delta_2e_2+\delta_4e_3+\delta_5e_4;\\ A(e_3, e_3)=\delta_3e_2+u_1e_3;\; \;A(e_3, e_4)=\delta_4e_2+u_2e_4; \\ A(e_4, e_4)=\delta_5e_2+u_2e_3+u_3e_4. \end{array} \right. \end{equation} $

利用条件$ \nabla A=0 $, (2.7)式以及李奇恒等式(2.11) 可知

$ 0= \;A_{223, 13}-A_{223, 31}=2\sum A_{p23}R_{p213} +\sum A_{22p}R_{p313}=2\mu_2(\delta_3^2+\delta_4^2), $

故有

(5.2) $ \begin{equation} \delta_3=\delta_4 =0. \end{equation} $

由

$ 0= \;A_{224, 14}-A_{224, 41}=2\sum A_{p24}R_{p214} +\sum A_{22p}R_{p414}=2\mu_2\delta_5^2 $

可得

(5.3) $ \begin{equation} \delta_5=0. \end{equation} $

利用式子

$ 0= \;A_{222, 12}-A_{222, 21}=3\sum A_{22p}R_{p212}= 3\mu_2(\delta_1^2+\delta_2^2-\mu_2^2), $

有

(5.4) $ \begin{equation} \delta_1^2+\delta_2^2=\mu_2^2\neq0. \end{equation} $

在情况$ {\mathfrak C}_2 $发生时有$ u_1>0 $. 事实上, 若$ u_1=0 $, 则$ u_3=0 $. 从式子

(5.5) $ \begin{eqnarray} 0&=&A_{123, 23}-A_{123, 32} =\sum A_{p23}R_{p123}+\sum A_{1p3}R_{p223}+\sum A_{12p}R_{p323} {} \\ &=&\mu_2 \delta_1(2\delta_1-u_1), \end{eqnarray} $

(5.6) $ \begin{eqnarray} 0&=&A_{124, 24}-A_{124, 42}=\sum A_{24p}R_{p124}+\sum A_{12p}R_{p424} =\mu_2(2\delta_2^2-\delta_1 u_2-\delta_2u_3), \end{eqnarray} $

可得$ \delta_1=\delta_2=0 $, 这就与式子(5.4) 相矛盾. 结合条件$ u_1=A_{333}\geq0 $, 可得结论.

因此可以分为下列三种子情形:

情况$ {\mathfrak C}_{2-1} $. $ \delta_1=0, \; \delta_2\neq 0 $.

情况$ {\mathfrak C}_{2-2} $. $ \delta_1\neq 0, \; \delta_2\neq 0 $.

情况$ {\mathfrak C}_{2-3} $. $ \delta_1\neq 0, \; \delta_2= 0 $.

下面将对上述情形分别讨论.

情况$ {\mathfrak C}_{2-1} $. $ \delta_1=0, \; \delta_2\neq 0 $.

结合(5.4)式, (5.6)式以及

(5.7) $ \begin{equation} 0= \;A_{123, 24}-A_{123, 42}=\sum A_{p23}R_{p124}+\sum A_{1p2}R_{p324}=\mu_2 \delta_2(2\delta_1-u_2), \end{equation} $

可得

$ \delta_2^2=\mu_2^2, \;u_3=2\delta_2, \; u_2=0. $

不失一般性, 令$ \delta_2=\mu_2. $故有如下表示:

(5.8) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} A(e_1, e_i)=\mu_ie_i, \ 1\leq i\leq 4;\;\;A(e_2, e_2)=\mu_2e_1+\mu_2e_4; \;\;A(e_2, e_3)=0;{\nonumber} \\ A(e_2, e_4)=\mu_2e_2;\;\;A(e_3, e_3)=\mu_1e_3;\; \;A(e_3, e_4)=0;\;\;A(e_4, e_4)=\mu_1e_4. \end{array} \end{equation} $

下面令

$ \bar e_1:=e_3, \;\bar e_2:=e_1, \;\bar e_3:=e_2, \;\bar e_4:=e_4, $

则

(5.9) $ \begin{eqnarray} &&A(\bar e_1, \bar e_1)=\mu_1\bar e_1;\;\;A(\bar e_1, \bar e_i)=0, \quad i\geq2; {} \\ &&A(\bar e_2, \bar e_2)=\mu_1\bar e_2;\;\;A(\bar e_2, \bar e_3)=\mu_2\bar e_3;\;\; A(\bar e_2, \bar e_4)=0; \\ &&A(\bar e_3, \bar e_3)=\mu_2\bar e_2+\mu_2\bar e_4;\;\;A(\bar e_3, \bar e_4)=\mu_2\bar e_3 ;\;\;A(\bar e_4, \bar e_4)=\mu_1\bar e_4. {} \end{eqnarray} $

类似于情况$ {\mathfrak C}_{1-2-3} $, 最终可得在相差一个仿射变换$ \phi\in SA(5) $的情况下, $ M^4 $局部上是函数

(5.10) $ \begin{equation} x_5=-\frac{1}{\mu_1^2}\ln{x_1}-\frac{1}{4\mu_2^2}\ln(x_2^2-(x_3^2+x_4^2)) \end{equation} $

的graph超曲面的一个开部分, 其中$ \mu_1^2=4\mu_2^2 $.

情况$ {\mathfrak C}_{2-2} $. $ \delta_1\neq 0, \; \delta_2\neq 0 $.

由(5.5)和(5.7)式可得

$ u_1=2\delta_1=u_2>0, $

则与条件$ u_1\geq 2u_2 $相矛盾, 故此情况不发生.

情况$ {\mathfrak C}_{2-3} $. $ \delta_1\neq 0, \; \delta_2= 0 $.

结合(5.4)–(5.6)式可得

$ \delta_1^2=\mu_2^2, \; u_1=2\delta_1, \; u_2=0. $

不失一般性, 令$ \delta_1=\mu_2 $. 故有如下表示:

(5.11) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} A(e_1, e_i)=\mu_ie_i, \ 1\leq i\leq 4;\;\;A(e_2, e_2)=\mu_2e_1+\mu_2e_3; \;\;A(e_2, e_3)=\mu_2e_2; \\ A(e_2, e_4)=0;\;\;A(e_3, e_3)=\mu_1e_3;\; \;A(e_3, e_4)=0;\;\;A(e_4, e_4)=u_3e_4. \end{array} \end{equation} $

令

$ \bar e_1:=e_4, \;\bar e_2:=e_1, \;\bar e_3:=e_2, \;\bar e_4:=e_3. $

则(5.11) 式可重新表达为

(5.12) $ \begin{eqnarray} &&A(\bar e_1, \bar e_1)=u_3\bar e_1;\;\;A(\bar e_1, \bar e_i)=0, \quad i\geq2; {} \\ &&A(\bar e_2, \bar e_2)=\mu_1\bar e_2;\;\;A(\bar e_2, \bar e_3)=\mu_2\bar e_3;\;\; A(\bar e_2, \bar e_4)=0; \\ &&A(\bar e_3, \bar e_3)=\mu_2\bar e_2+\mu_2\bar e_4;\;\; A(\bar e_3, \bar e_4)=\mu_2\bar e_3;\;\;A(\bar e_4, \bar e_4)=\mu_1\bar e_4.{} \end{eqnarray} $

下面对$ u_3 $进行讨论.

情况$ {\mathfrak C}_{2-3-1} $. $ u_3\neq0 $.

类似于情况$ {\mathfrak C}_{1-2-3} $可得, 在相差一个仿射变换$ \phi\in SA(5) $的情况下, $ M^4 $局部上是函数

(5.13) $ \begin{equation} x_5=-\frac{1}{u_3^2}\ln{x_1}-\frac{1}{4\mu_2^2}\ln(x_2^2-(x_3^2+x_4^2)) \end{equation} $

的graph超曲面的一个开部分, 其中$ u_3^2\leq 4\mu_2^2 $.

情况$ {\mathfrak C}_{2-3-2} $. $ u_3=0 $.

首先令

(5.14) $ \begin{equation} \tilde e_2:=\frac{\sqrt 2}{2}(\bar e_2+\bar e_4), \quad \tilde e_4 :=\frac{\sqrt 2}{2} (-\bar e_2+\bar e_4), \end{equation} $

则$ \{\bar e_1, \tilde e_2 , \bar e_3 , \tilde e_4\} $构成$ T_pM^4 $上一组新的单位正交基, Fubini-Pick形式$ A $在此基底下可表示为

(5.15) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} A(\bar e_1, \bar e_1)= A(\bar e_1, \tilde e_2)= A( \bar e_1, \bar e_3)= A(\bar e_1, \tilde e_4)=0; \\ A(\tilde e_2, \tilde e_2)= \sqrt 2 \mu_2 \tilde e_2;\; A(\tilde e_2, \bar e_3)=\sqrt 2 \mu_2 \bar e_3;\; A(\tilde e_2, \tilde e_4)= \sqrt 2 \mu_2 \tilde e_4; \\ A(\bar e_3, \bar e_3)=\sqrt 2 \mu_2 \tilde e_2;\;\; A( \bar e_3, \tilde e_4)=0; \\ A(\tilde e_4, \tilde e_4)=\sqrt 2 \mu_2 \tilde e_2. \end{array} \right. \end{equation} $

将上述新基底沿着过点$ p $的测地线平行移动(关于Levi-Civita联络$ \nabla $), 这样就把单位正交基$ \{\bar e_1, \tilde e_2 , \bar e_3 , \tilde e_4\} $扩充到$ p $点的一个法邻域$ U_p $上, 得到一个局部的单位正交标架场$ \{E_1, E_2, E_3, E_4\} $, 并且下列关系在$ U_p $内的每一点都成立:

(5.16) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} A(E_1, E_i)=0, \;\;\;1\leq i \leq 4; \\ A(E_2, E_j)= \sqrt 2 \mu_2 E_j, \; \; 2\leq j \leq 4; \\ A(E_3, E_3)=\sqrt 2 \mu_2 E_2;\;\; A( E_3, E_4)=0; \\ A(E_4, E_4)=\sqrt 2 \mu_2 E_2. \end{array} \right. \end{equation} $

记单位正交标架场$ \{E_i\} $的联络形式为$ \omega^j_i $, 由条件$ \nabla A=0 $以及

$ A_{12i, j}\omega^j={\rm d}A_{12i}-\sum A_{2ij}\omega^j_1-\sum A_{1ij}\omega^j_2 -\sum A_{12j}\omega^j_i $

可知

(5.17) $ \begin{equation} \omega^1_i=0, \quad i>1. \end{equation} $

同理, 由

$ A_{22i, j}\omega^j={\rm d}A_{22i}-2\sum A_{j2i}\omega^j_2-\sum A_{22j}\omega^j_i, $

可得

(5.18) $ \begin{equation} \omega^2_i=0, \quad i>2. \end{equation} $

则(5.17)和(5.18)式说明向量场$ E_1 $和$ E_2 $关于Levi-Civita联络是平行的. 因此

(5.19) $ \begin{equation} R_{3434}=-2\mu_2^2=\frac{1}{2}R=const. \end{equation} $

由de Rham分解定理可知, 黎曼流形$ (M^4, G) $局部上等距于黎曼乘积$ {\Bbb R} \times {\Bbb R} \times H^2(-2\mu_2^2) $, 其中$ H^2(-2\mu_2^2) $是截曲率为常数$ -2\mu_2^2 $的双曲空间. 类似于文献[20]中的情况$ {\mathfrak C}_2 $可得: 在相差一个仿射变换$ \phi\in SA(5) $的情况下, $ M^4 $局部上是函数

(5.20) $ \begin{equation} x_5=\frac{x_1^2}{2}-\frac{1}{4\mu_2^2}\ln(x_2^2-(x_3^2+x_4^2)) \end{equation} $

的graph超曲面的一个开部分. 引理5.1证毕.