在冷等离子体中, 带磁场的广义Zakharov模型对动力和磁场效应进行模拟, 其中非线性相互作用效应是由粒子和等离子体波产生的. 首先该模型可以用以下形式表示

这里i是虚数单位, $c_0$表示无限声速粒子, 并且有$x\in {\Bbb R}^3$. 实参数: $k=1$, $\eta\in {\Bbb R}$和$\sigma \leq 0$; 函数$E=E(t, x): {\Bbb R}\oplus {\Bbb R}^3\rightarrow {\Bbb C}^3$表示高频电场的振幅, 其频率高且变化缓慢; $n=n(t, x): {\Bbb R}\oplus {\Bbb R}^3\rightarrow {\Bbb R}$表示粒子密度从平衡状态的变化, 并且$B=B(t, x): {\Bbb R}\oplus {\Bbb R}^3\rightarrow {\Bbb C}^3$表示自生磁场; $\wedge$表示向量值函数的外积, 并且$\overline{E}$表示$E$的复共轭. Daniel^[1]还从冷离子极限中的Vlasov-Poisson方程中得出了带磁场的Zakharov模型. 特别是当亚音速极限($c_0\rightarrow +\infty$) 时^[2-5], 则可以将三维空间中带磁场的广义Zakharov模型(1.1) 简化为非局部非线性Schrödinger方程

这里$N(E):={\cal F}^{-1}[\frac{{\rm i}\eta}{|\xi|^{2}-\sigma}(\xi\wedge(\xi\wedge{\cal F}(E\wedge \overline{E})))]$, ${\cal F}$和${\cal F}^{-1}$分别代表傅里叶变换和傅里叶反变换. 并且文献[3-5] 中已有大量的研究从物理方面探讨了极限方程(1.3).

本文将从数学的角度在更一般的情况$0<k<2$下研究方程(1.2) 的Cauchy问题. 其次, 由于方程(1.2) 的旋转不变性, 使$\xi=(\xi_1, \xi_2, 0)$, $E=(u, v, 0)$ (参见文献[6-9]), 接下来可将(1.2) 转化为以下耦合方程

这里$u=u(t, x): {\Bbb R}\oplus {\Bbb R}^3\rightarrow {\Bbb C}$, $v=v(t, x): {\Bbb R}\oplus {\Bbb R}^3\rightarrow {\Bbb C}$, ${\cal F}$和${\cal F}^{-1}$分别代表傅里叶变换和傅里叶反变换. 并且给方程(1.3) 赋予初值

可以发现, 方程(1.3)与标准的半线性Schrödinger方程的主要不同之处在于非局部项

事实上, 非局部项会导致标准半线性Schrödinger方程不继承很多良好特性, 例如缩放不变性, 伪共形不变性, 径向正基态的唯一性, 但是这些对称不变性对于半线性Schrödinger方程奇异解的动力学行为的研究至关重要^[10-13], 这也是我们讨论方程(1.3) 奇异解的主要困难. 在这里, 陈述了方程(1.3) 奇异解的定义, 如下所示^[14]. 也就是说, 当存在有限时间$T^*$时, 使得$\lim\limits_{t\rightarrow T^*}( \|{u(t)}\|_{H^1}^2+\|{v(t)}\|_{H^1}^2)=+\infty$. 那么$(u(t).v(t))$是方程(1.3) 的奇异解, 这与物理学中的波的坍塌相对应, 在数学中也被称为爆破.

现在, 我们回顾一下当$k=1$时方程(1.3) 的一些已有结果. Guo和Zhang^[15], Zhang, Guo和Guo^[16]研究了具有高阶奇异性的Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的局部和全局存性. Gan和Zhang^[6]得到了当$\sigma<0$时方程(1.3) 整体解存在的一些最佳条件, 以及驻波在能量空间$H^1\times H^1$中的不稳定性. 此外, Gan, Ma和Zhong^[17]更进一步研究了带磁场的Zakharvo模型(1.1) 在$H^1\times L^2\times L^2$中的爆破速率. 此外, 在过去十年中对于非局部非线性Schrödinger方程的爆破动力学的研究也越来越广泛, 包括Davey-Stewartson系统、Hartree方程等^{[8, 18-23]}.

这促使我们在更一般的情况$0<k<2$下, 对方程(1.3) 的奇异解的精细描述做进一步的研究. 特别地, Gan和Zhang^[6]得到了当$k=1$时方程(1.3) 奇异解的存在性, 但爆破率仍然存在.

首先, 根据Cazenave^[10]的论证, 验证了当$0<k<2$时, 在自然能量空间$H^1\times H^1$中, 方程(1.3) 的局部存在性. 此外, 根据方程(1.3) 的结构, 给出了质量守恒定律和能量守恒定律, 来研究解的性质. 然后, 应用能量方法得到了先验界, 由此给出了当$0<k\leq\frac{2}{3}$时, 方程(1.3) 奇异解不存在的一些充分条件. 当$k\geq \frac{2}{3}$时, 通过一些新的估计, 得到了方程(1.3) 奇异解存在的充分条件.

最后, 结合不等式及插值估计得到了当$\frac23\leq k<2$时Cauchy问题(1.3)–(1.4) 奇异解的下界速率. 这个结果也给出了当$k=1$时, 方程(1.3) 奇异解的下界速率^[6]. 由此, 有以下主要定理.

定理1.1   设$\sigma\leq0$, $\eta\geq 0$且$\frac{2}{3}\leq k<2$. 假设$u_0, v_0\in{H^1({\Bbb R}^3)}$并且$(u(t, x), v(t, x))$是Cauchy问题(1.3)–(1.4) 在有限时间内$0< T^* <+\infty$的奇异解. 然后, 有以下估计

(i) 对于$\frac23\leq{k}\leq1$, 则存在$C >0$有

(ii) 对于$s>2$并且$\frac23 \leq{k}\leq1$, 则存在$C >0$有

(iii) 对于$1<k<2$, 则存在$C >0$有

(iv) 对于$s>2$, $1<k<2$并且$k+1\leq s$, 则存在$C >0$有

在本文中, 为了方便起见, 记$(u, v):=(u(t, x), v(t, x))$, $\int_{{\Bbb R}^3}{\cdot}{\rm d}x := \int{\cdot}{\rm d}x$, $L^r({\Bbb R}^3) := L^r$, $\|\cdot\|_{L^{r}({\Bbb R}^3)} := \|\cdot\|_r$, $H^{1}({\Bbb R}^3) := H^1$和$\|\cdot\|_{H^1({\Bbb R}^3)} := \|\cdot\|_{H^1}$. 此外, $C$表示任意正的常数.

首先, 研究了在自然能量空间$H^1\times H^1$中方程(1.3)–(1.4) 解的局部存在性.

在证明Cauchy问题(1.3)–(1.4) 解的局部存在性之前, 先将方程(1.3) 写成向量形式

这里$N_u={\cal F}^{-1}[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v}-\overline{u}v)]$, 且$N_v={\cal F}^{-1}[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v-u\overline{v})]$. 简而言之, 记$U:=U(t, x)=\left(\begin{array}{ccc} u(t, x) \\ v(t, x) \end{array}\right)$和$U_0:=U(0, x)=\left(\begin{array}{ccc} u_0(x) \\ v_0(x) \end{array}\right)$. 那么Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解等价于

这里非局部积分算子: $N(U)={\cal F}^{-1}[\frac{{\rm i}\eta}{|\xi|^{2}-\sigma}(\xi\wedge(\xi\wedge{\cal F}(U\wedge \overline{U})))]$, $\wedge$表示向量函数值的外积.

接下来, 回顾一下Strichartz估计: 若$2 \leq{q}, r\leq{+\infty}$使得$\frac{2}{q}= \frac{3}{2}-\frac{3}{r}$且$(q, r)\neq(2, +\infty)$, 则$(q, r)$是$L^2$ -容许对. 且记

这里$\|V\|_{L^{q}_{t}L_{x}^{r}} := \int_{{\Bbb R}}{(\int_{{\Bbb R}^3}{|V(t, x)|^{r}}{\rm d}x)^{\frac{q}{r}}}{\rm d}t)^{\frac{1}{q}}$, $\|V\|_{L^{\infty}_{t}L_{x}^{2}} := \int_{{\Bbb {\Bbb R}}^3}{|V(t, x)|^{2}}{\rm d}x)^{\frac{1}{2}}{\rm d}t$, $p'$是实数$p$的共轭且满足条件: $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$. 并且有以下估计.

引理2.1   设$(q, r)$是$L^2$ -容许对且$(q, r)\neq(2, +\infty)$. 则有

这里$f(U):=|U|^{2k}U+{\rm i}(U\wedge N(U))$是非线性项.

接着, 利用Cazenave^[10]中的论证研究Cauchy问题(1.3)–(1.4) 解的局部存在性.

引理2.2   令$\sigma\leq{0}$, $\eta\in {\Bbb R}$和$0<k<2$. 设$(u_0, v_0)\in{{H^1}\times{H^1}}$, $0\in{I}$, 且$\|(u_0, v_0)\|_{H^1}\leq{A}$. 如果存在$\delta = \delta(A)>0$满足以下条件

那么$(u(t, x), v(t, x))\in C([0, T); H^1 \times H^1)$是Cauchy问题(1.3)–(1.4)的唯一解. 并且有以下式子成立

证  为了方便起见, 令$U=\left(\begin{array}{ccc} u(t, x) \\ v(t, x) \end{array}\right)$, $U_0=\left(\begin{array}{ccc} u_0(x) \\ v_0(x) \end{array}\right)$. 方程$(2.1)$也能等价方程$U(t)=\Phi_{U_0}(V)$, 这里

接下来, 要证$(2.6)$式是$H^1\times H^1$上的压缩映射, 也就是证$U$是$H^1\times H^1$上的唯一不动点, 即$\Phi_{U_0}(U)=U$. 这就可以说明Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解是局部存在的. 通过以下两种情况来证明$(2.6)$式是压缩映射.

情况1   $0<k\leq1$.

在这种情况下, 有以下估计

由$(2.2)$式和$(2.3)$式, 得到对于所有$t\in [0, T)$,

这里$(\frac{16q'}{q'+8}, \frac{8r'}{4-r'})$, $(\frac{8}{3}, 4)$是$L^2$ -容许对, $C(T)$是正的常数. 利用Leibnitz定律和Hölder不等式. 与(2.7) 式相似, 得到对于所有$t\in [0, T)$, 有

情况2   $1<k<2$.

在这种情况下, 对于$N(U)$, 有以下估计

利用Strichartz估计$(2.2)$式和$(2.3)$式, 对于所有时间$t\in [0, T)$, 则有

这里$(\frac{16kq'}{q'(12k-11)+8}, \frac{8kr'}{4-r'})$, $(\frac{8}{3}, 4)$是$L^2$ -容许对, $C(T)$是正的常数. 和情况$1$的讨论类似, 由Leibnitz定律和Hölder不等式, 对于所有时间$t\in [0, T)$, 则有

通过取$\delta>0$足够小, 再由(2.7)–(2.10) 式, 得到$\Phi_{U_0}(V)$是$B_{(a, b)}$上的压缩映射, 且

Cauchy问题(1.3)–(1.4) 解的存在性和唯一性得以证明. 此外, 根据(2.7)–(2.10) 式得到$(2.5)$式. 证毕.

接下来由(1.3) 式的式子结构, 得到两个守恒量.

命题2.1   假设$\sigma\leq{0}$, $\eta\in {\Bbb R}$和$0<k<2$. 若$(u_{0}, v_{0})\in H^1\times H^1$, 那么$(u(t, x), v(t, x))\in C([0, T); H^1 \times H^1)$是Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的唯一解. 并且满足: 要么$T^*=+\infty$ (整体存在), 要么$T^*<+\infty$且$\lim\limits_{t\rightarrow {T^*}}\|\nabla u(t)\|^2+\|\nabla v(t)\|^2=+\infty$ (有限时间爆破). 此外, 对于任意的$t\in[0, T^*)$, $(u(t, x), v(t, x))$满足如下守恒定律

(i) 质量守恒

(ii) 能量守恒

证  经过一些计算, 在能量空间$H^1\times H^1$中, 可以通过将方程(1.3) 的两个式子分别乘以$\overline{u}$和$\overline{v}$, 并对${{\Bbb R}^{3}}$上的$x$进行积分来验证(2.12) 式. 以及通过将方程$(1.3)$的两个式子分别乘以$\overline{u_{t}}$和$\overline{v_{t}}$, 并对${{\Bbb R}^{3}}$上的$x$进行积分来验证(2.13) 式. 此外, 根据Cazenave^[10]中的论证, 命题2.1中的爆破可以通过引理2.1和上述两个守恒定律在$H^1\times H^1$中得到. 证毕.

通过局部存在和守恒定律, 并且利用能量法可以发现存在以下充分条件, 使得方程(1.3)–(1.4) 的整体解存在. 这些解在有限的时间内不会爆破.

定理2.1   令$\sigma\leq0$, $\eta\leq0$. 设$(u_0, v_0)\in H^1\times H^1$, 且参数和初值满足以下条件之一

(i) $0<k<\frac23$;

(ii) $k=\frac23$, $\|u_0\|_{L^2}<\frac{1}{\sqrt{2}}\|Q\|_{L^2}$, 且$\|v_0\|_{L^2}<\frac{1}{\sqrt{2}}\|Q\|_{L^2}$, 这里$Q$是以下方程的唯一径向基态解^[24]

则在所有时间$t\in {\Bbb R}$上都存在Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的对应解$(u(t, x), v(t, x))$.

证  由于$(u_0, v_0)\in H^1\times H^1$, 根据命题2.1中的局部存在理论, 方程(1.3)–(1.4) 的对应解$(u(t, x), v(t, x))$也存在于$H^1\times H^1$中, 并且守恒律(2.12) 和(2.13) 对于所有时间$t$也都成立. 首先, 假设$\sigma\leq0$和$\eta\leq 0$. 通过使用傅立叶变换, 得到关键的估计

将(2.15)式和一些新的估计代入到能量式子$H(u, v)$中, 经过推导得到

接下来一起来回顾Weinstein^[25]中的Gagliardo-Nirenberg不等式: 对于$U\in H^1$, $0<p<5$,

再利用(2.17)式并且$p=2k+2$和Young不等式, 对于任意$\epsilon_1>0$和$\epsilon_2>0$, 我们有

对于所有的时间$t$都是成立的, 这里常数$C(k, \epsilon_1, C_{opt, 2k+2}, \|u_0\|_2)$和$C(k, \epsilon_2, C_{opt, 2k+2}, \|v_0\|_2)$都是正的. 再将(2.18)和(2.19)式代入(2.16)式中, 并且取$0<\epsilon_1<\frac12$和$0<\epsilon_2<\frac12$. 因此, 得到一个依赖于$H(u_0, v_0)$, $\epsilon_1$, $\epsilon_2$, $C(k, \epsilon_1, C_{opt, 2k+2}, \|u_0\|_2)$和$C(k, \epsilon_2, C_{opt, 2k+2}, \|v_0\|_2)$正的常数$M_0$, 使得$\|\nabla u\|_2^2+ \|\nabla v\|_2^2\leq M_0$对于所有的时间$t\in {\Bbb R}$都成立. 根据命题2.1的局部存在性, 推出Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解$(u(t, x), v(t, x))$对于所有时间$t\in {\Bbb R}$都是存在的.

最后, 对于定理2.1的部分$\rm (ii)$, 先回顾当$p=\frac{10}{3}$时最佳Gagliardo-Nirenberg不等式(2.17): 对于所有的$U\in H^1({\Bbb R}^3)$, 有

这里$Q$是(2.14)式的唯一径向基态解. 因此, 由假设: $\sigma\leq0$, $\eta\leq 0$和$k=\frac23$, 并且通过估计(2.15) 和(2.16), 我们得到

再将假设$\|u_0\|_{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}\|Q\|_{2}$和$\|v_0\|_{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}\|Q\|_{2}$代入(2.21)式中. 由此, 我们得到一个依赖于$H(u_0, v_0)$, $\|u_0\|_2$, $\|v_0\|_2$和$\|Q\|_2$正的常数$K_0$, 使得$\|\nabla u\|_2^2+ \|\nabla v\|_2^2\leq K_0$对于所有的时间$t\in {\Bbb R}$都成立. 证毕.

注2.1  在命题2.1中, 通过利用能量先验估计和估计(2.15), 得到在$\sigma\leq 0$和$\eta\leq 0$下Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的整体解存在的一些充分条件. 然而, 当$\eta> 0$时只能得到以下估计

接下来, 将其代入到能量式中有以下先验估计

因为$\frac{\eta}{4}\int{(|u|^2+|v|^2)^2{\rm d}x}$是由非局部积分算子$N(U)$生成的$L^2$ -超临界非线性项, 可以发现无法在$\sigma$, $\eta$和$k$上找到一个条件来确保具有任意正初始能量$H(u_0, v_0)$的方程(1.3) 的解整体存在.

在本节中, 研究Cauchy问题(1.3)–(1.4) 爆破解的存在性. 虽然我们的主要方法可以参考文献[14, 25], 但计算$J(t)=\int {|x|^2(|u(t)|^2+|v(t)|^2)}{\rm d}x$相对于时间$t$的二阶导数的主要困难是这里的非局部项$N(U)$. 所以还需要建立以下估计

来证明爆破解的存在性. 当$t$趋于有限时间时, 其动能$(\int{(|\nabla{u(t)}|^2+|\nabla{v(t)}|^2)}{\rm d}x)^{\frac{1}{2}}$趋于$+\infty$. 首先, 证明以下命题.

命题3.1   令$\sigma\leq{0}$, $\eta\in {\Bbb R}$和$0<k<2$. 设$(u_0, v_0)\in H^1\times H^1$满足$(|x|u_0, |x|v_0)\in L^2\times L^2$, 如果Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解$(u(t, x), v(t, x))$其最大存在区间为$[0, T^*)$, 则对于任意的$t\in[0, T^*)$, $(|x|u(t, x), |x|v(t, x))\in L^2\times L^2$. 记$J(t)=\int {|x|^2(|u(t, x)|^2+|v(t, x)|^2)}{\rm d}x$. 我们有

证  假设$(u_0, v_0)\in H^1\times H^1$并且满足$(|x|u_0, |x|v_0)\in L^2\times L^2$, 则由局部存在定理得到Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的对应解$(u(t, x), v(t, x))$也在能量空间$H^1\times H^1$中^{[10, 26]}并且满足$(|x|u(t, x), |x|v(t, x))\in L^2\times L^2$. 那么对于所有的时间$t$,

又由于$(u(t, x), v(t, x))$是Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解, 所以得到

再将$(3.4)$式代入到$(3.3)$式中, 则有

通过一些简单的计算, 得到

最后再将(3.6)式和(3.7)式代入到(3.5)式中, 通过计算能够得到方程(3.1).

对于方程(3.2), 由方程(3.1) 可知, 对于所有的时间$t$,

根据对部分积分的一些计算, 推出

由(3.8)–(3.12)式, 能够得到

此外, 注意到以下事实

最后, 再将(3.14)–(3.16) 式代入到方程$(3.13)$中, 则可以得到方程(3.2).

定理3.1   令$\sigma\leq{0}$, $\eta\geq 0$和$\frac23\leq k<2$. 假设$(u_0, v_0)\in H^1\times H^1$满足$(|x|u_0, |x|v_0)\in L^2\times L^2$, 并且下面三个条件之一成立

(i) $H(u_{0}, v_{0})<0$;

(ii) $H(u_{0}, v_{0})=0$, 且${\rm Im}\int {(x\nabla{u_{0}})\overline{u_{0}}}{\rm d}x+{\rm Im}\int {(x\nabla{v_{0}})\overline{v_{0}}}{\rm d}x<0$;

(iii) $H(u_{0}, v_{0})>0$, 且

则Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解$(u(t, x), v(t, x))$在有限的时间$0<T^*<+\infty$爆破. 即有$\lim\limits_{t\rightarrow {T^*}}(\|u(t, x)\|_{H^{1}}^2+ \|v(t, x)\|_{H^{1}}^2)=+\infty$.

证  接下来, 将通过以下两种情况来证明该定理.

情况1   $\eta>0$.

因为$(u_0, v_0)\in H^1\times H^1$并且$(|x|u_0, |x|v_0)\in L^2\times L^2$, 由命题3.1知道Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的对应解$(u(t, x), v(t, x))$也在$H^1\times H^1$中, 并且$(|x|u(t, x), |x|v(t, x))\in L^2\times L^2$. 此外, 方程(3.2) 对于所有时间$t$都成立. 首先, 利用Young不等式, 推出

这里$j=1, 2$. 再将(3.17)式代入到(3.2)式中, 由$k\geq \frac23$得到对于所有的时间$t$, $J''(t)\leq{16H(u_{0}, v_{0})}$. 并且回顾等式: $J(t)=J(0)+J'(0)t+\int_0^t J''(s)(t-s){\rm d}s$. 那么, 对于所有时间$t$有

此外, 由假设${\rm (i)}$, ${\rm (ii)}$或者${\rm (iii)}$, 可以找到一个有限的时间$0<T<+\infty$, 当满足$t\rightarrow T$时, $8H(u_{0}, v_{0})t^{2}+J'(0)t+J(0)$. 因此存在$0<T^*\leq T<+\infty$使得

再根据质量守恒并且积分, 得到以下关键估计

在这里的最后一步, 利用柯西-施瓦兹不等式. 最后, 将(3.19)式代入到(3.20) 式中, 有$\lim\limits_{t\rightarrow {T^*}}(\|\nabla u(t)\|_{2}^2+ \|\nabla v(t)\|_{2}^2)=+\infty$. 再由

得到Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解$(u(t, x), v(t, x))$在有限的时间$T^*$一定爆破.

情况2   $\eta=0$.

将假设: $\eta=0$, $\sigma\leq{0}$, $2> k\geq{\frac{2}{3}}$代入到(3.2) 式中, 对于所有的时间$t$有$J''(t)\leq{16H(u_0, v_0)}$. 接下来的讨论与情况$1$类似, 因此能够得出与情况$1$相同的结论. 故由假设${\rm (i)}$, ${\rm (ii)}$或者${\rm (iii)}$, 可以找到一个有限的时间$0<T^*<+\infty$并且满足$\lim\limits_{t\rightarrow {T^*}}(\| u(t)\|_{H^1}^2+ \| v(t)\|_{H^1}^2)=+\infty$. 证毕.

在上一节中, 讨论了Cauchy问题(1.3)–(1.4) 奇异解的存在性. 而在本节中, 继续研究奇异解, 并且在定理1.1中得到了奇异解的下界速率. 接下来, 将给出定理1.1的证明过程.

定理1.1的证明   首先, 回顾命题2.1中的局部存在理论. 若$(u(t, x), v(t, x))$是Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解, 则满足

这里$N(u, v)={\cal F}^{-1}[\frac{{\rm i}\eta}{|\xi|^{2}-\sigma}(\xi\wedge(\xi\wedge{\cal F}((u, v)\wedge \overline{(u, v)})))]$. 对于非局部项$N(u, v)$, 由傅里叶变换的性质, 对于$0<r<\frac32$, 有

注意到$(q, r)=(\infty, 2)$和$(q, r)=(\frac{8}{3}, 4)$是${\Bbb R}^3$中的$L^2$ -容许对, 且$(q', r')=(\frac{8}{5}, \frac{4}{3})$是其共轭对. 利用Strichartz估计(2.2)–(2.3) 式, 有

接下来, 将通过两种情况来证明定理1.1.

情况1    $\frac23 \leq{k}\leq1$.

利用Hölder插值估计并由(4.2) 式, 推出

而在这里, 不难看出由(2.17) 式和以下估计

可以得到(4.4) 式的最后一步. 并且推出对于任意$0<t<\tau<T^*<{+\infty}$, 有

还注意到: 由$\frac23\leq{k}\leq1$, $\|\nabla((u^2+v^2)^{k}(u, v)))\|_{L^{\frac{8}{5}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{\frac{4}{3}}}$能被$\|\nabla((u, v)\wedge N(u, v))\|_{L^{\frac{8}{5}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{\frac{4}{3}}}$控制. 因此, 对于任意$0<t<\tau<T^*<{+\infty}$, 则有

现在, 定义$G_{t}(\tau):=1+\|\nabla{(u, v)}\|_{L^{\infty}_{t}(t, \tau)L_{x}^{2}}+\|\nabla{(u, v)}\|_{L_{t}^{\frac{8}{3}}(t, \tau)L^{4}_{x}}$. 由假设: $(u(t, x), v(t, x))$是Cauchy问题(1.3)–(1.4)的爆破解, 这里$0<T^*<+\infty$是有限时间, 由此$\lim\limits_{\tau\rightarrow {T^*}}G_{t}(\tau)=+\infty$. 再结合$(4.4)$, $(4.6)$和$(4.7)$式, 找到一个$C_{0}>0$, 对于$0<t<\tau<T^*<{+\infty}$, 则有

根据$G_{t}(\tau)$在$(t, T^*)$上的连续性和单调性, 且对于$\tau> t$, 当$\tau\rightarrow {t}$则有$G_{t}(\tau)\rightarrow1+\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x)^{\frac{1}{2}}$. 且存在$\tau_{0}\in(t, T^*)$使得

在(4.8) 式中取$\tau=\tau_{0}$, 可以推出

显然, 对于$0<t<T^*<{+\infty}$, 不等式$(1.5)$式成立.

对于$(1.6)$式, 在假设$\frac{2}{3}\leq{k}\leq1$下, 利用Hölder插值估计, 对于$0<t<T^*<{+\infty}$, 能够得到

这里$\theta=\frac{1-k}{k+1}\in{(0, 1)}$, $C_2(k, M(u_0, v_0))>0$. 我们注意到$1<2<s$, 利用Hölder插值估计, 对于$0<t<T^*<{+\infty}$,

再将$(4.10)$式和$(4.11)$式带到能量$(2.13)$式中, 对于$0<t<T^*<{+\infty}$, 有

因此, 推出$\int{(|u|^2+|v|^2)^{s}}{\rm d}x\geq{C\big(\int{|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2}{\rm d}x\big)^{s-1}}.$且$(1.6)$式可由估计$(1.5)$得到.

情况2    $1<k<2$

和情况$1$相似, 这里我们将利用$\|\nabla((u|^2+|v|^2)^{k}(u, v)))\|_{L^{\frac{8}{5}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{\frac{4}{3}}}$去控制$\|\nabla((u, v)\wedge N(u, v))\|_{L^{\frac{8}{5}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{\frac{4}{3}}}$. 根据(4.4)–(4.6)式, 结合Hölder不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式, 可以得到

接着, 利用Hölder不等式, 得到对于任意时间$0<t<\tau<T^*<+\infty$, 有

和情况$1$讨论类似, 定义$G_{t}(\tau):=1+\|\nabla{(u, v)}\|_{L^{\infty}_{t}(t, \tau)L_{x}^{2}}+\|\nabla{(u, v)}\|_{L_{t}^{\frac{8}{3}}(t, \tau)L^{4}_{x}}$. 由$(4.3)$式和$(4.13)$式, 则存在$C_{0}>0$使得

因此, 能够找到一个$\tau_{0}\in(t, T^*)$使得$G_{t}(\tau_0)=(C_{0}+1)\left(1+(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x)^{\frac{1}{2}}\right),$这里$C_{0}>0$是$(4.14)$中的常数. 在$(4.14)$式中取$\tau=\tau_{0}$, 有

显然, 对于$0<t<T^*<{+\infty}$, (1.7) 式是成立的.

对于$(1.8)$式, 根据假设: $1<k<2$, $s\geq k+1$, 并结合Hölder插值估计, 对于$0<t<T^*<{+\infty}$, 则有

这里$\theta=\frac{s-(k+1)}{(s-1)(k+1)}\in{(0, 1)}$且$C_2(k, s, M(u_0, v_0))>0$. 再将$(4.15)$式代到能量$(2.13)$式中, 对于$0<t<T^*<{+\infty}$, 可以推出

通过计算, 对于$0<t<T^*<{+\infty}$, 即有

最后, 再结合(1.7)式, 得到(1.8) 式. 证毕.

注4.1   研究能量空间中半线性薛定谔方程奇异解的下界速率的方法主要有两种. 一种是应用方程的尺度不变性和适定性理论^[10], 并且在$L^2$ -临界情况下, 奇异解的下界速率为$\frac{1}{\sqrt{T-t}}$形式. 另一种Merle和Raphaël's法^{[12, 27, 28]}, 在假设下: $L^2$ -临界的非线性薛定谔方程具有尺度不变性且初始质量是超临界的, 奇异解的上下界速率为$(\frac{\ln|\ln(T-t)|}{T-t})^{\frac 12}$形式.

然而, 耦合的非局部非线性薛定谔方程(1.3) 在$k\neq 1$时不具有尺度不变性. 在这里, 我们使用基于Gagliardo-Nirenberg不等式和Strichartz估计的方法来推导方程(1.3) 奇异解的下界速率.