在冷等离子体中, 带磁场的广义Zakharov模型对动力和磁场效应进行模拟, 其中非线性相互作用效应是由粒子和等离子体波产生的. 首先该模型可以用以下形式表示

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{lll} {\rm i}E_t+ \Delta E-n E+{\rm i}E\wedge B=0, \\ { } \frac{1}{c_0^2}n_{tt}-\Delta n=\Delta (|E|^{2k}), \\ \Delta B+\sigma B={\rm i}\eta \nabla \times\nabla \times (E\wedge \overline{E}), \end{array}\right. \end{equation} $

这里i是虚数单位, $ c_0 $表示无限声速粒子, 并且有$ x\in {\Bbb R}^3 $. 实参数: $ k=1 $, $ \eta\in {\Bbb R} $和$ \sigma \leq 0 $; 函数$ E=E(t, x): {\Bbb R}\oplus {\Bbb R}^3\rightarrow {\Bbb C}^3 $表示高频电场的振幅, 其频率高且变化缓慢; $ n=n(t, x): {\Bbb R}\oplus {\Bbb R}^3\rightarrow {\Bbb R} $表示粒子密度从平衡状态的变化, 并且$ B=B(t, x): {\Bbb R}\oplus {\Bbb R}^3\rightarrow {\Bbb C}^3 $表示自生磁场; $ \wedge $表示向量值函数的外积, 并且$ \overline{E} $表示$ E $的复共轭. Daniel^[1]还从冷离子极限中的Vlasov-Poisson方程中得出了带磁场的Zakharov模型. 特别是当亚音速极限($ c_0\rightarrow +\infty $) 时^[2-5], 则可以将三维空间中带磁场的广义Zakharov模型(1.1) 简化为非局部非线性Schrödinger方程

(1.2) $ \begin{equation} {\rm i}E_t+ \Delta E+|E|^{2k}E+{\rm i}E\wedge N(E) =0, \end{equation} $

这里$ N(E):={\cal F}^{-1}[\frac{{\rm i}\eta}{|\xi|^{2}-\sigma}(\xi\wedge(\xi\wedge{\cal F}(E\wedge \overline{E})))] $, $ {\cal F} $和$ {\cal F}^{-1} $分别代表傅里叶变换和傅里叶反变换. 并且文献[3-5] 中已有大量的研究从物理方面探讨了极限方程(1.3).

本文将从数学的角度在更一般的情况$ 0<k<2 $下研究方程(1.2) 的Cauchy问题. 其次, 由于方程(1.2) 的旋转不变性, 使$ \xi=(\xi_1, \xi_2, 0) $, $ E=(u, v, 0) $ (参见文献[6-9]), 接下来可将(1.2) 转化为以下耦合方程

(1.3) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{lll} { } {\rm i}u_t+\Delta u+(|u|^2+|v|^2)^ku+v{\cal F}^{-1}\bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v}-\overline{u}v)\bigg]=0, \\ { } {\rm i}v_t+\Delta v+(|u|^2+|v|^2)^kv+u{\cal F}^{-1}\bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v-u\overline{v})\bigg]=0, \end{array}\right. \end{equation} $

这里$ u=u(t, x): {\Bbb R}\oplus {\Bbb R}^3\rightarrow {\Bbb C} $, $ v=v(t, x): {\Bbb R}\oplus {\Bbb R}^3\rightarrow {\Bbb C} $, $ {\cal F} $和$ {\cal F}^{-1} $分别代表傅里叶变换和傅里叶反变换. 并且给方程(1.3) 赋予初值

(1.4) $ \begin{equation} u(0, x)=u_{0}, v(0, x)=v_{0}. \end{equation} $

可以发现, 方程(1.3)与标准的半线性Schrödinger方程的主要不同之处在于非局部项

$ v{\cal F}^{-1} \bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v}-\overline{u}v)\bigg]\; \; \mbox{和}\; \; u{\cal F}^{-1}\bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v-u\overline{v})\bigg]. $

事实上, 非局部项会导致标准半线性Schrödinger方程不继承很多良好特性, 例如缩放不变性, 伪共形不变性, 径向正基态的唯一性, 但是这些对称不变性对于半线性Schrödinger方程奇异解的动力学行为的研究至关重要^[10-13], 这也是我们讨论方程(1.3) 奇异解的主要困难. 在这里, 陈述了方程(1.3) 奇异解的定义, 如下所示^[14]. 也就是说, 当存在有限时间$ T^* $时, 使得$ \lim\limits_{t\rightarrow T^*}( \|{u(t)}\|_{H^1}^2+\|{v(t)}\|_{H^1}^2)=+\infty $. 那么$ (u(t).v(t)) $是方程(1.3) 的奇异解, 这与物理学中的波的坍塌相对应, 在数学中也被称为爆破.

现在, 我们回顾一下当$ k=1 $时方程(1.3) 的一些已有结果. Guo和Zhang^[15], Zhang, Guo和Guo^[16]研究了具有高阶奇异性的Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的局部和全局存性. Gan和Zhang^[6]得到了当$ \sigma<0 $时方程(1.3) 整体解存在的一些最佳条件, 以及驻波在能量空间$ H^1\times H^1 $中的不稳定性. 此外, Gan, Ma和Zhong^[17]更进一步研究了带磁场的Zakharvo模型(1.1) 在$ H^1\times L^2\times L^2 $中的爆破速率. 此外, 在过去十年中对于非局部非线性Schrödinger方程的爆破动力学的研究也越来越广泛, 包括Davey-Stewartson系统、Hartree方程等^{[8, 18-23]}.

这促使我们在更一般的情况$ 0<k<2 $下, 对方程(1.3) 的奇异解的精细描述做进一步的研究. 特别地, Gan和Zhang^[6]得到了当$ k=1 $时方程(1.3) 奇异解的存在性, 但爆破率仍然存在.

首先, 根据Cazenave^[10]的论证, 验证了当$ 0<k<2 $时, 在自然能量空间$ H^1\times H^1 $中, 方程(1.3) 的局部存在性. 此外, 根据方程(1.3) 的结构, 给出了质量守恒定律和能量守恒定律, 来研究解的性质. 然后, 应用能量方法得到了先验界, 由此给出了当$ 0<k\leq\frac{2}{3} $时, 方程(1.3) 奇异解不存在的一些充分条件. 当$ k\geq \frac{2}{3} $时, 通过一些新的估计, 得到了方程(1.3) 奇异解存在的充分条件.

最后, 结合不等式及插值估计得到了当$ \frac23\leq k<2 $时Cauchy问题(1.3)–(1.4) 奇异解的下界速率. 这个结果也给出了当$ k=1 $时, 方程(1.3) 奇异解的下界速率^[6]. 由此, 有以下主要定理.

定理1.1   设$ \sigma\leq0 $, $ \eta\geq 0 $且$ \frac{2}{3}\leq k<2 $. 假设$ u_0, v_0\in{H^1({\Bbb R}^3)} $并且$ (u(t, x), v(t, x)) $是Cauchy问题(1.3)–(1.4) 在有限时间内$ 0< T^* <+\infty $的奇异解. 然后, 有以下估计

(i) 对于$ \frac23\leq{k}\leq1 $, 则存在$ C >0 $有

(1.5) $ \begin{equation} \int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\geq{\frac{C}{(T-t)^{\frac{1}{3}}}}, \quad \quad 0\leq{t}<T<+\infty. \end{equation} $

(ii) 对于$ s>2 $并且$ \frac23 \leq{k}\leq1 $, 则存在$ C >0 $有

(1.6) $ \begin{equation} \int{(u^2+v^2)^{s}}{\rm d}x\geq{\frac{C}{(T-t)^{\frac{s-1}{3}}}}, \quad \quad 0\leq{t}<T<+\infty. \end{equation} $

(iii) 对于$ 1<k<2 $, 则存在$ C >0 $有

(1.7) $ \begin{equation} \int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\geq{\frac{C}{(T-t)^{\frac{1}{6k-3}}}}, \quad \quad 0\leq{t}<T<+\infty. \end{equation} $

(iv) 对于$ s>2 $, $ 1<k<2 $并且$ k+1\leq s $, 则存在$ C >0 $有

(1.8) $ \begin{equation} \int{(u^2+v^2)^{s}}{\rm d}x\geq{\frac{C}{(T-t)^{\frac{s-1}{6sk(2k-1)}}}}, \quad \quad 0\leq{t}<T<+\infty. \end{equation} $

在本文中, 为了方便起见, 记$ (u, v):=(u(t, x), v(t, x)) $, $ \int_{{\Bbb R}^3}{\cdot}{\rm d}x := \int{\cdot}{\rm d}x $, $ L^r({\Bbb R}^3) := L^r $, $ \|\cdot\|_{L^{r}({\Bbb R}^3)} := \|\cdot\|_r $, $ H^{1}({\Bbb R}^3) := H^1 $和$ \|\cdot\|_{H^1({\Bbb R}^3)} := \|\cdot\|_{H^1} $. 此外, $ C $表示任意正的常数.

首先, 研究了在自然能量空间$ H^1\times H^1 $中方程(1.3)–(1.4) 解的局部存在性.

在证明Cauchy问题(1.3)–(1.4) 解的局部存在性之前, 先将方程(1.3) 写成向量形式

$ {\rm i}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\begin{array}{ccc} u \\ v \end{array}\right)+\Delta \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 &1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} u \\ v \end{array}\right) + (|u|^2+|v|^2)^k\left(\begin{array}{ccc} 1& 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} 0 & N_u \\ N_v & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} u \\ v \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \end{array}\right), $

这里$ N_u={\cal F}^{-1}[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v}-\overline{u}v)] $, 且$ N_v={\cal F}^{-1}[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v-u\overline{v})] $. 简而言之, 记$ U:=U(t, x)=\left(\begin{array}{ccc} u(t, x) \\ v(t, x) \end{array}\right) $和$ U_0:=U(0, x)=\left(\begin{array}{ccc} u_0(x) \\ v_0(x) \end{array}\right) $. 那么Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解等价于

(2.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{lll} &{\rm i}U_{t}+\Delta{U}+|U|^{2k}U+{\rm i}(U\wedge N(U))=0, \\ &U(0, x)=U_{0}(x), \ \ \ x\in{{\Bbb R}^3}, \end{array}\right. \end{equation} $

这里非局部积分算子: $ N(U)={\cal F}^{-1}[\frac{{\rm i}\eta}{|\xi|^{2}-\sigma}(\xi\wedge(\xi\wedge{\cal F}(U\wedge \overline{U})))] $, $ \wedge $表示向量函数值的外积.

接下来, 回顾一下Strichartz估计: 若$ 2 \leq{q}, r\leq{+\infty} $使得$ \frac{2}{q}= \frac{3}{2}-\frac{3}{r} $且$ (q, r)\neq(2, +\infty) $, 则$ (q, r) $是$ L^2 $ -容许对. 且记

$ \|V\|_{I(L^2)}= \sup\limits_{(q, r)\ L^2\mbox{-admissible}}\|V\|_{L^{q}_{t}L_{x}^{r}}, \quad \|V\|_{I'(L^2)}= \sup\limits_{(q, r)\ L^2\mbox{-admissible}}\|V\|_{L^{q'}_{t}L_{x}^{r'}}. $

这里$ \|V\|_{L^{q}_{t}L_{x}^{r}} := \int_{{\Bbb R}}{(\int_{{\Bbb R}^3}{|V(t, x)|^{r}}{\rm d}x)^{\frac{q}{r}}}{\rm d}t)^{\frac{1}{q}} $, $ \|V\|_{L^{\infty}_{t}L_{x}^{2}} := \int_{{\Bbb {\Bbb R}}^3}{|V(t, x)|^{2}}{\rm d}x)^{\frac{1}{2}}{\rm d}t $, $ p' $是实数$ p $的共轭且满足条件: $ \frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1 $. 并且有以下估计.

引理2.1   设$ (q, r) $是$ L^2 $ -容许对且$ (q, r)\neq(2, +\infty) $. 则有

(2.2) $ \begin{equation} \|{\rm e}^{{\rm i}t\Delta} U\|_{L^{q}_{t}L_{x}^{r}}\leq{C\|U\|_{L^{2}_{x}}}, \end{equation} $

(2.3) $ \begin{equation} \bigg\|\int_{0}^{t}{{\rm e}^{{\rm i}(t-\tau)\Delta}f(U)}{\rm d}\tau\bigg\|_{L^{q}_{t}L_{x}^{r}}\leq{C\|f(U)\|_{L^{q'}_{t}L_{x}^{r'}}}, \end{equation} $

(2.4) $ \begin{equation} \bigg\|\int_{+\infty}^{-\infty}{{\rm e}^{{\rm i}(t-\tau)\Delta}f(U)}{\rm d}\tau\bigg\|_{L^{2}_{x}}\leq{C\|f(U)\|_{L^{q'}_{t}L_{x}^{r'}}}, \end{equation} $

这里$ f(U):=|U|^{2k}U+{\rm i}(U\wedge N(U)) $是非线性项.

接着, 利用Cazenave^[10]中的论证研究Cauchy问题(1.3)–(1.4) 解的局部存在性.

引理2.2   令$ \sigma\leq{0} $, $ \eta\in {\Bbb R} $和$ 0<k<2 $. 设$ (u_0, v_0)\in{{H^1}\times{H^1}} $, $ 0\in{I} $, 且$ \|(u_0, v_0)\|_{H^1}\leq{A} $. 如果存在$ \delta = \delta(A)>0 $满足以下条件

$ \|{\rm e}^{{\rm i}t\bigtriangleup}(u_0, v_0)\|_{I(L^2)}+\|\bigtriangledown {\rm e}^{{\rm i}t\bigtriangleup} (u_0, v_0)\|_{I(L^2)}<\delta, $

那么$ (u(t, x), v(t, x))\in C([0, T); H^1 \times H^1) $是Cauchy问题(1.3)–(1.4)的唯一解. 并且有以下式子成立

(2.5) $ \begin{equation} \|(u, v)\|_{I(L^2)}\leq{2\|{\rm e}^{{\rm i}t\bigtriangleup}(u_0, v_0)\|_{I(L^2)}}, \quad \|\bigtriangledown (u, v)\|_{I(L^2)}\leq{2\|\bigtriangledown (u_0, v_0)\|_{L_{x}^{2}}}. \end{equation} $

证  为了方便起见, 令$ U=\left(\begin{array}{ccc} u(t, x) \\ v(t, x) \end{array}\right) $, $ U_0=\left(\begin{array}{ccc} u_0(x) \\ v_0(x) \end{array}\right) $. 方程$ (2.1) $也能等价方程$ U(t)=\Phi_{U_0}(V) $, 这里

(2.6) $ \begin{equation} \Phi_{U_0}(V):={\rm e}^{{\rm i}t\Delta}U_{0}+{\rm i}\int_{0}^{t}{{\rm e}^{{\rm i}(t-\tau)\Delta}(|V|^{2k}V+{\rm i}(V\wedge N(V)))}{\rm d}\tau. \end{equation} $

接下来, 要证$ (2.6) $式是$ H^1\times H^1 $上的压缩映射, 也就是证$ U $是$ H^1\times H^1 $上的唯一不动点, 即$ \Phi_{U_0}(U)=U $. 这就可以说明Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解是局部存在的. 通过以下两种情况来证明$ (2.6) $式是压缩映射.

情况1   $ 0<k\leq1 $.

在这种情况下, 有以下估计

$ \|\Phi_{U_0}(V)\|_{I(L^2)}\leq C \|{\rm e}^{{\rm i}t\Delta}U_{0}\|_{I(L^2)}+ C \bigg\| {\rm i}\int_{0}^{t}{\rm e}^{{\rm i}(t-\tau)\Delta}V\wedge N(V){\rm d}\tau\bigg\|_{I(L^2)}. $

由$ (2.2) $式和$ (2.3) $式, 得到对于所有$ t\in [0, T) $,

(2.7) $ \begin{eqnarray} \|\Phi_{U_0}(V)\|_{I(L^2)} &\leq&{C\|U_{0}\|_{L_{x}^{2}}+C\|V\|^{2}_{L_{t}^{\frac{16q'}{8-3q'}}L_{x}^{\frac{8r'}{4-r'}}} \|V\|_{L_{t}^{\frac{8}{3}}L_{x}^{4}}}{}\\ &\leq&{C\|U_{0}\|_{L_{x}^{2}}+C(T)\|V\|^{2}_{L_{t}^{\frac{16q'}{q'+8}}L_{x}^{\frac{8r'}{4-r'}}} \|V\|_{L_{t}^{\frac{8}{3}}L_{x}^{4}}}{}\\ &\leq&{C\|U_{0}\|_{L_{x}^{2}}+C(T)\|V\|^{2}_{I(L^{2})}\|V\|_{I(L^{2})}}, \end{eqnarray} $

这里$ (\frac{16q'}{q'+8}, \frac{8r'}{4-r'}) $, $ (\frac{8}{3}, 4) $是$ L^2 $ -容许对, $ C(T) $是正的常数. 利用Leibnitz定律和Hölder不等式. 与(2.7) 式相似, 得到对于所有$ t\in [0, T) $, 有

(2.8) $ \begin{eqnarray} \|\nabla\Phi_{U_0}(V)\|_{I(L^2)}&\leq&{ C\|\nabla U_{0}\|_{L_{x}^{2}}+C\|V\|^{2}_{L_{t}^{\frac{16q'}{8-3q'}}L_{x}^{\frac{8r'}{4-r'}}}\|\nabla V\|_{L_{t}^{\frac{8}{3}}L_{x}^{4}}} {}\\ &\leq&{C\|\nabla U_{0}\|_{L_{x}^{2}}+C(T)\|V\|^{2}_{I(L^{2})}\|\nabla V\|_{I(L^{2})}}. \end{eqnarray} $

情况2   $ 1<k<2 $.

在这种情况下, 对于$ N(U) $, 有以下估计

$ \|\Phi_{U_0}(V)\|_{I(L^2)}\leq C \|{\rm e}^{{\rm i}t\Delta}U_{0}\|_{I(L^2)}+ C \bigg\| {\rm i}\int_{0}^{t}{\rm e}^{{\rm i}(t-\tau)\Delta}|V|^{2k}V{\rm d}\tau\bigg\|_{I(L^2)}. $

利用Strichartz估计$ (2.2) $式和$ (2.3) $式, 对于所有时间$ t\in [0, T) $, 则有

(2.9) $ \begin{eqnarray} \|\Phi_{U_0}(V)\|_{I(L^2)} &\leq&{C\|U_{0}\|_{L_{x}^{2}}+C\|V\|^{2k}_{L_{t}^{\frac{16kq'}{8-3q'}}L_{x}^{\frac{8kr'}{4-r'}}} \|V\|_{L_{t}^{\frac{8}{3}}L_{x}^{4}}}{}\\ &\leq&{C\|U_{0}\|_{L_{x}^{2}}+C(T)\|V\|^{2k}_{L_{t}^{\frac{16kq'}{(12k-11)q'+8}}L_{x}^{\frac{8kr'}{4-r'}}} \|V\|_{L_{t}^{\frac{8}{3}}L_{x}^{4}}}{}\\ &\leq&{C\|U_{0}\|_{L_{x}^{2}}+C(T)\|V\|^{2k}_{I(L^{2})}\|V\|_{I(L^{2})}}, \end{eqnarray} $

这里$ (\frac{16kq'}{q'(12k-11)+8}, \frac{8kr'}{4-r'}) $, $ (\frac{8}{3}, 4) $是$ L^2 $ -容许对, $ C(T) $是正的常数. 和情况$ 1 $的讨论类似, 由Leibnitz定律和Hölder不等式, 对于所有时间$ t\in [0, T) $, 则有

(2.10) $ \begin{equation} \begin{array}{lll} \|\nabla\Phi_{U_0}(V)\|_{I(L^2)} \leq{C\|\nabla U_{0}\|_{L_{x}^{2}}+C(T)\|V\|^{2k}_{I(L^{2})}\|\nabla V\|_{I(L^{2})}} \end{array} \end{equation} $

通过取$ \delta>0 $足够小, 再由(2.7)–(2.10) 式, 得到$ \Phi_{U_0}(V) $是$ B_{(a, b)} $上的压缩映射, 且

(2.11) $ \begin{equation} B_{(a, b)}:={\{V \in I\times{{\Bbb R}^3}\ | \ \|V\|_{I(L^{2})}\leq{a}, \|\nabla V\|_{I(L^{2})}\leq{b}\}}. \end{equation} $

Cauchy问题(1.3)–(1.4) 解的存在性和唯一性得以证明. 此外, 根据(2.7)–(2.10) 式得到$ (2.5) $式. 证毕.

接下来由(1.3) 式的式子结构, 得到两个守恒量.

命题2.1   假设$ \sigma\leq{0} $, $ \eta\in {\Bbb R} $和$ 0<k<2 $. 若$ (u_{0}, v_{0})\in H^1\times H^1 $, 那么$ (u(t, x), v(t, x))\in C([0, T); H^1 \times H^1) $是Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的唯一解. 并且满足: 要么$ T^*=+\infty $ (整体存在), 要么$ T^*<+\infty $且$ \lim\limits_{t\rightarrow {T^*}}\|\nabla u(t)\|^2+\|\nabla v(t)\|^2=+\infty $ (有限时间爆破). 此外, 对于任意的$ t\in[0, T^*) $, $ (u(t, x), v(t, x)) $满足如下守恒定律

(i) 质量守恒

(2.12) $ \begin{equation} M(u, v)=\int{(|u|^2+|v|^2)}{\rm d}x=M(u_{0}, v_{0}), \end{equation} $

(ii) 能量守恒

(2.13) $ \begin{eqnarray} H(u, v)&=&\frac{1}{2}\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2}){\rm d}x- \frac{1}{4}\int{\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}(|{\cal F}(\overline{u}v)|^2 +|{\cal F}(u\overline{v})|^2)}{\rm d}\xi{}\\ &&-\frac{1}{2(k+1)}\int(|u|^2+|v|^2)^{k+1}{\rm d}x+\frac{1}{2}{\rm Re} \int{\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v})\overline{{\cal F}(\overline{u}v})}{\rm d}\xi{}\\ &=&H(u_{0}, v_{0}). \end{eqnarray} $

证  经过一些计算, 在能量空间$ H^1\times H^1 $中, 可以通过将方程(1.3) 的两个式子分别乘以$ \overline{u} $和$ \overline{v} $, 并对$ {{\Bbb R}^{3}} $上的$ x $进行积分来验证(2.12) 式. 以及通过将方程$ (1.3) $的两个式子分别乘以$ \overline{u_{t}} $和$ \overline{v_{t}} $, 并对$ {{\Bbb R}^{3}} $上的$ x $进行积分来验证(2.13) 式. 此外, 根据Cazenave^[10]中的论证, 命题2.1中的爆破可以通过引理2.1和上述两个守恒定律在$ H^1\times H^1 $中得到. 证毕.

通过局部存在和守恒定律, 并且利用能量法可以发现存在以下充分条件, 使得方程(1.3)–(1.4) 的整体解存在. 这些解在有限的时间内不会爆破.

定理2.1   令$ \sigma\leq0 $, $ \eta\leq0 $. 设$ (u_0, v_0)\in H^1\times H^1 $, 且参数和初值满足以下条件之一

(i) $ 0<k<\frac23 $;

(ii) $ k=\frac23 $, $ \|u_0\|_{L^2}<\frac{1}{\sqrt{2}}\|Q\|_{L^2} $, 且$ \|v_0\|_{L^2}<\frac{1}{\sqrt{2}}\|Q\|_{L^2} $, 这里$ Q $是以下方程的唯一径向基态解^[24]

(2.14) $ \begin{equation} -\Delta Q+Q-Q^{\frac{7}{3}}=0, \ \ \ \ Q\in H_r^1({\Bbb R}^3). \end{equation} $

则在所有时间$ t\in {\Bbb R} $上都存在Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的对应解$ (u(t, x), v(t, x)) $.

证  由于$ (u_0, v_0)\in H^1\times H^1 $, 根据命题2.1中的局部存在理论, 方程(1.3)–(1.4) 的对应解$ (u(t, x), v(t, x)) $也存在于$ H^1\times H^1 $中, 并且守恒律(2.12) 和(2.13) 对于所有时间$ t $也都成立. 首先, 假设$ \sigma\leq0 $和$ \eta\leq 0 $. 通过使用傅立叶变换, 得到关键的估计

(2.15) $ \begin{equation} \frac{1}{2}{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^{2}-\sigma}\overline{{\cal F}(\overline{u}v)}} {\cal F} (u\overline{v}){\rm d}\xi -\frac{1}{4}\int{\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^{2}-\sigma} (|{\cal F}(\overline{u}v)|^{2}+|{\cal F}(u\overline{v})|^{2})}{\rm d}\xi\geq{0}. \end{equation} $

将(2.15)式和一些新的估计代入到能量式子$ H(u, v) $中, 经过推导得到

(2.16) $ \begin{eqnarray} H(u_0, v_0)= H(u, v)&\geq&{\frac{1}{2}\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x-\frac{1}{2(k+1)}\int{(|u|^2+|v|^2)^{k+1}}{\rm d}x} {}\\ &\geq & \frac{1}{2} \|\nabla u\|_2^2+\frac{1}{2} \|\nabla v\|_2^2-\frac{2^{k-1}}{k+1} \|u\|_{2k+2}^{2k+2}-\frac{2^{k-1}}{k+1} \|v\|_{2k+2}^{2k+2}. \end{eqnarray} $

接下来一起来回顾Weinstein^[25]中的Gagliardo-Nirenberg不等式: 对于$ U\in H^1 $, $ 0<p<5 $,

(2.17) $ \begin{equation} \|U\|_{p}^{p}\leq C_{opt, p} \|U\|_2^{\frac{6-p}{2}}\|\nabla U\|_2^{\frac{3(p-2)}{2}}. \end{equation} $

再利用(2.17)式并且$ p=2k+2 $和Young不等式, 对于任意$ \epsilon_1>0 $和$ \epsilon_2>0 $, 我们有

(2.18) $ \begin{eqnarray} \frac{2^{k-1}}{k+1}\|u\|_{2k+2}^{2k+2}&\leq & \frac{2^{k-1}}{k+1}C_{opt, 2k+2} \|u\|_2^{2-k}\|\nabla u\|_2^{3k} \\ &\leq& C(k, \epsilon_1, C_{opt, 2k+2}, \|u_0\|_2)+\epsilon_1 \|\nabla u\|_2^2, \end{eqnarray} $

(2.19) $ \begin{eqnarray} \frac{2^{k-1}}{k+1}\|v\|_{2k+2}^{2k+2}&\leq & \frac{2^{k-1}}{k+1}C_{opt, 2k+2} \|v\|_2^{2-k}\|\nabla v\|_2^{3k}\\ &\leq &C(k, \epsilon_2, C_{opt, 2k+2}, \|v_0\|_2)+\epsilon_2 \|\nabla v\|_2^2. \end{eqnarray} $

对于所有的时间$ t $都是成立的, 这里常数$ C(k, \epsilon_1, C_{opt, 2k+2}, \|u_0\|_2) $和$ C(k, \epsilon_2, C_{opt, 2k+2}, \|v_0\|_2) $都是正的. 再将(2.18)和(2.19)式代入(2.16)式中, 并且取$ 0<\epsilon_1<\frac12 $和$ 0<\epsilon_2<\frac12 $. 因此, 得到一个依赖于$ H(u_0, v_0) $, $ \epsilon_1 $, $ \epsilon_2 $, $ C(k, \epsilon_1, C_{opt, 2k+2}, \|u_0\|_2) $和$ C(k, \epsilon_2, C_{opt, 2k+2}, \|v_0\|_2) $正的常数$ M_0 $, 使得$ \|\nabla u\|_2^2+ \|\nabla v\|_2^2\leq M_0 $对于所有的时间$ t\in {\Bbb R} $都成立. 根据命题2.1的局部存在性, 推出Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解$ (u(t, x), v(t, x)) $对于所有时间$ t\in {\Bbb R} $都是存在的.

最后, 对于定理2.1的部分$ \rm (ii) $, 先回顾当$ p=\frac{10}{3} $时最佳Gagliardo-Nirenberg不等式(2.17): 对于所有的$ U\in H^1({\Bbb R}^3) $, 有

(2.20) $ \begin{equation} \int |U|^{\frac{10}{3}}{\rm d}x\leq \frac{5}{3} \left(\frac{\|U\|_2}{\|Q\|_2}\right)^{\frac{4}{3}}\|\nabla U\|_2^2, \end{equation} $

这里$ Q $是(2.14)式的唯一径向基态解. 因此, 由假设: $ \sigma\leq0 $, $ \eta\leq 0 $和$ k=\frac23 $, 并且通过估计(2.15) 和(2.16), 我们得到

(2.21) $ \begin{eqnarray} H(u_0, v_0)=H(u, v) &\geq & \frac{1}{2} \|\nabla u\|_2^2+\frac{1}{2} \|\nabla v\|_2^2-\frac{3}{5\cdot\sqrt[3]{2}}\int |u|^{\frac{10}{3}}{\rm d}x-\frac{3}{5\cdot\sqrt[3]{2}}\int |v|^{\frac{10}{3}}{\rm d}x {}\\ &\geq & \bigg[\frac12-\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \left(\frac{\|u_0\|_2}{\|Q\|_2}\right)^{\frac{4}{3}}\bigg]\|\nabla u\|_2^2+ \bigg[\frac12-\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \left(\frac{\|v_0\|_2}{\|Q\|_2}\right)^{\frac{4}{3}}\bigg]\|\nabla v\|_2^2. {\qquad} \end{eqnarray} $

再将假设$ \|u_0\|_{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}\|Q\|_{2} $和$ \|v_0\|_{2}<\frac{1}{\sqrt{2}}\|Q\|_{2} $代入(2.21)式中. 由此, 我们得到一个依赖于$ H(u_0, v_0) $, $ \|u_0\|_2 $, $ \|v_0\|_2 $和$ \|Q\|_2 $正的常数$ K_0 $, 使得$ \|\nabla u\|_2^2+ \|\nabla v\|_2^2\leq K_0 $对于所有的时间$ t\in {\Bbb R} $都成立. 证毕.

注2.1  在命题2.1中, 通过利用能量先验估计和估计(2.15), 得到在$ \sigma\leq 0 $和$ \eta\leq 0 $下Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的整体解存在的一些充分条件. 然而, 当$ \eta> 0 $时只能得到以下估计

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^{2}-\sigma}\overline{{\cal F}(\overline{u}v)}}{\cal F} (u\overline{v}){\rm d}\xi -\frac{1}{4}\int{\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^{2}-\sigma} (|{\cal F}(\overline{u}v)|^{2}+|{\cal F}(u\overline{v})|^{2})}{\rm d}\xi\\ &\geq&{-\frac{\eta}{4}\int{(|u|^2+|v|^2)^2}{\rm d}x}. \end{eqnarray*} $

接下来, 将其代入到能量式中有以下先验估计

(2.22) $ \begin{equation} H(u, v)\geq{\frac{1}{2}\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x-\frac{1}{2(k+1)}\int{(|u|^2+|v|^2) ^{k+1}}{\rm d}x-\frac{\eta}{4}\int{(|u|^2+|v|^2)^2}{\rm d}x}. \end{equation} $

因为$ \frac{\eta}{4}\int{(|u|^2+|v|^2)^2{\rm d}x} $是由非局部积分算子$ N(U) $生成的$ L^2 $ -超临界非线性项, 可以发现无法在$ \sigma $, $ \eta $和$ k $上找到一个条件来确保具有任意正初始能量$ H(u_0, v_0) $的方程(1.3) 的解整体存在.

在本节中, 研究Cauchy问题(1.3)–(1.4) 爆破解的存在性. 虽然我们的主要方法可以参考文献[14, 25], 但计算$ J(t)=\int {|x|^2(|u(t)|^2+|v(t)|^2)}{\rm d}x $相对于时间$ t $的二阶导数的主要困难是这里的非局部项$ N(U) $. 所以还需要建立以下估计

$ M(u(t, x), v(t, x))\leq{\frac{2}{3}\bigg(\int {(|\nabla{u(t, x)}|^2+|\nabla{v(t, x)}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} \bigg (\int {|x|^2(|u(t, x)|^2+|v(t, x)|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}} $

来证明爆破解的存在性. 当$ t $趋于有限时间时, 其动能$ (\int{(|\nabla{u(t)}|^2+|\nabla{v(t)}|^2)}{\rm d}x)^{\frac{1}{2}} $趋于$ +\infty $. 首先, 证明以下命题.

命题3.1   令$ \sigma\leq{0} $, $ \eta\in {\Bbb R} $和$ 0<k<2 $. 设$ (u_0, v_0)\in H^1\times H^1 $满足$ (|x|u_0, |x|v_0)\in L^2\times L^2 $, 如果Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解$ (u(t, x), v(t, x)) $其最大存在区间为$ [0, T^*) $, 则对于任意的$ t\in[0, T^*) $, $ (|x|u(t, x), |x|v(t, x))\in L^2\times L^2 $. 记$ J(t)=\int {|x|^2(|u(t, x)|^2+|v(t, x)|^2)}{\rm d}x $. 我们有

(3.1) $ \begin{equation} J'(t)=4{\rm Im}\int{x\overline{u}\nabla{u}}{\rm d}x+4{\rm Im}\int{x\overline{v}\nabla{v}}{\rm d}x, \end{equation} $

(3.2) $ \begin{eqnarray} J''(t)&=&8\int{|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2}{\rm d}x+(\frac{12}{k+1}-12)\int{(|u|^2+|v|^2)^{k+1}}{\rm d}x{}\\ && -6\int{\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}(|{\cal F}(\overline{u}v)|^2}+|{\cal F}(u\overline{v})|^2){\rm d}\xi +12{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}\overline{{\cal F}(\overline{u}v)}}{\cal F}(u\overline{v}){\rm d}\xi{}\\ &&+4\sigma\int{\frac{\eta|\xi|^2}{(|\xi|^2-\sigma)^2}(|{\cal F}(\overline{u}v)|^2+|{\cal F}(u\overline{v})|^2))}{\rm d}\xi {}\\ && -8\sigma {\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^2}{(|\xi|^2-\sigma)^2}\overline{{\cal F}(\overline{u}v)}}{\cal F}(u\overline{v}){\rm d}\xi. \end{eqnarray} $

证  假设$ (u_0, v_0)\in H^1\times H^1 $并且满足$ (|x|u_0, |x|v_0)\in L^2\times L^2 $, 则由局部存在定理得到Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的对应解$ (u(t, x), v(t, x)) $也在能量空间$ H^1\times H^1 $中^{[10, 26]}并且满足$ (|x|u(t, x), |x|v(t, x))\in L^2\times L^2 $. 那么对于所有的时间$ t $,

(3.3) $ \begin{equation} J'(t)=\int{|x|^2[(u_{t}\overline{u}+u\overline{u_{t}})+(v_{t}\overline{v}+v\overline{v_{t}})]}{\rm d}x=2{\rm Re}\int{|x|^2\overline{u}u_{t}}{\rm d}x +2{\rm Re}\int{|x|^2\overline{v}v_{t}}{\rm d}x. \end{equation} $

又由于$ (u(t, x), v(t, x)) $是Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解, 所以得到

(3.4) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{lll} { } \overline{u}u_{t}={\rm i}\bigg(\Delta{u}\overline{u}+(|u|^2+|v|^2)^{k}u\overline{u} +\overline{u}v{\cal F}^{-1}\bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v}-\overline{u}v)\bigg]\bigg), \\ { } \overline{v}v_{t}={\rm i}\bigg(\Delta{v}\overline{v}+(|u|^2+|v|^2)^{k}v\overline{v} +u\overline{v}{\cal F}^{-1}\bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v-u\overline{v})\bigg]\bigg).\end{array}\right. \end{equation} $

再将$ (3.4) $式代入到$ (3.3) $式中, 则有

(3.5) $ \begin{eqnarray} J'(t)&=&-2{\rm Im}\int{|x|^2(\Delta{u}\overline{u}+\Delta{v}\overline{v})}{\rm d}x{}\\ && -2{\rm Im}\int{|x|^2\overline{u}v{\cal F}^{-1} \bigg [\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v})\bigg]}{\rm d}x-2{\rm Im}\int{|x|^2u\overline{v}{\cal F}^{-1} \bigg [\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v)\bigg]}{\rm d}x{}\\ && +2{\rm Im}\int{|x|^2\overline{u}v{\cal F}^{-1} \bigg [\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v)\bigg]}{\rm d}x +2{\rm Im}\int{|x|^2u\overline{v}{\cal F}^{-1} \bigg [\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v})\bigg]}{\rm d}x.{\qquad} \end{eqnarray} $

通过一些简单的计算, 得到

(3.6) $ \begin{eqnarray} & &-2{\rm Im}\int{|x|^2\overline{u}v{\cal F}^{-1}\bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F} (u\overline{v})\bigg]}{\rm d}x-2{\rm Im}\int{|x|^2u\overline{v}{\cal F}^{-1} \bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v)\bigg]}{\rm d}x {}\\ & =&-8{\rm Im} \bigg[{\rm Re}\int{\frac{\eta\xi}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v})\partial_{\xi}\overline{{\cal F} (u\overline{v})}}{\rm d}\xi\bigg]+8{\rm Im} \bigg[{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^2\xi}{(|\xi|^2-\sigma)^2}{\cal F}(u\overline{v})\partial _{\xi}\overline{{\cal F}(u\overline{v})}}{\rm d}\xi\bigg] {}\\ &&-4{\rm Im} \bigg[{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}\partial_{\xi}{\cal F}(u\overline{v}) \partial_{\xi}\overline{{\cal F}(u\overline{v})}}{\rm d}\xi\bigg] =0, \end{eqnarray} $

(3.7) $ \begin{eqnarray} & &2{\rm Im}\int{|x|^2\overline{u}v{\cal F}^{-1} \bigg [\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v)\bigg]}{\rm d}x+2{\rm Im}\int{|x|^2u\overline{v}{\cal F}^{-1} \bigg [\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v})\bigg]}{\rm d}x{}\\ & =&8{\rm Im}\bigg[{\rm Re}\int{\frac{\eta\xi}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v)\partial _{\xi}\overline{{\cal F}(u\overline{v})}}{\rm d}\xi\bigg]-8{\rm Im} \bigg[{\rm Re}\int{\frac{\eta| \xi|^2\xi}{(|\xi|^2-\sigma)^2}{\cal F}(\overline{u}v)\partial_{\xi}\overline{{\cal F}(u\overline{v})}}{\rm d}\xi\bigg] {}\\ & &+4{\rm Im}\bigg[{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}\partial_{\xi}{\cal F} (\overline{u}v)\partial_{\xi}\overline{{\cal F}(u\overline{v})}}{\rm d}\xi\bigg] =0. \end{eqnarray} $

最后再将(3.6)式和(3.7)式代入到(3.5)式中, 通过计算能够得到方程(3.1).

对于方程(3.2), 由方程(3.1) 可知, 对于所有的时间$ t $,

(3.8) $ \begin{eqnarray} J''(t)&=&4{\rm Im}\int{x\overline{u_{t}}\nabla{u}}{\rm d}x+4{\rm Im}\int{x\overline{u}\nabla{u_{t}}}{\rm d}x+4{\rm Im}\int{x\overline{v_{t}}\nabla{v}}{\rm d}x+4{\rm Im}\int{x\overline{v}\nabla{v_{t}}}{\rm d}x {}\\ &=&-4{\rm Im}\int{x\nabla{\overline{u}}u_{t}}{\rm d}x-4{\rm Im}\int{u_{t}(3\overline{u}+x\nabla{\overline{u}})}{\rm d}x{}\\ &&-4{\rm Im}\int{x\nabla{\overline{v}}v_{t}}{\rm d}x-4{\rm Im}\int{v_{t}(3\overline{v}+x\nabla{\overline{v}})}{\rm d}x{}\\ &=&-8{\rm Im}\int{x\nabla{\overline{u}}u_{t}}{\rm d}x-12{\rm Im}\int{u_{t}\overline{u}}{\rm d}x -8{\rm Im}\int{x\nabla{\overline{v}}v_{t}}{\rm d}x-12{\rm Im}\int{v_{t}\overline{v}}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

根据对部分积分的一些计算, 推出

(3.9) $ \begin{eqnarray} {\rm Im}\int{x\nabla{\overline{u}}u_{t}}{\rm d}x&=&\frac{1}{2}\int{|\nabla{u}|^2}{\rm d}x +\frac{1}{2}\int{x\nabla{|u|^2}(|u|^2+|v|^2)^{k}}{\rm d}x{}\\ &&+{\rm Re}\int{x\nabla\overline{u}v {\cal F}^{-1} \bigg [\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v}-\overline{u}v)\bigg]}{\rm d}x, \end{eqnarray} $

(3.10) $ \begin{eqnarray} {\rm Im}\int{\overline{u}u_{t}}{\rm d}x&=&-\int{|\nabla{u}|^2}{\rm d}x+\int{(|u|^2+|v|^2)^{k}|u|^2}{\rm d}x{}\\ && +{\rm Re}\int{\overline{u}v{\cal F}^{-1}\bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F} (u\overline{v}-\overline{u}v)\bigg]}{\rm d}x, \end{eqnarray} $

(3.11) $ \begin{eqnarray} {\rm Im}\int{x\nabla{\overline{v}}v_{t}}{\rm d}x&=&\frac{1}{2}\int{|\nabla{v}|^2}{\rm d}x +\frac{1}{2}\int{x\nabla{|v|^2}(|u|^2+|v|^2)^{k}}{\rm d}x{}\\ && +{\rm Re}\int{x\nabla\overline{v}u{\cal F}^{-1}\bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma} {\cal F}(\overline{u}v-u\overline{v})\bigg]}{\rm d}x, \end{eqnarray} $

(3.12) $ \begin{eqnarray} {\rm Im}\int{\overline{v}v_{t}}{\rm d}x&=&-\int{|\nabla{v}|^2}{\rm d}x+\int{(|u|^2+|v|^2)^{k}|v|^2}{\rm d}x{}\\ && +{\rm Re}\int{u\overline{v}{\cal F}^{-1}\bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F} (\overline{u}v-u\overline{v})\bigg]}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

由(3.8)–(3.12)式, 能够得到

(3.13) $ \begin{eqnarray} J''(t)&=&8\int{|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2}{\rm d}x +(\frac{12}{k+1}-12)\int{(|u|^2+|v|^2)^{k+1}}{\rm d}x{}\\ && -8{\rm Re}\int{x\nabla{\overline{u}}v{\cal F}^{-1} \bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma} {\cal F}(u\overline{v}-\overline{u}v)\bigg]}{\rm d}x{}\\ &&-8{\rm Re}\int{xu\nabla{\overline{v}}{\cal F}^{-1} \bigg [\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v-u\overline{v})\bigg]}{\rm d}x{}\\ && -12{\rm Re}\int{\overline{u}v{\cal F}^{-1}\bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F} (u\overline{v}-\overline{u}v)\bigg]}{\rm d}x{}\\ && -12{\rm Re}\int{u\overline{v}{\cal F}^{-1}\bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F} (\overline{u}v-u\overline{v})\bigg]}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

此外, 注意到以下事实

(3.14) $ \begin{eqnarray} & &{\rm Re}\int{\overline{u}v{\cal F}^{-1} \bigg[\frac{\eta|\xi|^{2}}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F} (u\overline{v}-\overline{u}v)\bigg]}{\rm d}x +{\rm Re}\int{u\overline{v}{\cal F}^{-1} \bigg[\frac{\eta|\xi|^{2}}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F} (\overline{u}v-u\overline{v})\bigg]}{\rm d}x{}\\ & =&{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}^{-1}(\overline{u}v){\cal F} (u\overline{v})}{\rm d}\xi +{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}^{-1}(u\overline{v}){\cal F}(\overline{u}v)}{\rm d}\xi{}\\ & &-{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}^{-1}(\overline{u}v){\cal F}(\overline{u}v)}{\rm d}\xi -{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}^{-1}(u\overline{v}){\cal F}(u\overline{v})}{\rm d}\xi, \end{eqnarray} $

(3.15) $ \begin{eqnarray} &&{\rm Re}\int{x\nabla{\overline{u}}v{\cal F}^{-1} \bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v})}\bigg]{\rm d}x +{\rm Re}\int{xu\nabla{\overline{v}}{\cal F}^{-1} \bigg[\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v)}\bigg]{\rm d}x{}\\ & =&-3\int{\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}(|{\cal F}(\overline{u}v)|^2+|{\cal F}(u\overline{v})|^2)}{\rm d}\xi{}\\ & &-{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v})}{\cal F}^{-1}(x\overline{u}\nabla{v}) {\rm d}\xi -{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v)}{\cal F}^{-1}(x\nabla{u}\overline{v})) {\rm d}\xi{}\\ & &-{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}\xi}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v})}(\frac{\partial}{\partial\xi} {\cal F}^{-1}(\overline{u}v)){\rm d}\xi -{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}\xi}{|\xi|^2-\sigma}(\frac{\partial}{\partial\xi} {\cal F}^{-1}(u\overline{v})){\cal F}(\overline{u}v)}{\rm d}\xi{}\\ & =&-\frac{3}{4}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}}{|\xi|^2-\sigma}(|{\cal F}(\overline{u}v)|^2+|{\cal F}(u\overline{v})|^2)}{\rm d}\xi {}\\ && -\frac{\sigma}{2}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}}{(|\xi|^2-\sigma)^2}(|{\cal F} (\overline{u}v)|^2}+|{\cal F}(u\overline{v})|^2){\rm d}\xi, \end{eqnarray} $

(3.16) $ \begin{eqnarray} & &{\rm Re}\int{x\nabla{\overline{u}}v{\cal F}^{-1}\bigg[\frac{\eta|\xi|^{2}} {|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v)\bigg]}{\rm d}x +{\rm Re}\int{xu\nabla{\overline{v}}{\cal F}^{-1}\bigg[\frac{\eta|\xi|^{2}} {|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v})\bigg]}{\rm d}x{}\\ & =&-3{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}}{|\xi|^2-\sigma} {\cal F}(\overline{u}v)}{\cal F}^{-1}(\overline{u}v) {\rm d}\xi -{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(\overline{u}v)}{\cal F}^{-1}(x \overline{u}\nabla{v}){\rm d}\xi{}\\ & & -{\rm Re}\int{\xi\frac{\eta|\xi|^2}{|\xi|^2-\sigma} {\cal F}(u\overline{v})}{\cal F}^{-1}({\rm i}x\overline{u}v) {\rm d}\xi-{\rm Re}\int{\xi\frac{\eta|\xi|^{2}}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F} (\overline{u}v)}{\cal F}^{-1}({\rm i}xu\overline{v}){\rm d}\xi{}\\ & & -3{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v})}{\cal F}^{-1}(u\overline{v}) {\rm d}\xi -{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}}{|\xi|^2-\sigma}{\cal F}(u\overline{v})}{\cal F}^{-1}(x\nabla{u}\overline{v}) {\rm d}\xi{}\\ & =&-\frac{3}{2}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}}{|\xi|^2-\sigma}\overline {{\cal F}(\overline{u}v)}}{\cal F}(u\overline{v}){\rm d}\xi -\sigma {\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^{2}}{(|\xi|^2-\sigma)^2}\overline{{\cal F} (u\overline{v})}}{\cal F}(u\overline{v}){\rm d}\xi. \end{eqnarray} $

最后, 再将(3.14)–(3.16) 式代入到方程$ (3.13) $中, 则可以得到方程(3.2).

定理3.1   令$ \sigma\leq{0} $, $ \eta\geq 0 $和$ \frac23\leq k<2 $. 假设$ (u_0, v_0)\in H^1\times H^1 $满足$ (|x|u_0, |x|v_0)\in L^2\times L^2 $, 并且下面三个条件之一成立

(i) $ H(u_{0}, v_{0})<0 $;

(ii) $ H(u_{0}, v_{0})=0 $, 且$ {\rm Im}\int {(x\nabla{u_{0}})\overline{u_{0}}}{\rm d}x+{\rm Im}\int {(x\nabla{v_{0}})\overline{v_{0}}}{\rm d}x<0 $;

(iii) $ H(u_{0}, v_{0})>0 $, 且

$ {\rm Im}\int {(x\nabla{u_{0}})\overline{u_{0}}}{\rm d}x+{\rm Im}\int {(x\nabla{v_{0}})\overline{v_{0}}}{\rm d}x \leq{-\Big[2H(u_{0}, v_{0})\int {|x|^{2}(|u_{0}|^2+|v_{0}|^2)}{\rm d}x\Big]^{\frac{1}{2}}}. $

则Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解$ (u(t, x), v(t, x)) $在有限的时间$ 0<T^*<+\infty $爆破. 即有$ \lim\limits_{t\rightarrow {T^*}}(\|u(t, x)\|_{H^{1}}^2+ \|v(t, x)\|_{H^{1}}^2)=+\infty $.

证  接下来, 将通过以下两种情况来证明该定理.

情况1   $ \eta>0 $.

因为$ (u_0, v_0)\in H^1\times H^1 $并且$ (|x|u_0, |x|v_0)\in L^2\times L^2 $, 由命题3.1知道Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的对应解$ (u(t, x), v(t, x)) $也在$ H^1\times H^1 $中, 并且$ (|x|u(t, x), |x|v(t, x))\in L^2\times L^2 $. 此外, 方程(3.2) 对于所有时间$ t $都成立. 首先, 利用Young不等式, 推出

(3.17) $ \begin{eqnarray} \int{\frac{\eta|\xi|^2}{(|\xi|^2-\sigma)^j}(|{\cal F}(\overline{u}v)|^2+|{\cal F}(u\overline{v})|^2)}{\rm d}\xi &\geq& 2 \int{\frac{\eta|\xi|^2}{(|\xi|^2-\sigma)^j}|{\cal F}(\overline{u}v)|}\ |{\cal F}(u\overline{v})| {\rm d}\xi{}\\ &\geq &2{\rm Re}\int{\frac{\eta|\xi|^2}{(|\xi|^2-\sigma)^j}\overline{{\cal F}(\overline{u}v)}} {\cal F}(u\overline{v}){\rm d}\xi, \end{eqnarray} $

这里$ j=1, 2 $. 再将(3.17)式代入到(3.2)式中, 由$ k\geq \frac23 $得到对于所有的时间$ t $, $ J''(t)\leq{16H(u_{0}, v_{0})} $. 并且回顾等式: $ J(t)=J(0)+J'(0)t+\int_0^t J''(s)(t-s){\rm d}s $. 那么, 对于所有时间$ t $有

(3.18) $ \begin{equation} J(t)\leq{8H(u_{0}, v_{0})t^{2}+J'(0)t+J(0)}, \end{equation} $

此外, 由假设$ {\rm (i)} $, $ {\rm (ii)} $或者$ {\rm (iii)} $, 可以找到一个有限的时间$ 0<T<+\infty $, 当满足$ t\rightarrow T $时, $ 8H(u_{0}, v_{0})t^{2}+J'(0)t+J(0) $. 因此存在$ 0<T^*\leq T<+\infty $使得

(3.19) $ \begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow {T^{*}}}\int{|x|^{2}(|u(t, x)|^{2}+|v(t, x)|^2)}{\rm d}x=0. \end{equation} $

再根据质量守恒并且积分, 得到以下关键估计

(3.20) $ \begin{eqnarray} M(u_0, v_0)&= &M(u(t, x), v(t, x)){}\\ &=&\frac13\int_{{\Bbb R}^3}{\nabla \cdot x \ (|u(t, x)|^2+|v(t, x)|^2)}{\rm d}x{}\\ &= &\frac23 \int_{{\Bbb R}^3} {\rm Re} (x \nabla u(t, x) \ \overline{u(t, x)}+x\nabla v(t, x)\ \overline{v(t, x)}){\rm d}x{}\\ &\leq&{\frac{2}{3}\bigg(\int_{{\Bbb R}^3}{(|\nabla{u(t, x)}|^2+|\nabla{v(t, x)}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} \bigg (\int_{{\Bbb R}^3}{|x|^2(|u(t, x)|^2+|v(t, x)|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}}, {}\\ \end{eqnarray} $

在这里的最后一步, 利用柯西-施瓦兹不等式. 最后, 将(3.19)式代入到(3.20) 式中, 有$ \lim\limits_{t\rightarrow {T^*}}(\|\nabla u(t)\|_{2}^2+ \|\nabla v(t)\|_{2}^2)=+\infty $. 再由

$ \|u(t)\|_{H^{1}}^2+ \|v(t)\|_{H^{1}}^2=\|\nabla u(t)\|_{2}^2+ \|\nabla v(t)\|_{2}^2+M(u_0, v_0). $

得到Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解$ (u(t, x), v(t, x)) $在有限的时间$ T^* $一定爆破.

情况2   $ \eta=0 $.

将假设: $ \eta=0 $, $ \sigma\leq{0} $, $ 2> k\geq{\frac{2}{3}} $代入到(3.2) 式中, 对于所有的时间$ t $有$ J''(t)\leq{16H(u_0, v_0)} $. 接下来的讨论与情况$ 1 $类似, 因此能够得出与情况$ 1 $相同的结论. 故由假设$ {\rm (i)} $, $ {\rm (ii)} $或者$ {\rm (iii)} $, 可以找到一个有限的时间$ 0<T^*<+\infty $并且满足$ \lim\limits_{t\rightarrow {T^*}}(\| u(t)\|_{H^1}^2+ \| v(t)\|_{H^1}^2)=+\infty $. 证毕.

在上一节中, 讨论了Cauchy问题(1.3)–(1.4) 奇异解的存在性. 而在本节中, 继续研究奇异解, 并且在定理1.1中得到了奇异解的下界速率. 接下来, 将给出定理1.1的证明过程.

定理1.1的证明   首先, 回顾命题2.1中的局部存在理论. 若$ (u(t, x), v(t, x)) $是Cauchy问题(1.3)–(1.4) 的解, 则满足

$ (u(t, x), v(t, x))={\rm e}^{{\rm i}t\Delta}(u_{0}, v_{0})+{\rm i}\int_{0}^{t}{{\rm e}^{{\rm i}(t-\tau)\Delta}((|u|^2+|v|^2)^k(u, v)+{\rm i}((u, v)\wedge N(u, v)))}{\rm d}\tau, $

这里$ N(u, v)={\cal F}^{-1}[\frac{{\rm i}\eta}{|\xi|^{2}-\sigma}(\xi\wedge(\xi\wedge{\cal F}((u, v)\wedge \overline{(u, v)})))] $. 对于非局部项$ N(u, v) $, 由傅里叶变换的性质, 对于$ 0<r<\frac32 $, 有

(4.1) $ \begin{equation} \| i((u, v)\wedge N(u, v))\|_r\leq C(\|u\|_{3r}^3+ \|v\|_{3r}^3), \end{equation} $

(4.2) $ \begin{equation} \|\nabla({\rm i}(u, v)\wedge N(u, v))\|_r\leq C (\| |\nabla u| |v|^2\|_r+\| |\nabla v| |u|^2\|_r+\||u||v|\nabla v\|_r+\||u||v|\nabla u\|_r). \end{equation} $

注意到$ (q, r)=(\infty, 2) $和$ (q, r)=(\frac{8}{3}, 4) $是$ {\Bbb R}^3 $中的$ L^2 $ -容许对, 且$ (q', r')=(\frac{8}{5}, \frac{4}{3}) $是其共轭对. 利用Strichartz估计(2.2)–(2.3) 式, 有

(4.3) $ \begin{eqnarray} &&\|\nabla{(u, v)}\|_{L^{\infty}_{t}(t, \tau)L_{x}^{2}}+\|\nabla{(u, v)}\|_{L^{\frac{8}{3}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{4}}{}\\ &\leq& C(\|{(\nabla u_{0}, \nabla v_{0})}\|_{L_{x}^{2}}+\|\nabla((u, v)\wedge N(u, v))\|_{L^{\frac{8}{5}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{\frac{4}{3}}} +\|\nabla((|u|^2+|v|^2)^k(u, v))\|_{L^{\frac{8}{5}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{\frac{4}{3}}}). {}\\ \end{eqnarray} $

接下来, 将通过两种情况来证明定理1.1.

情况1    $ \frac23 \leq{k}\leq1 $.

利用Hölder插值估计并由(4.2) 式, 推出

(4.4) $ \begin{eqnarray} \|\nabla {\rm i} ((u, v)\wedge N(u, v))\|_{L_{x}^{\frac{4}{3}}}&\leq& {C\bigg(\int{(|u|^2+|v|^2)^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{4}}}{}\\ &\leq&{C\bigg(\int{|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{3}{4}} \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{4}}}. \end{eqnarray} $

而在这里, 不难看出由(2.17) 式和以下估计

(4.5) $ \begin{eqnarray} \int{(|u|^2+|v|^2)^2}{\rm d}x&\leq &2\bigg(\int |u|^4{\rm d}x+\int |v|^4{\rm d}x\bigg){}\\ & \leq &2\bigg[C \bigg(\int{|u|^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} \bigg(\int{|\nabla{u}|^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{3}{2}}+C \bigg(\int{|v|^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg(\int{|\nabla{v}|^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{3}{2}}\bigg] {}\\ &\leq &{C\bigg(\int{(|u|^2+|v|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} \bigg (\int{|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{3}{2}}}, \end{eqnarray} $

可以得到(4.4) 式的最后一步. 并且推出对于任意$ 0<t<\tau<T^*<{+\infty} $, 有

(4.6) $ \begin{eqnarray} &&\|\nabla {\rm i} ((u, v)\wedge N(u, v))\|_{L^{\frac{8}{5}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{\frac{4}{3}}}{}\\ &\leq&C\bigg(1+ \bigg(\int(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2){\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg)^{\frac{3}{2}} \bigg(\int^{\tau}_{t}1\cdot \bigg(\int(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{5}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{5}{8}}{}\\ &\leq&C(\tau-t)^{\frac{1}{4}}\bigg[1+ \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2){\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} +\bigg(\int_t^{\tau} \bigg(\int(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{3}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{3}{8}} \bigg]^{\frac{5}{2}}.{\qquad} \end{eqnarray} $

还注意到: 由$ \frac23\leq{k}\leq1 $, $ \|\nabla((u^2+v^2)^{k}(u, v)))\|_{L^{\frac{8}{5}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{\frac{4}{3}}} $能被$ \|\nabla((u, v)\wedge N(u, v))\|_{L^{\frac{8}{5}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{\frac{4}{3}}} $控制. 因此, 对于任意$ 0<t<\tau<T^*<{+\infty} $, 则有

(4.7) $ \begin{eqnarray} &&\|\nabla((|u|^2+|v|^2)^{k}(u, v))\|_{L^{\frac{8}{5}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{\frac{4}{3}}}{}\\ &\leq& C(\tau-t)^{\frac{1}{4}}\bigg[1+ \bigg(\int (|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2){\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} +\bigg(\int_t^{\tau}\bigg(\int(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{3}}{\rm d}t \bigg)^{\frac{3}{8}}\bigg]^{\frac{5}{2}}.{\qquad} \end{eqnarray} $

现在, 定义$ G_{t}(\tau):=1+\|\nabla{(u, v)}\|_{L^{\infty}_{t}(t, \tau)L_{x}^{2}}+\|\nabla{(u, v)}\|_{L_{t}^{\frac{8}{3}}(t, \tau)L^{4}_{x}} $. 由假设: $ (u(t, x), v(t, x)) $是Cauchy问题(1.3)–(1.4)的爆破解, 这里$ 0<T^*<+\infty $是有限时间, 由此$ \lim\limits_{\tau\rightarrow {T^*}}G_{t}(\tau)=+\infty $. 再结合$ (4.4) $, $ (4.6) $和$ (4.7) $式, 找到一个$ C_{0}>0 $, 对于$ 0<t<\tau<T^*<{+\infty} $, 则有

(4.8) $ \begin{equation} G_{t}(\tau)\leq{C_{0}\bigg(1+ \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg) +C_{0}(\tau-t)^{\frac{1}{4}}G_{t}^{\frac{5}{2}}(\tau)}. \end{equation} $

根据$ G_{t}(\tau) $在$ (t, T^*) $上的连续性和单调性, 且对于$ \tau> t $, 当$ \tau\rightarrow {t} $则有$ G_{t}(\tau)\rightarrow1+\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x)^{\frac{1}{2}} $. 且存在$ \tau_{0}\in(t, T^*) $使得

(4.9) $ \begin{equation} G_{t}(\tau)=(C_{0}+1)\bigg(1+ \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg). \end{equation} $

在(4.8) 式中取$ \tau=\tau_{0} $, 可以推出

$ \begin{eqnarray*} 1+\bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} &=&G_{t}(\tau_0)-C_{0}\bigg(1+ \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg)\\ &\leq&{C_{0}(\tau_{0}-t)^{\frac{1}{4}}(C_{0}+1)^{\frac{5}{2}}\bigg[1+ \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg]^{\frac{5}{2}}}\\ &\leq&{(C_{0}+1)^{\frac{7}{2}}(T^*-t)^{\frac{1}{4}}\bigg[1+ \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg]^{\frac{5}{2}}}. \end{eqnarray*} $

显然, 对于$ 0<t<T^*<{+\infty} $, 不等式$ (1.5) $式成立.

对于$ (1.6) $式, 在假设$ \frac{2}{3}\leq{k}\leq1 $下, 利用Hölder插值估计, 对于$ 0<t<T^*<{+\infty} $, 能够得到

(4.10) $ \begin{eqnarray} \int{(|u|^2+|v|^2)^{k+1}}{\rm d}x&\leq&{C\bigg(\int{(|u|^2+|v|^2)}{\rm d}x \bigg)^{\theta (k+1)} \bigg(\int{(|u|^2+|v|^2)^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(1-\theta)(k+1)}{2}}} {}\\ &\leq&{C_2(k, M(u_0, v_0))+\int{(|u|^2+|v|^2)^2}{\rm d}x}, \end{eqnarray} $

这里$ \theta=\frac{1-k}{k+1}\in{(0, 1)} $, $ C_2(k, M(u_0, v_0))>0 $. 我们注意到$ 1<2<s $, 利用Hölder插值估计, 对于$ 0<t<T^*<{+\infty} $,

(4.11) $ \begin{equation} \int{(|u|^2+|v|^2)^2}{\rm d}x\leq{C \bigg(\int{(|u|^2+|v|^2){\rm d}x\bigg)^{\frac{s-2}{s-1}} \bigg(\int{(|u|^2+|v|^2)^{s}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{s-1}}}}. \end{equation} $

再将$ (4.10) $式和$ (4.11) $式带到能量$ (2.13) $式中, 对于$ 0<t<T^*<{+\infty} $, 有

$ \begin{eqnarray*} \int{|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2}{\rm d}x &\leq &2H(u_0, v_0)+\frac{C_2(k, M(u_0, v_0))}{k+1}\\ &&+C\ M^{\frac{s-2}{s-1}}(u_0, v_0) \bigg (\int{(|u|^2+|v|^2)^{s}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{s-1}}. \end{eqnarray*} $

因此, 推出$ \int{(|u|^2+|v|^2)^{s}}{\rm d}x\geq{C\big(\int{|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2}{\rm d}x\big)^{s-1}}. $且$ (1.6) $式可由估计$ (1.5) $得到.

情况2    $ 1<k<2 $

和情况$ 1 $相似, 这里我们将利用$ \|\nabla((u|^2+|v|^2)^{k}(u, v)))\|_{L^{\frac{8}{5}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{\frac{4}{3}}} $去控制$ \|\nabla((u, v)\wedge N(u, v))\|_{L^{\frac{8}{5}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{\frac{4}{3}}} $. 根据(4.4)–(4.6)式, 结合Hölder不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式, 可以得到

(4.12) $ \begin{eqnarray} &&\|\nabla((|u|^2+|v|^2)^{k}(u, v)))\|_{L_{x}^{\frac{4}{3}}}{}\\ &\leq & C\Big(\||u|^{2k} |\nabla u| \|_{L_{x}^{\frac{4}{3}}}+\||v|^{2k} |\nabla v| \|_{L_{x}^{\frac{4}{3}}}+\||u|^{2k-1} |\nabla u| |v| \|_{L_{x}^{\frac{4}{3}}}+\||v|^{2k-1} |\nabla v| |u|\|_{L_{x}^{\frac{4}{3}}}{}\\ &&+\||v|^{2k} |\nabla u| \|_{L_{x}^{\frac{4}{3}}}+\||u|^{2k} |\nabla v| \|_{L_{x}^{\frac{4}{3}}}\Big){}\\ &\leq & C{ \bigg(\int{(|u|^2+|v|^2)^{2k}}{\rm d}x\bigg)^{\frac12}\bigg(\int{(|\nabla u|^2+ |\nabla v|^2)^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac14}}{}\\ & \leq&{ \bigg(\int{|u|^2+|v|^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{3-2k}{4}} \bigg(\int{|\nabla u|^2+|\nabla v|^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{3(2k-1)}{4}} \bigg(\int{(|\nabla u|^2+|\nabla v|^2)^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac14}}.{\qquad} \end{eqnarray} $

接着, 利用Hölder不等式, 得到对于任意时间$ 0<t<\tau<T^*<+\infty $, 有

(4.13) $ \begin{eqnarray} &&\|\nabla((|u|^2+|v|^2)^{k}(u, v))\|_{L^{\frac{8}{5}}_{t}(t, \tau)L_{x}^{\frac{4}{3}}}{}\\ &\leq&C\left(\int{|\nabla u|^2+|\nabla v|^2}{\rm d}x\right) ^{\frac{3(2k-1)}{4}}\left(\int_t^{\tau} \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{5}}{\rm d}\tau\right)^{\frac{5}{8}}{}\\ &\leq&C\left(1+\bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x \bigg)^{\frac12}\right)^{\frac{3(2k-1)}{2}} \bigg(\int^{\tau}_{t}{1\cdot \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{5}}}{\rm d}t\bigg)^{\frac{5}{8}}{}\\ &\leq&C\bigg(1+\bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac12}\bigg)^{\frac{3(2k-1)}{2}}(\tau-t)^{\frac{1}{4}} \bigg(\int_t^{\tau}\bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{3}}{\rm d}t \bigg)^{\frac{3}{8}}{}\\ &\leq&C(\tau-t)^{\frac{1}{4}}\bigg[1+ \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2){\rm d}x\bigg)^{\frac12}+ \bigg(\int_t^{\tau} \bigg(\int(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{2}{3}}{\rm d}t\bigg)^{\frac38} \bigg]^{\frac{6k-1}{2}}.{}\\ \end{eqnarray} $

和情况$ 1 $讨论类似, 定义$ G_{t}(\tau):=1+\|\nabla{(u, v)}\|_{L^{\infty}_{t}(t, \tau)L_{x}^{2}}+\|\nabla{(u, v)}\|_{L_{t}^{\frac{8}{3}}(t, \tau)L^{4}_{x}} $. 由$ (4.3) $式和$ (4.13) $式, 则存在$ C_{0}>0 $使得

(4.14) $ \begin{equation} G_{t}(\tau)\leq{C_{0}\bigg(1+ \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg)+C_{0}(\tau-t) ^{\frac{1}{4}}G_{t}^{\frac{6k-1}{2}}(\tau)}. \end{equation} $

因此, 能够找到一个$ \tau_{0}\in(t, T^*) $使得$ G_{t}(\tau_0)=(C_{0}+1)\left(1+(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x)^{\frac{1}{2}}\right), $这里$ C_{0}>0 $是$ (4.14) $中的常数. 在$ (4.14) $式中取$ \tau=\tau_{0} $, 有

$ \begin{eqnarray*} &&1+\bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}} =G_{t}(\tau_0)-C_{0}\bigg(1+\bigg(\int {(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg)\\ &\leq&{C_{0}(\tau_{0}-t)^{\frac{1}{4}}(C_{0}+1)^{\frac{6k-1}{2}}\bigg(1+ \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2 +|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg)^{\frac{6k-1}{2}}}\\ &\leq&{(C_{0}+1)^{\frac{6k+1}{2}}(T^*-t)^{\frac{1}{4}}\bigg(1+ \bigg(\int{(|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg)^{\frac{6k-1}{2}}}. \end{eqnarray*} $

显然, 对于$ 0<t<T^*<{+\infty} $, (1.7) 式是成立的.

对于$ (1.8) $式, 根据假设: $ 1<k<2 $, $ s\geq k+1 $, 并结合Hölder插值估计, 对于$ 0<t<T^*<{+\infty} $, 则有

(4.15) $ \begin{eqnarray} \int{(|u|^2+|v|^2)^{k+1}}{\rm d}x&\leq&{C \bigg(\int{(|u|^2+|v|^2)}{\rm d}x\bigg)^{\theta (k+1)} \bigg(\int{(|u|^2+|v|^2)^s}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(1-\theta)(k+1)}{s}}} {}\\ &\leq&{C_2(k, s, M(u_0, v_0))+\bigg(\int{(|u|^2+|v|^2)^s}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(1-\theta)(k+1)}{s}}}. \end{eqnarray} $

这里$ \theta=\frac{s-(k+1)}{(s-1)(k+1)}\in{(0, 1)} $且$ C_2(k, s, M(u_0, v_0))>0 $. 再将$ (4.15) $式代到能量$ (2.13) $式中, 对于$ 0<t<T^*<{+\infty} $, 可以推出

$ \int{|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2}{\rm d}x\leq{2H(u_0, v_0)+\frac{C_2(k, s, M(u_0, v_0))}{k+1}+C \bigg(\int{(|u|^2+|v|^2)^s}{\rm d}x\bigg)^{\frac{(1-\theta)(k+1)}{s}}}. $

通过计算, 对于$ 0<t<T^*<{+\infty} $, 即有

(4.16) $ \begin{equation} \int{(|u|^2+|v|^2)^{s}}{\rm d}x\geq{C \bigg(\int{|\nabla{u}|^2+|\nabla{v}|^2}{\rm d}x\bigg)^{\frac{s-1}{2ks}}}. \end{equation} $

最后, 再结合(1.7)式, 得到(1.8) 式. 证毕.

注4.1   研究能量空间中半线性薛定谔方程奇异解的下界速率的方法主要有两种. 一种是应用方程的尺度不变性和适定性理论^[10], 并且在$ L^2 $ -临界情况下, 奇异解的下界速率为$ \frac{1}{\sqrt{T-t}} $形式. 另一种Merle和Raphaël's法^{[12, 27, 28]}, 在假设下: $ L^2 $ -临界的非线性薛定谔方程具有尺度不变性且初始质量是超临界的, 奇异解的上下界速率为$ (\frac{\ln|\ln(T-t)|}{T-t})^{\frac 12} $形式.

然而, 耦合的非局部非线性薛定谔方程(1.3) 在$ k\neq 1 $时不具有尺度不变性. 在这里, 我们使用基于Gagliardo-Nirenberg不等式和Strichartz估计的方法来推导方程(1.3) 奇异解的下界速率.