考虑具有次线性中立项的二阶阻尼微分方程

(1.1) $ \begin{align} (a(t)(z'(t))^{\gamma})'+b(t)(z'(t))^{\gamma}+q(t)x^{\beta}(\sigma(t))=0, {\quad} t\geq t_{0}, \end{align} $

一切解的振动性, 其中$ z(t)=x(t)+p(t)x^{\alpha}(\tau(t)) $. 我们假设

$ {\rm (H_{1})}{\quad} \alpha, \beta, \gamma $是正奇整数的商, $ 0<\alpha\leq1; $

$ {\rm (H_{2})}{\quad} a(t)\in C^{1}([t_{0}, \infty), (0, \infty)), a'(t)+b(t)>0 $且$ \int^{\infty}_{t_{0}} (\frac{1}{A(t)})^{\frac{1}{\gamma}}{\rm d}t<\infty, $其中$ A(t)=\varphi(t)a(t), $$ \varphi(t)=\exp(\int^{t}_{t_{0}} \frac{b(s)}{a(s)}{\rm d}s) $;

$ {\rm (H_{3})}{\quad} b(t), p(t), q(t)\in C([t_{0}, \infty), [0, \infty)); $

$ {\rm (H_{4})}{\quad} \tau(t)\in C([t_{0}, \infty), {{\Bbb R}} ), \tau(t)\leq t , \lim\limits_{ t\rightarrow \infty}\tau(t)=\infty, $$ \sigma(t)\in C^{1}([t_{0}, \infty), {{\Bbb R}} ), $$ \sigma(t)\leq t , $$ \sigma'(t)>0, $$ \lim\limits_{ t\rightarrow \infty}\sigma(t)=\infty. $

设$ T_{x}=\min\{\tau(T), \sigma(T)\}, T\geq t_{0}. $我们称$ x(t) $为方程$ (1.1) $的一个解, 是指函数$ x(t)\in C^{1}([T_{x}, \infty), {{\Bbb R}} ), $使得$ a(t)(z'(t))^{\gamma}\in C^{1}([T_{x}, \infty), {{\Bbb R}} ) $且在$ [T_{x}, \infty) $上满足方程$ (1.1) $. 本文仅考虑方程$ (1.1) $的非平凡解, 即方程$ (1.1) $在$ [T_{x}, \infty) $上的解满足$ \sup\{|x(t)|:t\geq T \}>0 $对一切$ T\geq T_{x} $成立. 方程$ (1.1) $的解称为振动的, 如果它有任意大的零点. 否则, 称它为非振动的. 如果方程$ (1.1) $的一切解均振动, 则称方程$ (1.1) $为振动的.

方程$ (1.1) $的定性性质在文献中已有广泛的研究. 但是, 大多是针对其特例的. 近年来关于解的振动性的工作, 可参见文献[1-9, 11-18]. 方程$ (1.1) $有两类重要特例, 即当$ b(t)=0 $且$ \gamma=1 $时为Emden-Fowler方程

(1.2) $ \begin{align} (a(t)(x(t)+p(t)x^{\alpha}(\tau(t)))')'+q(t)x^{\beta}(\sigma(t))=0, t\geq t_{0}, \end{align} $

方程$ (1.2) $在数学物理、理论物理、核物理等许多领域中有重要应用^{[5, 17]}. 另一类是当$ b(t)=0 $且$ \beta=\gamma $时, 称为半线性微分方程

(1.3) $ \begin{align} (a(t)[(x(t)+p(t)x^{\alpha}(\tau(t)))']^{\gamma})'+q(t)x^{\gamma}(\sigma(t))=0, t\geq t_{0}, \end{align} $

半线性微分方程的振动性是上世纪七十年代开始研究的, 本世纪初得到很大发展, 可参看专著[3, 7]和文献[1, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 18].

最近, Grace和Graef^[8]研究了方程$ (1.2) $的振动性. 在条件$ \int^{\infty}_{t_{0}}\frac{1}{a(t)}{\rm d}t<\infty $和$ 0<\alpha<1 $成立下, 分别对$ \beta>1, \beta=1 $和$ 0<\beta<1 $给出方程$ (1.2) $一切解振动的充分条件, 推广和改进了文献中的有关结果.

方程$ (1.3) $当$ p(t)=0, \sigma(t)=t $时的特例是

(1.4) $ \begin{align} (r(t)(y'(t))^{\alpha})'+q(t)y^{\alpha}(t)=0, \end{align} $

对半线性微分方程$ (1.4) $有著名的Kneser振动定理^{[11, 定理A]}如下.

定理A   设

(1.5) $ \begin{align} \liminf\limits_{t\rightarrow \infty}r^{\frac{1}{\alpha}}(t)\pi^{\alpha+1}(t)q(t) >(\frac{\alpha}{\alpha+1})^{\alpha+1}, \end{align} $

则方程(1.4)振动, 其中$ \pi(t)=\int^{\infty}_{t}(\frac{1}{r(s)})^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s. $

Jadlovska^[11]中研究了半线性超前微分方程

(1.6) $ \begin{align} (r(t)(y'(t))^{\alpha})'+q(t)y^{\alpha}(\sigma(t))=0, t\geq t_{0}, \end{align} $

其中$ \sigma((t)\geq t, $的振动性. 得到了方程(1.6)的Kneser型振动准则, 推广和改进了定理A.

Hale在专著[10]中指出，对中立型微分方程的定性研究不仅具有理论意义，而且也有实际的重要性. 特别是带有非线性中立项的中立型方程在实际问题中有更多的应用. 但是，目前文献中对具有次线性中立项的二阶微分方程的振动成果比较少, 可参见文献[1, 8, 16]. 本文的目的之一是改进和推广文献[1, 8, 16]中关于次线性中立项微分方程的振动结果, 给出方程(1.1) 新的振动准则. 其次, 由于Emden-Fowler方程(1.2)和半线性微分方程(1.3)是互不包含的, 因此, 它们的振动准则不能通用, 即使同是方程(1.2), 对于$ \beta>1 $ (超线性)和$ 0<\beta<1 $(次线性), 其振动准则也经常是分开考虑的. 这给使用者带来不便. 为此, 本文第二个目的是给出新的振动准则, 它既适用于Emden-Fowler方程(1.2)也适用于半线性微分方程(1.3). 新的振动准则验证简单, 还改进最近文献中的若干新结果. 本文的第三个目的是推广定理A. 新的Kneser型振动定理能适用于超线性和次线性Emden-Fowler方程和线性, 半线性微分方程(1.3), 也能适用于具有次线性中立项的阻尼中立型方程(1.1). 我们将给出例子说明所得结果对各类方程的应用, 以及对于最近文献中振动结果的改进.

本文中对一切出现的函数不等式总假设是最终成立的, 即它们是对一切足够大的$ t $满足的. 不失一般性, 作为习惯, 我们仅处理方程(1.1)的最终正解.

首先, 我们将方程(1.1)变为等价的不显含阻尼项的方程. 为此, 定义函数$ \varphi(t) $和$ A(t) $见假设$ {\rm (H_{2})}, $$ Q(t)=\varphi(t)q(t) $用$ \varphi(t) $乘以方程(1.1)的两端, 方程(1.1)成为

(2.1) $ \begin{align} (A(t)(z'(t))^{\gamma})'+Q(t)x^{\beta}(\sigma(t))=0, t\geq t_{0}. \end{align} $

定义函数

$ z(t)=x(t)+p(t)x^{\alpha}(\tau(t)), \pi(t)=\int^{\infty}_{t}(\frac{1}{A(s)})^{\frac{1}{\gamma}}{\rm d}s, $

$ \xi(t)=\frac{p(t)}{\pi^{1-\alpha}(\tau(t))}, \eta(t)=\frac{p(t)\pi^{\alpha}(\tau(t))}{\pi^{2-\alpha}(t)}. $

在定理的证明中需要下面的不等式.

引理2.1^{[19, 引理2.3]}   下列不等式成立

$ Bu-Au^{\frac{\lambda+1}{\lambda}}\leq\frac{\lambda^{\lambda}}{(\lambda+1)^{\lambda+1}}\frac{B^{\lambda+1}}{A^{\lambda}}, A>0, B\geq0, $

其中$ \lambda $是正奇整数的商, $ A, B, u>0. $

定理2.1   设$ {\rm (H_{1})} $–(H$ _{4}) $成立, 且$ \max\{\xi(\sigma(t)), \eta(\sigma(t))\}<1. $若存在非减正函数$ \psi\in C^{1}([t_{0}, \infty), (0, \infty)) $和常数$ K>0 $和$ M>0 $使对一切充分大的$ T\geq t_{0}, $恒有

(2.2) $ \begin{align} \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\int^{t}_{T}[ \psi(s)Q(s)(1-\xi(\sigma(s)))^{\beta}-\frac{(\psi'(s))^{\rho+1}A(Q(s))}{(\rho+1)^{\rho+1}(K\psi(s)\sigma'(s))^{\rho}} ] {\rm d}s=\infty, \end{align} $

(2.3) $ \begin{align} \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\int^{t}_{T}[ \pi^{\delta}(s)Q(s)(1-\eta(\sigma(s)))^{\beta}-\frac{\lambda}{\pi(s)A^{\frac{1}{\gamma}}(s)} ] {\rm d}s=\infty, \end{align} $

其中

$ \rho=\min\{\beta, \gamma\}, {\quad} \delta=\max\{\beta, \gamma\}, {\quad} \theta(t)= \left \{\begin{array}{ll}\sigma(t), & \gamma\leq\beta, \\ t , & \gamma>\beta.\\ \end{array}\right.{\quad} k= \left \{\begin{array}{ll}1, & \gamma=\beta, \\ c , & \gamma\neq\beta, \\ \end{array}\right. $

$ \lambda= \left \{\begin{array}{ll} { } (\frac{\gamma}{\gamma+1})^{\gamma+1}, & \gamma=\beta, \\ { }(\frac{\delta}{\delta+1})^{\delta+1}(\frac{\delta}{M})^{\delta} , & \gamma\neq\beta.\\ \end{array}\right. {\quad} M= \left \{\begin{array}{ll}\gamma, & \gamma=\beta, \\ c , &\gamma\neq\beta, \\ \end{array}\right. $

则方程$ (1.1) $振动.

证  因方程$ (1.1) $和方程$ (2.1) $等价, 我们只需证明方程$ (2.1) $振动. 设方程$ (2.1) $在$ [t_{0}, \infty) $上有最终正解$ x(t) $, 故存在$ t_{1}\geq t_{0} $使得当$ t\geq t_{1} $时有$ x(t)>0, x(\tau(t))>0 $和$ x(\sigma(t))>0 $. 由方程$ (2.1) $我们得到$ z(t)\geq x(t)>0, A(t)(z'(t))^{\gamma} $是非增函数且$ z'(t) $最终定号. 于是$ z'(t) $有两种可能, 情况(Ⅰ): $ z'(t)>0, t\geq t_{2}\geq t_{1} $; 情况(Ⅱ): $ z'(t)<0, t\geq t_{2}\geq t_{1} $.

首先考虑情况(Ⅰ): 设$ z'(t)>0, t\geq t_{2}. $由$ z(t) $的定义我们有

(2.4) $ \begin{align} x(t)\geq z(t)-p(t)z^{\alpha}(\tau(t)), t\geq t_{2}. \end{align} $

现$ z(t) $是正增函数, $ \pi(t) $是正减函数且当$ t\rightarrow \infty $时, $ \pi(t)\rightarrow0 $. 则存在$ t_{3}\geq t_{2} $使得

(2.5) $ \begin{align} z(t)\geq \pi(t), t\geq t_{3}. \end{align} $

利用(2.4)和(2.5)式, 我们有

(2.6) $ \begin{align} x(t)\geq (1-\frac{p(t)}{\pi^{1-\alpha}(\tau(t))})z(t), t\geq t_{3}. \end{align} $

注意到函数$ \xi(t) $的定义, 联合(2.1)和(2.6)式产生

(2.7) $ \begin{align} (A(t)(z'(t))^{\gamma})'+Q(t)(1-\xi(\sigma(t)))^{\beta}z^{\beta}(\sigma(t))\leq 0, t\geq t_{3}. \end{align} $

定义函数

(2.8) $ \begin{align} u(t)=\psi(t)\frac{A(t)(z'(t))^{\gamma}}{z^{\beta}(\sigma(t))}, t\geq t_{3}. \end{align} $

则$ u(t)>0, t\geq t_{3} $且

$ u'(t)=\psi'(t)\frac{A(t)(z'(t))^{\gamma}}{z^{\beta}(\sigma(t))} +\psi(t)\frac{(A(t)(z'(t))^{\gamma})'}{z^{\beta}(\sigma(t))} -\frac{\psi(t)A(t)(z'(t))^{\gamma}\beta\sigma'(t) z'(\sigma(t))}{z^{\beta+1}(\sigma(t))}. $

利用(2.7)式, 我们有

(2.9) $ \begin{align} u'(t)\leq-\psi(t)Q(t)(1-\xi(\sigma(t)))^{\beta} +\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}u(t) -\frac{\psi(t)A(t)(z'(t))^{\gamma}\beta\sigma'(t) z'(\sigma(t))}{z^{\beta+1}(\sigma(t))}. \end{align} $

下面分三种情况来讨论(2.9)式.

情况(1)  当$ \gamma<\beta. $因$ A(t)(z'(t))^{\gamma} $是正的非增函数, 故有

$ A^{\frac{1}{\gamma}}(t)z'(t)\leq A^{\frac{1}{\gamma}}(\sigma(t))z'(\sigma(t)). $

我们得到

$ u'(t)\leq-\psi(t)Q(t)(1-\xi(\sigma(t)))^{\beta} +\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}u(t) -\frac{\beta\sigma'(t) [z(\sigma(t))]^{\frac{\beta-\gamma}{\gamma}}}{[\psi(t) A(\sigma(t))]^{\frac{1}{\gamma}}}u^{\frac{\gamma+1}{\gamma}}(t), $

因$ z(\sigma(t)) $是增函数, 故存在常数$ k_{1}>0, t_{4}\geq t_{3} $使得

(2.10) $ \begin{align} [z(\sigma(t))]^{\frac{\beta-\gamma}{\gamma}}\geq k_{1}, t\geq t_{4}. \end{align} $

由(2.10)式我们有

(2.11) $ \begin{align} u'(t)\leq-\psi(t)Q(t)(1-\xi(\sigma(t)))^{\beta} +\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}u(t) -\frac{\gamma\sigma'(t) k_{1} }{[\psi(t) A(\sigma(t))]^{\frac{1}{\gamma}}}u^{\frac{\gamma+1}{\gamma}}(t). \end{align} $

情况(2)  当$ \gamma=\beta. $则(2.10)式中$ k_{1}=1, $故(2.11)式仍然成立.

情况(3)  当$ \gamma>\beta. $由$ {\rm (H_{2})} $知$ A'(t)>0, $又因$ (A(t)(z'(t))^{\gamma})'\leq0 $故有$ z''(t)\leq0 $, 即$ z'(t) $非增, $ [z'(t)]^{\frac{\beta-\gamma}{\beta}} $非减. 因此, 存在常数$ k_{2}>0, t_{5}\geq t_{4} $使得

(2.12) $ \begin{align} [z'(t)]^{\frac{\beta-\gamma}{\beta}}\geq k_{2}, t\geq t_{5}. \end{align} $

由(2.9)和(2.12)式我们有

(2.13) $ \begin{eqnarray} u'(t)&\leq&-\psi(t)Q(t)(1-\xi(\sigma(t)))^{\beta} +\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}u(t) -\frac{\beta\sigma'(t) [z'(t)]^{\frac{\beta-\gamma}{\beta}}}{[\psi(t) A(t)]^{\frac{1}{\beta}}}u^{\frac{\beta+1}{\beta}}(t) {}\\ & \leq&-\psi(t)Q(t)(1-\xi(\sigma(t)))^{\beta} +\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}u(t) -\frac{\beta\sigma'(t) k_{2} }{[\psi(t) A(t)]^{\frac{1}{\beta}}}u^{\frac{\beta+1}{\beta}}(t). \end{eqnarray} $

联合(2.11)和(2.13)式产生

(2.14) $ \begin{align} u'(t)\leq-\psi(t)Q(t)(1-\xi(\sigma(t)))^{\beta} +\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}u(t) -\frac{\rho k\sigma'(t) }{[\psi(t) A(\theta(t))]^{\frac{1}{\rho}}}u^{\frac{\rho+1}{\rho}}(t), t\geq t_{5}. \end{align} $

其中$ \rho=\min\{\beta, \gamma\}, \theta(t)= $$ \left \{\begin{array}{l}\sigma(t), \gamma\leq\beta, \\ t , \gamma>\beta.\\ \end{array}\right. $$ k=\min\{k_{1}, k_{2}\} $对(2.14)式右端第二和第三项利用引理2.1, 我们得到

(2.15) $ \begin{align} u'(t)\leq-\psi(t)Q(t)(1-\xi(\sigma(t)))^{\beta} +\frac{(\psi'(t))^{\rho+1}A(\theta(t))}{(\rho+1)^{\rho+1}(\sigma'(t)k\psi(t))^{\rho}} , t\geq t_{5}. \end{align} $

从$ T\geq t_{5} $到$ t\geq T $积分(2.15)式产生

(2.16) $ \begin{align} u(t)\leq u(T)-\int^{t}_{T} [\psi(s)Q(s)(1-\xi(\sigma(s)))^{\beta} -\frac{(\psi'(s))^{\rho+1}A(\theta(s))}{(\rho+1)^{\rho+1}(\sigma'(s)k\psi(s))^{\rho}}]{\rm d}s , t\geq t_{5}. \end{align} $

在(2.16)式中令$ t\rightarrow \infty $取极限, 得到(2.2)与$ u(t)>0 $的矛盾.

其次, 考虑情况(Ⅱ): 设$ z'(t)<0, t\geq t_{2}\geq t_{1} $. 由方程(2.1)得

(2.17) $ \begin{align} (A(t)(-z'(t))^{\gamma})'=Q(t)x^{\beta}(\sigma(t))\geq0, t\geq t_{2}. \end{align} $

故有

$ z'(s)\leq(\frac{A(t)}{A(s)})^{\frac{1}{\gamma}}z'(t), s\geq t\geq t_{2}, $

对上式积分产生

$ z(\zeta)-z(t)\leq A^{\frac{1}{\gamma}}(t)z'(t)\int^{\zeta}_{t}(\frac{1}{A(s)})^{\frac{1}{\gamma}}{\rm d}s. $

令$ \zeta\rightarrow \infty, $我们得到

(2.18) $ \begin{align} z(t)\geq A^{\frac{1}{\gamma}}(t)(-z'(t))\pi(t), t\geq t_{2}. \end{align} $

定义函数

(2.19) $ \begin{align} V(t)=\frac{A(t)(-z'(t))^{\gamma}}{z^{\beta}(t)}, t\geq t_{2}. \end{align} $

则$ V(t)>0, t\geq t_{2} $. 利用(2.18)式我们有

(2.20) $ \begin{align} z^{\gamma}(t)\geq A(t)(-z'(t))^{\gamma}\pi^{\gamma}(t), t\geq t_{2}. \end{align} $

如果$ \gamma\geq\beta, $则$ z^{\gamma-\beta}(t) $非增. 故存在常数$ l_{1}>0 $和$ t_{3}\geq t_{2}, $使得

(2.21) $ \begin{align} z^{\gamma-\beta}(t)\leq l_{1}, t\geq t_{3}. \end{align} $

联合(2.20)和(2.21)式得到

(2.22) $ \begin{align} V(t)\pi^{\gamma}(t)\leq l_{1}, t\geq t_{3}. \end{align} $

其次, 利用(2.18)式我们有

(2.23) $ \begin{align} z^{\beta}(t)\geq[A^{\frac{1}{\gamma}}(t)(-z'(t))]^{\beta-\gamma+\gamma}\pi^{\beta}(t), t\geq t_{2}. \end{align} $

如果$ \gamma<\beta, $则$ [A^{\frac{1}{\gamma}}(t)(-z'(t))]^{\beta-\gamma} $非减. 故存在常数$ l_{2}>0 $和$ t_{4}\geq t_{3}, $使得

(2.24) $ \begin{align} [A^{\frac{1}{\gamma}}(t)(-z'(t))]^{\gamma-\beta}\leq l_{2}, t\geq t_{4}. \end{align} $

联合(2.23)和(2.24)式, 我们有

(2.25) $ \begin{align} V(t)\pi^{\beta}(t)\leq l_{2}, t\geq t_{4}. \end{align} $

由(2.22)和(2.25)式即得

(2.26) $ \begin{align} V(t)\pi^{\delta}(t)\leq l=l_{1}+l_{2}. \end{align} $

另一方面, 从(2.18)式得

(2.27) $ \begin{align} (\frac{z(t)}{\pi(t)})'\geq0, t\geq t_{4}. \end{align} $

利用(2.4)和(2.27)式, 我们得到

(2.28) $ \begin{align} x(t)\geq z(t)-p(t)\frac{\pi^{\alpha}(\tau(t))}{\pi^{\alpha}(t)}z^{\alpha}(t), t\geq t_{4}. \end{align} $

现在$ \frac{z(t)}{\pi(t)} $是非减正函数, $ \pi(t) $是非增正函数且当$ t\rightarrow \infty $时$ \pi(t)\rightarrow0 $. 故存在$ t_{5}\geq t_{4}, $使得

(2.29) $ \begin{align} z(t)\geq\pi^{2}(t), t\geq t_{5}. \end{align} $

将(2.29)式代入(2.28)式, 我们有

(2.30) $ \begin{align} x(t)\geq (1-\frac{p(t)\pi^{\alpha}(\tau(t)) }{\pi^{\alpha}(t)z^{1-\alpha}(t)})z(t) \geq (1-\frac{p(t)\pi^{\alpha}(\tau(t)) }{\pi^{2-\alpha}(t)})z(t) \equiv (1-\eta(t))z(t), t\geq t_{5}. \end{align} $

联合(2.17)和(2.30)式, 注意到$ z'(t)<0, $我们有

(2.31) $ \begin{align} (A(t)(-z'(t))^{\gamma})'\geq Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}z^{\beta}(t). \end{align} $

对(2.19)式求导产生

(2.32) $ \begin{align} V'(t)\geq Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}+ \frac{\beta A(t)(-z'(t))^{\gamma+1}}{z^{\beta+1}(t)}, t\geq t_{5}. \end{align} $

下面分三种情况来讨论(2.32)式.

情况(1)  当$ \gamma>\beta, $则$ (z(t))^{\frac{\beta-\gamma}{\gamma}} $是增函数, 故存在常数$ M_{1}>0 $和$ t_{6}\geq t_{5} $使得

$ (z(t))^{\frac{\beta-\gamma}{\gamma}}\geq M_{1}, t\geq t_{6}, $

由(2.32)式, 我们有

(2.33) $ \begin{eqnarray} V'(t)&\geq& Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}+\frac{\beta}{A^{\frac{1}{\gamma}}(t)}[z(t)]^{\frac{\beta-\gamma}{\gamma}}V^{\frac{\gamma+1}{\gamma}}(t) {}\\ &\geq & Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}+\frac{\beta M_{1}}{A^{\frac{1}{\gamma}}(t)}V^{\frac{\gamma+1}{\gamma}}(t) , t\geq t_{6}. \end{eqnarray} $

情况(2)  当$ \gamma<\beta, $则$ [A^{\frac{1}{\gamma}}(t)(-z'(t))]^{\frac{\beta-\gamma}{\beta}} $是增函数, 故存在常数$ M_{2}>0 $和$ t_{7}\geq t_{6} $使得

$ [A^{\frac{1}{\gamma}}(t)(-z'(t))]^{\frac{\beta-\gamma}{\beta}}\geq M_{2}, t\geq t_{7}, $

由(2.32)式, 我们有

(2.34) $ \begin{eqnarray} V'(t)&\geq& Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}+\frac{\beta}{A^{\frac{1}{\gamma}}(t)}[A^{\frac{1}{\gamma}}(t)(-z'(t))] ^{\frac{\beta-\gamma}{\beta}}V^{\frac{\beta+1}{\beta}}(t){}\\ &\geq& Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}+\frac{\beta M_{2}}{A^{\frac{1}{\gamma}}(t)}V^{\frac{\beta+1}{\beta}}(t), t\geq t_{7}. \end{eqnarray} $

情况(3)  当$ \gamma=\beta, $显然有$ M_{1}=M_{2}=1, $故有(2.33)式或(2.34)式成立. 现(2.33)和(2.34)式可合并写为

(2.35) $ \begin{eqnarray} V'(t)\geq Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}+\frac{\beta M}{A^{\frac{1}{\gamma}}(t)}V^{\frac{\delta+1}{\delta}}(t), t\geq t_{7}, \end{eqnarray} $

其中$ \delta=\max\{\beta, \gamma\}, $$ M= $$ \left \{\begin{array}{l}\gamma, \gamma=\beta.\\ c , \gamma\neq\beta, \end{array}\right. $$ c $为正常数.

用$ \pi^{\delta}(t) $乘(2.35)式两边, 从$ T\geq t_{7} $到$ t\geq T $积分, 利用分部积分

(2.36) $ \begin{eqnarray} \int^{t}_{T}\pi^{\delta}(s)Q(s)(1-\eta(\sigma(s)))^{\beta}{\rm d}s&\leq& \int^{t}_{T}\pi^{\delta-1}(s)A^{-\frac{1}{\gamma}}(s)[\delta V(s)-M\pi(s)V^{\frac{\delta+1}{\delta}}(s)]{\rm d}s{}\\ &&+\pi^{\delta}(t)V(t)-\pi^{\delta}(T)V(T). \end{eqnarray} $

对(2.36)式右端的积分利用引理2.1和(2.26)式, 我们有

(2.37) $ \begin{eqnarray} \int^{t}_{T}[\pi^{\delta}(s)Q(s)(1-\eta(\sigma(s)))^{\beta} -\frac{\lambda}{\pi(s)A^{\frac{1}{\gamma}}(s)}]{\rm d}s\leq l, \end{eqnarray} $

其中$ \lambda= $$ \left \{\begin{array}{l}(\frac{\gamma}{\gamma+1})^{\gamma+1}, \gamma=\beta, \\ (\frac{\delta}{\delta+1})^{\delta+1}(\frac{\delta}{M})^{\delta} , \gamma\neq\beta.\\ \end{array}\right. $$ M= \left \{\begin{array}{l}1, \gamma=\beta, \\ c , \gamma\neq\beta (c 为正常数). \end{array}\right. $显然, (2.37)式与(2.3)式矛盾. 定理2.1证毕.

定理2.2 (Kneser型振动定理)  设定理2.1中其它条件不变, 除了将条件(2.3)代之为

(2.38) $ \begin{eqnarray} \liminf\limits_{t\rightarrow \infty} \pi^{\delta+1}(t)A^{\frac{1}{\gamma}}(t) Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}>\lambda, \end{eqnarray} $

则方程$ (1.1) $振动.

证  设(2.38)成立. 则对任意小的$ \varepsilon>0, $存在充分大的$ T, $使得

$ \pi^{\delta}(t)Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}> \frac{\lambda+\varepsilon}{\pi(t)A^{\frac{1}{\gamma}}(t)}, t\geq T. $

对上式积分产生

(2.39) $ \begin{eqnarray} &&\int^{t}_{T}[\pi^{\delta}(s)Q(s)(1-\eta(\sigma(s)))^{\beta} -\frac{\lambda}{\pi(s)A^{\frac{1}{\gamma}}(s)}]{\rm d}s{}\\ &>& \int^{t}_{T}\frac{\varepsilon {\rm d}s}{\pi(s)A^{\frac{1}{\gamma}}(s)} =-\varepsilon\int^{t}_{T}\frac{{\rm d}\pi(s)}{\pi(s)}=\varepsilon[\ln\frac{1}{\pi(t)}-\ln\frac{1}{\pi(T)}] . \end{eqnarray} $

在(2.39)式中令$ t\rightarrow \infty $取极限即得(2.3)式成立. 定理2.2证毕.

注2.1   当$ b(t)=p(t)=0, \beta=\gamma, \sigma(t)=t $时, 方程(1.1)退化为方程(1.4). 此时$ A(t)=a(t), Q(t)=q(t), \delta=\gamma, \lambda=(\frac{\gamma}{\gamma+1})^{\gamma+1}, \eta(t)=0. $因此, 条件(2.38)成为条件(1.5). 亦即定理A成为定理2.2的特例. 最近Jadlovska在文献[11]中将Kneser振动准则定理A从方程(1.4)推广到半线性超前微分方程(1.6). 本文定理2.2则进一步将定理A中方程推广到具有次线性中立项的中立型阻尼微分方程(1.1).

推论2.1   在定理2.2中设$ b(t)=0, \beta=\gamma $且将条件(2.38)替换成

(2.40) $ \begin{align} \liminf\limits_{t\rightarrow \infty} \pi^{\gamma+1}(t)a^{\frac{1}{\gamma}}(t) q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\gamma}>(\frac{\gamma}{\gamma+1})^{\gamma+1}, \end{align} $

则方程(1.3)振动.

注2.2   若$ p(t)=0, \sigma(t)=t, $则方程(1.3)间化为方程(1.4). 由注2.1知, 条件(2.40)即为(1.5)式. 故定理A成为推论2.1的特例. 而且, 从下一节中的例子可以看到推论2.1也改进和推广了文献[2]的定理2.2, 文献[4]的定理2.2和定理2.4, 以及文献[6]的定理3和推论1.

从文献[11]我们看到经典的Kneser振动定理出自半线性微分方程(定理A), 现在推论2.1将其推广到半线性中立型方程. 我们下面的推论2.2将定理A推广到中立型Emden-Fowler方程, 而且是具有次线性中立项的中立型Emden-Fowler方程(1.2).

推论2.2   在定理2.2中设$ b(t)=0, \gamma=1 $, 若将条件(2.38)用下面的三个条件中的任意一个代替

(a) 若$ \beta>1, \liminf\limits_{t\rightarrow \infty} \pi^{\beta+1}(t)a(t) q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}>(\frac{\beta}{\beta+1})^{\beta+1}(\frac{\beta}{M})^{\beta}; $

(b) 若$ \beta<1, \liminf\limits_{t\rightarrow \infty}\pi^{2}(t)a(t)q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}>\frac{1}{4M}; $

(c)) 若$ \beta=1, \liminf\limits_{t\rightarrow \infty}\pi^{2}(t)a(t)q(t)(1-\eta(\sigma(t)))>\frac{1}{4}; $

其中$ M>0 $为常数, 则方程(1.2)振动.

注2.3   推论2.2改进, 推广和统一了文献[1]中的定理2.2和文献[8]中的定理1–4.

本节给出的例子说明本文结果的意义.

例3.1   考虑具有次线性中立项的阻尼Emden-Fowler微分方程

(3.1) $ \begin{align} tz''(t)+z'(t)+q_{0}t^{k-1}x^{\beta}(\frac{t}{2})=0, t\geq1, \end{align} $

其中$ z(t)=x(t)+\frac{1}{t^{2}}x^{\alpha}(\frac{t}{2}), \alpha\in(0, 1], \beta $均为奇自然数之商, $ q_{0}>0, k>-1, a(t)=t, b(t)=1, $$ q(t)=q_{0}t^{k-1}, p(t)=\frac{1}{t^{2}}, \varphi(t)=\exp(\int^{t}_{1}\frac{b(s)}{a(s)}{\rm d}s)=t, $则$ A(t)=\varphi(t)a(t)=t^{2}, Q(t)=\varphi(t)q(t)=q_{0}t^{k}. $以$ \varphi(t) $乘(3.1)两边, 则(3.1)式变为等价的不显含阻尼项的方程

(3.2) $ \begin{align} (t^{2}(x(t)+\frac{1}{t^{2}}x^{\alpha}(\frac{t}{2}))')'+q_{0}t^{k}x^{\beta}(\frac{t}{2})=0, t\geq1. \end{align} $

方程(3.2)有$ \tau(t)=\sigma(t)=\frac{t}{2}, \pi(t)=\int^{\infty}_{t}\frac{{\rm d}s}{A(s)}=\frac{1}{t}, \eta(\sigma(t))=\frac{p(\sigma(t))\pi^{\alpha}(\tau(\sigma(t)))}{\pi^{2-\alpha}(t)} =\frac{8^{\alpha}}{t^{2\alpha}}, \gamma=1, $$ \delta=\max\{\beta, 1\}. $先验证条件(2.38)

(3.3) $ \begin{align} \liminf\limits_{t\rightarrow \infty}\pi^{\delta+1}(t)A(t)Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}=\liminf\limits_{t\rightarrow \infty} q_{0}t^{k+1-\delta} \left \{\begin{array}{ll}=\infty, & K>\delta-1, \\ { } >\frac{1}{4} , &{ } K=\delta-1 \mbox{ 且 } q_{0}>\frac{1}{4}. \end{array}\right. \end{align} $

利用定理2.2和(3.3)式我们有如下结论.

如果下列四个条件之一成立, 则方程方程(3.2)振动

(1) 当$ \beta>1 $时，$ k>\beta-1 $;

(2) 当$ 0<\beta<1 $时，$ k>0 $;

(3) 当$ \beta=1 $时，$ k>0 $;

(4) 当$ \beta=1 $时，$ k=0 $且$ q_{0}>\frac{1}{4}. $

最近, 文献[8]考虑了方程(3.2)当$ \alpha=\frac{1}{3}, q_{0}=1 $的情况, 得到如下结果

(1) 由定理1得到当$ \beta=3, k=q $时, 方程(3.2)振动.

(2) 由定理2得到当$ \beta=3, k>4 $时, 方程(3.2)振动.

(3) 由定理3得到当$ \beta=1, k>0 $时, 方程(3.2)振动.

(4) 由定理4得到当$ \beta=\frac{1}{3}, k>0 $时, 方程(3.2)振动.

显然, 本文改进了文献[8]的结果. 而且由推论2.1知, 本文结果不仅适用于Emden-Fowler微分方程, 也适用于半线性微分方程. 本文定理2.2不仅统一了文献[8]中定理1–4的结果, 而且也统一了线性中立项与次线性中立项振动方程的结果. 但是, 文献[8]的定理不能用于$ \alpha=1 $, 即线性中立项的情况.

例3.2   考虑半线性阻尼中立型的微分方程

(3.4) $ \begin{align} (t(z'(t))^{\alpha})'+\alpha(z'(t))^{\alpha}+\frac{q_{0}}{t^{\alpha}}x^{\alpha}(\lambda t)=0, t\geq1, \end{align} $

其中$ z(t)=x(t)+p_{0}x(\frac{t}{2}), \alpha>0 $是奇自然数之商, $ p_{0}\in[0, \sqrt[\alpha]{\frac{1}{2}}), q_{0}\in(0, \infty), $$ \lambda\in(0, 1], $$ a(t)=t, $$ b(t)=\alpha, q(t)=\frac{q_{0}}{t^{\alpha}}, \tau(t)=\frac{t}{2}, \sigma(t)=\lambda t. $

下面将(3.4)式化为等价的不显含阻尼项的微分方程, 令

$ \varphi(t)=\exp(\int^{t}_{1}\frac{b(s)}{a(s)}{\rm d}s), $

则$ \varphi(t)=t^{\alpha}. A(t)=\varphi(t)a(t)=t^{\alpha+1}, Q(t)=\varphi(t)q(t)=q_{0}, $因此方程(3.4)化为

(3.5) $ \begin{align} (t^{\alpha+1}[(x(t)+p_{0}x(\frac{t}{2}))']^{\alpha})'+q_{0}x^{\alpha}(\lambda t)=0, t\geq1. \end{align} $

由方程(3.5)有$ \pi(t)=\int^{\infty}_{t}(\frac{1}{A(s)})^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s=\frac{\alpha}{t^{\frac{1}{\alpha}}}, \eta(t)=\frac{p(t)\pi(\tau(t))}{\pi(t)} =\sqrt[\alpha]{2}p_{0}. $显然, 推论2.1中除了条件(2.40)外的其它条件均满足. 为利用推论2.1, 只需验证条件(2.40) 即可

$ \liminf\limits_{t\rightarrow \infty} \pi^{\alpha+1}(t)A^{\frac{1}{\alpha}}(t) Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\alpha}>(\frac{\alpha}{\alpha+1})^{\alpha+1}, $

现在上式左端等于$ \alpha^{\alpha+1}q_{0}(1-\sqrt[\alpha]{2}p_{0})^{\alpha}. $为使(2.40)式成立, 只需

(3.6) $ \begin{align} q_{0}(1-\sqrt[\alpha]{2}p_{0})^{\alpha}>(\frac{1}{\alpha+1})^{\alpha+1}. \end{align} $

因此, (3.6)式保证方程(3.4)和(3.5)振动.

下面我们将(3.6)与最近文献[2, 4, 6]的相应结果作比较.

先看文献[4]的例2.11, 同样考虑方程(3.5), 其定理2.2给出的条件是

(3.7) $ \begin{align} q_{0}(1-\sqrt[\alpha]{2}p_{0})^{\alpha}>(\frac{1}{\alpha})^{\frac{1}{\alpha}}. \end{align} $

显然, 条件(3.6)优于条件(3.7). 其次, 看文献[2]的例3.1考虑了方程(3.5)中当$ \alpha=1, \lambda=1 $时的特例, 即

(3.8) $ \begin{align} (t^{2}(x(t)+p_{0}x(\frac{t}{2}))')'+q_{0}x(t)=0. \end{align} $

给出了方程(3.8)的振动条件是

(3.9) $ \begin{align} q_{0}(1-2p_{0})>\frac{1}{4}. \end{align} $

方程(3.8)中$ p_{0}=0 $是二阶Euler方程, 不等式(3.9)中当$ p_{0}=0 $时成为$ q_{0}>\frac{1}{4}. $这是二阶Euler方程精确的振动条件. 因此, 我们给出的条件(3.6)不但能适合方程(3.5)而且当方程蜕化为Euler方程时, 条件仍然是精确的.

再看文献[6]的例1, 考虑了方程(3.5)中$ p_{0}=0 $的特例, 即

(3.10) $ \begin{align} (t^{\alpha+1}(y'(t))^{\alpha})'+q_{0}y^{\alpha}(\lambda t)=0, t\geq1, \end{align} $

其中$ q_{0}>0, \alpha\geq1, \lambda\in(0, 1]. $

文中利用定理2.3给出了方程(3.10)的振动条件是

(3.11) $ \begin{align} q_{0}>1. \end{align} $

显然, 条件(3.6)优于条件(3.11).

例3.3   考虑具有阻尼中立项Emden-Fowler微分方程

(3.12) $ \begin{align} (tz'(t))'+\frac{1}{2}z'(t)+q_{0}t^{k-\frac{1}{2}}x^{\beta}(t)=0, t\geq1, \end{align} $

其中$ z(t)=x(t)+p_{0}x(\frac{t}{2}), \beta $是奇自然数之商. $ p_{0}\in[0, \frac{\sqrt{2}}{2}), q_{0}>0>, k\geq-\frac{1}{2}, a(t)=t, b(t)=\frac{1}{2}, $$ \tau(t)=\frac{t}{2}, \sigma(t)=t, q(t) =q_{0}t^{k-\frac{1}{2}}. $现利用函数$ \varphi(t)=\exp(\int^{t}_{1}\frac{b(s)}{a(s)}{\rm d}s)=\sqrt{t}, $乘方程(3.12)两端, 得到与其等价的不显含阻尼项的方程

(3.13) $ \begin{align} (t^{\frac{3}{2}}(x(t)+p_{0}x(\frac{t}{2}))')'+q_{0}t^{k}x^{\beta}(t)=0, t\geq1. \end{align} $

此方程为方程(1.1) 中$ \alpha=\gamma=1 $的特例. 故有$ \pi(t)=\int^{\infty}_{t}{s^{-\frac{3}{2}}}{{\rm d}s}=2t^{-\frac{1}{2}}, $$ \xi(t)=\frac{p(t)}{\pi^{1-\alpha}(\tau(t))}=p_{0} , $$ \eta(t)=\frac{p(t)\pi^{\alpha}(\tau(t))}{\pi^{2-\alpha}(t)}=\sqrt{2}p_{0}, $$ \delta=\max\{\beta, 1\}. $

下面先验证推论2.2的条件

(1) 设$ \beta>1, $则(当$ k>\frac{\beta}{2}-1 $)

$ \liminf\limits_{ t\rightarrow \infty}\pi^{\beta+1}(t)A(t)Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}=\liminf\limits_{t\rightarrow \infty}2^{\beta+1}q_{0}(1-\sqrt{2}p_{0})^{\beta}t^{k+1-\frac{\beta}{2}}=\infty; $

(2) 设$ \beta\in(0, 1), $则(当$ k>-\frac{1}{2} $)

$ \liminf\limits_{t\rightarrow \infty}\pi^{2}(t)A(t)Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}=\liminf\limits_{t\rightarrow \infty}4q_{0}(1-\sqrt{2}p_{0})^{\beta}t^{k+\frac{1}{2}}=\infty; $

(3) 设$ \beta=1, $则(当$ k>-\frac{1}{2} $)

$ \liminf\limits_{t\rightarrow \infty}\pi^{2}(t)A(t)Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))^{\beta}=\liminf\limits_{t\rightarrow \infty}4q_{0}(1-\sqrt{2}p_{0})t^{k+\frac{1}{2}}=\infty; $

(4) 设$ \beta=1, k=-\frac{1}{2} $且$ 4q_{0}(1-\sqrt{2}p_{0})>\frac{1}{4} $, 则

$ \liminf\limits_{t\rightarrow \infty}\pi^{2}(t)A(t)Q(t)(1-\eta(\sigma(t)))>\frac{1}{4}. $

因此, 利用推论2.2, 我们得到方程(3.13)在下列三个条件之一成立时, 是振动.

(3.14) $\begin{array}{l}\left( 1 \right)\;\beta > 1, k > \frac{\beta }{2} - 1;\\\left( 2 \right)\;\beta \le 1, k > - \frac{1}{2};\\\left( 3 \right)\;\beta = 1, k = - \frac{1}{2}\;{\rm{且}}\;{q_0}(1 - \sqrt 2 {p_0}) > \frac{1}{4}.\end{array}$

最近, 文献[12]在例4.2中考虑了方程

(3.15) $ \begin{align} (t^{\frac{3}{2}}y'(t))'+y(t)=0, t\geq1. \end{align} $

文中利用推论3.1给出结论: 方程(3.15)的每一解$ y(t) $是振动或者满足$ \lim\limits_{ t\rightarrow \infty}y(t)=0. $

我们看到方程(3.15)是方程(3.13)当$ p_{0}=0, k=0, q_{0}=0, \beta=0 $时的特例. 由本文例3.3的结论, (3.15)的每一解都是振动的. 不仅如此, 方程(3.15)是属于方程(3.14)中(2)的情况, 即在方程(3.13)中$ \beta\leq1 $且$ k>-\frac{1}{2} $时, 此中立型Emden-Fowler方程的一切解振动. 因此, 推论2.2改进和推广了文献[12]的结果.

结论, 本节例子说明本文的三个目的

(i) 推广和改进最近文献中关于具有次线性中立项的二阶微分方程的振动结果. 且新结果既适用于次线性中立项, 也适用于线性中立项方程.

(ii) 本文定理既能判定Emden-Fowler方程(1.2)的振动性, 也能判定半线性微分方程(1.3)的振动性.

(iii) 推广Kneser振动定理从半线性微分方程到具有次线性中立项的二阶阻尼中立型微分方程. 结果是精确的, 即使方程退化为二阶Euler方程, 也能得到精确的振动常数.