向量优化是最优化理论与应用的主要研究领域之一. 有关这一问题的研究涉及到多个分支学科, 包括凸分析、非线性分析、非光滑分析等. 同时向量优化理论在工程计划、金融管理、军事决策理论等诸多领域均有非常广泛的应用^{[1, 2]}. 重庆市杰出英才杨新民老师曾提到“做好向量最优化问题的理论研究, 解决好向量最优化问题, 既可以支持决策和应用方面的研究, 也可以在实践中助力经济社会发展”. 目前的研究结果表明, 以往所考虑的向量优化问题有效解集通常较大, 部分有效解的性质相对较差, 所以众多国内外学者都致力于寻找形态更好的解——真有效解(有效解的真子集). 它有如下两个优点: 第一真有效解更易确定; 第二真有效解集稠密于有效解集, 当把有效解集缩减为真有效解集时, 并不会失去太多有效解. 因此该文考虑向量优化问题Benson真有效解是十分有意义的. 目前关于Benson真有效解的研究主要集中在等价性^{[3, 4]}、最优性条件^{[5, 6]}、连通性^{[7, 8]}、二阶刻画或次梯度^{[9, 10]}等. 譬如: 1994年, 杨新民^[3]研究了向量极值问题下Benson真有效解与Borwein真有效解的等价性; 2003年, 刘三阳等^[5]研究了非凸向量集值优化Benson真有效解的最优性条件与对偶; 2016年, 袁春红^[8]研究了集值映射多目标半定规划问题Benson真有效解集的连通性等; 同年, 徐义红等^[9]研究了集值优化Benson真有效元的二阶刻画等. 然而关于向量优化问题Benson真有效解的稳定性研究结果较少. 在实际数值计算分析中, 稳定性分析是不可或缺的环节. 因此研究向量优化问题Benson真有效解的稳定性有重要价值. 该文在向量优化问题目标映射和约束条件均扰动的情况下, 利用非线性标量化技术, 在扰动问题序列Painlevé-Kuratowski收敛于目标优化问题的情况下, 研究了向量优化问题Benson真有效解的抗干扰稳定性.

该节主要介绍一些概念和符号, 这些概念和符号在后续论文中将会用到.

设$ C\subset{{{\Bbb R}} ^{l}} $是内部非空的真闭凸锥, $ {{\Bbb R}} ^{l} $上的偏序由$ C $诱导. 其中$ C $为真锥, 当且仅当$ C\neq\{0\} $且$ C\neq{{{\Bbb R}} ^{l}} $. 若$ C\bigcap(-C)=\{0\} $, 则称$ C $为尖锥. 若$ \rm{cl}C $是尖锥, 则称$ C $为锐锥. 若$ C $是既是尖锥, 又是锐锥, 则称$ C $为尖锐锥. 设非空集合$ S\subset{{{\Bbb R}} ^{n}} $, $ f:S\rightarrow {{{\Bbb R}} ^{l}} $是从$ S $到$ {{\Bbb R}} ^{l} $的映射. 非空集合$ S $生成的锥$ cone(S) $定义为$ cone(S):=\{\lambda s|\lambda\geq0, \;s\in S\} $. $ \partial S $是非空集合$ S $的边界.

该文考虑如下向量值优化问题

$ {(S, f):\min\limits_{x\in{S}}f(x)}. $

其中$ f:S\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $为向量值映射, $ S\subset {{\Bbb R}} ^{n} $是非空集合. 若$ {{\Bbb R}} ^{l} $中$ l=1 $且$ C={{\Bbb R}} _{+} $, 则$ (S, f) $简化为标量优化问题. 记标量优化问题的解集为$ {\rm{Inf}}(S, f) $, 标量优化问题的最小值为$ {\rm{Val}}(S, f) $.

首先介绍问题$ (S, f) $几种解的定义, 切锥的定义及相关性质.

定义2.1^[11]   设$ S\subset{{{\Bbb R}} ^{n}} $非空, $ f(x_{0})\in{f(S)} $. 若点$ f(x_{0}) $满足$ (f(x_{0})-{\rm{int}}C)\cap{f(S)}=\emptyset $, 则称点$ f(x_{0}) $为集合$ f(S) $的弱有效点. 记$ f(S) $所有弱有效点构成的集合为$ {\rm{WMin}}f(S) $. 若$ x_{0}\in{S} $使得$ f(x_{0})\in{}{\rm{WMin}}f(S) $, 则称点$ x_{0} $为向量优化问题$ (S, f) $的弱有效解. 记向量优化问题$ (S, f) $所有弱有效解构成的集合为$ {\rm{WEff}}(S, f) $.

定义2.2^[11]   设$ S\subset{{{\Bbb R}} ^{n}} $非空, $ f(x_{0})\in{f(S)} $. 若点$ f(x_{0}) $满足$ (f(x_{0})-C)\cap{f(S)}=\{0\} $, 则称点$ f(x_{0}) $为集合$ f(S) $的有效点. 记$ f(S) $所有有效点构成的集合为$ {\rm{Min}}f(S) $. 若$ x_{0}\in{S} $使得$ f(x_{0})\in{}{\rm{Min}}f(S) $, 则称点$ x_{0} $为向量优化问题$ (S, f) $的有效解. 记向量优化问题$ (S, f) $所有有效解构成的集合为$ {\rm{Eff}}(S, f) $.

定义2.3^[13]   设$ S\subset{{{\Bbb R}} ^{n}} $非空, $ f(x_{0})\in{f(S)} $. 若存在满足$ C\backslash\{0\}\subset{\rm{int}}C' $凸集$ C' $, 使得$ (f(x_{0})-C')\cap{f(S)}=\{0\} $, 则称点$ f(x_{0}) $为集合$ f(S) $的$ \rm{Henig} $真有效点. 记$ f(S) $所有$ \rm{Henig} $真有效点构成的集合为$ {\rm{PrMin}}f(S) $. 若$ x_{0}\in{S} $使得$ f(x_{0})\in{}{\rm{PrMin}}f(S) $, 则称点$ x_{0} $为向量优化问题$ (S, f) $的$ \rm{Henig} $真有效解. 记向量优化问题$ (S, f) $所有$ \rm{Henig} $真有效解构成的集合为$ {\rm{HeEff}}(S, f) $.

定义2.4   设$ S\subset{{{\Bbb R}} ^{n}} $非空, $ f(x_{0})\in{f(S)} $. 若点$ f(x_{0}) $满足$ T(f(S)+C, f(x_{0}))\cap{}(-C\backslash\{0\})=\emptyset $, 则称点$ f(x_{0}) $为集合$ f(S) $的$ {\rm{Borwein}} $真效点. 记$ f(S) $所有$ {\rm{Borwein}} $真效点构成的集合为$ {\rm{BoMin}}f(S) $. 其中$ T(f(S)+C, f(x_{0})) $为$ f(S)+C $在$ f(x_{0}) $处的切锥. 若$ x_{0}\in{S} $使得$ f(x_{0})\in{}{\rm{BoMin}}f(S) $, 则称点$ x_{0} $为向量优化问题$ (S, f) $的$ {\rm{Borwein}} $真效解. 记向量优化问题$ (S, f) $所有$ {\rm{Borwein}} $真效解构成的集合为$ {\rm{BoEff}}(S, f) $.

定义2.5   设$ S\subset{{{\Bbb R}} ^{n}} $非空, $ f(x_{0})\in{f(S)} $. 若点$ f(x_{0}) $满足$ cl(cone(f(S)+C-f(x_{0})))\cap{}(-C\backslash\{0\})=\emptyset $, 则称点$ f(x_{0}) $为集合$ f(S) $的$ {\rm{Benson}} $真有效点. 记$ f(S) $所有$ {\rm{Benson}} $真有效点构成的集合为$ {\rm{BeMin}}f(S) $. 若$ x_{0}\in{S} $使得$ f(x_{0})\in{}{\rm{BeMin}}f(S) $, 则称点$ x_{0} $为向量优化问题$ (S, f) $的$ {\rm{Benson}} $真有效解. 记向量优化问题$ (S, f) $所有$ {\rm{Benson}} $真有效解构成的集合为$ {\rm{BeEff}}(S, f) $.

注2.1   1) 显然有

$ \begin{eqnarray*} &&{{\rm{WMin}}f(S)}\supset{{\rm{Min}}f(S)}\supset{{\rm{BoMin}}f(S)}\supset{{\rm{BeMin}}f(S)}.\\ &&{{\rm{WEff}}(S, f)}\supset{{\rm{Eff}}(S, f)}\supset{{\rm{BoEff}}(S, f)}\supset{{\rm{BeEff}}(S, f)}. \end{eqnarray*} $

2) 若$ S $为凸集且$ f $为$ C $ -凸映射, $ x\in{S} $是$ {\rm{Borwein}} $真有效解, 则它也是$ {\rm{Benson}} $真有效解. 但文献[13]中的例$ 3.15 $说明了当$ S $不是凸集时, 此结论通常并不成立.

定义2.6^[12]   设$ S\subset{{{\Bbb R}} ^{l}} $, $ y\in{S} $, 定义$ S $在点$ y $处的切锥为$ T(S, y)=\{ d\in{{{\Bbb R}} ^{l}} | \exists\{y_{k}\}\subset{S} $, $ \lambda_{k}>0 $, 使得$ y_{k}\rightarrow {y} $, $ \lambda_{k}\cdot(y_{k}-y)\rightarrow {d}\} $.

命题2.1^[13]    设$ S\subset{{{\Bbb R}} ^{l}} $为凸集, $ y\in{S} $, 则$ T(S, y)=cl(cone(S-y)) $为闭凸锥.

下面介绍Painlevé-Kuratowski (简记$ PK $)收敛性的定义, 以及(严格) $ C $ -凸映射的定义.

定义2.7^[14]   若$ \lim_{n}\sup{D_{n}}\subset{D}\subset{{\rm{lim_{n}}}\inf{D_{n}}} $, 则称$ {{\Bbb R}} ^{l} $中非空子集$ (D_{n})_{n\in{N}} $的序列$ PK $收敛到$ D $, 记$ D_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{D} $. 其中

$ \begin{eqnarray*} {\lim}_{n}\inf D_{n}&=&\{x\in {{\Bbb R}} ^{n}:x=\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}x_{n}, \;x_{n}\in D_{n}, \;\mbox{当 n 充分大} \}.\\ { \lim}_{n}\sup D_{n}&=&\{x\in {{\Bbb R}} ^{n}:x=\lim\limits_{k\rightarrow {\infty}}x_{k}, \;x_{k}\in D_{n_{k}}, \;\{n_{k}\} \mbox{是 N 的子序列}\}. \end{eqnarray*} $

显然$ \lim_{n}\inf{D_{n}}\subset{\lim_{n}\sup{D_{n}}} $.

定义2.8^[14]   若$ {\rm{epi}}f_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{}{\rm{epi}}f $, 其中$ {\rm{epi}}f_{n}=\{(x, z):z\in{f_{n}(x)+C}\} $且$ {\rm{epi}}f=\{(x, z):z\in{f(x)+C}\} $, 则称向量值映射$ f_{n}:{{\Bbb R}} ^{n}\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}}(n\in{N}) $的序列$ PK $收敛于向量值映射$ f:{{\Bbb R}} ^{n}\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $, 记$ f_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{f} $.

定义2.9^[14]   设$ f:S\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $为向量值映射, $ \{f_{n}:S_{n}\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}}, n\in{N}\} $为向量值映射序列, $ \{(S_{n}, f_{n}):n\in{N}\} $为相应的序列对. 若$ \overline{f}_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{\overline{f}} $, 则称序列$ (S_{n}, f_{n})_{n\in{N}} PK $收敛于$ (S, f) $, 记为$ (S_{n}, f_{n})\stackrel{PK}\longrightarrow{(S, f)} $. 其中

$ \overline{f}_{n}(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} f_{n}(x), & & {x\in{S_{n}}}, \\ +\infty, & & {x\in{{{\Bbb R}} ^{n}\setminus{S_{n}}}}, \end{array}\right. $

$ \overline{f}(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} f(x), & & {x\in{S}}, \\ +\infty, & & {x\in{{{\Bbb R}} ^{n}\setminus{S}}}. \end{array}\right. $

定义2.10   称$ f $为$ C $ -凸映射, 当且仅当对任意$ x_{1}, x_{2}\in{{{\Bbb R}} ^{n}} $, $ \lambda\in{[0, 1]} $, 有

$ {f(\lambda{x_{1}}+(1-\lambda){x_{2}})\in{\lambda{f(x_{1})}+(1-\lambda){f(x_{2})}-C}}. $

定义2.11   称$ f $为严格$ C $ -凸映射, 当且仅当对任意$ x_{1}, x_{2}\in{{{\Bbb R}} ^{n}} $, $ x_{1}\neq{}x_{2} $, 和任意$ \lambda\in{(0, 1)} $, 有

$ {f(\lambda{x_{1}}+(1-\lambda){x_{2}})\in{\lambda{f(x_{1})}+(1-\lambda){f(x_{2})}-{\rm{int}}C}}. $

紧接着介绍该文借助的标量化工具——非线性标量化函数, 参见文献[15, 定义1.40].

定义2.12   设$ f:S\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $为向量值映射, 给定$ k_{0}\in{}{\rm{int}}C $, 任取$ x_{0}\in{S} $, 显然$ f(x_{0})\in{f(S)}\subset{{{\Bbb R}} ^{l}} $. 定义$ \varphi_{{x_{0}}}:{{\Bbb R}} ^{l}\longrightarrow{[-\infty, +\infty]} $为

$ {\varphi_{{x_{0}}}(y)=\inf\{s\in{{\Bbb R}} :y\in{sk_{0}+f(x_{0})-C}\}, \; \; \forall{y\in{{{\Bbb R}} ^{l}}}}. $

注2.2   当$ f\equiv{0} $时, 函数$ \varphi_{x_{0}}(y) $退化到著名的非线性标量化函数$ \zeta(y)=\inf\{s\in{{\Bbb R}} :y\in{sk_{0}-C}\}, \forall{y\in{{{\Bbb R}} ^{l}}} $.

引理2.1^[11]   对任意$ x_{0}\in{{{\Bbb R}} ^{n}} $, 有

$ 1) \ \varphi_{{x_{0}}}(\cdot) $是连续凸、严格单调函数(即$ \forall{y_{1}, y_{2}}\in{{{\Bbb R}} ^{l}} $满足$ y_{2}-y_{1}\in\rm{int} C $, 有$ \varphi_{x_{0}}(y_{1})<\varphi_{x_{0}}(y_{2}) $), 且满足

(2.1) $ \begin{eqnarray} {\{{y\in{{{\Bbb R}} ^{l}}:\varphi_{x_{0}}(y)<0}\}=f(x_{0})-\rm{int}C}. \end{eqnarray} $

$ 2) \ \varphi_{x_{0}}(f(x_{0})+\rho{k_{0}})=\rho{} $, $ \forall{\rho\in{{\Bbb R}} } $.

$ 3) \ \varphi_{x_{0}}(y)-\varphi_{x_{0}}(y-\rho{k_{0}})=\rho $, $ \forall{y\in{{{\Bbb R}} ^{l}}} $, $ \forall{\rho\in{{\Bbb R}} } $.

定义2.13   设$ x_{0}, \bar{x}\in{{{\Bbb R}} ^{n}} $, 定义函数$ g_{x_{0}}\circ f:{{\Bbb R}} ^{n}\longrightarrow {{\Bbb R}} $为$ g_{x_{0}}\circ f(x)=g_{x_{0}}(f(x))=\varphi_{x_{0}}(f(x))+\delta_{f(x_{0})}(f(x)), \; \forall{x\in {{\Bbb R}} ^{n}} $, 其中

$ \delta_{f(x_{0})}(f(x))=\left\{ \begin{array}{rcl} 1, & {f(x)-f(x_{0})\not\in{-C\backslash \{0\}}}, \\ -1, & {f(x)-f(x_{0})\in{-C\backslash \{0\}}}. \end{array}\right. $

定义函数$ g_{\bar{x}}\circ f_{n}:{{\Bbb R}} ^{n}\longrightarrow {{\Bbb R}} $为$ g_{\bar{x}}\circ f_{n}(x)=g_{\bar{x}}(f_{n}(x))=\varphi_{\bar{x}}(f_{n}(x))+\delta_{f_{n}(\bar{x})}(f_{n}(x)), \; \forall{x\in {{\Bbb R}} ^{n}} $, 其中

$ \delta_{f_{n}(\bar{x})}(f_{n}(x))=\left\{ \begin{array}{rcl} 1, & {f_{n}(x)-f_{n}(\bar{x})\not\in{-C\backslash \{0\}}}, \\ -1, & {f_{n}(x)-f_{n}(\bar{x})\in{-C\backslash \{0\}}}. \end{array}\right. $

这些函数在下文中起到了重要作用.

引理2.2^[16]   设映射$ I $, $ I_{n}:S\longrightarrow{{\Bbb R}} $, 其中$ n\in{N} $. 若$ I_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{I} $, 则存在$ \varepsilon_{0}>0 $, 使得

$ \begin{eqnarray*} {\lim {\rm{sup}}_{n}[\varepsilon-{\rm{Inf}}(S, I_{n})]\subset{}\varepsilon-{\rm{Inf}}(S, I), \;\; \mbox{对任意的}\ 0\leq\varepsilon\leq\varepsilon_{0}.} \end{eqnarray*} $

下面介绍水平集的定义、回收锥的定义以及相关结论.

定义2.14  设$ S\subset{{{\Bbb R}} ^{n}} $且$ f:S\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $为向量值映射. 对于给定向量$ \alpha\in{{{\Bbb R}} ^{l}} $, 高度$ \alpha $下$ f $的子水平集定义为$ f^{\alpha}=\{x\in{S}:\alpha\in{f(x)+C}\} $.

注2.3  任取$ \alpha\in{{{\Bbb R}} ^{l}} $, 有$ f^{\alpha}={\overline{f}}^{\alpha} $, 其中$ \overline{f}:{{\Bbb R}} ^{n}\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $的定义如定义2.9.

定义2.15^[18]   对闭凸集合$ A\subset{{{\Bbb R}} ^{n}} $, $ A $的回收锥集合定义如下

$ \begin{eqnarray*} {0^{+}(A)=\{d\in{{{\Bbb R}} ^{n}}:a+td\in{A}, \forall{a\in{A}}, \forall{t\geq{0}}\}}. \end{eqnarray*} $

记$ C $ -凸映射$ f $的几何非空子水平集的回收锥为$ H_{f} $.

引理2.3^[18]   设$ A\subset {{\Bbb R}} ^{n} $是闭凸集, $ f:{{\Bbb R}} ^{n}\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $为$ C $ -凸向量值映射, 若$ 0^{+}(A)\cap H_{f}=\{0\} $, 则$ f(A)+C $是一个闭集.

引理2.4^[17]   设$ S $, $ S_{n}\subset{{{\Bbb R}} ^{n}} $为闭凸集合, $ f:S\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $和$ f_{n}:S_{n}\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $分别为$ C $ -凸向量值映射. 假设

$ 1) \ 0^{+}(S)\cap{H_{f}}=\{0\} $,

$ 2) \ S_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{S} $,

$ 3) \ (S_{n}, f_{n})\stackrel{PK}\longrightarrow{(S, f)} $,

则对任意$ r>0 $, 任意$ \alpha\in{{{\Bbb R}} ^{l}} $, 满足$ f^{\alpha}\bigcap{S}\neq\emptyset $, 存在$ k_{r}\in{N} $, 使得

(2.2) $ \begin{equation} {f^{\alpha}_{n}\cap{S_{n}}\subset(f^{\alpha}\cap{S})+B(0, r), \forall{n\geq{k_{r}}}}, \end{equation} $

其中$ B(0, r) $表示以$ 0 $为球心, $ r $为半径的球.

引理2.5^[17]   在引理2.4的假设条件下, 有$ 0^{+}(S_{n})\bigcap{H_{f_{n}}}=\{0\} $.

引理2.6^[17]   在引理2.4的假设条件下, 有$ f_{n}(S_{n})+C\stackrel{PK}\longrightarrow{f(S)+C} $.

该节证明了向量值映射序列Painlevé-Kuratowski收敛的标量化定理, 并借助该标量化定理, 首次在扰动映射序列PK收敛于目标映射的情况下, 建立了向量值优化问题Benson真有效解的稳定性结果.

引理3.1   设$ f, f_{n}:{{\Bbb R}} ^{n}\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $为向量值映射, $ \overline{x}, \overline{x}_{n}\in{{{\Bbb R}} ^{n}} $且$ \overline{x}_{n}\rightarrow {\overline{x}} $. 对任意$ x\in{{{\Bbb R}} ^{n}} $定义映射$ h, h_{n}:{{\Bbb R}} ^{n}\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $为$ h_{n}(x)=f_{n}(x)-f(\overline{x}_{n}) $和$ h(x)=f(x)-f(\overline{x}) $. 若$ f $连续, $ f_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{f} $, 则$ h_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{h} $.

证  先证$ {\rm{epi}}h\subset{\liminf_{n}{\rm{epi}}h_{n}} $. 事实上, 任取$ (x, v)\in{{\rm{epi}}h} $, 则有$ h(x)\in{v-C} $, 从而有$ f(x)-f(\overline{x})\in{v-C} $, 即$ f(x)\in f(\overline{x})+v-C $. 因此有$ (x, f(\overline{x})+v)\in{{\rm{epi}}f} $. 已知$ f_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{f} $, 故存在序列$ (x_{n}, v_{n})\in{{\rm{epi}}f_{n}} \ (n\in{N}) $使得

(3.1) $ \begin{eqnarray} {(x_{n}, v_{n})\rightarrow {(x, f(\overline{x})+v)}}. \end{eqnarray} $

由$ (x_{n}, v_{n})\in{{\rm{epi}}f_{n}} $可知, $ f_{n}(x_{n})\in{v_{n}-C} $. 从而有$ f_{n}(x_{n})-f(\overline{x}_{n})\in{v_{n}-f(\overline{x}_{n})-C} $, 即$ h_{n}(x_{n})=f_{n}(x_{n})-f(\overline{x}_{n})\in{v_{n}-f(\overline{x}_{n})-C} $. 因此有$ (x_{n}, v_{n}-f(\overline{x}_{n}))\in{{\rm{epi}}h_{n}} $. 当$ n\rightarrow {+\infty} $时, 由$ (3.1) $式和$ f $的连续性可得$ (x_{n}, v_{n}-f(\overline{x}_{n}))\rightarrow {(x, v)} $. 即对任取的$ (x, v)\in{{\rm{epi}}h} $, 存在$ (x_{n}, v_{n}-f(\overline{x}_{n}))\in{{\rm{epi}}h_{n}} $, 使得$ (x_{n}, v_{n}-f(\overline{x}_{n}))\rightarrow {(x, v)} $. 因此$ \mbox{epi} h\subset \liminf_{n} \mbox{epi} h_{n} $.

下证$ \limsup_{n}{\rm{epi}}h_{n}\subset{{\rm{epi}}h} $. 假设$ (x', v')\in{\limsup_{n}{\rm{epi}}h_{n}} $, 则存在序列$ (x'_{n_{k}}, v'_{n_{k}})\in{{\rm{epi}}h_{n_{k}}}(k\in{N}) $使得$ (x'_{n_{k}}, v'_{n_{k}})\rightarrow {(x', v')} $. 因为$ (x'_{n_{k}}, v'_{n_{k}})\in{{\rm{epi}}h_{n_{k}}} $, 所以有$ h_{n_{k}}(x'_{n_{k}})\in{v'_{n_{k}}-C} $, 即$ f_{n_{k}}(x'_{n_{k}})-f(\overline{x}_{n_{k}})\in{v'_{n_{k}}-C} $. 从而有$ f_{n_{k}}(x'_{n_{k}})\in f(\overline{x}_{n_{k}})+v'_{n_{k}}-C $, 即$ (x'_{n_{k}}, f(\overline{x}_{n_{k}})+v'_{n_{k}})\in {\rm{epi}}f_{n_{k}} $, 显然$ (x'_{n_{k}}, f(\overline{x}_{n_{k}})+v'_{n_{k}})\rightarrow {(x', f(\overline{x})+v')} $. 又因为$ f_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{f} $, 所以$ (x', f(\overline{x})+v')\in{{\rm{epi}}f} $, 即$ f(x')\in f(\overline{x})+v'-C $, 从而有$ f(x')-f(\overline{x})\in v'-C $, 因此有$ h(x')\in{v'-C} $, $ (x', v')\in{{\rm{epi}}h} $. 因此$ \limsup_{n}{\rm{epi}}h_{n}\subset{{\rm{epi}}h} $. 证毕.

引理3.2   设$ f_{n}:S_{n}\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $, $ f:S\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $为向量值映射, $ f $为连续映射, $ \overline{x}_{n}\in{\rm{BeEff}}(S_{n}, f_{n}) $, $ \overline{x}\in{\rm{BeEff}}(S, f) $且$ \overline{x}_{n}\rightarrow {\overline{x}} $. 若$ (S_{n}, f_{n})\stackrel{PK}\longrightarrow{(S, f)} $, 则$ {\rm{epi}}(g_{\overline{x}_{n}}\circ{\overline{f}_{n}})\stackrel{PK}\longrightarrow{{\rm{epi}}(g_{\overline{x}}\circ{\overline{f}})} $.

证  令$ E_{n}={\rm{epi}}(g_{\overline{x}_{n}}\circ{\overline{f}_{n}}) $, $ E={\rm{epi}}(g_{\overline{x}}\circ{\overline{f}}) $. 先证$ E\subset{\liminf_{n}E_{n}} $. 任取$ (x, z)\in{E} $, 则有$ g_{\overline{x}}\circ{\overline{f}(x)}\leq{z} $, 从而有$ \varphi_{\overline{x}}(\overline{f}(x))+\delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x))-z\leq{0} $. 由引理$ 2.1 $的$ 3) $可知, $ \varphi_{\overline{x}}(\overline{f}(x)+(\delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x))- z)k_{0})\leq{0} $. 从而有$ \overline{f}(x)+(\delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x))-z)k_{0}\in{\overline{f}(\overline{x})-C} $. 进一步有

(3.2) $ \begin{eqnarray} {\overline{f}(x)-\overline{f}(\overline{x})}\in{(z-\delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x)))k_{0}-C}. \end{eqnarray} $

令$ h(x)=\overline{f}(x)-\overline{f}(\overline{x}) $, $ h_{n}(x)=\overline{f}_{n}(x)-\overline{f}(\overline{x}_{n}) $, 由$ (3.2) $式可知: $ (x, (z-\delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x)))k_{0})\in{{\rm{epi}}h} $. 因为$ (S_{n}, f_{n})\stackrel{PK}\longrightarrow{(S, f)} $, 所以$ \overline{f}_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{\overline{f}} $. 由引理$ 3.1 $可知, $ h_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{h} $. 从而存在$ (x_{n}, m_{n})\in{{\rm{epi}}h_{n}}(n\in N) $, 使得$ (x_{n}, m_{n})\rightarrow {(x, (z-\delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x)))k_{0})} $. 因为$ (x_{n}, m_{n})\in{{\rm{epi}}h_{n}} $, 所以有$ h_{n}(x_{n})\in{m_{n}-C} $, 从而有$ \overline{f}_{n}(x_{n})-\overline{f}(\overline{x}_{n})\in{m_{n}-C} $. 即

(3.3) $ \begin{eqnarray} {\overline{f}_{n}(x_{n})\in{\overline{f}(\overline{x}_{n})+m_{n}-C}}. \end{eqnarray} $

令非线性标量化函数$ \zeta $在$ m_{n} $上的值$ \zeta{(m_{n})}=v_{n} $. 因为$ \zeta(\cdot) $为连续函数, 所以有

(3.4) $ \begin{equation} v_{n}\rightarrow {z-\delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x))}. \end{equation} $

由$ \zeta(\cdot) $的定义和凸锥$ C $的闭性可知, $ m_{n}\in{v_{n}k_{0}-C} $. 结合$ (3.3) $式可知

$ \overline{f}_{n}(x_{n})\in{\overline{f}(\overline{x}_{n})+v_{n}k_{0}-C}. $

从而有$ \varphi_{\overline{x}_{n}}\circ{\overline{f}_{n}(x_{n})}\leq{v_{n}} $. 进一步有

$ \varphi_{\overline{x}_{n}}(\overline{f}_{n}(x_{n}))+\delta_{\overline{f}_{n}(\overline{x}_{n})}(\overline{f}_{n}(x_{n}))\leq{v_{n}}+\delta_{\overline{f}_{n}(\overline{x}_{n})}(\overline{f}_{n}(x_{n})), $

这意味着

(3.5) $ \begin{equation} g_{\overline{x}_{n}}\circ{\overline{f}_{n}}(x_{n})\leq{v_{n}}+\delta_{\overline{f}_{n}(\overline{x}_{n})}(\overline{f}_{n}(x_{n})), \end{equation} $

因为$ \overline{x}_{n}\in{\rm{BeEff}}(S_{n}, f_{n}) $, $ \overline{x}\in{\rm{BeEff}}(S, f) $, 所以有

(3.6) $ \begin{equation} \overline{x}_{n}\in{\rm{BeEff}}({{\Bbb R}} ^{n}, \overline{f}_{n}), \end{equation} $

(3.7) $ \begin{equation} \overline{x}\in{\rm{BeEff}}({{\Bbb R}} ^{n}, \overline{f}). \end{equation} $

由(3.6)式可知$ cl(cone(\overline{f}_{n}({{\Bbb R}} ^{n})+C-\overline{f}_{n}(\overline{x}_{n})))\cap{}(-C\backslash\{0\})=\emptyset $, 从而有$ (\overline{f}_{n}({{\Bbb R}} ^{n})-\overline{f}_{n}(\overline{x}_{n}))\cap (-C\backslash\{0\})=\emptyset $. 这即是说, 对任意的$ x\in {{\Bbb R}} ^{n} $, 有$ \overline{f}_{n}(x)-\overline{f}_{n}(\overline{x}_{n})\not\in (-C\backslash\{0\}) $. 因此可得, 有

(3.8) $ \begin{equation} \delta_{\overline{f}_{n}(\overline{x}_{n})}(\overline{f}_{n}(x))=1, \;\forall x\in {{\Bbb R}} ^{n}. \end{equation} $

由(3.7)式可知$ cl(cone(\overline{f}({{\Bbb R}} ^{n})+C-\overline{f}(\overline{x})))\cap{}(-C\backslash\{0\})=\emptyset $, 从而有$ (\overline{f}({{\Bbb R}} ^{n})-\overline{f}(\overline{x}))\cap (-C\backslash\{0\})=\emptyset $. 这即是说, 对任意的$ x\in {{\Bbb R}} ^{n} $, 有$ \overline{f}(x)-\overline{f}(\overline{x})\not\in (-C\backslash\{0\}) $. 因此可得

(3.9) $ \begin{equation} \delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x))=1, \;\forall x\in {{\Bbb R}} ^{n}. \end{equation} $

令$ u_{n}={v_{n}}+\delta_{\overline{f}_{n}(\overline{x}_{n})}(\overline{f}_{n}(x_{n})) $, 则由(3.5)式可知$ g_{\overline{x}_{n}}\circ{\overline{f}_{n}}(x_{n})\leq u_{n}. $由(3.4), (3.8)和(3.9)式可知, 有$ u_{n}\rightarrow z $. 从而存在$ (x_{n}, u_{n})\in{E_{n}} $, 使得$ (x_{n}, u_{n})\rightarrow (x, z) $.

下证$ \limsup_{n}E_{n}\subset{E} $. 任取$ (x, z)\in{\limsup_{n}E_{n}} $, 则存在序列$ (x_{n_{k}}, z_{n_{k}})\in{E_{n_{k}}}(k\in{N}) $, 使得$ (x_{n_{k}}, z_{n_{k}})\rightarrow {(x, z)} $. 从而有$ g_{\overline{x}_{n_{k}}}\circ{\overline{f}_{n_{k}}(x_{n_{k}})}\leq{z_{n_{k}}} $, 即是说

$ \varphi_{\overline{x}_{n_{k}}}(\overline{f}_{n_{k}}(x_{n_{k}}))+\delta_{\overline{f}_{n_{k}}( \overline{x}_{n_{k}})}(\overline{f}_{n_{k}}(x_{n_{k}}))\leq{z_{n_{k}}}. $

因此有

$ \varphi_{\overline{x}_{n_{k}}}(f_{n_{k}}(x_{n_{k}})-(z_{n_{k}}-\delta_{\overline{f}_{n_{k}} (\overline{x}_{n_{k}})}(\overline{f}_{n_{k}}(x_{n_{k}})))k_{0})\leq{0}. $

从而

$ \overline{f}_{n_{k}}(x_{n_{k}})-(z_{n_{k}}-\delta_{\overline{f}_{n_{k}}(\overline{x}_{n_{k}})} (\overline{f}_{n_{k}}(x_{n_{k}})))k_{0}\in{\overline{f}(\overline{x}_{n_{k}})-C}. $

即

$ \overline{f}_{n_{k}}(x_{n_{k}})-\overline{f}(\overline{x}_{n_{k}})\in{(z_{n_{k}} -\delta_{\overline{f}_{n_{k}}(\overline{x}_{n_{k}})}(\overline{f}_{n_{k}}(x_{n_{k}})))k_{0}-C}, $

故有$ (x_{n_{k}}, (z_{n_{k}}-\delta_{\overline{f}_{n_{k}}(\overline{x}_{n_{k}})}(\overline{f}_{n_{k}} (x_{n_{k}})))k_{0})\in{{\rm{epi}}h_{n_{k}}} $. 因为$ \overline{x}_{n_{k}}\in{\rm{BeEff}}(S_{n_{k}}, f_{n_{k}}) $, $ \overline{x}\in{\rm{BeEff}}(S, f) $, 类似分析可得

$ \delta_{\overline{f}_{n_{k}}(\overline{x}_{n_{k}})}(\overline{f}_{n_{k}}(x_{n_{k}}))=1, {\qquad} \delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x))=1. $

从而有$ \delta_{\overline{f}_{n_{k}}(\overline{x}_{n_{k}})}(\overline{f}_{n_{k}}(x_{n_{k}}))\rightarrow \delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x)) $. 又因为$ h_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{h} $, 所以有$ (x, (z-\delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x)))k_{0})\in{\rm{epi}h} $, 从而$ h(x)\in{(z-\delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x)))k_{0}-C} $, 故有$ \overline{f}(x)-\overline{f}(\overline{x})\in{(z-\delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x)))k_{0}-C} $, 因此有$ \overline{f}(x)\in{(z-\delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x)))k_{0}+\overline{f}(\overline{x})-C} $. 由$ \varphi_{\overline{x}} $的性质可知, $ \varphi_{\overline{x}}(\overline{f}(x))\leq{z-\delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x))} $, 即有$ \varphi_{\overline{x}}(\overline{f}(x))+\delta_{\overline{f}(\overline{x})}(\overline{f}(x))\leq{z} $, 因此$ g_{\overline{x}}\circ{\overline{f}(x)}\leq{z} $, 故$ (x, z)\in{E} $. 证毕.

引理3.3   设$ f:S\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $是$ C $ -凸向量值映射. 若对任意的$ x_{0}\in{{\rm{BeEff}}(S, f)} $有$ \partial cl(cone(f(S)+C-f(x_{0})))\cap (-C\backslash \{0\})=\emptyset $, 则有$ x_{0}\in{{\rm{BeEff}}(S, f)}\Leftrightarrow{x_{0}\in{{\rm{Inf}}(S, g_{x_{0}}\circ{f})}} $.

证  先证$ x_{0}\in{{\rm{BeEff}}(S, f)}\Rightarrow {x_{0}\in{{\rm{Inf}}(S, g_{x_{0}}\circ{f})}} $. 任取$ x_{0}\in{{\rm{BeEff}}(S, f)} $, 有$ cl(cone(f(S)+C-f(x_{0})))\cap{}(-C\backslash\{0\})=\emptyset $, 从而有$ (f(S)-f(x_{0}))\cap{}(-C\backslash\{0\})=\emptyset $. 这即是说, 对任意的$ {x\in{S}} $, 有$ f(x)-f(x_{0})\not\in (-C\backslash\{0\}) $. 因此

(3.10) $ \begin{equation} \delta_{f(x_{0})}(f(x))=1, \;\;\forall x\in{S}. \end{equation} $

因为$ x_{0}\in{{\rm{BeEff}}(S, f)} $, 所以$ x_{0}\in{{\rm{WEff}}(S, f)} $. 由引理$ 2.1 $的1)可知

$ {\{{y\in{{{\Bbb R}} ^{l}}:\varphi_{x_{0}}(y)<0}\}=f(x_{0})-\rm{int}C}. $

结合定义$ 2.1 $可知: 对任意$ x\in{S} $, 有$ \varphi_{x_{0}}(f(x))\geq{0} $. 又由引理$ 2.1 $的$ 2) $可知, $ \varphi_{x_{0}}(f(x_{0}))=0 $. 因此有

(3.11) $ \begin{equation} \varphi_{x_{0}}(f(x_{0}))\leq{\varphi_{x_{0}}(f(x))}, \;\;\forall{x\in{S}}. \end{equation} $

结合(3.10)和(3.11)式可知

$ \varphi_{x_{0}}(f(x_{0}))+\delta_{f(x_{0})}(f(x_{0}))\leq{\varphi_{x_{0}}(f(x))}+\delta_{f(x_{0})}(f(x)), \;\;\forall{x\in{S}}. $

故, $ g_{x_{0}}(f(x_{0}))\leq{g_{x_{0}}(f(x))} $, $ \forall{x\in{S}} $. 故可得$ x_{0}\in{{\rm{Inf}}(S, g_{x_{0}}\circ{f})} $.

下证$ x_{0}\in{{\rm{BeEff}}(S, f)}\Leftarrow{x_{0}\in{{\rm{Inf}}(S, g_{x_{0}}\circ{f})}} $. 用反证法, 假设$ x_{0}\notin{{\rm{BeEff}}(S, f)} $. 由$ {\rm{BeEff}}(S, f) $的定义可知

$ cl(cone(f(S)+C-f(x_{0})))\cap (-C\backslash \{0\})\neq\emptyset, $

故存在

$ z\in cl(cone(f(S)+C-f(x_{0})))\cap (-C\backslash \{0\}). $

因为$ cl(cone(f(S)+C-f(x_{0})))=cone(f(S)+C-f(x_{0}))\cup \partial cl(cone(f(S)+C-f(x_{0}))) $, 所以

$ z\in (cone(f(S)+C-f(x_{0}))\cup \partial cl(cone(f(S)+C-f(x_{0}))))\cap (-C\backslash \{0\}), $

即

$ z\in (cone(f(S)+C-f(x_{0}))\cap (-C\backslash \{0\}))\cup (\partial cl(cone(f(S)+C-f(x_{0})))\cap (-C\backslash \{0\})). $

因为$ \partial cl(cone(f(S)+C-f(x_{0})))\cap (-C\backslash \{0\})=\emptyset $, 所以$ z\in (cone(f(S)+C-f(x_{0}))\cap (-C\backslash \{0\})) $, 因此存在$ \lambda\geq0 $, $ x\in S $, $ c\in C $, 使得$ \lambda(f(x)+c-f(x_{0}))=z. $因为$ z\in(-C\backslash \{0\}) $, 所以有$ \lambda(f(x)+c-f(x_{0}))\in (-C\backslash \{0\}) $. 从而有$ f(x)+c-f(x_{0})\in (-C\backslash \{0\}) $, 这就意味着$ f(x)-f(x_{0})\in (-C\backslash \{0\}) $. 故有$ \varphi_{x_{0}}(f(x))\leq\varphi_{x_{0}}(f(x_{0})) $, $ \delta_{f(x_{0})}(f(x_{0}))=1 $, $ \delta_{f(x_{0})}(f(x))=-1 $, 从而可得$ g_{x_{0}}(f(x))<g_{x_{0}}(f(x_{0})) $, 这与$ x_{0}\in{{\rm{Inf}}(S, g_{x_{0}}\circ{f})} $矛盾, 故$ x_{0}\in{{\rm{BeEff}}(S, f)} $.

该节在有限维空间中, 借助上节所建立的非线性标量化结果, 在扰动问题序列Painlevé-Kuratowski收敛于目标优化问题的情况下, 研究向量优化问题Benson真有效解的稳定性.

命题4.1   若$ C $为凸锥, 则有$ {\rm{BeMin}}(f(S)+C)={\rm{BeMin}}f(S) $.

证  先证$ {\rm{BeMin}}(f(S)+C)\subset{{\rm{BeMin}}f(S)} $. 任取$ y\in{{\rm{BeMin}}(f(S)+C)} $, 则有

$ cl(cone(f(S)+C+C-y))\cap{(-C\backslash\{0\})}=\emptyset. $

下面证明$ y\in{{\rm{BeMin}}(f(S))} $. 因为$ y\in{{\rm{BeMin}}(f(S)+C)} $, 所以$ y\in f(S)+C $.

$ 1) $若$ y\in f(S) $, 由$ 0\in C $可知, $ C\subset{C+C} $. 从而有

$ cl(cone(f(S)+C-f(x_{0})))\subset cl(cone(f(S)+C+C-f(x_{0}))). $

进而有

$ cl(cone(f(S)+C-y))\cap{(-C\backslash\{0\})}=\emptyset. $

故$ y\in{{\rm{BeMin}}f(S)} $.

$ 2) $若$ y\not\in f(S) $, 由$ y\in{{\rm{BeMin}}(f(S)+C)} $可知, $ y\in (f(S)+C)\backslash f(S) $. 从而存在$ y'\in f(S) $, $ y'\neq y $, 使得$ y\in y'+C $. 这就意味着$ y'-y\in -C\backslash \{0\} $, 与$ y\in{\rm BeMin}(f(S)+C)\subset{\rm Min}(f(S)+C)={\rm Min}f(S) $矛盾.

综上, 求证$ {\rm{BeMin}}( $$ f(S)+C)\subset{{\rm{BeMin}}f(S)} $成立.

下证$ {\rm{BeMin}}f(S)\subset{{\rm{BeMin}}(f(S)+C)} $. 任取$ y\in{{\rm{BeMin}}f(S)} $, 则有

$ cl(cone(f(S)+C-y))\cap{(-C\backslash\{0\})}=\emptyset. $

因为$ C $为凸锥, 所以$ C+C\subset C $. 从而有

$ cl(cone(f(S)+C+C-y))\subset cl(cone(f(S)+C-y)). $

进而有

$ cl(cone(f(S)+C+C-y))\cap{(-C\backslash\{0\})}=\emptyset. $

故$ y\in{{\rm{BeMin}}(f(S)+C)} $. 求证$ {\rm{BeMin}}f(S)\subset{{\rm{BeMin}}(f(S)+C)} $成立. 证毕.

定理4.1   设$ S $, $ S_{n}\subset{{{\Bbb R}} ^{n}} $, $ f_{n}:S_{n}\rightarrow {{{\Bbb R}} ^{l}} $和$ f:S\rightarrow {{{\Bbb R}} ^{l}} $为$ C $ -凸向量值映射$ (n\in{N}) $, 对任意的$ x_{0}\in{{\rm{BeEff}}(S, f)} $有$ \partial cl(cone(f(S)+C-f(x_{0})))\cap (-C\backslash \{0\})=\emptyset $, 对任意的$ x\in{{\rm{BeEff}}(S_{n}, f_{n})} $有$ \partial cl(cone(f_{n}(S_{n})+C-f_{n}(x)))\cap (-C\backslash \{0\})=\emptyset $. 若$ (S_{n}, f_{n})\stackrel{PK}\longrightarrow{(S, f)} $且$ f $连续, 则有$ \limsup_{n}[{\rm{BeEff}}(S_{n}, f_{n})]\subset{{\rm{BeEff}}(S, f)} $.

证  令$ \overline{x}\in{{\rm{limsup}}_{n}[{\rm{BeEff}}(S_{n}, f_{n})]} $, 显然$ \overline{x}\in{{\rm{limsup}}_{n}[{\rm{BeEff}}({{\Bbb R}} ^{n}, \overline{f}_{n})]} $. 即存在$ \{n_{k}\} $$ \subset{N} $, $ x_{n_{k}}\in{{\rm{BeEff}}({{\Bbb R}} ^{n}, \overline{f}_{n_{k}})} $, 使得$ x_{n_{k}}\rightarrow {\overline{x}} $. 由引理$ 3.3 $可知, $ x_{n_{k}}\in{}{\rm{Inf}}({{\Bbb R}} ^{n}, $$ g_{x_{n_{k}}}\circ{\overline{f}_{n_{k}}}) $, 因此$ \overline{x}\in{{\rm{limsup}}_{n_{k}}[{\rm{Inf}}({{\Bbb R}} ^{n}, g_{x_{n_{k}}}\circ{\overline{f}_{n_{k}}})]} $. 因为$ (S_{n}, f_{n})\stackrel{PK}\longrightarrow{(S, f)} $, 由引理$ 3.2 $可得, $ {g_{x_{n_{k}}}\circ{\overline{f}_{n_{k}}}} $$ \stackrel{PK}\longrightarrow{g_{\overline{x}}\circ{\overline{f}}} $. 根据引理$ 2.2 $, 取$ \varepsilon=0 $可得$ \limsup_{n_{k}}[{\rm{Inf}}({{\Bbb R}} ^{n}, g_{x_{n_{k}}}\circ{\overline{f}_{n_{k}}})]\subset{}{\rm{Inf}}({{\Bbb R}} ^{n}, g_{\overline{x}}\circ{\overline{f}}) $. 从而有$ \overline{x}\in{{\rm{Inf}}({{\Bbb R}} ^{n}, g_{\overline{x}}\circ{\overline{f}})} $. 再结合引理$ 3.3 $可得$ \overline{x}\in{{\rm{BeEff}}({{\Bbb R}} ^{n}, \overline{f})} $$ ={\rm{BeEff}}(S, f) $. 因此$ \limsup_{n}[{\rm{BeEff}}(S_{n}, f_{n})]\subset{{\rm{BeEff}}(S, f)} $. 证毕.

定理4.2   在引理$ 2.4 $的假设条件下, 若$ C $为尖锐凸锥, 则有

$ \begin{eqnarray*} {{\rm{BeMin}}f(S)\subset{\lim {\rm{inf}}_{n}{\rm{BeMin}}f_{n}(S_{n})}}. \end{eqnarray*} $

证  由命题$ 4.1 $可知, $ {\rm{BeMin}}(f(S)+C)={\rm{BeMin}}f(S) $, $ {\rm{BeMin}}(f_{n}(S_{n})+C)={\rm{BeMin}} $$ f_{n}(S_{n}) $. 故只需证$ {\rm{BeMin}}(f(S)+C)\subset{\liminf_{n}{\rm{BeMin}}(f_{n}(S_{n})+C)} $.

任取$ y\in{{\rm{BeMin}}(f(S)+C)} $, 下证$ y\in{\liminf_{n}{\rm{BeMin}}(f_{n}(S_{n})+C)} $. 因为$ C $为尖锐凸锥, 由文献[13, 定理3.6]可知: $ {\rm{BeMin}}(f(S)+C)={\rm{PrMin}}(f(S)+C) $, $ {\rm{BeMin}}(f_{n}(S_{n})+C)={\rm{PrMin}}(f_{n}(S_{n})+C) $. 因此$ y\in{\rm{PrMin}}(f(S)+C) $, 只需证明$ y\in{\liminf_{n}{\rm{PrMin}}(f_{n}(S_{n})+C)} $. 因为$ S\subset{{{\Bbb R}} ^{n}} $为闭凸集合, $ f $是$ C $ -凸映射, 结合引理2.3、引理2.4的$ 1) $和引理2.5可推出, $ f(S)+C $和$ f_{n}(S_{n})+C $为闭凸集合. 由引理$ 2.6 $可知: $ f_{n}(S_{n})+C\stackrel{PK}\longrightarrow{f(S)+C} $. 由文献[18, 推论3.1]可知: $ {\rm{PrMin}}(f(S)+C)\subset \liminf_{n} {\rm{PrMin}}(f_{n}(S_{n})+C) $. 又因为$ y\in{\rm{PrMin}}(f(S)+C) $, 故显然$ y\in{\liminf_{n}{\rm{PrMin}}(f_{n}(S_{n})+C)} $, 该定理得证. 证毕.

定理4.3   设$ S $, $ S_{n}\subset{{{\Bbb R}} ^{n}} $为闭凸集合, $ S_{n}\stackrel{PK}\longrightarrow{S} $. $ f:S\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $和$ f_{n}:S_{n}\longrightarrow{{{\Bbb R}} ^{l}} $为$ C $ -凸映射, $ (S_{n}, f_{n})\stackrel{PK}\longrightarrow{(S, f)} $. 假设$ 0^{+}(S)\bigcap{H_{f}}=\{0\} $, $ f $严格$ C $ - 凸, 则$ {\rm{BeEff}}(S_{n}, f_{n})\stackrel{PK}\longrightarrow{{\rm{BeEff}}(S, f)} $.

证  $ \limsup_{n}[{\rm{BeEff}}(S_{n}, f_{n})]\subset{{\rm{BeEff}}(S, f)} $可由定理$ 4.1 $直接得到.

下证$ {\rm{BeEff}}(S, f)\subset{\liminf_{n}[{\rm{BeEff}}(S_{n}, f_{n})]} $. 与文献[17, 定理3.3]相似. 令$ x\in{}{\rm{BeEff}}(S, f) $且$ y=f(x) $. 由定理$ 4.2 $知, 存在序列$ \{y_{n}:y_{n}\in{{\rm{BeMin}}f_{n}(S_{n})}\} $, 使得$ y_{n}\rightarrow {y} $. 因此由下极限定义可知, 对任意$ \alpha\in{{\rm{int}}C} $, 当$ n\in{N} $充分大时, 有$ y_{n}\in{y+\alpha-C} $. 令$ x_{n}\in{S_{n}} $. 当$ n\in{N} $时, 有$ y_{n}=f_{n}(x_{n}) $. 从而可知$ x_{n}\in{{\rm{BeEff}}(S_{n}, f_{n})} $. 则对$ \alpha\in{\rm{int}C} $, 当$ n\in{N} $充分大时, 有$ x_{n}\in{f^{y+\alpha}_{n}\cap{S}_{n}} $. 结合引理$ 2.4 $可知, 对任意$ r>0 $, 当$ n\in{N} $充分大时, 有$ x_{n}\in{(f^{y+\alpha}\cap{S})+B(0, r)} $. 因为$ 0^{+}(S)\cap{H_{f}}=\{0\} $, 所以$ 0^{+}(S)\cap{0^{+}(f^{y+\alpha})}=\{0\} $. 由文献[20, 性质1.5.1(c)和(e)]可得, $ 0^{+}(S\cap{f^{y+\alpha}})=0^{+}(S)\cap{0^{+}(f^{y+\alpha})}=\{0\} $. 这意味着$ S\cap{f^{y+\alpha}} $是有界的. 因此$ \{x_{n}\}_{n\in{N}} $有界. 不失一般性, 假设$ x_{n}\rightarrow {\overline{x}} $. 因为$ (S_{n}, f_{n})\stackrel{PK}\longrightarrow{(S, f)} $, 所以$ \limsup_{n}{\rm{epi}}\overline{f}_{n}\subset{{\rm{epi}}\overline{f}} $. 结合$ (x_{n}, y_{n})\in{{\rm{epi}}\overline{f}_{n}} $和$ (x_{n}, y_{n})\rightarrow {(\overline{x}, y)} $, 可得$ (\overline{x}, y)\in{{\rm{epi}}\overline{f}} $, $ \overline{f}(\overline{x})\in{y-C} $. 即$ f(\overline{x})\in{y-C} $. 又因为$ y\in{{\rm{BeMin}}f(S)}\subset{}{\rm{Min}}f(S) $, 所以$ y=f(\overline{x}) $. 由$ f $的严格$ C $ -凸性可知, $ \overline{x}=x $. 否则, 若$ \overline{x}\neq{}x $, $ f(\lambda{x}+(1-\lambda){\overline{x}})\in{}\lambda{f(x)}+(1-\lambda){f(\overline{x})}-{\rm{int}}C=\lambda{y}+(1-\lambda){y}-{\rm{int}}C={y}-{\rm{int}}C $. 这$ y\in{}{\rm{Min}}f(S) $与相矛盾. 因此$ x_{n}\rightarrow {x} $且$ {\rm{BeEff}}(S, f)\subset{}\liminf_{n}[{\rm{BeEff}}(S_{n}, f_{n})] $. 证毕.