众所周知, 在多复变量中不同类型区域可能有不同的全纯核, 并且奇异积分主值还依赖于挖去领域的形状^[1-4]. Gong^[2]、Kytmanov等^[4-6]研究了具有光滑边界的强拟凸域的奇异积分. Gong^[2]研究了复超球面上的奇异积分、分别用圆形、椭圆形和矩形邻域挖法, 得到了奇异积分不同的主值. 这些都显示了具有全纯核的奇异积分与具有Bochner-Martinelli核的奇异积分不同, 也表明多复变与单复变有本质不同.

Range和Siu^[8]研究了具有逐块光滑的有界强拟凸域上$ \bar{\partial} $ -方程的解, 并得到了全纯函数的积分表示. 作者在文献[9]中研究了$ {\Bbb C}^n $中两个球相交域上的奇异积分, 得到了奇异积分主值和Sokhotsky-Plemelj公式. 困难主要是由于挖去领域中边界的不对称性, 并且积分边界还包括$ 2n-2 $维的低维部分.

本文利用文献[9]中的Sokhotsky-Plemelj公式得到了复双球相交域上一个特殊的合成公式, 并得到了常系数奇异积分方程和方程组的一个直接解, 并把一般的常系数奇异积分方程和方程组化为一类与之等价的Fredholm型方程和方程组. 由于这里的Plemelj公式与合成公式的特殊性, 我们求解方程时需要对密度函数施加一些特别限制.

本文中$ n>1 $, 所有结果对$ n=1 $并不成立.

熟知超球上的Cauchy核在平移, 旋转或伸缩下是不变的^[2]. 为简单起见我们定义双球相交域如下.

定义2.1^[9]   $ D=B_1\cap B_2 $称为双球相交域, 若

$ B_1=\{z\in {\mathbb C}^n: |z|<1\}, \quad B_2=\{z\in {\mathbb C}^n:|z_1-a|^2+|z'|^2<R^2\}, $

此处$ a=a_1+{\rm i}a_2\in {\mathbb C} $, $ a_2>0 $, $ R=|a-1|\geq 1 $, $ 0<|a|<1+R $, $ z'=\{z_2, \ldots, z_n\}\in{\mathbb C}^{n-1} $.

因为定义2.1中的域$ D $是文献[8]中逐块光滑强拟凸域的特殊情形, 我们有如下的Range-Siu型积分表示定理的特殊情形, 参见文献[8, p333, (2.5)式].

定理2.1^[9]   设$ D $双球相交域, $ f(z) $在$ \overline{D} $上全纯, 对$ z\in D $, 有

$ \begin{eqnarray*} f(z) & =&\sum\limits_{I}\int_{(\zeta, \lambda)\in S_I\times\Delta_{I} }f(\zeta)\Omega(\zeta, z, \lambda)\\ & =&\int_{\zeta\in S_1}f(\zeta)\Omega(\zeta, z, 1)+\int_{\zeta\in S_2}f(\zeta)\Omega(\zeta, z, 0)+ \int_{(\zeta, \lambda)\in S_{12}\times\Delta_{12} }f(\zeta)\Omega(\zeta, z, \lambda), \end{eqnarray*} $

此处$ I=\{1, 2\} $, $ S_1=\partial B_1\cap B_2 $, $ S_2=\partial B_2\cap B_1 $, $ S_{12}=\partial B_1\cap\partial B_2 $, 且$ \Delta_{12}=[0, 1] $. 核形式

(2.1) $ \begin{equation} \Omega(\zeta, z, \lambda)=C_n(\Phi(\zeta, z, \lambda))^{-n}\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{n-1}u_{k} {\rm d}u_{[k]}\wedge {\rm d}\zeta. \end{equation} $

设$ {\cal H}(\alpha, \partial D) $为在$ \partial D $上满足指数为$ \alpha(0<\alpha\leq 1) $ Hölder条件的函数空间. 文献[9]中定义的奇异积分主值如下.

定义2.2^[9]   设$ f(z)\in {\cal H}(\alpha, \overline{D}) $, $ z\in\partial D $, $ \rm Cauchy $主值定义为

(2.2) $ \begin{equation} {\rm p.v.}\sum\limits_{I}\int_{(\zeta, \lambda)\in S_I\times\Delta_{I}}f(\zeta)\Omega(\zeta, z, \lambda)=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\sum\limits_{I}\int_{\{(\zeta, \lambda)\in S_I \times\Delta_{I}, |1-z\bar{\zeta}^t|\geq\varepsilon\}}f(\zeta)\Omega(\zeta, z, \lambda). \end{equation} $

下文中为了方便, 不至于混淆时, 会省去奇异积分前面的记号"$ {\rm p.v.} $".

定理2.2^[9]   设$ z\in\partial D $, $ f(z)=1 $, 则$ \rm Cauchy $主值(2.2) (记为$ \alpha(z) $)存在, 且当$ z $为光滑点时, $ \alpha(z)=\frac{1}{2} $, 当$ z $为非光滑点时, 即$ z\in \partial B_1\cap \partial B_1 $,

$ \begin{eqnarray*} \alpha(z) & =&\tau=\frac{1}{2} -\frac{2^{n-2}}{\pi {\rm i}}\int_{\varphi_2-\pi/2}^{\pi/2-\varphi_1} {\rm e}^{-{\rm i}(n-1)t}\cos^{n-2}t\sin t{\rm d}t \\ &&+\frac{1}{2\pi {\rm i}} \int_{-{\rm e}^{2\varphi_1{\rm i}}}^1\frac{(1-{\rm e}^{2\varphi_1{\rm i}}u)^{n-2}}{u}{\rm d}u -\frac{1}{2\pi {\rm i}} \int_{-{\rm e}^{-2\varphi_2{\rm i}}}^1\frac{(1-{\rm e}^{-2\varphi_2{\rm i}}u)^{n-2}}{u}{\rm d}u, \end{eqnarray*} $

其中$ \varphi_1 $与$ \varphi_2 $由文献[9]中定义.

定理2.3^[9]  (Plemelj公式)   若$ f\in{\cal H}(\alpha, \partial D) $, $ z\in D $, $ z $趋近于$ t \in\partial D $, 且满足$ |z-t|/ $$ {\rm d}(z, \partial D)<M $, $ M $为一正常数, 则

(2.3) $ \begin{eqnarray} F^{+}(t):&=&\lim\limits_{z\rightarrow t}\sum\limits_{I}\int_{(\zeta, \mu)\in S_I\times\Delta_I}f(\zeta)\Omega(\zeta, z, \lambda){} \\ &=& \sum\limits_{I}\int_{(\zeta, \mu)\in S_I\times\Delta_I}f(\zeta)\Omega(\zeta, t, \lambda) +(1-\alpha(t))f(t). \end{eqnarray} $

定理2.4   定理2.3中的$ F^{+}(t) $关于$ t $是分片$ \rm Hölder $连续的.

证  当$ t\in S_1 $, 或者$ t\in S_2 $, 证明类似于文献[1]中的定理1.5.1或文献[4]中Theorem 3. 因此我们只需考虑$ t\in\partial B_1\cap \partial B_1 $. 记$ \Psi(t)=\sum_{I}\int_{(\zeta, \mu)\in S_I\times\Delta_I}(f(\zeta)-f(t))\Omega(\zeta, t, \mu) $, 则$ F^{+}(t)=\Psi(t) +f(t) $. 只需证明$ \Psi(t) $在$ \partial B_1\cap \partial B_1 $上连续. 设$ v\in\partial B_1\cap \partial B_1 $, 由于点$ t $与$ v $同属于$ \partial B_1 $与$ \partial B_2 $，由文献[1]中的定理1.5.1或文献[4]中Theorem 3, 存在酉变换$ V $使得$ v=tV $, 不妨设$ t=(1, 0, \cdots, 0) $, 有

$ \begin{eqnarray*} \Psi(v)-\Psi(t)&=& \sum\limits_{I}\int_{(w, \mu)\in S_I\times\Delta_I}(f(w)-f(v))\Omega(w, v, \mu)\\ &\quad& -\sum\limits_{I}\int_{(w, \mu)\in S_I\times\Delta_I}(f(w)-f(t))\Omega(w, t, \mu)\\ &=&\sum\limits_{I}\int_{(u, \mu)\in S_I\times\Delta_I}(f(uV)-f(tV))\Omega(u, t, \mu)\\ && -\sum\limits_{I}\int_{(u, \mu)\in S_I\times\Delta_I}(f(u)-f(t))\Omega(u, t, \mu), \end{eqnarray*} $

于是

$ \begin{eqnarray*} |\Psi(v)-\Psi(t)|&\leq& \Big|\sum\limits_{I}\int_{(u, \mu)\in\sigma_{I}\times\Delta_I}(f(uV)-f(tV))\Omega(u, t, \mu)\Big| \\ & \quad& +\Big|\sum\limits_{I}\int_{(u, \mu)\in \sigma_{I}\times\Delta_I}(f(u)-f(t))\Omega(u, t, \mu)\Big|\\ & \quad& +\Big|\sum\limits_{I}\int_{(u, \mu)\in\Sigma_{I}\times\Delta_I}(f(uV)-f(u))\Omega(u, t, \mu)\Big|\\ & \quad &+\Big|\sum\limits_{I}\int_{(u, \mu)\in \Sigma_{I}\times\Delta_I}(f(tV)-f(t))\Omega(u, t, \mu)\Big|\\ &=&J_1+J_2+J_3+J_4, \end{eqnarray*} $

此处

$ \sigma_{I}=\{u\in S_{I}, |1-t\bar{u}^t|\leq\epsilon\}, \ \ \Sigma_{I}=\{u\in S_{I}, |1-t\bar{u}^t|\geq\epsilon\}, $

$ I=1, 2, \{1, 2\} $, 由于

$ \begin{eqnarray*} \Big|\int_{(u, \mu)\in \sigma_{I}\times\Delta_I}(f(uV)-f(tV))\Omega(u, t, \mu) \Big| \leq \Big|\int_{ \{|u|=1, |1-\bar{u}_1|\leq\varepsilon\}}(f(uV)-f(tV))\Omega(u, t, \mu) \Big|, \end{eqnarray*} $

如此可知$ J_1, J_2, J_3, J_4 $的估计都可转化为超球面上的积分估计, 因而由文献[1]中定理1.5.1可知结论成立. 证毕.

注2.1   设$ \varphi\in{\cal H}(\alpha, \partial D) $, $ \xi\in \partial D $, 记主值

$ \begin{eqnarray*} \varphi_1(\xi):={\bf K}(\varphi)(\xi)=\sum\limits_{I}\int_{(w, \mu)\in S_I\times\Delta_I}\varphi(w)\Omega(w, \xi, \mu). \end{eqnarray*} $

由定理2.4, 这是一个分片$ \rm Hölder $连续函数. 我们用算子$ {\bf K} $再作用于$ \varphi_1(\xi) $得

$ \varphi_2(t):={\bf K}(\varphi_1)(t)=\sum\limits_{I}\int_{(w, \lambda)\in S_I\times\Delta_I}\varphi_1(w)\Omega(w, t, \lambda). $

这一奇异积分未必收敛, 即主值未必存在. 我们改写

$ \begin{eqnarray*} {\bf K}(\varphi_1)(t) & =&\sum\limits_{I}\int_{(\xi, \lambda)\in S_I\times\Delta_I}\Omega(\xi, t, \lambda) \sum\limits_{J}\int_{(w, \lambda)\in S_J\times\Delta_J}(\varphi(w)-\varphi(\xi))\Omega(w, \xi, \lambda) \\ &&+\frac{1}{2}\sum\limits_{I}\int_{(\xi, \lambda)\in S_I\times\Delta_I}\varphi(\xi)\Omega(\xi, t, \lambda) +\int_{(\xi, \lambda)\in S_{12}\times\Delta_{12}}(\tau-\frac{1}{2})\varphi(\xi)\Omega(\xi, t, \lambda). \end{eqnarray*} $

当$ t\in S_{12} $, 即$ t\in\partial B_1\cap\partial B_2 $, 由文献[9]中引理3.4可知上面的最后一项是发散的, 而第一、第二项收敛. 为使$ {\bf K}(\varphi_1) $有意义, 我们只能遗憾的要求$ t\notin\partial B_1\cap \partial B_2 $, 即$ t\in S_1 $或$ t\in S_2 $, 因为此时核函数没有奇性, 上述最后一项是正常积分. 这也是双球相交域上奇异积分的特殊之处.

这一节我们给出奇异积分的合成公式. 再对密度函数作适当限制, 求解带有常系数的奇异积分方程和方程组.

定理3.1(合成公式)   设$ f\in{\cal H}(\alpha, \partial D) $, $ t\in \partial D $, 且$ t\notin \partial B_1\cap \partial B_2 $, 则

(3.1) $ \begin{eqnarray} && \sum\limits_{I}\int_{(w, \lambda)\in S_I\times\Delta_I}\Omega(w, t, \lambda)\sum\limits_{J}\int_{(\zeta, \mu)\in S_J\times\Delta_J}f(\zeta)\Omega(\zeta, w, \mu) {}\\ &=&(\tau-\frac{1}{2})\int_{(\zeta, \lambda)\in S_{12}\times\Delta_{12}}f(\zeta)\Omega(\zeta, t, \lambda)+\frac{1}{4}f(t). \end{eqnarray} $

证  首先给出两个奇异积分主值的记号

$ \begin{eqnarray*} \varphi_1(\xi)=\sum\limits_{I}\int_{(w, \mu)\in S_I\times\Delta_I}f(w)\Omega(w, \xi, \mu), \ \ \ \varphi_2(t)=\sum\limits_{I}\int_{(\xi, \mu)\in S_I\times\Delta_I}\varphi_1(\xi)\Omega(\xi, t, \mu). \end{eqnarray*} $

对$ \eta\in D $, 置

$ \begin{eqnarray*} F(\eta)=\sum\limits_{I}\int_{(z, \mu)\in S_I\times\Delta_I}f(z)\Omega(z, \eta, \mu), \ \ F_1(\eta)=\sum\limits_{I}\int_{(z, \mu)\in S_I\times\Delta_I}\varphi_1(z)\Omega(z, \eta, \mu). \end{eqnarray*} $

由Plemelj公式, 可得

(3.2) $ \begin{eqnarray} F^+(\xi)&=&\varphi_1(\xi)+(1-\alpha(\xi))f(\xi), \\ F^+_1(t)&=&\sum\limits_{I}\int_{(z, \mu)\in S_I\times\Delta_I}\varphi_1(z)\Omega(z, t, \mu)+(1-\alpha(t))f(t) =\varphi_2(t)+\frac{1}{2}f(t), {} \end{eqnarray} $

另一方面

$ F_1(\eta)=\sum\limits_{I}\int_{(z, \mu)\in S_I\times\Delta_I}(F^+(z)-(1-\alpha(z))f(z))\Omega(z, \eta, \mu). $

(3.3) $ \begin{eqnarray} F^+_1(t)&=&F^+(t)-\lim\limits_{\eta\rightarrow t}\sum\limits_{I}\int_{(z, \mu)\in S_I\times\Delta_I}(1-\alpha(z))f(z)\Omega(z, \eta, \mu){} \\ &=&F^+(t)-\lim\limits_{\eta\rightarrow t}(\frac{1}{2}\sum\limits_{I}\int_{(z, \mu)\in S_I\times\Delta_I}f(z)\Omega(z, \eta, \mu){} \\ &\quad& -(\tau-\frac{1}{2})\int_{(z, \mu)\in S_{12}\times\Delta_{12}}f(z)\Omega(z, \eta, \mu)){} \\ & =&\varphi_1(t)+(1-\alpha(t))f(t)-\frac{1}{2}\varphi_1(t)-\frac{1}{4}f(t) +(\tau-\frac{1}{2})\int_{(z, \mu)\in S_{12}\times\Delta_{12}}f(z)\Omega(z, \eta, \mu)){} \\ & =&\frac{1}{2}\varphi_1(t)+\frac{1}{4}f(t) +(\tau-\frac{1}{2})\int_{(z, \mu)\in S_{12}\times\Delta_{12}}f(z)\Omega(z, \eta, \mu)). \end{eqnarray} $

由(3.2)和(3.3)式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \varphi_2(t) =\frac{1}{4}f(t) +(\tau-\frac{1}{2})\int_{(z, \mu)\in S_{12}\times\Delta_{12}}f(z)\Omega(z, t, \mu)). \end{eqnarray*} $

证明完毕.

注3.1   与通常合成公式相比较, 在公式(3.1)中, 右端多出最后一项积分, 这个积分只在低维流形$ S_{12}=\partial B_1\cap \partial B_1 $上, 它将成为解奇异积分方程的障碍. 为求解奇异积分方程, 我们需要对密度函数作出某种限制, 以消除该项. 为此, 我们设$ f(z) $在$ S_{12}=\partial B_1\cap\partial B_2 $上为$ 0 $. 有必要说明的是, 在$ S_{12} $上$ f(z)=0 $, $ f(z) $在$ \partial D $上是分片$ \rm Hölder $连续的, 奇异积分$ {\bf K}f $与$ {\bf K}^2f $仍是有意义的.

我们考虑如下的奇异积分方程

(3.4) $ \begin{equation} S\varphi\equiv a\varphi+b{\bf K}\varphi+{\bf L}\varphi=f, \end{equation} $

此处$ {\bf L} $为具有弱奇性的奇异积分算子, 算子$ {\bf L} $定义为

(3.5) $ \begin{equation} {\bf L}(\varphi)(t)=\int_{\partial D_\zeta}\varphi(\zeta)k(\zeta, t), \end{equation} $

核形式$ k(\zeta, t)=k_0(\zeta, t){\rm d}S_\zeta $是一个关于$ \zeta $的$ 2n-1 $阶复的外微分式, $ k_0(\zeta, t)\in {\cal H}(\alpha, \partial D) $, 即$ k_0(\zeta, t) $对变量$ \zeta $和$ t $在$ \partial D $上分别满足Hölder条件. $ a, b $为复常数, $ \varphi(t) $是分片连续的, 在$ S_{12}=\partial B_1\cap\partial B_2 $上, $ \varphi(t)=0 $, $ k_0(\zeta, t)\in {\cal H}(\alpha, \partial D) $, $ t\in\partial D $. 相关于(3.4)式的特征方程为

(3.6) $ \begin{equation} S\varphi\equiv a\varphi+b{\bf K}\varphi=f. \end{equation} $

在下面的定理3.3, 我们在适当条件下直接给出方程(3.6)的解, 并讨论方程(3.4) 的Fredholm性. 我们先需要给出下面的定理.

定理3.2   设$ \varphi\in {\cal H}(\alpha, \partial D) $, $ k_0(\zeta, \eta)\in {\cal H}(\alpha, \partial D) $, $ 0<\alpha\leq 1 $, $ t\in\partial D $, 则

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{I}\int_{(\zeta, \mu)\in S_I\times\Delta_I} \Omega(\zeta, t, \mu)\int_{\partial D_\xi}\varphi(\xi)k_0(\xi, \zeta){\rm d}S_\xi \end{eqnarray*} $

(3.7) $ \begin{equation} = \int_{\partial D_\xi}\varphi(\xi){\rm d}S_\xi \sum\limits_{I}\int_{(\zeta, \mu)\in S_I\times\Delta_I}k_0(\xi, \zeta)\Omega(\zeta, t, \mu). \end{equation} $

证  不失一般性, 设原点在区域$ D $中, $ 0<r<1 $. 由Plemelj公式, (3.7)式的右端为

$ \begin{eqnarray*} R=\int_{\partial D_\xi}\varphi(\xi)\bigg[\lim\limits_{r\rightarrow 1} \sum\limits_{I}\int_{(\zeta, \mu)\in S_I\times\Delta_I}k_0(\xi, \zeta)\Omega(\zeta, rt, \mu)-(1-\alpha(t))k_0(\xi, t)\bigg]{\rm d}S_\xi. \end{eqnarray*} $

由于$ k_0(\zeta, \eta)\in {\cal H}(\alpha, \partial D), $

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{r\rightarrow 1} \sum\limits_{I}\int_{(\zeta, \mu)\in S_I\times\Delta_I}k_0(\xi, \zeta)\Omega(\zeta, rt, \mu) \end{eqnarray*} $

对$ \xi $满足Hölder条件. 我们有

$ \begin{eqnarray*} R&=&\lim\limits_{r\rightarrow 1}\int_{\partial D_\xi}\varphi(\xi){\rm d}S_\xi \sum\limits_{I}\int_{(\zeta, \mu)\in S_I\times\Delta_I}k_0(\xi, \zeta)\Omega(\zeta, rt, \mu)-(1-\alpha(t))\int_{\partial D_\xi}\varphi(\xi)k_0(\xi, \zeta){\rm d}S_\xi\\ & =& \lim\limits_{r\rightarrow 1}\sum\limits_{I}\int_{(\zeta, \mu)\in S_I\times\Delta_I}\Omega(\zeta, rt, \mu)\int_{\partial D_\xi}\varphi(\xi)k_0(\xi, \zeta){\rm d}S_\xi-(1-\alpha(t))\int_{\partial D_\xi}\varphi(\xi)k_0(\xi, \zeta){\rm d}S_\xi. \end{eqnarray*} $

因为$ \varphi\in {\cal H}(\alpha, \partial D), k_0(\zeta, \eta)\in {\cal H}(\alpha, \partial D) $, $ \int_{\partial D_\xi}\varphi(\xi)k_0(\xi, \zeta){\rm d}S_\xi $为一正常积分, 且对变量$ \zeta $满足Hölder条件. 由Plemelj公式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} R= \sum\limits_{I}\int_{(\zeta, \mu)\in S_I\times\Delta_I}\Omega(\zeta, t, \mu) \int_{\partial D_\xi}\varphi(\xi)k_0(\xi, \zeta){\rm d}S_\xi. \end{eqnarray*} $

证明完毕.

定理3.3   设$ \varphi\in {\cal H}(\alpha, \partial D) $, 且在$ S_{12}=\partial B_1\cap\partial B_2 $上$ \varphi=0 $, $ 0<\alpha\leq 1 $, 当$ 4a^2-b^2\neq 0 $时, 方程(3.6)有唯一的解, 且方程(3.4) 能变成一与之等价的$ \rm Fredholm $型方程.

证  应用算子$ {\bf M}=\frac{4}{4a^2-b^2}(aI-b{\bf K}) $作用于(3.6)式之两端, 再由合成公式, 可得

(3.8) $ \begin{equation} \varphi(t)={\bf M}(f)(t), \end{equation} $

这是特征方程(3.6)的唯一解. 事实上算子$ {\bf M} $有逆算子$ \widetilde{\bf M}=aI+b{\bf K} $. 用算子$ \widetilde{\bf M} $作用于(3.8)式两端之左侧, 即得到(3.6)式.

对奇异积分方程(3.4), 两端应用算子$ {\bf M} $, 再由合成公式, 即得

(3.9) $ \begin{equation} \varphi(t)+{\bf M}{\bf L}(\varphi)(t)={\bf M}(f)(t). \end{equation} $

考虑$ {\bf M}{\bf L}\varphi $如下

$ \begin{eqnarray*} {\bf M}{\bf L}\varphi(t) & =&\frac{4a}{4a^2-b^2}\int_{\partial D_\zeta}\varphi(\zeta)k_0(\zeta, t){\rm d}S_\zeta \\ && -\frac{4b}{4a^2-b^2} \sum\limits_{I}\int_{(\zeta, \mu)\in S_I\times\Delta_I} k_0(\zeta, t){\rm d}S_\zeta\int_{\partial D_\xi}\varphi(\xi)k_0(\xi, \zeta){\rm d}S_\xi. \end{eqnarray*} $

由定理3.2, 上式右端第二项中的积分, 我们有

$ \begin{eqnarray*} {\bf ML}\varphi(t)=\int_{\partial D_\zeta}\varphi(\zeta) L(\zeta, t){\rm d}S_{\zeta}, \end{eqnarray*} $

此处$ {\bf ML} $的核函数为

$ \begin{eqnarray*} L(\zeta, t)=\frac{4a}{4a^2-b^2}k_0(\zeta, t)-\frac{4b}{4a^2-b^2} \sum\limits_{I}\int_{(z, \mu)\in S_I\times\Delta_I} k_0(z, \xi)\Omega(z, t, \mu). \end{eqnarray*} $

因为$ k_0(\zeta, t) $与$ k_0(\zeta, \xi) $都属于$ {\cal H}(\alpha, \partial D), 0<\alpha\leq 1 $,

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{I}\int_{(z, \mu)\in S_I\times\Delta_I} k_0(z, \xi)\Omega(z, t, \mu) \end{eqnarray*} $

对变量$ \zeta $与$ t $仍然属于$ {\cal H}(\beta, \partial D)(0<\beta\leq 1) $. 因此$ L(\zeta, t) $是一个关于变量变量$ \zeta $与$ t $满足Hölder条件的函数. 由此我们得到方程(3.9) 为一Fredholm方程.

另一方面, 用算子$ \widetilde{\bf M}=aI+b{\bf K} $作用于(3.9)式两端的左侧即得(3.4)式. 因此(3.9)式等价于(3.4)式. 证明完毕.

下面我们考虑奇异积分方程组

(3.10) $ \begin{equation} A\left( \begin{array}{c} \varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_m \\ \end{array} \right) +B{\bf K}\left( \begin{array}{c} \varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_m \\ \end{array} \right) +T\left( \begin{array}{c} \varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_m \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} f_1 \\ \vdots \\ f_m \\ \end{array} \right), \end{equation} $

此处$ A $与$ B $为$ m\times m $阶复矩阵, $ f_j\in {\cal H}( \alpha, \partial D) $, $ j=1, \cdots, m $,

$ \begin{eqnarray*} T=(T_{ij})_{1\leq i, j\leq m}, \quad T_{ij}\varphi_j=\int_{\partial D}\varphi_j(\zeta)k_{ij}(\zeta, t), \quad j=1, \cdots, m, \end{eqnarray*} $

每一个核形式$ k_{ij}(\zeta, t) $是关于变量$ \zeta $与$ t $满足Hölder条件的$ 2m-1 $阶复外微分形式. 置

$ \begin{eqnarray*} \varphi=(\varphi_1, \cdots, \varphi_m)^T, \quad f=(f_1, \cdots, f_m)^T, \end{eqnarray*} $

则(3.10)式之特征方程组为

(3.11) $ \begin{equation} A\varphi+B{\bf K}\varphi=f. \end{equation} $

我们有如下的结论.

定理3.4   设$ \varphi_j\in {\cal H}(\alpha, \partial D) $, 且在$ S_{12}=\partial B_1\cap\partial B_2 $上$ \varphi_j=0 $, $ j=1, \cdots, m $, $ 0<\alpha\leq 1 $, 当$ A^{-1} $, $ B^{-1} $, $ (AB^{-1}A-\frac{1}{4}B)^{-1} $皆存在时, 特征方程组(3.11)有唯一解, 且方程组(3.10)可以变为一个与之等价的$ \rm Fredholm $型方程组.

证  对(3.11)式两端应用算子$ {\bf M}=(AB^{-1}A-\frac{1}{4}B)^{-1}(AB^{-1}I-{\bf K}) $, 即可得到解

(3.12) $ \begin{equation} \varphi={\bf M}f. \end{equation} $

用算子$ \widetilde{{\bf M}}=AI+B{\bf K} $作用于(3.12)式之两端左侧，即可得到(3.11)式. 可知(3.12)式是方程(3.11)之唯一解.

再应用算子$ {\bf M} $作用于(3.10)式的两端之左侧, 我们有

(3.13) $ \begin{equation} \varphi+{\bf M}{\bf T}\varphi={\bf M}f, \end{equation} $

由定理3.3的证明, 可知$ {\bf MT}\varphi $中奇异积分中每一项$ {\bf MT}_{ij}\varphi_{j}(t) $对变量$ t $满足Hölder条件, 因此(3.13)式为一Fredholm型方程, 且(3.13)式等价于(3.10)式. 为此, 只需应用算子$ \widetilde{{\bf M}}=AI+B{\bf K} $于(3.13)式的两端之左侧, 即可得到(3.10)式. 定理证毕.