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数学物理学报, 2022, 42(1): 131-138 doi:

论文

一类带阻尼的吸引型奇性Duffing方程周期正解的存在性

夏晨阳, 王振辉,, 程志波

河南理工大学数学与信息科学学院 河南焦作 454003

Positive Periodic Solutions for a Damped Duffing Equation with Singularity of Attractive Type

Xia Chenyang, Wang Zhenhui,, Cheng Zhibo

School of Mathematics and Information Science, Henan Polytechnic University, Henan Jiaozuo 454003

通讯作者: 王振辉, E-mail: tiantian@hpu.edu.com

收稿日期: 2021-03-23  

基金资助: 国家自然科学基金.  11501170
河南省高校科技创新人才项目.  21HASTIT025

Received: 2021-03-23  

Fund supported: the NSFC.  11501170
the Scientific and Technological Innovation Talent Project for the Universities of Henan Provience.  21HASTIT025

Abstract

In this paper, we consider a damped Duffing equation with singularity of attractive type

u(t)+Cu(t)+g(u(t))=e(t),
where C is a constant and C0, g is a continuous function and has an attractive singularity at u=0. By applications of Manasevich-Mawhin continuation theorem and some analysis skill, we establish some sufficient conditions for the existence of positive T-periodic solutions for this equation.

Keywords: Duffing equation ; Manasevich-Mawhin theorem ; Singularity of attractive type ; Strong and weak singular ; Positive periodic solution

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本文引用格式

夏晨阳, 王振辉, 程志波. 一类带阻尼的吸引型奇性Duffing方程周期正解的存在性. 数学物理学报[J], 2022, 42(1): 131-138 doi:

Xia Chenyang, Wang Zhenhui, Cheng Zhibo. Positive Periodic Solutions for a Damped Duffing Equation with Singularity of Attractive Type. Acta Mathematica Scientia[J], 2022, 42(1): 131-138 doi:

1 引言

奇性Duffing方程近年来广泛出现于各种学科中, 如等离子体理论、电子束模型[1], Liebau现象[2], 等. 许多实际中的物理现象可转化为奇性Duffing方程模型进行研究, 如在文献[3, 4]中的重力和垂直攻丝作用下的垂直颗粒柱动力学模型等, 所以对奇性Duffing方程的研究具有重要的意义.

关于奇性Duffing方程周期正解的研究最早可追溯到Lazer和Solimini[5]的工作. 在1987年, Lazer和Solimini研究两类奇性微分方程

u(t)+νu(t)ρ=p(t)
(1.1)

u(t)νu(t)ρ=p(t)
(1.2)

周期正解的存在性问题, 其中pC(R,R)是一个T -周期函数, ν是一个正常数. 利用上下解方法, 作者证明方程(1.1)和(1.2)存在周期正解. 并且方程(1.1)称为吸引型奇性微分方程, 方程(1.2)称为排斥型奇性微分方程. 此外, 如果0<ρ<1称为弱奇性, 如果ρ1称为强奇性.

Lazer和Solimini的工作吸引了很多学者对奇性Duffing方程周期正解的关注[6-15]. 在1993年, 利用Poincaré-Birkhoff扭转定理, Fonda, Manásevich和Zanolin[9]讨论了下列Duffing方程

u(t)+g(u(t))=p(t)
(1.3)

存在无限多个周期正解, 其中gC((A,B),R), 这里A<B+, 并且g满足广义的超线性情况, 也就是说

lim

\lim\limits_{u\to A^+}\frac{g(u)}{(u-c)}=\lim\limits_{u\to B^-}\frac{g(u)}{(u-c)}=+\infty,

其中 G(u):=\int^u_cg(s){\rm d}s , c\in(A, B) . 在2012年, 程志波和任景莉[6]继续研究方程(1.3), 其中 g 满足强排斥型奇性条件, 即

\lim\limits_{u\to 0^+}g(u)=-\infty\ \mbox{和}\ \int^1_0g(u){\rm d}u=-\infty.

利用改进的Poincaré-Birkhoff扭转定理和超二次位势条件代替超线性条件, 他们研究了方程(1.3)在强排斥型奇性条件下存在无限多个周期正解. 在2018年, 姚绍文和程志波[15]研究了下列带阻尼的奇性Duffing方程

\begin{equation} { } u''(t)+Cu'(t)+g(u(t))=e(t), \end{equation}
(1.4)

其中 C 是一个常数且 C\neq0 , g\in C((0, +\infty), {{\Bbb R}} ) 是连续函数并且在原点 u=0 有强排斥型奇性, e(t)\in C({{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} ) 是一个 T -周期函数并且 \int^{T}_{0}e(t){\rm d}t=0 . 利用Manasevich-Mawhin连续性定理, 作者证明了方程(1.4)有一个周期正解. 最近, 利用满足耗散系统的扭转定理, 程志波和袁期刚[8]证明了方程(1.4)在强排斥型奇性条件下存在多个周期正解.

上述文章主要讨论了强排斥型奇性Duffing方程周期正解的存在性, 而如果奇性Duffing方程具有吸引型奇性, 如果奇性Duffing方程强弱奇性同时存在, 这些问题有待进一步的研究. 显然, 由于吸引型奇性与排斥型奇性是相对立的, 在文献[6, 8, 9, 15]中研究排斥型奇性Duffing方程周期正解的方法在研究吸引型奇性Duffing方程时已不再直接适用, 这就要求我们不得不寻求其它方法研究吸引型奇性Duffing方程(1.4)周期正解的存在性. 本文中, 我们研究方程(1.4)在吸引型奇性条件下的周期正解的存在性. 利用Manasevich-Mawhin连续性定理, 我们分别讨论了强吸引型奇性Duffing方程(1.4)以及具有强弱吸引型奇性Duffing方程(1.4)等周期正解的存在性, 并且我们的非线性项 g u\to\infty 时满足次线性, 半线性和超线性条件.

2 主要结论

首先我们考虑方程(1.4)的同伦方程

\begin{equation} { } u''(t)+\lambda Cu'(t)+\lambda g(u(t))=\lambda e(t), \end{equation}
(2.1)

其中 \lambda\in(0, 1] .

借助于文献[10, 定理3.1], 我们可以得到下面结论.

引理2.1  假设存在三个正常数 E_1 , E_2 , E_3 , 且 E_1<E_2 , 满足下列条件

(ⅰ) 对于所有的 t\in[0, T] , 方程(2.1)的每一个正周期解 u(t) 满足

E_1<u(t)<E_2, \|u'(t)\|<E_3,

这里 \|u'(t)\|:=\max\limits_{t\in[0, T]}|u'(t)| .

(ⅱ) 方程 g(u(t))=0 的任意正数解 u(t)=E 满足 E\in(E_1, E_2) .

(ⅲ) 当 u(t)=E_1 u(t)=E_2 时, 有 g(E_1) \cdot g(E_2)<0. 则方程(1.4)至少有一个 T -周期正解.

接下来, 我们考虑方程(1.4)在吸引型奇性条件下周期正解的存在性, 并给出我们的主要结论.

定理2.1  假设下列条件成立

{\rm (H_1)} 存在正常数 D_1, D_2 使得 g(u)>0 对所有的 u\in(0, D_1), 并且 g(u)<0 对所有的 u\in(D_2, +\infty) ;

{\rm (H_2)} (强奇性条件在 u=0 ) \int^1_0g(u){\rm d}u=+\infty .

则方程(1.4)至少有一个 T -周期正解.

  首先, 我们断言方程(2.1)的所有可能的解都是有界的. 令 u(t)\in C^1_T:=\{u\in C^1, u(t+T)\equiv u(t), u'(t+T)\equiv u'(t), \forall t\in{{\Bbb R}} \} 是方程(2.1)的任意一个 T -周期解.

对方程(2.1)左右两边在区间 [0, T] 上进行积分, 我们得到

\begin{equation} { } \int^T_0g(u(t)){\rm d}t=0. \end{equation}
(2.2)

利用积分中值定理, 我们知道存在一个常数 \xi 使得

g(u(\xi))=0.

由条件 {\rm (H_1)} , 我们知道存在两个正常数 D_1, D_2 使得

\begin{equation} { } D_1\leq u(\xi)\leq D_2. \end{equation}
(2.3)

则我们有

|u(t)|=\left|u(\xi)+\int^t_\xi u'(s){\rm d}s\right|\leq D_2+\int^t_\xi|u'(s)|{\rm d}s, t\in[\xi, \xi+T],

并且

|u(t)|=|u(t-T)|=\left|u(\xi)-\int_{t-T}^\xi u'(s){\rm d}s\right|\leq D_2 +\int_{t-T}^\xi |u'(s)|{\rm d}s, t\in[\xi, \xi+T].

结合上面两个不等式, 我们得到

\begin{eqnarray} { } \|u\|&:=&\max\limits_{t\in[0, T]}|u(t)|=\max\limits_{t\in[\xi, \xi+T]}|u(t)|{}\\ &\leq&\max\limits_{t\in[\xi, \xi+T]}\left\{D_2+\frac{1}{2}\left(\int^t_\xi|u'(s)|{\rm d}s+\int^\xi_{t-T}|u'(s)|{\rm d}s\right)\right\}{}\\ &\leq &D_2+\frac{1}{2}\int^T_0|u'(s)|{\rm d}s. \end{eqnarray}
(2.4)

因为 u'(t) T -周期的, (2.1)式左右两边同乘以 u'(t) 并进行 0 T 的积分, 我们有

\begin{eqnarray} { } 0&=&\int^T_0u''(t)u'(t){\rm d}t{}\\ &=&-\lambda\int^T_0C|u'(t)|^2{\rm d}t-\lambda\int^T_0g(u(t))u'(t){\rm d}t+\lambda\int^T_0e(t)u'(t){\rm d}t. \end{eqnarray}
(2.5)

\int^T_0g(u(t))u'(t){\rm d}t=0 代入到(2.5)式, 并且因为 C\neq0 , 我们有

|C|\int^T_0|u'(t)|^2{\rm d}t=\left|\int^T_0C|u'(t)|^2{\rm d}t\right|=\left|\int^T_0e(t)u'(t){\rm d}t\right|\leq\int^T_0|e(t)||u'(t)|{\rm d}t.

由Hölder不等式, 得

|C|\int^T_0|u'(t)|^2{\rm d}t\leq\|e\|\int^T_0|u'(t)|{\rm d}t \leq\|e\|T^{\frac{1}{2}}\left(\int^T_0|u'(t)|^2{\rm d}t\right)^{\frac{1}{2}},

我们有

\begin{equation} { } \int^T_0|u'(t)|^2{\rm d}t\leq\left(\frac{\|e\|T^{\frac{1}{2}}}{|C|}\right)^{2}:= M_1', \end{equation}
(2.6)

其中 \|e\|:=\max\limits_{t\in{{\Bbb R}} }|e(t)|.

通过Hölder不等式和(2.4)式, 我们有

u(t)\leq D_2+\frac{1}{2}\int^T_0|u'(s)|{\rm d}s\leq D_2+\frac{1}{2}T^{\frac{1}{2}}\left(\int^{T}_{0}|u'(t)|^{2}{\rm d}t\right)^{\frac{1}{2}}\leq D_2+\frac{1}{2}T^{\frac{1}{2}}(M_1')^{\frac{1}{2}}:=M_1.

另一方面, 由(2.2)式, 我们有

\begin{eqnarray} { } \int^T_0|g(u(t))|{\rm d}t&=&\int_{g(u(t))\geq0}g(u(t)){\rm d}t-\int_{g(u(t))\leq0}g(u(t)){\rm d}t{}\\ & =&-2\int_{g(u(t))\leq0}g(u(t)){\rm d}t \leq-2\int^T_0g^-(u(t)){\rm d}t, \end{eqnarray}
(2.7)

其中 g^-(u):=\min\{g(u), 0\} .

因为 g^-(u(t))\leq 0 , 由 {\rm (H_1)} 可得, u(t)\geq D_1 . 从而有

\begin{eqnarray} { } \int^T_0|g(u(t))|{\rm d}t\leq 2\int^T_0(-g^-(u(t))){\rm d}t \leq 2T\|g^-_{M_1}\|, \end{eqnarray}
(2.8)

其中 \|g^-_{M_1}\|:=\max\limits_{D_1\leq u\leq M_1}(-g^-(u)).

又因为 u(0)=u(T) , 则存在一点 t_1\in(0, T) 使得 u'(t_1)=0 , 由(2.4)和(2.8)式, 可得

\begin{eqnarray} { } \|u'\|&\leq&\frac{1}{2}\int^T_0|u''(t)|{\rm d}t{}\\ &\leq&\frac{\lambda}{2}\left(\int^T_0|C||u'(t)|{\rm d}t+\int^T_0|g(u(t))|{\rm d}t+\int^T_0|e(t)|{\rm d}t\right){}\\ &\leq&\frac{\lambda}{2}\left(|C|T^{\frac{1}{2}}\left(\int^T_0|u'(t)|^2{\rm d}t\right)^{\frac{1}{2}} +\int^T_0|g(u(t))|{\rm d}t+\int^T_0|e(t)|{\rm d}t\right){}\\ &\leq&\frac{\lambda}{2}\left(|C|T^{\frac{1}{2}}(M_1')^{\frac{1}{2}}+2T\|g^-_{M_1}\|+T\|e\|\right):=\frac{\lambda}{2} M_2. \end{eqnarray}
(2.9)

方程(2.1)左右两边同乘以 u'(t) 并且对其在 [\xi, t] 上进行积分, 这里 \xi\in[0, T] , 则有

\begin{eqnarray} { } \lambda\int^{u(t)}_{u(\xi)}g(u){\rm d}u&=&\lambda\int^t_{\xi}g(u(s))u'(s){\rm d}s{}\\ & =&-\int^t_{\xi}u''(s)u'(s){\rm d}s-\lambda\int^t_{\xi}Cu'(s)u'(s){\rm d}s +\lambda\int^t_{\xi}e(s)u'(s){\rm d}s. \end{eqnarray}
(2.10)

由(2.10)式, 得

\begin{eqnarray} { } \left|\lambda\int^{u(t)}_{u(\xi)}g(u){\rm d}u\right|\leq\left|\int^t_{\xi}u''(s)u'(s){\rm d}s\right|+\left|\lambda\int^t_{\xi}Cu'(s)u'(s){\rm d}s\right|+\left|\lambda\int^t_{\xi}e(s)u'(s){\rm d}s\right|. \end{eqnarray}
(2.11)

由(2.9)式, 得

\begin{eqnarray*} \left|\int^t_{\xi}u''(s)u'(s){\rm d}s\right|&\leq&\int^t_{\xi}|u''(s)||u'(s)|{\rm d}s \leq\|u'\|\int^T_0|u''|{\rm d}t\\ & \leq&\|u'\| \left(\int^T_0|C||u'(t)|{\rm d}t+\int^T_0|g(u(t))|{\rm d}t+\int^T_0|e(t)|{\rm d}t\right)\\ & \leq&\lambda M_2^2. \end{eqnarray*}

此外, 由(2.9)式, 有

\begin{eqnarray*} \left|\int^t_{\xi}Cu'(s)u'(s){\rm d}s\right|\leq|C|M_2^2T , \left|\int^t_{\xi}e(s)u'(s)|{\rm d}s\right|\leq M_2\|e\|T. \end{eqnarray*}

结合(2.11)式, 我们有

\begin{equation} { } \left|\int^{u(t)}_{u(\xi)}g(u){\rm d}u\right|\leq M_2^2(1+|C|T)+M_2\|e\|T:=M_3'. \end{equation}
(2.12)

由条件 {\rm (H_2)} , 我们知道存在一个常数 M_3>0 使得

\begin{equation} { } u(t)\geq M_3, \forall t\in[\xi, T]. \end{equation}
(2.13)

类似地, 我们可以考虑 t\in[0, \xi] 的情形.

E_1<\min\{D_1, M_3\} , E_2>\max\{D_2, M_1\} , E_3>M_2 , 不难看出, 对于所有的 t\in[0, T] , 方程(2.1)的每一个正周期解 u(t) 满足 E_1<u(t)<E_2, \|u'(t)\|<E_3, 所以引理2.1的条件(ⅰ)是满足的. 对于方程 g(u(t))=0 的任意正数解 u(t)=E 满足 E\in(E_1, E_2) . 因此引理2.1的条件(ⅱ)也是满足的. 此外, 由于 E_2>D_2 , E_1<D_1 , 由条件 {\rm (H_1)} , 我们得到

g(E_1)>0 \ \mbox{和}\ g(E_2)<0,

因此条件(ⅲ)成立. 由引理2.1, 方程(1.4)至少有一个 T -周期正解.

注2.1  定理2.1的方法仅仅适用于研究方程(1.4)在强吸引型奇性条件下周期正解的存在性, 而对于方程(1.4)在弱吸引型奇性条件下周期正解的存在性却不能研究, 这主要是因为如果 g u=0 处满足弱奇性, 即

\begin{equation} { } \int^1_0 g(u){\rm d}u<+\infty. \end{equation}
(2.14)

显然, (2.14)式和条件 {\rm (H_2)} 是相对立的, 并且利用(2.14)式, 我们不能得到(2.13)式. 则我们也就不能得到解 u 的下界. 因此, 我们不得不寻找其他方法研究方程(1.4)在弱吸引型奇性条件下周期正解的存在性.

接下来,我们研究方程(1.4)在弱奇性条件下周期正解的存在性.

定理2.2  假设下列条件成立

{\rm (H_3)} g(u) 为单调递增函数;

{\rm (H_4)} g^{-1}(e_{*})>\frac{\|e\|T}{2|C|} , 其中 e_{*}:=\min\limits_{t\in[0, T]}e(t) ,

则方程(1.4)至少有一个 T -周期正解.

  考虑方程(2.1). 首先, 我们断言方程(2.1)的所有可能的解都是有界的. 令 u(t)\in C^1_T 是方程(2.1)的任意一个 T -周期正解. 由条件 {\rm (H_3)} , 我们可设 t^{*} , t_{*} 分别表示 u(t) 的最大值点和最小值点. 故有 u'(t^{*})=0 u'(t_{*})=0, 并且 u''(t^{*})\leq0, u''(t_{*})\geq0. 代入 t^{*} 到方程(2.1), 我们得 g(u(t^{*}))\geq e(t^{*})\geq e_{*}. 由条件 {\rm (H_3)} , 可得 u(t^{*})\geq g^{-1}(e_{*}). 同理, 我们有 u(t_{*})\leq g^{-1}(e^{*}). 其中 e^{*}:=\max \limits_{t\in[0, T]} e(t).

考虑到 u(t) 的连续性, 存在 \xi_{1}\in(0, T) , 有

g^{-1}(e_{*})\leq u(\xi_{1})\leq g^{-1}(e^{*}).

由(2.4)式, 得

\begin{equation} { } \|u\|\leq g^{-1}(e^{*})+\frac{1}{2}\int^T_0|u'(t)|{\rm d}t. \end{equation}
(2.15)

由Hölder不等式, (2.6)和(2.15)式, 我们有

\begin{eqnarray*} u(t)&\leq &g^{-1}(e^{*})+\frac{1}{2}\int^{T}_{0}|u'(t)|{\rm d}t \\ &\leq& g^{-1}(e^{*})+\frac{1}{2}T^{\frac{1}{2}}\left(\int^{T}_{0}|u'(t)|^{2}{\rm d}t\right)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &g^{-1}(e^{*})+\frac{1}{2}T^{\frac{1}{2}}(M'_{1})^{\frac{1}{2}}:=M_{4}, \end{eqnarray*}

另一方面, 我们有

\begin{eqnarray*} u(t)&= &u(\xi_{1})+\frac{1}{2}\left(\int^{t}_{\xi_{1}}u'(s){\rm d}s-\int^{\xi_{1}}_{t-T}u'(s){\rm d}s\right)\\ &\geq &u(\xi_{1})-\frac{1}{2}\left(\int^{t}_{\xi_{1}}|u'(s)|{\rm d}s+\int^{\xi_{1}}_{t-T}|u'(s)|{\rm d}s\right)\\ &\geq &u(\xi_{1})-\frac{1}{2}\int^{T}_{0}|u'(s)|{\rm d}s\\ &\geq & g^{-1}(e_{*})-\frac{1}{2}T^{\frac{1}{2}}\left(\int^{T}_{0}|u'(s)|^{2}{\rm d}s\right)^{\frac{1}{2}}\\ &\geq &g^{-1}(e_{*})-\frac{\|e\|T}{2|C|}:=M_{5}. \end{eqnarray*}

因为 u(0)=u(T) , 则存在一点 t_2\in(0, T) 使得 u'(t_2)=0 , 由(2.4)式, 可得

\begin{eqnarray*} \|u'\|&\leq&\frac{1}{2}\int^{T}_{0}|u''(t)|{\rm d}t\\ &\leq&\frac{\lambda}{2}\left(\int^{T}_{0}|C||u'(t)|{\rm d}t+\int^{T}_{0}|g(u(t))|{\rm d}t+\int^{T}_{0}|e(t)|{\rm d}t\right)\\ &\leq&\frac{\lambda}{2}\left(|C|T^{\frac{1}{2}}(\int^{T}_{0}|u'(t)|^{2}{\rm d}t)^{\frac{1}{2}}+\int^{T}_{0}|g(u(t))|{\rm d}t +\int^{T}_{0}|e(t)|{\rm d}t\right)\\ &\leq& \frac{\lambda}{2}\left(\|e\|T+|g_{_{1M}}|+\|e\|T\right):=M_{6}, \end{eqnarray*}

其中 |g_{_{1M}}|:=\max\limits_{M_{5}\leq u\leq M_{4}}|g(u)| . 接下来的证明过程与定理2.1类似.

通过定理2.2, 我们能得到下面这个定理.

定理2.3  假设下列条件成立

{\rm (H_5)} g(u) 为单调递减函数;

{\rm (H_6)} g^{-1}(e^{*})>\frac{\|e\|T}{2|C|} , 其中 e^{*}:=\max \limits_{t\in[0, T]}e(t) .

则方程(1.4)至少有一个 T -周期正解.

作为定理2.1和定理2.3的应用, 我们给出下面的例题.

例2.1  考虑下面带阻尼项的强吸引型奇性Duffing方程

\begin{equation} { } u''(t)+Cu'(t)-u+\frac{1}{u^2}=\cos 2t, \end{equation}
(2.16)

其中 C 是任意一个常数且 C\neq0 . 对比方程(2.16)和方程(1.4), 我们看到 g(u)=-u+\frac{1}{u^2} , e(t)=\cos 2t, T=\pi. 显然, 条件 {\rm (H_2)} 是成立的, 取 D_1=1 D_2=2 使得条件 {\rm (H_1)} 成立. 因此, 通过定理2.1, 我们能得到方程(2.16)至少存在一个 \pi -周期解.

例2.2  考虑下面带阻尼项的弱吸引型奇性Duffing方程

\begin{equation} { } u''(t))+4u'(t)+\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\sin t, \end{equation}
(2.17)

对比方程(2.17)和方程(1.4), 我们看到 g(u)=\frac{1}{\sqrt{u}} , e(t)=\sin t, C=4, T=2\pi. 显然, 条件 {\rm (H_5)} 是成立的, 并且 g^{-1}(e^{*})=g^{-1}(1)=1 , \frac{\|e\|T}{2|C|}=\frac{\pi}{4} , 使得条件 {\rm (H_6)} 成立. 因此, 通过定理2.3, 我们能得到方程(2.17)至少存在一个 2\pi -周期解.

参考文献

Ding T .

A boundary value problem for the periodic Brillouin focusing system

Acta Sci Natru Univ Pekinensis, 1965, 11 (1): 31- 38

[本文引用: 1]

Liebau G .

Die bedeutung der tragheitskrafte fur die dynamik des blukreislaufs

Zs Kreislaufforschung, 1957, 46: 428- 438

[本文引用: 1]

Blackmore D , Rosato A , et al.

Tapping dynamics for a column of particles and beyond

J Mech Mater Struct, 2011, 6: 71- 86

DOI:10.2140/jomms.2011.6.71      [本文引用: 1]

Younis B . MEMS Linear and Nonlinear Statics and Dynamics. New York: Springer, 2011

[本文引用: 1]

Lazer A , Solimini S .

On periodic solutions of nonlinear differential equations with singularities

Proc Amer Math Soc, 1987, 99 (1): 109- 114

DOI:10.1090/S0002-9939-1987-0866438-7      [本文引用: 1]

Cheng Z , Ren J .

Periodic and subharmonic solutions for Duffing equation with a singularity

Discrete Contin Dyn Syst, 2012, 32 (5): 1557- 1574

DOI:10.3934/dcds.2012.32.1557      [本文引用: 3]

Cheng Z , Ren J .

Periodic solution for second order damped differential equations with attractive-repulsive singularities

Rocky Mountain J Math, 2018, 48 (3): 753- 768

Cheng Z , Yuan Q .

Damped superlinear Duffing equation with strong singularity of repulsive type

J Fixed Point Theory Appl, 2020, 22 (2): 1- 21

[本文引用: 2]

Fonda A , Zanolin F .

Subharmonic solutions for some second-order differential equatins with singularities

SIAM J Math Anal, 1993, 24 (5): 1294- 1311

DOI:10.1137/0524074      [本文引用: 2]

Del Pino M , Manásevich R , Montero A .

T-periodic solutions for some second order differential equations with singularities

Proc Roy Soc Edinb, 1992, 120: 231- 243

DOI:10.1017/S030821050003211X      [本文引用: 1]

Del Pino M , Manásevich R .

Infinitely many T-periodic solutions for a problem ariding in nonlinear elasticity

J Differential Equations, 1993, 103: 260- 277

DOI:10.1006/jdeq.1993.1050     

Torres P .

Weak singularities may help periodic solutions to exist

J Differential Equations, 2007, 232 (1): 277- 284

DOI:10.1016/j.jde.2006.08.006     

Xia J , Wang Z .

Existence and multiplicity of periodic solutions for the Duffing equation with singularity

Proc Roy Soc Edinb, 2007, 137 (3): 625- 645

DOI:10.1017/S0308210505000879     

Wang H .

Positive periodic solutions of singular systems with a parameter

J Differential Equations, 2010, 249 (12): 2986- 3002

DOI:10.1016/j.jde.2010.08.027     

姚绍文, 程志波.

一类带阻尼项的奇性Duffing方程周期解的存在性

数学物理学报, 2018, 38A (3): 543- 548

DOI:10.3969/j.issn.1003-3998.2018.03.011      [本文引用: 3]

Yao S , Cheng Z .

Positive periodic solution for a damped Duffing equation with singularity

Acta Math Sci, 2018, 38A (3): 543- 548

DOI:10.3969/j.issn.1003-3998.2018.03.011      [本文引用: 3]

Manasevich R , Mawhin J .

Periodic solutions for nonlinear systems with p-Laplacian-like operator

J Differential Equations, 1998, 145 (2): 367- 393

DOI:10.1006/jdeq.1998.3425     

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