一类带阻尼的吸引型奇性Duffing方程周期正解的存在性
Positive Periodic Solutions for a Damped Duffing Equation with Singularity of Attractive Type
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收稿日期: 2021-03-23
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Received: 2021-03-23
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In this paper, we consider a damped Duffing equation with singularity of attractive type
where
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夏晨阳, 王振辉, 程志波.
Xia Chenyang, Wang Zhenhui, Cheng Zhibo.
1 引言
关于奇性Duffing方程周期正解的研究最早可追溯到Lazer和Solimini[5]的工作. 在1987年, Lazer和Solimini研究两类奇性微分方程
和
周期正解的存在性问题, 其中
存在无限多个周期正解, 其中
和
其中
利用改进的Poincaré-Birkhoff扭转定理和超二次位势条件代替超线性条件, 他们研究了方程(1.3)在强排斥型奇性条件下存在无限多个周期正解. 在2018年, 姚绍文和程志波[15]研究了下列带阻尼的奇性Duffing方程
其中
上述文章主要讨论了强排斥型奇性Duffing方程周期正解的存在性, 而如果奇性Duffing方程具有吸引型奇性, 如果奇性Duffing方程强弱奇性同时存在, 这些问题有待进一步的研究. 显然, 由于吸引型奇性与排斥型奇性是相对立的, 在文献[6, 8, 9, 15]中研究排斥型奇性Duffing方程周期正解的方法在研究吸引型奇性Duffing方程时已不再直接适用, 这就要求我们不得不寻求其它方法研究吸引型奇性Duffing方程(1.4)周期正解的存在性. 本文中, 我们研究方程(1.4)在吸引型奇性条件下的周期正解的存在性. 利用Manasevich-Mawhin连续性定理, 我们分别讨论了强吸引型奇性Duffing方程(1.4)以及具有强弱吸引型奇性Duffing方程(1.4)等周期正解的存在性, 并且我们的非线性项
2 主要结论
首先我们考虑方程(1.4)的同伦方程
其中
借助于文献[10, 定理3.1], 我们可以得到下面结论.
引理2.1 假设存在三个正常数
(ⅰ) 对于所有的
这里
(ⅱ) 方程
(ⅲ) 当
接下来, 我们考虑方程(1.4)在吸引型奇性条件下周期正解的存在性, 并给出我们的主要结论.
定理2.1 假设下列条件成立
则方程(1.4)至少有一个
证 首先, 我们断言方程(2.1)的所有可能的解都是有界的. 令
对方程(2.1)左右两边在区间
利用积分中值定理, 我们知道存在一个常数
由条件
则我们有
并且
结合上面两个不等式, 我们得到
因为
将
由Hölder不等式, 得
我们有
其中
通过Hölder不等式和(2.4)式, 我们有
另一方面, 由(2.2)式, 我们有
其中
因为
其中
又因为
方程(2.1)左右两边同乘以
由(2.10)式, 得
由(2.9)式, 得
此外, 由(2.9)式, 有
结合(2.11)式, 我们有
由条件
类似地, 我们可以考虑
设
因此条件(ⅲ)成立. 由引理2.1, 方程(1.4)至少有一个
注2.1 定理2.1的方法仅仅适用于研究方程(1.4)在强吸引型奇性条件下周期正解的存在性, 而对于方程(1.4)在弱吸引型奇性条件下周期正解的存在性却不能研究, 这主要是因为如果
显然, (2.14)式和条件
接下来,我们研究方程(1.4)在弱奇性条件下周期正解的存在性.
定理2.2 假设下列条件成立
则方程(1.4)至少有一个
证 考虑方程(2.1). 首先, 我们断言方程(2.1)的所有可能的解都是有界的. 令
考虑到
由(2.4)式, 得
由Hölder不等式, (2.6)和(2.15)式, 我们有
另一方面, 我们有
因为
其中
通过定理2.2, 我们能得到下面这个定理.
定理2.3 假设下列条件成立
则方程(1.4)至少有一个
作为定理2.1和定理2.3的应用, 我们给出下面的例题.
例2.1 考虑下面带阻尼项的强吸引型奇性Duffing方程
其中
例2.2 考虑下面带阻尼项的弱吸引型奇性Duffing方程
对比方程(2.17)和方程(1.4), 我们看到
参考文献
A boundary value problem for the periodic Brillouin focusing system
Die bedeutung der tragheitskrafte fur die dynamik des blukreislaufs
Tapping dynamics for a column of particles and beyond
DOI:10.2140/jomms.2011.6.71 [本文引用: 1]
On periodic solutions of nonlinear differential equations with singularities
DOI:10.1090/S0002-9939-1987-0866438-7 [本文引用: 1]
Periodic and subharmonic solutions for Duffing equation with a singularity
DOI:10.3934/dcds.2012.32.1557 [本文引用: 3]
Periodic solution for second order damped differential equations with attractive-repulsive singularities
Damped superlinear Duffing equation with strong singularity of repulsive type
Subharmonic solutions for some second-order differential equatins with singularities
T-periodic solutions for some second order differential equations with singularities
DOI:10.1017/S030821050003211X [本文引用: 1]
Infinitely many T-periodic solutions for a problem ariding in nonlinear elasticity
Weak singularities may help periodic solutions to exist
Existence and multiplicity of periodic solutions for the Duffing equation with singularity
Positive periodic solutions of singular systems with a parameter
一类带阻尼项的奇性Duffing方程周期解的存在性
DOI:10.3969/j.issn.1003-3998.2018.03.011 [本文引用: 3]
Positive periodic solution for a damped Duffing equation with singularity
DOI:10.3969/j.issn.1003-3998.2018.03.011 [本文引用: 3]
Periodic solutions for nonlinear systems with p-Laplacian-like operator
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