奇性Duffing方程近年来广泛出现于各种学科中, 如等离子体理论、电子束模型^[1], Liebau现象^[2], 等. 许多实际中的物理现象可转化为奇性Duffing方程模型进行研究, 如在文献[3, 4]中的重力和垂直攻丝作用下的垂直颗粒柱动力学模型等, 所以对奇性Duffing方程的研究具有重要的意义.

关于奇性Duffing方程周期正解的研究最早可追溯到Lazer和Solimini^[5]的工作. 在1987年, Lazer和Solimini研究两类奇性微分方程

(1.1) $ \begin{equation} { } u''(t)+\frac{\nu}{u(t)^{\rho}}=p(t) \end{equation} $

和

(1.2) $ \begin{equation} { } u''(t)-\frac{\nu}{u(t)^{\rho}}=p(t) \end{equation} $

周期正解的存在性问题, 其中$ p\in C({{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} ) $是一个$ T $ -周期函数, $ \nu $是一个正常数. 利用上下解方法, 作者证明方程(1.1)和(1.2)存在周期正解. 并且方程(1.1)称为吸引型奇性微分方程, 方程(1.2)称为排斥型奇性微分方程. 此外, 如果$ 0<\rho<1 $称为弱奇性, 如果$ \rho\geq1 $称为强奇性.

Lazer和Solimini的工作吸引了很多学者对奇性Duffing方程周期正解的关注^[6-15]. 在1993年, 利用Poincaré-Birkhoff扭转定理, Fonda, Manásevich和Zanolin^[9]讨论了下列Duffing方程

(1.3) $ \begin{equation} { } u''(t)+g(u(t))=p(t) \end{equation} $

存在无限多个周期正解, 其中$ g\in C((A, B), {{\Bbb R}} ) $, 这里$ -\infty\leq A< B\leq +\infty $, 并且$ g $满足广义的超线性情况, 也就是说

$ \lim\limits_{u\to A^+}G(u)=\lim\limits_{u\to B^-}G(u)=+\infty $

和

$ \lim\limits_{u\to A^+}\frac{g(u)}{(u-c)}=\lim\limits_{u\to B^-}\frac{g(u)}{(u-c)}=+\infty, $

其中$ G(u):=\int^u_cg(s){\rm d}s $, $ c\in(A, B) $. 在2012年, 程志波和任景莉^[6]继续研究方程(1.3), 其中$ g $满足强排斥型奇性条件, 即

$ \lim\limits_{u\to 0^+}g(u)=-\infty\ \mbox{和}\ \int^1_0g(u){\rm d}u=-\infty. $

利用改进的Poincaré-Birkhoff扭转定理和超二次位势条件代替超线性条件, 他们研究了方程(1.3)在强排斥型奇性条件下存在无限多个周期正解. 在2018年, 姚绍文和程志波^[15]研究了下列带阻尼的奇性Duffing方程

(1.4) $ \begin{equation} { } u''(t)+Cu'(t)+g(u(t))=e(t), \end{equation} $

其中$ C $是一个常数且$ C\neq0 $, $ g\in C((0, +\infty), {{\Bbb R}} ) $是连续函数并且在原点$ u=0 $有强排斥型奇性, $ e(t)\in C({{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} ) $是一个$ T $ -周期函数并且$ \int^{T}_{0}e(t){\rm d}t=0 $. 利用Manasevich-Mawhin连续性定理, 作者证明了方程(1.4)有一个周期正解. 最近, 利用满足耗散系统的扭转定理, 程志波和袁期刚^[8]证明了方程(1.4)在强排斥型奇性条件下存在多个周期正解.

上述文章主要讨论了强排斥型奇性Duffing方程周期正解的存在性, 而如果奇性Duffing方程具有吸引型奇性, 如果奇性Duffing方程强弱奇性同时存在, 这些问题有待进一步的研究. 显然, 由于吸引型奇性与排斥型奇性是相对立的, 在文献[6, 8, 9, 15]中研究排斥型奇性Duffing方程周期正解的方法在研究吸引型奇性Duffing方程时已不再直接适用, 这就要求我们不得不寻求其它方法研究吸引型奇性Duffing方程(1.4)周期正解的存在性. 本文中, 我们研究方程(1.4)在吸引型奇性条件下的周期正解的存在性. 利用Manasevich-Mawhin连续性定理, 我们分别讨论了强吸引型奇性Duffing方程(1.4)以及具有强弱吸引型奇性Duffing方程(1.4)等周期正解的存在性, 并且我们的非线性项$ g $在$ u\to\infty $时满足次线性, 半线性和超线性条件.

首先我们考虑方程(1.4)的同伦方程

(2.1) $ \begin{equation} { } u''(t)+\lambda Cu'(t)+\lambda g(u(t))=\lambda e(t), \end{equation} $

其中$ \lambda\in(0, 1] $.

借助于文献[10, 定理3.1], 我们可以得到下面结论.

引理2.1  假设存在三个正常数$ E_1 $, $ E_2 $, $ E_3 $, 且$ E_1<E_2 $, 满足下列条件

(ⅰ) 对于所有的$ t\in[0, T] $, 方程(2.1)的每一个正周期解$ u(t) $满足

$ E_1<u(t)<E_2, \|u'(t)\|<E_3, $

这里$ \|u'(t)\|:=\max\limits_{t\in[0, T]}|u'(t)| $.

(ⅱ) 方程$ g(u(t))=0 $的任意正数解$ u(t)=E $满足$ E\in(E_1, E_2) $.

(ⅲ) 当$ u(t)=E_1 $及$ u(t)=E_2 $时, 有$ g(E_1) \cdot g(E_2)<0. $则方程(1.4)至少有一个$ T $ -周期正解.

接下来, 我们考虑方程(1.4)在吸引型奇性条件下周期正解的存在性, 并给出我们的主要结论.

定理2.1  假设下列条件成立

$ {\rm (H_1)} $存在正常数$ D_1, D_2 $使得$ g(u)>0 $对所有的$ u\in(0, D_1), $并且$ g(u)<0 $对所有的$ u\in(D_2, +\infty) $;

$ {\rm (H_2)} $ (强奇性条件在$ u=0 $) $ \int^1_0g(u){\rm d}u=+\infty $.

则方程(1.4)至少有一个$ T $ -周期正解.

证  首先, 我们断言方程(2.1)的所有可能的解都是有界的. 令$ u(t)\in C^1_T:=\{u\in C^1, u(t+T)\equiv u(t), u'(t+T)\equiv u'(t), \forall t\in{{\Bbb R}} \} $是方程(2.1)的任意一个$ T $ -周期解.

对方程(2.1)左右两边在区间$ [0, T] $上进行积分, 我们得到

(2.2) $ \begin{equation} { } \int^T_0g(u(t)){\rm d}t=0. \end{equation} $

利用积分中值定理, 我们知道存在一个常数$ \xi $使得

$ g(u(\xi))=0. $

由条件$ {\rm (H_1)} $, 我们知道存在两个正常数$ D_1, D_2 $使得

(2.3) $ \begin{equation} { } D_1\leq u(\xi)\leq D_2. \end{equation} $

则我们有

$ |u(t)|=\left|u(\xi)+\int^t_\xi u'(s){\rm d}s\right|\leq D_2+\int^t_\xi|u'(s)|{\rm d}s, t\in[\xi, \xi+T], $

并且

$ |u(t)|=|u(t-T)|=\left|u(\xi)-\int_{t-T}^\xi u'(s){\rm d}s\right|\leq D_2 +\int_{t-T}^\xi |u'(s)|{\rm d}s, t\in[\xi, \xi+T]. $

结合上面两个不等式, 我们得到

(2.4) $ \begin{eqnarray} { } \|u\|&:=&\max\limits_{t\in[0, T]}|u(t)|=\max\limits_{t\in[\xi, \xi+T]}|u(t)|{}\\ &\leq&\max\limits_{t\in[\xi, \xi+T]}\left\{D_2+\frac{1}{2}\left(\int^t_\xi|u'(s)|{\rm d}s+\int^\xi_{t-T}|u'(s)|{\rm d}s\right)\right\}{}\\ &\leq &D_2+\frac{1}{2}\int^T_0|u'(s)|{\rm d}s. \end{eqnarray} $

因为$ u'(t) $是$ T $ -周期的, (2.1)式左右两边同乘以$ u'(t) $并进行$ 0 $到$ T $的积分, 我们有

(2.5) $ \begin{eqnarray} { } 0&=&\int^T_0u''(t)u'(t){\rm d}t{}\\ &=&-\lambda\int^T_0C|u'(t)|^2{\rm d}t-\lambda\int^T_0g(u(t))u'(t){\rm d}t+\lambda\int^T_0e(t)u'(t){\rm d}t. \end{eqnarray} $

将$ \int^T_0g(u(t))u'(t){\rm d}t=0 $代入到(2.5)式, 并且因为$ C\neq0 $, 我们有

$ |C|\int^T_0|u'(t)|^2{\rm d}t=\left|\int^T_0C|u'(t)|^2{\rm d}t\right|=\left|\int^T_0e(t)u'(t){\rm d}t\right|\leq\int^T_0|e(t)||u'(t)|{\rm d}t. $

由Hölder不等式, 得

$ |C|\int^T_0|u'(t)|^2{\rm d}t\leq\|e\|\int^T_0|u'(t)|{\rm d}t \leq\|e\|T^{\frac{1}{2}}\left(\int^T_0|u'(t)|^2{\rm d}t\right)^{\frac{1}{2}}, $

我们有

(2.6) $ \begin{equation} { } \int^T_0|u'(t)|^2{\rm d}t\leq\left(\frac{\|e\|T^{\frac{1}{2}}}{|C|}\right)^{2}:= M_1', \end{equation} $

其中$ \|e\|:=\max\limits_{t\in{{\Bbb R}} }|e(t)|. $

通过Hölder不等式和(2.4)式, 我们有

$ u(t)\leq D_2+\frac{1}{2}\int^T_0|u'(s)|{\rm d}s\leq D_2+\frac{1}{2}T^{\frac{1}{2}}\left(\int^{T}_{0}|u'(t)|^{2}{\rm d}t\right)^{\frac{1}{2}}\leq D_2+\frac{1}{2}T^{\frac{1}{2}}(M_1')^{\frac{1}{2}}:=M_1. $

另一方面, 由(2.2)式, 我们有

(2.7) $ \begin{eqnarray} { } \int^T_0|g(u(t))|{\rm d}t&=&\int_{g(u(t))\geq0}g(u(t)){\rm d}t-\int_{g(u(t))\leq0}g(u(t)){\rm d}t{}\\ & =&-2\int_{g(u(t))\leq0}g(u(t)){\rm d}t \leq-2\int^T_0g^-(u(t)){\rm d}t, \end{eqnarray} $

其中$ g^-(u):=\min\{g(u), 0\} $.

因为$ g^-(u(t))\leq 0 $, 由$ {\rm (H_1)} $可得, $ u(t)\geq D_1 $. 从而有

(2.8) $ \begin{eqnarray} { } \int^T_0|g(u(t))|{\rm d}t\leq 2\int^T_0(-g^-(u(t))){\rm d}t \leq 2T\|g^-_{M_1}\|, \end{eqnarray} $

其中$ \|g^-_{M_1}\|:=\max\limits_{D_1\leq u\leq M_1}(-g^-(u)). $

又因为$ u(0)=u(T) $, 则存在一点$ t_1\in(0, T) $使得$ u'(t_1)=0 $, 由(2.4)和(2.8)式, 可得

(2.9) $ \begin{eqnarray} { } \|u'\|&\leq&\frac{1}{2}\int^T_0|u''(t)|{\rm d}t{}\\ &\leq&\frac{\lambda}{2}\left(\int^T_0|C||u'(t)|{\rm d}t+\int^T_0|g(u(t))|{\rm d}t+\int^T_0|e(t)|{\rm d}t\right){}\\ &\leq&\frac{\lambda}{2}\left(|C|T^{\frac{1}{2}}\left(\int^T_0|u'(t)|^2{\rm d}t\right)^{\frac{1}{2}} +\int^T_0|g(u(t))|{\rm d}t+\int^T_0|e(t)|{\rm d}t\right){}\\ &\leq&\frac{\lambda}{2}\left(|C|T^{\frac{1}{2}}(M_1')^{\frac{1}{2}}+2T\|g^-_{M_1}\|+T\|e\|\right):=\frac{\lambda}{2} M_2. \end{eqnarray} $

方程(2.1)左右两边同乘以$ u'(t) $并且对其在$ [\xi, t] $上进行积分, 这里$ \xi\in[0, T] $, 则有

(2.10) $ \begin{eqnarray} { } \lambda\int^{u(t)}_{u(\xi)}g(u){\rm d}u&=&\lambda\int^t_{\xi}g(u(s))u'(s){\rm d}s{}\\ & =&-\int^t_{\xi}u''(s)u'(s){\rm d}s-\lambda\int^t_{\xi}Cu'(s)u'(s){\rm d}s +\lambda\int^t_{\xi}e(s)u'(s){\rm d}s. \end{eqnarray} $

由(2.10)式, 得

(2.11) $ \begin{eqnarray} { } \left|\lambda\int^{u(t)}_{u(\xi)}g(u){\rm d}u\right|\leq\left|\int^t_{\xi}u''(s)u'(s){\rm d}s\right|+\left|\lambda\int^t_{\xi}Cu'(s)u'(s){\rm d}s\right|+\left|\lambda\int^t_{\xi}e(s)u'(s){\rm d}s\right|. \end{eqnarray} $

由(2.9)式, 得

$ \begin{eqnarray*} \left|\int^t_{\xi}u''(s)u'(s){\rm d}s\right|&\leq&\int^t_{\xi}|u''(s)||u'(s)|{\rm d}s \leq\|u'\|\int^T_0|u''|{\rm d}t\\ & \leq&\|u'\| \left(\int^T_0|C||u'(t)|{\rm d}t+\int^T_0|g(u(t))|{\rm d}t+\int^T_0|e(t)|{\rm d}t\right)\\ & \leq&\lambda M_2^2. \end{eqnarray*} $

此外, 由(2.9)式, 有

$ \begin{eqnarray*} \left|\int^t_{\xi}Cu'(s)u'(s){\rm d}s\right|\leq|C|M_2^2T , \left|\int^t_{\xi}e(s)u'(s)|{\rm d}s\right|\leq M_2\|e\|T. \end{eqnarray*} $

结合(2.11)式, 我们有

(2.12) $ \begin{equation} { } \left|\int^{u(t)}_{u(\xi)}g(u){\rm d}u\right|\leq M_2^2(1+|C|T)+M_2\|e\|T:=M_3'. \end{equation} $

由条件$ {\rm (H_2)} $, 我们知道存在一个常数$ M_3>0 $使得

(2.13) $ \begin{equation} { } u(t)\geq M_3, \forall t\in[\xi, T]. \end{equation} $

类似地, 我们可以考虑$ t\in[0, \xi] $的情形.

设$ E_1<\min\{D_1, M_3\} $, $ E_2>\max\{D_2, M_1\} $, $ E_3>M_2 $, 不难看出, 对于所有的$ t\in[0, T] $, 方程(2.1)的每一个正周期解$ u(t) $满足$ E_1<u(t)<E_2, \|u'(t)\|<E_3, $所以引理2.1的条件(ⅰ)是满足的. 对于方程$ g(u(t))=0 $的任意正数解$ u(t)=E $满足$ E\in(E_1, E_2) $. 因此引理2.1的条件(ⅱ)也是满足的. 此外, 由于$ E_2>D_2 $, $ E_1<D_1 $, 由条件$ {\rm (H_1)} $, 我们得到

$ g(E_1)>0 \ \mbox{和}\ g(E_2)<0, $

因此条件(ⅲ)成立. 由引理2.1, 方程(1.4)至少有一个$ T $ -周期正解.

注2.1  定理2.1的方法仅仅适用于研究方程(1.4)在强吸引型奇性条件下周期正解的存在性, 而对于方程(1.4)在弱吸引型奇性条件下周期正解的存在性却不能研究, 这主要是因为如果$ g $在$ u=0 $处满足弱奇性, 即

(2.14) $ \begin{equation} { } \int^1_0 g(u){\rm d}u<+\infty. \end{equation} $

显然, (2.14)式和条件$ {\rm (H_2)} $是相对立的, 并且利用(2.14)式, 我们不能得到(2.13)式. 则我们也就不能得到解$ u $的下界. 因此, 我们不得不寻找其他方法研究方程(1.4)在弱吸引型奇性条件下周期正解的存在性.

接下来，我们研究方程(1.4)在弱奇性条件下周期正解的存在性.

定理2.2  假设下列条件成立

$ {\rm (H_3)} $$ g(u) $为单调递增函数;

$ {\rm (H_4)} $$ g^{-1}(e_{*})>\frac{\|e\|T}{2|C|} $, 其中$ e_{*}:=\min\limits_{t\in[0, T]}e(t) $,

则方程(1.4)至少有一个$ T $ -周期正解.

证  考虑方程(2.1). 首先, 我们断言方程(2.1)的所有可能的解都是有界的. 令$ u(t)\in C^1_T $是方程(2.1)的任意一个$ T $ -周期正解. 由条件$ {\rm (H_3)} $, 我们可设$ t^{*} $, $ t_{*} $分别表示$ u(t) $的最大值点和最小值点. 故有$ u'(t^{*})=0 $和$ u'(t_{*})=0, $并且$ u''(t^{*})\leq0, u''(t_{*})\geq0. $代入$ t^{*} $到方程(2.1), 我们得$ g(u(t^{*}))\geq e(t^{*})\geq e_{*}. $由条件$ {\rm (H_3)} $, 可得$ u(t^{*})\geq g^{-1}(e_{*}). $同理, 我们有$ u(t_{*})\leq g^{-1}(e^{*}). $其中$ e^{*}:=\max \limits_{t\in[0, T]} e(t). $

考虑到$ u(t) $的连续性, 存在$ \xi_{1}\in(0, T) $, 有

$ g^{-1}(e_{*})\leq u(\xi_{1})\leq g^{-1}(e^{*}). $

由(2.4)式, 得

(2.15) $ \begin{equation} { } \|u\|\leq g^{-1}(e^{*})+\frac{1}{2}\int^T_0|u'(t)|{\rm d}t. \end{equation} $

由Hölder不等式, (2.6)和(2.15)式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} u(t)&\leq &g^{-1}(e^{*})+\frac{1}{2}\int^{T}_{0}|u'(t)|{\rm d}t \\ &\leq& g^{-1}(e^{*})+\frac{1}{2}T^{\frac{1}{2}}\left(\int^{T}_{0}|u'(t)|^{2}{\rm d}t\right)^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &g^{-1}(e^{*})+\frac{1}{2}T^{\frac{1}{2}}(M'_{1})^{\frac{1}{2}}:=M_{4}, \end{eqnarray*} $

另一方面, 我们有

$ \begin{eqnarray*} u(t)&= &u(\xi_{1})+\frac{1}{2}\left(\int^{t}_{\xi_{1}}u'(s){\rm d}s-\int^{\xi_{1}}_{t-T}u'(s){\rm d}s\right)\\ &\geq &u(\xi_{1})-\frac{1}{2}\left(\int^{t}_{\xi_{1}}|u'(s)|{\rm d}s+\int^{\xi_{1}}_{t-T}|u'(s)|{\rm d}s\right)\\ &\geq &u(\xi_{1})-\frac{1}{2}\int^{T}_{0}|u'(s)|{\rm d}s\\ &\geq & g^{-1}(e_{*})-\frac{1}{2}T^{\frac{1}{2}}\left(\int^{T}_{0}|u'(s)|^{2}{\rm d}s\right)^{\frac{1}{2}}\\ &\geq &g^{-1}(e_{*})-\frac{\|e\|T}{2|C|}:=M_{5}. \end{eqnarray*} $

因为$ u(0)=u(T) $, 则存在一点$ t_2\in(0, T) $使得$ u'(t_2)=0 $, 由(2.4)式, 可得

$ \begin{eqnarray*} \|u'\|&\leq&\frac{1}{2}\int^{T}_{0}|u''(t)|{\rm d}t\\ &\leq&\frac{\lambda}{2}\left(\int^{T}_{0}|C||u'(t)|{\rm d}t+\int^{T}_{0}|g(u(t))|{\rm d}t+\int^{T}_{0}|e(t)|{\rm d}t\right)\\ &\leq&\frac{\lambda}{2}\left(|C|T^{\frac{1}{2}}(\int^{T}_{0}|u'(t)|^{2}{\rm d}t)^{\frac{1}{2}}+\int^{T}_{0}|g(u(t))|{\rm d}t +\int^{T}_{0}|e(t)|{\rm d}t\right)\\ &\leq& \frac{\lambda}{2}\left(\|e\|T+|g_{_{1M}}|+\|e\|T\right):=M_{6}, \end{eqnarray*} $

其中$ |g_{_{1M}}|:=\max\limits_{M_{5}\leq u\leq M_{4}}|g(u)| $. 接下来的证明过程与定理2.1类似.

通过定理2.2, 我们能得到下面这个定理.

定理2.3  假设下列条件成立

$ {\rm (H_5)} $$ g(u) $为单调递减函数;

$ {\rm (H_6)} $$ g^{-1}(e^{*})>\frac{\|e\|T}{2|C|} $, 其中$ e^{*}:=\max \limits_{t\in[0, T]}e(t) $.

则方程(1.4)至少有一个$ T $ -周期正解.

作为定理2.1和定理2.3的应用, 我们给出下面的例题.

例2.1  考虑下面带阻尼项的强吸引型奇性Duffing方程

(2.16) $ \begin{equation} { } u''(t)+Cu'(t)-u+\frac{1}{u^2}=\cos 2t, \end{equation} $

其中$ C $是任意一个常数且$ C\neq0 $. 对比方程(2.16)和方程(1.4), 我们看到$ g(u)=-u+\frac{1}{u^2} $, $ e(t)=\cos 2t, T=\pi. $显然, 条件$ {\rm (H_2)} $是成立的, 取$ D_1=1 $和$ D_2=2 $使得条件$ {\rm (H_1)} $成立. 因此, 通过定理2.1, 我们能得到方程(2.16)至少存在一个$ \pi $ -周期解.

例2.2  考虑下面带阻尼项的弱吸引型奇性Duffing方程

(2.17) $ \begin{equation} { } u''(t))+4u'(t)+\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\sin t, \end{equation} $

对比方程(2.17)和方程(1.4), 我们看到$ g(u)=\frac{1}{\sqrt{u}} $, $ e(t)=\sin t, C=4, T=2\pi. $显然, 条件$ {\rm (H_5)} $是成立的, 并且$ g^{-1}(e^{*})=g^{-1}(1)=1 $, $ \frac{\|e\|T}{2|C|}=\frac{\pi}{4} $, 使得条件$ {\rm (H_6)} $成立. 因此, 通过定理2.3, 我们能得到方程(2.17)至少存在一个$ 2\pi $ -周期解.