在量子力学的数学框架中, 一个封闭的量子系统用复Hilbert空间$ H $表示, 量子态为$ H $上迹为1的正算子^[1]. 令$ H $和$ K $分别为两个无限维复Hilbert空间. 用$ {\mathcal B}(H) $表示$ H $上的所有有界线性算子构成的代数, $ {\mathcal S}(H) $表示复Hilbert空间$ H $上所有量子态. $ {\mathcal M}_{m, n} $表示$ m\times n $复矩阵的集合, 其中$ {\mathcal M}_n = {\mathcal M}_{n, n} $. 量子态$ \rho^{HK}\in {\mathcal S}(H\otimes K) $的偏迹映射是一个满足下列运算性质的线性变换

$ tr_H(A\otimes B)=B, \, \, \, \, \, \, \, \, tr_K(A\otimes B)=A. $

我们称$ tr_H(\rho^{HK}) $与$ tr_K(\rho^{HK}) $是态$ \rho^{HK} $的两个约化态^[1].

在量子信息理论中, 一个有趣的问题是: 在已知态$ \rho^{HK} $的两个约化态的情况下, 如何确定$ \rho^{HK} $的秩. 对该问题的研究既受到了量子物理学者们的关注^[2-4], 也被许多数学工作者探讨^[5-7]. 最近, Li等在文献[3] 和[4]中, 定义了以下集合: 设$ H $和$ K $为有限维的两个复Hilbert空间, 对于任意给定的$ A\in{\mathcal S}(H) $和$ B\in{\mathcal S}(K), $集合$ {\mathcal S}(A, B)=\{\rho\in{{\mathcal S}(H\otimes K)}:tr_H(\rho)=B, \, \, tr_K(\rho)=A\}, $并获得了计算该集合中任意元$ \rho $秩的所有可能值的方法. 本文研究上述问题在无限维系统中的解决.

在阐述主要结果前, 我们介绍一些术语和标记. 在本文中, $ {\mathcal S}(H\otimes K) $中的两体态往往需要进行矩阵表示. 令$ \{{e_n\}_{n=1}^{d_H}} $和$ \{{u_m\}_{m=1}^{d_K}} $分别为空间$ H $和$ K $中的标准基($ d_H, d_K $分别是$ H, K $的维数), 则$ {\{e_n\otimes u_m\}}_{n=1, m=1}^{d_H, d_K} $成为$ H\otimes K $上的标准基, 且$ e_iu_j^t=G_{ij} $. 量子态$ \rho\in{\mathcal S}(H\otimes K) $可用矩阵表示为

$ \rho=\sum\limits^{d_H, d_K}_{i, j=1;k, l=1}{{t_{ij, kl}E_{ij}}\otimes F_{kl}}=\sum\limits^{d_H}_{i, j=1}E_{ij}\otimes \bigg(\sum\limits^{d_K}_{k, l=1}t_{ij, kl}F_{kl}\bigg)=\sum\limits^{d_H}_{i, j=1}E_{ij}\otimes \rho_{ij}. $

因此

$ \rho=(\rho_{ij})_{1\leq i, j \leq d_H}. $

$ \rho $的约化态形式如下

$ tr_{K}(\rho)=(tr(\rho_{ij}))_{1\leq i, j \leq d_H}\in{{\mathcal S}(H)}; $

$ tr_{H}(\rho)=\sum\limits^{d_K}_{n=1}\rho_{nn}\in{{\mathcal S}(K)}. $

我们用$ X^{t} $和$ X^{*} $分别表示一个算子或者向量$ X $的转置和共轭转置

$ {{\cal H}}=\{A\in{\mathcal B}(H):A^{*}=A\} \ \mbox{且}\ {\mathcal K}=\{B\in{\mathcal B}(K):B^{*}=B\}. $

当空间维数为$ n $时, 将$ {{\cal H}}, {\mathcal K} $分别记为$ {\cal H}_n, {\mathcal K}_n $. 用$ {\mathcal U} $和$ {\mathcal V} $分别表示$ {\mathcal B}(H) $和$ {\mathcal B}(K) $上酉算子的集合. $ {{\Bbb R}} ^n_{\downarrow} $表示$ {{\Bbb R}} ^n $中$ n $元组按递减顺序排列后的集合. 若$ \sigma\in{{\cal H}}, $那么$ \lambda(\sigma)=(\lambda_1(\sigma), \cdots , \lambda_n(\sigma))\in{{{\Bbb R}} ^n_{\downarrow}} $表示按递减顺序排列的$ \sigma $的特征值. 为了明确偏迹与算子结构间的关系, 我们首先需要考虑下面的两个线性映射^[4]

$ [\cdot]:C^{mn}\rightarrow {\mathcal M}_{m, n}, \, \, \, \, \, \, \, \, vec:{\mathcal M}_{m, n}\rightarrow C^{mn}. $

这两个映射在有限维的情况下已经被广泛的讨论. 这里, 对于$ w=(w_1, \cdots , w_{mn})^{t}\in C^{mn}, $$ W=[w] $是$ m\times n $矩阵, 其中第$ j $列的元素为$ (w_{(j-1)n+1}, \cdots , w_{jn})^{t}, $$ vec $是把$ m\times n $矩阵转化为$ w=vec(W)\in C^{mn} $的逆映射, 使得$ W=[w] $. 值得注意的是

$ tr_H(ww^{*})=W^{t}(W^{t})^{*}, \, \, \, \, \, \, \, \, tr_K(ww^{*})=WW^{*}. $

我们可以将上述有限维技巧推广到无限维情形. 假设$ dim H\otimes K=+\infty $, $ T\in C_2(H\otimes K) $, $ Z\in C_2(K\otimes K, H\otimes H) $($ C_2(H, K) $表示由$ B(H, K) $中的Hilbert-Schmidt算子组成的Hilbert空间, 当$ H=K $时, 简记为$ C_2(H) $). $ \{|m\rangle\} $和$ \{|\mu\rangle\} $分别为$ H $和$ K $的标准基. 则$ T $和$ Z $有矩阵表示

$ T=(t_{m\mu, n\nu}), \, \, t_{m\mu, n\nu}=\langle m|\langle\mu|T|n|\nu\rangle $

且

$ Z=(z_{mn, \mu\nu}), \, \, z_{mn, \mu\nu}=\langle m|\langle n|Z|\mu|\nu\rangle. $

如果

$ z_{mn, \mu\nu}=t_{m\mu, n\nu}, $

那么$ Z $是$ T $关于基$ |m\rangle|\mu\rangle $的重排算子, 记为$ T^{R}=Z $. 最后, 我们观察下面的酉相似不变性是成立的, 对于任意酉算子$ U $和$ V $, 有

$ {\mathcal S}(UAU^{*}, \, VBV^{*})=(U\otimes V){\mathcal S}(A, B)(U\otimes V)^{*}=\{(U\otimes V)\rho(U\otimes V)^{*}:\rho\in{\mathcal S}(A, B)\}. $

在这一节中, 考虑$ H, K $为无限维Hilbert空间的情况. 对于任意给定的$ A\in {\mathcal S}(H) $和$ B\in {\mathcal S}(K), $设$ {\mathcal S}(A, B)=\{\rho\in{{\mathcal S}(H\otimes K)}:tr_H(\rho)=B, \, \, tr_K(\rho)=A\}, $我们确定了该集合$ {\mathcal S}(A, B) $中量子态的秩的范围.

定理2.1   设$ (A, B)\in {\mathcal S}(H)\times {\mathcal S}(K) $且$ rank(A)=r_1\geq r_2 =rank(B)<+\infty $. 若$ {\mathcal S}(A, B) $中存在一个元素达到最小秩$ r $且$ r\leq r_1 $. 那么, $ {\mathcal S}(A, B) $中存在秩为$ k $的量子态的充要条件是$ r\leq k \leq r_1r_2 $.

证  由集合$ {\mathcal S}(A, B) $的酉相似不变性可知

$ A=diag(\lambda_1, \cdots , \lambda_{r_1}, 0, \cdots , 0, 0, \cdots ), \, \, \, \, \, B=diag(\hat{\lambda}_1, \cdots , \hat{\lambda}_{r_2}, 0, \cdots , 0, 0, \cdots ). $

如果$ \rho=\sum\limits_{j=1}^kz_jz_j^{*}\in{\mathcal S}(A, B), $那么$ tr_H(\rho)=B $且$ tr_K(\rho)=A $.

由于量子态的迹为1, 那么约化态的秩已知的量子态可以利用这个特征来表示, 具体如下

$ 1\leq i\leq r_1 $且$ 1\leq j\leq r_2 $时, 令$ v_{ij}=\sqrt{\lambda_i\hat{\lambda}_j}e_i \otimes u_j $. 对于$ l=1, \cdots , r_1, $令

$ \begin{eqnarray*} z_l=\left\{\begin{array}{ll} { } \sum\limits_{1\leq i\leq r_2}v_{i+l-1, i}, &1\leq l \leq r_1-r_2+1. \\ { } \sum\limits_{1\leq i\leq r_1+1-l}v_{i+l-1, i}+\sum\limits_{r_1+1-l< i\leq r_2}v_{i+l-1-r_1, i}, &r_1-r_2+1< l \leq r_1. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

那么, 利用偏迹的计算可以得到

(2.1) $ \begin{equation} tr_H(z_lz_l^*)=\left\{\begin{array}{ll} { } \sum\limits_{1\leq i\leq r_2}\lambda_{i+l-1}\hat{\lambda}_iG_{ii}, &1\leq l \leq r_1-r_2+1.\\ \begin{array}{ll} { } \sum\limits_{1\leq i\leq r_1+1-l}\lambda_{i+l-1}\hat{\lambda}_iG_{ii}\\ { } +\sum\limits_{r_1+1-l< i\leq r_2}\lambda_{i+l-1-r_1}\hat{\lambda}_iG_{ii}, \end{array} &r_1-r_2+1< l \leq r_1. \end{array}\right. \end{equation} $

同理, 可以得到

(2.2) $ \begin{equation} tr_K(z_lz_l^*)=\left\{\begin{array}{ll} { } \sum\limits_{1\leq i\leq r_2}\lambda_{i+l-1}\hat{\lambda}_iG_{i+l-1\, i+l-1}, & 1\leq l \leq r_1-r_2+1.\\ \begin{array}{ll} { } \sum\limits_{1\leq i\leq r_1+1-l}\lambda_{i+l-1}\hat{\lambda}_iG_{i+l-1\, i+l-1}\\ { } +\sum\limits_{r_1+1-l< i\leq r_2}\lambda_{i+l-1-r_1}\hat{\lambda}_iG_{i+l-1-r_1\, i+l-1-r_1}, \end{array}&r_1-r_2+1< l \leq r_1. \end{array}\right. \end{equation} $

首先, 证明$ {\mathcal S}(A, B) $中包含秩为$ r_1, \cdots , r_1r_2 $的量子态. 令

(2.3) $ \begin{equation} \rho=\sum\limits_{l=1}^{r_1}z_lz_l^*, \end{equation} $

那么$ \rho $的秩为$ r_1 $. 由(2.1) 式和(2.2) 式中偏迹的具体表示形式以及$ \rho $的计算方式(2.3) 式可见$ \rho\in{\mathcal S}(A, B) $. 在(2.3) 式中, 如果我们用

$ \begin{eqnarray*} v_{11}v_{11}^*+\cdots +v_{pp}v_{pp}^*+\bigg(\sum\limits_{j>p}v_{jj}\bigg) \bigg(\sum\limits_{j>p}v_{jj}\bigg)^*, \, \, \, \, p=1, \cdots , r_2-1 \end{eqnarray*} $

代替$ z_1z_1^*, $那么$ {\mathcal S}(A, B) $中量子态的秩为$ p+r_1, $其中$ p=1, \cdots , r_2-1 $. 类似地, 我们可以用秩为$ p+1 $的算子来代替每一个$ z_jz_j^*, $其中$ p=1, \cdots , r_2-1 $. 通过这样的替换之后生成的量子态还是属于集合$ {\mathcal S}(A, B) $. 因此, $ {\mathcal S}(A, B) $中包含秩为$ r_1, \cdots , r_1r_2 $的量子态.

其次, 利用归纳法证明$ {\mathcal S}(A, B) $中包含秩为$ r, r+1\cdots , r_1 $的量子态. 由于$ {\mathcal S}(A, B) $中存在量子态$ \rho, $其秩为$ r $且$ r<r_1 $. 那么存在

(2.4) $ \begin{equation} \rho=\sum\limits_{j=1}^{r}z_jz_j^*\in {\mathcal S}(A, B). \end{equation} $

利用Schmidt分解可知, 对于任意$ j, $$ z_j=\sum\limits_{l=1}^{t_j}s_{jl}x_{jl}\otimes y_{jl}, $其中$ t_j $是$ [z_j] $的秩. 令$ w_{jl}=s_{jl}x_{jl}\otimes y_{jl} $. 类似于前面的证明方法, 我们可以用

$ \sum\limits_{l\leq p}w_{jl}w_{jl}^*+\bigg(\sum\limits_{l> p}w_{jl}\bigg)\bigg(\sum\limits_{l> p}w_{jl}\bigg)^* $

代替$ z_jz_j^* $. 显然, 替换之后的量子态仍然属于$ {\mathcal S}(A, B) $. 因此, 集合$ {\mathcal S}(A, B) $中包含秩为$ r, r+1\cdots , r_1 $的量子态.

结合上面两部分的证明(实际上具体构造出了集合中满足条件的量子态)可以说明$ {\mathcal S}(A, B) $中存在量子态的秩为$ k $的充要条件是$ r\leq k \leq r_1r_2 $.

接下来, 我们通过例子来帮助理解上面的定理.

例2.1  若$ A=diag(a_1, a_2, a_3, \cdots , 0, 0, \cdots )\in{\mathcal S}(H) $和$ B=diag(b_1, b_2, \cdots , 0, 0, \cdots )\in{\mathcal S}(K), $其中$ A $和$ B $的特征值由递减顺序排列, $ rank(A)=r_1=3 $且$ rank(B)=r_2=2 $. 由定理$ 2.1 $的结论表明：如果$ \rho\in {\mathcal S}(A, B), $那么集合$ {\mathcal S}(A, B) $中量子态的秩最大为$ 6 $. 具体构造方式如下

$ \begin{eqnarray*} z_1&=&v_{11}+v_{22}=((a_1b_1)^{1/2}, 0, 0, \cdots , 0, \cdots , 0, (a_2b_2)^{1/2}, 0, \cdots , 0, 0, \cdots , 0, \cdots )^{t}, \\ z_2&=&v_{21}+v_{32}\\ &=&(0, 0, 0, \cdots , 0, \cdots , (a_2b_1)^{1/2}, 0, 0, \cdots , 0, \cdots 0, (a_3b_2)^{1/2}, 0, \cdots , 0, \cdots , 0, \cdots , 0, \cdots )^{t}, \\ z_3&=&v_{31}+v_{12}\\ &=&(0, (a_1b_2)^{1/2}, 0, \cdots 0, \cdots , 0, 0, 0, \cdots , 0, \cdots , (a_3b_1)^{1/2}, 0, 0, \cdots , 0, \cdots , 0, \cdots , 0, \cdots )^{t}. \end{eqnarray*} $

那么, $ \rho_1=z_1{z_1}^{*}+z_2{z_2}^{*}+z_3{z_3}^{*}\in{\mathcal S}(A, B) $的秩为$ 3 $. 利用定理$ 2.1 $证明过程中的替换方式, 我们可以得到$ \rho_2=v_{11}{v_{11}}^{*}+v_{22}{v_{22}}^{*}+z_2{z_2}^{*}+z_3{z_3}^{*}\in{\mathcal S}(A, B) $, 其秩为$ 4 $. $ \rho_3=v_{11}{v_{11}}^{*}+v_{22}{v_{22}}^{*}+v_{21}{v_{21}}^{*}+v_{32}{v_{32}}^{*}+z_3{z_3}^{*}\in{\mathcal S}(A, B) $, 其秩为$ 5 $. $ \rho_4=v_{11}{v_{11}}^{*}+v_{22}{v_{22}}^{*}+v_{21}{v_{21}}^{*}+v_{32}{v_{32}}^{*}+v_{31}{v_{31}}^{*}+v_{12}{v_{12}}^{*}\in{\mathcal S}(A, B) $, 其秩为$ 6 $.

推论2.1  设$ (A, B)\in {\mathcal S}(H) \times {\mathcal S}(K) $, 其中$ rank(A)<+\infty, rank(B)<+\infty $, 那么$ {\mathcal S}(A, B) $中存在一个秩为$ \mathrm{1} $的量子态$ \rho $的充分必要条件是$ A $和$ B $有相同的非零特征值.

进一步可以说明, 存在秩为$ k $的量子态$ \rho\in {\mathcal S}(A, B) $当且仅当$ 1\leq k \leq r^2 $, 其中$ r $为$ A $和$ B $特征值个数.

证  若$ \rho $是一个秩为1的量子态, 那么$ \rho $可以表示为$ \rho=\nu\nu^{*}\in{\mathcal S}(A, B) $, 这里$ \nu $有奇异值分解$ {\nu=\sum\limits^\infty_{i=1}s_i(\nu)f_i \otimes g_i}, $其中$ s_i(\nu) $是$ \nu $的奇异值, $ f_i \otimes g_i $是秩一投影. 而且约化态$ A, B $的非零特征值的个数有限. 因此, $ \rho=\nu\nu^{*} $当且仅当$ A=\sum\limits^r_{i=1}s_i^2(\nu)f_if_i^{*} $且$ B=\sum\limits ^r_{i=1}s_i^2(\nu )g_ig_i^{*} $.

若$ A $和$ B $有相同的非零特征值, 即它们有相同的秩$ r, $从而结合定理2.1即可得出结论：存在秩为$ k $的量子态$ \rho\in {\mathcal S}(A, B) $当且仅当$ 1\leq k \leq r^2 $.

同样地, 我们通过例子来帮助理解上面的定理.

例2.2   若$ A=diag(\lambda_1, \lambda_2, 0, \cdots , 0, \cdots )\in {\mathcal S}(H) $且$ B=diag(\lambda_1, \lambda_2, 0, \cdots , 0, \cdots )\in {\mathcal S}(K), $其中$ \lambda_1 \geq \lambda_2>0 $. 推论$ 2.1 $表明$ {\mathcal S}(A, B) $中量子态$ \rho $的秩$ r $的范围是$ 1\leq r\leq 4 $. 令$ z_1=\nu_{11}+\nu_{22}=(\lambda_1, 0, 0, \cdots 0, \cdots , \lambda_2, 0, 0, \cdots , 0, \cdots )^{t} $, 那么$ \rho_1=z_1z_1^{*}\in {\mathcal S}(A, B), $其秩为$ 1 $. 令$ z_2=\nu_{21}+\nu_{12}=(0, (\lambda_1 \lambda_2)^{1/2}, 0, \cdots 0, \cdots , 0, (\lambda_2 \lambda_1)^{1/2}, 0, \cdots , 0, \cdots )^{t}, $那么$ \rho_2=z_1z_1^{*}+z_2z_2^{*}\in {\mathcal S}(A, B), $其秩为$ 2 $. 同理, 可以得到$ \rho_3=(\nu_{11}+\nu_{12})(\nu_{11}+\nu_{12})^{*}+\nu_{21}\nu_{21}^{*}+\nu_{31} \nu_{31}^{*} \in {\mathcal S}(A, B), $其秩为$ 3 $. $ \rho_4=\nu_{11}\nu_{11}^{*}+\nu_{12}\nu_{12}^{*} +\nu_{21}\nu_{21}^{*}+\nu_{31}\nu_{31}^{*} \in {\mathcal S}(A, B), $其秩为$ 4 $.

若$ \rho\in {\mathcal S}(A, B), $其秩小于等于$ r $, 那么一定存在一个$ d_Hd_K \times r $的算子$ D $, 使得$ tr_H(DD^{*})=B $且$ tr_K(DD^{*})=A $. 令$ W_i=[v_i] $, 其中$ v_i $是$ D $的第$ i $列的元素, 且$ 1\leq i\leq r $. 那么可以得到$ A=W_1(W_1)^{*}+\cdots+W_r(W_r)^{*} $且$ B={W_1}^{t}({W_1}^{t})^{*}+\cdots+{W_r}^{t}({W_r}^{t})^{*} $.

为了确定集合$ {\mathcal S}(A, B) $中秩最小的量子态, 我们需要研究特征值与算子和之间的关系. 幸运的是已经有学者研究了这两者之间的关系^[5-7], 其中Bercovici等^[7] 证明了若一个正紧算子可以表示为一列正紧算子的和, 那么其特征值具有Horn不等式关系. 因此, 首先指出下面的引理, 这一引理为无限维的推广奠定了基础.

引理2.1   令$ \alpha, \beta^{(1)}, \cdots , \beta^{(m)} $是一些极限为$ 0 $的递减序列, 那么下面两者等价

(1) 存在正紧算子$ A, B^{(1)}, \cdots , B^{(k)} $, 使得$ A={\sum\limits^{m} _{k=1}}B^{(k)} $, 其中$ \Lambda_+(A)=\alpha $, $ \Lambda_+(B^{(k)})=\beta ^{(k)} $, $ k=1, 2, \cdots , m $.

(2) 对于任意$ r<N $, $ q_1, \cdots , q_m\geq 0 $, 使得$ q=q_1+\cdots+q_m\leq r $, 并且$ (I, J^{1}, \cdots , J^{m})\in T_r^{N}(m+1) $, 有Horn不等式

(2.5) $ \begin{equation} \sum\limits_{i\in I}\alpha_i\leq \sum\limits^{m}_{k=1}\sum\limits_{j\in J^{k}} \beta^{(k)}_j \end{equation} $

和不等式

(2.6) $ \begin{equation} \sum\limits_{i\in I^{c}_q}\alpha_i\geq \sum\limits^{m}_{k=1}\sum\limits_{j\in {J^{(k)c}_{q_k}}} \beta^{(k)}_j, \end{equation} $

其中, $ T_r^{N}(m+1) $是指$ [N]={1, 2, \cdots , N} $这$ N $个正整数中任意取$ r $个数, 每次取完后构成新的集合, 这样重复选取$ m+1 $次之后构成的$ m+1 $个元组$ I, J^{1}, \cdots , J^{m} $的集合, 且$ 0\leq r\leq N. $$ N $是特征值的个数, $ q_k $表示正特征值的个数, $ I^c=N\setminus I $表示$ I $的补, $ I^c_q $表示$ I^c $中$ q $个最小元素组成的集合. $ \Lambda_+(A), \Lambda_+(B^{(k)}) $表示各自的特征值序列.

下面给出本文的主要定理, 引理2.1在该定理的证明过程中起着重要的作用.

定理2.2  若$ A\in {\mathcal S}(H) $且$ B\in {\mathcal S}(K) $. 则下列三者等价

(1) 存在$ \rho \in {\mathcal S}(A, B) $, 其秩小于等于$ r $.

(2) 存在$ C_1, \cdots , C_r\in {{\cal H}} $和$ \tilde{C}_1, \cdots , \tilde{C}_r\in {\mathcal K} $, 使得

$ {\rm (i)}\, \lambda(\tilde{C}_j)=\lambda(C_j\oplus O), \, \, \, \, \, {\rm (ii)} \, A=\sum\limits^r_{j=1}C_j, \, \, \, \, \, {\rm (iii)} \, B=\sum\limits^r_{j=1}\tilde{C}_j. $

(3) 存在$ C\in {{\cal H}} $, 使得$ \lambda(C_j)=\lambda(C) $, $ \lambda(\tilde{C}_j)=\lambda(C\otimes O_{d_K-d_H}) $, 其中$ C_j $和$ \tilde{C}_j $满足$ (2) $, $ 1\leq j \leq r $.

证  $ (1)\Rightarrow (2) $若$ {\mathcal S}(A, B) $中存在秩为$ r $的量子态$ \rho $, 那么存在$ W_1, \cdots , W_r $, 使得

$ A=W_1(W_1)^*+\cdots+W_r(W_r)^*, \, \, \, \, \, \, \, \, \, B=W_1^t(W_1^t)^*+\cdots+W_r^t(W_r^t)^*. $

取$ C_j=W_j{W_j}^{*} $且$ \tilde{C}_j={W_j}^{t}({W_j}^t)^* $, 显然$ C_j $和$ \tilde{C}_j $满足条件$ (2) $.

$ (2)\Rightarrow (1) $利用$ (1)\Rightarrow (2) $证明过程中产生的$ W_i $, 取

$ \rho=(vec(W_1), vec(W_2), \cdots , vec(W_r))(vec(W_1), vec(W_2), \cdots , vec(W_r))^*. $

容易证明该$ \rho \in {\mathcal S}(A, B) $, 且其秩小于等于$ r $.

$ (2)\Rightarrow (3) $假设$ \lambda (A)=(a_1, a_2, \cdots , a_m, 0, 0, 0, \cdots ) $, $ \lambda (C_j)=(c_{1j}, c_{2j}, \cdots , c_{mj}, 0, 0, 0, \cdots ) $, $ j=1, \cdots , r $. 令$ (I, J^{1}, \cdots , J^{m})\in T_r^{N}(m+1) $, 且$ \pi =(1, 2, \cdots , r) $是$ {1, 2, \cdots , r} $的循环重排, 具体地, 有$ \pi(j)=j+1 $, $ 1\leq j <r $且$ \pi(r)=1 $. 那么$ (I, J^{\pi ^k(1)}, J^{\pi ^k(2)}, \cdots , J^{\pi ^k(r)}) \in T_r^{N}(m+1) $. 因为$ A=C_1+\cdots +C_r $, 由引理2.1, 我们有

$ \sum\limits_{i\in I}a_i \leq \sum\limits_{j=1}^r \sum\limits_{i\in J^j}c_{i\pi^k(j)}, $

其中$ 0\leq k \leq r $.

因此, 上面的式子具体化之后可以得到

$ \sum\limits_{i\in I}a_i\leq \sum\limits_{j\in {J^1}}c_{i2}+\sum\limits_{j\in {J^2}}c_{i3}+\cdots+\sum\limits_{j\in {J^{r-1}}}c_{ir}+\sum\limits_{j\in {J^r}}c_{i1}, \, \, \, \, \, k=1. $

$ \sum\limits_{i\in I}a_i\leq \sum\limits_{j\in {J^1}}c_{i3}+\sum\limits_{j\in {J^2}}c_{i4}+\cdots+\sum\limits_{j\in {J^{r-1}}}c_{i1}+\sum\limits_{j\in {J^r}}c_{i2}, \, \, \, \, \, k=2. $

$ \sum\limits_{i\in I}a_i\leq \sum\limits_{j\in {J^1}}c_{i4}+\sum\limits_{j\in {J^2}}c_{i5}+\cdots+\sum\limits_{j\in {J^{r-1}}}c_{i2}+\sum\limits_{j\in {J^r}}c_{i3}, \, \, \, \, \, k=3. $

$ \vdots $

$ \sum\limits_{i\in I}a_i\leq \sum\limits_{j\in {J^1}}c_{i1}+\sum\limits_{j\in {J^2}}c_{i2}+\cdots+\sum\limits_{j\in {J^{r-1}}}c_{ir-1}+\sum\limits_{j\in {J^r}}c_{ir}, \, \, \, \, \, k=r. $

将这$ r $个式子相加后可以得到

$ r\sum\limits_{i\in I}a_i\leq \sum\limits_{j=1}^r \sum\limits_{i\in J^j}c_{i1}+c_{i2}+\cdots+c_{ir}. $

即

$ \sum\limits_{i\in I}a_i\leq \sum\limits_{j=1}^r \sum\limits_{i\in J^j}c_i, \, \, \, \, \, \, \, \, c_i=(c_{i1}+c_{i2}+\cdots+c_{ir})/r. $

类似地, 可以说明逆向不等式也是成立的.

如果对于$ 1\leq j \leq r $, 取$ \lambda (\hat{C}_j)=(c_1, c_2, \cdots , c_m) $, 其中$ \hat{C}_1, \hat{C}_2, \cdots , \hat{C}_r \in {{\cal H}} $. 我们可以得到

$ \begin{eqnarray*} A=\hat{C}_1+\hat{C}_2+\cdots+\hat{C}_r. \end{eqnarray*} $

类似地, 我们可以选择$ \tilde{C}_j $, 使得$ \lambda (\tilde{C}_j)=(c_1, c_2, \cdots , c_m, 0, 0, \cdots , 0, 0, \cdots ) $. 此时, 则可以说明确实存在$ C\in {{\cal H}} $, 使得$ (2) $成立, 取$ C=(c_1, c_2, \cdots , c_m) $即可.

显然, $ (3)\Longrightarrow (2) $成立.

注2.1  对于任意$ \rho \in {\mathcal S}(A, B) $, 其中$ A\in {\mathcal S}(H) $且$ B\in {\mathcal S}(K) $, 存在一个交换算子$ {\mathcal F} $, 使得$ {\mathcal F}(A\otimes B)=(B\otimes A) $且$ {\mathcal F}(\rho)\in {\mathcal S}(B, A) $. 这里$ {\mathcal F} $的具体作用结果如下: 若对于任意的量子态$ \rho $, 其表示形式为

$ \rho=\sum\limits_{i, j=1;k, l=1}^{d_H, d_K}t_{ij, kl}E_{ij}\otimes F_{kl}, $

那么

$ \begin{eqnarray*} {\mathcal F}(\rho)=\sum\limits_{i, j=1;k, l=1}^{d_H, d_K}t_{ij, kl}F_{kl}\otimes E_{ij}. \end{eqnarray*} $

推论2.2  设$ A\in {\mathcal S}(H) $和$ B\in {\mathcal S}(K), $存在酉算子$ U $和$ V $使得$ UAU^*=(\tilde{A}\oplus \check{O}) $, $ VBV^*=(\tilde{B}\oplus \hat{O}) $, $ tr(A)=tr(\tilde{A})=1 $且$ tr(B)=tr(\tilde{B})=1 $. 若$ \tilde{A}, \tilde{B} $的秩分别为$ n, m $, 其中$ n<\infty $, $ m<\infty $, 且$ n=rm $. 那么下列三者等价

$ (1) $存在$ \rho \in {\mathcal S}(A, B), $其秩小于等于$ r $.

$ (2) $存在$ C=(C_{ij})\in {{\cal H}_n} $, 其中$ C_{ij}\in M_m $. 使得$ \lambda(C\oplus \hat{O})=\lambda(B) $且$ \lambda(C_{11}\oplus \check{O}+C_{22}\oplus \check{O}+\cdots+C_{rr}\oplus \check{O})=\lambda(A) $.

$ (3) $$ \lambda(C_{11})=\lambda(C_{22})=\cdots=\lambda(C_{rr}) $时$ (2) $成立.

证  根据注$ 2.1 $交换算子的存在性, 我们只需要考虑$ rank(A)>rank(B) $的情况即可.

$ (1)\Rightarrow (2) $若$ (1) $成立, 且$ \tilde{A}, \tilde{B} $的秩满足关系$ n=rm $, 可以参考有限维情形的证明[3]. 利用文献[3] 中的定理2.5可得, 存在$ C=(C_{ij})\in H_n $, $ C_1, \cdots , C_r\in {{\cal H}}_m $, 且$ \tilde{C}_1, \cdots , \tilde{C}_r\in {{\cal H}}_n $, 使得$ \tilde{C}_j=U_j(C_j\oplus O_{(r-1)m})U^*_j $, 这里$ U_j $是一个$ n\times n $的酉算子. 取$ U_j $前$ m $列元素构成$ V_j $, 此时$ V_j\in {\mathcal M}_{n, m} $. 令$ R_j=V_jC^{1/2}_j $且$ R=[R_1|\cdots|R_r] $, 则$ C=R^*R $. 进而可以得出

$ {\rm (i)}\; \lambda(\tilde{C}_j)=\lambda(C_j\oplus O_{n-m}), \, \, \, \, \, {\rm (ii)}\; \tilde{A}=\sum\limits^r_{j=1}C_j, \, \, \, \, \, {\rm (iii)}\; \tilde{B}=\sum\limits^r_{j=1}\tilde{C}_j $

以及

$ \lambda(C)=\lambda(\tilde{B})=\lambda(R^*R)=\lambda(RR^*)=\lambda\bigg(\sum\limits^r_{j=1}\tilde{C}_j\bigg). $

$ \lambda(C_{11}+\cdots+C_{rr})=\lambda(\tilde{A})=\lambda\bigg(\sum\limits^r_{j=1}R^*_jR_j\bigg)=\lambda \bigg(\sum\limits^r_{j=1}C_j\bigg). $

因此

$ \lambda(A)=\lambda(UAU^*)=\lambda(\tilde{A}\oplus \check{O})=\lambda(C_{11}\oplus \check{O}+C_{22}\oplus \check{O}+\cdots+C_{rr}\oplus \check{O}) $

$ \lambda(B)=\lambda(VBV^*)=\lambda(\tilde{B}\oplus \hat{O})=\lambda(C\oplus \hat{O}) $

即$ C=R^*R $满足条件$ (2) $.

$ (2)\Rightarrow (1) $若$ (2) $成立. 令$ C=R^*R, $其中$ R=[R_1|\cdots|R_r], $且$ R_j\in {\mathcal M}_{n, m} $. 取$ C_{ii}=R^*_iR_i $, 显然$ \lambda(C)=\lambda(RR^*) $. 因此, 我们有

$ \tilde{A}=R^*_1R_1+\cdots+R^*_rR_r, {\quad} \tilde{B}=R_1R^*_1+\cdots+R_rR^*_r, $

且

$ \lambda(\tilde{A})=\lambda(R^*_1R_1+\cdots+R^*_rR_r)=\lambda (C_{11}+C_{22}+\cdots+C_{rr}), $

$ \lambda(C)=\lambda(RR^*)=\lambda(R_1R^*_1+\cdots+R_rR^*_r)=\lambda(\tilde{B}). $

也就是说, $ \lambda(A)=\lambda(C_{11}\oplus \check{O}+C_{22}\oplus \check{O}+\cdots+C_{rr}\oplus \check{O}) $且$ \lambda(B)=\lambda(C\oplus \hat{O}) $. 由于$ \lambda(R_iR^*_i)=\lambda(R^*_iR_i\oplus O_{(r-1)m}), $因此利用定理2.2中前两者的等价性即可证明结论成立.

$ (2)\Leftrightarrow (3) $利用定理2.2的结论即可证明.