在量子力学的数学框架中, 一个封闭的量子系统用复Hilbert空间$H$表示, 量子态为$H$上迹为1的正算子^[1]. 令$H$和$K$分别为两个无限维复Hilbert空间. 用${\mathcal B}(H)$表示$H$上的所有有界线性算子构成的代数, ${\mathcal S}(H)$表示复Hilbert空间$H$上所有量子态. ${\mathcal M}_{m, n}$表示$m\times n$复矩阵的集合, 其中${\mathcal M}_n = {\mathcal M}_{n, n}$. 量子态$\rho^{HK}\in {\mathcal S}(H\otimes K)$的偏迹映射是一个满足下列运算性质的线性变换

我们称$tr_H(\rho^{HK})$与$tr_K(\rho^{HK})$是态$\rho^{HK}$的两个约化态^[1].

在量子信息理论中, 一个有趣的问题是: 在已知态$\rho^{HK}$的两个约化态的情况下, 如何确定$\rho^{HK}$的秩. 对该问题的研究既受到了量子物理学者们的关注^[2-4], 也被许多数学工作者探讨^[5-7]. 最近, Li等在文献[3] 和[4]中, 定义了以下集合: 设$H$和$K$为有限维的两个复Hilbert空间, 对于任意给定的$A\in{\mathcal S}(H)$和$B\in{\mathcal S}(K),$集合${\mathcal S}(A, B)=\{\rho\in{{\mathcal S}(H\otimes K)}:tr_H(\rho)=B, \, \, tr_K(\rho)=A\},$并获得了计算该集合中任意元$\rho$秩的所有可能值的方法. 本文研究上述问题在无限维系统中的解决.

在阐述主要结果前, 我们介绍一些术语和标记. 在本文中, ${\mathcal S}(H\otimes K)$中的两体态往往需要进行矩阵表示. 令$\{{e_n\}_{n=1}^{d_H}}$和$\{{u_m\}_{m=1}^{d_K}}$分别为空间$H$和$K$中的标准基($d_H, d_K$分别是$H, K$的维数), 则${\{e_n\otimes u_m\}}_{n=1, m=1}^{d_H, d_K}$成为$H\otimes K$上的标准基, 且$e_iu_j^t=G_{ij}$. 量子态$\rho\in{\mathcal S}(H\otimes K)$可用矩阵表示为

因此

$\rho$的约化态形式如下

我们用$X^{t}$和$X^{*}$分别表示一个算子或者向量$X$的转置和共轭转置

当空间维数为$n$时, 将${{\cal H}}, {\mathcal K}$分别记为${\cal H}_n, {\mathcal K}_n$. 用${\mathcal U}$和${\mathcal V}$分别表示${\mathcal B}(H)$和${\mathcal B}(K)$上酉算子的集合. ${{\Bbb R}} ^n_{\downarrow}$表示${{\Bbb R}} ^n$中$n$元组按递减顺序排列后的集合. 若$\sigma\in{{\cal H}},$那么$\lambda(\sigma)=(\lambda_1(\sigma), \cdots , \lambda_n(\sigma))\in{{{\Bbb R}} ^n_{\downarrow}}$表示按递减顺序排列的$\sigma$的特征值. 为了明确偏迹与算子结构间的关系, 我们首先需要考虑下面的两个线性映射^[4]

这两个映射在有限维的情况下已经被广泛的讨论. 这里, 对于$w=(w_1, \cdots , w_{mn})^{t}\in C^{mn},$$W=[w]$是$m\times n$矩阵, 其中第$j$列的元素为$(w_{(j-1)n+1}, \cdots , w_{jn})^{t},$$vec$是把$m\times n$矩阵转化为$w=vec(W)\in C^{mn}$的逆映射, 使得$W=[w]$. 值得注意的是

我们可以将上述有限维技巧推广到无限维情形. 假设$dim H\otimes K=+\infty$, $T\in C_2(H\otimes K)$, $Z\in C_2(K\otimes K, H\otimes H)$($C_2(H, K)$表示由$B(H, K)$中的Hilbert-Schmidt算子组成的Hilbert空间, 当$H=K$时, 简记为$C_2(H)$). $\{|m\rangle\}$和$\{|\mu\rangle\}$分别为$H$和$K$的标准基. 则$T$和$Z$有矩阵表示

且

如果

那么$Z$是$T$关于基$|m\rangle|\mu\rangle$的重排算子, 记为$T^{R}=Z$. 最后, 我们观察下面的酉相似不变性是成立的, 对于任意酉算子$U$和$V$, 有

在这一节中, 考虑$H, K$为无限维Hilbert空间的情况. 对于任意给定的$A\in {\mathcal S}(H)$和$B\in {\mathcal S}(K),$设${\mathcal S}(A, B)=\{\rho\in{{\mathcal S}(H\otimes K)}:tr_H(\rho)=B, \, \, tr_K(\rho)=A\},$我们确定了该集合${\mathcal S}(A, B)$中量子态的秩的范围.

定理2.1   设$(A, B)\in {\mathcal S}(H)\times {\mathcal S}(K)$且$rank(A)=r_1\geq r_2 =rank(B)<+\infty$. 若${\mathcal S}(A, B)$中存在一个元素达到最小秩$r$且$r\leq r_1$. 那么, ${\mathcal S}(A, B)$中存在秩为$k$的量子态的充要条件是$r\leq k \leq r_1r_2$.

证  由集合${\mathcal S}(A, B)$的酉相似不变性可知

如果$\rho=\sum\limits_{j=1}^kz_jz_j^{*}\in{\mathcal S}(A, B),$那么$tr_H(\rho)=B$且$tr_K(\rho)=A$.

由于量子态的迹为1, 那么约化态的秩已知的量子态可以利用这个特征来表示, 具体如下

$1\leq i\leq r_1$且$1\leq j\leq r_2$时, 令$v_{ij}=\sqrt{\lambda_i\hat{\lambda}_j}e_i \otimes u_j$. 对于$l=1, \cdots , r_1,$令

那么, 利用偏迹的计算可以得到

同理, 可以得到

首先, 证明${\mathcal S}(A, B)$中包含秩为$r_1, \cdots , r_1r_2$的量子态. 令

那么$\rho$的秩为$r_1$. 由(2.1) 式和(2.2) 式中偏迹的具体表示形式以及$\rho$的计算方式(2.3) 式可见$\rho\in{\mathcal S}(A, B)$. 在(2.3) 式中, 如果我们用

代替$z_1z_1^*,$那么${\mathcal S}(A, B)$中量子态的秩为$p+r_1,$其中$p=1, \cdots , r_2-1$. 类似地, 我们可以用秩为$p+1$的算子来代替每一个$z_jz_j^*,$其中$p=1, \cdots , r_2-1$. 通过这样的替换之后生成的量子态还是属于集合${\mathcal S}(A, B)$. 因此, ${\mathcal S}(A, B)$中包含秩为$r_1, \cdots , r_1r_2$的量子态.

其次, 利用归纳法证明${\mathcal S}(A, B)$中包含秩为$r, r+1\cdots , r_1$的量子态. 由于${\mathcal S}(A, B)$中存在量子态$\rho,$其秩为$r$且$r<r_1$. 那么存在

利用Schmidt分解可知, 对于任意$j,$$z_j=\sum\limits_{l=1}^{t_j}s_{jl}x_{jl}\otimes y_{jl},$其中$t_j$是$[z_j]$的秩. 令$w_{jl}=s_{jl}x_{jl}\otimes y_{jl}$. 类似于前面的证明方法, 我们可以用

代替$z_jz_j^*$. 显然, 替换之后的量子态仍然属于${\mathcal S}(A, B)$. 因此, 集合${\mathcal S}(A, B)$中包含秩为$r, r+1\cdots , r_1$的量子态.

结合上面两部分的证明(实际上具体构造出了集合中满足条件的量子态)可以说明${\mathcal S}(A, B)$中存在量子态的秩为$k$的充要条件是$r\leq k \leq r_1r_2$.

接下来, 我们通过例子来帮助理解上面的定理.

例2.1  若$A=diag(a_1, a_2, a_3, \cdots , 0, 0, \cdots )\in{\mathcal S}(H)$和$B=diag(b_1, b_2, \cdots , 0, 0, \cdots )\in{\mathcal S}(K),$其中$A$和$B$的特征值由递减顺序排列, $rank(A)=r_1=3$且$rank(B)=r_2=2$. 由定理$2.1$的结论表明：如果$\rho\in {\mathcal S}(A, B),$那么集合${\mathcal S}(A, B)$中量子态的秩最大为$6$. 具体构造方式如下

那么, $\rho_1=z_1{z_1}^{*}+z_2{z_2}^{*}+z_3{z_3}^{*}\in{\mathcal S}(A, B)$的秩为$3$. 利用定理$2.1$证明过程中的替换方式, 我们可以得到$\rho_2=v_{11}{v_{11}}^{*}+v_{22}{v_{22}}^{*}+z_2{z_2}^{*}+z_3{z_3}^{*}\in{\mathcal S}(A, B)$, 其秩为$4$. $\rho_3=v_{11}{v_{11}}^{*}+v_{22}{v_{22}}^{*}+v_{21}{v_{21}}^{*}+v_{32}{v_{32}}^{*}+z_3{z_3}^{*}\in{\mathcal S}(A, B)$, 其秩为$5$. $\rho_4=v_{11}{v_{11}}^{*}+v_{22}{v_{22}}^{*}+v_{21}{v_{21}}^{*}+v_{32}{v_{32}}^{*}+v_{31}{v_{31}}^{*}+v_{12}{v_{12}}^{*}\in{\mathcal S}(A, B)$, 其秩为$6$.

推论2.1  设$(A, B)\in {\mathcal S}(H) \times {\mathcal S}(K)$, 其中$rank(A)<+\infty, rank(B)<+\infty$, 那么${\mathcal S}(A, B)$中存在一个秩为$\mathrm{1}$的量子态$\rho$的充分必要条件是$A$和$B$有相同的非零特征值.

进一步可以说明, 存在秩为$k$的量子态$\rho\in {\mathcal S}(A, B)$当且仅当$1\leq k \leq r^2$, 其中$r$为$A$和$B$特征值个数.

证  若$\rho$是一个秩为1的量子态, 那么$\rho$可以表示为$\rho=\nu\nu^{*}\in{\mathcal S}(A, B)$, 这里$\nu$有奇异值分解${\nu=\sum\limits^\infty_{i=1}s_i(\nu)f_i \otimes g_i},$其中$s_i(\nu)$是$\nu$的奇异值, $f_i \otimes g_i$是秩一投影. 而且约化态$A, B$的非零特征值的个数有限. 因此, $\rho=\nu\nu^{*}$当且仅当$A=\sum\limits^r_{i=1}s_i^2(\nu)f_if_i^{*}$且$B=\sum\limits ^r_{i=1}s_i^2(\nu )g_ig_i^{*}$.

若$A$和$B$有相同的非零特征值, 即它们有相同的秩$r,$从而结合定理2.1即可得出结论：存在秩为$k$的量子态$\rho\in {\mathcal S}(A, B)$当且仅当$1\leq k \leq r^2$.

同样地, 我们通过例子来帮助理解上面的定理.

例2.2   若$A=diag(\lambda_1, \lambda_2, 0, \cdots , 0, \cdots )\in {\mathcal S}(H)$且$B=diag(\lambda_1, \lambda_2, 0, \cdots , 0, \cdots )\in {\mathcal S}(K),$其中$\lambda_1 \geq \lambda_2>0$. 推论$2.1$表明${\mathcal S}(A, B)$中量子态$\rho$的秩$r$的范围是$1\leq r\leq 4$. 令$z_1=\nu_{11}+\nu_{22}=(\lambda_1, 0, 0, \cdots 0, \cdots , \lambda_2, 0, 0, \cdots , 0, \cdots )^{t}$, 那么$\rho_1=z_1z_1^{*}\in {\mathcal S}(A, B),$其秩为$1$. 令$z_2=\nu_{21}+\nu_{12}=(0, (\lambda_1 \lambda_2)^{1/2}, 0, \cdots 0, \cdots , 0, (\lambda_2 \lambda_1)^{1/2}, 0, \cdots , 0, \cdots )^{t},$那么$\rho_2=z_1z_1^{*}+z_2z_2^{*}\in {\mathcal S}(A, B),$其秩为$2$. 同理, 可以得到$\rho_3=(\nu_{11}+\nu_{12})(\nu_{11}+\nu_{12})^{*}+\nu_{21}\nu_{21}^{*}+\nu_{31} \nu_{31}^{*} \in {\mathcal S}(A, B),$其秩为$3$. $\rho_4=\nu_{11}\nu_{11}^{*}+\nu_{12}\nu_{12}^{*} +\nu_{21}\nu_{21}^{*}+\nu_{31}\nu_{31}^{*} \in {\mathcal S}(A, B),$其秩为$4$.

若$\rho\in {\mathcal S}(A, B),$其秩小于等于$r$, 那么一定存在一个$d_Hd_K \times r$的算子$D$, 使得$tr_H(DD^{*})=B$且$tr_K(DD^{*})=A$. 令$W_i=[v_i]$, 其中$v_i$是$D$的第$i$列的元素, 且$1\leq i\leq r$. 那么可以得到$A=W_1(W_1)^{*}+\cdots+W_r(W_r)^{*}$且$B={W_1}^{t}({W_1}^{t})^{*}+\cdots+{W_r}^{t}({W_r}^{t})^{*}$.

为了确定集合${\mathcal S}(A, B)$中秩最小的量子态, 我们需要研究特征值与算子和之间的关系. 幸运的是已经有学者研究了这两者之间的关系^[5-7], 其中Bercovici等^[7] 证明了若一个正紧算子可以表示为一列正紧算子的和, 那么其特征值具有Horn不等式关系. 因此, 首先指出下面的引理, 这一引理为无限维的推广奠定了基础.

引理2.1   令$\alpha, \beta^{(1)}, \cdots , \beta^{(m)}$是一些极限为$0$的递减序列, 那么下面两者等价

(1) 存在正紧算子$A, B^{(1)}, \cdots , B^{(k)}$, 使得$A={\sum\limits^{m} _{k=1}}B^{(k)}$, 其中$\Lambda_+(A)=\alpha$, $\Lambda_+(B^{(k)})=\beta ^{(k)}$, $k=1, 2, \cdots , m$.

(2) 对于任意$r<N$, $q_1, \cdots , q_m\geq 0$, 使得$q=q_1+\cdots+q_m\leq r$, 并且$(I, J^{1}, \cdots , J^{m})\in T_r^{N}(m+1)$, 有Horn不等式

和不等式

其中, $T_r^{N}(m+1)$是指$[N]={1, 2, \cdots , N}$这$N$个正整数中任意取$r$个数, 每次取完后构成新的集合, 这样重复选取$m+1$次之后构成的$m+1$个元组$I, J^{1}, \cdots , J^{m}$的集合, 且$0\leq r\leq N.$$N$是特征值的个数, $q_k$表示正特征值的个数, $I^c=N\setminus I$表示$I$的补, $I^c_q$表示$I^c$中$q$个最小元素组成的集合. $\Lambda_+(A), \Lambda_+(B^{(k)})$表示各自的特征值序列.

下面给出本文的主要定理, 引理2.1在该定理的证明过程中起着重要的作用.

定理2.2  若$A\in {\mathcal S}(H)$且$B\in {\mathcal S}(K)$. 则下列三者等价

(1) 存在$\rho \in {\mathcal S}(A, B)$, 其秩小于等于$r$.

(2) 存在$C_1, \cdots , C_r\in {{\cal H}}$和$\tilde{C}_1, \cdots , \tilde{C}_r\in {\mathcal K}$, 使得

(3) 存在$C\in {{\cal H}}$, 使得$\lambda(C_j)=\lambda(C)$, $\lambda(\tilde{C}_j)=\lambda(C\otimes O_{d_K-d_H})$, 其中$C_j$和$\tilde{C}_j$满足$(2)$, $1\leq j \leq r$.

证  $(1)\Rightarrow (2)$若${\mathcal S}(A, B)$中存在秩为$r$的量子态$\rho$, 那么存在$W_1, \cdots , W_r$, 使得

取$C_j=W_j{W_j}^{*}$且$\tilde{C}_j={W_j}^{t}({W_j}^t)^*$, 显然$C_j$和$\tilde{C}_j$满足条件$(2)$.

$(2)\Rightarrow (1)$利用$(1)\Rightarrow (2)$证明过程中产生的$W_i$, 取

容易证明该$\rho \in {\mathcal S}(A, B)$, 且其秩小于等于$r$.

$(2)\Rightarrow (3)$假设$\lambda (A)=(a_1, a_2, \cdots , a_m, 0, 0, 0, \cdots )$, $\lambda (C_j)=(c_{1j}, c_{2j}, \cdots , c_{mj}, 0, 0, 0, \cdots )$, $j=1, \cdots , r$. 令$(I, J^{1}, \cdots , J^{m})\in T_r^{N}(m+1)$, 且$\pi =(1, 2, \cdots , r)$是${1, 2, \cdots , r}$的循环重排, 具体地, 有$\pi(j)=j+1$, $1\leq j <r$且$\pi(r)=1$. 那么$(I, J^{\pi ^k(1)}, J^{\pi ^k(2)}, \cdots , J^{\pi ^k(r)}) \in T_r^{N}(m+1)$. 因为$A=C_1+\cdots +C_r$, 由引理2.1, 我们有

其中$0\leq k \leq r$.

因此, 上面的式子具体化之后可以得到

将这$r$个式子相加后可以得到

即

类似地, 可以说明逆向不等式也是成立的.

如果对于$1\leq j \leq r$, 取$\lambda (\hat{C}_j)=(c_1, c_2, \cdots , c_m)$, 其中$\hat{C}_1, \hat{C}_2, \cdots , \hat{C}_r \in {{\cal H}}$. 我们可以得到

类似地, 我们可以选择$\tilde{C}_j$, 使得$\lambda (\tilde{C}_j)=(c_1, c_2, \cdots , c_m, 0, 0, \cdots , 0, 0, \cdots )$. 此时, 则可以说明确实存在$C\in {{\cal H}}$, 使得$(2)$成立, 取$C=(c_1, c_2, \cdots , c_m)$即可.

显然, $(3)\Longrightarrow (2)$成立.

注2.1  对于任意$\rho \in {\mathcal S}(A, B)$, 其中$A\in {\mathcal S}(H)$且$B\in {\mathcal S}(K)$, 存在一个交换算子${\mathcal F}$, 使得${\mathcal F}(A\otimes B)=(B\otimes A)$且${\mathcal F}(\rho)\in {\mathcal S}(B, A)$. 这里${\mathcal F}$的具体作用结果如下: 若对于任意的量子态$\rho$, 其表示形式为

那么

推论2.2  设$A\in {\mathcal S}(H)$和$B\in {\mathcal S}(K),$存在酉算子$U$和$V$使得$UAU^*=(\tilde{A}\oplus \check{O})$, $VBV^*=(\tilde{B}\oplus \hat{O})$, $tr(A)=tr(\tilde{A})=1$且$tr(B)=tr(\tilde{B})=1$. 若$\tilde{A}, \tilde{B}$的秩分别为$n, m$, 其中$n<\infty$, $m<\infty$, 且$n=rm$. 那么下列三者等价

$(1)$存在$\rho \in {\mathcal S}(A, B),$其秩小于等于$r$.

$(2)$存在$C=(C_{ij})\in {{\cal H}_n}$, 其中$C_{ij}\in M_m$. 使得$\lambda(C\oplus \hat{O})=\lambda(B)$且$\lambda(C_{11}\oplus \check{O}+C_{22}\oplus \check{O}+\cdots+C_{rr}\oplus \check{O})=\lambda(A)$.

$(3)$$\lambda(C_{11})=\lambda(C_{22})=\cdots=\lambda(C_{rr})$时$(2)$成立.

证  根据注$2.1$交换算子的存在性, 我们只需要考虑$rank(A)>rank(B)$的情况即可.

$(1)\Rightarrow (2)$若$(1)$成立, 且$\tilde{A}, \tilde{B}$的秩满足关系$n=rm$, 可以参考有限维情形的证明[3]. 利用文献[3] 中的定理2.5可得, 存在$C=(C_{ij})\in H_n$, $C_1, \cdots , C_r\in {{\cal H}}_m$, 且$\tilde{C}_1, \cdots , \tilde{C}_r\in {{\cal H}}_n$, 使得$\tilde{C}_j=U_j(C_j\oplus O_{(r-1)m})U^*_j$, 这里$U_j$是一个$n\times n$的酉算子. 取$U_j$前$m$列元素构成$V_j$, 此时$V_j\in {\mathcal M}_{n, m}$. 令$R_j=V_jC^{1/2}_j$且$R=[R_1|\cdots|R_r]$, 则$C=R^*R$. 进而可以得出

以及

因此

即$C=R^*R$满足条件$(2)$.

$(2)\Rightarrow (1)$若$(2)$成立. 令$C=R^*R,$其中$R=[R_1|\cdots|R_r],$且$R_j\in {\mathcal M}_{n, m}$. 取$C_{ii}=R^*_iR_i$, 显然$\lambda(C)=\lambda(RR^*)$. 因此, 我们有

且

也就是说, $\lambda(A)=\lambda(C_{11}\oplus \check{O}+C_{22}\oplus \check{O}+\cdots+C_{rr}\oplus \check{O})$且$\lambda(B)=\lambda(C\oplus \hat{O})$. 由于$\lambda(R_iR^*_i)=\lambda(R^*_iR_i\oplus O_{(r-1)m}),$因此利用定理2.2中前两者的等价性即可证明结论成立.

$(2)\Leftrightarrow (3)$利用定理2.2的结论即可证明.