数学模型在研究传染病的传播规律和预防控制方面起着重要的作用. 在疾病的传播过程中, 病原体不仅可以通过飞沫、血液、接触、虫媒等方式在生物体之间进行传播, 也可以在环境中长期存在(如霍乱弧菌, 新型冠状病毒等), 一旦有生物体接触也会被感染. 因此, 在传染病的数学建模中, 考虑病原体在环境与生物体之间传播是十分有必要的^{[1, 2]}. 此外, 随着世界经济, 文化的交流日益增多, 人们的流动越来越频繁, 这为传染病的跨区域传播提供了"肥沃的土壤". 从数学建模的角度, 众多国内外学者建立并讨论了各类具有反应扩散的传染病模型^[3−5]. 特别地, Dwyer^[6]提出了如下生物体具有反应扩散而环境病原体不具有反应扩散的传染病模型

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{\partial S}{\partial t} = d\Delta S+r\left(1-\frac{S+I}{K} \right) S-\beta SP, &x \in {\mathbb R}, \ t>0, \\ { } \frac{\partial I}{\partial t} = d\Delta I+\beta SP-bI-r\frac{S+I}{K}I, &x \in {\mathbb R}, \ t>0, \\ { } \frac{\partial P}{\partial t} = cI-mP, &x \in {\mathbb R}, \ t>0, \end{array}\right. \end{equation} $

考虑了模型行波解的存在性, 这里$ S $, $ I $, $ P $分别代表易感宿主, 感染宿主和环境中的病原体的数量或浓度. 进一步, Wu等人^[7]在模型(1.1) 的基础上, 建立了具有不同扩散系数和线性增长的宿主病原体模型, 讨论了全局吸引子的存在性与解半流的渐近光滑性, 以及模型的阈值动力学行为. Shi等人^[8]将模型(1.1) 推广至具有水平传播, 因病死亡和宿主对环境中病原体有损耗的反应扩散模型, 讨论了疾病的持久性与灭绝性和分支现象.

基于上述讨论, 本文提出一类具有水平传播和环境传播的反应扩散传染病模型, 讨论模型解的适定性, 疾病的持久性与灭绝性等阈值动力学行为.

令$ S(x, t) $, $ I(x, t) $, $ P(x, t) $分别表示位置$ x $, 时刻$ t $易感宿主, 感染宿主和环境中的病原体的数量或浓度. 基于病原体在环境和宿主之间的传播规律提出如下反应扩散模型

(2.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{\partial S}{\partial t} = d\Delta S+r(x) \left(1-\frac{S+I}{K(x)} \right) S-\beta_{1}(x)\frac{SI}{S+I}-\beta_{2}(x)SP-a(x)S, &x \in \Omega, \ t>0, \\ { } \frac{\partial I}{\partial t} = d\Delta I+\beta_{1}(x)\frac{SI}{S+I}+\beta_{2}(x)SP-b(x) I, &x \in \Omega, \ t>0, \\ { } \frac{\partial P}{\partial t} = d\Delta P+c(x)I-m(x)P, &x \in \Omega, \ t>0, \end{array}\right. \end{equation} $

满足Neumann边界条件$ \frac{\partial S}{\partial \nu}=\frac{\partial I}{\partial \nu}=\frac{\partial P}{\partial \nu}=0, \ x \in \partial\Omega, \ t>0, $和初值条件$ S(x, 0)=S_{0}(x) \geq 0 $, $ I(x, 0)=I_{0}(x) \geq 0 $, $ P(x, 0)=P_{0}(x) \geq 0 $, $ x \in \bar{\Omega} $. 这里$ d>0 $为宿主和病原体的扩散速率, $ r(x) $为宿主的繁殖率, $ K(x) $为宿主的环境承载量, $ \beta_{1}(x) $为病原体从染病宿主到易感宿主的传播率, $ \beta_{2}(x) $为环境病原体到易感宿主的传播率, $ a(x) $为易感宿主的自然死亡率, $ b(x) $为染病宿主的移出率(包括自然死亡和因病死亡), $ c(x) $为病原体从染病宿主到环境的脱落率, $ m(x) $为病原体的耗散率. 空间$ \Omega \in {\mathbb R}^{n} $是有界的, 且边界$ \partial\Omega $是光滑的. $ {\partial}/{\partial \nu} $表示单位向外法向量$ \nu $在边界上的导数. 初值条件$ (S_{0}(x) , I_{0}(x) , P_{0}(x)) $, $ x \in \bar{\Omega} $是非负连续函数. 基于模型(2.1) 的生物背景, 提出下列假设

$ ({\rm H}_1) $与空间位置$ x $相关的参数$ r(x) $, $ K(x) $, $ \beta_{1}(x) $, $ \beta_{2}(x) $, $ a(x) $, $ b(x) $, $ c(x) $, $ m(x) $在$ \bar{\Omega} $上是严格正的和Hölder连续的, 且$ r(x)> a(x) $, $ x \in \bar{\Omega} $.

记$ { } g^{*}: =\max\limits _{x \in \bar{\Omega}} g(x) $, $ { } g_{*}: =\min\limits _{x \in \bar{\Omega}} g(x) $. 定义(2.1) 的状态空间$ {\mathbb X}:= C(\bar{\Omega}, {\mathbb R}^{3}) $, 其极值范数为$ { } \Vert \varphi \Vert_{\mathbb X} :=\max \big\{\sup\limits_{x \in \bar{\Omega}}\left|\varphi_{1} (x) \right|, \sup\limits_{x \in \bar{\Omega}}\left|\varphi_{2} (x) \right|, \sup\limits_{x \in \bar{\Omega}}\left|\varphi_{3} (x) \right|\big\}, $$ \varphi=\left (\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}\right) \in {\mathbb X}. $令$ {\mathbb X}^{+} := C(\bar{\Omega}, {\mathbb R}_{+}^{3}) $, 则$ ({\mathbb X}, {\mathbb X}^{+}) $为一个有序的Banach空间. 记$ \Gamma (dt, x, y) $是满足Neumann边界条件算子$ d\Delta $的Green函数. 定义$ A_{i}(t):C(\bar{\Omega}, {\mathbb R}) \rightarrow C(\bar{\Omega}, {\mathbb R}) \ (i=1, 2, 3) $满足Neumann边界条件算子$ d\Delta -\varrho_i(x) $的$ C_{0} $ -半群, 其中$ \varrho_1(x)=a(x) $, $ \varrho_2(x)=b(x) $, $ \varrho_3(x)=m(x) $. 事实上, 即对任意$ \varphi \in C (\bar{\Omega}, {\mathbb R}) $, 定义

$ \begin{eqnarray*} A_{i}(t) (\varphi (x))={\rm e}^{-\varrho_i(x) t}\int_{\Omega} \Gamma (dt, x, y) \varphi_{i} (y) {\rm d} y, \quad t>0, \ i=1, 2, 3. \end{eqnarray*} $

根据文献[9, 推论7.2.3] 可知, $ A_{i}(t): C (\bar{\Omega}, {\mathbb R}) \rightarrow C(\bar{\Omega}, {\mathbb R}) \ (i=1, 2, 3) $是强正的和紧致的. 于是, 对任意$ \varphi \in {\mathbb X} $, $ {\mathcal A} (t) (\varphi (x)):= (A_{1}(t) (\varphi (x)) , A_{2} (t) (\varphi (x)) , A_{3} (t) (\varphi (x)) )^{T} $是一个$ {\mathbb X} \rightarrow {\mathbb X} $的$ C_{0} $ -半群且满足$ {\mathcal A} (t) {\mathbb X}^{+} \subset {\mathbb X}^{+} $, $ t \geq 0 $. 此外, 定义算子$ {\mathcal F}: {\mathbb X}^{+} \rightarrow {\mathbb X} $为

$ {\mathcal F} (t) (\varphi (x)) : =\left (\begin{array}{c} F_{1} (\varphi (x)) \\ F_{2} (\varphi (x)) \\ F_{3} (\varphi (x)) \end{array}\right) =\left (\begin{array}{c} { } r(x) \left(1-\frac{\varphi_{1}+\varphi_{2}}{K(x)} \right) \varphi_{1}-\beta_{1}(x)\frac{\varphi_{1} \varphi_{2}}{\varphi_{1}+\varphi_{2}}-\beta_{2}(x) \varphi_{1} \varphi_{3} \\ { } \beta_{1}(x)\frac{\varphi_{1} \varphi_{2}}{\varphi_{1}+\varphi_{2}}+\beta_{2}(x) \varphi_{1} \varphi_{3} \\ c(x) \varphi_{2} \end{array}\right), $

其中$ x \in \bar{\Omega} $, $ \varphi=\left (\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}\right) \in {\mathbb X}^{+} $, 则模型(2.1) 可以被改写为如下积分方程

$ u(t)={\mathcal A}(t) \varphi+\int^{t}_{0}{\mathcal A}(t-s) {\mathcal F}(u(x, s)) {\rm d} s, $

这里$ u(t)=(S(x, t), I(x, t), P(x, t))^{T} $. 下面引理给出了模型(2.1) 的解在$ {\mathbb X}^{+} $上的性质.

引理2.1   对于任意初值函数$ \varphi=\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}\right) \in {\mathbb X}^{+} $, 模型(2.1) 在$ \bar{\Omega} \times [0, T) $上存在唯一的非负解$ u(x, t;\varphi):=(S(x, t), I(x, t), P(x, t)) \in {\mathbb X}^{+} $, 满足$ u(x, 0;\varphi)=\varphi $, 其中$ T\leq\infty $.

证   由文献[10, 推论4], 只需证明, 对于任意$ \varphi \in {\mathbb X}^{+} $,

(2.2) $ \begin{equation} \lim\limits _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{h}{\rm dist}\left (\varphi+h {\mathcal F} (\varphi), {\mathbb X}^{+}\right)=0. \end{equation} $

事实上, 对于任意$ \varphi \in {\mathbb X}^{+} $和$ h\geq0 $, 有

$ \begin{eqnarray*} \varphi+h {\mathcal F} (\varphi) &= &\left(\begin{array}{cc} { } \varphi_{1}+h\left(r(x) \left(1-\frac{\varphi_{1}+\varphi_{2}}{K(x)}\right) \varphi_{1}-\beta_{1}(x) \frac{\varphi_{1} \varphi_{2}}{\varphi_{1}+\varphi_{2}}-\beta_{2}(x) \varphi_{1} \varphi_{3}\right) \\ { } \varphi_{2}+h\left(\beta_{1}(x) \frac{\varphi_{1} \varphi_{2}}{\varphi_{1}+\varphi_{2}}+\beta_{2}(x) \varphi_{1} \varphi_{3} \right) \\ \varphi_{3}+h\left(c(x) \varphi_{2} \right) \end{array}\right) \\ &\geq & \left(\begin{array}{cc} { } \varphi_{1}\left[1-h\left (\frac{r_{*}}{K_{*}} (\varphi_{1}+\varphi_{2}) +\beta^{*}_{1}\frac{\varphi_{2}}{\varphi_{1}+\varphi_{2}}+\beta^{*}_{2}\varphi_{3} \right) \right] \\ \varphi_{2} \\ \varphi_{3} \end{array}\right). \end{eqnarray*} $

故当$ h\rightarrow0^{+} $时, (2.2) 式成立.证毕.

为讨论模型(2.1) 全局正解的存在性, 我们考虑下面的反应扩散模型

(2.3) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{\partial W}{\partial t}=d\Delta W+r(x) \left(1-\frac{W}{K(x)}\right) W-a(x) W, \ x \in \Omega, \ t>0, \\ { } \frac{\partial W}{\partial \nu}=0, \ x \in \partial\Omega, \ t>0, \quad W (x, 0)=W^{0}(x), \ x \in \bar{\Omega}. \end{array}\right. \end{equation} $

关于模型(2.3) 的动力学行为, 直接应用文献[11, 定理3.15和3.16], 有下面的结论.

引理2.2   对于任意$ d>0 $和$ W^{0}(x)>0 $, 模型(2.3) 存在唯一的正稳态解$ U^{*}(x) $, 且在$ C(\bar{\Omega}, {\mathbb R}^+) $上是全局渐近稳定的.

直接应用文献[12, 引理1], 关于反应扩散模型

(2.4) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll}{ } \frac{\partial Q}{\partial t}=d\Delta Q+\lambda(x)-d(x)Q, \ x \in \Omega, \ t>0, \\ { } \frac{\partial Q}{\partial \nu}=0, \ x \in \partial\Omega, \ t>0, \quad Q(x, 0)=Q^{0}(x), \ x \in \bar{\Omega} \end{array}\right. \end{equation} $

稳态解的存在性与稳定性, 我们有下面的引理

引理2.3   假设$ \lambda(x) $, $ d(x)>0 $, $ x \in \bar{\Omega} $, 则模型(2.4) 存在唯一的正稳态解$ q^{*}(x) $, 且在$ C(\bar{\Omega}, {\mathbb R}) $上是全局渐近稳定的.

定理2.1   对于任意初值函数$ \varphi \in {\mathbb X}^{+} $, 模型(2.1) 在$ \bar{\Omega} \times [0, \infty) $上存在唯一的非负解$ u(x, t; \varphi) $, 满足$ u(x, 0; \varphi) =\varphi $, 且由模型(2.1) 生成的解半流$ \Phi(t)\varphi=(S(x, t;\varphi), I(x, t;\varphi) $, $ P(x, t;\varphi)) $是点耗散的.

证   令$ U(x, t)=S(x, t)+I(x, t) $, 则$ U(x, t) $满足

(2.5) $ \begin{equation} \frac{\partial U}{\partial t} \leq d\Delta U+r(x) \left(1-\frac{U}{K(x)}\right) U-a(x)U, \quad x \in \Omega, \ t>0 \end{equation} $

和初值条件$ U(x, 0)=S(x, 0)+I(x, 0) $, $ x \in \bar{\Omega} $. 由引理2.2和比较原理知

(2.6) $ \begin{equation} \limsup\limits_{t\rightarrow \infty}U (x, t) \leq U^{*}(x) , \quad \mbox{对所有} \ x \in \bar{\Omega} \ \mbox{一致成立}. \end{equation} $

因此对于充分大的$ t $, 有$ \Vert U(x, t) \Vert \leq \Vert U^{*}(x) \Vert := M $, 其中$ M $与初值无关. 即$ U(x, t) $是一致有界的. 由引理2.1可得$ S(x, t) $和$ I(x, t) $是一致有界的. 进一步, 对于足够大的$ t $, 由模型(2.1) 的第三个方程可得$ \frac{\partial P}{\partial t} \leq d\Delta P+c (x) M-m (x) P $, 根据比较原理及引理2.3可知$ P(x, t) $也是一致有界的.

根据(2.6) 式, 存在$ t_{1}>0 $和$ \varepsilon>0 $, 使得对$ t\geq t_{1} $有$ U(x, t) \leq U^{*}(x) +\varepsilon $. 即$ U(x, t) $是最终有界的. 由引理2.1可得$ S(x, t) $和$ I(x, t) $是最终有界的. 类似可得$ P(x, t) $也是最终有界的. 因此(2.1) 的解是全局存在的, 且由(2.1) 生成的解半流$ \Phi(t) $是点耗散的. 证毕.

模型(2.1) 的稳态解满足如下椭圆方程

(3.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } d\Delta S+r(x) \left(1-\frac{S+I}{K(x)}\right) S-\beta_{1}(x)\frac{SI}{S+I}-\beta_{2}(x)SP-a(x) S=0, &x \in \Omega, \\ { } d\Delta I+\beta_{1}(x)\frac{SI}{S+I}+\beta_{2}(x)SP-b(x)I=0, &x \in \Omega, \\ d\Delta P+c(x)I-m(x)P=0, &x \in \Omega, \end{array}\right. \end{equation} $

且满足Neumann边界条件$ \frac{\partial S}{\partial \nu}=\frac{\partial I}{\partial \nu}=\frac{\partial P}{\partial \nu}=0 $, $ x \in \partial\Omega $. 显然模型(2.1) 有唯一的无病稳态解$ {\mathcal E}_{0}=(U^{*}(x), 0, 0) $, 其中$ U^{*}(x) $是模型(2.3) 的正稳态解.

如文献[13, 14], 模型(2.1) 的基本再生数$ {\mathcal R}_{0} $可由下一代算子的谱半径所定义. 首先, 将模型(2.1) 在无病稳态解$ {\mathcal E}_{0} $处线性化, 得到

(3.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{\partial S}{\partial t} = d\Delta S+\frac{r(x)}{K(x)}\left(K(x)-2U^{*}(x)\right) S-\frac{r(x)}{K(x)}U^{*}(x)I \\ \quad -\beta_{1}(x)I-\beta_{2}(x)U^{*}(x)P-a(x)S, &x \in \Omega, \ t>0, \\ { } \frac{\partial I}{\partial t} = d\Delta I+\beta_{1}(x)I+\beta_{2}(x)U^{*}(x)P-b (x)I, &x \in \Omega, \ t>0, \\ { } \frac{\partial P}{\partial t} = d\Delta P+c(x)I-m (x)P, &x \in \Omega, \ t>0, \end{array}\right. \end{equation} $

且满足Neumann边界条件$ \frac{\partial S}{\partial \nu}=\frac{\partial I}{\partial \nu}=\frac{\partial P}{\partial \nu}=0 $, $ x \in \partial\Omega $, $ t>0 $. 由于模型(3.2) 中第二个, 第三个方程与$ S $解耦, 因此只需考虑下面的模型

(3.3) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{\partial I}{\partial t} = d\Delta I+\beta_{1}(x)I+\beta_{2}(x)U^{*}(x)P-b(x)I, &x \in \Omega, \ t>0, \\ { } \frac{\partial P}{\partial t} = d\Delta P+c(x)I-m(x)P, &x \in \Omega, \ t>0, \end{array}\right. \end{equation} $

假设模型(3.3) 有形如$ (I(x, t), P(x, t))= {\rm e}^{\lambda t} (\psi_{2}(x), \psi_{3}(x)) $的解, 则代入(3.3) 式后得到

(3.4) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \lambda \psi_{2} = d\Delta \psi_{2}+\beta_{1}(x) \psi_{2}+\beta_{2}(x) U^{*}(x)\psi_{3}-b(x)\psi_{2}, &x \in \Omega, \\ \lambda \psi_{3} = d\Delta \psi_{3}+c(x)\psi_{2}-m (x)\psi_{3}, &x \in \Omega, \end{array}\right. \end{equation} $

且满足Neumann边界条件$ \frac{\partial \psi_{2}}{\partial \nu}=\frac{\partial \psi_{3}}{\partial \nu}=0 $. 根据文献[9]的定理7.6.1有下面的引理.

引理3.1   特征值问题(3.4) 有一主特征值$ \lambda_{0}=\lambda_{0}(d, U^{*}(x)) $, 且存在一个强正的特征函数与之对应.

记$ T(t) $为(3.3) 式的解半流. 由于(3.3)式是合作的, 则$ T(t) $为正的$ C_{0} $ -半群, 其生成子为

$ \begin{eqnarray*} {\mathcal B} &=& \left(\begin{array}{cc} d\Delta+\beta_{1}(x)-b(x) &\beta_{2}(x)U^{*}(x)\\ c(x) &d\Delta-m (x) \end{array}\right) \\ &= &\left(\begin{array}{cc} d\Delta-b (x) &0\\ c(x) &d\Delta-m (x) \end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc} \beta_{1}(x) &\beta_{2}(x)U^{*}(x)\\ 0&0 \end{array}\right) :=B+F. \end{eqnarray*} $

由文献[13, 定理3.12] 容易知道$ {\mathcal B} $和$ B $是预解的正算子. 令$ \tilde{T}(t) $为算子$ B $对应的正$ C_{0} $ -半群. 为了得到基本再生数, 假设感染宿主和病原体的初始分布为$ \varphi (x):=(\varphi_{2}(x) , \varphi_{3}(x) ) \in C(\bar{\Omega}, {\mathbb R}_+^{2}) $. 随着时间的推移, $ \tilde{T}(t)(\varphi(x)) $为$ t $时刻感染宿主和病原体的分布, 那么在$ t $时刻新增的感染宿主和病原体的分布为$ F(x) \tilde{T}(t)(\varphi(x)) $. 因此, 新增的感染宿主和病原体的总分布为$ \int^{\infty}_{0}F (x) \tilde{T}(t)(\varphi (x)) {\rm d} t. $定义算子$ {\mathcal L}:C(\bar{\Omega}, {\mathbb R}^{2}) \rightarrow C(\bar{\Omega}, {\mathbb R}^{2}) $为

$ {\mathcal L} (\varphi)(x) =\int^{\infty}_{0}F(x) \tilde{T}(t)(\varphi(x)) {\rm d}t=F(x) \int^{\infty}_{0}\tilde{T} (t)(\varphi (x)) {\rm d}t, $

则$ {\mathcal L} $为下一代算子. 此外, $ {\mathcal L} $是连续的正算子, 它将初始感染分布$ \varphi (x) $映射到感染期间产生的感染成员的总数. 基于文献[14], 定义$ {\mathcal L} $的谱半径作为模型(2.1) 的基本再生数, 即$ {\mathcal R}_{0}=r({\mathcal L}). $应用文献[14, 定理3.1]可以得到下面的引理.

引理3.2   设$ \lambda_{0} $为特征值问题(3.4) 的主特征值, 那么, (ⅰ) $ {\mathcal R}_{0}-1 $与$ \lambda_{0} $同号; (ⅱ) 若$ {\mathcal R}_{0}<1 $, 则模型(2.1) 的无病稳态解$ {\mathcal E}_{0} $是局部渐近稳定的, 若$ {\mathcal R}_{0}>1 $, 则$ {\mathcal E}_{0} $是不稳定的.

为得到基本再生数$ {\mathcal R}_{0} $的精确表达式, 我们有下面的引理

引理3.3   设$ \tilde{\lambda}_{0} $为

$ \begin{eqnarray*} d\Delta \varphi-b(x) \varphi+\tilde{\lambda}\left(\beta_{1}(x)+\frac{\beta_{2}(x) U^{*}(x)c(x)}{m(x)}\right) \varphi=0, x \in \Omega, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial \nu}=0, x \in \partial\Omega, \end{eqnarray*} $

的主特征值, 则$ {\mathcal R}_{0}=1/\tilde{\lambda}_{0} $.

证   令

$ F = \left(\begin{array}{cc} F_{11}&F_{12}\\ F_{21}&F_{22} \end{array}\right), \quad B={\rm diag }(d\Delta, d\Delta)-\left(\begin{array}{cc} V_{11}&V_{12}\\ V_{21}&V_{22} \end{array}\right), $

其中$ F_{11}=\beta_{1}(x) $, $ F_{12}=\beta_{2}(x) U^{*}(x) $, $ F_{21}=F_{22}=0 $, $ V_{11}=b(x) $, $ V_{12}=0 $, $ V_{21}=c(x) $, $ V_{22}=m(x) $. 因为$ F_{21}=0 $, $ F_{22}=0 $, 由文献[14, 定理3.3], 有$ {\mathcal R}_{0}=r(-B^{-1}F)=r(-B_{1}^{-1}F_{2}) $, 其中$ B_{1}=d\Delta-V_{11}+V_{12}V_{22}^{-1}V_{21}=d\Delta-b(x) $, $ F_{2}=F_{11}-F_{12}V_{22}^{-1}V_{21}=\beta_{1}(x)+\frac{\beta_{2}(x)U^{*}(x)c(x)}{m(x)} $. 因此

$ (-B_{1}^{-1}F_{2}) \varphi=- (d\Delta-b(x)) ^{-1}\left(\beta_{1}(x)+\frac{\beta_{2}(x) U^{*}(x)c(x)}{m(x)}\right) \varphi. $

所以$ {\mathcal R}_{0} $满足

$ -(d\Delta-b(x))^{-1}\left(\beta_{1}(x)+\frac{\beta_{2}(x)U^{*}(x)c(x)}{m(x)}\right) \varphi={\mathcal R}_{0} \varphi, \quad \varphi \in C (\bar{\Omega}, {\mathbb R}^{2}) , $

即

$ d\Delta \varphi-b(x) \varphi+\left(\beta_{1}(x)+\frac{\beta_{2}(x)U^{*}(x)c(x)}{m(x)}\right) \frac{1}{{\mathcal R}_{0}} \varphi =0, \quad \varphi \in C (\bar{\Omega}, {\mathbb R}^{2}) . $

因此, $ {\mathcal R}_0=\frac{1}{\tilde{\lambda}_{0}} $.证毕.

从引理3.3可知, $ {\mathcal R}_{0} $有变分形式

$ {\mathcal R}_{0}=\frac{1}{\tilde{\lambda}_{0}}=\sup\limits_{\varphi \in H^{1} (\Omega) , \varphi \neq 0}\left\{ \frac{\int_{\Omega}\left(\beta_{1}(x) +\frac{\beta_{2} (x)U^{*}(x)c(x)}{m(x)}\right) \varphi^{2} {\rm d}x}{\int_{\Omega}\left(d\left|\nabla \varphi\right|^{2}+b(x) \varphi^{2}\right) {\rm d}x} \right\}. $

注3.1   当模型(2.1) 的所有参数都是常数时, 易得$ U^{*}=\frac{(r-a)K}{r} $, 从而由谱半径的定义可以计算得到

(3.5) $ \begin{equation} {\mathcal R}_{0}=\frac{1}{\tilde{\lambda}_{0}}=\left(\beta_{1}+\frac{\beta_{2}Kc(r-a)/r}{m}\right)\frac{1}{b}=\frac{\beta_{1}rm+\beta_{2}Kc(r-a)}{rmb}. \end{equation} $

定理4.1   若$ {\mathcal R}_{0}<1 $, 则模型(2.1) 的无病稳态解$ {\mathcal E}_{0} $是全局渐近稳定的.

证   对于$ \varepsilon \geq 0 $, 由引理3.1可知特征值问题

$ \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} \lambda \psi_{2}=d\Delta \psi_{2}+\beta_{1}(x) \psi_{2}+\beta_{2}(x)(U^{*}(x)+\varepsilon) \psi_{3}-b(x) \psi_{2}, &x \in \Omega, \\ \lambda \psi_{3}=d\Delta \psi_{3}+c(x) \psi_{2}-m(x) \psi_{3}, &x \in \Omega \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

有一主特征值$ \lambda^{\varepsilon}_{0}=\lambda_{0}(d, U^{*}(x)+\varepsilon) $, 且存在一个强正的特征函数$ \left(\psi^{\varepsilon}_{2}(x), \psi^{\varepsilon}_{2} (x)\right) $与之对应.

由引理3.2可知当$ {\mathcal R}_{0}<1 $时, $ \lambda_{0}(d, U^{*}(x))<0 $. 根据特征值关于参数的连续依赖性, 存在一个足够小的$ \varepsilon_{0}>0 $, 使得$ \lambda^{\varepsilon_{0}}_{0} = \lambda_{0}(d, U^{*}(x)+\varepsilon_{0})<0 $, 且存在一个强正的特征函数$ \left (\psi^{\varepsilon_{0}}_{2}(x), \psi^{\varepsilon_{0}}_{3}(x) \right) $与之对应. 根据(2.6) 式, 对于所有的$ x \in \bar{\Omega} $有$ \limsup\limits_{t\rightarrow \infty}S(x, t) \leq U^{*}(x) $一致成立. 即存在一个足够大的$ t_{0}>0 $, 使得对于所有的$ x \in \bar{\Omega} $和$ t>t_{0} $有$ S(x, t) \leq U^{*}(x)+\varepsilon_{0} $. 因此, 由模型(2.1) 的第二个和第三个方程可得

$ \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{\partial I}{\partial t} \leq d\Delta I+\beta_{1}(x)I+\beta_{2}(x) \left (U^{*}(x)+\varepsilon_{0}\right) P-b(x)I, &x \in \Omega, \ t>t_{0}, \\ { } \frac{\partial P}{\partial t} \leq d\Delta P+c(x)I-m(x)P, &x \in \Omega, \ t>t_{0}, \end{array}\right. $

对于任意$ \varphi \in {\mathbb X}^{+} $, 存在一个正数$ \chi $, 使得$ (I(x, t_{0}; \varphi) , P(x, t_{0}; \varphi)) \leq \chi\left (\psi^{\varepsilon_{0}}_{2}(x) , \psi^{\varepsilon_{0}}_{3}(x) \right) , x \in \bar{\Omega} $. 考虑反应扩散模型

$ \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{\partial \hat{I}}{\partial t} = d\Delta \hat{I}+\beta_{1}(x) \hat{I}+\beta_{2}(x) \left(U^{*}(x)+\varepsilon_{0}\right) \hat{P}-b(x) \hat{I}, &x \in \Omega, \ t\geq t_{0}, \\ { } \frac{\partial \hat{P}}{\partial t} = d\Delta \hat{P}+c(x) \hat{I}-m(x) \hat{P}, &x \in \Omega, \ t\geq t_{0}, \end{array}\right. $

满足Neumann边界条件$ \frac{\partial \hat{I}}{\partial \nu}=\frac{\partial \hat{P}}{\partial \nu}=0 $, $ x \in \partial\Omega $, $ t\geq t_{0} $和初值条件$ \chi\left (\psi^{\varepsilon_{0}}_{2}(x), \psi^{\varepsilon_{0}}_{3}(x) \right) $, $ x \in \bar{\Omega} $的解为$ \chi {\rm e}^{\lambda^{\varepsilon_{0}}_{0}(t-t_{0}) }\left (\psi^{\varepsilon_{0}}_{2}(x), \psi^{\varepsilon_{0}}_{3}(x) \right) $, $ t\geq t_{0} $. 由比较原理可得

$ (I(x, t; \varphi), P(x, t; \varphi)) \leq \chi {\rm e}^{\lambda^{\varepsilon_{0}}_{0}(t-t_{0})}\left (\psi^{\varepsilon_{0}}_{2}(x), \psi^{\varepsilon_{0}}_{3}(x) \right), \ t\geq t_{0}. $

因为$ \lambda^{\varepsilon_{0}}_{0}<0 $, 所以对于所有$ x \in \bar{\Omega} $有$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(I(x, t; \varphi) $, $ P(x, t; \varphi))=(0, 0) $. 进而, 由引理2.2及文献[15, 推论4.3] (渐近自治半流理论), 有

$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}S(x, t; \varphi)=U^{*}(x) , {\quad} x \in \bar{\Omega}. $

证毕.

由于模型(2.1) 没有考虑感染宿主具有生殖能力, 当宿主感染疾病后, 宿主只能通过死亡或恢复离开感染仓室, 宿主种群规模在减少, 基于生物背景, 提出如下假设

$ ({\rm H}_2){\qquad} r(x)>a(x)+\beta_{1}(x) , \ x \in \bar{\Omega}. $

为了证明模型(2.1) 的一致持续性, 我们先证明下面的引理.

引理4.1   设模型(2.1) 满足初值条件$ \varphi \in {\mathbb X}^{+} $的解为$ (S(x, t; \varphi), I(x, t; \varphi), P(x, t; \varphi)) $, 那么, (ⅰ) 若存在某个$ t^*\geq 0 $, 使得$ S(x, t^*; \varphi) \neq 0 $, 则$ S(x, t; \varphi)>0 $, $ x \in \bar{\Omega} $, $ t>t^* $; (ⅱ) 若存在某个$ t^*\geq 0 $, 使得$ I(x, t^*; \varphi) \neq 0 $, 则$ I(x, t; \varphi)>0 $, $ P(x, t; \varphi)>0 $, $ x \in \bar{\Omega} $, $ t>t^* $.

证   首先证明(ⅰ). 令$ M_{1}=\max\limits_{x \in \bar{\Omega}}P(x, t; \varphi) $, 则由模型(2.1) 的第一个方程可知

$ \frac{\partial S}{\partial t} \geq d\Delta S-(\beta_{1}(x)+\beta_{2}(x) M_{1}+a(x)) S, \ x \in \Omega, \ t>0, \quad \frac{\partial S}{\partial \nu}=0, \ x \in \partial\Omega, \ t>0. $

若对于某个$ t^*\geq 0 $, $ S(x, t^*; \varphi) \neq 0 $, 类似于文献[16, 引理2.1]的讨论, 由文献[17, 第3章, 定理3 (Hopf边界定理)和定理4 (强最大值原理)], 有$ S(x, t; \varphi)>0 $, $ x \in \bar{\Omega} $, $ t>t^* $.

下证(ⅱ). 由(2.1) 的第二个方程可知$ \frac{\partial I}{\partial t} \geq d\Delta I-b(x)I $. 若对于某个$ t^*\geq 0 $, $ I(x, t^*; \varphi) \neq 0 $, 根据Hopf边界定理和强最大值原理, 有$ I(x, t; \varphi)>0 $, $ x \in \bar{\Omega} $, $ t>t^* $. 固定$ x \in \bar{\Omega} $, 由$ I(x, t; \varphi)>0 $可得$ P(x, t; \varphi)>0 $, $ x \in \bar{\Omega} $, $ t>t^* $. 否则, 若存在某个$ \tilde{x} \in \bar{\Omega} $和$ \tilde{t}>t^* $, 使得$ P(\tilde{x}, \tilde{t}; \varphi) = 0 $, 则有$ \frac{\partial P(\tilde{x}, \tilde{t}; \varphi)}{\partial t} \leq 0 $. 另一方面, 从模型(2.1) 的第三个方程可知

$ \frac{\partial P(\tilde{x}, \tilde{t}; \varphi)}{\partial t} = d\Delta P (\tilde{x}, \tilde{t}; \varphi) +c (\tilde{x}) I (\tilde{x}, \tilde{t}; \varphi) -m (\tilde{x}) P (\tilde{x}, \tilde{t}; \varphi) > 0. $

矛盾. 因此, 结论(ⅱ) 成立. 证毕.

定理4.2   若$ {\mathcal R}_{0}>1 $且$ ({\rm H}_2) $成立, 则模型(2.1) 是一致持续的, 即存在一个$ \eta>0 $, 使得对于任意$ \varphi\in {\mathbb X}^{+} $且$ \varphi_{1}\neq 0 $, $ \varphi_{2}\neq 0 $, 有$ { } \liminf\limits_{t\rightarrow \infty}S(x, t; \varphi) \geq \eta $, $ { }\liminf\limits_{t\rightarrow \infty}I(x, t; \varphi) \geq \eta $, $ { }\liminf\limits_{t\rightarrow \infty}P(x, t; \varphi) \geq \eta $, $ x \in \bar{\Omega} $. 此外, 模型(2.1) 至少存在一个正稳态解$ (\hat{S}(x; \varphi), \hat{I}(x; \varphi), \hat{P}(x; \varphi)) $.

证   令$ {\mathbb X}_{0}=\{\varphi \in {\mathbb X}^{+}: \varphi_{1}\neq 0 \ \mbox{且} \ \varphi_{2}\neq 0 \} $, $ \partial {\mathbb X}_{0}={\mathbb X}^{+} \backslash {\mathbb X}_{0}=\{\varphi \in {\mathbb X}^{+}: \varphi_{1} = 0\ \mbox{或} \ \varphi_{2} = 0 \} $. 根据引理4.1可得$ S(x, t; \varphi)>0 $, $ I(x, t; \varphi)>0 $, $ x \in \bar{\Omega} $, $ t>0 $. 即$ {\mathbb X}_{0} $是正向不变集.

令$ M_{\partial}:=\left\{\varphi \in \partial {\mathbb X}_{0}, \ \Phi(t) \varphi \in \partial {\mathbb X}_{0}, \ \forall t\geq 0\right\} $和$ \omega(\varphi) $为轨线$ \Gamma^{+}(\varphi):=\left\{\Phi(t) \varphi: t \geq 0\right\} $的$ \omega $不变集. 下证对于任意$ \psi \in M_{\partial} $, $ \omega (\varphi)=\{{\mathcal E}_{0}\} \cup \{{\mathcal E}_1\} $, 其中$ {\mathcal E}_1=(0, 0, 0) $.

如果$ \psi \in M_{\partial} $, 可知$ \Phi (t) \psi \in M_{\partial} $, $ t\geq 0 $, 即$ S(x, t; \psi)=0 $或$ I(x, t; \psi) =0 $, $ t\geq 0 $. 若$ I(x, t; \psi) =0 $, $ t\geq 0 $, 则从模型(2.1) 的第二个方程可得$ \beta_{2}(x)S(x, t; \psi)P(x, t; \psi)=0 $, 再由模型(2.1) 的第三个方程可知$ \frac{\partial P}{\partial t} = d\Delta P-m(x)P $, $ x \in \Omega $, $ t>0 $. 由$ A_{3} $表达式可知, $ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}P(x, t; \psi)=0 $, 对于所有的$ x \in \bar{\Omega} $一致成立. 则由$ S $方程可知$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}S(x, t; \psi) =U^{*}(x) $或$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}S(x, t; \psi)=0 $, 对于所有的$ x \in \bar{\Omega} $一致成立. 若对某个时刻$ \tilde{t}_{0} \geq 0 $, $ I(x, \tilde{t}_{0}; \psi) \neq 0 $, 根据引理4.1可得$ I(x, t; \psi)>0 $, $ t>\tilde{t}_{0} $, 所以$ S(x, t; \psi)=0 $, $ t>\tilde{t}_{0} $. 由模型(2.1) 的第二个方程可知$ \frac{\partial I}{\partial t} = d\Delta I-b(x)I $, $ x \in \Omega $, $ t>\tilde{t}_{0} $. 由$ A_{2} $表达式可知对$ x \in \bar{\Omega} $有$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}I(x, t; \psi)=0 $一致成立. 由$ P $的方程有$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}P(x, t; \psi) =0 $, 对于所有的$ x \in \bar{\Omega} $一致成立. 因此$ \omega (\varphi)=\{{\mathcal E}_{0}\} \cup \{{\mathcal E}_{1}\} $, $ \psi \in M_{\partial} $.

另一方面, 由引理3.2可知, 当$ {\mathcal R}_{0}>1 $时有$ \lambda_{0}=\lambda_{0} (d, U^{*}(x))>0 $, 这里$ \lambda_{0} $是特征值问题(3.4) 的主特征值, 且有一强正的特征函数与之对应. 由特征值关于参数的连续依赖性可知, 存在一个足够小的$ \delta_{0}>0 $, 使得$ \lambda^{\delta_{0}}_{0} =\lambda_{0}(d, U^{*}(x)-\delta_{0})>0 $, 这里$ \lambda^{\delta_{0}}_{0} $是特征值问题

$ \left\{\begin{array}{ll} { } \lambda \psi_{2} = d\Delta \psi_{2}+\beta_{1}(x)\psi_{2}+\beta_{2}(x)(U^{*}(x)-\delta_{0}) \psi_{3}-(b(x)+\beta_{1}(x) \frac{\delta_{0}}{U^{*}(x)}) \psi_{2}, &x \in \Omega, \\ { } \lambda \psi_{3} = d\Delta \psi_{3}+c(x) \psi_{2}-m(x) \psi_{3}, &x \in \Omega \end{array}\right. $

的主特征值且有一强正特征值$ (\psi^{\delta_{0}}_{2}(x), \psi^{\delta_{0}}_{3}(x)) $与之对应. 此外, 由$ r(x)>a(x)+\beta_{1}(x) $, 可以选取充分小的$ \delta_{0}>0 $, 使得

$ G(x):=1-\frac{\beta_{1}(x)}{r(x)-a(x)}-\delta_{0}\max\limits_{x \in \bar{\Omega}}\left\{\frac{2r(x)}{K(x)[r(x)-a(x)]}+\frac{\beta_{2}(x)}{r(x)-a(x)}\right\}>0, \quad x \in \bar{\Omega}. $

下证$ {\mathcal E}_{i} $是一致弱排斥的, 即存在$ \delta_{0}>0 $, 对于任意$ \varphi \in {\mathbb X}_{0} $有$ { }\limsup\limits_{t\rightarrow \infty} \Vert \Phi (t) \varphi-{\mathcal E}_{i} \Vert \geq \delta_{0} $$ (i=0, 1). $假设结论不成立, 即存在某个$ \varphi_{0}=(\varphi_1^0, \varphi_2^0, \varphi_3^0) \in {\mathbb X}_{0} $, 使得(ⅰ) $ { }\limsup\limits_{t\rightarrow \infty} \Vert \Phi (t) \varphi_{0}-{\mathcal E}_{0} \Vert < \delta_{0} $, 或(ⅱ) $ { }\limsup\limits_{t\rightarrow \infty} \Vert \Phi(t) \varphi_{0}-{\mathcal E}_{1} \Vert < \delta_{0} $.

(ⅰ) 若$ { }\limsup\limits_{t\rightarrow \infty} \Vert \Phi(t) \varphi_{0}-{\mathcal E}_{0} \Vert < \delta_{0} $, 则存在$ t_{1}>0 $使得$ U^{*}(x)-\delta_{0} < S(x, t; \varphi_{0}) $和$ I(x, t; \varphi_{0}) < \delta_{0} $, $ t \geq t_{1} $. 因此

$ \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{\partial I}{\partial t} \geq d\Delta I+\beta_{1}(x)I+\beta_{2}(x) \left (U^{*}(x)-\delta_{0}\right) P-(b(x)+\beta_{1}(x) \frac{\delta_{0}}{U^{*}(x)}) I, &x \in \Omega, \ t>t_{1}, \\ { } \frac{\partial P}{\partial t} \geq d\Delta P+c(x)I-m(x)P, &x \in \Omega, \ t>t_{1}, \end{array}\right. $

且满足Neumann边界条件$ \frac{\partial I}{\partial \nu}=\frac{\partial P}{\partial \nu}=0 $, $ x \in \partial\Omega $, $ t>t_{1} $. 由引理4.1可知$ I(x, t; \varphi_{0})>0 $, $ P(x, t; \varphi_{0})>0 $, $ x \in \bar{\Omega} $, $ t>0 $, 则可选取$ \rho>0 $, 使得

$ (I(x, t_1; \varphi_{0}), P(x, t_1; \varphi_{0}) ) \geq \rho (\psi^{\delta_{0}}_{2}(x), \psi^{\delta_{0}}_{3}(x)). $

记$ \rho {\rm e}^{\lambda^{\delta_{0}}_{0}(t-t_{1})} (\psi^{\delta_{0}}_{2}(x), \psi^{\delta_{0}}_{3}(x)) $为线性化模型

$ \left\{\begin{array}{ll} { }\frac{\partial \hat{I}}{\partial t} = d\Delta \hat{I}+\beta_{1}(x) \hat{I}+\beta_{2}(x) \left(U^{*}(x)-\delta_{0}\right) \hat{P}-(b(x)+\beta_{1}(x) \frac{\delta_{0}}{U^{*}(x)}) \hat{I}, &x \in \Omega, \ t>t_{1}, \\ { }\frac{\partial \hat{P}}{\partial t} = d\Delta \hat{P}+c(x) \hat{I}-m(x) \hat{P}, &x \in \Omega, \ t>t_{1} \end{array}\right. $

满足Neumann边界条件$ \frac{\partial \hat{I}}{\partial \nu}=\frac{\partial \hat{P}}{\partial \nu}=0 $的解. 故根据比较原理可知

$ (I(x, t; \varphi_{0}), P(x, t; \varphi_{0})) \geq \rho {\rm e}^{\lambda^{\delta_{0}}_{0} (t-t_{1})} (\psi^{\delta_{0}}_{2}(x), \psi^{\delta_{0}}_{3}(x)), \ x \in \bar{\Omega}, \ t>t_{1}. $

因为$ \lambda^{\delta_{0}}_{0}>0 $, 所以$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty} I(x, t; \varphi_{0})=\infty $, $ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}P(x, t; \varphi_{0})= \infty $. 这与扩散模型(2.1) 的耗散性矛盾. 因此, $ { }\limsup\limits_{t\rightarrow \infty} \Vert \Phi (t) \varphi_{0}-{\mathcal E}_{0} \Vert \geq \delta_{0} $.

(ⅱ) 若$ { }\limsup\limits_{t\rightarrow \infty} \Vert \Phi (t) \varphi_{0}-{\mathcal E}_{1} \Vert < \delta_{0} $, 则存在$ t_{2}> 0 $使得$ S(x, t; \varphi_{0}) < \delta_{0} $和$ P(x, t; \varphi_{0})< \delta_{0} $, $ t \geq t_{2} $. 由模型(2.1) 的第一个方程可知

$ \frac{\partial S}{\partial t} \geq d\Delta S+[r(x)-a(x)]G(x)S, {\quad} x \in \Omega, \ t>t_{2}. $

定义$ A_{4}(t):C (\bar{\Omega}, {\mathbb R}) \rightarrow C(\bar{\Omega}, {\mathbb R}) $为满足Neumann边界条件算子$ d\Delta +[r(x)-a(x)]G(x) $的$ C_{0} $ - 半群. 即, 对于任意$ \varphi \in C(\bar{\Omega}, {\mathbb R}) $, 定义

$ A_{4}(t)(\varphi (x))={\rm e}^{[r(x)-a(x)]G(x) t}\int_{\Omega} \Gamma (dt, x, y) \varphi_{1}(y) {\rm d} y, \quad t>t_{2}. $

由$ A_{4} $表达式以及比较原理可得$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty} S(x, t; \varphi_{0})= \infty $. 这与模型(2.1) 的耗散性矛盾. 因此, $ { }\limsup\limits_{t\rightarrow \infty} \Vert \Phi(t) \varphi_{0}-{\mathcal E}_{1} \Vert \geq \delta_{0} $.

定义一个连续函数$ { } P:{\mathbb X}^{+} \rightarrow [0, \infty) $为

$ P(\varphi)=\min\limits \big\{{ } \min\limits _{x \in \bar{\Omega}}\varphi_{1} (x), { } \min\limits _{x \in \bar{\Omega}}\varphi_{2}(x) \big\}, {\quad} \varphi=(\varphi_{1}(x), \varphi_{2}(x), \varphi_{3}(x)) \in {\mathbb X}^{+}. $

显然, $ P^{-1}(0, \infty) \subseteq {\mathbb X}_{0} $. 由引理4.1, $ P $具有性质: 如果$ P(\varphi) >0 $或$ P(\varphi) =0 $, $ \varphi \in {\mathbb X}_{0} $, 则$ P(\Phi(t) \varphi) >0 $, $ t>0 $. 所以$ P $为半流$ \Phi(t): {\mathbb X}^{+} \rightarrow {\mathbb X}^{+} $的一般距离函数^[18]. 基于上述讨论可知, $ M_{\partial} $的任意正半轨线$ \Phi(t) $均收敛到$ {\mathcal E}_{0} \cup {\mathcal E}_{1} $. $ {\mathcal E}_{0} \cup {\mathcal E}_{1} $是$ {\mathbb X}^{+} $上的孤立不变集, 且$ W^{S} ({\mathcal E}_{i}) \cap {\mathbb X}_{0} = \emptyset, \ (i=0, 1) $, 其中$ W^{S}({\mathcal E}_{i}) $为$ {\mathcal E}_{i} $的稳定子集^[18]. 进一步, 在$ M_{\partial} $上没有任何从$ {\mathcal E}_{0} \cup {\mathcal E}_{1} $到$ {\mathcal E}_{0} \cup {\mathcal E}_{1} $的闭环. 应用文献[18, 定理3], 存在$ \eta >0 $使得$ { }\min \limits_{\psi \in \omega (\varphi) }P(\psi)>\eta $, $ \varphi \in {\mathbb X}_{0} $. 因此$ { }\liminf\limits_{t\rightarrow \infty}S(x, t; \varphi) \geq \eta $, $ { }\liminf\limits_{t\rightarrow \infty}I(x, t; \varphi) \geq \eta $. 此外易证$ { }\liminf\limits_{t\rightarrow \infty}P(x, t; \varphi) \geq \eta $, 故一致持续性得证.

由文献[19, 定理4.7] 知$ \Phi(t) $在$ {\mathbb X}_{0} $上至少存在一个稳态解$ (\hat{S}(x; \varphi), \hat{I}(x; \varphi) $, $ \hat{P}(x; \varphi)) $. 由引理4.1可得$ \hat{S}(x; \varphi)>0 $, $ \hat{I}(x; \varphi)>0 $, $ x \in \bar{\Omega} $. 同样可证$ \hat{P}(x; \varphi)>0 $, $ x \in \bar{\Omega} $. 因此, 模型(2.1) 至少存在一个正稳态解$ (\hat{S}(x; \varphi) , \hat{I} (x; \varphi) , \hat{P} (x; \varphi)) $. 证毕.

固定参数$ d=0.01 $, $ r(x)=0.25\times(1+0.4\sin2\pi x) $, $ K(x)=100\times(1+0.4\sin2\pi x) $, $ a(x)=0.1\times(1+0.4\sin2\pi x) $, $ b(x)=0.2\times(1+0.4\sin2\pi x) $, $ m(x)=0.1\times(1+0.4\sin2\pi x) $. 首先选取$ \beta_1(x)=5\times10^{-5}\times(1+0.4\sin2\pi x) $, $ \beta_2(x)=0.001\times(1+0.4\sin2\pi x) $, $ c(x)=0.3\times(1+0.4\sin2\pi x) $, 经计算可得$ {\mathcal R}_0\approx0.9914<1 $, 即定理4.1的条件成立. 因此, 模型(2.1) 的无病稳态解$ {\mathcal E}_{0} $是全局渐近稳定的, 这正如图 1所示.

进一步, 选取参数$ \beta_1(x)=7\times10^{-5}\times(1+0.4\sin2\pi x) $, $ \beta_2(x)=0.0018\times(1+0.4\sin2\pi x) $, $ c(x)=0.35\times(1+0.4\sin2\pi x) $, 其他参数如图 1. 经计算可得$ {\mathcal R}_0\approx2.0817>1 $. 即: 定理4.2的条件成立. 从图 2不难发现模型(2.1) 是一致持续的. 此外, 数值模拟也表明模型(2.1) 存在一个全局渐近稳定的正稳态解. 因此, 我们提出一个有趣的开问题: 如果$ {\mathcal R}_0>1 $, 则模型(2.1) 存在一个全局渐近稳定的正稳态解.

此外, 如果选取$ d=0.01 $, $ r(x)\equiv 0.25 $, $ K(x)\equiv 100 $, $ a(x)\equiv 0.1 $, $ b(x)\equiv 0.2 $, $ m(x)\equiv 0.1 $, $ \beta_1(x)\equiv 7\times10^{-5} $, $ \beta_2(x)\equiv0.0018 $, $ c(x)\equiv0.35 $为常数, 则$ {\mathcal R}_0\approx1.8904>1 $. 图 3表明了模型(2.1) 存在一个全局渐近稳定的稳态解且与位置无关. 对比图 2和3不难发现, 异质环境下染病者的分布与位置参数息息相关. 这意味着由于空间异质性, 不同地区的疾病感染风险和染病者分布是不一样的, 忽略异质性有可能低估或高估某些地区的基本再生数.

最后, 我们考虑扩散系数对疾病分布的影响. 图 4给出了$ t=30 $时, $ {\mathcal R}_0<1 $和$ {\mathcal R}_0>1 $染病宿主在不同的扩散系数下的分布情况, 这里$ d $分别为$ 0.01 $, $ 0.001 $和$ 0.0001 $. 从图 4不难发现当扩散系数较小时, 染病者主要分布在某些特定地区; 随着扩散系数的增加, 染病宿主分布的区域也逐步扩大且分布趋于均匀; 而当扩散系数趋于无穷时, 反应扩散模型也趋于对应的常微分方程模型.

本文建立并分析了一类具有空间异质性的反应扩散传染病模型, 这里假设宿主具有Logistic增长, 病毒不仅可以在宿主和环境之间传播, 也可以宿主之间传播(水平传播). 首先将模型转化为对应的积分方程得到了全局正解的存在性与唯一性(引理2.1和定理2.1). 进一步, 利用下一代算子方法得到基本再生数$ {\mathcal R}_{0} $, 并且给出了$ {\mathcal R}_{0} $与某些特征值问题的主特征值之间的关系(引理3.2和引理3.3). 最后, 讨论了模型的阈值动力学行为, 即当基本再生数$ {\mathcal R}_{0}<1 $时, 无病稳态解是全局渐近稳定的(定理4.1), 这表明病原体在宿主和环境中消失, 疾病是灭绝的; 而当$ {\mathcal R}_0>1 $且$ r(x)>a(x)+ \beta_{1}(x) $时, 疾病是一致持久的且模型至少存在一个正稳态解(定理4.2), 这意味着疾病将持续存在, 从而形成地方病.

由于考虑到空间异质性, 本文并没有给出地方病稳态解的精确表达式. 同时, 在模型(2.1) 中也假设宿主和病原体具有相同的扩散速率, 这在证明解的最终有界性起到重要的作用. 但在现实生活中, 易感宿主, 感染宿主和病原体可能以不同的速率扩散, 因此考虑不同的扩散速率更能反映实际情况. 这些都是值得进一步研究的课题.