## 一类具有Beddington-DeAngelis响应函数的阶段结构捕食模型的稳定性

1 江苏师范大学数学与统计学院, 江苏徐州 221116

2 兰州理工大学理学院, 兰州 730050

## Stability of Stage-Structured Predator-Prey Models with Beddington-DeAngelis Functional Response

Li Bo,1, Liang Ziwei2

1 Department of Mathematics, Jiangsu Normal University, Jiangsu Xuzhou 221116

2 College of science, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050

 基金资助: 国家自然科学基金.  11871250

 Fund supported: the NSFC.  11871250

Abstract

This paper deals with stage-structured predator-prey systems with Beddington-DeAngelis functional response. The local asymptotical stability is given by Routh-Hurwitz criterion, and global asymptotic stability are established from Lyapunov functions.

Keywords： Predator-prey Models ; Positive Constant Solution ; Stability

Li Bo, Liang Ziwei. Stability of Stage-Structured Predator-Prey Models with Beddington-DeAngelis Functional Response. Acta Mathematica Scientia[J], 2022, 42(6): 1826-1835 doi:

## 1 引言

$$$\left\{\begin{array}{ll} \frac{{\rm d}u_1}{{\rm d} t}=r u_2-c_1 u_1-bu_1- au^2_1, \\ \frac{{\rm d}u_2}{{\rm d}t}=b u_1-c_2 u_2-a_{11}u^2_2-\frac{a_{12}u_2u_3}{1+mu_2+nu_3}, \\ \frac{{\rm d}u_3}{{\rm d} t}=-c_3u_3+\frac{a_{21}u_2u_3}{1+mu_2+nu_3}-a_{22}u^2_3, \end{array}\right.$$$

$2x_0+c_2\geq\frac{a_{12}}{2n}+ \frac{br}{p}$时, $\Phi'(x)>0$. 为了保证$\Phi(x)=0$有比$x_0$大的解, 并且注意到

$\Phi(x) $$[x_0, +\infty) 上连续, 所以我们可以要求 \Phi(x_0)<0 . 显然 \psi(x_0)=0 , 且 因此 \Phi(x_0)<0 等价于 从上面的分析可以看出, 如果 $$a_{21}>mc_3, \ \ 2x_0+c_2\geq\frac{a_{12}}{2n}+\frac{br}{p}, \ \ x_0(x_0+c_2)^2+bp(x_0+c_2)<b^2r,$$ \Phi(x)=0$$ (x_0, +\infty)$内只有一个正解, 我们用$\tilde{u}_2$表示这个正解, 令

$(x_1, x_2, x_3)=\tilde {\bf{u}}$是方程组(1.2)的正解.

## 2 正常数平衡解$\tilde {\bf{u}}$的局部渐近稳定性

$0=\mu_1<\mu_2<\mu_3<\cdots$是算子$-\Delta $$\Omega 上带有齐次Neumann边界条件的特征值, E(\mu_i) 是对应于 \mu_i$$ C^1(\bar\Omega)$中的特征子空间. 设

$\{\phi_{ij}\, |\, j=1, \, \cdots , \, \hbox{ dim}\, E(\mu_i)\} $$E(\mu_i) 的一组正交基, 令 {{\bf X}}_{ij}=\{{{\bf c}}\phi_{ij} | {{\bf c}} \in R^3\}, 定理2.1 如果 p>b 且条件(1.5)成立, 那么问题(1.6)的正常数平衡解 \tilde{\bf{u}} 是局部渐近稳定的. 令 D={\rm diag}(d_1, d_2, d_3) , {{\bf u}}=(u_1, u_2, u_3)^T , 于是 其中 为了叙述方便, 记 {\cal L}= {\cal D}\Delta+{\bf G}_{{{\bf u}}}(\tilde{{\bf u}}) , 则初边值问题(1.6)在 \tilde{{\bf u}} 处的线性化为 对每个 i\geq 1 , {\bf X}_i 在算子 {\cal L} 下是不变的. \lambda$$ {\cal L} $${\bf X}_i 上的特征值当且仅当 \lambda 为矩阵 -\mu_i{\cal D}+{\bf G}_{{{\bf u}}}(\tilde{{\bf u}}) 的特征值, -\mu_i{\cal D}+{\bf G}_{{{\bf u}}}(\tilde{{\bf u}}) 的特征多项式为 其中 由(1.5)式的第二个不等式可知 p(2x_0+c_2)>br , 并注意到 \tilde{u}_2>x_0 , 于是有 又因为 c_{11}<0, c_{22}<0, c_{33}<0, c_{23}<0, c_{32}>0 , 所以有 A_2>0 , A_3>0 . 直接计算得到 其中 因为 所以, 我们有 M_1>0 . 通过计算可以看出 从而 B_1B_2-B_3\geq A_1A_2-A_3>0 . 由Routh-Hurwitz判别定理可知, 对每一个 i\geq 1 , \psi_i(\lambda)=0 的三个根 \lambda_{i1}, \, \lambda_{i2}, \, \lambda_{i3} 都有负实部. 令 \lambda=\mu_i\xi , 则 注意到当 i\rightarrow \infty 时, \mu_i\rightarrow \infty , 所以 因为 \tilde{\psi}(\xi)=0 有三个负实根: -d_1, -d_2, -d_3 , 取 \bar{\delta}=\min \{d_1, d_2, d_3\}, 由连续性知存在 i_0 , 使得对所有的 i\geq i_0 , \mu_i\geq 1 , 方程 \tilde{\psi}_i(\xi)=0 的三个根 \xi_{i1}, \xi_{i2}, \xi_{i3} 满足 从而 \tilde{\delta}>0 , 取 \delta=\min\{\tilde{\delta}, \frac{\bar{\delta}}{2}\}>0 , 则有 故算子 {\cal L} 的谱位于左半平面 \{ {\rm Re} \lambda\leq -\delta\} , 由文献[11, 定理5.1.1]可得 \tilde {\bf{u}} 的局部渐近稳定性. 证毕. ## 3 正常数平衡解 \tilde{\bf{u}} 的全局渐近稳定性 显然初边值问题(1.6)存在唯一的非负整体解. 由强极值原理可知, 当 u_i(x, 0)\not\equiv0$$ (i=1, 2, 3)$时, $u_i(x, t)>0 $$(i=1, 2, 3), x\in\bar{\Omega}\times (0, \infty) . 利用最大值原理, 我们得到 对问题(1.6)的三个方程在 \Omega 上积分并相加, 再利用上面的估计式得到 其中 C_1 是一个仅依赖于 b, r, a_{21}, m, c_3, C_0, p, c_2 以及 \Omega 的正常数, 因此 \|u_i(\cdot , t)\|_{L^1(\Omega)}\ ( i=1, 2, 3)$$ [0, +\infty)$上有界. 由文献[11, 第3.5节的习题4]知, 存在正常数$C_2$, 使得$\|u_i(\cdot , t)\|_\infty\leq C_2\ ( i=1, 2, 3) , t\geq 0$. 再由文献[12, 定理A2], 存在常数$C>0$, 使得

$$$\|u_i(\cdot , t)\|_{C^{2, \alpha}(\bar{\Omega})}\leq C\ ( i=1, 2, 3), t\geq 1.$$$

定义

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