众所周知, 三维不可压霍尔-磁流体力学方程组的柯西问题具有如下形式

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}+(u\cdot\nabla)u+\nabla(p+\pi)=\mu_{1}u_{x_{1}x_{1}}+\mu_{2}u_{x_{2}x_{2}}+\mu_{3}u_{x_{3}x_{3}} +(B\cdot\nabla)B, \\ B_{t}+(u\cdot\nabla)B=\eta_{1}B_{x_{1}x_{1}}+\eta_{2}B_{x_{2}x_{2}}+\eta_{3}B_{x_{3}x_{3}} +(B\cdot\nabla)u-\nabla\times((\nabla\times B)\times B), \\ \nabla\cdot u=0, \ \ \nabla\cdot B=0, \\ u|_{t=0}=u_{0}, \ \ \ B|_{t=0}=B_{0}, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中, $ u, B $分别指流体的速度场和磁场; $ \mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{3}\geq 0 $指运动粘性系数; $ \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}\geq 0 $指磁扩散系数.方程组(1.1)描述了具有磁切变的等离子流体的动力学行为. 关于经典磁流体力学方程组, 可参见文献[12, 14–15, 17–18, 23–24, 26]. Acheritogaray等^[1]给出了方程组(1.1) 推导过程及物理背景, 关于三维不可压霍尔- 磁流体力学方程组的最新成果, 可参见文献[4–7, 9–11, 16, 19–22].

Cao等^[3]和Du等^[18]分别研究了二维具有部分混合耗散和磁扩散的MHD方程组的整体正则性. Chae^[4]研究了二维具有部分粘性项的Boussinesq方程组的正则性.Du^[16]证明了当$ (\|u_{0}\|_{L^{2}}^{2}+\|B_{0}\|_{L^{2}}^{2})(\|\omega_{0}\|_{L^{2}}^{2}+\|j_{0}\|_{L^{2}}^{2})/M^{2} $充分小时, 具有部分耗散的2.5维不可压Hall-MHD方程组强解的整体存在唯一性, 期中$ M=\min\{\mu_{2}, \nu_{1}, \nu_{2}\}, \omega=\nabla\times u, j=\nabla\times B $. Fei等^[21]得到了具有水平耗散的三维不可压Hall-MHD方程组的爆破准则和小初值经典解的存在唯一性. Ye等^[26]研究了具有部分粘性和磁扩散的三维不可压MHD方程组强解的存在唯一性.

本文的工作是受到文献[2–4, 13, 16, 18, 21, 25–26]中关于部分耗散的三维(Hall)-MHD方程组和Boussinesq方程组研究成果的启发, 我们研究了部分耗散的三维不可压(Hall)-MHD方程组, 得到了经典解的局部存在唯一性; 另外, 我们还建立的经典解的整体存在唯一性.

本文中, 以$ u_{i}, \partial_{i} $分别表示速度场$ u $和梯度$ \nabla $的第$ i $个分量, $ C $指正常数.另外, 本文中我们采用下面简化的符号$ f_{0}\triangleq f(0, x);\; \nabla_{p}\triangleq(\partial_{1}, \partial_{2}, 0);\; u_{p}\triangleq (u_{1}, u_{2}, 0). $

我们将对系统(1.1)在部分耗散的情况下建立整体正则性, 但是由于目前还没有部分耗散的三维不可压Hall-MHD方程组局部解的成果, 因此, 我们首先建立局部解的存在唯一性.

定理1.1   对于Hall-MHD方程组(1.1), 假设$ (u_{0}, B_{0})\in H^{3}({{\Bbb R}} ^{3}) $且$ \nabla\cdot u_{0}=\nabla\cdot B_{0}=0 $, 当耗散系数满足$ \mu_{3}=0, \mu_{1}, \mu_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $时, 则存在$ T=T(\|u_{0}\|_{H^{3}}, \|B_{0}\|_{H^{3}}) $, 使得Hall-MHD方程组(1.1)存在唯一经典解, 且满足$ (u, B)\in L^{\infty}(0, T;H^{3}({{\Bbb R}} ^{3})) $.

注1.1   对于Hall-MHD方程组(1.1), 当耗散系数满足$ \mu_{2}=0, \mu_{1}, \mu_{3}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $或$ \mu_{1}=0, \mu_{2}, \mu_{3}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $时, 我们也可以得到类似于定理1.1的经典解的局部存在唯一性结论.

当耗散系数满足$ \mu_{3}=0, \mu_{1}, \mu_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $时, 建立Hall-MHD方程组(1.1)整体正则性是本文的主要任务, 确切地说, 我们有如下的定理.

定理1.2   对于Hall-MHD方程组(1.1), 假设$ (u_{0}, B_{0})\in H^{3}({{\Bbb R}} ^{3}) $且$ \nabla\cdot u_{0}=\nabla\cdot B_{0}=0 $, 当耗散系数满足$ \mu_{3}=0, \mu_{1}, \mu_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $时, 则存在$ \delta_{0}>0 $, 使得当

(1.2) $ \begin{eqnarray} \frac{(\|u_{0}\|_{L^{2}}^{2}+\|B_{0}\|_{L^{2}}^{2})(\|\nabla u_{0}\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla B_{0}\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla^{2}u_{0}\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla^{2}B_{0}\|_{L^{2}}^{2})}{Q^{4}}\leq\delta_{0} \end{eqnarray} $

时, Hall-MHD方程组(1.1)存在唯一经典解$ (u, B) $, 且满足

(1.3) $ \begin{equation} (u, B)\in L^{\infty}(0, T;H^{3}({{\Bbb R}} ^{3})), (\nabla_{p}u, \nabla B)\in L^{2}(0, T;H^{3}({{\Bbb R}} ^{3})), \end{equation} $

其中

(1.4) $ \begin{equation} Q\triangleq\min\{\mu_{1}, \mu_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}\}>0. \end{equation} $

注1.2   对于Hall-MHD方程组(1.1), 当耗散系数满足$ \mu_{2}=0, \mu_{1}, \mu_{3}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $或$ \mu_{1}=0, \mu_{2}, \mu_{3}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $时, 我们也可以得到类似于定理1.2的结论, 由于证明过程与定理1.2类似, 此处我们省略结论与证明过程.

注1.3   由于霍尔项$ \nabla\times((\nabla\times B)\times B) $是包含二阶导数的非线性项, 所以当磁扩散系数$ \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3} $中任何一项为零时, 我们不能建立Hall-MHD方程组(1.1)的整体正则性.

注1.4   文献[21]中, 对初值小性的要求是($ \|u_{0}\|_{H^{3}}^{2}+\|B_{0}\|_{H^{3}}^{2} $)充分小, 显然定理1.2对初值小性的要求更弱, 因此, 定理1.2是有意义的.另外, 根据定理1.2, 当粘性系数和磁扩散系数充分大时, 我们也可以得到大初值经典解的存在唯一性.

本节我们将建立系统(1.1)在$ \mu_{3}=0, \mu_{1}, \mu_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $时经典解的局部存在唯一性.为了表示方便, 首先做一些符号约定: $ \nabla^{\beta}:= \partial^{|\beta|}/\partial_{1}^{\beta_{1}}\partial_{2}^{\beta_{2}}\partial_{3}^{\beta_{3}} $, 这里, $ \beta=(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3})\in({\Bbb N}\cup \{0\})^{3}, $$ |\beta|=\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3}\leq3 $.

证   以$ \nabla^{\beta} $分别作用于(1.1)式的第一个方程和第二个方程, 然后分别与$ \nabla^{\beta}u $和$ \nabla^{\beta}B $做数量积后相加, 得到

(2.1) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|_{H^{3}}^{2}+\|B\|_{H^{3}}^{2})+\mu_{1}\|\partial_{1}u\|_{H^{3}}^{2} +\mu_{2}\|\partial_{2}u\|_{H^{3}}^{2}{} \\ &&+\nu_{1}\|\partial_{1}B\|_{H^{3}}^{2} +\nu_{2}\|\partial_{2}B\|_{H^{3}}^{2} +\nu_{3}\|\partial_{3}B\|_{H^{3}}^{2}{}\\ &=&-\sum\limits_{0<|\beta|\leq3}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{\beta}(u\cdot\nabla u)\cdot\nabla^{\beta}u{\rm d}x +\sum\limits_{0<|\beta|\leq3}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{\beta}(B\cdot\nabla B)\cdot\nabla^{\beta}u{\rm d}x{}\\ &&-\sum\limits_{0<|\beta|\leq3}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{\beta}(u\cdot\nabla B)\cdot\nabla^{\beta}B{\rm d}x +\sum\limits_{0<|\beta|\leq3}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{\beta}(B\cdot\nabla u)\cdot\nabla^{\beta}B{\rm d}x{}\\ &&-\sum\limits_{0<|\beta|\leq3}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{\beta}(\nabla\times((\nabla\times B)\times B))\cdot\nabla^{\beta}B{\rm d}x{}\\ &=&P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}+P_{5}. \end{eqnarray} $

当$ |\beta|=0 $时, 上式变为(3.3).下面对上式中的$ P_{1} $–$ P_{5} $依次估计, 由微积分不等式和Sobolev不等式, 可得

(2.2) $ \begin{eqnarray} |P_{1}|&=&\bigg|\sum\limits_{0<|\beta|\leq3}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}[\nabla^{\beta}(u\cdot\nabla)u -(u\cdot\nabla)\nabla^{\beta}u]\cdot\nabla^{\beta}u{\rm d}x\bigg|{}\\ &\leq&\sum\limits_{0<|\beta|\leq3}\|[\nabla^{\beta}(u\cdot\nabla)u -(u\cdot\nabla)\nabla^{\beta}u]\|_{L^{2}}\|u\|_{H^{3}}{}\\ &\leq& C(\|\nabla u\|_{L^{\infty}}\|\nabla u\|_{H^{2}}+\|u\|_{H^{3}}\|\nabla u\|_{L^{\infty}})\|u\|_{H^{3}}{}\\ &\leq &C\|u\|_{H^{3}}^{3}. \end{eqnarray} $

根据Leibnitz公式和Sobolev不等式, 有

(2.3) $ \begin{eqnarray} |P_{2}|&\leq& C(\|B\|_{H^{3}}\|\nabla B\|_{L^{\infty}}+\|B\|_{L^{\infty}}\|\nabla B\|_{H^{3}})\|u\|_{H^{3}}{}\\ &\leq& C\|B\|_{H^{3}}^{2}\|u\|_{H^{3}}+C\|\nabla B\|_{H^{3}}\|B\|_{H^{3}}\|u\|_{H^{3}}{}\\ &\leq &\frac{\nu}{8}\|\nabla B\|_{H^{3}}^{2}+C\|B\|_{H^{3}}^{2}\|u\|_{H^{3}}^{2}. \end{eqnarray} $

类似(2.3)式, 我们得到

(2.4) $ \begin{eqnarray} |P_{3}|\leq\frac{\nu}{8}\|\nabla B\|_{H^{3}}^{2}+C\|B\|_{H^{3}}^{2}\|u\|_{H^{3}}^{2}. \end{eqnarray} $

对$ P_{4} $分部积分, 然后用跟$ P_{2} $相似的过程, 有

(2.5) $ \begin{eqnarray} |P_{4}|\leq \frac{\nu}{8}\|\nabla B\|_{H^{3}}^{2}+C\|B\|_{H^{3}}^{2}\|u\|_{H^{3}}^{2}. \end{eqnarray} $

根据消去性质, 积分不等式及Sobolev不等式, 可以如下估计$ P_{5} $

(2.6) $ \begin{eqnarray} |P_{5}|&=&\bigg|\sum\limits_{0<|\beta|\leq3}\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}[\nabla^{\beta}((\nabla\times B)\times B)-\nabla^{\beta}(\nabla\times B)\times B]\cdot\nabla^{\beta}(\nabla\times B){\rm d}x\bigg|{}\\ &\leq&\sum\limits_{0<|\beta|\leq3}\|\nabla^{\beta}((\nabla\times B)\times B)-\nabla^{\beta}(\nabla\times B)\times B\|_{L^{2}} \|\nabla B\|_{H^{3}}{}\\ &\leq &C(\|\nabla B\|_{L^{\infty}}\|\nabla B\|_{H^{2}}+\|B\|_{H^{3}}\|\nabla B\|_{L^{\infty}})\|\nabla B\|_{H^{3}}{}\\ &\leq &C\|B\|_{H^{3}}^{2}\|\nabla B\|_{H^{3}} \leq \frac{\nu}{8}\|\nabla B\|_{H^{3}}^{2}+C\|B\|_{H^{3}}^{4}. \end{eqnarray} $

综合(2.1)–(2.6)式, 得到

(2.7) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|_{H^{3}}^{2}+\|B\|_{H^{3}}^{2})+\mu\|\nabla_{h}u\|_{H^{3}}^{2} +\nu\|\nabla B\|_{H^{3}}^{2}\leq C(\|u\|_{H^{3}}^{2}+\|B\|_{H^{3}}^{2})^{2}. \end{eqnarray} $

对(2.7)式用非线性Gronwall's不等式, 有

$ \|u(t)\|_{H^{3}}+\|B(t)\|_{H^{3}}\leq \frac{\|u_{0}\|_{H^{3}}+\|B_{0}\|_{H^{3}}}{1-Ct(\|u_{0}\|_{H^{3}}+\|B_{0}\|_{H^{3}})}. $

在上式中, 选$ T=\frac{1}{2C(\|u_{0}\|_{H^{3}}+\|B_{0}\|_{H^{3}})} $, 那么我们就得到

$ \|u\|_{H^{3}}+\|B\|_{H^{3}}\leq 2(\|u_{0}\|_{H^{3}}+\|B_{0}\|_{H^{3}})\; \; \; \; \forall\; t\in(0, T). $

这样, 我们就完成了定理1.1的证明. 证毕.

本节我们将建立系统(1.1)的一些先验估计, 这些估计在证明定理1.1时会用到. 在本节中, 为了表述方便, 我们规定$ \|\cdot\|_{k}:=\|\cdot\|_{L^{k}} $.在建立先验估计时, 我们要用到下面的引理.

引理3.1^[11]   假设$ f, g, h, \partial_{3}f, \nabla_{p}g, \nabla_{p}h \in L^{2}({{\Bbb R}} ^{3}) $, 则有如下不等式成立

$ \int_{{{\Bbb R}} ^{3}}|fgh|{\rm d}x\leq C\|f\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|g\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|h\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\partial_{3}f\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla_{p}g\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla_{p}h\|_{2}^{\frac{1}{2}}. $

给定系统(1.1)在$ \mu_{3}=0, \mu_{1}, \mu_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $时$ (0, T)\times{{\Bbb R}} ^{3} $上的一个经典解, 规定

$ E(t)\triangleq\sup\limits_{0\leq s\leq t}(\|\nabla u(s)\|_{2}^{2}+\|\nabla B(s)\|_{2}^{2} +\|\nabla^{2}u(s)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B(s)\|_{2}^{2}), \ \ 0\leq t\leq T. $

命题3.1   设$ (u, B) $是Hall-MHD方程组(1.1) 在$ \mu_{3}=0, \mu_{1}, \mu_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $时的经典解, 则存在正常数$ \delta_{0}>0 $, 如果

$ \frac{(\|u_{0}\|_{2}^{2}+\|B_{0}\|_{2}^{2})(\|\nabla u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla B_{0}\|_{2}^{2} +\|\nabla^{2}u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B_{0}\|_{2}^{2})}{Q^{4}}\leq\delta_{0}, $

那么, 当

(3.1) $ \begin{equation} E(T)\leq2(\|\nabla u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla B_{0}\|_{2}^{2} +\|\nabla^{2}u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B_{0}\|_{2}^{2}) \end{equation} $

时, 有

(3.2) $ \begin{equation} E(T)\leq c_{0}(\|\nabla u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla B_{0}\|_{2}^{2} +\|\nabla^{2}u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B_{0}\|_{2}^{2}), \end{equation} $

其中, $ Q $如(1.4)式所定义, 且$ 1<c_{0}<2 $.

证   命题3.1是引理3.3与引理3.4的一个显然的结果. 证毕.

当$ \mu_{3}=0, \mu_{1}, \mu_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $时, 分别用$ u $和$ B $对系统(1.1)的第一个方程和第二个方程做内积, 然后相加, 得到

(3.3) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u(t)\|_{2}^{2}+\|B(t)\|_{2}^{2})+Q(\|\nabla_{p}u\|_{2}^{2} +\|\nabla B\|_{2}^{2})\leq0. \end{eqnarray} $

对上式在$ (0, T) $上积分, 就得到了下面的能量估计.

引理3.2   设$ (u, B) $是系统(1.1)当$ \mu_{3}=0, \mu_{1}, \mu_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $时在$ [0, T]\times{{\Bbb R}} ^{3} $上的经典解, 则下面的能量估计成立

(3.4) $ \begin{eqnarray} \|u\|_{2}^{2}+\|B\|_{2}^{2}+ Q\int_{0}^{T}(\|D_{p}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla B\|_{2}^{2}){\rm d}t \leq\|u_{0}\|_{2}^{2}+\|B_{0}\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

下面, 我们建立$ u $和$ B $的一阶能量估计.

引理3.3   假设条件(3.1)成立, 设$ (u, B) $是系统(1.1)当$ \mu_{3}=0, \mu_{1}, \mu_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $时在$ [0, T]\times{{\Bbb R}} ^{3} $上的经典解, 如果条件(1.2)成立, 且$ \delta_{0} $充分小, 则有

(3.5) $ \begin{eqnarray} &&\sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|\nabla u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla B(t)\|_{2}^{2}) +2Q\int_{0}^{T}(\|\nabla\nabla_{p}u(t)\|_{2}^{2}+\|\Delta B(t)\|_{2}^{2}){\rm d}t{}\\ &\leq &c_{0}(\|\nabla u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla B_{0}\|_{2}^{2}), \end{eqnarray} $

这里$ 1<c_{0}<2 $.

证   以$ \nabla $分别作用于(1.1)式的第一个方程和第二个方程, 然后分别与$ \nabla u $和$ \nabla B $做数量积后相加, 得到

(3.6) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla B(t)\|_{2}^{2})+\mu_{1}\|\nabla\partial_{1}u\|_{2}^{2}{}\\ &&+\mu_{2}\|\nabla\partial_{2}u\|_{2}^{2}+\eta_{1}\|\nabla\partial_{1} B\|_{2}^{2}+\eta_{2}\|\nabla\partial_{2} B\|_{2}^{2}+\eta_{3}\|\nabla\partial_{3} B\|_{2}^{2}{}\\ &=&-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla(u\cdot\nabla)u\cdot\nabla u{\rm d}x -\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla(u\cdot\nabla)B\cdot\nabla B{\rm d}x{}\\ &&+\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla(B\cdot\nabla)B\cdot\nabla u{\rm d}x +\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla(B\cdot\nabla)u\cdot\nabla B{\rm d}x{}\\ &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla[\nabla\times((\nabla\times B)\times B)]\cdot\nabla B{\rm d}x{}\\ &=&H_{1}+H_{2}+H_{3}+H_{4}+H_{5}. \end{eqnarray} $

为了估计方便, 我们将$ H_{1} $分解成如下三部分

$ \begin{eqnarray*} H_{1}&=&-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla_{p}u\cdot\nabla)u\cdot\nabla_{p}u{\rm d}x -\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\partial_{3}u_{p}\cdot\nabla_{p})u\cdot\partial_{3}u{\rm d}x +\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla_{p}\cdot u_{p})\partial_{3}u\cdot\partial_{3}u{\rm d}x\\ &=&H_{11}+H_{12}+H_{13}. \end{eqnarray*} $

用Hölder不等式, 内插值不等式和Young's不等式, 我们如下估计$ H_{11} $

$ \begin{eqnarray*} H_{11}&\leq &C\|\nabla u\|_{2}\|\nabla_{p}u\|_{3}\|\nabla_{p}u\|_{6} \leq C\|\nabla u\|_{2}\|\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla \nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}\\ &\leq &C\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{3}{2}}\|\nabla u\|_{2} \|\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \leq\frac{C}{Q^{3}}\|\nabla u\|_{2}^{4}\|\nabla_{p}u\|_{2}^{2}+\frac{Q}{6}\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

根据引理3.1, 可得

$ \begin{eqnarray*} H_{12}&\leq& C\|\partial_{3}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\partial_{3}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\partial_{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &C\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{3}{2}}\|\nabla u\|_{2} \|\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \leq\frac{C}{Q^{3}}\|\nabla u\|_{2}^{4}\|\nabla_{p}u\|_{2}^{2}+\frac{Q}{6}\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

同理

$ H_{13}\leq\frac{C}{Q^{3}}\|\nabla u\|_{2}^{4}\|\nabla_{p}u\|_{2}^{2}+\frac{Q}{6}\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. $

因此

(3.7) $ \begin{equation} H_{1}\leq\frac{C}{Q^{3}}\|\nabla u\|_{2}^{4}\|D_{p}u\|_{2}^{2}+\frac{Q}{2}\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. \end{equation} $

对$ H_{2} $用分部积分, 由Hölder不等式, 我们得到

(3.8) $ \begin{eqnarray} |H_{2}|&=&\bigg|-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla(u\cdot\nabla)B\cdot\nabla B{\rm d}x\bigg| =\bigg|\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(u\cdot\nabla)B\cdot\Delta B{\rm d}x\bigg|{}\\ &\leq& C\|\nabla B\|_{L^{3}}\|u\|_{L^{6}}\|\Delta B\|_{2} \leq C\|\Delta B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla u\|_{2}\|\Delta B\|_{2}{}\\ &\leq &C\|\Delta B\|_{2}^{\frac{3}{2}}\|\nabla B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla u\|_{2} \leq\frac{C}{Q^{3}}\|\nabla u\|_{2}^{4}\|\nabla B\|_{2}^{2}+\frac{Q}{8}\|\Delta B\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

用消去性质, 将$ H_{3}+H_{4} $写成如下的形式

$ H_{3}+H_{4}=\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla B\cdot\nabla)B\cdot\nabla u{\rm d}x +\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla B\cdot\nabla)u\cdot\nabla B{\rm d}x, $

因此, 用与$ H_{2} $相同的过程可得

(3.9) $ \begin{equation} |H_{3}+H_{4}|\leq\frac{C}{Q^{3}}\|\nabla u\|_{2}^{4}\|\nabla B\|_{2}^{2}+\frac{2Q}{8}\|\Delta B\|_{2}^{2}. \end{equation} $

用消去性质, 差值不等式和Young's不等式可如下估计$ H_{5} $:

(3.10) $ \begin{eqnarray} |H_{5}|&=&\bigg|-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla((\nabla\times B)\times B)\cdot\nabla(\nabla\times B){\rm d}x\bigg|{}\\ &=&\bigg|\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}[\nabla((\nabla\times B)\times B)-\nabla(\nabla\times B)\times B]\cdot\nabla(\nabla\times B){\rm d}x\bigg|{}\\ &\leq& C\|\nabla B\|_{4}^{2}\|\Delta B\|_{2} \leq C\|\Delta B\|_{2}^{\frac{3}{2}}\|\nabla B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\Delta B\|_{2}{}\\ &\leq&\frac{C}{Q^{3}}\|\Delta B\|_{2}^{4}\|\nabla B\|_{2}^{2}+\frac{Q}{8}\|\Delta B\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

综合(3.6)–(3.10)式, 得到

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla B(t)\|_{2}^{2}) +Q(\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{2}+\|\Delta B\|_{2}^{2})\\ &\leq&\frac{C}{Q^{3}}(\|\nabla u\|_{2}^{4}+\|\nabla^{2}B\|_{2}^{4})(\|\nabla B\|_{2}^{2}+\|\nabla_{p} u\|_{2}^{2}). \end{eqnarray*} $

对上式在$ (0, T) $上积分, 有

(3.11) $ \begin{eqnarray} &&\sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|\nabla u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla B(t)\|_{2}^{2}) +Q\int_{0}^{T}(\|\nabla\nabla_{p}u(t)\|_{2}^{2}+\|\Delta B(t)\|_{2}^{2}){\rm d}t{}\\ &\leq&\frac{C}{Q^{3}}\sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|\nabla u(t)\|_{2}^{4}+\|\nabla^{2}B(t)\|_{2}^{4})\int_{0}^{T}(\|\nabla B(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla_{p}u(t)\|_{2}^{2}){\rm d}t{}\\ &&+(\|\nabla u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla B_{0}\|_{2}^{2}). \end{eqnarray} $

由(3.2), (3.4), (3.11)式, 得到

$ \begin{eqnarray*} &&\sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|\nabla u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla B(t)\|_{2}^{2}) +Q\int_{0}^{T}(\|\nabla\nabla_{p}u(t)\|_{2}^{2}+\|\Delta B(t)\|_{2}^{2}){\rm d}t\\ &\leq& C\frac{(\|u_{0}\|_{2}^{2}+\|B_{0}\|_{2}^{2})(\|\nabla u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla B_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B_{0}\|_{2}^{2})}{Q^{4}}\\ &&\times\sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|\nabla u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla B(t)\|_{2}^{2}) +(\|\nabla u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla B_{0}\|_{2}^{2}), \end{eqnarray*} $

上式结合条件(1.2), 选$ \delta_{0} $充分小, 可以得到(3.5)式.证毕.

为了证明命题3.1, 我们还需要下面的先验估计.

引理3.4   在引理3.3的条件下, 则有下面的不等式成立

(3.12) $ \begin{eqnarray} &&\sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|\nabla^{2}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B(t)\|_{2}^{2}) +2Q\int_{0}^{T}(\|\nabla^{2}D_{p}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{3}B(t)\|_{2}^{2}){\rm d}t{}\\ &\leq& c_{0}(\|\nabla^{2}u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B_{0}\|_{2}^{2}), \end{eqnarray} $

其中$ 1<c_{0}<2 $.

证   类似于(3.6)式, 可得

(3.13) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla^{2}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B(t)\|_{2}^{2}) +\mu_{1}\|\nabla^{2}\partial_{1}u\|_{2}^{2}{}\\ &&+\mu_{2}\|\nabla^{2}\partial_{2}u\|_{2}^{2}+\eta_{1}\|\nabla^{2}\partial_{1} B\|_{2}^{2} +\eta_{2}\|\nabla^{2}\partial_{2} B\|_{2}^{2}+\eta_{3}\|\nabla^{2}\partial_{3} B\|_{2}^{2}{}\\ &=&-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{2}(u\cdot\nabla)u\cdot\nabla^{2}u{\rm d}x -\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{2}(u\cdot\nabla)B\cdot\nabla^{2}B{\rm d}x{}\\ &&+\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{2}(B\cdot\nabla)B\cdot\nabla^{2}u{\rm d}x +\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{2}(B\cdot\nabla)u\cdot\nabla^{2}B{\rm d}x{}\\ &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{2}[\nabla\times((\nabla\times B)\times B)]\cdot\nabla^{2}B{\rm d}x{}\\ &=&S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5}. \end{eqnarray} $

将$ S_{1} $分解成如下两部分

$ \begin{eqnarray*} -\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{2}u\cdot\nabla)u\cdot\nabla^{2}u{\rm d}x-2\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla u\cdot \nabla)\nabla u\cdot\nabla^{2}u{\rm d}x =S_{11}+S_{12}. \end{eqnarray*} $

将$ S_{11} $和$ S_{12} $进一步分别分解成下面的三部分

$ \begin{eqnarray*} &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla\nabla_{p}u\cdot\nabla)u\cdot\nabla\nabla_{p}u{\rm d}x -\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\partial_{3}^{2}u_{p}\cdot\nabla_{p})u\cdot\partial_{3}^{2}u{\rm d}x +\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\partial_{3}\nabla_{p}\cdot u_{p})\partial_{3}u\cdot\partial_{3}^{2}u{\rm d}x\\ &=&S_{111}+S_{112}+S_{113}.\\ &&-2\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla u\cdot\nabla)\nabla_{p}u\cdot\nabla\nabla_{p}u{\rm d}x -2\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\partial_{3}u_{p}\cdot\nabla_{p})\partial_{3}u\cdot\partial_{3}^{2}u{\rm d}x +2\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla_{p}\cdot u_{p})\partial_{3}^{2}u\cdot\partial_{3}^{2}u{\rm d}x\\ &=&S_{121}+S_{122}+S_{123}. \end{eqnarray*} $

根据Hölder不等式, 内插值不等式和Young's不等式, 得

$ \begin{eqnarray*} S_{111}&\leq &C\|\nabla u\|_{3}\|\nabla\nabla_{p}u\|_{3}^{2} \leq C\|\nabla u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{3}{2}} \|\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &C\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{3}{2}}(\|\nabla u\|_{2}+\|\nabla^{2}u\|_{2}) \|\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq&\frac{C}{Q^{3}}(\|\nabla u\|_{2}^{4}+\|\nabla^{2}u\|_{2}^{4}) \|\nabla_{p}u\|_{2}^{2}+\frac{Q}{12}\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

用引理3.1估计$ S_{112}, S_{113} $如下

$ \begin{eqnarray*} S_{112}&\leq& C\|\partial_{3}^{2}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{2}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\partial_{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& C\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{2}u\|_{2} \|\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &C\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{3}{2}}\|\nabla^{2}u\|_{2} \|\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq&\frac{C}{Q^{3}}\|\nabla^{2}u\|_{2}^{4}\|D_{p}u\|_{2}^{2} +\frac{Q}{12}\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}.\\ S_{113}&\leq &C\|\partial_{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\partial_{3}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{2}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\partial_{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& C\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}\|\nabla D_{p}u\|_{2}\|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &C\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{3}{2}}\|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &C\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{3}{2}}(\|\nabla^{2}u\|_{2}+\|\nabla u\|_{2}) \|\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq&\frac{C}{Q^{3}}(\|\nabla^{2}u\|_{2}^{4}+\|\nabla u\|_{L^{2}}^{4})\|\nabla_{p}u\|_{2}^{2} +\frac{Q}{12}\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

因此,

$ S_{11}\leq\frac{C}{Q^{3}}(\|\nabla^{2}u\|_{2}^{4}+\|\nabla u\|_{2}^{4})\|\nabla_{p}u\|_{2}^{2} +\frac{3Q}{12}\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. $

显然, $ S_{111}, S_{113}, S_{112} $的估计方法与$ S_{121}, S_{122}, S_{123} $类似, 故

$ S_{12}\leq\frac{C}{Q^{3}}(\|\nabla^{2}u\|_{2}^{4}+\|\nabla u\|_{L^{2}}^{4})\|\nabla_{p}u\|_{2}^{2} +\frac{3Q}{12}\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. $

这样, 我们得到

(3.14) $ \begin{eqnarray} S_{1}\leq\frac{C}{Q^{3}}(\|\nabla^{2}u\|_{2}^{4}+\|\nabla u\|_{2}^{4})\|\nabla_{p}u\|_{2}^{2} +\frac{Q}{2}\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

同样将$ S_{2} $写成下面两项的和

$ \begin{eqnarray*} -\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{2}u\cdot\nabla)B\cdot\nabla^{2}B{\rm d}x-2\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla u\cdot\nabla)\nabla B\cdot\nabla^{2}B{\rm d}x =S_{21}+S_{22}. \end{eqnarray*} $

用Hölder不等式, 内插值不等式和Young's不等式估计$ S_{21} $和$ S_{22} $

$ \begin{eqnarray*} S_{21}&\leq& C\|\nabla^{2} u\|_{2}\|\nabla B\|_{3}\|\nabla^{2}B\|_{6}\\ &\leq& C\|\nabla^{2}u\|_{2}\|\nabla B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{2}B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{3}B\|_{2}\\ &\leq &C\|\nabla^{3} B\|_{2}^{\frac{3}{2}}\|\nabla^{2}u\|_{2}\|\nabla B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq&\frac{C}{Q^{3}}\|\nabla^{2}u\|_{2}^{4} \|\nabla B\|_{2}^{2}+\frac{Q}{14}\|\nabla^{3} B\|_{2}^{2}, \\ S_{22}&\leq& C\|\nabla u\|_{3}\|\nabla^{2}B\|_{3}^{2}\\ &\leq& C\|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{3} B\|_{2}^{\frac{3}{2}}\\ &\leq &C\|\nabla^{3} B\|_{2}^{\frac{3}{2}}(\|\nabla^{2}u\|_{2}+\|\nabla u\|_{2})\|\nabla B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq&\frac{C}{Q^{3}}(\|\nabla^{2}u\|_{2}^{4}+\|\nabla u\|_{2}^{4}) \|\nabla B\|_{2}^{2}+\frac{Q}{14}\|\nabla^{3}B\|_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

所以

(3.15) $ \begin{eqnarray} S_{2}\leq\frac{C}{Q^{3}}(\|\nabla^{2}u\|_{2}^{4}+\|\nabla u\|_{2}^{4}) \|\nabla B\|_{2}^{2}+\frac{2Q}{14}\|\nabla^{3}B\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

根据消去性质, 我们可以将$ S_{3}+S_{4} $写成下面四项之和

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{2}B\cdot\nabla)B\cdot\nabla^{2}u{\rm d}x+2\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla B\cdot\nabla)\nabla B\cdot\nabla^{2}u{\rm d}x\\ &&+\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{2}B\cdot\nabla)u\cdot\nabla^{2}B{\rm d}x+2\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla B\cdot\nabla)\nabla u\cdot\nabla^{2}B{\rm d}x\\ &=&S_{341}+S_{342}+S_{343}+S_{344}. \end{eqnarray*} $

显然, $ S_{341}, S_{342}, S_{344} $可用与$ S_{21} $类似的方法估计, $ S_{343} $可用与$ S_{22} $类似的方法估计. 因此, 我们得到

(3.16) $ \begin{eqnarray} |S_{3}+S_{4}|\leq\frac{C}{Q^{3}}(\|\nabla^{2}u\|_{2}^{4}+\|\nabla u\|_{2}^{4}) \|\nabla B\|_{2}^{2}+\frac{4Q}{14}\|\nabla^{3}B\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

与(3.10)式相似, 可得

(3.17) $ \begin{eqnarray} |S_{5}|&=&\bigg|\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{2}((\nabla\times B)\times B)\cdot\nabla^{2}(\nabla\times B){\rm d}x\bigg|{}\\ &=&\bigg|\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}[\nabla^{2}((\nabla\times B)\times B)-\nabla^{2}(\nabla\times B)\times B]\cdot \nabla^{2}(\nabla\times B){\rm d}x\bigg|{}\\ &\leq& C\|\nabla^{3}B\|_{2}\|\nabla B\|_{6}\|\nabla^{2}B\|_{3} \leq C\|\nabla^{3}B\|_{2}\|\nabla^{2}B\|_{2}\|\nabla^{2}B\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{3} B\|_{2}^{\frac{1}{2}}{}\\ &\leq &C\|\nabla^{3}B\|_{2}^{\frac{3}{2}}\|\nabla^{2}B\|_{2}^{\frac{3}{2}} \leq\frac{C}{Q^{3}}\|\nabla^{2}B\|_{2}^{4}\|\nabla^{2}B\|_{2}^{2}+\frac{Q}{14}\|\nabla^{3}B\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

综合(3.13)–(3.17)式, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla^{2}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B(t)\|_{2}^{2}) +Q(\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}+\|\nabla^{3}B\|_{2}^{2})\\ &\leq&\frac{C}{Q^{3}}(\|\nabla^{2}u\|_{2}^{4}+\|\nabla^{2}B\|_{2}^{4}+\|\nabla u\|_{2}^{4}) (\|\nabla B\|_{2}^{2}+\|\nabla_{p} u\|_{2}^{2}). \end{eqnarray*} $

对上式在$ (0, T) $上积分, 可得

(3.18) $ \begin{eqnarray} &&\sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|\nabla^{2}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B(t)\|_{2}^{2}) +Q\int_{0}^{T}(\|\nabla^{2}\nabla_{p}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{3} B(t)\|_{2}^{2}){\rm d}t{}\\ &\leq&\frac{C}{Q^{3}}\sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|\nabla^{2}u(t)\|_{2}^{4}+\|\nabla^{2}B(t)\|_{2}^{4}+\|\nabla u\|_{2}^{4}){}\\ &&\times\int_{0}^{T}(\|\nabla B(t)\|_{2}^{2}+\|D_{p}u(t)\|_{2}^{2}){\rm d}t +(\|\nabla^{2}u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B_{0}\|_{2}^{2}). \end{eqnarray} $

由(3.1), (3.4)和(3.18)式, 得到

(3.19) $ \begin{eqnarray} &&\sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|\nabla^{2}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B(t)\|_{2}^{2}) +Q\int_{0}^{T}(\|\nabla^{2}\nabla_{p}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{3}B(t)\|_{2}^{2}){\rm d}t{}\\ &\leq& C\frac{(\|u_{0}\|_{L^{2}}^{2}+\|b_{0}\|_{2}^{2})(\|\nabla u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla B_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B_{0}\|_{2}^{2})}{Q^{4}}{}\\ &&\times\sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|\nabla^{2}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla u(t)\|_{2}^{2}) +(\|\nabla^{2}u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B_{0}\|_{2}^{2}). \end{eqnarray} $

根据引理3.3, 在条件(1.2)中令充$ \delta_0 $分小, 即可得(3.13)式. 证毕.

在命题3.1中关于$ u, B $的先验估计基础上, 可以得到下面的先验估计.

命题3.2   在引理3.3的假设条件下, 则有下面的不等式成立

(3.20) $ \begin{eqnarray} &&\sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|\nabla^{3}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{3}B(t)\|_{2}^{2}) +2Q\int_{0}^{T}(\|\nabla^{3}\nabla_{p}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{4}B(t)\|_{2}^{2}){\rm d}t{}\\ &\leq& c^{*}(\|\nabla^{3}u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla^{3}B_{0}\|_{2}^{2}), \end{eqnarray} $

这里$ c^{*}>0 $是正常数.

证   类似(3.6)式, 得到

(3.21) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla^{3}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{3} B(t)\|_{2}^{2})+\mu_{1}\|\nabla^{3}\partial_{1}u\|_{2}^{2}{}\\ &&+\mu_{2}\|\nabla^{3}\partial_{2}u\|_{2}^{2}+\eta_{1}\|\nabla^{3}\partial_{1} B\|_{2}^{2}+\eta_{2}\|\nabla^{3}\partial_{2} B\|_{2}^{2}+\eta_{3}\|\nabla^{3}\partial_{3} B\|_{2}^{2}{}\\ &=&-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{3}(u\cdot\nabla)u\cdot\nabla^{3}u{\rm d}x -\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{3}(u\cdot\nabla)B\cdot\nabla^{3}B{\rm d}x{}\\ &&+\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{3}(B\cdot\nabla)B\cdot\nabla^{3}u{\rm d}x +\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{3}(B\cdot\nabla)u\cdot\nabla^{3}B{\rm d}x{}\\ &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{3}[\nabla\times((\nabla\times B)\times B)]\cdot\nabla^{3}B{\rm d}x{}\\ &=&V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}+V_{5}. \end{eqnarray} $

$ V_{1} $可以写成下面三项之和

$ \begin{eqnarray*} &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{3}u\cdot\nabla)u\cdot\nabla^{3}u{\rm d}x-3\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{2}u\cdot \nabla)\nabla u\cdot\nabla^{3}u{\rm d}x-3\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla u\cdot\nabla)\nabla^{2}u\cdot\nabla^{3}u{\rm d}x\\ &=&V_{11}+V_{12}+V_{13}. \end{eqnarray*} $

而$ V_{11}, V_{12} $可以进一步分解成如下三项之和

$ \begin{eqnarray*} &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{2}\nabla_{p}u\cdot\nabla)u\cdot\nabla^{2}\nabla_{p}u{\rm d}x-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\partial_{3}^{3}u_{p}\cdot \nabla_{p})u\cdot\partial_{3}^{3}u{\rm d}x \\ && +\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\partial_{3}^{2}\nabla_{p}\cdot u_{p})\partial_{3}u\cdot\partial_{3}^{3}u{\rm d}x =V_{111}+V_{112}+V_{113}, \\ &&-3\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla\nabla_{p}u\cdot\nabla)\nabla u\cdot\nabla^{2}\nabla_{p}u{\rm d}x-3\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\partial_{3}^{2}u_{p}\cdot \nabla_{p})\partial_{3}u\cdot\partial_{3}^{2}u{\rm d}x \\ &&+3\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\partial_{3}\nabla_{p}\cdot u_{p})\partial_{3}^{2}u\cdot\partial_{3}^{2}u{\rm d}x =V_{121}+V_{122}+V_{123}. \end{eqnarray*} $

根据Hölder不等式, 差值不等式和Young's不等式, 可得

$ \begin{eqnarray*} V_{111}&\leq& C\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}\|\nabla u\|_{6} \|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{3}\\ &\leq& C\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}\|\nabla^{2}u\|_{2} \|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& C\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{3}{2}}\|\Delta u\|_{2}\\ &\leq &C\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{3}u\|_{2}^{\frac{3}{2}}\|\nabla^{2}u\|_{2}\\ &\leq &C\|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{4}{3}}\|\nabla^{3}u\|_{L^{2}}^{2} +\frac{Q}{18}\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

用引理2.1估计$ V_{112}, V_{113} $如下

$ \begin{eqnarray*} V_{112}&\leq &C\|\partial_{3}^{3}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{3}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\partial_{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& C\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}\|\nabla^{3}u\|_{2}\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &C\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}\|\nabla^{3}u\|_{2}(\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}+ \|\nabla u\|_{2})\\ &\leq &C(\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2})\|\nabla^{3}u\|_{2}^{2} +\frac{Q}{18}\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}, \\ V_{113}&\leq &C\|\partial_{3}^{2}D_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\partial_{3}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{3}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\partial_{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& C\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}\|\nabla^{3}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &C\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}\|\nabla^{3}u\|_{2}(\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}+ \|\nabla u\|_{2})\\ &\leq &C(\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2})\|\nabla^{3}u\|_{2}^{2} +\frac{Q}{18}\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

因此

$ V_{11}\leq C(\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}u\|_{2}^{2})\|\nabla^{3}u\|_{2}^{2} +\frac{3Q}{18}\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. $

类似于$ V_{11} $的估计方式, 有

$ \begin{eqnarray*} V_{121}&\leq& C\|\nabla\nabla_{p}u\|_{6}\|\nabla^{2}u\|_{2} \|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{3}\\ &\leq& C\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}\|\nabla^{2}u\|_{2} \|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &C\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{3}{2}}\|\nabla^{2}u\|_{2}\\ &\leq &C\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{3}u\|_{2}^{\frac{3}{2}}\|\nabla^{2}u\|_{2}\\ &\leq &C\|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{4}{3}}\|\nabla^{3}u\|_{2}^{2} +\frac{Q}{18}\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

根据引理2.1, 得到

$ \begin{eqnarray*} V_{122}&\leq& C\|\partial_{3}^{2}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\partial_{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{3}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\partial_{3}^{2}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\partial_{3}^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &C\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{2}\nabla_{p}u\|_{2} \|\nabla^{3}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& C\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{3}u\|_{2}^{\frac{3}{2}} \|\nabla^{2}u\|_{2}\\ &\leq &C\|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{4}{3}}\|\nabla^{3}u\|_{2}^{2} +\frac{Q}{18}\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

同理可得

$ V_{123}\leq C\|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{4}{3}}\|\nabla^{3}u\|_{2}^{2} +\frac{Q}{18}\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. $

故

$ V_{12}\leq C\|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{4}{3}}\|\nabla^{3}u\|_{2}^{2} +\frac{3Q}{18}\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. $

显然, $ V_{13} $可用与$ V_{11} $类似的方式估计, 所以

$ V_{13}\leq C(\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}u\|_{2}^{2})\|\nabla^{3}u\|_{2}^{2} +\frac{3Q}{18}\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. $

综合上述估计, 我们得到了

(3.22) $ \begin{equation} V_{1}\leq C(\|\nabla\nabla_{p}u\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}u\|_{2}^{2})\|\nabla^{3}u\|_{2}^{2} +\frac{Q}{2}\|\nabla^{3}\nabla_{p}u\|_{2}^{2}. \end{equation} $

将$ V_{2} $分解成下面三项之和

$ \begin{eqnarray*} &&-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{3}u\cdot\nabla)B\cdot\nabla^{3}B{\rm d}x-3\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{2}u\cdot\nabla)\nabla B\cdot\nabla^{3}B{\rm d}x -3\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla u\cdot\nabla)\nabla^{2}B\cdot\nabla^{3}B{\rm d}x\\ &=&V_{21}+V_{22}+V_{23}. \end{eqnarray*} $

由Hölder不等式, 内差值不等式和Young's不等式, 可得

$ \begin{eqnarray*} V_{21}&\leq& C\|\nabla^{3}u\|_{2}\|\nabla B\|_{3}\|\nabla^{3}B\|_{6}\\ &\leq& C\|\nabla^{3}u\|_{2}\|\nabla B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{2} B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{4}B\|_{2}\\ &\leq &C\|\nabla^{3}u\|_{2}(\|\nabla B\|_{2}+\|\nabla^{2} B\|_{2})\|\nabla^{4}B\|_{2}\\ &\leq &C(\|\nabla B\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2} B\|_{2}^{2})\|\nabla^{3}u\|_{2}^{2} +\frac{Q}{22}\|\nabla^{4}B\|_{2}^{2}, \\ V_{22}&\leq& C\|\nabla^{2}u\|_{2}\|\nabla^{2}B\|_{6}\|\nabla^{3}B\|_{3}\\ &\leq &C\|\nabla^{2}u\|_{2}\|\nabla^{3}B\|_{2}\|\nabla^{3}B\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla^{4}B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& C\|\nabla^{2}u\|_{2}\|\nabla^{3}B\|_{2}^{\frac{3}{2}} \|\nabla^{4}B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &C\|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{4}{3}}\|\nabla^{3}B\|_{2}^{2} +\frac{Q}{22}\|\nabla^{4}B\|_{2}^{2}, \\ V_{23}&\leq &C\|\nabla u\|_{6}\|\nabla^{3}B\|_{2}\|\nabla^{3}B\|_{3}\\ &\leq &C\|\nabla^{2}u\|_{2}\|\nabla^{3}B\|_{2}\|\nabla^{3}B\|_{2}^{\frac{1}{2}} \|\nabla^{4}B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq &C\|\nabla^{2}u\|_{2}\|\nabla^{3}B\|_{2}^{\frac{3}{2}} \|\nabla^{4}B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\\ &\leq& C\|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{4}{3}}\|\nabla^{3}B\|_{2}^{2} +\frac{Q}{22}\|\nabla^{4}B\|_{2}^{2}. \end{eqnarray*} $

所以

(3.23) $ \begin{equation} V_{2}\leq C(\|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{4}{3}} +\|\nabla^{2}B\|_{2}^{2}+\|\nabla B\|_{2}^{2})(\|\nabla^{3}u\|_{2}^{2}+\|\nabla^{3}B\|_{2}^{2}) +\frac{3Q}{22}\|\nabla^{4}B\|_{2}^{2}. \end{equation} $

根据消去性质, 我们将$ V_{3}+V_{4} $写成下面六项的和

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{3}B\cdot\nabla)B\cdot\nabla^{3}u{\rm d}x+3\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{2}B\cdot\nabla)\nabla B\cdot\nabla^{3}u{\rm d}x+3\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla B\cdot\nabla)\nabla^{2}B\cdot\nabla^{3}u{\rm d}x\\ &&+\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{3}B\cdot\nabla)u\cdot\nabla^{3}B{\rm d}x+3\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{2}B\cdot\nabla)\nabla u\cdot\nabla^{3}B{\rm d}x+3\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla B\cdot\nabla)\nabla^{2}u\cdot\nabla^{3}B{\rm d}x\\ &=&V_{341}+V_{342}+V_{343}+V_{344}+V_{345}+V_{346}. \end{eqnarray*} $

而$ V_{342} $可以进一步分解如下

$ V_{342}=-3\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{3}B\cdot\nabla)\nabla B\cdot\nabla^{2}u{\rm d}x -3\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}(\nabla^{2}B\cdot \nabla)\nabla^{2}B\cdot\nabla^{2}u{\rm d}x. $

显然, $ (V_{341}, V_{343}, V_{346}), (V_{342}, V_{345}), V_{344} $可以用与$ V_{21}, V_{22}, V_{23} $类似的方法处理.因此, 我们得到

(3.24) $ \begin{equation} |V_{3}+V_{4}|\leq C(\|\nabla^{2}u\|_{2}^{\frac{4}{3}} +\|\nabla^{2}B\|_{2}^{2}+\|\nabla B\|_{2}^{2})(\|\nabla^{3}u\|_{2}^{2}+\|\nabla^{3}B\|_{2}^{2}) +\frac{7Q}{22}\|\nabla^{4}B\|_{2}^{2}. \end{equation} $

利用消去性质, Hölder不等式, 差值不等式和Young's不等式如下估计$ V_{5} $:

(3.25) $ \begin{eqnarray} |V_{5}|&=&\bigg|-\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}\nabla^{3}((\nabla\times B)\times B)\cdot\nabla^{3}(\nabla\times B){\rm d}x\bigg|{}\\ &=&\bigg|\int_{{{\Bbb R}} ^{3}}[\nabla^{3}((\nabla\times B)\times B)-\nabla^{3}(\nabla\times B)\times B]\cdot\nabla^{3}(\nabla\times B){\rm d}x\bigg|{}\\ &\leq& C\|\nabla^{4}B\|_{2}\|\nabla B\|_{6}\|\nabla^{3}B\|_{3} \leq C\|\nabla^{4}B\|_{2}\|\nabla^{2}B\|_{2} \|\nabla^{3}B\|_{2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^{4}B\|_{2}^{\frac{1}{2}}{}\\ &\leq &C\|\nabla^{4}B\|_{2}^{\frac{3}{2}}\|\nabla^{2}B\|_{2} \|\nabla^{3}B\|_{2}^{\frac{1}{2}} \leq C\|\nabla^{2}B\|_{2}^{4} \|\nabla^{3}B\|_{2}^{2}+\frac{Q}{22}\|\nabla^{4}B\|_{2}^{2}. \end{eqnarray} $

综合(3.21)–(3.25)式, 得到

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla^{3}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{3}B(t)\|_{2}^{2}) +Q(\|\nabla^{3}D_{p}u\|_{2}^{2}+\|\nabla^{4}B\|_{2}^{2})\\ &\leq& C(\|\nabla^{2}u\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B\|_{2}^{4}+\|\nabla B\|_{2}^{2}) (\|\nabla^{3}u\|_{2}^{2}+\|\nabla^{3}B\|_{2}^{2}). \end{eqnarray*} $

对上式用Gronwall's不等式, 可得

(3.26) $ \begin{eqnarray} &&\sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|\nabla^{3}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{3}B(t)\|_{2}^{2}) +Q\int_{0}^{T}(\|\nabla^{3}D_{p}u(t)\|_{2}^{2}+\|\nabla^{4}B(t)\|_{2}^{2}){\rm d}t{}\\ &\leq&(\|\nabla^{3}u_{0}\|_{2}^{2}+\|\nabla^{3}B_{0}\|_{2}^{2}) \bigg\{C\int_{0}^{T}(\|\nabla^{2}u\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B\|_{2}^{4}+\|\nabla B\|_{2}^{2}){\rm d}t\bigg\}{}\\ &&\times\exp\bigg(C\int_{0}^{T}(\|\nabla^{2}u\|_{2}^{2}+\|\nabla^{2}B\|_{2}^{4}+\|\nabla B\|_{2}^{2}){\rm d}t\bigg). \end{eqnarray} $

上式结合引理3.3, 引理3.4, 可以得到(3.20)式成立. 证毕.

证  由定理1.1可知系统(1.1)当$ \mu_{3}=0, \mu_{1}, \mu_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}>0 $时经典解局部存在, 根据命题3.1与命题3.2中的先验估计, 用连续性论证方法, 可以推知: 当$ (\|u_{0}\|_{L^{2}}^{2}+\|B_{0}\|_{L^{2}}^{2})(\|\nabla u_{0}\|_{L^{2}}^{2} +\|\nabla B_{0}\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla^{2}u_{0}\|_{L^{2}}^{2} +\|\nabla^{2}B_{0}\|_{L^{2}}^{2})/{Q^{4}}\leq\delta_{0} $时, 定理1.2中的结论成立.用$ L^{2} $ -方法可以证明解的唯一性, 为了简便, 此处省略具体过程. 证毕.