本文主要讨论下列四阶$ p $ -广义Benney-Luke方程的初值问题

(1.1) $ \begin{eqnarray} &\Phi_{tt}-\Delta\Phi+\mu(a\Delta^2\Phi-b\Delta\Phi_{tt})+ \epsilon(\Phi_t\Delta_p\Phi+2\nabla^p\Phi\cdot\nabla\Phi_t) +\beta\nabla(|\nabla\Phi|^m\nabla\Phi)=0, \end{eqnarray} $

(1.2) $ \begin{eqnarray} &\Phi(x, 0)=\Phi_0(x), \quad \Phi_t(x, 0)=\Phi_1(x) \end{eqnarray} $

解在自然能量空间中的整体适定性. 其中$ \Phi=\Phi(x, t) $是未知实值函数, $ x\in {{\Bbb R}}^n $$ (n=1, 2, 3, 4) $, $ t\in {{\Bbb R}}^+ $. $ \Delta $是$ n $维Laplace算子, $ \!\mu, \epsilon, a, b $和$ m $是正常数. 算子$ \Delta_p $和$ \nabla^p $定义如下

$ \nabla^p\Phi=((\partial_{x_1}\Phi)^p, \cdots , (\partial_{x_n}\Phi)^p), $

$ \Delta_p\Phi=\nabla\cdot(\nabla^p\Phi)=\sum\limits_{i=1}^n\partial_{x_i}(\partial_{x_i} \Phi)^p, $

其中

(1.3) $ \begin{equation} p\in {{\mathbb{N}}}, \ \mbox{或} \ p=\frac{m_1}{m_2}\geq1, \quad m_1, m_2 \ \mbox{是相对素数奇数, } \end{equation} $

这保证了算子$ \Delta_p $的合理性. 此外, 为了讨论问题(1.1), (1.2) 的适定性, $ p $和$ m $满足下列假设条件

(1.4) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{lll}\ p\geq1, \quad &n=1, 2, \\ { } \ 1\leq p\leq\frac{2}{n-2}, \quad& n=3, 4, \end{array}\right.\quad \left\{\begin{array}{lll}\ m> 0, \quad& n=1, 2, \\ { } \ 0< m\leq\frac{2}{n-2}, \quad&n=3, 4. \end{array}\right. \end{equation} $

1964年Benney和Luke^[1] 提出三维弱非线性小振幅长波模型, 即Benney-Luke方程(BL)

(1.5) $ \begin{equation} \Phi_{tt}-\Delta\Phi+\mu(a\Delta^2\Phi-b\Delta\Phi_{tt})+ \epsilon(\Phi_t\Delta\Phi+2\nabla\Phi\cdot\nabla\Phi_t)=0 , \end{equation} $

其中$ \Phi $是尺度变换后区域中的速度位势, $ a, b>0 $且$ a-b=\alpha-\frac{1}{3}\neq0 $, $ \alpha $是Bond数, 非线性系数$ \epsilon $是振幅参数, 弥散参数$ \mu = (h_0/L)^2 $是长波参数, $ h_0 $表示平衡深度, $ L $表示水平运动长度.

Pego和Quintero^[2] 指出经过适当的变换, 各向同性(BL) 方程(1.5) 形式上可简化为Kadomtsev-Petviashvili (KP-I或KP-II) 方程. Quintero^[3]证明了如果波速接近$ 0 $或$ 1 $时孤立子波是轨道稳定的且在文献[4] 中证明了$ p $ -广义Benney-Luke方程(方程(1.1) 中$ \beta=0 $) lump解的存在性和解析性.

水波模型的主要特点之一是具有Hamiltonian结构, 相关初值问题整体解的存在性和唯一性可通过一些守恒量的存在性和能量估计得出, 且初值问题解空间的选取也依赖于其Hamiltonian或者能量结构. 对于问题(1.1), (1.2), 如果$ \Phi\in \dot{H}^2({{\Bbb R}}^n)\cap \dot{H}^1({{\Bbb R}}^n) $且$ \Phi_t\in H^1({{\Bbb R}}^n) $, 则问题(1.1), (1.2) 的Hamiltonian结构和能量结构是明确的. 本文的主要目的是讨论问题(1.1), (1.2) 在能量空间$ \dot{H}^{1}({{\Bbb R}}^n)\cap\dot{H}^{2}({{\Bbb R}}^n) \times H^1({{\Bbb R}}^n) $, $ 1\leq n\leq 4 $中解的整体存在性和唯一性. 首先利用压缩映像原理建立局部解的存在性和唯一性. 当非线性项为源项时$ (\beta>0) $, 给出解整体存在的充分条件.

对于问题(1.1), (1.2), 当$ p=1 $, 空间维数$ 1\leq n\leq 4 $时, Wang等^[5] 研究了解在空间$ C([0, \infty); H^2({{\Bbb R}}^n))\cap C^1([0, \infty); H^1({{\Bbb R}}^n)) $中的整体存在性和唯一性且当$ \beta>0 $, $ \epsilon=0 $时, 作者给出了解在有限时间爆破的充分条件. 当$ \beta=0 $, $ p\geq1 $且$ p $为整数时, González^[6] 利用Strichartz估计和Kato-Ponce型交换子的性质讨论了解在二维能量空间$ \dot{H}^2({{\Bbb R}}^2)\cap\dot{H}^1({{\Bbb R}}^2)\times H^1({{\Bbb R}}^2) $中的整体存在唯一性, 并研究了解的局部正则性；当$ \beta=0 $, $ p=1 $时证明了解在空间$ H^{s}({{\Bbb R}}^3)\times H^{s-1}({{\Bbb R}}^3) $中的整体存在性和唯一性, 并研究了解的局部正则性, 其中$ 2<s\leq\frac{5}{2} $. 当$ n=3 $时解空间的光滑性要高于能量空间. 当$ \beta=0 $, $ p=1 $且空间维数为$ 2 $时, Paumond^[7] 讨论了解在空间$ H^s({{\Bbb R}}^2)\times H^{s-1}({{\Bbb R}}^2) $, $ s\geq 2 $中的整体存在性和唯一性, 并建立了KP方程和BL方程之间的联系. 此解空间比能量空间有较高的正则性. Quintero^[8] 研究了解在空间$ {\cal V}^k\times H^{k-1}({{\Bbb R}}^2) $中的整体存在和不存在性, 其中$ {\cal V}^k $是空间$ C_0^\infty({{\Bbb R}}^2) $在模$ \|\Phi\|_{{\cal V}^k}=\|\nabla\Phi\|_{H^{k-1}} $下的闭包, 且$ p=1 $时$ k\geq2 $, $ p\geq1 $时$ k>2 $. 在文献[5] 和[7]中解空间都限制$ \Phi\in L^2 $, 从数学的角度此条件是正确的, 但从物理的角度却不自然. 本文在没有限制$ \Phi\in L^2 $情况下证明了解的整体存在唯一性.

文中将使用标准的符号: $ \hat{u} $或$ \mathfrak{F} u $表示$ u $的Fourier变换, $ L^p=L^p({{\Bbb R}}^n) $表示Lebesgue空间, $ \|\cdot\|_{L^p} $表示$ L^p $中的范数, 其中$ 1\leq p\leq\infty $且$ \|\cdot\|_{L^2}=\|\cdot\| $, $ H^{s}=H^{s}({{\Bbb R}}^n)=(I-\Delta)^{-\frac{s}{2}}L^2 $表示Sobolev空间, 其中$ s\in {{\Bbb R}} $, $ \|u\|_{H^{s}}=\left\|(I-\Delta)^{\frac{s}{2}}u\right\| =\left\|(1+|\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\hat{u}\right\| $表示$ H^s $中的范数. $ \dot{H}^{s}=\dot{H}^{s}({{\Bbb R}}^n)=(-\Delta)^{-\frac{s}{2}}L^2 $表示$ s $阶齐次Sobolev空间, $ \|u\|_{\dot{H}^{s}}=\left\|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}u\right\| =\left\||\xi|^s\hat{u}\right\| $表示$ \dot{H}^{s} $中的范数, 且$ s\geq0 $时$ H^s= L^2 \cap \dot{H}^s $ (参看文献[9]). $ H^{-s}=H^{-s}({{\Bbb R}}^n) $表示$ H^s $的对偶空间. $ X\hookrightarrow Y $表示$ X $嵌入$ Y $. 除特殊说明外, 本文将使用$ C $表示不同的正常数.

本节建立问题(1.1), (1.2) 在自然能量空间中解的局部存在性和唯一性. 首先给出解的定义.

令$ \Phi(x, t)=u(\lambda^{-1}x, t) $, $ \lambda^2=\frac{a}{b} $. 问题(1.1), (1.2) 等价于

(2.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{lll}& u_{tt}-\Delta u=F_{1}(u)+F_{p}(u)+F_{m}(u), \quad (x, t)\in {{\Bbb R}}^n\times {{\Bbb R}}^+, \\ &u(x, 0)=\varphi(x), \quad u_t(x, 0)=\psi(x), \end{array}\right. \end{equation} $

其中

(2.2) $ \begin{eqnarray} & &F_{1}(u)={\cal B}^{-1}\left[\lambda^{-2}(1-\lambda^{2})\right] \Delta u, \end{eqnarray} $

(2.3) $ \begin{eqnarray} & &F_{p}(u)=-\epsilon\lambda^{-(p+1)} {\cal B}^{-1} \left(u_{t}\Delta_p u+2\nabla^p u\cdot\nabla u_t\right), \\ & & F_{m}(u)=-\beta\lambda^{-(m+2)}{\cal B}^{-1}\nabla \left(|\nabla u|^m\nabla u\right), \end{eqnarray} $

且算子

$ {\cal B}=I- \mu b\lambda^{-2}\Delta. $

由Duhamel原理可将(2.1)式的解形式上写为

(2.4) $ \begin{equation} u(x, t)=\dot{K}(t)\varphi+K(t)\psi+\int_{0}^tK(t-\tau)F(u) {\mathrm{d}}\tau , \end{equation} $

其中$ F(u)=F_1(u)+F_{p}(u)+F_{m}(u) $, $ K(t)=\omega^{-1}\sin\omega t $, $ \dot{K}(t)=\cos\omega t $, $ \omega=(-\Delta)^\frac{1}{2} $. 显然, $ K(t) $在$ L^{2} $中有界,

(2.5) $ \begin{equation} \|K(t)\psi\|_{L^2}=\left\|\frac{\sin|\xi|t}{|\xi|}\hat{\psi}\right\|_{L^2}\leq |t|\|\psi\|_{L^2}, \end{equation} $

且对任意$ s\geq0 $,

(2.6) $ \begin{equation} \|K(t)\psi\|_{\dot{H}^s}=\left\||\xi|^s\frac{\sin|\xi|t}{|\xi|}\hat{\psi}\right\|_{L^2} \leq\|\psi\|_{\dot{H}^{s-1}}, \end{equation} $

(2.7) $ \begin{equation} \|\dot{K}(t)\varphi\|_{\dot{H}^s}=\left\||\xi|^s\cos|\xi|t\hat{\varphi}\right\|_{L^2} \leq\|\varphi\|_{\dot{H}^{s}}. \end{equation} $

定义2.1  对任意$ T>0 $, 如果存在$ u\in C([0, T]; \dot{H}^1\cap\dot{H}^2) $, $ u_t\in C([0, T]; H^1) $且满足积分方程(2.4), 则称$ u $是问题(2.1) 定义在$ [0, T] $上的解.

定理2.1   假设(1.3) 和(1.4)式成立. 如果$ \varphi\in \dot{H}^1\cap\dot{H}^2, \psi\in H^{1} $, 则存在时间$ T>0 $使得问题(2.1) 有唯一解

$ u\in C([0, T]; \dot{H}^1\cap \dot{H}^2), \ \ u_t\in C([0, T]; H^1). $

进一步, 当

$ T_{\max}=\sup\left\{T>0: u\ \mbox{在 [0, T] 上存在} \right\}<\infty $

时, 有

$ \lim\limits_{t\rightarrow T_{\max}}\left(\|u\|_{\dot{H}^1}+\|u\|_{\dot{H}^2}+ \|u_t\|_{H^1} \right) =\infty. $

注2.1   显然, 如果$ u $是问题(2.1) 的解, 则$ \Phi $是问题(1.1), (1.2) 的解.

定理2.2   假设条件(1.3) 和(1.4) 成立. 如果$ \Phi_0\in \dot{H}^1\cap\dot{H}^2 $, $ \Phi_1\in H^{1} $, 则存在时间$ T>0 $使得问题(1.1), (1.2) 有唯一解

$ \Phi(x, t)\in C([0, T]; \dot{H}^1\cap \dot{H}^2), \ \ \Phi_t\in C([0, T]; H^1), $

且满足能量等式

(2.8) $ \begin{equation} E(t)=E(0), \end{equation} $

其中

$ \begin{eqnarray*} E(t)=\frac{1}{2}\left[\|\Phi_t\|^2+\mu b\|\nabla \Phi_t\|^2+\|\nabla \Phi\|^2+\mu a\|\Delta \Phi\|^2\right]-\frac{\beta}{m+2}\|\nabla \Phi\|_{L^{m+2}}^{m+2}. \end{eqnarray*} $

进一步, 当

$ T_{\max}=\sup\left\{T>0: \Phi\ \mbox{在 [0, T] 上存在} \right\}<\infty $

时, 有

(2.9) $ \begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow T_{\max}}\left(\|\Phi\|_{\dot{H}^1}+\|\Phi\|_{\dot{H}^2}+ \|\Phi_t\|_{H^1} \right) =\infty. \end{equation} $

定义2.2   令$ \Phi $是问题(1.1), (1.2) 的解. 如果$ T_{\max}=\infty $, 则称$ \Phi $是问题(1.1), (1.2) 的整体解.

注2.2   关于能量等式(2.8) 及解关于时间的延拓(2.9) 可参看文献[5]和[7]的相关证明, 为避免重复这里省略(2.8) 和(2.9)式的证明.

为证明局部解在能量空间中的存在性和唯一性, 我们首先给出相应的非线性估计.

引理2.1   假设(1.4) 成立, 令$ f_m(u)\triangleq\nabla\left(|\nabla u|^m\nabla u\right) $, 则对任意$ u, v \in \dot{H}^1\cap\dot{H}^2 $, 有

$ \begin{eqnarray*} \left\|f_m(u)-f_m(v)\right\|_{H^{-1}}\leq C\|\nabla u-\nabla v\|_{H^1} \left(\|\nabla u\|_{H^1}^{m}+\|\nabla v\|_{H^1}^{m}\right). \end{eqnarray*} $

证   由$ f_m(u) $的表达式及Hölder不等式可知

$ \begin{eqnarray*} \|f_m(u)-f_m(v)\|_{H^{-1}} &\leq &C\left\||\nabla u|^m\nabla u-|\nabla v|^m\nabla v\right\|\\ &\leq &C\left\| |\nabla u-\nabla v|\left(|\nabla u|^m+|\nabla v|^m\right)\right\|\\ &\leq &C \|\nabla u-\nabla v\|_{L^{2(m+1)}}\left(\|\nabla u\|_{L^{2(m+1)}}^m+\|\nabla v\|_{L^{2(m+1)}}^m\right). \end{eqnarray*} $

由假设(1.4) 可得Sobolev嵌入$ H^1\hookrightarrow L^{2(m+1)} $成立, 因此

$ \|f_m(u)-f_m(v)\|_{H^{-1}} \leq C \|\nabla u-\nabla v\|_{H^1}\left(\|\nabla u\|_{H^1}^m+\|\nabla v\|_{H^1}^m\right). $

引理得证.

引理2.2   假设$ p $满足条件(1.3) 和(1.4). 令$ f_p(u)\triangleq u_t\Delta_p u+2\nabla u_t\cdot\nabla ^pu $. 则对任意$ u \in \dot{H}^1\cap\dot{H}^2 $和$ u_t\in H^1 $, 有

$ \|f_p(u)\|_{H^{-1}}\leq C \|u_t\|_{H^1}\|\nabla u\|_{H^1}^{p}. $

证   注意到

$ f_p(u)=u_t\Delta_p u+2\nabla u_t\cdot\nabla ^pu =\nabla\cdot\left(u_t\nabla^p u\right)+\nabla u_t\cdot\nabla ^pu. $

考虑下面两种情况.

情形1    当$ n=1, 2 $且$ p\geq 1 $时, 由Hölder不等式和Sobolev嵌入定理可知

$ \begin{eqnarray*} \|f_p(u)\|_{H^{-1}} &\leq &\left\|\nabla\cdot\left(u_t\nabla^p u\right)\right\|_{H^{-1}} +\left\|\nabla u_t\cdot\nabla ^pu\right\|_{H^{-1}}\\ &\leq &C\left(\left\| u_t\nabla ^pu\right\|_{L^2}+\left\|\nabla u_t\cdot\nabla ^pu\right\|_{L^{1+\varepsilon}}\right)\\ &\leq &C\left(\left\| u_t\nabla ^pu\right\|_{L^2}+\|\nabla u_t\|_{L^2}\|\nabla ^pu\|_{L^{\frac{2(1+\varepsilon)}{1-\varepsilon}}}\right)\\ &\leq &C\|u_t\|_{L^{4}}\sum\limits_{i=1}^n\|\partial_{x_i}u\|_{L^{4p}}^p+ C\|u_t\|_{H^1}\sum\limits_{i=1}^n\|\partial_{x_i}u\|_{L^{\frac{2(1+\varepsilon)p}{1-\varepsilon}}}^{p}, \end{eqnarray*} $

其中常数$ 0<\varepsilon<1 $. 当$ n=1, 2 $时, 对任意$ 2\leq q<\infty $ Sobolev嵌入$ H^1\hookrightarrow L^q $成立, 因此有

$ \|f_p(u)\|_{H^{-1}} \leq C \|u_t\|_{H^1}\|\nabla u\|_{H^1}^{p}. $

情形2   当$ n=3, 4 $且$ 1\leq p\leq\frac{2}{n-2} $时, 由Sobolev嵌入$ H^1\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-2}} $和Hölder不等式可得

$ \begin{eqnarray*} \|f_p(u)\|_{H^{-1}}& \leq &\left\|\nabla\cdot\left(u_t\nabla^p u\right)\right\|_{H^{-1}} +\left\|\nabla u_t\cdot\nabla ^pu\right\|_{H^{-1}}\\ & \leq &C\left(\left\| u_t\nabla ^pu\right\|_{L^2}+\left\|\nabla u_t\cdot\nabla ^pu\right\|_{L^{\frac{2n}{n+2}}}\right)\\ &\leq &C\left(\|u_t\|_{L^{\frac{2n}{n-2}}}\|\nabla ^pu\|_{L^{n}}+\|\nabla u_t\|_{L^2}\|\nabla ^pu\|_{L^n}\right)\\ &\leq &C\|u_t\|_{H^1}\sum\limits_{i=1}^n\|\partial_{x_i}u\|_{L^{np}}^p +C\|u_t\|_{H^1}\sum\limits_{i=1}^n\|\partial_{x_i}u\|_{L^{np}}^{p}. \end{eqnarray*} $

由假设条件(1.4) 可知$ H^1 \hookrightarrow L^{np} $, 则

$ \begin{eqnarray*} \|f_p(u)\|_{H^{-1}}\leq C \|u_t\|_{H^1}\|\nabla u\|_{H^1}^{p}. \end{eqnarray*} $

引理2.2得证.

下面给出定理2.1的证明.

定理2.1的证明   定义函数空间

$ X(T, M)=\left\{(u, u_t)\in C([0, T]; \dot{H}^1\cap \dot{H}^2\times H^1): ||| u|||\leq M\right\}, $

赋予模

$ ||| u |||=\max\limits_{t\in[0, T]} \left(\|u\|_{\dot{H}^1}+\|u\|_{\dot{H}^2}+\|u_t\|_{H^1}\right), $

其中$ M $是依赖于初值的正常数. 考虑映射

$ \begin{eqnarray*} {\cal N}u=\dot{K}(t)\varphi+K(t)\psi+\int_{0}^tK(t-\tau)F(u) {\mathrm{d}}\tau, \end{eqnarray*} $

下面证明选取合适的$ M $和$ T $使得$ {\cal N} $在$ X(T, M) $中有唯一不动点.

由估计式(2.5), (2.6) 和(2.7) 可知, 对任意$ u\in X(T, M) $有

$ \|{\cal N}u\|_{\dot{H}^1}\leq \|\psi\|_{L^2}+\|\varphi\|_{\dot{H}^1} +\int_0^t\|F(u(\tau))\|_{L^2} {\mathrm{d}}\tau, $

$ \|{\cal N}u\|_{\dot{H}^2}\leq \|\psi\|_{\dot{H}^1}+\|\varphi\|_{\dot{H}^2} +\int_0^t\|F(u(\tau))\|_{\dot{H}^1} {\mathrm{d}}\tau, $

$ \|\partial_t{\cal N}u\|_{H^1}\leq \|\psi\|_{H^1}+\|\nabla\varphi\|_{H^1} +\int_0^t\|F(u(\tau))\|_{H^1} {\mathrm{d}}\tau. $

将这些估计式求和得

$ \begin{eqnarray*} &&\|{\cal N}(u)\|_{\dot{H}^1}+\|{\cal N}(u)\|_{\dot{H}^2}+ \|\partial_t{\cal N}u\|_{H^1}\\ &\leq &C\left(\|\psi\|_{H^1}+\|\varphi\|_{\dot{H}^1}+ \|\varphi\|_{\dot{H}^2} +\int_0^t\|F(u)\|_{H^{1}} {\mathrm{d}}\tau\right). \end{eqnarray*} $

注意到

$ \frac{|\xi|\left(1+|\xi|^2\right)^{\frac{1}{2}}} {1+\mu b\lambda^{-2}|\xi|^2} $

和

(2.10) $ \begin{equation} \frac{1+|\xi|^2} {1+\mu b\lambda^{-2}|\xi|^2} \end{equation} $

是$ L^2 $ Fourier乘子, 则

(2.11) $ \begin{equation} \|F_1(u)\|_{H^1}\leq C\|u\|_{\dot{H}^1}, \end{equation} $

$ \|F_m(u)\|_{H^1}=\left\|\frac{\beta \lambda^{-(m+2)}(1+|\xi|^2)} {1+\mu b\lambda^{-2}|\xi|^2}\frac{1}{(1+|\xi|^2)^{\frac{1}{2}}} {\mathfrak{F}}f_m(u) \right\| \leq C\left\|f_m\right\|_{H^{-1}}. $

在引理2.1中取$ v=0 $, 可得

(2.12) $ \begin{equation} \|F_m(u)\|_{H^1}\leq C\|\nabla u\|_{H^1}^{m+1}. \end{equation} $

由(2.10)式和引理2.2, 可知

(2.13) $ \begin{eqnarray} \|F_p(u)\|_{H^1}&=&\left\|\frac{\lambda^{-(p+1)}\epsilon(1+|\xi|^2)} {1+\mu b\lambda^{-2}|\xi|^2} \frac{1}{(1+|\xi|^2)^{\frac{1}{2}}}{\mathfrak{F}}f_p(u)\right\|_{L^2}\\ &\leq &C\left\|f_p\right\|_{H^{-1}}\leq C \|u_t\|_{H^1}\|\nabla u\|_{H^1}^{p}. \end{eqnarray} $

令$ \|\psi\|_{H^2}+\|\varphi\|_{\dot{H}^1}+ \|\varphi\|_{\dot{H}^2}\triangleq \delta $, 由估计式(2.11)–(2.13), 可得

$ \begin{eqnarray*} &&\|{\cal N}(u)\|_{\dot{H}^1}+\|{\cal N}(u)\|_{\dot{H}^2}+ \|\partial_t{\cal N}u\|_{H^1} \\ &\leq &C\left(\delta +\int_0^t\|u\|_{\dot{H}^1} {\mathrm{d}}\tau+\int_0^t \|u_t\|_{H^1}\|\nabla u\|_{H^1}^p {\mathrm{d}}\tau+\int_{0}^t\|\nabla u\|_{H^1}^{m+1} {\mathrm{d}}\tau\right). \end{eqnarray*} $

因此有

$ \begin{eqnarray*} ||| {\cal N}u||| &\leq &C\left(\delta+T\left(||| u|||+ ||| u|||^{p+1}+||| u|||^{m+1}\right)\right)\\ &\leq &C\left[\delta +T(1+M^p+M^m)M\right]. \end{eqnarray*} $

令$ M=(C+1)\delta $, 并取

(2.14) $ \begin{equation} T\leq \delta\left[C(1+M^p+M^m)M\right]^{-1}, \end{equation} $

则有

$ C\left[\delta +T(1+M^p+M^m)M\right]\leq M. $

即$ {\cal N}X(T, M)\subset X(T, M) $.

现在证明映射$ {\cal N} $是压缩的. 对任意$ u, v \in X(T, M) $, 易得

(2.15) $ \begin{equation} \left\|F_1(u)-F_1(v)\right\|_{H^1}\leq C\|u-v\|_{\dot{H}^1}. \end{equation} $

由结论(2.10) 和引理2.1可得

(2.16) $ \begin{eqnarray} \|F_m(u)-F_m(v)\|_{H^{1}} &\leq &C\left\|f_m(u)-f_m(v)\right\|_{H^{-1}} \\ &\leq &C \|\nabla u-\nabla v\|_{H^1}(\|\nabla u\|_{H^1}^m+\|\nabla v\|_{H^1}^m). \end{eqnarray} $

最后我们建立$ \|F_p(u)-F_p(v)\|_{H^{1}} $的估计式. 再次利用(2.10)式可得

$ \left\|F_p(u)-F_p(v)\right\|_{H^1} \leq C\|f_p(u)-f_p(v)\|_{H^{-1}}. $

注意到

$ \begin{eqnarray*} f_p(u)-f_p(v)&=&(u_t-v_t)\Delta_pu+2(\nabla u_t-\nabla v_t)\cdot\nabla^p u\\ &&+v_t(\Delta_p u-\Delta_p v)+ 2\nabla v_t\cdot(\nabla^p u-\nabla^p v)\\ &=& \nabla\cdot\left((u_t-v_t)\nabla^p u\right)+(\nabla u_t-\nabla v_t)\cdot\nabla^pu\\ &&+\nabla\cdot\left(v_t(\nabla^p u-\nabla^p v)\right)+\nabla v_t\cdot(\nabla^p u-\nabla^p v)\\ &\triangleq &I_1+I_2+I_3+I_4, \end{eqnarray*} $

将引理2.2证明过程中的$ u_t $用$ u_t-v_t $代替可得

(2.17) $ \begin{equation} \|I_1\|_{H^{-1}}+\|I_2\|_{H^{-1}}\leq C \|u_t-v_t\|_{H^1}\|\nabla u\|_{H^1}^{p}. \end{equation} $

因为

$ \left|(\partial_{x_i}u)^{p}-(\partial_{x_i}v)^{p}\right|\leq C\left(|\partial_{x_i}u|^{p-1} +|\partial_{x_i}v|^{p-1}\right)\left|\partial_{x_i}u-\partial_{x_i}v\right|, $

通过适当调整引理2.2的证明可得

(2.18) $ \begin{equation} \|I_3\|_{H^{-1}}+\|I_4\|_{H^{-1}}\leq C\|v_t\|_{H^1}\left (\|\nabla u\|_{H^{1}}^{p-1}+\|\nabla v\|_{H^{1}}^{p-1}\right) \|\nabla u-\nabla v\|_{H^1}. \end{equation} $

事实上, 考虑下面两种情形.

情形1   当$ n=1, 2 $时, 由Hölder不等式和Sobolev嵌入定理可得

$ \begin{eqnarray*} &&\|I_3\|_{H^{-1}}+\|I_4\|_{H^{-1}}\\ &\leq &C \|v_t(\nabla^p u-\nabla^p v)\|_{L^2} +\left\|\nabla v_t\cdot(\nabla^p u-\nabla^p v)\right\|_{H^{-1}}\nonumber \\ &\leq &C\|v_t\|_{L^{4}}\|\nabla^p u-\nabla^p v\|_{L^{4}}+\left\|\nabla v_t\cdot(\nabla^p u-\nabla^p v)\right\|_{L^{1+\varepsilon}}\nonumber\\ &\leq &C\|v_t\|_{L^{4}}\|\nabla^p u-\nabla^p v\|_{L^{4}}+\|\nabla v_t\|_{L^2}\|(\nabla^p u-\nabla^p v)\|_{L^{\frac{2(1+\varepsilon)}{1-\varepsilon}}}\nonumber\\ &\leq & C\|v_t\|_{L^{4}}\sum\limits_{i=1}^n\left(\|\partial_{x_i}u\|_{L^{4p}}^{p-1}+\|\partial_{x_i}v\|_{L^{4p}}^{p-1}\right) \|\partial_{x_i}u-\partial_{x_i}v\|_{L^{4p}}\nonumber\\ &&+C\|\nabla v_t\|_{L^{2}}\sum\limits_{i=1}^n\left(\|\partial_{x_i}u\|_{L^{\frac{2(1+\varepsilon)p}{1-\varepsilon}}}^{p-1} +\|\partial_{x_i}v\|_{L^{\frac{2(1+\varepsilon)p}{1-\varepsilon}}}^{p-1}\right) \|\partial_{x_i}u-\partial_{x_i}v\|_{L^{\frac{2(1+\varepsilon)p}{1-\varepsilon}}}\nonumber\\ &\leq &C\|v_t\|_{H^1}\left(\|\nabla u\|_{H^{1}}^{p-1}+\|\nabla v\|_{H^{1}}^{p-1}\right) \|\nabla u-\nabla v\|_{H^1}, \end{eqnarray*} $

其中常数$ 0<\varepsilon<1 $.

情形2   当$ n=3, 4 $时利用Hölder不等式和Sobolev嵌入$ H^1\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-2}} $, 可知

$ \begin{eqnarray*} \|I_3\|_{H^{-1}}+\|I_4\|_{H^{-1}}&\leq &C \|v_t(\nabla^p u-\nabla^p v)\|_{L^2} +\left\|\nabla v_t\cdot(\nabla^p u-\nabla^p v)\right\|_{H^{-1}}\nonumber \\ &\leq &C\|v_t\|_{L^{\frac{2n}{n-2}}}\|\nabla^p u-\nabla^p v\|_{L^n}+\left\|\nabla v_t\cdot(\nabla^p u-\nabla^p v)\right\|_{L^{\frac{2n}{n+2}}}\nonumber\\ &\leq & C\|v_t\|_{H^1}\sum\limits_{i=1}^n\left(\|\partial_{x_i}u\|_{L^{np}}^{p-1}+\|\partial_{x_i}v\|_{L^{np}}^{p-1}\right) \|\partial_{x_i}u-\partial_{x_i}v\|_{L^{np}}\nonumber\\ &&+C\|\nabla v_t\|_{L^{2}}\sum\limits_{i=1}^n\left(\|\partial_{x_i}u\|_{L^{np}}^{p-1}+\|\partial_{x_i}v\|_{L^{np}}^{p-1}\right) \|\partial_{x_i}u-\partial_{x_i}v\|_{L^{np}}. \end{eqnarray*} $

由假设(1.4), 可得$ H^1 \hookrightarrow L^{np} $. 因此

$ \|I_3\|_{H^{-1}}+\|I_4\|_{H^{-1}} \leq C\|v_t\|_{H^1}\left(\|\nabla u\|_{H^{1}}^{p-1}+\|\nabla v\|_{H^{1}}^{p-1}\right) \|\nabla u-\nabla v\|_{H^1}, $

这意味着(2.18)式成立. 结合(2.17) 和(2.18) 式可得

(2.19) $ \begin{eqnarray} &&\left\|F_p(u)-F_p(v)\right\|_{H^1}\\ & \leq &C\left(\|u_t-v_t\|_{H^1}\|\nabla u\|_{H^1}^{p} +\|v_t\|_{H^1}\left (\|\nabla u\|_{H^{1}}^{p-1}+\|\nabla v\|_{H^{1}}^{p-1}\right) \|\nabla u-\nabla v\|_{H^1}\right). \end{eqnarray} $

由估计式(2.15), (2.16) 和(2.19) 可知

$ ||| {\cal N}u-{\cal N}v||| \leq C T(1+M^p+M^m)||| u-v|||. $

取

$ T<\min\left\{\delta\left[C(1+M^p+M^m)M\right]^{-1}, \left[C(1+M^p+M^m)\right]^{-1}\right\}, $

可得(2.14)式成立, 且

$ ||| {\cal N}u-{\cal N}v||| <||| u-v|||, $

即非线性映射$ {\cal N} $是定义在$ X(T, M) $上的压缩映射. 由压缩映像定理可知(2.4)式在区间$ [0, T] $上存在唯一解$ u\in C([0, T]; \dot{H}^1\cap \dot{H}^2), \ \ u_t\in C([0, T]; H^1) $. 定理2.1得证.

本节建立问题(1.1), (1.2) 解在能量空间中的整体存在性, 为此给出下面的结论.

引理3.1   假设$ y=y(t) $是连续的凸函数. 常数$ s>1 $, $ C_2>0 $, $ 0<C_1< \frac{s-1}{s}\left(\frac{1}{C_2s}\right)^{\frac{1}{s-1}} $. 如果对任意$ t\geq0 $, 有$ 0\leq y(t)\leq C_1+ C_2 y(t)^s $, 则存在常数$ y_1, y_2 $, 满足$ 0<y_1< \left(\frac{1}{C_2 s}\right)^{\frac{1}{s-1}}< y_2<\infty $, 使得对任意$ t\geq 0 $有

(3.1) $ \begin{equation} \mbox{当} \quad y(0)<y_0=\left(\frac{1}{C_2 s}\right)^{\frac{1}{s-1}} \quad\mbox{时有} \quad 0\leq y(t)\leq y_1, \end{equation} $

或

(3.2) $ \begin{equation} \mbox{当}\quad y(0)>y_0=\left(\frac{1}{C_2 s}\right)^{\frac{1}{s-1}} \quad\mbox{时有} \quad y_2\leq y(t)<\infty. \end{equation} $

证   令

$ h(y)=y-C_2 y^s, $

显然, 函数$ h(y) $在$ 0\leq y\leq y_0=\left(\frac{1}{C_2s}\right)^{\frac{1}{s-1}} $上是严格单调递增的, 在$ y_0<y< +\infty $, 上是严格单调递减的, 并且在$ y_0 $处有最大值$ h(y_0)=\frac{s-1}{s}\left(\frac{1}{C_2s}\right)^{\frac{1}{s-1}} $.

由于$ h(y) $是连续凸函数, 并且$ 0<C_1<\frac{s-1}{s}\left(\frac{1}{C_2s}\right)^{\frac{1}{s-1}} $, 则直线$ Z=C_1 $和曲线$ Z=h(y) $有两个交点$ (y_1, h(y_1)) $和$ (y_2, h(y_2)) $且

$ 0<y_1<y_0= \left(\frac{1}{C_2 s}\right)^{\frac{1}{s-1}}< y_2<\infty. $

则由函数$ h(y) $的连续性和单调性及条件$ h(y)<C_1 $可得引理3.1的结论. 引理得证.

定理3.1   假设条件(1.3) 和(1.4) 成立, $ \Phi_0\in \dot{H}^1\cap\dot{H}^2 $, $ \Phi_1\in H^{1} $, $ \Phi $是$ [0, T] $上的唯一解. 若下面的条件之一成立

1. $ \beta\leq0 $;

2. $ \beta>0 $, 且

(3.3) $ \begin{equation} E(0)< \frac{m}{2(m+2)}\beta^{-\frac{2}{m}}C_{\ast}^{-\frac{2(m+2)}{m}}, \end{equation} $

(3.4) $ \begin{equation} \|\Phi_1\|_{H^1}^2+\|\Phi_0\|_{\dot{H}^1}^2+\|\Phi_0\|_{\dot{H}^2}^2 < \frac{C}{2}\beta^{-\frac{2}{m}}C_{\ast}^{-\frac{2(m+2)}{m}}, \end{equation} $

则$ \Phi $是问题(1.1), (1.2) 的唯一整体解, 其中$ C_{\ast} $是Sobolev常数^[10].

证   如果$ \beta\leq0 $, 由(2.8)式可知

(3.5) $ \begin{equation} \sup\limits_{t\in[0, T_{\max})}\left(\|\Phi\|_{\dot{H}^1}+\|\Phi\|_{\dot{H}^2}+ \|\Phi_t\|_{H^1} \right) \leq C E(0). \end{equation} $

如果$ \beta>0 $, 由假设(1.4) 可得$ H^1\hookrightarrow L^{m+2} $, 因此有

$ \|\nabla \Phi\|_{L^{m+2}}\leq C_{\ast} \left(\|\nabla \Phi\|^2+\mu a\|\Delta \Phi\|^2\right)^{\frac{1}{2}}, \quad\forall \nabla \Phi\in H^1, $

其中$ C_{\ast} $是Sobolev最佳嵌入常数, 且

$ C_{\ast}=\sup\limits_{\nabla \Phi\in H^1 \atop \nabla \Phi\neq0}\frac{\|\nabla \Phi\|_{L^{m+2}}}{\left(\|\nabla \Phi\|^2 +\mu a\|\Delta \Phi\|^2\right)^{\frac{1}{2}}}. $

令

$ y(t)=\frac{1}{2}\left[\|\Phi_t\|^2+\mu b\|\nabla \Phi_t\|^2+\|\nabla \Phi\|^2+\mu a\|\Delta \Phi\|^2\right], $

由(2.8)式, 可得

$ \begin{eqnarray*} y(t)&=&E(0)+\frac{\beta}{m+2}\|\nabla \Phi\|_{L^{m+2}}^{m+2}\\ &\leq &E(0)+\frac{\beta}{m+2}C_{\ast}^{m+2} \left(\|\nabla \Phi\|^2+\mu a\|\Delta \Phi\|^2\right)^{\frac{m+2}{2}}\\ &\leq &E(0)+\frac{\beta}{m+2}C_{\ast}^{m+2}2^{\frac{m+2}{2}}y^{\frac{m+2}{2}}. \end{eqnarray*} $

注意到假设条件(3.3), 可得

$ h(y)\triangleq y(t)-\frac{\beta}{m+2}C_\ast^{m+2}2^{\frac{m+2}{2}}y(t)^{\frac{m+2}{2}}\leq E(0) < \frac{m}{2(m+2)}\beta^{-\frac{2}{m}}C_{\ast}^{-\frac{2(m+2)}{m}}. $

由假设条件(3.4) 和引理3.1可得

$ y(t)<\frac{1}{2}\beta^{-\frac{2}{m}}C_{\ast}^{-\frac{2(m+2)}{m}}. $

进一步,

(3.6) $ \begin{equation} \sup\limits_{t\in[0, T_{\max})}\left(\|\Phi\|_{\dot{H}^1}+\|\Phi\|_{\dot{H}^2}+ \|\Phi_t\|_{H^1} \right)< \infty. \end{equation} $

由估计式(3.5) 和(3.6) 可得$ T_{\max}=\infty $. 定理3.1得证.