讨论Banach空间$ X $中无穷时滞脉冲中立型测度微分方程mild解的存在性问题

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} d(x(t)+g(t, x_t))=Ax(t){\rm d}t+f(t, x_t){\rm d}u(t), \ t\in J=[0, a], t\neq t_i, \\ \Delta x(t_i)=I_i(x_{t_i}), i=1, 2, \cdots , n, \\ x_0=\phi\in {\cal B}, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

这里$ A:D(A)\subseteq X\rightarrow X $是解析半群$ \{T(t), t\geq 0\} $的无穷小生成元, $ x_t: (-\infty, 0]\rightarrow X $, $ x_t(\theta)=x(t+\theta) $属于抽象的相空间$ {\cal B}\in G((-\infty, 0], X) $; $ u $为单调不减的左连续函数, $ g, f, \phi $是适当的函数; $ \triangle x(t_i)=x(t^+_i)-x(t^-_i) $, 其中$ x(t^+_i) $和$ x(t^-_i) $分别表示$ x(t) $在$ t=t_i\ (i=1, 2, \cdots , n) $的右、左极限, $ G((-\infty, 0], X) $表示正则函数空间.

测度微分方程又称测度方程, 能够描述发展动态为瞬时变化的系统, 被广泛应用于力学、生物学、物理学等领域^[1-3]. 它包含一般常见的脉冲型、时间测度链上的微分方程模型. 若$ u(t)=t $, 则成为经典的常微分方程. 众所周知, 时滞是影响系统稳定的重要因素, 讨论具有时滞的测度方程是十分有意义的. 近年来, 测度方程被广泛的研究^[4-7]. 但较少考虑到时滞问题, 在之前的研究中, 学者通过使用算子半群紧性条件和先验估计限制条件来得到方程mild解的存在性. 如文献[8–9]

(1.2) $ \begin{equation} M_1c+\varphi\sup\limits_{0\leq t\leq b}\bigg(\int_{0}^{t}[(t-s)^{\alpha-1}]^q{\rm d}g(s)\bigg)^\frac{1}{q}\frac{M_1}{\Gamma(\alpha)}\|h\|_{HLS}<1, \end{equation} $

(1.3) $ \begin{equation} \|(-A)^{-\beta}\|Q^*+2\frac{M_{1-\beta}}{\beta}\|l_g\|_{L^1(J, {{\Bbb R}}^+)}+M \bigg(T\|l_f\|_{L^1(J, {{\Bbb R}}^+)}+\|l_h\|_{L^2(J, {{\Bbb R}}^+)}+\sum\limits_{n=1}^ml_k\bigg)<1, \end{equation} $

本文通过使用Kuratowski非紧性测度的性质与分段估计的方法研究方程(1.1)mild解的存在性. 算子及脉冲项的紧性条件、先验估计限制条件没有被用到, 推广和改进了文献[8–9]的结果, 我们给出一个具体的实例说明所得结果的可行性.

设Banach空间$ X $上具有范数$ \|\cdot\| $, $ A $是$ X $中解析半群$ \{T(t), t\geq 0\} $的无穷小生成元, 且$ 0\in\rho(A) $, $ \rho(A) $是$ A $的预解集. 对任意$ t\in[0, a], \|T(t)\|\leq M $. 分数幂算子$ (-A)^\beta, 0<\beta<1 $为定义域$ D(-A)^\beta $上的闭算子, 定义范数$ \|x\|_\beta=\|(-A)^\beta x\| $. $ C(J, X) $表示所有从$ J $到$ X $连续函数组成的函数空间, 并赋予范数$ \|x\|_{C(J, X)} $. 更多关于解析半群的性质参见文献[10].

设$ PC([0, a], X)=\{x:[0, a]\rightarrow X, x $在$ t\neq t_i $时连续, $ x(t^-_i)=x(t_i) $且$ x(t^+_i) $存在, $ i=1, 2, \cdots, n\} $. 对$ x\in PC, $$ i=1, 2, \cdots , n $, 令$ \widetilde{x}_i(t)=x(t), $$ t\in(t_i, t_{i+1}], \widetilde{x}_i(t^+_i)=x(t^+_i) $, 则$ \widetilde{x}_i\in C([t_i, t_{i+1}], X) $. 进而, 对$ V\in PC $和$ i=1, 2, \cdots , n $, 记$ \widetilde{V}_i=\{\widetilde{x}_i:x\in V\} $. 由文献[11, 引理1.1], $ V\in PC $相对紧的当且仅当每一个集合$ \widetilde{V}_i\subset C([t_i, t_{i+1}], X)\ (i=0, 1, \cdots , n) $为相对紧的. 并记$ J_0=\overline{J}_0=[0, t_1], $$ \overline{J}_1=[t_1, t_2], \cdots, \overline{J}_n=[t_n, a] $.

函数$ f:[a, b]\rightarrow X $被称为正则的, 若满足

$ \lim\limits_{s \to t^-}f(s)=f(t^-), t\in(a, b], \lim\limits_{s \to t^+}f(s)=f(t^+), t\in [a, b), $

定义范数$ \|f\|_\infty=\sup\limits_{t\in [a, b]}\|f(t)\| $. 显然, 正则函数空间为Banach空间, 记$ G([a, b], X) $.

定义2.1  相空间$ {\cal B} $是$ (-\infty, 0] $到$ X $上函数构成的线性空间, 赋予范数$ \|{\cdot}\|_{{\cal B}} $, 且满足如下公理

(H$ _1) $$ x_t\in{\cal B} $.

(H$ _2) $当$ x\in{\cal B}, t\leq 0 $时, 存在局部有界函数$ H:(-\infty, 0]\rightarrow {{\Bbb R}}^+ $, 使得$ \|x(t)\|\leq H\|x_t\|_{{\cal B}} $.

(H$ _3) $当$ x\in {\cal B}, \mu\leq t\leq0 $时, 存在函数$ K:[0, \infty)\rightarrow [1, \infty), N:[0, \infty)\rightarrow {{\Bbb R}}^+ $, 使得

$ \|x_t\|_{{\cal B}}\leq K(t-\mu)\sup\limits_{s\in [\mu, t]}\|x(s)\|+N(t-\mu)\|x_\mu\|_{{\cal B}}. $

(H$ _4) $当$ x\in {\cal B} $, 那么函数$ t\rightarrow \|x_t\|_{{\cal B}} $在$ (-\infty, 0] $上是正则的.

(H$ _5) $$ {\cal B} $是完备的空间.

注2.2   (H$ _1) $–(H$ _5) $与文献[12]中的相空间定义几乎相同, 除(H$ _3) $与(H3)不同外. 其实, 若$ \sigma>0, x\in H_0 $, 令$ t=0, \mu=-\sigma $得出$ \|x\|_{H_0}\leq k_2(\sigma)\sup\limits_{t\in [\sigma, 0]}\|x(t)\| $, 即是文献[12]中的(H3).

记空间$ {\cal B}_a=\{x:(-\infty, a]\rightarrow X:x_k\in C(J_i, X), x $在$ t\neq t_i $时连续, $ x(t^-_i) =x(t_i) $且$ x(t^+_i) $存在, $ i = 1, 2, \cdots, n, x_0=\phi\} $, 赋予半范数$ \|x\|_{{\cal B}_a}=\|x_0\|_{{\cal B}}+\sup\limits_{t\in J}\|x(t)\| $.

函数$ U:[a, b]\times[a, b]\rightarrow X $被称为Kurzweil-Henstock-Stieltjes积分, 若存在$ I\in X $, 对任意的$ \varepsilon>0 $, 都有区间$ [a, b] $上的一个划分$ \delta $, 使得

$ \bigg\|\sum\limits_{i=1}^N(U(\tau_i, s_i)-U(\tau_i, s_{i-1})-I)\bigg\|<\varepsilon $

成立. 定义$ \int_a^bDU(\tau, s)=I $, 令$ DU(\tau, s)=f(\tau)u(s) $, 则积分为$ \int_a^bf(s){\rm d}u(s) $. 用$ K_u([0, a], X) $表示Kurzweil-Henstock-Stieltjes可积函数空间.

命题2.3  函数$ f:[a, b]\rightarrow X $和$ u:[a, b]\rightarrow {{\Bbb R}} $满足$ u $是正则函数且$ \int_{a}^{b}f(s){\rm d}u(s) $存在. 对$ t_0\in [a, b] $, 函数$ h(t)=\int_{t_0}^{t}f(s){\rm d}u(s), t\in[a, b] $为正则函数并满足

$ h(t^+)=h(t)+f(t)\Delta^+u(t), t\in[a, b), $

$ h(t^-)=h(t)-f(t)\Delta^-u(t), t\in(a, b], $

其中$ \Delta^+u(t)=u(t^+)-u(t) $, $ \Delta^-u(t)=u(t)-u(t^-) $.

引理2.4  令$ y(t), u(t) $是有界变差的非负函数且$ u(t) $单调递增, $ Q(t)\in K_u([0, a], X) $为非负可积函数, 满足

$ y(t)\leq C+\int_{0}^{t}Q(s)y(s){\rm d}u(s), 0\leq t\leq a $

成立, 其中$ C\geq0 $为常数, 则

$ y(t)\leq C\bigg[1+\int_{0}^{t}Q(s)\exp\Big(\int_{s}^{t}Q(\eta){\rm d}u(\eta)\Big){\rm d}u(s)\bigg], 0\leq t\leq a. $

定义2.5  集合$ V\subset G([a, b], X) $被称为等度正则的, 如果满足对任意的$ \varepsilon>0 $和$ t_0\in[a, b] $, 存在$ \delta>0 $使得

(i) 若$ x\in V, t\in [a, b], t-\delta < t < t_0 $, 则$ \|x(t_0^-)-x(t)\|<\varepsilon $;

(ii) 若$ x\in V, t\in [a, b], t_0 < t < t+\delta $, 则$ \|x(t)- x(t_0^+)\|<\varepsilon $.

引理2.6  若$ V\subset G([a, b], X) $是有界等度正则集, 则集合$ \overline{\rm co}(V) $也是有界等度正则的, 且$ \alpha(V(t)) $是正则的并满足$ \alpha(V)=\sup\limits_{t\in [a, b]}\alpha(V(t)) $.

引理2.7  设$ W\subseteq L_u^1(J, X) $是可数集, 若存在一个正函数$ \nu\in L_u^1(J, R^+) $, 对任意的$ w\in W_0 $, 使得$ \|w(t)\|\leq \nu(t), u\mbox{-}a.e $, 则有

$ \alpha \Big(\int_{J}W(t){\rm d}u(t)\Big)\leq 2\int_{J}\alpha (W(t)){\rm d}u(t) $

成立, 其中$ \alpha(\cdot) $表示Kuratowski非紧性测度(参见文献[7]), $ L_u^1(J, X) $表示对$ u $可积函数集合.

证  设$ W(t)=\{w(t):w\in W\subset X\} $, 且$ \alpha(W)=\sup\{W(t):t\in [0, a]\} $. 由有限覆盖定理及非紧性测度的性质可知, 对任意的$ \epsilon>0 $, 存在序列$ \{w_i\}\subset W $$ (i=1, 2, \cdots , n) $与常数$ m $, 使得$ W\subset U_{i=1}^n B(w_i(s), \epsilon+m) $, 其中$ B(w_i(s), \epsilon+m) $表示有限多个半径$ r=\epsilon+m $, 中心为$ w_i $$ (i=1, 2, \cdots , n) $的开球. 进而推出$ \int_{0}^{t}W(s){\rm d}u(s) $可以被$ U_{i=1}^n B(\int_{0}^{t}w_i(s){\rm d}u(s), \epsilon+am) $覆盖, 可得$ \alpha(\int_{0}^{t}W(s){\rm d}u(s))\leq \alpha(W(s))\leq\alpha(W) $. 又由文献[13, 推论3.1]可知, 存在可分的线性闭子空间$ X_0\subset X $, 使得

$ \alpha(W)\leq 2\chi(W, X_0)\leq 2\int \chi(W(s), X_0){\rm d}u(s)\leq 2\int \alpha(W(s)){\rm d}u(s), $

其中$ \chi $表示Hausdorff非紧性测度(参见文献[15]), 证毕.

引理2.8  设$ \Omega $是Banach空间$ X $中的一个有界开子集且$ 0\in\Omega $. 如果算子$ F:\overline{\Omega}\rightarrow X $连续并且满足如下条件

(1) $ x\neq\lambda Fx, \ \forall\ \lambda\in(0, 1), x\in\partial\Omega $;

(2) 若对任意可数集$ D\subset\overline{\Omega} $, $ D\subset\overline{\rm co}(\{0\}\cup F(D)) $, 可推出$ D $是相对紧的.

那么$ F $在$ \overline{\Omega} $中有一个不动点.

这里我们将讨论脉冲无穷时滞中立型测度微分方程(1.1) mild解的存在性结果. 首先, 我们给出方程(1.1) mild解的定义及要用到的假设条件.

定义3.1  函数$ x\in G([0, a], X) $被称为方程(1.1)在$ [0, a] $上的mild解, 若满足$ x_0=\phi\in {\cal B} $且

(3.1) $ \begin{eqnarray} x(t)&=&T(t)(\phi(0)-g(0, \phi(0)))+g(t, x_t)+\int_{0}^{t}AT(t-s)g(s, x_s){\rm d}s{}\\ &&+\int_{0}^{t}T(t-s)f(s, x_s){\rm d}u(s)+\sum\limits_{0<t_i<t}T(t-t_i)I_i(x_{t_i}), \ t\in [0, a]. \end{eqnarray} $

我们给出以下假设

(F$ _1) $令$ M=\sup\limits_{t\in J}\|T(t)\| $, $ (T(t))_{t\geq0} $是强连续的, 且有$ 0<\beta<1 $, 存在$ C_{1-\beta} $, 满足

$ \|(-A)^{1-\beta}T(t)\|\leq \frac{C_{1-\beta}}{t^{1-\beta}}, 0<t\leq a; $

(F$ _2) $函数$ f:J\times {\cal B}\rightarrow X $满足下列条件

(i) 对$ x:(-\infty, a]\rightarrow X $, 满足$ x_0=\phi, x(\cdot)|_J\in PC $, 映射$ t\rightarrow f(t, x_t) $在$ J $上是强可测的, 对几乎处处$ t\in J, f(t, \cdot): {\cal B}\rightarrow X $是连续的;

(ii) 存在一个非负函数$ p(t)\in K_u(J, X) $, 使得

$ \|f(t, \phi)\|\leq p(t)\|\phi\|_{{\cal B}}, t\in J, \phi\in {\cal B}; $

(iii) 对任意的有界集$ V\subset G(J, X) $, 都存在一个非负函数$ l_f(t)\in K_u(J, X) $, 使得

$ \alpha(f(t, V_t))\leq l_f(t)\alpha(V_t), t\in J, $

其中$ V_t=\{x_t:x\in V\}\subseteq {\cal B} $.

(F$ '_2) $函数$ f(\cdot, \cdot) $是连续的, 且存在一个正常数$ 0\leq L_f $, 使得

$ \|f(t, \phi)-f(t, \psi)\|\leq L_f\|\phi-\psi\|_{{\cal B}}, \ t\in J, \phi, \psi\in{\cal B}; $

(F$ _3) $存在常数$ 0<\beta<1 $, 对$ (t, \phi)\in J\times X $, 有$ g(t, \phi)\in X_\beta=D((-A)^\beta) $和$ (-A)^\beta g(t, \phi) $连续, 且存在常数$ 0\leq c_1<\frac{1}{M_0}, \ 0<c_2 $及$ 0\leq l_g^*<\frac{1}{M_0} $满足

$ \|(-A)^\beta g(t, \phi)\|\leq c_1\|\phi\|_{{\cal B}}+c_2, $

$ \alpha((-A)^\beta g(t, V_t))\leq l_g(t)\alpha(V_t), l_g^*=\sup\limits_{t\in J}l_g(t), $

其中$ M_1=\|(-A)^{-\beta}\|, M_0=KM_1 $;

(F$ '_3) $函数$ g(\cdot, \cdot) $是连续的, $ g(t, 0)=0 $且存在一个正常数$ 0\leq L_g<\frac{1}{M_0} $使得

$ \|(-A)^\beta g(t, \phi)-(-A)^\beta g(t, \psi)\|\leq L_g\|\phi-\psi\|_{{\cal B}}, \ t\in J, \phi, \psi\in{\cal B}; $

(F$ _4) $函数$ I_i:{\cal B}_a\rightarrow X\ (i=1, \cdots, n) $连续并且存在常数$ d\geq0, e>0 $, 使得对每一个$ i=1, \cdots, n $, $ \|I_i(\phi)\|\leq d\|\phi\|_{{\cal B}_a}+e $.

定理3.2  假设条件(F$ _1) $–(F$ _3) $和(F$ _4) $被满足, 则方程(1.1)至少有一个mild解.

证  定义算子$ \Gamma:{\cal B}_a\rightarrow {\cal B}_a $

(3.2) $ \begin{eqnarray} \Gamma x(t)=\left\{\begin{array}{ll} \phi(t), \ t\in(-\infty, 0], \\ { } T(t)(\phi(0)-g(0, \phi(0)))+g(t, x_t)+\int_{0}^{t}AT(t-s)g(s, x_s){\rm d}s\\ { } +\int_{0}^{t}T(t-s)f(s, x_s){\rm d}u(s)+\sum\limits_{0<t_i<t}T(t-t_i)I_i(x_{t_i}), \ t\in [0, a]. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

证明方程(1.1)存在温和解等价于证明算子$ \Gamma $存在不动点.

定义函数

(3.3) $ \begin{eqnarray} \widehat{\phi}(t)=\left\{\begin{array}{ll} \phi(t), \ &t\in(-\infty, 0], \\ T(t)\phi(0), \ &t\in J. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

可以推出$ \widehat{\phi}(t)\in{\cal B}_a $, 且有

$ \|\widehat{\phi}_t\|_{{\cal B}}\leq K(t)\sup\limits_{0\leq s\leq t}\| \widehat{\phi}(s) \|+N(t)\|\widehat{\phi}_0\|_{{\cal B}}\leq (HKM+N)\|\widehat{\phi}_0\|_{{\cal B}}:=r, $

其中$ K=\sup\limits_{0\leq t \leq a}K(t), N=\sup\limits_{0\leq t \leq a}N(t). $令$ x(t)=y(t)+\widehat{\phi}(t), t\in(-\infty, a] $. 显然, $ x $满足方程(1.1), 当且仅当$ y_0=0, t\in(-\infty, 0] $且

(3.4) $ \begin{eqnarray} y(t)&=&T(t)(-g(0, \phi(0)))+g(t, x_t)+\int_{0}^{t}AT(t-s)g(s, x_s){\rm d}s {}\\ &&+\int_{0}^{t}T(t-s)f(s, x_s){\rm d}u(s)+\sum\limits_{0<t_i<t}T(t-t_i)I_i(x_{t_i}), \ t\in [0, a]. \end{eqnarray} $

记空间$ S(a)=\{y:y\in{\cal B}_a, y_0=0, y|_J\in PC\} $, 其范数定义为

$ \|y\|_{a}=\|y_0\|_{{\cal B}}+\sup\limits_{t\in J}\|y(t)\|=\sup\limits_{t\in J}\|y(t)\|, $

可以看出$ S(a) $是一个Banach空间. 定义映射$ F:S(a)\rightarrow S(a) $,

(3.5) $ \begin{eqnarray} Fy(t)=\left\{\begin{array}{ll} 0, \ t\in(-\infty, 0], \\ { } T(t)(-g(0, \phi(0)))+g(t, y_t+\widehat{\phi}_t)+\int_{0}^{t}AT(t-s)g(s, y_s+\widehat{\phi}_s){\rm d}s\\ { } +\int_{0}^{t}T(t-s)f(s, y_s+\widehat{\phi}_s){\rm d}u(s)+\sum\limits_{0<t_i<t}T(t-t_i)I_i(y_{t_i}+\widehat{\phi}_{t_i}), \ t\in J. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

显然, $ \Gamma $存在不动点也既是证明$ F $存在不动点. 现有

$ \|y_t+\widehat{\phi}_t\|_{{\cal B}}\leq \|y_t\|_{{\cal B}}+\|\widehat{\phi}_t\|_{{\cal B}}\leq K\|y\|_t+r, $

其中$ \|y\|_t=\sup\limits_{0\leq s \leq t}\|y(s)\| $. 易知$ F $定义是合理的且取值于$ S(a) $. 另外, 由相空间理论, 勒贝格控制收敛定理及假设条件(F$ _2) $, (F$ _3) $和(F$ _4) $可以推出$ F $是连续的.

接下来, 我们首先证明集合

$ \Omega_0=\{y\in S(a), y=\lambda Fy, \lambda\in[0, 1]\} $

是有界的. 事实上, 若$ y\in S(a) $, 那么存在一个$ \lambda\in[0, 1] $, 使得$ y=\lambda Fy $. 当$ t\in J_0=[0, t_1] $时, 由(3.5)式及条件(F$ _1) $–(F$ _3) $得到

$ \begin{eqnarray*} \|y(t)\|&\leq&\|F(y)(t)\|\leq\|T(t)(-g(0, \phi(0)))\|+\|g(t, y_t+\widehat{\phi}_t)\|\\ &&+\int_{0}^{t}\|AT(t-s)g(s, y_s+\widehat{\phi}_s)\|{\rm d}s+\|\int_{0}^{t}T(t-s)f(s, y_s+\widehat{\phi}_s){\rm d}u(s)\|\\ &\leq& M\|(-A)^{-\beta}(-A)^{\beta}g(0, \phi(0))\|+\|(-A)^{-\beta}(-A)^{\beta}g(t, y_t+\widehat{\phi}_t)\|\\ &&+\int_{0}^{t}\|(-A)^{1-\beta}T(t-s)(-A)^{\beta}g(s, y_t+\widehat{\phi}_t)\|{\rm d}s+\int_{0}^{t}\|T(t-s)f(s, y_s+\widehat{\phi}_s)\|{\rm d}u(s)\\ &\leq& M\|(-A)^{-\beta}\|(c_1\|\phi\|_{\cal B}+c_2)+\|(-A)^{-\beta}\|(c_1\|y_t+\widehat{\phi}_t\|_{\cal B}+c_2)\\ &&+\int_{0}^{t}\|\frac{C_{1-\beta}}{(t-s)^{1-\beta}}(c_1\|y_s+\widehat{\phi}_s\|_{\cal B}+c_2)\|{\rm d}s+M\int_{0}^{t}p(s)\|y_s+\widehat{\phi}_s\|_{{\cal B}}{\rm d}u(s)\\ &\leq& c_1KM_1\|y\|_t+(c_1(\|\phi\|_{\cal B}+r)+c_2)(M+1)(M_1+\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_1^{\beta})+Mr\int_{0}^{t_1}p(s){\rm d}u(s)\\ &&+(c_1\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_1^{\beta}+M)\int_{0}^{t}(1+p(s))\|y_s\|_{{\cal B}}d(u(s)+s). \end{eqnarray*} $

因此

(3.6) $ \begin{eqnarray} \|y\|_t&\leq&c_1KM_1\|y\|_t+(c_1(\|\phi\|_{\cal B}+r)+c_2)(M+1)(M_1+\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_1^{\beta}){}\\ &&+Mr\int_{0}^{t_1}p(s){\rm d}u(s)+K(c_1\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_1^{\beta}+M)\int_{0}^{t}(1+p(s))\|y\|_s{\rm d}(u(s)+s). \end{eqnarray} $

由Gronwall引理2.4和(3.6)式知, 存在一个与$ y $和$ \lambda $无关的常数$ N_0>0 $, 满足$ \|y(t)\|\leq N_0 $, 且$ \|y_t\|_{{\cal B}}\leq KN_0, t\in J_0 $. 由此与条件(F$ _4) $有

$ \|I_i(y_{t_i}+\widehat{\phi}_{t_i})\|\leq {\rm d}(KN_0+r)+e=\delta, $

$ \|x(t^+_1)\|=\|x(t_1)+I_1(x_{t_1})\|\leq N_0+\delta. $

当$ t\in J_1=(t_1, t_2] $时, $ \widetilde{y}_1\in C([t_1, t_2], X) $. 类比(3.6)式, 可以得出

(3.7) $ \begin{eqnarray} \|\widetilde{y}_1(t)\|&\leq& c_1KM_1\|y\|_t+(c_1(\|\phi\|_{\cal B}+r)+c_2)(M+1)(M_1+\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_2^{\beta}){}\\ &&+M\|I_1(y_{t_1}+\widehat{\phi}_{t_1})\|+Mr\int_{0}^{t_2}p(s){\rm d}u(s){}\\ &&+K(c_1\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_2^{\beta}+M)\int_{0}^{t}(1+p(s))\|y\|_sd(u(s)+s) \end{eqnarray} $

因为$ \|y\|_t\leq\sup\limits_{0\leq s\leq t_1}\|y(s)\|+\sup\limits_{t_1\leq s\leq t}\|\widetilde{y}_1(s)\|=:\|y\|_{t_1}+v(t) $, 由(3.7)式推得

(3.8) $ \begin{eqnarray} v(t)&\leq& M\delta+c_1KM_1(N_0+v(t))+(c_1(\|\phi\|_{\cal B}+r)+c_2)(M+1)(M_1+\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_2^{\beta}){}\\ &&+Mr\int_{0}^{t_2}p(s){\rm d}u(s)+KN_0(c_1\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_2^{\beta}+M)\int_{0}^{t_1}(1+p(s)){\rm d}(u(s)+s){}\\ &&+K(c_1\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_2^{\beta}+M)\int_{t_1}^{t_2}(1+p(s))v(s){\rm d}(u(s)+s), \ t\in [t_1, t_2]. \end{eqnarray} $

因此再次使用Gronwall引理2.4和(3.8)式可知, 存在一个与$ \widetilde{y}_1 $和$ \lambda\in(0, 1) $无关的常数$ N_1>0 $, 使得$ \|\widetilde{y}_1\|_t\leq N_1, $$ t\in[t_1, t_2] $. 所以对$ t\in J_1, $$ \|y(t)\|\leq N_1 $并且$ \|y_t\|_{{\cal B}}\leq K(N_0+N_1) $.

类比上面的证明方法, 得出存在与$ y $和$ \lambda\in(0, 1) $无关的常数$ N_i>0 $, 使得$ \|y(t)\|\leq N_i, $$ t\in J_i=(t_i, t_{i+1}]\ (i=2, 3, \cdots, n) $. 记$ \overline{N}=\max\{N_0, N_1, \cdots, N_n\} $, 那么$ \|y(t)\|\leq \overline{N}, $$ t\in J, $即$ \Omega_0 $为有界集.

最后, 证明引理2.8的一切条件均被满足. 令$ R>\overline{N} $和$ \Omega_R=\{y\in S(a):\|y\|_a<R\} $, 则$ \Omega_R $是一个有界的开集且$ 0\in\Omega $, 因为$ R>\overline{N} $, 可以推出$ y\neq\lambda Fy $, 对任意的$ y\in\partial\Omega_R $都成立.

令$ V\subset \overline{\Omega}_R $是一个可数集且$ V\subset\overline{\rm co}(\{0\}\cup F(V)) $,

$ V(t)\subset\overline{\rm co}(\{0\}\cup F(V)(t)), t\in[0, a]. $

由假设条件(F$ _2) $, (F$ _3) $, (F$ _4) $和$ T(t) $等度连续, 可知$ FV $在每个区间$ J_i\ (i=0, 1, \cdots, n) $上等度连续, 由此及上式知$ V $在每个区间$ J_i\ (i=0, 1, \cdots, n) $上等度连续. 根据文献[11, 引理1.1], 接下来的非紧性测度估计不区分$ V|_{J_i} $和$ \widetilde{V}_i\ (i=1, 2, \cdots, n) $.

当$ t\in J_0=[0, t_1] $时, 由根据非紧性测度性质, 条件(F$ _1) $, (F$ _2) $(iii), (F$ _3) $和引理2.7得

$ \begin{eqnarray*} \alpha(V(t))&\leq&\alpha((FV)(t))\leq\alpha \bigg(\bigg\{g(t, V_t+\widehat{\phi}_t)+\int_{0}^{t}AT(t-s)g(s, y_s+\widehat{\phi}_s){\rm d}s\\ &&+\int_{0}^{t}T(t-s)f(s, y_s+\widehat{\phi}_s){\rm d}u(s)\bigg\}\bigg)\\ &\leq& M_1l_{g}^{*}\alpha(V_t)+\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_1^{\beta}2l_{g}^{*}\int_{0}^{t}\alpha(V_s){\rm d}s+M2l_{f}^{*}\int_{0}^{t}\alpha(V_s){\rm d}u(s)\\ &\leq&M_1l_{g}^{*}\alpha(V_t)+2(\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_1^{\beta}l_{g}^{*}+Ml_{f}^{*})\int_{0}^{t}\alpha(V_s){\rm d}(u(s)+s)\\ &\leq&M_1l_{g}^{*}K\sup\limits_{0\leq s\leq t}\alpha(V(s))\\ &&+2(\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_1^{\beta}l_{g}^{*}+Ml_{f}^{*})K\int_{0}^{t}\sup\limits_{0\leq\tau\leq s}\alpha(V(\tau)){\rm d}(u(s)+s). \end{eqnarray*} $

记$ m(t)=\sup\limits_{0\leq s\leq t}\alpha(V(s)), t\in J $. 则推出

$ m(t)\leq M_1l_{g}^{*}Km(t)+2(\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_1^{\beta}l_{g}^{*}+Ml_{f}^{*})K\int_{0}^{t}m(s){\rm d}(u(s)+s) $

与

$ m(t)\leq \frac{2K(\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_1^{\beta}l_{g}^{*}+Ml_{f}^{*})}{1-M_1l_{g}^{*}K}\int_{0}^{t}m(s){\rm d}(u(s)+s) $

因此得出: $ m(t)=0, $$ t\in J_0 $, 且$ \alpha(V(t))=0, $$ t\in J_0 $. 故集合$ V $是$ C(J_0, X) $中相对紧集. 由$ 0\leq\alpha(V_{t_1})\leq\sup\limits_{0\leq t\leq t_1}\alpha(V(t))=0 $, 和$ I_1(\cdot) $连续, 推出$ \alpha(V_{t_1}+\widehat{\phi}_{t_1})\leq\alpha(V_{t_1})=0 $并且$ \alpha(I_1 (V_{t_1}+\widehat{\phi}_{t_1}))=0 $.

当$ t\in\overline{J}_1=[t_1, t_2] $时, 类比于上式推导过程, 可得

(3.9) $ \begin{eqnarray} \alpha(V(t))&\leq&M_1l_{g}^{*}K\sup\limits_{0\leq s\leq t}\alpha(V(s))+M\alpha(I_1 (V_{t_1}+y_{t_1})){}\\ &&+2(\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_1^{\beta}l_{g}^{*}+Ml_{f}^{*})K\int_{0}^{t}\sup\limits_{0\leq\tau\leq s}\alpha(V(\tau)){\rm d}(u(s)+s){}\\ &=&M_1l_{g}^{*}K\sup\limits_{t_1\leq s\leq t}\alpha(V(s)){}\\ &&+ 2(\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_1^{\beta}l_{g}^{*}+Ml_{f}^{*})K\int_{t_1}^{t}\sup\limits_{t_1\leq\tau\leq s}\alpha(V(\tau)){\rm d}(u(s)+s). \end{eqnarray} $

由(3.9)式推出$ \alpha(V(t))=0, t\in\overline{J}_1 $且$ V $是$ C(J_1, X) $中的相对紧集.

同样地可以证明$ V $是$ C(J_i, X)\ (i=2, 3, \cdots, n) $中的相对紧集, 所以$ V $是$ S(a) $中的相对紧集. 由引理2.8推得$ F $在$ \overline{\Omega}_R $中存在一个不动点. 设$ y $是$ F $在$ S(a) $中的不动点, 那么$ y+\widehat{\phi} $即为方程(1.1)的mild解. 证毕.

定理3.3  设条件(F$ _1) $、(F$ _2) $、(F$ '_3) $和(F$ _4) $被满足, 则方程(1.1)有一个mild解.

证  对任意有界集$ V\subset PC $, 由条件(F$ '_3) $得到

$ \|(-A)^\beta g(t, \phi)\|\leq L_g(\|\phi\|), \ t\in J, \phi\in{\cal B}, $

$ \alpha((-A)^\beta g(t, V_t))\leq L_g(\alpha(V_t)), \ t\in J, V_t\subset{\cal B}. $

所以函数$ g $满足(F$ _3) $. 再由定理3.2, $ F $在$ \overline{\Omega}_R $中有不动点, 推出方程(1.1)有一个mild解. 证毕.

定理3.4  设条件(F$ _1) $、(F$ '_2) $、(F$ '_3) $和(F$ _4) $被满足, 则方程(1.1)存在唯一的mild解.

证  由定理3.2, 知$ F $在$ \overline{\Omega}_R $中至少存在一个不动点. 接下来, 证明方程(1.1)仅有一个不动点. 设$ u, v\in\overline{\Omega}_R $是$ F $的两个不动点, 则当$ t\in J_0=[0, t_1] $时, 有

$ \begin{eqnarray*} \|u(t)-v(t)\|&=&\|F(u)(t)-F(v)(t)\|\\ &\leq&\|g(t, u_t)-g(t, v_t)\|+\int_{0}^{t}\|AT(t-s)g(t, u_s)-g(t, v_s)\|{\rm d}s\\ &&+\|\int_{0}^{t}T(t-s)(f(s, u_s)-f(s, v_s)){\rm d}u(s)\|\\ &\leq&M_1KL_g\|u-v\|_t+\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_1^{\beta}(L_g+ML_f)K\int_{0}^{t}\|u-v\|_s{\rm d}(u(s)+s). \end{eqnarray*} $

因此, 可推出$ u(t)=v(t), t\in J_0 $, 和$ u_{t_1}=v_{t_1} $.

当$ t\in\overline{J_1} $时, 有

$ \begin{eqnarray*} \|\widetilde{u}(t)-\widetilde{v}(t)\|&=&\|F\widetilde{u}(t)-F\widetilde{v}(t)\|\\ &\leq&M_1KL_g\|u-v\|_t\\ &&+\frac{C_{1-\beta}}{\beta}t_2^{\beta}(L_g+ML_f)K\int_{t_1}^{t}\sup\limits_{t_1\leq\tau\leq s}\|u(\tau)-v(\tau)\|{\rm d}(u(s)+s) \end{eqnarray*} $

相似地可推出$ \widetilde{u}(t)=\widetilde{v}(t), \ t\in \overline{J_1}, $$ u(t)=v(t), \ t\in J_1 $, 和$ u_{t_2}=v_{t_2} $.

同理, 我们可以证明$ u(t)=v(t), t\in J_i $$ (i=1, 2, \cdots, n) $. 因此$ u(t)=v(t), \ t\in J $.证毕.

设$ {\cal B} $为抽相空间$ {\cal B}=PC_0\times L^2[\rho, X] $, 如文献[17], 其中$ \rho:(-\infty, 0]\rightarrow {{\Bbb R}} $为勒贝格可积函数, 赋予半范数$ \|\cdot\|_{\cal B}=|\psi(0)|+(\int_{-\infty}^0\rho(s)|\psi(s)|^2{\rm d}s)^\frac{1}{2} $. $ K(t)=1+(\int_{-t}^0\rho(s)|\psi(s)|^2{\rm d}s)^\frac{1}{2}, $$ H=1, 0\leq t. $

考虑如下具有无穷时滞脉冲中立型测度微分方程

(4.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } {\rm d}(u(t, x)-\int_{-\infty}^t\int_{0}^\pi b(s-t, \xi, x)u(s, \xi){\rm d}\xi {\rm d}s) =\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(t, x){\rm d}t\\ [3mm] { } +\int_{-\infty}^t\mu(t, s-t)u(s, x){\rm d}w(s), \ 0\leq t\leq 1, t\neq t_i, 0\leq x\leq\pi, \\ u(t, 0)=u(t, \pi)=0, \ 0\leq t\leq 1, \\ u(\theta, x)=\phi(\theta, x), \ -\infty<\theta\leq0, 0\leq x\leq\pi, \\ { } \Delta u(t_i, x)=\int_{-\infty}^{t_i}q_i(t_i-s)u(s, x){\rm d}s, \ i=1, 2, \cdots, m, \end{array} \right. \end{equation} $

令平方可积的泛函空间$ X=L^2[0, \pi] $, $ 0<t_1<t_2<\cdots<t_m<1 $. 定义算子$ A: X\rightarrow X, Ax=x'' $, 满足$ D(A)=\{x\in X:x, x' $绝对连续, $ x''\in X, x(0)=x(\pi)=0\} $. $ A $是强连续解析半群$ \{T(t)\}_{t\geq 0} $的无穷小生成元, 且$ M=\sup\limits_{t\in[0, 1]}\|T(t)\|<1 $. 进一步, $ A $有离散谱, 对应特征值$ -n^2 $, 就范的特征向量$ \delta_n(s)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin ns, n\in N $. 且满足以下性质

(a) $ \{\delta_n : n\in\mathbb{N}\}\subset X $是一个正交基;

(b) 若$ \delta\in D(A) $, 则$ A\delta=-\sum\limits_{n=1}^\infty n^2\langle\delta, \delta_n\rangle\delta_n $;

(c) 若$ \delta\in X $, 则$ (-A)^\frac{1}{2}\delta=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\langle\delta, \delta_n\rangle\delta_n $;

(d) 算子$ (-A)^\frac{1}{2} $在空间$ D[(-A)^\frac{1}{2}]=\{\delta\in X:\sum\limits_{n=1}^\infty n\langle\delta, \delta_n\rangle\delta_n\in X\} $上定义为$ (-A)^\frac{1}{2}\delta=\sum\limits_{n=1}^\infty n\langle\delta, \delta_n\rangle\delta_n $.

若$ (t, \phi)\in[0, 1]\times{\cal B}, $令$ \phi(\theta, x)=\phi(\theta)(x), (\theta, x)\in(-\infty, 0]\times[0, \pi] $, $ u(t, x)=u(t)(x), $

$ g(t, \phi)(x)=\int_{-\infty}^0\int_{0}^\pi b(\theta, \xi, x)\phi(\theta, \xi) {\rm d}\xi {\rm d}\theta, f(t, \phi)(x)=\int_{-\infty}^0\mu(t, \theta)\phi(\theta, x){\rm d}w(\theta), $

$ I_i(\phi)(x)=\int_{-\infty}^0q_i(\theta)\phi(\theta, x) {\rm d}\theta, \ $

$ w(t)= \left\{\begin{array}{ll} { } 1-\frac{1}{2}, {\quad} &{ } 0\leq t\leq1-\frac{1}{2}, \\ \cdots , \\ { } 1-\frac{1}{n}, &{ } 1-\frac{1}{n-1}<t\leq1-\frac{1}{n}, \\ \cdots , \\ 1, &t=1. \end{array} \right. $

为了研究系统(4.1), 我们假设以下条件成立

$ (h_1) $令$ b(s, \xi, x), \frac{\partial b(s, \xi, x)}{\partial x} $是可测的, 且$ b(s, \xi, 0)=b(s, \xi, \pi)=0 $和

$ L_g:=\max\bigg\{\bigg[\int_{0}^\pi\int_{-\infty}^0\int_{0}^\pi \frac{1}{\rho(s)} \frac{\partial^k b(s, \xi, x)}{\partial x^2} {\rm d}\xi {\rm d}s{\rm d}x\bigg]^\frac{1}{2}, k=0, 1\bigg\}<\infty; $

$ (h_2) $设$ \mu\in C({{\Bbb R}}^2, {{\Bbb R}}) $和$ (\int_{-\infty}^0\mu^2(t, \theta)\rho^{-1}(\theta) {\rm d}\theta)^\frac{1}{2}=p(t)\in C(J, {{\Bbb R}}^+) $;

$ (h_3) $设$ \mu\in C({{\Bbb R}}, {{\Bbb R}}^+) $和$ c_i=(\int_{-\infty}^0q^2_i(\theta)\rho^{-1}(\theta) {\rm d}\theta)^\frac{1}{2}<\infty, i=1, 2, \cdots, m $.

若$ (t, \phi)\in[0, 1]\times {\cal B}\rightarrow X $,

$ \begin{eqnarray*} \|f(t, \phi)-f(t, \psi)\|&\leq&\bigg(\int_{0}^\pi \bigg(\int_{-\infty}^0\mu^2(t, \theta)[\phi(\theta, x)-\psi(\theta, x)] {\rm d}\theta\bigg)^\frac{1}{2}{\rm d}x\bigg)^\frac{1}{2}\\ &\leq&\bigg(\int_{-\infty}^0 \frac{\mu^2(t, \theta)}{\rho(\theta)} {\rm d}\theta\int_{-\infty}^0\rho(\theta)|\phi(\theta, \cdot)-\psi(\theta, \cdot)|^2_{L^2}{\rm d}\theta\bigg)^\frac{1}{2}\\ &\leq& p(t)\|\phi-\psi\|_{\cal B}\leq L_f\|\phi-\psi\|_{\cal B}, \end{eqnarray*} $

其中$ L_f=\max\{\sup\limits_{0\leq t\leq a} p(t), 1\} $. 定理3.4的所有条件都被满足, 因此, 系统(4.1)存在唯一的mild解. 然而,

$ |ML_g+MaL_f(1+aH)|Ka>2L_f>1. $

因此, 小于1的限制性条件没有被使用, 推广改进了许多已有的结果.