讨论Banach空间$X$中无穷时滞脉冲中立型测度微分方程mild解的存在性问题

这里$A:D(A)\subseteq X\rightarrow X$是解析半群$\{T(t), t\geq 0\}$的无穷小生成元, $x_t: (-\infty, 0]\rightarrow X$, $x_t(\theta)=x(t+\theta)$属于抽象的相空间${\cal B}\in G((-\infty, 0], X)$; $u$为单调不减的左连续函数, $g, f, \phi$是适当的函数; $\triangle x(t_i)=x(t^+_i)-x(t^-_i)$, 其中$x(t^+_i)$和$x(t^-_i)$分别表示$x(t)$在$t=t_i\ (i=1, 2, \cdots , n)$的右、左极限, $G((-\infty, 0], X)$表示正则函数空间.

测度微分方程又称测度方程, 能够描述发展动态为瞬时变化的系统, 被广泛应用于力学、生物学、物理学等领域^[1-3]. 它包含一般常见的脉冲型、时间测度链上的微分方程模型. 若$u(t)=t$, 则成为经典的常微分方程. 众所周知, 时滞是影响系统稳定的重要因素, 讨论具有时滞的测度方程是十分有意义的. 近年来, 测度方程被广泛的研究^[4-7]. 但较少考虑到时滞问题, 在之前的研究中, 学者通过使用算子半群紧性条件和先验估计限制条件来得到方程mild解的存在性. 如文献[8–9]

本文通过使用Kuratowski非紧性测度的性质与分段估计的方法研究方程(1.1)mild解的存在性. 算子及脉冲项的紧性条件、先验估计限制条件没有被用到, 推广和改进了文献[8–9]的结果, 我们给出一个具体的实例说明所得结果的可行性.

设Banach空间$X$上具有范数$\|\cdot\|$, $A$是$X$中解析半群$\{T(t), t\geq 0\}$的无穷小生成元, 且$0\in\rho(A)$, $\rho(A)$是$A$的预解集. 对任意$t\in[0, a], \|T(t)\|\leq M$. 分数幂算子$(-A)^\beta, 0<\beta<1$为定义域$D(-A)^\beta$上的闭算子, 定义范数$\|x\|_\beta=\|(-A)^\beta x\|$. $C(J, X)$表示所有从$J$到$X$连续函数组成的函数空间, 并赋予范数$\|x\|_{C(J, X)}$. 更多关于解析半群的性质参见文献[10].

设$PC([0, a], X)=\{x:[0, a]\rightarrow X, x$在$t\neq t_i$时连续, $x(t^-_i)=x(t_i)$且$x(t^+_i)$存在, $i=1, 2, \cdots, n\}$. 对$x\in PC,$$i=1, 2, \cdots , n$, 令$\widetilde{x}_i(t)=x(t),$$t\in(t_i, t_{i+1}], \widetilde{x}_i(t^+_i)=x(t^+_i)$, 则$\widetilde{x}_i\in C([t_i, t_{i+1}], X)$. 进而, 对$V\in PC$和$i=1, 2, \cdots , n$, 记$\widetilde{V}_i=\{\widetilde{x}_i:x\in V\}$. 由文献[11, 引理1.1], $V\in PC$相对紧的当且仅当每一个集合$\widetilde{V}_i\subset C([t_i, t_{i+1}], X)\ (i=0, 1, \cdots , n)$为相对紧的. 并记$J_0=\overline{J}_0=[0, t_1],$$\overline{J}_1=[t_1, t_2], \cdots, \overline{J}_n=[t_n, a]$.

函数$f:[a, b]\rightarrow X$被称为正则的, 若满足

定义范数$\|f\|_\infty=\sup\limits_{t\in [a, b]}\|f(t)\|$. 显然, 正则函数空间为Banach空间, 记$G([a, b], X)$.

定义2.1  相空间${\cal B}$是$(-\infty, 0]$到$X$上函数构成的线性空间, 赋予范数$\|{\cdot}\|_{{\cal B}}$, 且满足如下公理

(H$_1)$$x_t\in{\cal B}$.

(H$_2)$当$x\in{\cal B}, t\leq 0$时, 存在局部有界函数$H:(-\infty, 0]\rightarrow {{\Bbb R}}^+$, 使得$\|x(t)\|\leq H\|x_t\|_{{\cal B}}$.

(H$_3)$当$x\in {\cal B}, \mu\leq t\leq0$时, 存在函数$K:[0, \infty)\rightarrow [1, \infty), N:[0, \infty)\rightarrow {{\Bbb R}}^+$, 使得

(H$_4)$当$x\in {\cal B}$, 那么函数$t\rightarrow \|x_t\|_{{\cal B}}$在$(-\infty, 0]$上是正则的.

(H$_5)$${\cal B}$是完备的空间.

注2.2   (H$_1)$–(H$_5)$与文献[12]中的相空间定义几乎相同, 除(H$_3)$与(H3)不同外. 其实, 若$\sigma>0, x\in H_0$, 令$t=0, \mu=-\sigma$得出$\|x\|_{H_0}\leq k_2(\sigma)\sup\limits_{t\in [\sigma, 0]}\|x(t)\|$, 即是文献[12]中的(H3).

记空间${\cal B}_a=\{x:(-\infty, a]\rightarrow X:x_k\in C(J_i, X), x$在$t\neq t_i$时连续, $x(t^-_i) =x(t_i)$且$x(t^+_i)$存在, $i = 1, 2, \cdots, n, x_0=\phi\}$, 赋予半范数$\|x\|_{{\cal B}_a}=\|x_0\|_{{\cal B}}+\sup\limits_{t\in J}\|x(t)\|$.

函数$U:[a, b]\times[a, b]\rightarrow X$被称为Kurzweil-Henstock-Stieltjes积分, 若存在$I\in X$, 对任意的$\varepsilon>0$, 都有区间$[a, b]$上的一个划分$\delta$, 使得

成立. 定义$\int_a^bDU(\tau, s)=I$, 令$DU(\tau, s)=f(\tau)u(s)$, 则积分为$\int_a^bf(s){\rm d}u(s)$. 用$K_u([0, a], X)$表示Kurzweil-Henstock-Stieltjes可积函数空间.

命题2.3  函数$f:[a, b]\rightarrow X$和$u:[a, b]\rightarrow {{\Bbb R}}$满足$u$是正则函数且$\int_{a}^{b}f(s){\rm d}u(s)$存在. 对$t_0\in [a, b]$, 函数$h(t)=\int_{t_0}^{t}f(s){\rm d}u(s), t\in[a, b]$为正则函数并满足

其中$\Delta^+u(t)=u(t^+)-u(t)$, $\Delta^-u(t)=u(t)-u(t^-)$.

引理2.4  令$y(t), u(t)$是有界变差的非负函数且$u(t)$单调递增, $Q(t)\in K_u([0, a], X)$为非负可积函数, 满足

成立, 其中$C\geq0$为常数, 则

定义2.5  集合$V\subset G([a, b], X)$被称为等度正则的, 如果满足对任意的$\varepsilon>0$和$t_0\in[a, b]$, 存在$\delta>0$使得

(i) 若$x\in V, t\in [a, b], t-\delta < t < t_0$, 则$\|x(t_0^-)-x(t)\|<\varepsilon$;

(ii) 若$x\in V, t\in [a, b], t_0 < t < t+\delta$, 则$\|x(t)- x(t_0^+)\|<\varepsilon$.

引理2.6  若$V\subset G([a, b], X)$是有界等度正则集, 则集合$\overline{\rm co}(V)$也是有界等度正则的, 且$\alpha(V(t))$是正则的并满足$\alpha(V)=\sup\limits_{t\in [a, b]}\alpha(V(t))$.

引理2.7  设$W\subseteq L_u^1(J, X)$是可数集, 若存在一个正函数$\nu\in L_u^1(J, R^+)$, 对任意的$w\in W_0$, 使得$\|w(t)\|\leq \nu(t), u\mbox{-}a.e$, 则有

成立, 其中$\alpha(\cdot)$表示Kuratowski非紧性测度(参见文献[7]), $L_u^1(J, X)$表示对$u$可积函数集合.

证  设$W(t)=\{w(t):w\in W\subset X\}$, 且$\alpha(W)=\sup\{W(t):t\in [0, a]\}$. 由有限覆盖定理及非紧性测度的性质可知, 对任意的$\epsilon>0$, 存在序列$\{w_i\}\subset W$$(i=1, 2, \cdots , n)$与常数$m$, 使得$W\subset U_{i=1}^n B(w_i(s), \epsilon+m)$, 其中$B(w_i(s), \epsilon+m)$表示有限多个半径$r=\epsilon+m$, 中心为$w_i$$(i=1, 2, \cdots , n)$的开球. 进而推出$\int_{0}^{t}W(s){\rm d}u(s)$可以被$U_{i=1}^n B(\int_{0}^{t}w_i(s){\rm d}u(s), \epsilon+am)$覆盖, 可得$\alpha(\int_{0}^{t}W(s){\rm d}u(s))\leq \alpha(W(s))\leq\alpha(W)$. 又由文献[13, 推论3.1]可知, 存在可分的线性闭子空间$X_0\subset X$, 使得

其中$\chi$表示Hausdorff非紧性测度(参见文献[15]), 证毕.

引理2.8  设$\Omega$是Banach空间$X$中的一个有界开子集且$0\in\Omega$. 如果算子$F:\overline{\Omega}\rightarrow X$连续并且满足如下条件

(1) $x\neq\lambda Fx, \ \forall\ \lambda\in(0, 1), x\in\partial\Omega$;

(2) 若对任意可数集$D\subset\overline{\Omega}$, $D\subset\overline{\rm co}(\{0\}\cup F(D))$, 可推出$D$是相对紧的.

那么$F$在$\overline{\Omega}$中有一个不动点.

这里我们将讨论脉冲无穷时滞中立型测度微分方程(1.1) mild解的存在性结果. 首先, 我们给出方程(1.1) mild解的定义及要用到的假设条件.

定义3.1  函数$x\in G([0, a], X)$被称为方程(1.1)在$[0, a]$上的mild解, 若满足$x_0=\phi\in {\cal B}$且

我们给出以下假设

(F$_1)$令$M=\sup\limits_{t\in J}\|T(t)\|$, $(T(t))_{t\geq0}$是强连续的, 且有$0<\beta<1$, 存在$C_{1-\beta}$, 满足

(F$_2)$函数$f:J\times {\cal B}\rightarrow X$满足下列条件

(i) 对$x:(-\infty, a]\rightarrow X$, 满足$x_0=\phi, x(\cdot)|_J\in PC$, 映射$t\rightarrow f(t, x_t)$在$J$上是强可测的, 对几乎处处$t\in J, f(t, \cdot): {\cal B}\rightarrow X$是连续的;

(ii) 存在一个非负函数$p(t)\in K_u(J, X)$, 使得

(iii) 对任意的有界集$V\subset G(J, X)$, 都存在一个非负函数$l_f(t)\in K_u(J, X)$, 使得

其中$V_t=\{x_t:x\in V\}\subseteq {\cal B}$.

(F$'_2)$函数$f(\cdot, \cdot)$是连续的, 且存在一个正常数$0\leq L_f$, 使得

(F$_3)$存在常数$0<\beta<1$, 对$(t, \phi)\in J\times X$, 有$g(t, \phi)\in X_\beta=D((-A)^\beta)$和$(-A)^\beta g(t, \phi)$连续, 且存在常数$0\leq c_1<\frac{1}{M_0}, \ 0<c_2$及$0\leq l_g^*<\frac{1}{M_0}$满足

其中$M_1=\|(-A)^{-\beta}\|, M_0=KM_1$;

(F$'_3)$函数$g(\cdot, \cdot)$是连续的, $g(t, 0)=0$且存在一个正常数$0\leq L_g<\frac{1}{M_0}$使得

(F$_4)$函数$I_i:{\cal B}_a\rightarrow X\ (i=1, \cdots, n)$连续并且存在常数$d\geq0, e>0$, 使得对每一个$i=1, \cdots, n$, $\|I_i(\phi)\|\leq d\|\phi\|_{{\cal B}_a}+e$.

定理3.2  假设条件(F$_1)$–(F$_3)$和(F$_4)$被满足, 则方程(1.1)至少有一个mild解.

证  定义算子$\Gamma:{\cal B}_a\rightarrow {\cal B}_a$

证明方程(1.1)存在温和解等价于证明算子$\Gamma$存在不动点.

定义函数

可以推出$\widehat{\phi}(t)\in{\cal B}_a$, 且有

其中$K=\sup\limits_{0\leq t \leq a}K(t), N=\sup\limits_{0\leq t \leq a}N(t).$令$x(t)=y(t)+\widehat{\phi}(t), t\in(-\infty, a]$. 显然, $x$满足方程(1.1), 当且仅当$y_0=0, t\in(-\infty, 0]$且

记空间$S(a)=\{y:y\in{\cal B}_a, y_0=0, y|_J\in PC\}$, 其范数定义为

可以看出$S(a)$是一个Banach空间. 定义映射$F:S(a)\rightarrow S(a)$,

显然, $\Gamma$存在不动点也既是证明$F$存在不动点. 现有

其中$\|y\|_t=\sup\limits_{0\leq s \leq t}\|y(s)\|$. 易知$F$定义是合理的且取值于$S(a)$. 另外, 由相空间理论, 勒贝格控制收敛定理及假设条件(F$_2)$, (F$_3)$和(F$_4)$可以推出$F$是连续的.

接下来, 我们首先证明集合

是有界的. 事实上, 若$y\in S(a)$, 那么存在一个$\lambda\in[0, 1]$, 使得$y=\lambda Fy$. 当$t\in J_0=[0, t_1]$时, 由(3.5)式及条件(F$_1)$–(F$_3)$得到

因此

由Gronwall引理2.4和(3.6)式知, 存在一个与$y$和$\lambda$无关的常数$N_0>0$, 满足$\|y(t)\|\leq N_0$, 且$\|y_t\|_{{\cal B}}\leq KN_0, t\in J_0$. 由此与条件(F$_4)$有

当$t\in J_1=(t_1, t_2]$时, $\widetilde{y}_1\in C([t_1, t_2], X)$. 类比(3.6)式, 可以得出

因为$\|y\|_t\leq\sup\limits_{0\leq s\leq t_1}\|y(s)\|+\sup\limits_{t_1\leq s\leq t}\|\widetilde{y}_1(s)\|=:\|y\|_{t_1}+v(t)$, 由(3.7)式推得

因此再次使用Gronwall引理2.4和(3.8)式可知, 存在一个与$\widetilde{y}_1$和$\lambda\in(0, 1)$无关的常数$N_1>0$, 使得$\|\widetilde{y}_1\|_t\leq N_1,$$t\in[t_1, t_2]$. 所以对$t\in J_1,$$\|y(t)\|\leq N_1$并且$\|y_t\|_{{\cal B}}\leq K(N_0+N_1)$.

类比上面的证明方法, 得出存在与$y$和$\lambda\in(0, 1)$无关的常数$N_i>0$, 使得$\|y(t)\|\leq N_i,$$t\in J_i=(t_i, t_{i+1}]\ (i=2, 3, \cdots, n)$. 记$\overline{N}=\max\{N_0, N_1, \cdots, N_n\}$, 那么$\|y(t)\|\leq \overline{N},$$t\in J,$即$\Omega_0$为有界集.

最后, 证明引理2.8的一切条件均被满足. 令$R>\overline{N}$和$\Omega_R=\{y\in S(a):\|y\|_a<R\}$, 则$\Omega_R$是一个有界的开集且$0\in\Omega$, 因为$R>\overline{N}$, 可以推出$y\neq\lambda Fy$, 对任意的$y\in\partial\Omega_R$都成立.

令$V\subset \overline{\Omega}_R$是一个可数集且$V\subset\overline{\rm co}(\{0\}\cup F(V))$,

由假设条件(F$_2)$, (F$_3)$, (F$_4)$和$T(t)$等度连续, 可知$FV$在每个区间$J_i\ (i=0, 1, \cdots, n)$上等度连续, 由此及上式知$V$在每个区间$J_i\ (i=0, 1, \cdots, n)$上等度连续. 根据文献[11, 引理1.1], 接下来的非紧性测度估计不区分$V|_{J_i}$和$\widetilde{V}_i\ (i=1, 2, \cdots, n)$.

当$t\in J_0=[0, t_1]$时, 由根据非紧性测度性质, 条件(F$_1)$, (F$_2)$(iii), (F$_3)$和引理2.7得

记$m(t)=\sup\limits_{0\leq s\leq t}\alpha(V(s)), t\in J$. 则推出

与

因此得出: $m(t)=0,$$t\in J_0$, 且$\alpha(V(t))=0,$$t\in J_0$. 故集合$V$是$C(J_0, X)$中相对紧集. 由$0\leq\alpha(V_{t_1})\leq\sup\limits_{0\leq t\leq t_1}\alpha(V(t))=0$, 和$I_1(\cdot)$连续, 推出$\alpha(V_{t_1}+\widehat{\phi}_{t_1})\leq\alpha(V_{t_1})=0$并且$\alpha(I_1 (V_{t_1}+\widehat{\phi}_{t_1}))=0$.

当$t\in\overline{J}_1=[t_1, t_2]$时, 类比于上式推导过程, 可得

由(3.9)式推出$\alpha(V(t))=0, t\in\overline{J}_1$且$V$是$C(J_1, X)$中的相对紧集.

同样地可以证明$V$是$C(J_i, X)\ (i=2, 3, \cdots, n)$中的相对紧集, 所以$V$是$S(a)$中的相对紧集. 由引理2.8推得$F$在$\overline{\Omega}_R$中存在一个不动点. 设$y$是$F$在$S(a)$中的不动点, 那么$y+\widehat{\phi}$即为方程(1.1)的mild解. 证毕.

定理3.3  设条件(F$_1)$、(F$_2)$、(F$'_3)$和(F$_4)$被满足, 则方程(1.1)有一个mild解.

证  对任意有界集$V\subset PC$, 由条件(F$'_3)$得到

所以函数$g$满足(F$_3)$. 再由定理3.2, $F$在$\overline{\Omega}_R$中有不动点, 推出方程(1.1)有一个mild解. 证毕.

定理3.4  设条件(F$_1)$、(F$'_2)$、(F$'_3)$和(F$_4)$被满足, 则方程(1.1)存在唯一的mild解.

证  由定理3.2, 知$F$在$\overline{\Omega}_R$中至少存在一个不动点. 接下来, 证明方程(1.1)仅有一个不动点. 设$u, v\in\overline{\Omega}_R$是$F$的两个不动点, 则当$t\in J_0=[0, t_1]$时, 有

因此, 可推出$u(t)=v(t), t\in J_0$, 和$u_{t_1}=v_{t_1}$.

当$t\in\overline{J_1}$时, 有

相似地可推出$\widetilde{u}(t)=\widetilde{v}(t), \ t\in \overline{J_1},$$u(t)=v(t), \ t\in J_1$, 和$u_{t_2}=v_{t_2}$.

同理, 我们可以证明$u(t)=v(t), t\in J_i$$(i=1, 2, \cdots, n)$. 因此$u(t)=v(t), \ t\in J$.证毕.

设${\cal B}$为抽相空间${\cal B}=PC_0\times L^2[\rho, X]$, 如文献[17], 其中$\rho:(-\infty, 0]\rightarrow {{\Bbb R}}$为勒贝格可积函数, 赋予半范数$\|\cdot\|_{\cal B}=|\psi(0)|+(\int_{-\infty}^0\rho(s)|\psi(s)|^2{\rm d}s)^\frac{1}{2}$. $K(t)=1+(\int_{-t}^0\rho(s)|\psi(s)|^2{\rm d}s)^\frac{1}{2},$$H=1, 0\leq t.$

考虑如下具有无穷时滞脉冲中立型测度微分方程

令平方可积的泛函空间$X=L^2[0, \pi]$, $0<t_1<t_2<\cdots<t_m<1$. 定义算子$A: X\rightarrow X, Ax=x''$, 满足$D(A)=\{x\in X:x, x'$绝对连续, $x''\in X, x(0)=x(\pi)=0\}$. $A$是强连续解析半群$\{T(t)\}_{t\geq 0}$的无穷小生成元, 且$M=\sup\limits_{t\in[0, 1]}\|T(t)\|<1$. 进一步, $A$有离散谱, 对应特征值$-n^2$, 就范的特征向量$\delta_n(s)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin ns, n\in N$. 且满足以下性质

(a) $\{\delta_n : n\in\mathbb{N}\}\subset X$是一个正交基;

(b) 若$\delta\in D(A)$, 则$A\delta=-\sum\limits_{n=1}^\infty n^2\langle\delta, \delta_n\rangle\delta_n$;

(c) 若$\delta\in X$, 则$(-A)^\frac{1}{2}\delta=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\langle\delta, \delta_n\rangle\delta_n$;

(d) 算子$(-A)^\frac{1}{2}$在空间$D[(-A)^\frac{1}{2}]=\{\delta\in X:\sum\limits_{n=1}^\infty n\langle\delta, \delta_n\rangle\delta_n\in X\}$上定义为$(-A)^\frac{1}{2}\delta=\sum\limits_{n=1}^\infty n\langle\delta, \delta_n\rangle\delta_n$.

若$(t, \phi)\in[0, 1]\times{\cal B},$令$\phi(\theta, x)=\phi(\theta)(x), (\theta, x)\in(-\infty, 0]\times[0, \pi]$, $u(t, x)=u(t)(x),$

为了研究系统(4.1), 我们假设以下条件成立

$(h_1)$令$b(s, \xi, x), \frac{\partial b(s, \xi, x)}{\partial x}$是可测的, 且$b(s, \xi, 0)=b(s, \xi, \pi)=0$和

$(h_2)$设$\mu\in C({{\Bbb R}}^2, {{\Bbb R}})$和$(\int_{-\infty}^0\mu^2(t, \theta)\rho^{-1}(\theta) {\rm d}\theta)^\frac{1}{2}=p(t)\in C(J, {{\Bbb R}}^+)$;

$(h_3)$设$\mu\in C({{\Bbb R}}, {{\Bbb R}}^+)$和$c_i=(\int_{-\infty}^0q^2_i(\theta)\rho^{-1}(\theta) {\rm d}\theta)^\frac{1}{2}<\infty, i=1, 2, \cdots, m$.

若$(t, \phi)\in[0, 1]\times {\cal B}\rightarrow X$,

其中$L_f=\max\{\sup\limits_{0\leq t\leq a} p(t), 1\}$. 定理3.4的所有条件都被满足, 因此, 系统(4.1)存在唯一的mild解. 然而,

因此, 小于1的限制性条件没有被使用, 推广改进了许多已有的结果.