本文中, 记${\mathbb D}=\{z\in{\mathbb C}: |z|<1\}$为复平面${\mathbb C}$上的单位圆盘, ${\mathbb T}=\{\zeta\in{\mathbb C}: |\zeta|=1\}$为单位圆周, $\overline{ {\mathbb D}}$为闭单位圆盘, 即: $\overline{ {\mathbb D}}= {\mathbb D}\cup {\mathbb T}$. 进一步, 我们记${\mathcal C}^m( {\mathbb D})$为定义在${\mathbb D}$上具有$m$次连续可微性质的全体复值函数所组成的集合, 其中$m\in{\mathbb N}\cup\{0\}$. 特别地, ${\mathcal C}( {\mathbb D}):={\mathcal C}^0( {\mathbb D})$表示定义在${\mathbb D}$上的全体复值连续函数所组成的集合. 对于$1\leq p<\infty$, 记$L^p( {\mathbb D})$为${\mathbb D}$上的Lebesgue空间.

令$z=x+{\rm i}y\in {\mathbb D}$, 定义复值函数$f$的形式导数为

由文献[1]知函数$f$在${\mathbb D}$上局部单叶、保向当且仅当它的雅各比$J_f$满足

假设$f\in{\mathcal C}^4( {\mathbb D})$, $g\in{\mathcal C}(\overline{ {\mathbb D}})$且在边界上有$f^*\in{\mathcal C}({\mathbb T})$以及$\psi\in{\mathcal C}({\mathbb T})$. 本文中, 我们主要研究下列非齐次双调和方程

且满足Dirichlet边界条件

的解的边界Schwarz引理, 其中$\Delta$为Laplace算子. 特别地, 若$g\equiv0$, 则方程(1.2) 的解为双调和映射.

非齐次双调和方程由人们在研究连续介质力学时所提出, 它在线性弹性理论和斯托克斯流等问题的研究中被广泛应用^[2-4]. 近年来, 人们研究了在具有不同的Dirichlet型边界条件下方程(1.2)的求解问题, 并找到了相关的解^[5].

经典的Schwarz引理表明: 单位圆盘到自身的全纯函数若保持原点不变, 那么其函数值是收缩的. 全纯函数的Schwarz引理是单复变函数论的一个基本引理, 同时也是多复变数几何函数论中的基础工具之一. 它有很多的应用和推广, 其中之一就是边界Schwarz引理, 具体如下(见文献[6–7]).

定理1.1   假设$f$是单位圆盘到自身内的全纯函数, 满足$f(0)=0$, $f$在$z=1$处全纯且$f(1)=1$, 则有

(1) $f'(1)\geq1$;

(2) $f'(1)=1$当且仅当$f(z)\equiv z$.

定理1.1有如下的推广.

定理1.2^[8]   假设$f$是单位圆盘到自身内的全纯函数, 满足$f(0)=0$, $f$在$z=\alpha\in{\mathbb T}$处全纯且$f(\alpha)=\beta\in{\mathbb T}$, 则有

(1) $\overline{\beta}f'(\alpha)\alpha\geq1$;

(2) $\overline{\beta}f'(\alpha)\alpha=1$当且仅当$f(z)\equiv {\rm e}^{{\rm i}\theta}z$, 其中${\rm e}^{{\rm i}\theta}=\beta\alpha^{-1}$并且$\theta\in{\mathbb R}$.

注意到当$\alpha=\beta=1$时, 定理1.2即为定理1.1.

边界Schwarz引理是研究全纯函数几何特征的一个强有力的工具, 受到了国内外学者的关注, 取得了许多研究成果^[7-12]. 文献[9]通过利用边界Schwarz引理改进了由Ahlfors给出的Bloch常数的下界估计. 文献[7]利用Kobayashi度量和Carathéodory度量等工具, 结合强拟凸域的几何特征, 建立起了强拟凸域上全纯函数的边界Schwarz引理. 对于调和映射而言, 该族映射不再具有像全纯函数那么好的刚性性质, 从而无法直接利用Kobayashi度量等工具. 基于此, 文献[13]利用调和映射的Schwarz引理结合相关的傅里叶级数展开, 得到了Poisson方程解的边界Schwarz引理. 进一步地, 若该族解具有拟共形性, 则相关结果包含了经典的全纯函数的边界Schwarz引理.

本文中, 我们将建立起满足边界条件(1.3) 的非齐次双调和方程(1.2) 解的边界Schwarz引理. 得到的主要结果如下.

定理1.3   假设函数$f$是满足边界条件(1.3) 的非齐次双调和方程的解, 其中$g\in{\mathcal C}(\overline{ {\mathbb D}})$, 且$f^*\in{\mathcal C}({\mathbb T})$以及$\psi\in{\mathcal C}({\mathbb T})$. 若$f$在$z=1$处可微, 且有$f(0)=0$和$f(1)=1$, 则下列不等式成

其中${\mathcal P}_{f^*}$为$f^*$的Poisson积分, $\|\psi\|_\infty=\sup\limits_{\zeta\in{\mathbb T}}\{|\psi(\zeta)|\}$以及$\|g\|_\infty=\sup\limits_{z\in\bar{ {\mathbb D}}}\{|g(z)|\}$.

注1.1   在$(1.4)$式中的记号"Re" 是不可去的, 理由如下. 令

其中$a$, $b$和$M\in{\mathbb R}$为实常数, 且满足$a+b+\frac{M}{4}=1$和$a-b\neq 0$. 于是有$f(0)=0$, $f$在$z=1$处可微, 且$f(1)=1$. 直接计算可得$\Delta(\Delta f)=16 M$, 且在圆周${\mathbb T}$上有$\psi=\Delta f=4M$. 任取$\zeta\in{\mathbb T}$, 则有$f^*(\zeta)=a\zeta {\rm e}^{{\rm i}(\zeta-1)}+b\overline{\zeta {\rm e}^{{\rm i}(\zeta-1)}}+\frac{M}{4}$.

容易验证下列两个等式成立,

以及

此时当$0<M\leq0.02895$时, $(1.4)$式显然成立. 然而,

定理1.3有如下的推广.

定理1.4   假设函数$f$是满足边界条件(1.3) 的非齐次双调和方程的解, 其中$g\in{\mathcal C}(\overline{ {\mathbb D}})$, 且$f^*\in{\mathcal C}({\mathbb T})$以及$\psi\in{\mathcal C}({\mathbb T})$. 若$f$在$z=\alpha\in{\mathbb T}$处可微, 且有$f(0)=0$和$f(\alpha)=\beta$, 其中$\beta\in{\mathbb T}$, 则下列不等式成立

其中${\mathcal P}_{f^*}$为$f^*$的Poisson积分, $\|\psi\|_\infty=\sup\limits_{\zeta\in{\mathbb T}}\{|\psi(\zeta)|\}$以及$\|g\|_\infty=\sup\limits_{z\in\bar{ {\mathbb D}}}\{|g(z)|\}$.

注意到当$\alpha=\beta=1$时, 定理1.4即为定理1.3.

我们将在第2节介绍一些相关结果并证明两个引理, 定理1.3和定理1.4的证明放在第3节.

本节, 我们介绍一些已知的结论并证明两个引理, 它们将被用于证明我们的主要结论.

2005年, Begehr证明了满足边界条件(1.3) 的非齐次双调和方程的解具有如下形式(参见文献[5, 定理1])

定理2.1   假设$g\in L^1( {\mathbb D})$, 且函数$\psi$和$f^*$为${\mathbb T}$上的连续函数. 那么满足边界条件$(1.3)$的非齐次双调和方程的解是唯一存在的. 进一步, 该族解的形式如下

其中$z$, $w\in {\mathbb D}$, $\zeta\in{\mathbb T}$, d$A(w)$表示${\mathbb D}$上的Lebesgue积分, 而

为函数$f^*$的Poisson积分, 并且

以及

我们将在第3节中多次用到上述解的形式.

1959年, Heinz在文献[14]中将经典的Schwarz引理推广到调和映射上, 得到: 若$f$是${\mathbb D}$到自身的调和映射, 满足$f(0)=0$. 则有

在去掉假设$f(0)=0$的条件下, 2004年, Pavlović 改进了上面的结果并得到如下的定理2.2 (参见文献[15, 定理3.6.1]).

定理2.2   若$f$是${\mathbb D}$到自身的调和映射, 则有

接下来, 我们证明两个引理, 它们将被用来证明本文的主要结果.

引理2.1   假设$\psi\in{\mathcal C}({\mathbb T})$. 对于任意的$z\in {\mathbb D}$, 令

其中函数$g_1(z, \zeta)$由$(2.2)$式给出. 则有${\mathcal G}_\psi(\eta)=0$, 其中$\eta\in{\mathbb T}$, 且

证   任取$\eta\in{\mathbb T}$, 由定义知${\mathcal G}_\psi(\eta)=0$显然成立. 为了证明(2.4) 式, 令$z=r$. 则有

取$\zeta={\rm e}^{{\rm i}t}\in{\mathbb T}$可得

利用条件$\int_{0}^{\pi}\log (\sin t){\rm d}t=-\pi\log 2$, 我们可得

上述不等式结合(2.5) 式即得

引理证毕.

引理2.2   假设$g\in{\mathcal C}(\overline{ {\mathbb D}})$. 对于任意的$z$, $w\in {\mathbb D}$, 令

其中函数$G_1(z, w)$由$(2.3)$式给出. 则有${\mathcal G}_g(\eta)=0$, 其中$\eta\in{\mathbb T}$, 且

证   任取$\eta\in{\mathbb T}$, 由定义可知${\mathcal G}_g(\eta)=0$显然成立. 为了证明不等式(2.6), 令$z=r$. 则有

假设$w=\rho {\rm e}^{{\rm i}t}\in {\mathbb D}$, 则有

由于

因此, 由不等式(2.7) 我们可得

引理证毕.

有了前面的准备工作, 本节我们将证明定理1.3和定理1.4. 我们从定理1.3的证明开始.

定理1.3的证明   由定理2.1可知方程的解$f$具有(2.1) 式的形式. 利用定理2.2以及$\|{\mathcal P}_{f^*}\|_{\infty}\leq 1$可得

显然, 对于所有的$\eta\in{\mathbb T}$, 都有${\mathcal M}(\eta)=1$. 由假设$f$在$z=1$处可微, 知$f$具有如下展开式:

其中$o(x)$表示$x$趋近0时的无穷小量. 因此, 结合(3.1) 式我们可得

取$z=r\in(0, 1)$并且令$r\rightarrow1^-$, 由引理2.1和引理2.2可得如下不等式

显然, 当$\psi=0$且$f$为调和映射时, 有$\|g\|_\infty=0$以及${\mathcal P}_{f^*}(0)=0$. 此时不等式(1.4) 即为

下面我们证明(3.2) 式是精确的. 令

容易验证$f$是调和映射, 且满足$f(0)=0$和$f(1)=\lim_{z\rightarrow1}f(z)=1$. 对于任意的$z=r\in(-1, 1)$, 有

直接计算得到

这说明(1.4) 式的等号成立. 定理证毕.

定理1.4的证明  任取$z\in {\mathbb D}$, 令$h(z)=\bar{\beta}f(\alpha z)$. 则有

进一步的计算可得

以及

且

利用定理1.3的结果, 我们可得

由于

我们即得

定理证毕.