本文中, 记$ {\mathbb D}=\{z\in{\mathbb C}: |z|<1\} $为复平面$ {\mathbb C} $上的单位圆盘, $ {\mathbb T}=\{\zeta\in{\mathbb C}: |\zeta|=1\} $为单位圆周, $ \overline{ {\mathbb D}} $为闭单位圆盘, 即: $ \overline{ {\mathbb D}}= {\mathbb D}\cup {\mathbb T} $. 进一步, 我们记$ {\mathcal C}^m( {\mathbb D}) $为定义在$ {\mathbb D} $上具有$ m $次连续可微性质的全体复值函数所组成的集合, 其中$ m\in{\mathbb N}\cup\{0\} $. 特别地, $ {\mathcal C}( {\mathbb D}):={\mathcal C}^0( {\mathbb D}) $表示定义在$ {\mathbb D} $上的全体复值连续函数所组成的集合. 对于$ 1\leq p<\infty $, 记$ L^p( {\mathbb D}) $为$ {\mathbb D} $上的Lebesgue空间.

令$ z=x+{\rm i}y\in {\mathbb D} $, 定义复值函数$ f $的形式导数为

(1.1) $ \begin{equation} f_z=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}-{\rm i}\frac{\partial f}{\partial y}\right) \;\;\mbox{和}\;\;f_{\bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}+{\rm i}\frac{\partial f}{\partial y}\right). \end{equation} $

由文献[1]知函数$ f $在$ {\mathbb D} $上局部单叶、保向当且仅当它的雅各比$ J_f $满足

$ J_f(z)=|f_z(z)|^2-|f_{\bar{z}}(z)|^2>0. $

假设$ f\in{\mathcal C}^4( {\mathbb D}) $, $ g\in{\mathcal C}(\overline{ {\mathbb D}}) $且在边界上有$ f^*\in{\mathcal C}({\mathbb T}) $以及$ \psi\in{\mathcal C}({\mathbb T}) $. 本文中, 我们主要研究下列非齐次双调和方程

(1.2) $ \begin{equation} \Delta(\Delta f)=g, \end{equation} $

且满足Dirichlet边界条件

(1.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \Delta f=\psi\ \ \ & \mbox{在}\ {\mathbb T}\ \mbox{上, }\\ f=f^*\ \ \ &\mbox{在}\ {\mathbb T}\ \mbox{上} \end{array} \right. \end{equation} $

的解的边界Schwarz引理, 其中$ \Delta $为Laplace算子. 特别地, 若$ g\equiv0 $, 则方程(1.2) 的解为双调和映射.

非齐次双调和方程由人们在研究连续介质力学时所提出, 它在线性弹性理论和斯托克斯流等问题的研究中被广泛应用^[2-4]. 近年来, 人们研究了在具有不同的Dirichlet型边界条件下方程(1.2)的求解问题, 并找到了相关的解^[5].

经典的Schwarz引理表明: 单位圆盘到自身的全纯函数若保持原点不变, 那么其函数值是收缩的. 全纯函数的Schwarz引理是单复变函数论的一个基本引理, 同时也是多复变数几何函数论中的基础工具之一. 它有很多的应用和推广, 其中之一就是边界Schwarz引理, 具体如下(见文献[6–7]).

定理1.1   假设$ f $是单位圆盘到自身内的全纯函数, 满足$ f(0)=0 $, $ f $在$ z=1 $处全纯且$ f(1)=1 $, 则有

(1) $ f'(1)\geq1 $;

(2) $ f'(1)=1 $当且仅当$ f(z)\equiv z $.

定理1.1有如下的推广.

定理1.2^[8]   假设$ f $是单位圆盘到自身内的全纯函数, 满足$ f(0)=0 $, $ f $在$ z=\alpha\in{\mathbb T} $处全纯且$ f(\alpha)=\beta\in{\mathbb T} $, 则有

(1) $ \overline{\beta}f'(\alpha)\alpha\geq1 $;

(2) $ \overline{\beta}f'(\alpha)\alpha=1 $当且仅当$ f(z)\equiv {\rm e}^{{\rm i}\theta}z $, 其中$ {\rm e}^{{\rm i}\theta}=\beta\alpha^{-1} $并且$ \theta\in{\mathbb R} $.

注意到当$ \alpha=\beta=1 $时, 定理1.2即为定理1.1.

边界Schwarz引理是研究全纯函数几何特征的一个强有力的工具, 受到了国内外学者的关注, 取得了许多研究成果^[7-12]. 文献[9]通过利用边界Schwarz引理改进了由Ahlfors给出的Bloch常数的下界估计. 文献[7]利用Kobayashi度量和Carathéodory度量等工具, 结合强拟凸域的几何特征, 建立起了强拟凸域上全纯函数的边界Schwarz引理. 对于调和映射而言, 该族映射不再具有像全纯函数那么好的刚性性质, 从而无法直接利用Kobayashi度量等工具. 基于此, 文献[13]利用调和映射的Schwarz引理结合相关的傅里叶级数展开, 得到了Poisson方程解的边界Schwarz引理. 进一步地, 若该族解具有拟共形性, 则相关结果包含了经典的全纯函数的边界Schwarz引理.

本文中, 我们将建立起满足边界条件(1.3) 的非齐次双调和方程(1.2) 解的边界Schwarz引理. 得到的主要结果如下.

定理1.3   假设函数$ f $是满足边界条件(1.3) 的非齐次双调和方程的解, 其中$ g\in{\mathcal C}(\overline{ {\mathbb D}}) $, 且$ f^*\in{\mathcal C}({\mathbb T}) $以及$ \psi\in{\mathcal C}({\mathbb T}) $. 若$ f $在$ z=1 $处可微, 且有$ f(0)=0 $和$ f(1)=1 $, 则下列不等式成

(1.4) $ \begin{equation} {\rm{Re}}[f_z(1)+f_{\bar{z}}(1)]\geq\frac{2}{\pi}-|{\mathcal P}_{f^*}(0)|-(8\log 2+6)\|\psi\|_\infty-\frac{85}{9}\|g\|_\infty, \end{equation} $

其中$ {\mathcal P}_{f^*} $为$ f^* $的Poisson积分, $ \|\psi\|_\infty=\sup\limits_{\zeta\in{\mathbb T}}\{|\psi(\zeta)|\} $以及$ \|g\|_\infty=\sup\limits_{z\in\bar{ {\mathbb D}}}\{|g(z)|\} $.

注1.1   在$ (1.4) $式中的记号"Re" 是不可去的, 理由如下. 令

(1.5) $ \begin{equation} f(z)=az{\rm e}^{{\rm i}(z-1)}+b\overline{z{\rm e}^{{\rm i}(z-1)}}+\frac{M}{4}(z\bar{z})^2, \end{equation} $

其中$ a $, $ b $和$ M\in{\mathbb R} $为实常数, 且满足$ a+b+\frac{M}{4}=1 $和$ a-b\neq 0 $. 于是有$ f(0)=0 $, $ f $在$ z=1 $处可微, 且$ f(1)=1 $. 直接计算可得$ \Delta(\Delta f)=16 M $, 且在圆周$ {\mathbb T} $上有$ \psi=\Delta f=4M $. 任取$ \zeta\in{\mathbb T} $, 则有$ f^*(\zeta)=a\zeta {\rm e}^{{\rm i}(\zeta-1)}+b\overline{\zeta {\rm e}^{{\rm i}(\zeta-1)}}+\frac{M}{4} $.

容易验证下列两个等式成立,

$ 4|P[f^*](0)|=\|g\|_{\infty}=\|\psi\|_{\infty}=M $

以及

$ {\rm{Re}}[f_z(1)+f_{\bar{z}}(1)]=a+b+M=1+\frac{3}{4}M. $

此时当$ 0<M\leq0.02895 $时, $ (1.4) $式显然成立. 然而,

$ {\rm Im}[f_z(1)+f_{\bar{z}}(1)]=a-b\not=0. $

定理1.3有如下的推广.

定理1.4   假设函数$ f $是满足边界条件(1.3) 的非齐次双调和方程的解, 其中$ g\in{\mathcal C}(\overline{ {\mathbb D}}) $, 且$ f^*\in{\mathcal C}({\mathbb T}) $以及$ \psi\in{\mathcal C}({\mathbb T}) $. 若$ f $在$ z=\alpha\in{\mathbb T} $处可微, 且有$ f(0)=0 $和$ f(\alpha)=\beta $, 其中$ \beta\in{\mathbb T} $, 则下列不等式成立

$ {\rm{Re}}\Big[\bar{\beta}\big(\alpha f_z(\alpha)+\bar{\alpha}f_{\bar{z}}(\alpha)\big)\Big]\geq\frac{2}{\pi}-|{\mathcal P}_{f^*}(0)|-(8\log 2+6)\|\psi\|_\infty-\frac{85}{9}\|g\|_\infty. $

其中$ {\mathcal P}_{f^*} $为$ f^* $的Poisson积分, $ \|\psi\|_\infty=\sup\limits_{\zeta\in{\mathbb T}}\{|\psi(\zeta)|\} $以及$ \|g\|_\infty=\sup\limits_{z\in\bar{ {\mathbb D}}}\{|g(z)|\} $.

注意到当$ \alpha=\beta=1 $时, 定理1.4即为定理1.3.

我们将在第2节介绍一些相关结果并证明两个引理, 定理1.3和定理1.4的证明放在第3节.

本节, 我们介绍一些已知的结论并证明两个引理, 它们将被用于证明我们的主要结论.

2005年, Begehr证明了满足边界条件(1.3) 的非齐次双调和方程的解具有如下形式(参见文献[5, 定理1])

定理2.1   假设$ g\in L^1( {\mathbb D}) $, 且函数$ \psi $和$ f^* $为$ {\mathbb T} $上的连续函数. 那么满足边界条件$ (1.3) $的非齐次双调和方程的解是唯一存在的. 进一步, 该族解的形式如下

(2.1) $ \begin{equation} f(z)={\mathcal P}_{f^*}(z)+\frac{1}{2\pi {\rm i}}\int_{\mathbb T}g_1(z, \zeta)\psi(\zeta)\frac{{\rm d}\zeta}{\zeta}+\frac{1}{\pi}\int_{ {\mathbb D}}G_1(z, w)g(w){\rm d}A(w), \end{equation} $

其中$ z $, $ w\in {\mathbb D} $, $ \zeta\in{\mathbb T} $, d$ A(w) $表示$ {\mathbb D} $上的Lebesgue积分, 而

$ {\mathcal P}_{f^*}(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1-|z|^2}{|1-z{\rm e}^{-{\rm i}t}|^2}f^*({\rm e}^{{\rm i}t}){\rm d}t=\int_{0}^{2\pi}{\mathcal P}(z, {\rm e}^{{\rm i}t})f^*({\rm e}^{{\rm i}t}){\rm d}t, $

为函数$ f^* $的Poisson积分, 并且

(2.2) $ \begin{equation} g_1(z, \zeta)=(|z|^2-1)\left[\frac{\log(1-z\bar{\zeta})}{z\bar{\zeta}}+\frac{\log(1-\bar{z}\zeta)}{\bar{z}\zeta}+1 \right] \end{equation} $

以及

(2.3) $ \begin{equation} G_1(z, w)=|w-z|^2\log\left|\frac{1-z\bar{w}}{w-z}\right|^2 -(1-|z|^2)(1-|w|^2)\left[\frac{\log(1-z\bar{w})}{z\bar{w}}+\frac{\log(1-\bar{z}w)}{\bar{z}w}\right]. \end{equation} $

我们将在第3节中多次用到上述解的形式.

1959年, Heinz在文献[14]中将经典的Schwarz引理推广到调和映射上, 得到: 若$ f $是$ {\mathbb D} $到自身的调和映射, 满足$ f(0)=0 $. 则有

$ \begin{eqnarray*} \label{eq 3.1} |f(z)|\leq\frac{4}{\pi}\arctan|z|, \ \ \ z\in {\mathbb D}. \end{eqnarray*} $

在去掉假设$ f(0)=0 $的条件下, 2004年, Pavlović 改进了上面的结果并得到如下的定理2.2 (参见文献[15, 定理3.6.1]).

定理2.2   若$ f $是$ {\mathbb D} $到自身的调和映射, 则有

$ \left|f(z)-\frac{1-|z|^2}{1+|z|^2}f(0)\right|\leq \frac{4}{\pi}\arctan|z|, \ \ \ z\in {\mathbb D}. $

接下来, 我们证明两个引理, 它们将被用来证明本文的主要结果.

引理2.1   假设$ \psi\in{\mathcal C}({\mathbb T}) $. 对于任意的$ z\in {\mathbb D} $, 令

$ {\mathcal G}_\psi(z)=\frac{1}{2\pi {\rm i}}\int_{\mathbb T}g_1(z, \zeta)\psi(\zeta)\frac{{\rm d}\zeta}{\zeta}, $

其中函数$ g_1(z, \zeta) $由$ (2.2) $式给出. 则有$ {\mathcal G}_\psi(\eta)=0 $, 其中$ \eta\in{\mathbb T} $, 且

(2.4) $ \begin{equation} \lim\limits_{r\rightarrow 1^-}\frac{|{\mathcal G}_\psi(r)|}{1-r}\leq(8\log 2+6)\|\psi\|_\infty. \end{equation} $

证   任取$ \eta\in{\mathbb T} $, 由定义知$ {\mathcal G}_\psi(\eta)=0 $显然成立. 为了证明(2.4) 式, 令$ z=r $. 则有

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{r\rightarrow 1^-}\frac{g_1(r, \zeta)}{1-r}=-2\left[\frac{\log(1-\bar{\zeta})}{\bar{\zeta}}+\frac{\log(1-\zeta)}{\zeta}+1 \right] =-4\rm{Re}(\bar{\zeta}\log(1-\zeta))-2. \end{eqnarray*} $

取$ \zeta={\rm e}^{{\rm i}t}\in{\mathbb T} $可得

(2.5) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{r\rightarrow 1^-}\frac{|{\mathcal G}_\psi(r)|}{1-r}&=&\frac{1}{2\pi}\lim\limits_{r\rightarrow 1^-}\left| \int_{\mathbb T}\frac{g_1(z, \zeta)}{1-r}\psi(\zeta)\frac{{\rm d}\zeta}{\zeta}\right| \\ &\leq&\frac{\|\psi\|_\infty}{\pi}\int_{\mathbb T}(2|{\rm{Re}}(\bar{\zeta}\log(1-\zeta))|+1)|{\rm d}\zeta|\\ &=&\frac{2\|\psi\|_\infty}{\pi}\left( \int_{0}^{2\pi}|{\rm{Re}} ({\rm e}^{-{\rm i}t}\log(1-{\rm e}^{{\rm i}t})|{\rm d}t+\pi\right). \end{eqnarray} $

利用条件$ \int_{0}^{\pi}\log (\sin t){\rm d}t=-\pi\log 2 $, 我们可得

$ \begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi}|{\rm{Re}} ({\rm e}^{-{\rm i}t}\log(1-{\rm e}^{{\rm i}t})|{\rm d}t&\leq&\int_{0}^{2\pi}|\log (2\sin \frac{t}{2})|{\rm d}t+\frac{\pi}{2}\int_{0}^{2\pi}|\sin t|{\rm d}t\\ &\leq&\int_{0}^{2\pi}\log2{\rm d}t+\int_{0}^{2\pi}|\log (\sin \frac{t}{2})|{\rm d}t+2\pi\\ &=&2\pi(\log 2+1)+\left|\int_{0}^{2\pi}\log (\sin \frac{t}{2}){\rm d}t\right|\\ &=&2\pi(2\log 2+1). \end{eqnarray*} $

上述不等式结合(2.5) 式即得

$ \lim\limits_{r\rightarrow 1^-}\frac{|{\mathcal G}_\psi(r)|}{1-r}\leq(8\log 2+6)\|\psi\|_\infty. $

引理证毕.

引理2.2   假设$ g\in{\mathcal C}(\overline{ {\mathbb D}}) $. 对于任意的$ z $, $ w\in {\mathbb D} $, 令

$ {\mathcal G}_g(z)=\frac{1}{\pi }\int_ {\mathbb D} G_1(z, w)g(w){\rm d}A(w), $

其中函数$ G_1(z, w) $由$ (2.3) $式给出. 则有$ {\mathcal G}_g(\eta)=0 $, 其中$ \eta\in{\mathbb T} $, 且

(2.6) $ \begin{equation} \lim\limits_{r\rightarrow 1^-}\frac{|{\mathcal G}_g(r)|}{1-r}\leq\frac{85}{9}\|g\|_\infty. \end{equation} $

证   任取$ \eta\in{\mathbb T} $, 由定义可知$ {\mathcal G}_g(\eta)=0 $显然成立. 为了证明不等式(2.6), 令$ z=r $. 则有

$ \lim\limits_{r\rightarrow 1^-}\frac{G_1(r, w)}{1-r}=2(1-|w|^2)-4(1-|w|^2){\rm{Re}}\frac{\log(1-w)}{w}. $

假设$ w=\rho {\rm e}^{{\rm i}t}\in {\mathbb D} $, 则有

(2.7) $ \begin{equation} \lim\limits_{r\rightarrow 1^-}\frac{|{\mathcal G}_g(r)|}{1-r}\leq\frac{2\|g\|_\infty}{\pi}\int_ {\mathbb D} (1-|w|^2)\left(1+2\left| {\rm{Re}}\frac{\log(1-w)}{w}\right| \right){\rm d}A(w). \end{equation} $

由于

$ \begin{eqnarray*} \left| {\rm{Re}}\frac{\log(1-w)}{w}\right| &=&\left| {\rm{Re}}\frac{\log|1-\rho {\rm e}^{{\rm i}t}|+{\rm i}\arg(1-\rho {\rm e}^{{\rm i}t})}{\rho {\rm e}^{{\rm i}t}}\right|\\ &\leq&\frac{\big|\cos t\log|1-\rho {\rm e}^{{\rm i}t}|\big|+\frac{\pi}{2}|\sin t|}{\rho }\\ &\leq &\frac{-\log(1-\rho)+\frac{\pi}{2}|\sin t|}{\rho }. \end{eqnarray*} $

因此, 由不等式(2.7) 我们可得

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{r\rightarrow 1^-}\frac{|{\mathcal G}_g(r)|}{1-r}\leq\frac{2\|g\|_\infty}{\pi }\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (1-\rho^2)\left(1+\frac{-2\log(1-\rho)+\pi|\sin t|}{\rho } \right)\rho {\rm d}\rho {\rm d}t =\frac{85}{9}\|g\|_\infty. \end{eqnarray*} $

引理证毕.

有了前面的准备工作, 本节我们将证明定理1.3和定理1.4. 我们从定理1.3的证明开始.

定理1.3的证明   由定理2.1可知方程的解$ f $具有(2.1) 式的形式. 利用定理2.2以及$ \|{\mathcal P}_{f^*}\|_{\infty}\leq 1 $可得

(3.1) $ \begin{eqnarray} |f(z)|&=&\left|{\mathcal P}_{f^*}(z)-\frac{1-|z|^2}{1+|z|^2}{\mathcal P}_{f^*}(0)+\frac{1-|z|^2}{1+|z|^2}{\mathcal P}_{f^*}(0) +{\mathcal G}_\psi(z)+{\mathcal G}_g(z)\right| \\ &\leq &\frac{4}{\pi}\arctan|z|+\frac{1-|z|^2}{1+|z|^2}|{\mathcal P}_{f^*}(0)|+|{\mathcal G}_\psi(z)|+|{\mathcal G}_g(z)|:={\mathcal M}(|z|). \end{eqnarray} $

显然, 对于所有的$ \eta\in{\mathbb T} $, 都有$ {\mathcal M}(\eta)=1 $. 由假设$ f $在$ z=1 $处可微, 知$ f $具有如下展开式:

$ f(z)=1+f_z(1)(z-1)+f_{\bar{z}}(1)(\bar{z}-1)+o(|z-1|), $

其中$ o(x) $表示$ x $趋近0时的无穷小量. 因此, 结合(3.1) 式我们可得

$ 2{\rm{Re}}[f_z(1)(1-z)+f_{\bar{z}}(1)(1-\bar{z})]\geq1-{\mathcal M}^2(|z|)-o(|z-1|). $

取$ z=r\in(0, 1) $并且令$ r\rightarrow1^- $, 由引理2.1和引理2.2可得如下不等式

$ \begin{eqnarray*} {\rm{Re}}[f_z(1)+f_{\bar{z}}(1)]\geq\lim\limits_{r\rightarrow1^-}\frac{1-{\mathcal M}(r)}{1-r} \geq\frac{2}{\pi}-|{\mathcal P}_{f^*}(0)|-(8\log 2+6)\|\psi\|_\infty-\frac{85}{9}\|g\|_\infty. \end{eqnarray*} $

显然, 当$ \psi=0 $且$ f $为调和映射时, 有$ \|g\|_\infty=0 $以及$ {\mathcal P}_{f^*}(0)=0 $. 此时不等式(1.4) 即为

(3.2) $ \begin{equation} {\rm{Re}}[f_z(1)+f_{\bar{z}}(1)]\geq\frac{2}{\pi}. \end{equation} $

下面我们证明(3.2) 式是精确的. 令

$ f(z)=\frac{2}{\pi}\arctan\frac{z+\bar{z}}{1-z\bar{z}}, \ \ \ z\in {\mathbb D}. $

容易验证$ f $是调和映射, 且满足$ f(0)=0 $和$ f(1)=\lim_{z\rightarrow1}f(z)=1 $. 对于任意的$ z=r\in(-1, 1) $, 有

$ f(r)=\frac{4}{\pi}\arctan r. $

直接计算得到

$ \frac{\partial f(1)}{\partial r}=\frac{2}{\pi}=f_z(1)+f_{\bar{z}}(1). $

这说明(1.4) 式的等号成立. 定理证毕.

定理1.4的证明  任取$ z\in {\mathbb D} $, 令$ h(z)=\bar{\beta}f(\alpha z) $. 则有

$ h(0)=0\ \ \ \mbox{以及}\ \ \ h(1)=\bar{\beta}f(\alpha)=|\beta|^2=1. $

进一步的计算可得

$ \Delta h(z)=\bar{\beta}\Delta f(\alpha z)\alpha \bar{\alpha}=\bar{\beta}\psi(\alpha z), $

以及

$ \Delta(\Delta h(z))=\bar{\beta}\Delta(\Delta f(\alpha z))=\bar{\beta} g(\alpha z). $

且

$ h^*(z)=\bar{\beta}f^*(\alpha z). $

利用定理1.3的结果, 我们可得

$ {\rm{Re}}[h_z(1)+h_{\bar{z}}(1)]\geq\frac{2}{\pi}-|{\mathcal P}_{f^*}(0)|-(8\log 2+6)\|\psi\|_\infty-\frac{85}{9}\|g\|_\infty. $

由于

$ h_z(1)+h_{\bar{z}}(1)=\bar{\beta}(\alpha f_z(\alpha)+\bar{\alpha}f_{\bar{z}}(\alpha)), $

我们即得

$ {\rm{Re}}[\bar{\beta}(\alpha f_z(\alpha)+\bar{\alpha}f_{\bar{z}}(\alpha))]\geq\frac{2}{\pi}-|{\mathcal P}_{f^*}(0)|-(8\log 2+6)\|\psi\|_\infty-\frac{85}{9}\|g\|_\infty. $

定理证毕.