时间尺度上的微积分理论是德国学者Hilger于1988年, 在他的博士论文^[1]中首次提出的, 其目的是为了统一连续和离散分析理论.这些所谓"动力方程"的理论不仅统一了微分方程和差分方程的理论, 而且还将其扩展到"中间"的情况, 例如, $ q $ -差分方程和广义差分方程等^[2-4].

本文将研究一般时间尺度$ {\Bbb T} $上带超线性中立项的二阶时滞动力方程

(1.1) $ \begin{equation} \left( r( t ) [ x( t ) +p( t ) x^{1/\alpha}( \tau ( t ) ) ] ^{\Delta} \right) ^{\Delta}+ f(t, x( \delta ( t ) ) ) = 0, \; \; t\in I \end{equation} $

的振动性.由于本文感兴趣的是方程解的振动性, 所以本文总假设时间尺度$ {\Bbb T} $是无界的, 即$ sup\ {\Bbb T} = \infty, \ {\Bbb T} $是实数域$ {\Bbb R} $上的非空闭子集.设$ t_0\in {\Bbb T} $且$ t_0>0, $记

$ I = \left[ t_0, \infty \right) _{{\Bbb T}}. $

本文总假设下列条件成立：

$ ( C_1 ) $$ 0< \alpha \leq 1 $是两正奇数的比.

$ ( C_2 ) $$ r\in C_{rd}^{1}( I, ( 0, \infty ) ) , \ p\in C_{rd}( I, [ p_0, \infty ) ) , \ p_0>1. $

$ ( C_3 ) $$ f\in C( I\times {\Bbb R}, {\Bbb R} ) $满足$ xf( t, x ) >0 , \ f( t, x ) /( | x |^{\beta -1}x ) \geq q(t)>0, \; t\in I, \ x\ne 0 , $$ q\in C_{rd}( I, ( 0, \infty ) ) $且最终不恒为0, $ \beta \in ( 0, \infty ). $

$ ( C_4 ) $$ \tau , \delta \in C_{rd}^{1}( I, I ) , \ \tau ( t ) \leq t, \ \delta ( t ) \leq t, \ \tau ^{\Delta}( t ) >0 $且$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\tau ( t ) = \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\delta ( t ) = \infty . $

本文仅记$ \tau^{-1}(t) $为函数$ \tau(t) $的反函数, 其他函数则不然, 例如$ p^{-1}(t) = \frac{1}{p(t)}. $

如果函数$ x( t ) $满足方程(1.1)且在区间$ [ T_x, \infty ) _{{\Bbb T}}, \ T_x\geq t_0 $上满足$ x\in C_{rd}^{1}( [ T_x, \infty ) _{{\Bbb T}}, {\Bbb R} ) , \ $$ r( t ) \left( x( t ) +p( t ) x^{1/\alpha}\left( \tau ( t ) \right) \right) \in C_{rd}^{1}( [ T_x, \infty ) _{{\Bbb T}}, {\Bbb R} ), $则称函数$ x( t ) $是方程(1.1)的解, 而且本文只考虑方程(1.1)在$ I = [ t_0, \infty ) _{{\Bbb T}} $上满足$ \sup\left\{ \left| x( t ) \right|:\ t\geq T \right\} >0, \ T\geq T_x $的非平凡解.如果$ x\left( t \right) $既不最终为正, 也不最终为负, 则称方程(1.1)的解$ x\left( t \right) $是振动的, 否则, 称为非振动的.如果方程(1.1)的所有解都是振动的, 则称方程(1.1)是振动的.

本文将考虑以下两种情况

(1.2) $ \begin{equation} \int_{t_0}^{\infty}{\frac{\Delta t}{r\left( t \right)} = \infty} \end{equation} $

和

(1.3) $ \begin{equation} \int_{t_0}^{\infty}{\frac{\Delta t}{r\left( t \right)}<\infty}. \end{equation} $

微分方程和差分方程是特殊时间尺度$ {\Bbb R} $和$ {\Bbb Z} $上的动力方程.关于时间尺度上二阶动力方程(包括微分方程和差分方程)振动性的研究, 近年来又出现了许多很好的成果, 见文献[5-25], 但其所带中立项多为线性的(包括三阶的也如此), 见文献[5-15].带有非线性中立项的二阶动力方程也多是次线性的, 见文献[16-19].至于带有一般非线性或超线性中立项的二阶动力方程则极为少见, 已有二阶微分方程的部分结果, 见文献[20-25].

在文献[21]中, 通过引入等价的双Riccati变换, 研究带有较一般形式的非线性中立项的二阶时滞微分方程

$ \left(g(t, z(t), z'(t)) \right)'+f(t, y(\delta(t))) = 0, \; \; t\geq t_0, $

其中$ z(t) = x(t)+p(t)x(\tau(t)), \; y(t) = |x(t)|^{\beta-1}x(t), $获得了多个振动定理.

在文献[22-24]中, 关于带有次线性中立项的二阶广义Emden-Fowler微分方程

$ \left( a(t)|z'(t)|^{\beta-1}z'(t)\right)'+f(t, |x(\delta(t))|^{\gamma-1}x(\delta(t))) = 0, \; \; t\geq t_0>0, $

其中$ z(t) = x(t)+g(t, x^\alpha(\tau(t)), \; \beta>0, \; \gamma>0 $为常数, $ 0<\alpha\leq1 $为两正奇数之比的商, 在非正则条件下分别获得了多种类型的振动准则, 并将其应用于经典的Euler方程

(1.4) $ \begin{equation} \left( t^2x'(t)\right)'+q_0x(t) = 0, \; \; t\geq1, \; \; q_0>0, \end{equation} $

获得了"方程(1.4)振动的充要条件是$ q_0>\frac{1}{4} $"的完美结果.

在文献[25]中, M.Bohner等运用Riccati变换和特殊的不等式技巧研究了具有超线性中立项的二阶微分方程

(1.5) $ \begin{equation} \left( a\left( x+p( x^{\alpha}\circ \tau ) ' \right) ' \right) ( t ) +q( t ) f( x( \delta ( t )) ) = 0\ , \; \; t\geq t_0>0 \end{equation} $

的振动性, 其中$ \alpha \geq 1, \beta \in ( 0, \infty ) $是两个正奇数的比, $ a\in C^1( [ t_0, \infty ) , ( 0, \infty ) ), $$ p\in C( [ t_0, \infty ) , $$ [ 0, \infty ) ), $$ \lim\limits_{t\to \infty}p(t) = \infty, $$ q\in C( [ t_0, \infty ) , ( 0, \infty ) ) $且$ f( u ) /u^{\beta}\geq k, $$ k>0, $$ u\ne 0. $他们分别在正则条件

(1.6) $ \begin{equation} \int_{t_0}^{\infty}{\frac{{\rm d}t}{a\left( t \right)} = \infty} \end{equation} $

和非正则条件

(1.7) $ \begin{equation} \int_{t_0}^{\infty}{\frac{{\rm d}t}{a\left( t \right)}<\infty} \end{equation} $

下, 得到了如下结果(分别为文献[25]中的定理2.1和定理2.2).

定理1.1  假设$ (1.6) $式成立且$ \beta \geq \alpha \geq1, $$ \delta ( t ) \leq \tau ( t ) , \ t\geq T . $如果存在一个可微非减正函数$ \eta , $使得对于任意常数$ M_2>0 $和任意的连续减正函数$ \mu, \; \lim\limits_{t\to \infty}\mu(t) = 0, $满足

$ \limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_T^t{\left[ \eta ( s ) q( s ) Q_{1}^{\frac{\beta}{\alpha}}( \delta ( s ) ) \frac{R^{\frac{\beta}{\alpha}}( \tau ^{-1}( \delta ( s ) ) )}{R^{\frac{\beta}{\alpha}}( s )}-\frac{a( s ) ( \eta '( s ) ) ^2}{4M_2\eta ( s )} \right] {\rm d}s = \infty}, $

其中

$ R( t ) = \int_T^t{\frac{{\rm d}s}{a( s )}}, \; \; Q_1(t) = \frac{1-\frac{1}{\alpha p^{1/\alpha}(\tau^{-1}(\tau^{-1}(t)))}\left(\frac{R(\tau^{-1}(\tau^{-1}(t)))}{R(\tau^{-1}(t))}+\frac{\alpha-1}{\mu(\tau^{-1}(t))} \right)}{p(\tau^{-1}(t))}, $

则方程$ (1.5) $振动.

定理1.2  假设$ (1.7) $式成立且$ \beta \leq \alpha, $$ \delta ( t ) \leq \tau ( t ) , \ t\geq T. $如果存在一个可微非减正函数$ \eta , $使得对于任意常数$ M_3>0 $和任意的连续减正函数$ \mu, \; \lim\limits_{t\to \infty}\mu(t) = 0, $满足

$ \limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_T^t{\left[ \eta ( s ) q( s ) Q_{1}^{\frac{\beta}{\alpha}}( \delta ( s ) ) \frac{R^{\frac{\beta}{\alpha}}( \tau ^{-1}( \delta ( s ) ) )}{R( s )}-\frac{a( s )( \eta '( s ) ) ^2}{4M_3\eta ( s )} \right] {\rm d}s = \infty}, $

其中$ R( t ) $和$ Q_1(t) $如定理$ 1.1 $的定义, 则方程$ (1.5) $振动.

显然, 方程(1.5)是方程(1.1)当$ {\Bbb T} = {\Bbb R} $时的特例, 此时条件(1.6)和(1.7)即条件(1.2)和(1.3).文献[25]是目前所见研究带超线性中立项微分方程振动性最成功的文献之一, 而对一般时间尺度意义上带有超线性中立项的动力方程振动性的研究还没有见到有效的成果.这里的关键问题是, 大多数处理线性和次线性中立项时所用的重要不等式对超线性中立项而言已不再适用.本文的目的是在上述文献的启发下, 通过建立新的恰当的不等式以求有所突破.

为下文简便起见, 这里概要给出有关时间尺度重要的概念、结论和所用的记号, 更多的知识可参见文献[2-4].

时间尺度$ {\Bbb T} $是实数集$ {\Bbb R} $的一非空闭子集, 它的拓扑结构和序是从$ {\Bbb R} $继承而来的.设$ {\Bbb T} $是一个给定的时间尺度, 对$ t\in {\Bbb T}, $定义前跳算子$ \sigma $和后跳算子$ \rho $分别为$ \sigma :{\Bbb T}\rightarrow {\Bbb T}, \; \sigma ( t ) = \inf\left\{ s\in {\Bbb T}:s>t \right\} , $$ \rho :{\Bbb T}\rightarrow {\Bbb T}, \; \rho( t ) = \sup\left\{ s\in {\Bbb T}:s<t \right\} . $特别的, $ \inf\oslash = \sup{\Bbb T}, \; \sup\oslash = \inf{\Bbb T} $.本文还常用以下记号

$ u( t ) = x( t ) +p( t ) x^{1/\alpha}( \tau ( t ) ) , \ R( t ) = \int_T^t{\frac{\Delta s}{r( s )}, \; T\geq t_0, \ \ A( t ) = \int_t^{\infty}{\frac{\Delta s}{r( s )}}}. $

为建立方程(1.1)的振动定理，本章首先给出几个至关重要的引理.

引理2.1  设条件$ (1.2) $成立.如果$ x( t ) $是$ (1.1) $的最终正解, 则存在$ t_1\in I , $使得对应的$ u( t ) $满足

(2.1) $ \begin{equation} u( t ) >0, \; \; u^{\Delta}( t ) >0, \; \; ( r( t ) u^{\Delta}( t ) ) ^{\Delta}\leq 0, \; \; t\geq t_1, \; \; t\in I. \end{equation} $

证  设$ x( t ) $是方程(1.1)的最终正解, 即存在一个$ t_1\in I , $当$ t\geq t_1 $时有$ x( t ) >0, $$ x( \tau ( t ) ) >0, $$ x( \delta ( t ) ) >0 , $从而$ u( t ) >0 . $又由方程(1.1)可得$ ( r( t ) u^{\Delta}( t ) ) ^{\Delta} = - f( t, x( \delta ( t ) ) ) \leq 0. $假设$ r(t)u^\Delta(t)>0 $不成立, 则存在常数$ c>0, $满足$ u^{\Delta}( t ) \leq -\frac{c}{r( t)}<0. $对其从$ l>t_1, \ l\in I $到$ t>l $积分且由(1.2)式, 得

$ u( t ) \leq u( l ) -c\int_l^t{\frac{\Delta s}{r( s )}}\rightarrow -\infty , \ t\rightarrow \infty . $

显然这与$ u( t ) >0 $矛盾.证毕.

引理2.2  设条件$ (1.3) $成立, $ x( t ) $是方程$ (1.1) $的最终正解, 则存在$ t_1\in I, $使得对应的$ u( t ) $满足$ (2.1) $式或

(2.2) $ \begin{equation} u( t ) >0, \; \; u^{\Delta}( t) <0, \; \; ( r( t) u^{\Delta}( t ) ) ^{\Delta}\leq 0, \; \; t\geq t_1, \; \; t\in I. \end{equation} $

证  假设$ x( t ) $是方程(1.1)的最终正解, 则存在一个$ t_1\in I , $当$ t\geq t_1 $时有$ x( t ) >0, $$ x( \tau ( t )) >0, $$ x( \delta ( t ) ) >0 , $从而有$ u( t ) >0. $代入方程(1.1)又可得到$ ( r( t ) u^{\Delta}( t ) ) ^{\Delta} = - f(t, x( \delta ( t ) ) ) \leq 0 . $所以, $ r( t ) u^{\Delta}( t ) $是递减的, 因此有$ u^{\Delta}( t ) >0 $或$ u^{\Delta}( t ) <0 $成立.证毕.

引理2.3  设$ a>0, \ 0<b\leq 1 , $则有

(2.3) $ \begin{equation} a^b\leq 1+b( a-1 ) = ba+( 1-b ). \end{equation} $

(2.3)式是伯努利不等式的特例, 其证明可由微分学中值定理易得, 这里从略了.

引理2.4  设$ x( t ) $是方程$ (1.1) $的最终正解, $ u( t ) $满足$ (2.1) $式, 则对于任意的非增正函数$ \varphi ( t ) \in C_{rd}( I, {\Bbb R}^+ ) , $$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\varphi ( t ) = 0 , $必存在某个$ T\geq t_1\geq t_0, \ T, t_1\in I , $使得当$ t\geq T $时, 有

(2.4) $ \begin{equation} x^{1/\alpha}( t ) \geq Q_1( t ) u( \tau ^{-1}( t ) ) , \end{equation} $

其中

$ Q_1( t ) = {p^{-1}(\tau^{-1}(t))}\left[1-p^{-\alpha}(\tau^{-1}(\tau^{-1}(t)))\left(\frac{\alpha R(\tau^{-1}(\tau^{-1}(t)))}{R(\tau^{-1}(t))}+\frac{1-\alpha}{\varphi(\tau^{-1}(t))} \right) \right]. $

证  假设$ x( t ) $是方程(1.1)的最终正解, 则存在一个$ t_1\in I , $当$ t\geq t_1 $时有$ x( t) >0, \ x( \tau ( t ) ) >0 . $由$ u( t ) $的定义和条件$ ( C_2 ), $可得到$ u( t ) \geq x( t ), \; \; t\geq t_1\geq t_0 , $且$ \tau ( t ) $的逆$ \tau ^{-1}( t) $存在, 所以

$ x^{1/\alpha}( t ) = x^{1/\alpha}( \tau ( \tau _{}^{-1}( t ) ) ) = \frac{1}{p( \tau _{}^{-1}( t ) )}( u( \tau _{}^{-1}( t ) ) -x( \tau _{}^{-1}( t ) ) ) . $

再由

$ x^{1/\alpha}( \tau ( t ) ) = \frac{u( t) -x( t )}{p( t )}\leq \frac{u( t )}{p( t )}, $

有

$ x^{1/\alpha}( t) \geq \frac{1}{p( \tau _{}^{-1}( t ) )}\left( u( \tau _{}^{-1}( t ) ) -\left( \frac{u( \tau _{}^{-1}( \tau _{}^{-1}( t ) ) )}{p( \tau _{}^{-1}( \tau _{}^{-1}(t)))} \right) ^{\alpha} \right) . $

因为$ 0< \alpha\leq 1 , $由引理2.3中的(2.3)式, 可得

(2.5) $ \begin{equation} x^{1/\alpha}( t ) \geq \frac{u( \tau ^{-1}( t ) ) - p^{-\alpha}( \tau ^{-1}( \tau ^{-1}( t ) ) )\left( \alpha u( \tau ^{-1}( \tau ^{-1}( t ) ) ) +1-\alpha \right)}{p( \tau ^{-1}( t ) )}. \end{equation} $

又因为$ u^{\Delta}( t ) >0 , $$ \varphi ( t ) $非增且趋于0, 则存在$ T\geq t_1, \ T\in I, $使得

(2.6) $ \begin{equation} u( t ) \geq \varphi ( t ) , \ t\geq T. \end{equation} $

再由引理2.1可知, $ r(t) u^{\Delta}( t ) $单调递减, 所以, $ r( s ) u^{\Delta}( s ) \geq r( t ) u^{\Delta}( t) , \ t\geq s, \ s\in I . $故当$ t\geq T $时有

(2.7) $ \begin{equation} u( t ) \geq u( t_1 ) +\int_{t_1}^t{\frac{r( t ) u^{\Delta}( t )}{r( s )}}\Delta s>R( t ) r( t ) u^{\Delta}( t ). \end{equation} $

所以, 由(2.7)式知$ \frac{u( t )}{r( t )}>R( t ) u^{\Delta}( t ), $从而有

(2.8) $ \begin{equation} \left( \frac{u( t )}{R( t )} \right) ^{\Delta} = \frac{u^{\Delta}( t ) R( t ) -\frac{u( t )}{r( t )}}{R( t ) R( \sigma ( t ) )} <0. \end{equation} $

又因为$ \tau ^{-1}( t ) \leq \tau ^{-1}\left( \tau ^{-1}\left( t \right) \right) , $所以, 从(2.8)式, 得

$ \frac{u\left( \tau ^{-1}( t ) \right)}{R\left( \tau^{-1}( t ) \right)}\geq \frac{u\left( \tau ^{-1}\left( \tau ^{-1}( t ) \right) \right)}{R\left( \tau ^{-1}\left( \tau ^{-1} (t)\right) \right)}. $

将上式代入(2.5)式, 可得

$ \begin{eqnarray*} x^{1/\alpha}( t ) \geq p^{-1}( \tau ^{-1}( t ) )\bigg[u( \tau ^{-1}( t ) ) -p^{-\alpha}( \tau ^{-1}( \tau ^{-1}( t) ) )\Big( \frac{\alpha R( \tau ^{-1}( \tau ^{-1}( t ) ) )}{R( \tau ^{-1}( t ) )}u( \tau ^{-1}( t ) ) +1-\alpha \Big)\bigg]. \end{eqnarray*} $

结合上式和(2.6)式, 得

$ \begin{eqnarray*} x^{1/\alpha}( t ) \geq u\left( \tau ^{-1}( t ) \right) {p^{-1}\left( \tau ^{-1}\left( t \right) \right)}\bigg[1- p^{-\alpha} \left( \tau ^{-1}\left( \tau ^{-1}\left( t \right) \right) \right)\Big( \frac{\alpha R\left( \tau ^{-1}\left( \tau ^{-1}\left( t \right) \right) \right)}{R\left( \tau ^{-1}\left( t \right) \right)}+\frac{1-\alpha }{\varphi \left( \tau ^{-1}( t ) \right)} \Big)\bigg]. \end{eqnarray*} $

因此, (2.4)式成立.证毕.

引理2.5  设$ x( t ) $是方程$ (1.1) $的最终正解, $ u( t ) $满足$ (2.2) $式, 则对于任意的非增正函数$ \phi ( t) \in C_{rd}( I, {\Bbb R}^+ ), $$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\phi ( t ) = 0, $必存在某个$ T\geq t_1\geq t_0, \ T, t_1\in I , $使得当$ t\geq T $时, 有

(2.9) $ \begin{equation} x^{1/\alpha}( t ) \geq Q_2( t ) u( \tau ^{-1}( t ) ) , \end{equation} $

其中

$ Q_2( t ) = {p^{-1}( \tau ^{-1}( t ) )}\left[1- p^{-\alpha}( \tau ^{-1}( \tau ^{-1}( t ) ) )\left( \alpha+\frac{1-\alpha }{\phi ( \tau ^{-1}( t ) ) A( \tau ^{-1}( t ) )} \right)\right] . $

证  假设$ x( t ) $是方程(1.1)的最终正解, 则存在一个$ t_1\in I , $当$ t\geq t_1 $时有$ u( t ) \geq x( t ), $由$ \left( r( t ) u^{\Delta}( t ) \right) ^{\Delta}<0 , $可以得到

$ u^{\Delta}( s ) \leq \frac{r( t ) u^{\Delta}( t )}{r( s )}, \ s\geq t\geq t_1, \ s\in I. $

上式从$ t $到$ l\geq t $对$ s $积分, 得

$ u\left( l \right) -u\left( t \right) \leq r\left( t \right) u^{\Delta}\left( t \right) \int_t^l{\frac{\Delta s}{r\left( s \right)}}. $

在上式中令$ l\rightarrow \infty , $得$ -u\left( t \right) <u\left( l \right) -u\left( t \right) \leq A\left( t \right) r\left( t \right) u^{\Delta}\left( t \right), $即

(2.10) $ \begin{equation} A\left( t \right) u^{\Delta}\left( t \right) >-\frac{u\left( t \right)}{r\left( t \right)}, \ t\geq t_1. \end{equation} $

又从(2.10)式, 得

(2.11) $ \begin{equation} \left( \frac{u( t )}{A( t )} \right) ^{\Delta} = \frac{u^{\Delta}( t ) A( t ) +\frac{u( t )}{r( t )}}{A\left( \sigma ( t ) \right) A( t )}>0, \end{equation} $

所以$ \frac{u\left( t \right)}{A\left( t \right)} $是递增的.又$ \phi \left( t \right) $非增且趋于0, 则存在$ T\geq t_1, \ T\in I , $使得

(2.12) $ \begin{equation} \frac{u\left( t \right)}{A\left( t \right)}\geq \phi \left( t \right) , \ t\geq T. \end{equation} $

又因为$ \tau ^{-1}( t ) \leq \tau ^{-1}\left( \tau ^{-1}( t ) \right) $且$ u( t ) $是递减的, 所以由(2.5)式, 可得

(2.13) $ \begin{equation} x^{1/\alpha}( t ) \geq \frac{u\left( \tau ^{-1}( t ) \right) - p^{-\alpha}\left( \tau ^{-1}\left( \tau ^{-1}( t) \right) \right)[ \alpha u\left( \tau ^{-1}( t ) \right) +1-\alpha ]}{p\left( \tau _{}^{-1}( t ) \right)}, \ t\geq T. \end{equation} $

结合(2.13)和(2.12)式, 得

$ x^{1/\alpha}( t ) \geq u\left( \tau ^{-1}( t) \right) \frac{1- p^{-\alpha}( \tau ^{-1}( \tau ^{-1}( t ) ) )\left( \alpha+\frac{1-\alpha }{\phi ( \tau ^{-1}( t ) ) A( \tau ^{-1}( t ) )} \right)}{p\left( \tau _{}^{-1}\left( t \right) \right)}, \ t\geq T. $

因此, (2.9)式成立.证毕.

引理2.6  设$ \tau \in C_{rd}\left( {\Bbb T}, {\Bbb R} \right) $且$ \tau ^{\Delta}\left( t \right) >0, \ t\in {\Bbb T}^k, $则有

$ \left( \tau \circ \sigma \right) ( t ) = \left( \sigma \circ \tau \right) ( t ) , \ t\in {\Bbb T}^k. $

引理2.6的证明可参见文献[6, 引理2.2].

定理3.1  设条件$ (1.2) $成立且$ \alpha\beta \geq 1 , \; \delta ( t ) \leq \tau ( t ) , \ t\geq t_0. $如果存在某可导正函数$ \eta ( t ) \in C_{rd}^{1}( I, {\Bbb R}^+ ) $和某非增正函数$ \varphi ( t ) \in C_{rd}( I, {\Bbb R}^+ ), \ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\varphi ( t ) = 0 , $使得对充分大的$ T\geq t_0, \ T\in I $和任意常数$ M\in ( 0, 1 ] $ (特别地, 当$ \alpha \beta = 1 $时, $ M = 1 ), $有

(3.1) $ \begin{equation} \limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_T^t{\left[ \eta ( s ) q( \sigma ( s ) ) Q_{1}^{\alpha\beta}( \delta ( \sigma ( s ) ) ) \frac{R^{\alpha\beta}( \tau ^{-1}( \delta ( \sigma ( s ) ) ) )}{R^{\alpha\beta}( \sigma ( s ) )} -\frac{\left( \eta ^{\Delta}( s ) \right) ^2r( s )}{4M^{\alpha\beta-1}\eta ( s )} \right] \Delta}s = \infty , \end{equation} $

其中$ Q_1( t ) $如引理$ 2.4 $的定义, 则方程$ (1.1) $振动.

证  假设$ x( t ) $是方程(1.1)的最终正解$ ( x( t ) $为最终负解时类似可证), 则存在$ t_1\in I , $使得当$ t\geq t_1 $时有$ x( t ) >0, \ x\left( \tau ( t ) \right) >0, \ x\left( \delta ( t ) \right) >0 . $由于条件(1.2)成立, 从而$ u( t ) $满足(2.1)式.又由引理2.4中的(2.4)式和方程(1.1)知, 存在$ T\geq t_1, \ T\in I , $满足

(3.2) $ \begin{equation} \left( r( t ) u^{\Delta}( t ) \right) ^{\Delta}+q( t ) Q_{1}^{\alpha\beta}\left( \delta ( t ) \right) u^{\alpha\beta}\left( \tau _{}^{-1}\left( \delta ( t ) \right) \right) \leq 0, \ t\geq T. \end{equation} $

再由引理2.4证明中的(2.8)式, 可知$ \frac{u( t )}{R( t )} $是递减的, 又$ \delta ( t ) \leq \tau ( t ), $故$ \tau ^{-1}\left( \delta ( t ) \right) \leq t , $所以

(3.3) $ \begin{equation} \frac{u\left( \tau ^{-1}\left( \delta ( t ) \right) \right)}{R\left( \tau ^{-1}\left( \delta ( t ) \right) \right)}\geq \frac{u( t )}{R( t )}, \ t\geq T. \end{equation} $

结合上述的(3.2)和(3.3)式, 可得

(3.4) $ \begin{equation} \left( r( t ) u^{\Delta}( t ) \right) ^{\Delta}+q( t ) Q_{1}^{\alpha\beta}\left( \delta ( t) \right) \frac{R^{\alpha\beta}\left( \tau ^{-1}\left( \delta ( t ) \right) \right)}{R^{\alpha\beta}( t )}u^{ \alpha\beta}( t ) \leq 0, \ t\geq T. \end{equation} $

定义Riccati变换函数

$ \begin{eqnarray*} w( t ) = \eta ( t) \frac{r\left( \sigma ( t ) \right) u^{\Delta}\left( \sigma (t) \right)}{u( t )}, \ t\geq T. \end{eqnarray*} $

故$ w( t ) >0, $由求导法则, 又得

(3.5) $ \begin{eqnarray} w^{\Delta}( t ) & = &\eta ^{\Delta}( t) \frac{r\left( \sigma \left( \sigma ( t ) \right) \right) u^{\Delta}\left( \sigma \left( \sigma ( t) \right) \right)}{u\left( \sigma ( t ) \right)}+\eta ( t ) \left( \frac{r\left( \sigma ( t ) \right) u^{\Delta}\left( \sigma ( t ) \right)}{u( t )} \right) ^{\Delta} {} \\ & = &\eta ( t) \left[ \frac{\left( r\left( \sigma ( t ) \right) u^{\Delta}\left( \sigma ( t ) \right) \right) ^{\Delta}}{u\left( \sigma ( t ) \right)}-\frac{r\left( \sigma ( t ) \right) u^{\Delta}\left( \sigma ( t ) \right) u^{\Delta}( t )}{u( t) u\left( \sigma ( t ) \right)} \right] +\frac{\eta ^{\Delta}( t ) w\left( \sigma ( t ) \right)}{\eta \left( \sigma ( t ) \right)}. \end{eqnarray} $

由于$ \left( r( t ) u^{\Delta}( t ) \right) ^{\Delta}<0 , $所以

$ r( t ) u^{\Delta}( t ) \geq r\left( \sigma ( t ) \right) u^{\Delta}\left( \sigma ( t ) \right) \geq r\left( \sigma \left( \sigma ( t ) \right) \right) u^{\Delta}\left( \sigma \left( \sigma ( t ) \right) \right) , $

故, 又有

(3.6) $ \begin{eqnarray} &&-\eta ( t ) \frac{r\left( \sigma ( t ) \right) u^{\Delta}\left( \sigma ( t ) \right) u^{\Delta}( t )}{u( t ) u\left( \sigma ( t ) \right)} \leq -\eta ( t ) \frac{r\left( \sigma \left( \sigma ( t ) \right) \right) u^{\Delta}\left( \sigma \left( \sigma ( t ) \right) \right) u^{\Delta}( t )}{u( t ) u\left( \sigma ( t ) \right)} {}\\ & = &-w^2\left( \sigma ( t ) \right) \frac{\eta ( t )}{\eta ^2\left( \sigma ( t ) \right)}\frac{u^{\Delta}( t )}{r\left( \sigma \left( \sigma ( t ) \right) \right) u^{\Delta}\left( \sigma \left( \sigma ( t ) \right) \right)}\frac{u\left( \sigma ( t ) \right)}{u( t )}. \end{eqnarray} $

又因为$ r( t ) u^{\Delta}( t ) \geq r\left( \sigma \left( \sigma ( t ) \right) \right) u^{\Delta}\left( \sigma \left( \sigma ( t ) \right) \right) , $于是结合(3.5)和(3.6)式, 得

$ \begin{eqnarray*} w^{\Delta}( t ) &\leq &\frac{\eta ^{\Delta}( t )}{\eta \left( \sigma ( t ) \right)}w\left( \sigma ( t ) \right) +\eta ( t ) \frac{\left( r\left( \sigma ( t ) \right) u^{\Delta}\left( \sigma ( t ) \right) \right) ^{\Delta}}{u\left( \sigma ( t ) \right)} \\ && -w^2\left( \sigma ( t ) \right) \frac{\eta ( t )}{\eta ^2\left( \sigma ( t ) \right)}\frac{u^{\Delta}( t )}{r\left( \sigma \left( \sigma ( t ) \right) \right) u^{\Delta}\left( \sigma \left( \sigma ( t ) \right) \right)}\frac{u\left( \sigma ( t ) \right)}{u( t )} \\ &\leq &\frac{\eta ^{\Delta}( t )}{\eta \left( \sigma ( t ) \right)}w\left( \sigma ( t ) \right) +\eta ( t ) \frac{\left( r\left( \sigma ( t ) \right) u^{\Delta}\left( \sigma ( t ) \right) \right) ^{\Delta}}{u\left( \sigma ( t ) \right)}-w^2\left( \sigma ( t ) \right) \frac{\eta ( t )}{\eta ^2\left( \sigma ( t ) \right)}\frac{u\left( \sigma ( t ) \right)}{r( t ) u( t )}. \end{eqnarray*} $

再由$ u( t ) >0, u^{\Delta}( t ) >0, \left( r( t ) u^{\Delta}( t ) \right) ^{\Delta}\leq 0 , $所以有

$ \begin{eqnarray*} w^{\Delta}( t ) \leq \frac{\eta ^{\Delta}( t )}{\eta \left( \sigma ( t ) \right)}w\left( \sigma ( t ) \right) +\eta ( t ) \frac{\left( r\left( \sigma ( t ) \right) u^{\Delta}\left( \sigma ( t ) \right) \right) ^{\Delta}}{u\left( \sigma ( t ) \right)}-w^2\left( \sigma ( t ) \right) \frac{\eta( t )}{\eta ^2\left( \sigma ( t ) \right)}\frac{1}{r( t )}, \end{eqnarray*} $

故得

(3.7) $ \begin{equation} w^{\Delta}( t ) \leq \eta ( t ) \frac{\left( r\left( \sigma ( t ) \right) u^{\Delta}\left( \sigma ( t ) \right) \right) ^{\Delta}}{u\left( \sigma ( t ) \right)}+\frac{\left( \eta ^{\Delta}( t ) \right) ^2 r( t )}{4\eta ( t )}. \end{equation} $

结合(3.4)与(3.7)式, 即得

(3.8) $ \begin{eqnarray} w^{\Delta}( t )& \leq& -q( \sigma ( t ) ) Q_{1}^{\alpha\beta}\left( \delta \left( \sigma ( t ) \right) \right) \frac{R^{\alpha\beta}\left( \tau ^{-1}\left( \delta \left( \sigma ( t ) \right) \right) \right)}{R^{\alpha\beta}\left( \sigma ( t ) \right)}u ^{\alpha\beta}\left( \sigma \left( t \right) \right) \frac{\eta ( t)}{u\left( \sigma ( t ) \right)} {}\\ && +\frac{\left( \eta ^{\Delta}\left( t \right) \right) ^2 r( t )}{4\eta ( t )} , {\quad} t\geq T. \end{eqnarray} $

因为$ u\left( t \right) $是递增的, 取$ M_1 = \min \left\{ u\left( T \right) , 1 \right\} , $故有$ u\left( t \right) \geq M_1\in \left( 0, 1 \right] , \ t\geq T , $所以, 当$ t\geq T $时有

$ \begin{eqnarray*} w^{\Delta}( t ) \leq -M_{1}^{\alpha\beta-1}\eta ( t ) q\left( \sigma ( t ) \right) Q_{1}^{\alpha\beta}\left( \delta \left( \sigma ( t ) \right) \right) \frac{R^{\alpha\beta}\left( \tau ^{-1}\left( \delta \left( \sigma ( t ) \right) \right) \right)}{R^{\alpha\beta}\left( \sigma ( t ) \right)}+\frac{\left( \eta ^{\Delta}( t ) \right) ^2 r( t )}{4\eta ( t)}, \end{eqnarray*} $

特别地, 当$ \alpha\beta = 1 $时, 取$ M_1 = 1 $, 上式仍成立.故从$ T $到$ t\geq T $积分上式, 得

$ \begin{eqnarray*} w( T )\geq \int_T^t{\left[ M_1^{\alpha\beta-1}\eta \left( s \right) q\left( \sigma \left( s \right) \right) Q_{1}^{\alpha\beta}\left( \delta \left( \sigma \left( s \right) \right) \right) \frac{R^{\alpha\beta}\left( \tau ^{-1}\left( \delta \left( \sigma \left( s \right) \right) \right) \right)}{R^{\alpha\beta}\left( \sigma \left( s \right) \right)}-\frac{\left( \eta ^{\Delta}\left( s \right) \right) ^2 r\left( s \right)}{4\eta \left( s \right)} \right]}\Delta s, \end{eqnarray*} $

上式两端令$ t\rightarrow \infty $取上极限, 得与(3.1)式矛盾.证毕.

定理3.2  设条件$ (1.2) $成立且$ \alpha\beta\leq1, \ \delta ( t ) \leq \tau ( t ) , \ t\geq t_0. $如果存在某可导正函数$ \eta ( t ) \in C_{rd}^{1}( I, {\Bbb R}^+ ) $和非增正函数$ \varphi ( t ) \in C_{rd}( I, {\Bbb R}^+ ), \ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\varphi ( t ) = 0 , $使得对充分大的$ T\in I $和任意常数$ M\in ( 0, 1 ] $ (特别地, 当$ \alpha \beta = 1 $时, $ M = 1 ), $有

(3.9) $ \begin{equation} \limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_T^t{\left[ \eta ( s ) q( \sigma ( s ) ) Q_{1}^{\alpha\beta}( \delta ( \sigma ( s ) ))\frac{R^{\alpha\beta}\left( \tau ^{-1}( \delta ( \sigma ( s ) ) ) \right)}{R\left( \sigma ( s ) \right)} -\frac{\left( \eta ^{\Delta}( s ) \right) ^2 r( s )}{4M^{1-\alpha\beta}\eta ( s )} \right] \Delta s} = \infty , \end{equation} $

其中$ Q_1( t ) $如引理$ 2.4 $的定义, 则方程$ (1.1) $振动.

证  假设$ x( t ) $是方程(1.1)的最终正解$ ( x( t ) $为最终负解时可类似证明), 则存在$ t_1\in I , $使得当$ t\geq t_1 $时有$ x( t) >0, \ x( \tau ( t ) ) >0, \ x\left( \delta \left( t \right) \right) >0 . $由于条件(1.2)成立, 从而$ u\left( t \right) $满足(2.1)式.于是类似于定理3.1的证明, 可得(3.8)式.因为$ \left( \frac{u( t )}{R( t )} \right) ^{\Delta}<0 , $所以有$ \left( \frac{R( t )}{u( t )} \right) ^{\Delta}>0 , $即$ \frac{R( t )}{u( t )} $是递增的.由于$ \alpha\beta \leq 1, $令$ M_2 = \min \left\{ \frac{R\left( T \right)}{u\left( T \right)}, 1 \right\}, $故有$ \frac{R( t )}{u( t )}\geq M_2\in ( 0, 1 ] , \ t\geq T. $所以, 又有

(3.10) $ \begin{equation} \frac{u^{\alpha\beta-1}( t )}{R^{\alpha\beta-1}( t )} = \frac{R^{1-\alpha\beta}(t)}{u^{1-\alpha\beta}(t)}\geq M_2^{1-\alpha\beta}, \ t\geq T, \end{equation} $

显然, 当$ \alpha\beta = 1 $时, 取$ M_2 = 1 $, (3.10)式仍成立.结合(3.8)和(3.10)式可以得到, 当$ t\geq T $时, 有

$ \begin{eqnarray*} w^{\Delta}( t ) \leq -M_2^{1-\alpha\beta}\eta ( t ) q( \sigma ( t ) ) Q_{1}^{\alpha\beta}\left( \delta ( \sigma ( t ) ) \right) \frac{R^{\alpha\beta}\left( \tau _{}^{-1}\left( \delta \left( \sigma ( t ) \right) \right) \right)}{R\left( \sigma ( t ) \right)}+\frac{\left( \eta ^{\Delta}\left( t \right) \right) ^2r\left( t \right)}{4\eta \left( t \right)}, \end{eqnarray*} $

从$ T $到$ t\geq T $积分上式, 得

$ \begin{eqnarray*} w( T )\geq \int_T^t{\Big[ M_2^{1-\alpha\beta}\eta ( s ) q\left( \sigma ( s ) \right) Q_{1}^{\alpha\beta}\left( \delta \left( \sigma ( s ) \right) \right) \frac{R^{\alpha\beta}\left( \tau _{}^{-1}\left( \delta \left( \sigma ( s ) \right) \right) \right)}{R\left( \sigma ( s ) \right)}-\frac{\left( \eta ^{\Delta}\left( s \right) \right) ^2 r( s )}{4\eta ( s )} \Big] \Delta s}, \end{eqnarray*} $

上式两端令$ t\rightarrow \infty $取上极限, 得与(3.9)式矛盾.证毕.

注3.1  显然当$ {\Bbb T} = {\Bbb R} $时动力方程$ (1.1) $就退化为微分方程, 因此, 本文定理$ 3.1 $和定理$ 3.2 $已经完全包含并改进了文献[25]中的定理$ 2.1 $和定理$ 2.2 $, 因为本文只需存在某个(而非任意的)非增正函数$ \varphi ( t ) \in C_{rd}( I, {\Bbb R}^+ ), \ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\varphi ( t ) = 0. $此外本文还可以取$ {\Bbb T} = {\Bbb Z}^+ , $得到相应的差分方程的振动定理.进一步本文还可以令$ {\Bbb T} = h{\Bbb N} , \ q^{{\Bbb N}}, \ {\Bbb N}^2 , \ {\Bbb T}_n $等诸多时间尺度, 分别得到对应的动力方程的振动定理, 这里从略了.

如果在定理3.1和定理3.2中取$ \eta ( t ) = C $为常数, 则可以得到如下简捷的推论.

推论3.1  设条件$ (1.2) $成立且$ \alpha\beta \geq 1 , \ \delta ( t ) \leq \tau ( t ) , \ t\geq t_0. $如果存在某非增正函数$ \varphi ( t ) \in C_{rd}( I, {\Bbb R}^+ ), \ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\varphi ( t ) = 0, $使得对于充分大的$ T\geq t_0, \ T\in I , $有

$ \begin{eqnarray*} \limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_T^t q( \sigma ( s ) )\left[ Q_{1}( \delta ( \sigma ( s ) ) ) \frac{R( \tau ^{-1}( \delta ( \sigma ( s ) ) ) )}{R( \sigma ( s ) )} \right]^{\alpha\beta} \Delta s = \infty , \end{eqnarray*} $

其中$ Q_1( t ) $如引理$ 2.4 $的定义, 则方程$ (1.1) $振动.

推论3.2  设条件$ (1.2) $成立且$ \alpha \beta \leq 1, \ \delta ( t ) \leq \tau ( t ) , \ t\geq t_0 . $如果存在非增正函数$ \varphi ( t ) \in C_{rd}( I, {\Bbb R}^+ t), \ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\varphi ( t ) = 0 , $使得对于充分大的$ T\geq t_0, \ T\in I, $有

$ \begin{eqnarray*} \limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_T^t \frac{q\left( \sigma \left( s \right) \right)}{R\left( \sigma ( s ) \right)}\left[ Q_{1}\left( \delta \left( \sigma ( s ) \right) \right)R \left( \tau ^{-1}( \delta ( \sigma ( s ) ) ) \right) \right]^{\alpha\beta} \Delta s = \infty , \end{eqnarray*} $

其中$ Q_1(t) $如引理$ 2.4 $的定义, 则方程$ (1.1) $振动.

注3.2  不难看出, 当$ \alpha = 1 $时方程$ (1.1) $退化成为带线性中立项的动力方程, 显然定理$ 3.1 $、定理$ 3.2 $及其推论$ 3.1 $和推论$ 3.2 $均不需要"某个非增正连续函数$ \varphi(t)\rightarrow 0\; (t\rightarrow \infty) $存在"的条件, 因此也不需要"$ \lim\limits_{t\to \infty}p(t) = \infty $"的假设, 从而减弱了文献[25]的这一条件.这是带超线性中立项方程和带线性中立项或带次线性中立项方程的本质区别.

定理3.3  设条件$ (1.3) $成立且$ \alpha\beta \geq 1, \ \delta ( t ) \leq \tau ( t ) , \ t\in I . $如果存在某可导正函数$ \eta ( t ) \in C_{rd}^{1}( I, \ {\Bbb R}^+ ) $和某非增正函数$ \varphi ( t ) , \ \phi ( t ) \in C_{rd}( I, \ {\Bbb R}^+ ), \ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\varphi(t) = \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\phi ( t ) = 0, $使得对充分大的$ T\in I $和任意常数$ M, \ L\in ( 0, 1 ] ( $特别地, 当$ \alpha \beta = 1 $时, $ M = L = 1 ), $有$ (3.1) $式和

(3.11) $ \begin{equation} \limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_T^t \left[ q( s ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta ( s ) \right) A( \sigma ( s ) ) A^{\alpha\beta-1}( s ) -\frac{1}{4L^{\alpha\beta-1}A( \sigma ( s ) ) r( s )} \right] \Delta s = \infty \end{equation} $

成立, 其中$ Q_1( t ) $和$ Q_2( t ) $分别如引理$ 2.4 $和引理$ 2.5 $的定义, 则方程$ (1.1) $振动.

证  假设$ x( t ) $是(1.1)的最终正解($ x( t ) $为最终负解时类似可证), 则存在$ t_1\in I, $使得当$ t\geq t_1 $时有$ x( t ) >0, \ x( \tau ( t ) ) >0, \ x( \delta ( t ) ) >0 . $由于条件(1.3)成立, 从而$ u( t ) $满足(2.1)或(2.2)式, 下面分两种情形证明之.

情形1  当(2.1)式成立时, 其证明与定理3.1的证明类似, 这里从略了.

情形2  当(2.2)式成立时, 由引理2.5中(2.9)式和方程(1.1), 可以得到

(3.12) $ \begin{equation} \left( r\left( t \right) u^{\Delta}\left( t \right) \right) ^{\Delta}\leq -q\left( t \right) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta \left( t \right) \right) u^{\alpha\beta}\left( \tau _{}^{-1} \left( \delta \left( t \right) \right) \right) , \ t\geq T, \end{equation} $

定义函数$ w\left( t \right) = \frac{r\left( t \right) u^{\Delta}\left( t \right)}{u\left( t \right)}, $则$ w\left( t \right) <0, \ t\geq T. $由求导法则有

(3.13) $ \begin{equation} w^{\Delta}\left( t \right) = \frac{u\left( t \right) \left( r\left( t \right) u^{\Delta}\left( t \right) \right) ^{\Delta}-u^{\Delta}\left( t \right) r\left( t \right) u^{\Delta}\left( t \right)}{u\left( t \right) u\left( \sigma \left( t \right) \right)}, \ t\geq T. \end{equation} $

结合上述(3.12)和(3.13)式, 有

(3.14) $ \begin{eqnarray} w^{\Delta}( t )& \leq &-\frac{q( t ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta ( t ) \right) u^{\alpha\beta}\left( \tau ^{-1}\left( \delta ( t ) \right) \right)}{u\left( \sigma \left( t \right) \right)}-\left( w\left( t \right) \right) ^2\frac{u\left( t \right)}{r\left( t \right) u\left( \sigma \left( t \right) \right)}, {} \\ & \leq &-q( t ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta \left( t \right) \right) u^{\alpha\beta-1} \left( \tau ^{-1}\left( \delta \left( t \right) \right) \right) -\frac{w^2\left( t \right)} {r\left( t \right)}{} \\ & \leq &-q( t ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta \left( t \right) \right) u^{\alpha\beta-1}\left( t \right) -\frac{w^2\left( t \right)}{r\left( t \right)}. \end{eqnarray} $

又由(2.11)式知$ \frac{u\left( t \right)}{A\left( t \right)} $是递增的, 则对于$ L_1 = \min \left\{ \frac{u\left( T \right)}{A\left( T \right)}, 1 \right\} \in \left( 0, 1 \right] , \ t\geq T , $有$ \frac{u\left( t \right)}{A\left( t \right)}\geq L_1\in \left( 0, 1 \right] , \ t\geq T , $所以

$ \begin{eqnarray*} w^{\Delta}( t ) <-L_1^{\alpha\beta-1}q( t ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta ( t) \right) A^{\alpha\beta-1}\left( t \right) -\frac{\left( w\left( t \right) \right) ^2}{r\left( t \right)}, \ t\geq T. \end{eqnarray*} $

上式两侧同乘$ A\left( \sigma \left( t \right) \right) $并从$ T $到$ t\geq T $积分(特别地, 当$ \alpha\beta = 1 $时, 取$ L_1 = 1, $上式仍成立), 得

$ \begin{eqnarray*} && w( t ) A( t ) -w( T ) A( T ) +\int_T^t{\left[ A\left( \sigma ( s ) \right) L_1^{\alpha\beta-1}q( s ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta ( s ) \right) A^{\alpha\beta-1}( s ) \right] \Delta s} \\ & &+\int_T^t{\frac{A\left( \sigma ( s ) \right) w^2( s )}{r( s )}\Delta s-\int_T^t{A^{\Delta}( s ) w( s )}}\Delta s<0, \ t\geq T, \end{eqnarray*} $

所以

$ \begin{eqnarray*} && w( t ) A( t )-w( T ) A( T ) +\int_T^t{\left[ A\left( \sigma ( s ) \right) L_1^{\alpha\beta-1}q( s ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta ( s ) \right) A^{\alpha\beta-1}( s ) \right]}\Delta s \\ &&+\int_T^t\left[\frac{A\left( \sigma ( s ) \right) w^2( s )}{r( s )}+\frac{w( s )}{r( s )}\right]\Delta s<0, \ t\geq T, \end{eqnarray*} $

即

$ \begin{eqnarray*} -w( t ) A( t ) +w( T ) A( T ) &> & \int_T^t{\left[ A\left( \sigma ( s ) \right) L_1^{\alpha\beta-1}q( s ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta ( s ) \right) A^{\alpha\beta-1}( s ) \right] \Delta s} \\ &&-\int_T^t{\frac{1}{4A\left( \sigma ( s ) \right) r( s )}\Delta s}, {\quad} t\geq T. \end{eqnarray*} $

又因为$ w( t ) <0, \ t\geq T, $故由(2.10)式, 可得

$ \begin{eqnarray*} 0>w( t ) = \frac{r( t ) u^{\Delta}( t )}{u( t )}>-\frac{1}{A( t )}, \ t\geq T, \end{eqnarray*} $

即$ 0>w( t ) A( t ) >-1, \ t\geq T, $所以有

$ \begin{eqnarray*} 1+w( T ) A( T )& > &\int_T^t{\left[ A\left( \sigma ( s ) \right) L_1^{\alpha\beta-1}q( s ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta ( s ) \right) A^{\alpha\beta-1}( s ) \right]}\Delta s \\ & &-\int_T^t{\frac{1}{4A\left( \sigma ( s ) \right) r( s )}}\Delta s, {\quad} t\geq T. \end{eqnarray*} $

上式令$ t\rightarrow \infty $取上极限, 与(3.11)式矛盾.综合情形1和情形2知, 方程(1.1)振动.定理3.3证毕.

定理3.4  设条件$ (1.3) $成立且$ \alpha\beta \leq 1, \ \delta ( t ) \leq \tau ( t ) , \ t\in I. $如果存在某可导正函数$ \eta ( t ) \in C_{rd}^{1}( I, {\Bbb R}^+ ) $和非增正函数$ \varphi ( t ) , \ \phi ( t ) \in C_{rd}( I, {\Bbb R}^+ ), \ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\varphi ( t ) = \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\phi ( t ) = 0 , $使得对充分大的$ T\in I $和任意常数$ M, \ L\in ( 0, 1 ] $ (特别地, 当$ \alpha \beta = 1 $时, $ M = L = 1), $有$ (3.9) $式和

(3.15) $ \begin{equation} \limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_T^t\Big[ q( s ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta ( s ) \right) A\left( \sigma ( s ) \right) -\frac{1}{4L^{1-\alpha\beta}A\left( \sigma ( s ) \right) r( s )} \Big] \Delta s = \infty \end{equation} $

成立, 其中$ Q_1( t ) $和$ Q_2( t ) $分别如引理$ 2.4 $和引理$ 2.5 $的定义, 则方程$ (1.1) $振动.

证  假设$ x( t ) $是方程(1.1)的最终正解($ x( t ) $为最终负解时可类似证明), 则存在$ t_1\in I , $使得当$ t\geq t_1 $时有$ x( t ) >0, \ x( \tau ( t ) ) >0, \ x( \delta ( t ) ) >0. $由于条件(1.3)成立, 从而$ u( t ) $满足(2.1)或(2.2)式, 下面将分两种情形证明之.

情形1  当(2.1)式成立时, 类似于定理3.2的证明易知与(3.9)式矛盾, 这里从略了.

情形2  当(2.2)式成立时, 类似于定理3.3情形2的证明可得(3.14)式.因为$ u^{\Delta}\left( t \right) <0, $所以知$ \frac{1}{u(t)} $是递增的.取$ L_2 = \min \left\{ \frac{1}{u\left( T \right)}, 1 \right\} \in \left( 0, 1 \right] , \ t\geq T , $则有$ \frac{1}{u\left( t \right)}\geq L_2\in \left( 0, 1 \right] , \ t\geq T. $所以, 又有

(3.16) $ \begin{equation} u^{\alpha\beta-1}(t) = \frac{1}{u^{1-\alpha\beta}(t)}\geq L_2^{1-\alpha\beta}, {\quad} t\geq T. \end{equation} $

结合(3.14)和(3.16)式可以得到, 当$ t\geq T $时, 有

$ w^{\Delta}( t ) \leq -q( t ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta ( t ) \right) L_2^{1-\alpha\beta}-\frac{w^2( t )}{r( t )}. $

上式两端同乘以$ A\left( \sigma ( t ) \right) $并从$ T $到$ t\geq T $积分, 得

$ \begin{eqnarray*} 1+w( T ) A( T ) >\int_T^t{\left[ A\left( \sigma ( s ) \right) L_2^{1-\alpha\beta}q( s ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta ( s ) \right) \right]}\Delta s -\int_T^t{\frac{1}{4A\left( \sigma ( s ) \right) r( s )}\Delta s}, \ t\geq T. \end{eqnarray*} $

上式令$ t\rightarrow \infty $取上极限, 得与(3.15)式矛盾.综合情形1和情形2, 知方程(1.1)振动.定理3.4证毕.

注3.3  对定理$ 3.3 $和定理$ 3.4, $也可以分别令$ \eta \left( t \right) = C $为常数得到类似于定理$ 3.1 $和定理$ 3.2 $的两个推论, 限于篇幅, 这里从略了.显然, 定理$ 3.3 $和定理$ 3.4 $及其推论即使对文献[25]的二阶微分方程$ (1.5) $而言也是全新的.

下面给出方程(1.1)不分$ \alpha\beta\geq1 $或$ \alpha\beta\leq1 $, 也与任意常数$ M, \ L\in (0, 1] $无关的振动定理.

定理3.5  设条件$ (1.3) $成立, 如果存在某非增正函数$ \varphi(t), \ \phi(t)\in C_{rd}(I, \ {\Bbb R}^+), \ \lim\limits_{t\to \infty}\varphi(t) = \lim\limits_{t\to \infty}\phi(t) = 0, $使得对充分大的$ T\in I, $有

(3.17) $ \begin{equation} \limsup\limits_{t\to \infty} \int_T^{t}{q(s)Q_1^{\alpha\beta}(\delta(s)) \Delta s = \infty} \end{equation} $

和

(3.18) $ \begin{equation} \limsup\limits_{t\to \infty} \int_T^{t}\frac{1}{r( v )}\left( \int_T^v q( s ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta ( s ) \right) A^{\alpha\beta}\left( \tau ^{-1}\left( \delta ( s ) \right) \right) \Delta s \right) \Delta v = \infty, \end{equation} $

其中$ Q_1( t ) $和$ Q_2( t ) $分别如引理$ 2.4 $和引理$ 2.5 $的定义, 则方程$ (1.1) $振动.

证  假设$ x( t ) $是方程(1.1)的最终正解($ x( t ) $为最终负解时可类似证明), 则存在$ t_1\in I , $使得当$ t\geq t_1 $时有$ x( t ) >0, \ x( \tau ( t ) ) >0, \ x( \delta ( t ) ) >0 . $由于条件(1.3)成立, 从而$ u\left( t \right) $满足(2.1)或(2.2)式, 下面将分两种情形证明之.

情形1   当(2.1)成立时, 由(2.4)式和方程(1.1), 可得(3.2)式成立.因为$ \lim\limits_{t\to \infty}\delta(t) = \infty, $不妨取$ \delta(t)\geq T_1, \ t_1\leq T_1\leq T\leq t. $又因为$ u^\Delta(t)>0, \tau^\Delta(t)>0, $所以$ u( t ) $和$ \tau^{-1}(t) $都是递增的, 从而$ u(\tau^{-1}(t)) $也是递增的, 因此有$ u(\tau^{-1}(\delta(t))) \geq u(\tau^{-1}(T_1)) = M>0, \ t\geq T , $故将其代入(3.2)式, 得

$ \left( r( t ) u^{\Delta}( t ) \right) ^{\Delta}\leq -M^{\alpha\beta}q( t ) Q_{1}^{\alpha\beta}\left( \delta ( t ) \right) , \ t\geq T. $

再将上式从$ T $到$ t\geq T $积分, 得

$ \begin{eqnarray*} \int_T^t M^{\alpha\beta}q( s ) Q_{1}^{\alpha\beta}\left( \delta ( s ) \right) \Delta s\leq -r( t ) u^{\Delta}( t )+r( T ) u^{\Delta}( T ) , \end{eqnarray*} $

对上式令$ t\rightarrow \infty $取上极限, 与(3.17)式矛盾.

情形2  当(2.2)式成立时, 由引理2.5中的(2.9)式和方程(1.1), 有(3.12)式成立.从而对(3.12)式从$ T $到$ t\geq T $积分, 得

(3.19) $ \begin{equation} -r( t ) u^{\Delta}( t ) \geq \int_T^t{q( s ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta ( s ) \right) u^{\alpha\beta}\left( \tau ^{-1}\left( \delta ( s ) \right) \right) \Delta s}, \ t\geq T. \end{equation} $

又因为$ \frac{u( t )}{A( t )} $是递增的, 故对于$ L = \min \left\{ \frac{u( T )}{A( T )} , 1 \right\} \in \left( 0, 1 \right] , $有$ \frac{u( t )}{A( t )}\geq L, \ t\geq T , $所以由(3.19)式, 得

(3.20) $ \begin{equation} -u^{\Delta}( t ) \geq \frac{L^{\alpha\beta}}{r( t )}\int_T^t{q( s ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left( \delta ( s ) \right) A^{\alpha\beta}\left( \tau ^{-1}\left( \delta ( s ) \right) \right) \Delta s}, \ t\geq T. \end{equation} $

再对(3.20)式从$ T $到$ t\geq T $积分, 有

$ \begin{eqnarray*} u( T ) \geq \int_T^t{\frac{L^{\alpha\beta}}{r(v)}\left( \int_T^v{q( s ) Q_{2}^{\alpha\beta}\left(\delta(s) \right) A^{\alpha\beta}\left( \tau^{-1}\left( \delta ( s ) \right) \right) \Delta s} \right) \Delta v}, \ t\geq T, \end{eqnarray*} $

上式令$ t\rightarrow \infty $取上极限, 与(3.18)式矛盾.定理3.5证毕.

注3.4  值得注意的是, 本文的函数$ \varphi \left( t \right) , \phi \left( t \right) $是简单而广泛存在的, 例如可取为$ t^{-1} $等.此外, 当$ (1.2) $式成立时还可取为$ R^{-1}(t), $当$ (1.3) $式成立时也可取为$ A( t ), \ a^{-1}(t) $等.将它们代入上述定理和推论会得到更简洁的形式, 例如, 由定理$ 3.5 $可得如下推论.

推论3.3  设条件$ (1.3) $成立, 如果对充分大的$ T\in I, $有$ (3.17) $和$ (3.18) $式成立, 其中

$ Q_1( t ) = {p^{-1}(\tau^{-1}(t))}\left[1-p^{-\alpha}(\tau^{-1}(\tau^{-1}(t)))\left(\frac{\alpha R(\tau^{-1}(\tau^{-1}(t)))}{R(\tau^{-1}(t))}+(1-\alpha)t \right) \right], $

$ Q_2( t ) = {p^{-1}( \tau ^{-1}( t ) )}\left[1- p^{-\alpha}( \tau ^{-1}( \tau ^{-1}( t ) ) )\left( \alpha+\frac{1-\alpha }{ A^2( \tau ^{-1}( t ) )} \right)\right], $

则方程$ (1.1) $振动.

注3.5  需要指出的是, 本文及文献[25]中的定理均不适应于$ \mathrm{Euler} $方程$ (1.4), $因此, 本文的结果与文献[21-24]的结果互不包含.再者, 当$ 0<\alpha<1 $时, 本文的振动准则蕴含条件$ \lim\limits_{t\to \infty} p(t) = \infty. $如何寻求其他方法而降低这一要求是很有意义的问题, 有待有兴趣者共同探讨.

下面仅给出两例以示本文主要结果的有效性.为此将利用下列事实.

假设$ {\Bbb T} $是一个时间尺度, 且存在子集

(4.1) $ \begin{equation} \left\{ t_k, k\in {\Bbb N}_0 \right\} \subset {\Bbb T}, \ t_0<t_1<t_2<\cdots \ , \ \lim\limits_{k\rightarrow \infty}t_k = \infty, \end{equation} $

即$ {\Bbb T} $是无界的.则对任意的$ a\in [0, 1], $必有

(4.2) $ \begin{equation} \int_1^{\infty}{\frac{1}{s^a}\Delta s = \infty.} \end{equation} $

如果对任意的$ a>1, $存在$ b \in [ 1, \; a ), $使得$ \left\{ t_k, k\in {\Bbb N}_0 \right\} \subset {\Bbb T}, $又满足

(4.3) $ \begin{equation} t_{k+1} = O( t_{k}^{b} ) , \ k\rightarrow \infty, \end{equation} $

则必有

(4.4) $ \begin{equation} \int_1^{\infty}{\frac{1}{s^a}\Delta s<\infty }. \end{equation} $

以上两个事实可参见文献[3]中的定理5.68和定理5.70, 由其例5.63可以看出(4.4)式并非对于任意的时间尺度总能成立的.参考文献[2]中的定理3.204也有相同的结论.

例4.1  考虑下列带超线性中立项的二阶动力方程的振动性

(4.5) $ \begin{equation} \left( \frac{1}{\sigma ( t ) +t}\left( x( t ) +\left( \frac{t^2 x \left( \tau ( t ) \right)}{\tau ( t ) -1} \right) ^3 \right) ^{\Delta} \right) ^{\Delta}+t^8\left| x^3( \delta ( t ) ) \right|x( \delta ( t ) ) = 0, \ t\in I_1, \end{equation} $

其中$ {\Bbb T} $是一个满足$ (4.1) $和$ (4.3) $式的时间尺度, $ I_1 = [ 1, \ \infty )_{{\Bbb T}};\ $$ \tau(t), \ \delta(t) $满足$ (C_4). $

这里取$ \eta( t ) = t, \ \eta^{\Delta}( t) = 1, \ \varphi ( t ) = ( t-1 ) /\left[ \tau ^{-1}( t ) \right] ^2 , $经过计算可知$ Q_1( t )>0, \ t\geq 1, \ $

$ \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{r( t )}\Delta}t = \infty, \ R( t ) = \int_T^t{\frac{1}{r( t )}\Delta t} = t^2-T^2 . $

下面考察是否满足(3.1)式.因为对任意取定的常数$ M\in ( 0, \ 1 ], $有

$ \begin{eqnarray*} & &\limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_1^t{\left[ s\sigma ^8\left( s \right) \left( \frac{1-\frac{\left( \tau ^{-1}\left( \sigma \left( s \right) \right) \right) ^2-1}{\left( \tau ^{-1}\left( \sigma \left( s \right) \right) \right) ^2\left( \sigma \left( s \right) +1 \right)}}{3\left( \frac{\left( \sigma \left( s \right) \right) ^2}{\tau \left( \sigma \left( s \right) \right) -1} \right) ^3} \right) ^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{4M^{1/3}s\left( \sigma \left( s \right) +s \right)} \right] \Delta}s \\ & \geq &\limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_1^t\left[{\frac{1}{\sqrt[3]{81}}s\sigma ^8\left( s \right) \left( \frac{\tau \left( \sigma \left( s \right) \right) -1}{\sigma ^2\left( s \right)} \right) ^4\left( 1-\frac{1}{\sigma \left( s \right) +1} \right)}^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{4M^{1/3}s\left( \sigma \left( s \right) +s \right)}\right]\ \Delta s \\ & = &\limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_1^t{\left[\frac{1}{\sqrt[3]{81}}s\left( \tau \left( \sigma \left( s \right) \right) -1 \right) ^4\left( 1-\frac{1} {\sigma \left( s \right) +1} \right) ^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{4M^{1/3}s\left( \sigma \left( s \right) +s \right)}\right]\Delta s} = \infty. \end{eqnarray*} $

所以, (3.1)式满足.因此, 根据定理3.1知, 方程(4.5)是振动的.

例4.2  考虑下列带超线性中立项的二阶动力方程的振动性

(4.6) $ \begin{equation} \left( \sigma ( t ) t\left( x( t ) +\left( \frac{\tau ^3( t )x( \tau ( t ) )}{\tau \left( t \right) -1} \right) ^3 \right) ^{\Delta} \right) ^{\Delta}+\sigma ^{15}( t )\left| x^5\left( \delta ( t ) \right) \right|x( \delta ( t ) ) = 0, \ \ t\in I_1, \end{equation} $

其中$ {\Bbb T} $是一个满足$ (4.1) $和$ (4.3) $式的时间尺度, $ I_1 = [ 1, \ \infty )_{{\Bbb T}};\ $$ \tau(t), \ \delta(t) $满足$ (C_4). $

这里取$ \eta ( t ) = 1, \ \eta^{\Delta}( t ) = 0 . $经计算可知

$ Q_1( t ) >0, \ Q_2( t )>0, \ t\geq 1;\ \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{r ( t )} = }\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{\sigma ( t ) t}\Delta}t\leq \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{t^2}\Delta t}<\infty; $

$ R( t ) = \int_T^t{\frac{1}{\sigma ( t ) t}\Delta t} = \frac{1}{T}-\frac{1}{t}, \ A( t ) = \int_t^{\infty}{\frac{1}{\sigma ( t ) t}}\Delta t = \frac{1}{t}. $

同样地, 下面要考察是否满足(3.1)和(3.11)式.首先, 对任意给定的常数$ L\in ( 0, 1 ], $有

$ \begin{eqnarray*} & &\limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_1^t{\left[ \sigma ^{15}\left( \sigma ( s ) \right )\left( \frac{1-\frac{\tau ^{-1}\left( \sigma ( s ) \right) -1}{ \sigma^2 ( s ) \tau ^{-1}\left( \sigma ( s ) \right)}}{3\big( \frac{\tau ^3\left( \sigma ( s ) \right)} {\tau\left( \sigma ( s ) \right) -1} \big)^3} \right) ^2 \right] \Delta s} \\ & \geq &\limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_1^t{\left[ \sigma^{15} \left( \sigma(s)\right) \left( \frac{\tau \left( \sigma ( s ) \right) -1}{\tau ^3 \left( \sigma(s)\right)} \right) ^6\left( \frac{1-\frac{1}{\sigma^2 ( s )}}{3} \right) ^2 \right] \Delta s} \\ & = &\limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_1^t{\left[ \frac{1}{9}\left( 1-\frac{1}{\sigma^2(s)} \right) \left( \frac{\sigma \left( \sigma ( s ) \right)}{\tau \left( \sigma ( s ) \right)} \right) ^{15}\left( \frac{\left( \tau \left( \sigma ( s ) \right) -1 \right) ^2}{\tau \left( \sigma ( s ) \right)} \right) ^3 \right] \Delta s} = \infty, \end{eqnarray*} $

其次, 又有

$ \begin{eqnarray*} & &\limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_1^t{\left[ \sigma^{15}(s) \left( \frac{1-\frac{s-1}{s^3}}{3\big( \frac{ \tau^3 (s)}{\tau ( s ) -1} \big) ^3} \right) ^2\frac{1}{s\sigma ( s )}-\frac{1}{4Ls} \right] \Delta s} \\ & \geq &\limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_1^t{\left[ \sigma ^{15}( s )\left( \frac{1-\frac{1}{s^3}}{3} \right) ^2\left( \frac{\tau ( s ) -1}{\tau^3(s)} \right) ^6\frac{1}{s\sigma ( s )}-\frac{1}{4Ls} \right] \Delta s} \\ & = &\limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_1^t{\left[ \frac{\sigma ^2( s )}{9}\left( 1-\frac{1}{s^3} \right) ^2\left( \frac{\sigma ( s )}{s} \right) \left( \frac{\sigma ( s )}{\tau ( s )} \right) ^{12}\left( 1-\frac{1}{\tau ( s )} \right) ^6-\frac{1}{4Ls} \right] \Delta s} \\ & \geq &\limsup\limits_{t\rightarrow \infty}\int_1^t{\frac{4Ls\sigma ^2( s ) \left( 1-\frac{1}{s^3} \right) ^2 \big( 1-\frac{1}{\tau ( s)}\big) ^6-9}{36Ls}}\Delta s = \infty. \end{eqnarray*} $

故(3.1)和(3.11)式满足, 所以根据定理3.3知, 方程(4.6)是振动的.

显而易见, 文献[1-25]中的所有定理都无法判定二阶动力方程(4.5)和(4.6)的振动性.