本文研究具分数阶扩散Magnetohydrodynamics-Boussinesq(MHD-Boussinesq)系统

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} u_t+u\cdot\nabla u+\nabla p+\Lambda^{2\alpha}u = h\cdot\nabla h+\rho e_n, \\ h_t+u\cdot\nabla h-h\cdot\nabla u+\Lambda^{2\beta}h = 0, \\ \rho_t+u\cdot\nabla\rho+\Lambda^{2\gamma}\rho = 0, \\ {\rm div} u = {\rm div} h = 0, \\ ( u, h, \rho)(x, 0) = ( u_0, h_0, \rho_0), \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中$ (x, t)\in{{\Bbb R}} ^n\times {{\Bbb R}} ^+ $ ($ n\geq 2 $), $ u = u(x, t) $和$ h = h(x, t) $分别表示速度场和磁场, $ p = p(x, t) $和$ \rho = \rho(x, t) $分别表示压力和温度. $ \alpha\geq 0 $, $ \beta\geq 0 $及$ \gamma\geq0 $是实参数, 并且$ e_n = (0, \cdot\cdot\cdot, 1) $.通过傅里叶变换定义分数阶拉普拉斯算子$ \Lambda = (-\Delta)^{\frac{1}{2}} $, 如下:

$ \widehat{\Lambda^{\alpha} f}(\xi) = |\xi|^{\alpha}\widehat{f}(\xi), \ \forall \ \alpha\geq 0. $

当流体不受温度的影响, 即$ \rho = 0 $时, 系统(1.1)退化为广义的MHD方程.关于广义MHD方程的适定性, 已有许多研究和成果.对于二维的情形, Tran等^[1]证明了在三种情况下有全局光滑解:$ \alpha\geq\frac{1}{2}, \ \beta\geq1 $; $ 0\leq\alpha<\frac{1}{2}, \ 2\alpha+\beta>2 $; $ \alpha\geq2, \ \beta = 0 $.在$ 0\leq\alpha<\frac{1}{2} $, $ \beta\geq1 $及$ 3\alpha+2\beta>3 $的条件下, Jiu-Zhao^[2]得到了一个全局正则解.对于三维情形, 当$ \alpha = \beta = 1 $时, Xu等^[3]研究了局部经典解的正则性准则; Wang-Wang^[4]证明了在空间$ \chi^{-1} $中Cauchy问题全局解的存在性.对于$ n $维情形, Wu^[5]证明了只要满足条件$ \alpha\geq\frac{1}{2}+\frac{n}{4} $和$ \beta\geq\frac{1}{2}+\frac{n}{4} $, 则解具有全局正则性.

当流体不受洛伦兹力的影响, 即$ h = 0 $时, 系统(1.1)退化为Boussinesq方程.为了研究Boussinesq方程的适定性, 许多学者做了大量的工作.对于二维情形, Hou-Li^[6]证明了在$ \alpha = 1, \ \gamma = 0 $的情况下解的全局正则性. Chae^[7]在$ \alpha = 1, \ \gamma = 0 $和$ \alpha = 0, \ \gamma = 1 $情况下也得到了相同的结果.对于三维情形, 当$ \alpha\geq\frac{1}{2}+\frac{n}{4}, \ \gamma = 0 $时, Ye^[8]和Yamazaki-Pullman^[9]证明了全局解的存在性.

关于MHD-Boussinesq方程解的全局适定性, 最近也有一些研究.对于二维情形, 可参见文献[10, 11].对于三维情形, 在三种情况下: $ \alpha = \beta = \gamma = 1 $; $ \alpha = \beta = 1, \ \gamma = 0 $; $ \alpha = \beta = \gamma = 0 $, Larios - Pei^[12]建立了在Sobolev空间中解的局部适定性. Liu等^[13]证明了动量方程中带有非线性阻尼项的强解的全局适定性.对于更多分数阶扩散的流体动力学方程的正则性结果, 可参见文献[14-20].

我们的主要目标是在$ \alpha\geq\frac{1}{2}+\frac{n}{4} $, $ \alpha+\beta\geq 1+\frac{n}{2} $及$ \alpha+\gamma\geq\frac{n}{2} $情况下, 利用系统(1.1)的特殊结构和能量估计方法, 研究解的全局存在性和唯一性.

该文的主要结果陈述如下.

定理2.1  假设初值满足$ (u_0, h_0, \rho_0) \in H^s( {\Bbb R} ^ n ) $且$ {\rm div} u_0 = {\rm div} h_0 = 0 $, 其中$ s\geq 1, \ n\geq 2 $.若

(2.1) $ \begin{equation} \alpha\geq\frac{1}{2}+\frac{n}{4}, \ \alpha+\beta\geq 1+\frac{n}{2}, \ \alpha+\gamma\geq\frac{n}{2}, \end{equation} $

则系统(1.1)存在唯一全局解$ (u, h, \rho) $, 满足对任意$ T>0 $, 有

(2.2) $ \begin{eqnarray} &&(u, h, \rho)\in L^{\infty}(0, T;H^s( {\Bbb R} ^ n )), \ u\in L^2(0, T;H^{s+\alpha}({\Bbb R} ^ n)), \\ && h\in L^2(0, T;H^{s+\beta}({\Bbb R} ^ n)), \ \rho\in L^2(0, T;H^{s+\gamma}({\Bbb R} ^ n)). \end{eqnarray} $

注2.1  当$ \rho = 0 $时, 系统(1.1)退化为广义MHD方程, Wu^[5]证明了$ \alpha\geq\frac{1}{2}+\frac{n}{4}, $$ \beta\geq\frac{1}{2}+\frac{n}{4} $时并且初值满足$ (u_0, h_0) \in H^s (s\geq\max\{2\alpha, 2\beta\}) $, 则解具有全局正则性.这里, 假设$ (u_0, h_0) \in H^s (s\geq1) $, 当$ \alpha\geq\frac{1}{2}+\frac{n}{4}, \ \alpha+\beta\geq 1+\frac{n}{2} $时, 建立了广义MHD方程的全局适定性, 推广了Wu^[5]的结果.

本节将证明定理2.1, 并将证明分为两部分:全局存在性和唯一性.为此, 首先建立解的先验估计$ \|(u, h, \rho)\|_{H^s} \ (s\geq1) $.

命题3.1  假设$ (u, h, \rho) $是系统(1.1)的解, 则对$ s\geq1 $和$ t\in [0, T] $, 有

(3.1) $ \begin{eqnarray} &&\|\Lambda^s{u(t)}\|^2_{L^2} + \|\Lambda^s{h(t)}\|^2_{L^2} + \|\Lambda^s{\rho(t)}\|^2_{L^2} + \int_{0}^{t}(\|\Lambda^{\alpha+s}u(\tau)\|^2_{L^2} +\|\Lambda^{\beta+s}h(\tau)\|^2_{L^2} {}\\ &&+\|\Lambda^{\gamma+s}\rho(\tau)\|^2_{L^2}){\rm d}\tau \leq C. \end{eqnarray} $

证  证明将分为三个步骤: $ H^0 $估计, $ H^1 $估计及$ H^s \ (s>1) $估计.

步骤1 ($ H^0 $估计)  分别将(1.1)$ _1 $乘以$ u $, (1.1)$ _2 $乘以$ h $, (1.1)$ _3 $乘以$ \rho $, 然后在$ {\Bbb R} ^ n $中积分, 并且考虑到$ {\rm div} u = {\rm div} h = 0 $, 可以得到

(3.2) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|^2_{L^2}+\|h\|^2_{L^2}+\|\rho\|^2_{L^2}) + \|\Lambda^{\alpha}u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\beta}h\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\gamma}\rho\|^2_{L^2} \\ & = &\int_{{\Bbb R} ^ n}h\cdot\nabla h\cdot u \ {\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^ n}\rho e_n\cdot u \ {\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^ n} h\cdot\nabla u\cdot h \ {\rm d}x. \end{eqnarray} $

先将第一项和第三项一起处理, 得

(3.3) $ \begin{eqnarray} &&\int_{{\Bbb R} ^ n}h\cdot\nabla h\cdot u\ {\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^ n} h\cdot\nabla u\cdot h\ {\rm d}x\\ & = &\int_{{\Bbb R} ^ n}h\cdot\nabla h\cdot u\ {\rm d}x-\int_{{\Bbb R} ^ n}{\rm div}(h\otimes h)\cdot u\ {\rm d}x \\ & = &\int_{{\Bbb R} ^ n}h\cdot\nabla h\cdot u \ {\rm d}x-\int_{{\Bbb R} ^ n}h\cdot\nabla h\cdot u \ {\rm d}x = 0. \end{eqnarray} $

注意到

(3.4) $ \begin{equation} \int_{{\Bbb R} ^ n}\rho e_n\cdot u\ {\rm d}x \leq \|\rho\|_{L^2}\|u\|_{L^2}\leq\frac{1}{2}\|\rho\|^2_{L^2}+\frac{1}{2}\|u\|^2_{L^2}. \end{equation} $

将(3.3)式和(3.4)式代入(3.2)式, 推出

(3.5) $ \begin{eqnarray} && \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|^2_{L^2}+\|h\|^2_{L^2}+\|\rho\|^2_{L^2})+(\|\Lambda^{\alpha}u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\beta}h\|^2_{L^2} +\|\Lambda^{\gamma}\rho\|^2_{L^2}){}\\ &\leq&\frac{1}{2}(\|\rho\|^2_{L^2}+\|u\|^2_{L^2}). \end{eqnarray} $

由(3.5)式和Gronwall不等式, 得

(3.6) $ \begin{eqnarray} &&\|u(t)\|^2_{L^2}+\|h(t)\|^2_{L^2}+\|\rho(t)\|^2_{L^2}{}\\ &&+2\int_{0}^{t}(\|\Lambda^{\alpha}u(\tau)\|^2_{L^2} +\|\Lambda^{\beta}h(\tau)\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\gamma}\rho(\tau)\|^2_{L^2}) {\rm d}\tau\leq C. \end{eqnarray} $

步骤2 ($ H^1 $估计)  分别将(1.1) $ _1 $乘以$ \Delta u $, (1.1) $ _2 $乘以$ \Delta h $, 然后在$ {\Bbb R} ^ n $中积分, 可以得到

(3.7) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|\nabla h\|^2_{L^2})+\|\Lambda^{\alpha+1}u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\beta+1}h\|^2_{L^2}\\ & = &-\int_{{\Bbb R} ^ n}\partial_k u^i\partial_i u^j\partial_k u^j\ {\rm d}x-\int_{{\Bbb R} ^ n}(h\cdot\nabla h)\cdot\Delta u\ {\rm d}x-\int_{{\Bbb R} ^ n}\rho e_n\cdot\Delta u \ {\rm d}x\\ &&-\int_{{\Bbb R} ^ n}\partial_k u^i\partial_i h^j\partial_k h^j\ {\rm d}x-\int_{{\Bbb R} ^ n}(h\cdot\nabla u)\cdot\Delta h\ {\rm d}x\\ &: = &I_1+I_2+I_3+I_4+I_5. \end{eqnarray} $

为了估计$ I_1 $, 需要用到Gagliardo-Nirenberg不等式:

(3.8) $ \begin{eqnarray} \|\nabla u\|_{L^3}\leq C\|\nabla u\|^a_{L^2}\|\Lambda^\alpha u\|^b_{L^2}\|\Lambda^{\alpha+1} u\|^c_{L^2}, \end{eqnarray} $

其中

$ a = 1-\frac{1}{3\alpha}\big(1+\frac{n}{2}\big), \ b = \frac{1}{3}, \ c = \frac{1}{3\alpha}\big(1-\alpha+\frac{n}{2}\big). $

由(3.8)式, Hölder和Young不等式, 得

(3.9) $ \begin{eqnarray} I_1&\leq& \|\nabla u\|^3_{L^3}\leq C\|\nabla u\|^{3a}_{L^2}\|\Lambda^\alpha u\|^{3b}_{L^2}\|\Lambda^{\alpha+1}u\|^{3c}_{L^2}\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{\alpha+1}u\|^2_{L^2}+C\|\Lambda^\alpha u\|^{\frac{4\alpha}{6\alpha-2-n}}_{L^2}\|\nabla u\|^2_{L^2}. \end{eqnarray} $

下面在$ \beta<\frac{n}{2} $和$ \beta>\frac{n}{2} $两种情况下估计$ I_4 $.注意到$ \beta = \frac{n}{2} $的情况可以通过用$ \beta<\frac{n}{2} $和$ \beta>\frac{n}{2} $的结果进行插值得到(见下面(3.15)式).后面类似的情况可以同样处理.

当$ \beta<\frac{n}{2} $时, 注意到$ \alpha+\beta\geq 1+\frac{n}{2} $, 有

(3.10) $ \begin{eqnarray} I_4&\leq& C\|\nabla h\|_{L^2}\|\nabla u\|_{L^{\frac{n}{\beta}}}\|\nabla h\|_{L^{\frac{2n}{n-2\beta}}}\\ &\leq& C\|\nabla h\|_{L^2}\|\Lambda^{\frac{n}{2}-\beta+1}u\|_{L^2}\|\Lambda^{\beta+1} h\|_{L^2}\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{\beta+1} h\|^2_{L^2}+C(\|u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha}u\|^2_{L^2})\|\nabla h\|^2_{L^2}. \end{eqnarray} $

当$ \beta>\frac{n}{2} $时, 有

(3.11) $ \begin{eqnarray} I_4&\leq &C\|\nabla h\|_{L^2}\|\nabla u\|_{L^2}\|\nabla h\|_{L^{\infty}}\\&\leq & C\|\nabla h\|_{L^2}(\|u\|_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha} u\|_{L^2})(\|h\|_{L^2}+\|\Lambda^{\beta+1}h\|_{L^2})\\&\leq &\varepsilon\|\Lambda^{\beta+1}h\|^2_{L^2}+C\|h\|^2_{L^2}+C(\|u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha}u\|^2_{L^2})\|\nabla h\|^2_{L^2}. \end{eqnarray} $

对于$ I_2+I_5 $的估计和$ I_4 $类似.事实上, 因为$ {\rm div} u = {\rm div} h = 0 $, 有

(3.12) $ \begin{eqnarray} I_2+I_5& = &-\int_{{\Bbb R} ^ n}(h^i\partial_i h^j)\partial_k\partial_ku^j\ {\rm d}x- \int_{{\Bbb R} ^ n}(h^i\partial_i u^j)\partial_k\partial_k h^j\ {\rm d}x\\ & = &\int_{{\Bbb R} ^ n}\partial_k(h^i\partial_i h^j)\partial_k u^j\ {\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^ n} \partial_k(h^i\partial_i u^j)\partial_k h^j\ {\rm d}x\\ & = &\int_{{\Bbb R} ^ n}\partial_k h^i\partial_i h^j\partial_k u^j\ {\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^ n}\partial_k h^i\partial_i u^j\partial_k h^j\ {\rm d}x\\ &\leq &\varepsilon\|\Lambda^{\beta+1}h\|^2_{L^2}+C\|h\|^2_{L^2}+C(\|u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha}u\|^2_{L^2})\|\nabla h\|^2_{L^2}. \end{eqnarray} $

对于$ I_3 $, 若$ \alpha<1 $, 注意到$ \alpha+\gamma\geq\frac{n}{2} $, 有

(3.13) $ \begin{eqnarray} I_3& = &-\int_{{\Bbb R} ^ n}\Lambda^{1-\alpha}(\rho e_n)\cdot\Lambda^{\alpha-1}\Delta u\ {\rm d}x\\ &\leq & C\|\Lambda^{1-\alpha}\rho\|_{L^2}\|\Lambda^{\alpha-1}\Delta u\|_{L^2} \\ {} & \leq& C(\|\rho\|_{L^2} +\|\Lambda^{\gamma}\rho\|_{L^2})\|\Lambda^{\alpha+1} u\|_{L^2}\\ &\leq &\varepsilon\|\Lambda^{\alpha+1} u\|^2_{L^2}+C(\|\rho\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\gamma}\rho\|^2_{L^2}). \end{eqnarray} $

另一方面, 若$ \alpha\geq1 $, 有

(3.14) $ \begin{eqnarray} I_3&\leq &C\|\rho\|_{L^2}\|\Delta u\|_{L^2} \leq C\|\rho\|_{L^2}\|u\|^{\frac{\alpha-1}{\alpha+1}} _{L^2}\|\Lambda^{\alpha+1}u\|^{\frac{2}{\alpha+1}}_{L^2}\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{\alpha+1}u\|^2_{L^2}+C(\|\rho\|^2_{L^2}+\|u\|^2_{L^2}). \end{eqnarray} $

将(3.9)–(3.14)式代入(3.7)式, 得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u(t)\|^2_{L^2}+\|\nabla h(t)\|^2_{L^2})+\| \Lambda^{\alpha+1}u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\beta+1}h\|^2_{L^2}\\ &\leq & C(\|\Lambda^{\alpha}u\|^{\frac{4\alpha}{6\alpha-2-n}}_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha}u\|^2_{L^2}+\|u\|^2_{L^2}) (\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|\nabla h\|^2_{L^2})\\ & &+C(\|u\|^2_{L^2}+\|h\|^2_{L^2}+\|\rho\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\gamma}\rho\|^2_{L^2}). \end{eqnarray*} $

由上式, Gronwall不等式, $ \alpha\geq\frac{1}{2}+\frac{n}{4} $以及(3.6)式, 推出

(3.15) $ \begin{eqnarray} \|\nabla u(t)\|^2_{L^2}+\|\nabla h(t)\|^2_{L^2}+\int_{0}^{t}(\|\Lambda^{\alpha+1}u(\tau)\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\beta+1}h(\tau)\|^2_{L^2}){\rm d}\tau\leq C. \end{eqnarray} $

将(1.1)$ _3 $式乘以$ \Delta \rho $, 在$ {\Bbb R} ^ n $中积分, 得

(3.16) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\rho\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\gamma+1}\rho\|^2_{L^2} = -\int_{{\Bbb R} ^ n}\partial_k u^i\partial_i \rho^j\partial_k\rho^j\ {\rm d}x: = M_1. \end{eqnarray} $

由Hölder不等式, Sobolev嵌入定理, Young不等式和$ \alpha+\gamma\geq\frac{n}{2} $, 可得:若$ \gamma<\frac{n}{2} $, 则

(3.17) $ \begin{eqnarray} M_1&\leq &C\|\nabla\rho\|_{L^2}\|\nabla u\|_{L^{\frac{n}{\gamma}}}\|\nabla\rho\|_{L^{\frac{2n}{n-2\gamma}}}\\ &\leq& C\|\nabla\rho\|_{L^2}\|\Lambda^{\frac{n}{2}-\gamma+1}u\|_{L^2}\|\Lambda^{\gamma+1}\rho\|_{L^2}\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{\gamma+1}\rho\|^2_{L^2}+C(\|u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha+1}u\|^2_{L^2})\|\nabla\rho\|^2_{L^2}. \end{eqnarray} $

若$ \gamma>\frac{n}{2} $, 则有

(3.18) $ \begin{eqnarray} M_1&\leq& C\|\nabla\rho\|_{L^2}\|\nabla u\|_{L^2}\|\nabla\rho\|_{L^{\infty}}\\&\leq &C\|\nabla\rho\|_{L^2}(\|u\|_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha+1}u\|_{L^2})(\|\rho\|_{L^2}+\|\Lambda^{\gamma+1} \rho\|_{L^2})\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{\gamma+1}\rho\|^2_{L^2}+C\|\rho\|^2_{L^2}+C(\|u\|^2_{L^2} +\|\Lambda^{\alpha+1}u\|^2_{L^2})\|\nabla\rho\|^2_{L^2}. \end{eqnarray} $

因此, 推出

(3.19) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\rho\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\gamma+1}\rho\|^2_{L^2}\leq C(\|u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha+1}u\|^2_{L^2})\|\nabla\rho\|^2_{L^2}+C\|\rho\|^2_{L^2}. \end{eqnarray} $

由Gronwall不等式, (3.6)式和(3.15)式, 有

(3.20) $ \begin{eqnarray} \|\nabla\rho(t)\|^2_{L^2}+\int_{0}^{t}\|\Lambda^{\gamma+1}\rho(\tau)\|^2_{L^2}{\rm d}\tau\leq C. \end{eqnarray} $

至此完成了当$ s = 1 $时命题3.1的证明.

步骤3 ($ H^s $估计$ (s>1) $)  将算子$ \Lambda^s $作用到(1.1)$ _1 $, (1.1)$ _2 $和(1.1)$ _3 $式, 再分别和$ \Lambda^s u $, $ \Lambda^s h $, $ \Lambda^s\rho $作$ L^2 $内积, 合并后有

(3.21) $ \begin{eqnarray} \label{2.21} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\Lambda^s u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^s h\|^2_{L^2}+\|\Lambda^s\rho\|^2_{L^2}) +\|\Lambda^{s+\alpha}u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{s+\beta}h\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{s+\gamma}\rho\|^2_{L^2}\\ & = &-\int_{{\Bbb R} ^ n}\Lambda^s(u\cdot\nabla u)\cdot\Lambda^s u\ {\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^ n}\Lambda^s(h\cdot\nabla h)\cdot\Lambda^s u\ {\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^ n}\Lambda^s(\rho e_n)\cdot\Lambda^s u\ {\rm d}x\\ &&-\int_{{\Bbb R} ^ n}\Lambda^s(u\cdot\nabla h)\cdot\Lambda^s h\ {\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^ n} \Lambda^s(h\cdot\nabla u)\cdot\Lambda^s h\ {\rm d}x- \int_{{\Bbb R} ^ n}\Lambda^s(u\cdot\nabla \rho)\Lambda^s \rho\ {\rm d}x\\ &: = &K_1+K_2+K_3+K_4+K_5+K_6. \end{eqnarray} $

对于$ K_3 $, 有

(3.22) $ \begin{equation} K_3\leq\|\Lambda^s \rho\|_{L^2}\|\Lambda^s u\|_{L^2}\leq C(\|\Lambda^s \rho\|^2_{L^2}+\|\Lambda^s u\|^2_{L^2}). \end{equation} $

为了估计$ K_1 $, 需要下面的Kato-Ponce交换子估计:

(3.23) $ \begin{eqnarray} \|[\Lambda^s, f]g\|_{L^r}\leq C(\|\nabla f\|_{L^{p_1}}\|\Lambda^{s-1} g\|_{L^{q_1}}+\|\Lambda^s f\|_{L^{p_2}}\|g\|_{L^{q_2}}), \end{eqnarray} $

其中$ \frac{1}{r} = \frac{1}{p_i}+\frac{1}{q_i} $, 并且$ r, p_i, q_i \in[1, \infty] $, $ i = 1, 2 $.

由Hölder不等式, (3.23)式, Young不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式, 可以得到

(3.24) $ \begin{eqnarray} K_1& = &-\int_{{\Bbb R} ^ n}[\Lambda^s, u\cdot\nabla ] u\cdot\Lambda^s u\ {\rm d}x\\&\leq &C\|\nabla u\|_{L^2}\|\Lambda^s u\|^2_{L^4} \\ & \leq &{} C\|\nabla u\|_{L^2}\|\Lambda^s u\|^{\frac{4\alpha-n}{2\alpha}}_{L^2}\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^{\frac{n}{2\alpha}}_{L^2}\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{L^2}+C\|\nabla u\|^{\frac{4\alpha}{4\alpha-n}}_{L^2}\|\Lambda^s u\|^2_{L^2}. \end{eqnarray} $

下面将$ K_4 $的估计分成两种情况: $ \alpha<\frac{n}{2} $, $ \beta<\frac{n}{2} $和$ \alpha>\frac{n}{2} $, $ \beta>\frac{n}{2} $.当$ \alpha<\frac{n}{2} $, $ \beta<\frac{n}{2} $时, 由(3.23)式, $ {\rm div} u = 0 $和$ \alpha+\beta\geq1+\frac{n}{2} $, 有

$ \begin{eqnarray} K_4& = &-\int_{{\Bbb R} ^ n}[\Lambda^s, u\cdot\nabla]h\cdot\Lambda^s h\ {\rm d}x\\&\leq & C\|\Lambda^s u\|_{L^{\frac{2n}{n-2\alpha}}}\|\nabla h\|_{L^2}\|\Lambda^s h\|_{L^{\frac{n}{\alpha}}}+ C\|\Lambda^s h\|_{L^2}\|\nabla u\|_{L^{\frac{n}{\beta}}}\|\Lambda^s h\|_{L^{\frac{2n}{n-2\beta}}}\\ &\leq &C\|\Lambda^{s+\alpha} u\|_{L^2}\|\nabla h\|_{L^2}\|\Lambda^s h\|^{\frac{2\alpha+2\beta-n}{2\beta}}_{L^2}\|\Lambda^{s+\beta} h\|^{\frac{n-2\alpha}{2\beta}}_{L^2} \\&&+C\|\Lambda^s h\|_{L^2}\|\Lambda^{\frac{n}{2}-\beta+1} u\|_{L^2}\|\Lambda^{s+\beta} h\|_{L^2} \\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{L^2}+\varepsilon\|\Lambda^{s+\beta} h\|^2_{L^2} +C\big(\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha+1}u\|^2_{L^2} +\|\nabla h\|^{\frac{4\beta}{2\alpha+2\beta-n}}_{L^2}\big)\|\Lambda^s h\|^2_{L^2}. \end{eqnarray} $

当$ \alpha>\frac{n}{2} $, $ \beta>\frac{n}{2} $时, 有

$ \begin{eqnarray} K_4&\leq &C\|\Lambda^s u\|_{L^{\infty}}\|\nabla h\|_{L^2}\|\Lambda^s h\|_{L^2}+C\|\Lambda^s h\|_{L^2}\|\nabla u\|_{L^2}\|\Lambda^s h\|_{L^{\infty}}\\ &\leq &C\|\Lambda^s u\|^{\frac{2\alpha-n}{2\alpha}}_{L^2}\| \Lambda^{s+\alpha}u\|^{\frac{n}{2\alpha}}_{L^2}\|\nabla h\|_{L^2}\|\Lambda^s h\|_{L^2}\\ &&+C\|\Lambda^s h\|_{L^2}\|\nabla u\|_{L^2}(\|\nabla h\|_{L^2}+\|\Lambda^{s+\beta} h\|_{L^2})\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{L^2}+\varepsilon\|\Lambda^{s+\beta} h\|^2_{L^2} +C\|\Lambda^s u\|^2_{L^2}+C\|\nabla h\|^2_{L^2}\\ &&+C(\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|\nabla h\|^2_{L^2} )\|\Lambda^s h\|^2_{L^2}. \end{eqnarray} $

将两种情况合并后可得

(3.25) $ \begin{eqnarray} K_4&\leq&\varepsilon\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{L^2}+\varepsilon\|\Lambda^{s+\beta}h\|^2_{L^2} +C\|\Lambda^s u\|^2_{L^2}+C\|\nabla h\|^2_{L^2}\\ &&+C\big(\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|\nabla h\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha+1} u\|^2_{L^2}+\|\nabla h\|^{\frac{4\beta}{2\alpha+2\beta-n}}_{L^2}\big)\|\Lambda^s h\|^2_{L^2}. \end{eqnarray} $

类似于$ K_4 $的推导, 有

(3.26) $ \begin{eqnarray} K_6&\leq&\varepsilon\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{L^2}+\varepsilon\|\Lambda^{s+\gamma}\rho\|^2_{L^2} +C\|\Lambda^s u\|^2_{L^2}+C\|\nabla \rho\|^2_{L^2}\\ &&+C\big(\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|\nabla \rho\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha+1} u\|^2_{L^2}+\|\nabla\rho\|^{\frac{4\gamma}{2\alpha+2\gamma-n}} _{L^2}\big)\|\Lambda^s \rho\|^2_{L^2}. \end{eqnarray} $

最后, 将$ K_2 $和$ K_5 $一起处理, 得

$ \begin{eqnarray} K_2+K_5& = &\int_{{\Bbb R} ^ n}\Lambda^s({\rm div}{(h\otimes h)})\cdot\Lambda^s u\ {\rm d}x+ \int_{{\Bbb R} ^ n}\Lambda^s(h\cdot\nabla u)\cdot\Lambda^s h\ {\rm d}x\\ & = &-\int_{{\Bbb R} ^ n}\Lambda^s(h\cdot h)\cdot\Lambda^s \nabla u\ {\rm d}x+ \int_{{\Bbb R} ^ n}\Lambda^s(h\cdot\nabla u)\cdot\Lambda^s h\ {\rm d}x. \end{eqnarray} $

注意到$ \alpha+\beta\geq1+\frac{n}{2} $, 若$ \alpha<1+\frac{n}{2} $且$ \beta<\frac{n}{2} $, 有

$ \begin{eqnarray*} K_2+K_5&\leq &C\|h\|_{L^{\frac{n}{\alpha-1}}}\|\Lambda^s\nabla u\|_{L^{\frac{2n}{2-2\alpha+n}}} \|\Lambda^s h\|_{L^2}+C\|\Lambda^s h\|_{L^{\frac{2n}{n-2\beta}}}\|\nabla u\|_{L^{\frac{n}{\beta}}} \|\Lambda^s h\|_{L^2}\\ &\leq &C\|h\|_{L^{\frac{n}{\alpha-1}}}\|\Lambda^{s+\alpha}u\|_{L^2}\|\Lambda^s h\|_{L^2}+C\|\Lambda^{s+\beta}h\|_{L^2}\|\Lambda^{\frac{n}{2}-\beta+1} u\|_{L^2}\|\Lambda^s h\|_{L^2}\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{s+\alpha}u\|^2_{L^2}+\varepsilon\|\Lambda^{s+\beta}h\|_{L^2}\\ &&+ C\big(\|u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha+1} u\|^2_{L^2}+\| h\|^2_{L^2} +\|\Lambda^{\beta+1} h\|^2_{L^2}\big)\|\Lambda^s h\|^2_{L^2}. \end{eqnarray*} $

若$ \alpha>1+\frac{n}{2} $且$ \beta>\frac{n}{2} $, 有

$ \begin{eqnarray*} K_2+K_5&\leq &C\|h\|_{L^2}\|\Lambda^s\nabla u\|_{L^\infty}\|\Lambda^s h\|_{L^2}+C\|\Lambda^s h \|_{L^\infty}\|\nabla u\|_{L^2}\|\Lambda^s h\|_{L^2}\\&\leq &C\|h\|_{L^2}\|\Lambda^s u\|^{\frac{2\alpha-n-2}{2\alpha}}_{L^2}\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^{\frac{n+2}{2\alpha}}_{L^2}\|\Lambda^s h\|_{L^2}\\ &&+C(\|\nabla h\|_{L^2}+\|\Lambda^{s+\beta} h\|_{L^2})\|\nabla u\|_{L^2}\|\Lambda^s h\|_{L^2}\\&\leq &\varepsilon\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{L^2}+\varepsilon\|\Lambda^{s+\beta} h\|^2_{L^2} +C(\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|h\|^2_{L^2})\|\Lambda^s h\|^2_{L^2} \\ &&+C\|\Lambda^s u\|^2_{L^2}+C\|\nabla h\|^2_{L^2}. \end{eqnarray*} $

将上面两种情况合并后可得

(3.27) $ \begin{eqnarray} K_2+K_5&\leq&\varepsilon\|\Lambda^{s+\alpha} u\|^2_{L^2}+\varepsilon\|\Lambda^{s+\beta} h\|^2_{L^2} +C\|\Lambda^s u\|^2_{L^2}+C\|\nabla h\|^2_{L^2}\\ &&+C\big(\|u\|^2_{L^2}+\| h\|^2_{L^2}+\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha+1} u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\beta+1} h\|^2_{L^2}\big)\|\Lambda^s h\|^2_{L^2}. \end{eqnarray} $

将(3.22)式, (3.24)–(3.27)式代入(3.21)式, 得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\Lambda^s u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^s h\|^2_{L^2}+\|\Lambda^s\rho\|^2_{L^2}) +\|\Lambda^{s+\alpha}u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{s+\beta}h\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{s+\gamma}\rho\|^2_{L^2}\\ &\leq& C\big(\| u\|^2_{L^2}+\|h\|^2_{L^2}+\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|\nabla h\|^2_{L^2}+\|\nabla\rho\|^2_{L^2} +\|\nabla u\|^{\frac{4\alpha}{4\alpha-n}}_{L^2}\\ &&+\|\nabla h\|^{\frac{4\beta}{2\alpha+2\beta-n}}_{L^2}+\|\nabla\rho\|^{\frac{4\gamma} {2\alpha+2\gamma-n}}_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha+1} u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\beta+1}h\|^2_{L^2}+1\big)\\ &&\times(\|\Lambda^s u\|^2_{L^2}+\|\Lambda^s h\|^2_{L^2}+\|\Lambda^s\rho\|^2_{L^2})+C(\|\nabla h\|^2_{L^2}+\|\nabla\rho\|^2_{L^2}). \end{eqnarray*} $

最后, 由Gronwall不等式, (3.6), (3.15)和(3.20)式可以得到$ s>1 $时命题3.1的结论.

接下来证明定理2.1中解的唯一性, 即

命题3.2  令$ T>0 $.假设$ (u^{(1)}, h^{(1)}, \rho^{(1)}) $和$ (u^{(2)}, h^{(2)}, \rho^{(2)}) $是系统(1.1)的两个解, 满足

$ \begin{eqnarray*} &&(u^{(i)}, h^{(i)}, \rho^{(i)})\in L^{\infty}(0, T;H^1({\Bbb R} ^ n)), \ i = 1, 2, \\ &&(\Lambda^{\alpha+1} u^{(2)}, \Lambda^{\beta+1} h^{(2)}, \Lambda^{\gamma+1}\rho^{(2)})\in L^2(0, T;L^2({\Bbb R} ^ n)), \end{eqnarray*} $

则在$ {\Bbb R} ^ n \times(0, T) $上, 有

$ (u^{(1)}, h^{(1)}, \rho^{(1)}) = (u^{(2)}, h^{(2)}, \rho^{(2)}) . $

证  设$ p^{(1)} $和$ p^{(2)} $分别是与$ (u^{(1)}, h^{(1)}, \rho^{(1)}) $和$ (u^{(2)}, h^{(2)}, \rho^{(2)}) $相关的压力, 两个解的差$ (\tilde{u}, \tilde{h}, \tilde{\rho}) $定义为

$ \tilde{u} = u^{(1)}-u^{(2)}, \ \tilde{h} = h^{(1)}-h^{(2)}, \ \tilde{\rho} = \rho^{(1)}-\rho^{(2)}, \ \tilde{p} = p^{(1)}-p^{(2)}, $

满足

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lr} \tilde{u}_t+u^{(1)}\cdot\nabla\tilde{u}+\tilde{u}\cdot\nabla u^{(2)}+\nabla\tilde{p}+\Lambda^{2\alpha}\tilde{u} = h^{(1)}\cdot\nabla h^{(1)}-h^{(2)}\cdot\nabla h^{(2)}+\tilde{\rho}e_n, & \\ \tilde{h}_t+u^{(1)}\cdot\nabla\tilde{h}+\tilde{u}\cdot\nabla h^{(2)}-\tilde h\cdot\nabla u^{(1)}-h^{(2)}\cdot\nabla \tilde u+\Lambda^{2\beta}\tilde{h} = 0, & \\ \tilde{\rho}_t+u^{(1)}\cdot\nabla\tilde{\rho}+\tilde{u}\cdot\nabla\rho^{(2)}+\Lambda^{2\gamma}\tilde{\rho} = 0, & \\ {\rm div} {\tilde u} = {\rm div} {\tilde h} = 0, & \\ (\tilde{u}, \tilde{h}, \tilde{\rho})(x, 0) = 0. & \\ \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

将上面方程组的前三个方程分别与$ \tilde{u} $, $ \tilde{h} $和$ \tilde{\rho} $作$ L^2 $内积, 合并后可得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\tilde{u}(t)\|^2_{L^2}+\|\tilde{h}(t)\|^2_{L^2} +\|\tilde{\rho}(t)\|^2_{L^2})+\|\Lambda^{\alpha}\tilde{u}\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\beta}\tilde{h}\|^2_{L^2} +\|\Lambda^{\gamma}\tilde{\rho}\|^2_{L^2}\\ & = &-\int_{{\Bbb R} ^ n}\tilde{u}\cdot\nabla u^{(2)}\cdot\tilde{u}\ {\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^ n}(h^{(1)}\cdot\nabla h^{(1)}-h^{(2)}\cdot\nabla h^{(2)})\cdot\tilde{u}\ {\rm d}x\\ &&+\int_{{\Bbb R} ^ n}\tilde{\rho}e_n\cdot\tilde{u}\ {\rm d}x-\int_{{\Bbb R} ^ n} \tilde{u}\cdot\nabla h^{(2)}\cdot\tilde{h}\ {\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^ n}\tilde{h}\cdot\nabla u^{(1)}\cdot\tilde{h}\ {\rm d}x\\ &&+\int_{{\Bbb R} ^ n} h^{(2)}\cdot\nabla\tilde{u}\cdot\tilde{h}\ {\rm d}x-\int_{{\Bbb R} ^ n}\tilde{u}\cdot\nabla\rho^{(2)}\tilde{\rho}\ {\rm d}x\\ &: = &N_1+N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7, \end{eqnarray*} $

其中用到了

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{{\Bbb R} ^ n} u^{(1)}\cdot\nabla\tilde{u}\cdot\tilde{u}\ {\rm d}x = 0, \ \int_{{\Bbb R} ^ n} u^{(1)}\cdot\nabla\tilde{h}\cdot\tilde{h}\ {\rm d}x = 0, \\ &&\int_{{\Bbb R} ^ n} u^{(1)}\cdot\nabla\tilde{\rho}\cdot\tilde{\rho}\ {\rm d}x = 0, \ \int_{{\Bbb R} ^ n}\nabla\tilde{p}\cdot\tilde{u}\ {\rm d}x = 0. \end{eqnarray*} $

注意到

$ N_3\leq\|\tilde{\rho}\|_{L^2}\|{\tilde{u}}\|_{L^2}\leq C(\|\tilde{\rho}\|^2_{L^2}+\|{\tilde{u}}\|^2_{L^2}). $

由Hölder, Young和Gagliardo-Nirenberg不等式以及Sobolev嵌入定理, 有:若$ \alpha<\frac{n}{2} $, 则

$ \begin{eqnarray*} N_1&\leq&\|\tilde{u}\|_{L^{\frac{n}{\alpha}}}\|\nabla u^{(2)}\|_{L^{\frac{2n}{n-2\alpha}}} \|\tilde{u}\|_{L^2}\\&\leq &C\|\tilde{u}\|^{\frac{4\alpha-n}{2\alpha}}_{L^2}\|\Lambda^{\alpha} \tilde{u}\|^{\frac{n-2\alpha}{2\alpha}}_{L^2}\|\Lambda^{\alpha+1} u^{(2)}\|_{L^2}\|\tilde{u}\|_{L^2}\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{\alpha} \tilde u\|^2_{L^2}+C\|\Lambda^{\alpha+1} u^{(2)} \|^{\frac{4\alpha}{6\alpha-n}}_{L^2}\|\tilde{u}\|^2_{L^2}. \end{eqnarray*} $

若$ \alpha>\frac{n}{2} $, 则

$ \begin{eqnarray*} N_1&\leq&\|\tilde{u}\|_{L^2}\|\nabla u^{(2)}\|_{L^2}\|\tilde{u}\|_{L^{\infty}}\\ &\leq& C\|\tilde{u}\|_{L^2}\|\nabla u^{(2)}\|_{L^2}\|\tilde{u}\|^{\frac{2\alpha-n}{2\alpha}}_{L^2} \|\Lambda^{\alpha}\tilde{u}\|^{\frac{n}{2\alpha}}_{L^2}\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{\alpha}\tilde{u}\|^2_{L^2}+C\|\nabla u^{(2)}\|^{\frac{4\alpha}{4\alpha-n}}_{L^2}\|\tilde{u}\|^2_{L^2}. \end{eqnarray*} $

下面估计$ N_4 $.若$ \beta<\frac{n}{2} $, 注意到$ \alpha+\beta\geq1+\frac{n}{2} $, 有

$ \begin{eqnarray*} N_4&\leq& C\|\tilde{h}\|_{L^2}\|\nabla h^{(2)}\|_{L^{\frac{2n}{n-2\beta}}}\|\tilde{u}\|_{L^{\frac{n}{\beta}}}\\ &\leq &C\|\tilde{h}\|_{L^2}\|\Lambda^{\beta+1} h^{(2)}\|_{L^2}\|\tilde{u}\|^{\frac{2\alpha+2\beta-n}{2\alpha}} _{L^2}\|\Lambda^{\alpha}\tilde{u}\|^{\frac{n-2\beta}{2\alpha}}_{L^2}\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{\alpha}\tilde{u}\|^2_{L^2}+C\|\Lambda^{\beta+1}h^{(2)}\|^{\frac{4\alpha} {4\alpha+2\beta-n}}_{L^2}(\|\tilde{u}\|^2_{L^2}+\|\tilde{h}\|^2_{L^2}). \end{eqnarray*} $

若$ \beta>\frac{n}{2} $, 则

$ \begin{eqnarray*} N_4&\leq&\|\tilde{h}\|_{L^{\infty}}\|\tilde{u}\|_{L^2}\|\nabla h^{(2)}\|_{L^2}\\ &\leq &C\|\tilde{h} \|^{\frac{2\beta-n}{2\beta}}_{L^2}\|\Lambda^{\beta}\tilde{h}\|^{\frac{n}{2\beta}}_{L^2} \|\tilde{u}\|_{L^2}\|\nabla h^{(2)}\|_{L^2}\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{\beta}\tilde{h} \|^2_{L^2}+C\|\nabla h^{(2)}\|^{\frac{4\beta}{4\beta-n}}_{L^2}(\|\tilde{u}\|^2_{L^2}+\|\tilde{h}\|^2_{L^2}). \end{eqnarray*} $

类似地, 对于$ N_7 $, 若$ \gamma<\frac{n}{2} $, 有

$ N_7\leq\varepsilon\|\Lambda^{\alpha}\tilde{u}\|^2_{L^2}+C\|\Lambda^{\gamma+1}\rho^{(2)} \|^{\frac{4\alpha}{4\alpha+2\gamma-n}}_{L^2}(\|\tilde{u}\|^2_{L^2}+\|\tilde{\rho}\|^2_{L^2}). $

若$ \gamma>\frac{n}{2} $, 有

$ N_7\leq\varepsilon\|\Lambda^{\gamma}\tilde{\rho}\|^2_{L^2}+C\|\nabla\rho^{(2)}\|^{\frac{ 4\gamma}{4\gamma-n}}_{L^2}(\|\tilde{u}\|^2_{L^2}+\|\tilde{\rho}\|^2_{L^2}). $

接下来处理$ N_2 $, $ N_5 $和$ N_6 $.

$ \begin{eqnarray*} N_2& = &\int_{{\Bbb R} ^ n}({\rm div} {(h^{(1)}\otimes h^{(1)})}-{\rm div} {(h^{(2)}\otimes h^{(2)})})\cdot\tilde{u}\ {\rm d}x\\ & = &\int_{{\Bbb R} ^ n} (-h^{(1)}\cdot h^{(1)}\cdot\nabla\tilde{u}+h^{(2)}\cdot h^{(2)} \cdot\nabla\tilde{u})\ {\rm d}x\\ & = &\int_{{\Bbb R} ^ n} (-h^{(1)}\cdot h^{(1)}\cdot \nabla\tilde{u}+h^{(2)}\cdot h^{(1)}\cdot\nabla\tilde{u}-h^{(2)}\cdot h^{(1)} \cdot\nabla\tilde{u}+h^{(2)}\cdot h^{(2)}\cdot\nabla\tilde{u})\ {\rm d}x\\ & = &\int_{{\Bbb R} ^ n} (-\tilde{h}\cdot h^{(1)}\cdot\nabla\tilde{u}-h^{(2)} \cdot\tilde{h}\cdot\nabla\tilde{u})\ {\rm d}x. \end{eqnarray*} $

则

$ \begin{eqnarray*} N_2+N_5+N_6& = &\int_{{\Bbb R} ^ n}(-\tilde{h}\cdot h^{(1)}\cdot\nabla \tilde{u}+\tilde{h}\cdot\nabla {u^{(1)}}\cdot\tilde{h})\ {\rm d}x\\ & = &\int_{{\Bbb R} ^ n}(-\tilde{h}\cdot h^{(1)}\cdot\nabla\tilde{u}+ \tilde{h}\cdot h^{(2)}\cdot\nabla\tilde{u}-\tilde{h}\cdot h^{(2)}\cdot\nabla \tilde{u}+\tilde{h}\cdot\nabla u^{(1)}\cdot\tilde{h})\ {\rm d}x\\ & = &\int_{{\Bbb R} ^ n}(-\tilde{h}\cdot\tilde{h}\cdot\nabla\tilde{u}-\tilde{h} \cdot h^{(2)}\cdot\nabla\tilde{u}+\tilde{h}\cdot\nabla {u^{(1)}}\cdot\tilde{h})\ {\rm d}x\\ & = &-\int_{{\Bbb R} ^ n}\tilde{h}\cdot h^{(2)}\cdot\nabla\tilde{u}\ {\rm d}x+\int_{{\Bbb R} ^ n}\tilde{h}\cdot\nabla u^{(2)}\cdot\tilde{h}\ {\rm d}x\\ &: = &Q_1+Q_2. \end{eqnarray*} $

对于$ Q_1 $, 若$ \beta<\frac{n}{2}-1 $, 由Hölder, Young和Gagliardo-Nirenberg不等式, 得

$ \begin{eqnarray*} Q_1&\leq& C\|\tilde{h}\|_{L^2}\|h^{(2)}\|_{L^{\frac{2n}{n-2\beta-2}}}\| \nabla\tilde{u}\|_{L^{\frac{n}{\beta+1}}}\\ &\leq& C\|\tilde{h}\|_{L^2}\| \Lambda^{\beta+1}h^{(2)}\|_{L^2}\|\tilde{u}\|^{\frac{2\alpha+2\beta-n}{2\alpha}} _{L^2}\|\Lambda^{\alpha}\tilde{u}\|^{\frac{n-2\beta}{2\alpha}}_{L^2}\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{\alpha}\tilde{u}\|^2_{L^2}+C\|\Lambda^{\beta+1}h^{(2)} \|^{\frac{4\alpha}{4\alpha+2\beta-n}}_{L^2}(\|\tilde{h}\|^2_{L^2}+\|\tilde{u}\|^2_{L^2}), \end{eqnarray*} $

这里$ \alpha+\beta\geq1+\frac{n}{2} $.若$ \beta>\frac{n}{2}-1 $,

$ \begin{eqnarray*} Q_1&\leq& C\|\tilde{h}\|_{L^2}\|h^{(2)}\|_{L^{\infty}}\|\nabla\tilde{u}\|_{L^2}\\ &\leq &C\|\tilde{h}\|_{L^2}(\|\nabla h^{(2)}\|_{L^2}+\|\Lambda^{\beta+1}v^{(2)}\|_{L^2}) (\|\tilde{u}\|_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha}\tilde{u}\|_{L^2})\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{\alpha}\tilde{u}\|^2_{L^2}+C\|\tilde{u}\|^2_{L^2} +C(\|\Lambda^{\beta+1}h^{(2)}\|^2_{L^2}+\|\nabla h^{(2)}\|^2_{L^2})\|\tilde{h}\|^2_{L^2}. \end{eqnarray*} $

对于$ Q_2 $, 若$ \beta<\frac{n}{2} $, 注意到$ \alpha+\beta\geq1+\frac{n}{2} $, 有

$ \begin{eqnarray*} Q_2&\leq&\|\tilde{h}\|_{L^2}\|\nabla u^{(2)}\|_{L^{\frac{n}{\beta}}}\|\tilde{h}\|_{L^{\frac{2n}{n-2\beta}}}\\ &\leq &C\|\tilde{h}\|_{L^2}\|\Lambda^{\frac{n}{2}-\beta+1} u^{(2)}\|_{L^2}\|\Lambda^{\beta}\tilde{h}\|_{L^2}\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{\beta} \tilde{h}\|^2_{L^2}+C(\|\nabla u^{(2)}\|^2_{L^2} +\|\Lambda^{\alpha+1}u^{(2)}\|^2_{L^2})\|\tilde{h}\|^2_{L^2}. \end{eqnarray*} $

若$ \beta>\frac{n}{2} $, 有

$ \begin{eqnarray*} Q_2&\leq&\|\tilde{h}\|_{L^2}\|\nabla u^{(2)}\|_{L^2}\|\tilde{h}\|_{L^{\infty}}\\ &\leq& C\|\tilde{h}\|_{L^2}\|\nabla u^{(2)}\|_{L^2}\|\tilde{h}\|^{\frac{2\beta-n} {2\beta}}_{L^2}\|\Lambda^{\beta}\tilde{h}\|^{\frac{n}{2\beta}}_{L^2}\\ &\leq&\varepsilon\|\Lambda^{\beta}\tilde{h}\|^2_{L^2}+C\|\nabla u^{(2)}\|^{\frac{4\beta}{4\beta-n}}_{L^2}\|\tilde{h}\|^2_{L^2}. \end{eqnarray*} $

综合上面所有式子, 得到

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\tilde{u}\|^2_{L^2}+\|\tilde{h}\|^2_{L^2}+\|\tilde{\rho}\|^2_{L^2}) +\|\Lambda^{\alpha}\tilde{u}\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\beta}\tilde{h}\|^2_{L^2} +\|\Lambda^{\gamma}\tilde{\rho}\|^2_{L^2}\\ &\leq& C\big(\|\nabla u^{(2)}\|^2_{L^2}+ \|\nabla u^{(2)}\|^{\frac{4\alpha}{4\alpha-n}}_{L^2}+\|\nabla u^{(2)}\| ^{\frac{4\beta}{4\beta-n}}_{L^2}+\|\nabla h^{(2)}\|^2_{L^2}+\|\nabla h^{(2)} \|^{\frac{4\beta}{4\beta-n}}_{L^2}\\ &&+\|\nabla\rho^{(2)}\|^{\frac{4\gamma}{4\gamma-n}} +\|\Lambda^{\alpha+1} u^{(2)}\|^2_{L^2}+\|\Lambda^{\alpha+1} u^{(2)}\|^{\frac{4\alpha}{6\alpha-n}} _{L^2}+\|\Lambda^{\beta+1} h^{(2)}\|^2_{L^2}\\ &&+\|\Lambda^{\beta+1} h^{(2)}\| ^{\frac{4\alpha}{4\alpha+2\beta-n}}_{L^2}+\|\Lambda^{\gamma+1} \rho^{(2)}\| ^{\frac{4\alpha}{4\alpha+2\gamma-n}}_{L^2}+1\big)(\|\tilde{u}\|^2_{L^2}+\|\tilde{h}\|^2_{L^2}+\|\tilde{\rho}\|^2_{L^2}). \end{eqnarray*} $

由Gronwall不等式可以得到唯一性, 至此完成了命题3.2的证明.